粘性土坡稳定性分析
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一般情况下，Fs偏小10%左右工程应用中偏于安全
瑞典简单条分法的特点
(1)忽略条间力的作用 (2)满足滑动土体整体力矩平衡条件 (3)不满足条块的静力平衡条件 (4)满足极限平衡条件 (5)得到的安全系数偏低，误差偏于安全
毕肖甫（Bishop）法
di O i R
Ti
bi
i
W
Hi+1
Hi Pi
粘性土坡稳定分析
均质粘性土坡的稳定分析
强度参数：粘聚力C，内摩擦角 破坏形式：危险滑裂面位置在土坡深处，对于均 匀土坡，在平面应变条件下，其滑动面可用一圆 弧（圆柱面）近似。 O R
整体圆弧法（瑞典圆弧法）
广泛使 用的圆 弧滑动 法最初 是由瑞 典工程 师提出 的。冰 川沉积 厚层软 粘土
整体圆弧法（瑞典圆弧法）
条分法
1．原理
整体圆弧法 ：
n是l(x,y)的函数
0
l
条分法是将滑动土体竖直分成若干土 条，把土条当成刚体，分别求作用于 各土条上的力对圆心的滑动力矩和抗 滑力矩，然后按下式求土坡的稳定安 全系数Fs ：
n
tg de
O
注:无法求理论解，是 一个边值问题，应通过 数值计算解决。一个简 化解决方法是将滑动土 体分成条—条分法。实 际是一种离散化计算方 法
W
Pi+1
N i i
Hi=Hi-Hi+1 Pi=Pi-Pi+1
i
Ni
Ti
原理与特点
• 假设滑裂面为圆弧
• 不忽略条间作用力 • 在每条的滑裂面上满足极限平衡条件 Pi 不出现 • 每条上作用力在y方向（竖直）上静力平衡 • 总体对圆心O力矩平衡
注： （未考虑各条水平向作用力及各条力矩平衡条件，实际上 条件不够：缺 Hi，共(n-1)个条件 设Hi=0则条件够了——简化Bishop法，忽略条间切向力）
Ms MR
W
i
Ni
Fs
(C l W cos tg ) W sin
i i i i i i i
Fs
圆心O，半径R（如图） 分条：b=R/10
O
s 2 1 -2 -1 0
R
b B 4 5 6
C
7
简单 条分 法计 算步 骤
编号：过圆心垂 线为0#条中线 列表计算 li Wi i
1．假设条件：
• 均质简单粘性土坡 • 取1延长米按二维问题计算 • 圆弧滑动面 • 滑面以上滑动土体呈刚性转动 • 在滑动面上土体处于极限 平衡状态
O
R d
W
整体圆弧法（瑞典圆弧法） 2. 平衡条件（各力对O的力矩平衡）
O
M s wd (1) 滑动力矩：
R B
d
C
A e e e M R f de R (c ntg )de R [cAc ntg de R
条分法
各条： 求解条件共4n个 •水平向静力平衡条件： x=0 共 n个 •垂直向静力平衡条件： y=0 共 n个 •力矩平衡条件： M0=0 共n个 •在n个滑动面上各条处于极限平衡条件： 共 n个
讨论
•因而出现了不同的假设条件，对应不同计算方法
整体圆弧法：n=1, 6n-2=4个未知数，4个方程 简单(瑞典)条分法：Pi=Hi=hi=0, ti=li/2 共2（n+1）个未知数 其他方法： 大多是假设力作用点位置或忽略一些条间力
• Ni方向静力平衡（n个） Ni Wi cosi
• 滑动面上极限平衡（n个）
• 总体对圆心的力矩平衡滑动力矩=抗滑力矩（1个）Ti
(C l W cos tg ) R W sin R T R
i i i i i i i i
Cili Nitgi Cili Wi cos itgi Ti Fs Fs
•由于未知数为6n-2个
求解条件为4n个 二者相差(2n-2)
简单条分法（瑞典条分法）
1．基本原理：
忽略了所有条间作用力，即： Pi=Hi=hi=0 3n-3
ti=li/2
O
i
di
R b Wi B C
n
共计减去4n-3未知数 未知数为2n+1
A
Ti i Ni
安全系数计算
求解方程（2n+1）个
3
A
i i
Fs
(C l W cos tg ) W sin
