《抽象代数02009》试卷及标准答案

四、简答题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）

26、A＝{1,2,3}，B＝{a,b}写出AXB及BXA的所有元素。

27、找出模5剩余类环5Z 的所有可逆元，并指出其逆元。

28、假定一个环R 对加法来说作成一个循环群，证明：R 是交换环。

29、证明两个不变子群的交集还是不变子群。

30、简述一个环作成域的条件，并指出域有几个理想。

31、群G 中元a,b,若a,b 的阶均有限，问ab 的阶是否有限？

32、假定H 是G 的子群，N 是G 的不变子群，证明：HN 是G 的子群。

五、证明题（本大题共3小题，第33、34小题各7分，第35小题6分，共20分）

33、证明任意偶数阶的有限群至少有一个元a ≠e ，使e a 2

(e 是群G 的单位元）。

34、设R 是偶数环，证明：（4）是R 的最大理想，但R/(4)不是一个域。

35、假定[a]是整数模n 的一个剩余类，证明：若a 同n 互素，那么所有[a]中的数都同n 互素。