i i i i i
变化圆心O和半径R
Fs最小 END
W
i
Ni
Ti
瑞典简单条分法的讨论
* 由于忽略条间力，有4n个平衡条件。实际 用2n+1个， 有些平衡条件不能满足 * 假设圆弧滑裂面，与实际滑裂面有差别
* 忽略了条间力，所计算安全系数Fs偏小， 假设圆弧滑裂面，使Fs偏大，最终结果是Fs 偏小，越大(条间力的抗滑作用越大),Fs越 偏小
R s
b 3 B 4 5 6
C 7
A
2 1 -2 -1 0
条分法
第 i 条 土 的 作 用 力
Hi+1 Wi
Pi
hi Hi Ti
Pi+1
hi+1
Ni
条分法
共n条土的未知量数目 Hi+1 Wi •Wi是已知的 Pi+1 Pi •作用在土条体底部的力与作用点： hi+1 hi Ni Ti ti 共3n个 H i •作用在边界上的力及作用点： Ti Ni Pi Hi hi 共3(n-1)个 （两端边界是已知的） •假设总体安全系数为Fs (且每条Fs都相等) Fs 共1个 •未知数合计=3n+3(n-1)+1=6n-2
sin i tgi mi cos i Fs
0 0 0
(2) 抗滑力矩：
W
注：（其中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ n n l 是未知函数） 当=0（粘土不排水强度）时， c cu
M R cAcR R Cu AcR 抗滑力矩 M (3) 安全系数： Fs 滑动力矩 M s Wd
整体圆弧法（瑞典圆弧法） 讨论 1. 当0时，n是l(x,y)的函数，无法得到 Fs的理论解 2. 其中圆心O及半径R是任意假设的，还 必须计算若干组（O, R）找到最小安全系 数 ———最可能滑动面 3. 适用于饱和粘土
求解条件
平衡条件：2n+1 未知数：6n-2 1）由于竖向力平衡 Pi(Pi) 不出现 —（n-1）
2）不计各条力矩平衡 ti 及 hi
—（2n-1）
3) 假设 Hi=0（不计条间切向力） — (n-1)
安全系数公式
1 m (Cibi Witgi ) i Fs Wi sin i
瑞典简单条分法的特点
(1)忽略条间力的作用 (2)满足滑动土体整体力矩平衡条件 (3)不满足条块的静力平衡条件 (4)满足极限平衡条件 (5)得到的安全系数偏低，误差偏于安全
毕肖甫（Bishop）法
di O i R
Ti
bi
i
W
Hi+1
Hi Pi
粘性土坡稳定分析
均质粘性土坡的稳定分析
强度参数：粘聚力C，内摩擦角 破坏形式：危险滑裂面位置在土坡深处，对于均 匀土坡，在平面应变条件下，其滑动面可用一圆 弧（圆柱面）近似。 O R
整体圆弧法（瑞典圆弧法）
广泛使 用的圆 弧滑动 法最初 是由瑞 典工程 师提出 的。冰 川沉积 厚层软 粘土
整体圆弧法（瑞典圆弧法）
条分法
1．原理
整体圆弧法 ：
n是l(x,y)的函数
0
l
条分法是将滑动土体竖直分成若干土 条，把土条当成刚体，分别求作用于 各土条上的力对圆心的滑动力矩和抗 滑力矩，然后按下式求土坡的稳定安 全系数Fs ：
n
tg de
O
注:无法求理论解，是 一个边值问题，应通过 数值计算解决。一个简 化解决方法是将滑动土 体分成条—条分法。实 际是一种离散化计算方 法
W
Pi+1
N i i
Hi=Hi-Hi+1 Pi=Pi-Pi+1
i
Ni
Ti
原理与特点
• 假设滑裂面为圆弧
• 不忽略条间作用力 • 在每条的滑裂面上满足极限平衡条件 Pi 不出现 • 每条上作用力在y方向（竖直）上静力平衡 • 总体对圆心O力矩平衡
注： （未考虑各条水平向作用力及各条力矩平衡条件，实际上 条件不够：缺 Hi，共(n-1)个条件 设Hi=0则条件够了——简化Bishop法，忽略条间切向力）
Ms MR
W
i
Ni
Fs
(C l W cos tg ) W sin
i i i i i i i
Fs
圆心O，半径R（如图） 分条：b=R/10
O
s 2 1 -2 -1 0
R
b B 4 5 6
C
7
简单 条分 法计 算步 骤
编号：过圆心垂 线为0#条中线 列表计算 li Wi i
1．假设条件：
• 均质简单粘性土坡 • 取1延长米按二维问题计算 • 圆弧滑动面 • 滑面以上滑动土体呈刚性转动 • 在滑动面上土体处于极限 平衡状态
O
R d
W
整体圆弧法（瑞典圆弧法） 2. 平衡条件（各力对O的力矩平衡）
O
M s wd (1) 滑动力矩：
R B
d
C
A e e e M R f de R (c ntg )de R [cAc ntg de R
条分法
各条： 求解条件共4n个 •水平向静力平衡条件： x=0 共 n个 •垂直向静力平衡条件： y=0 共 n个 •力矩平衡条件： M0=0 共n个 •在n个滑动面上各条处于极限平衡条件： 共 n个
讨论
•因而出现了不同的假设条件，对应不同计算方法
整体圆弧法：n=1, 6n-2=4个未知数，4个方程 简单(瑞典)条分法：Pi=Hi=hi=0, ti=li/2 共2（n+1）个未知数 其他方法： 大多是假设力作用点位置或忽略一些条间力
• Ni方向静力平衡（n个） Ni Wi cosi
• 滑动面上极限平衡（n个）
• 总体对圆心的力矩平衡滑动力矩=抗滑力矩（1个）Ti
(C l W cos tg ) R W sin R T R
i i i i i i i i
Cili Nitgi Cili Wi cos itgi Ti Fs Fs
•由于未知数为6n-2个
求解条件为4n个 二者相差(2n-2)
简单条分法（瑞典条分法）
1．基本原理：
忽略了所有条间作用力，即： Pi=Hi=hi=0 3n-3
ti=li/2
O
i
di
R b Wi B C
n
共计减去4n-3未知数 未知数为2n+1
A
Ti i Ni
安全系数计算
求解方程（2n+1）个
3
A
i i
Fs
(C l W cos tg ) W sin
i i i i i
变化圆心O和半径R
Fs最小 END
W
i
Ni
Ti
瑞典简单条分法的讨论
* 由于忽略条间力，有4n个平衡条件。实际 用2n+1个， 有些平衡条件不能满足 * 假设圆弧滑裂面，与实际滑裂面有差别
* 忽略了条间力，所计算安全系数Fs偏小， 假设圆弧滑裂面，使Fs偏大，最终结果是Fs 偏小，越大(条间力的抗滑作用越大),Fs越 偏小
R s
b 3 B 4 5 6
C 7
A
2 1 -2 -1 0
条分法
第 i 条 土 的 作 用 力
Hi+1 Wi
Pi
hi Hi Ti
Pi+1
hi+1
Ni
条分法
共n条土的未知量数目 Hi+1 Wi •Wi是已知的 Pi+1 Pi •作用在土条体底部的力与作用点： hi+1 hi Ni Ti ti 共3n个 H i •作用在边界上的力及作用点： Ti Ni Pi Hi hi 共3(n-1)个 （两端边界是已知的） •假设总体安全系数为Fs (且每条Fs都相等) Fs 共1个 •未知数合计=3n+3(n-1)+1=6n-2
sin i tgi mi cos i Fs
0 0 0
(2) 抗滑力矩：
W
注：（其中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ n n l 是未知函数） 当=0（粘土不排水强度）时， c cu
M R cAcR R Cu AcR 抗滑力矩 M (3) 安全系数： Fs 滑动力矩 M s Wd
整体圆弧法（瑞典圆弧法） 讨论 1. 当0时，n是l(x,y)的函数，无法得到 Fs的理论解 2. 其中圆心O及半径R是任意假设的，还 必须计算若干组（O, R）找到最小安全系 数 ———最可能滑动面 3. 适用于饱和粘土
求解条件
平衡条件：2n+1 未知数：6n-2 1）由于竖向力平衡 Pi(Pi) 不出现 —（n-1）
2）不计各条力矩平衡 ti 及 hi
—（2n-1）
3) 假设 Hi=0（不计条间切向力） — (n-1)
安全系数公式
1 m (Cibi Witgi ) i Fs Wi sin i