逆z变换.
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z
X(z)
z
z (z 1)(z 2)
X z A B
z z1 z2
A (z 1)
z
(z 1)(z 2)
1 同理：B＝2
z1
X(z) 1 2 z z1 z2
部分分式乘以 z
X(z) z 2z z1 z2
查表 x(n) u(n) 2(2)nu(n)
收敛域与原函数的对应
§ 7.4 逆z变换
• 主要内容
•逆z变换的定义及推导 •求逆变换的方法
• 重点：部分分式展开法
• 难点：围线积分法和幂级数展开法
一、逆变换的定义及推导
1．z逆变换的的定义
已知z变换
X z xnzn
n0
利用围线积分得 z 逆变换公式
xn
1
2
j
X zzn1 d c
z
2.逆变换公式的推导
在 X 的z 收敛域内，选择一条包
在这里，zm是X(z)的极点，而A0
b0 a0
如果X(z)除了含有M个一阶极点外，在z=zi处还 含有一个s阶极点，此时X(z)应展开为
X (z)
A0
M
m1
Am z z zm
S j 1
Bjz (z zi ) j
式中Am确定方法与前相同，而Bj等于
Bj
1 (s
d s j
j)!
dz
s
j
部分方式求逆Z变换步骤：
1）F(z)F(z)/z(真分式）； 2）F(z)/z进行部分分式展开； 3）求部分分式中的系数； 4）部分分式型 F(z)/z F(z)； 5）利用基本形式进行逆变换，求得f(k)。
例：已知X (z)
z2
，ROC : z 2,求xn。
(z 1)(z 2)
解： Xz除以z 将 X z 展开为部分分式
(z zi )s
X (z)
z
zzi
在这种情况下，X(z)也可展开为下列形式
X (z)
A0
M
m1
Am z z zm
S j 1
Cjz j (z zi ) j
其中，对于j=s项系数
Cs
z
zi z
s
X (z)
zzi
其他各Cj系数由待定系数法求出
思考题
• 1. 逆变换的定义式？ • 2. 求逆变换的方法？ • 3. 利用部分分式展开法求逆变换的步骤？
c
c
2
n0
根据柯西定理：
z
c
k 1
d
z
2j
0
k 0 k 0
（2）式的右边只存在m=n一项，其余均等于零。 于是（2）式变成
X zzn1
c
d
z
2jxn
xn
1
2j
c X
z z n1
d
z
二、求逆变换的方法
1 留数法（自己看） 2 幂级数展开法（自己看） 3 部分分式展开法
部分分式展开法
序列的z变换通常是z的有理数，可表示为有 理分式形式。类似于拉氏变换中部分分式展 开法，在这里，也可以先将X(z)展成一些简 单而常见的部分分式之和，然后分别求出各 部分分式的逆变换，把各逆变换相加即可得 到x(n)。
围坐标原点的逆时针方向的围线
j Im(z)
C， X的z全z部n1极点都在积分路
线的内部Βιβλιοθήκη Baidu已知
0
X z xnz n
1
n0
1式两边同乘以z m1，并进行围线积分
Re(z) C
1 X zzm1 d z 1
x n znzm1 d z
2j c
2j
c n0
将积分与求和互换得
X zzm1 d z x n znm1 d z
X(z) z 2z z1 z2
z 2
右右
x(n) u(n) 2(2)nu(n)
j Imz
12
O
Rez
1 z 2
右左
x(n) u(n) 2(2)nu(n 1)
z 1
左左
x(n) u(n 1) 2(2)nu(n 1)
一般情况下，X(z)表达式为
X (z)
b0 b1z br1z r1 br z r a0 a1z ak1z k1 ak z k
对于因果序列，它的z变换收敛域为|z|>R， 为保证在z=∞处收敛，其分母多项式的阶次 不低于分子多项式的阶次，即满足k≥r。
如果X(z)只含有一阶极点，则 X (可z)以展开为
z
X (z) k Am
z
m0 z zm
Am 是X (z) 在
z
zm 处的留数
或者表示成
X
(z)
A0
k m1
Am z z zm
X(z)
z
z (z 1)(z 2)
X z A B
z z1 z2
A (z 1)
z
(z 1)(z 2)
1 同理：B＝2
z1
X(z) 1 2 z z1 z2
部分分式乘以 z
X(z) z 2z z1 z2
查表 x(n) u(n) 2(2)nu(n)
收敛域与原函数的对应
§ 7.4 逆z变换
• 主要内容
•逆z变换的定义及推导 •求逆变换的方法
• 重点：部分分式展开法
• 难点：围线积分法和幂级数展开法
一、逆变换的定义及推导
1．z逆变换的的定义
已知z变换
X z xnzn
n0
利用围线积分得 z 逆变换公式
xn
1
2
j
X zzn1 d c
z
2.逆变换公式的推导
在 X 的z 收敛域内，选择一条包
在这里，zm是X(z)的极点，而A0
b0 a0
如果X(z)除了含有M个一阶极点外，在z=zi处还 含有一个s阶极点，此时X(z)应展开为
X (z)
A0
M
m1
Am z z zm
S j 1
Bjz (z zi ) j
式中Am确定方法与前相同，而Bj等于
Bj
1 (s
d s j
j)!
dz
s
j
部分方式求逆Z变换步骤：
1）F(z)F(z)/z(真分式）； 2）F(z)/z进行部分分式展开； 3）求部分分式中的系数； 4）部分分式型 F(z)/z F(z)； 5）利用基本形式进行逆变换，求得f(k)。
例：已知X (z)
z2
，ROC : z 2,求xn。
(z 1)(z 2)
解： Xz除以z 将 X z 展开为部分分式
(z zi )s
X (z)
z
zzi
在这种情况下，X(z)也可展开为下列形式
X (z)
A0
M
m1
Am z z zm
S j 1
Cjz j (z zi ) j
其中，对于j=s项系数
Cs
z
zi z
s
X (z)
zzi
其他各Cj系数由待定系数法求出
思考题
• 1. 逆变换的定义式？ • 2. 求逆变换的方法？ • 3. 利用部分分式展开法求逆变换的步骤？
c
c
2
n0
根据柯西定理：
z
c
k 1
d
z
2j
0
k 0 k 0
（2）式的右边只存在m=n一项，其余均等于零。 于是（2）式变成
X zzn1
c
d
z
2jxn
xn
1
2j
c X
z z n1
d
z
二、求逆变换的方法
1 留数法（自己看） 2 幂级数展开法（自己看） 3 部分分式展开法
部分分式展开法
序列的z变换通常是z的有理数，可表示为有 理分式形式。类似于拉氏变换中部分分式展 开法，在这里，也可以先将X(z)展成一些简 单而常见的部分分式之和，然后分别求出各 部分分式的逆变换，把各逆变换相加即可得 到x(n)。
围坐标原点的逆时针方向的围线
j Im(z)
C， X的z全z部n1极点都在积分路
线的内部Βιβλιοθήκη Baidu已知
0
X z xnz n
1
n0
1式两边同乘以z m1，并进行围线积分
Re(z) C
1 X zzm1 d z 1
x n znzm1 d z
2j c
2j
c n0
将积分与求和互换得
X zzm1 d z x n znm1 d z
X(z) z 2z z1 z2
z 2
右右
x(n) u(n) 2(2)nu(n)
j Imz
12
O
Rez
1 z 2
右左
x(n) u(n) 2(2)nu(n 1)
z 1
左左
x(n) u(n 1) 2(2)nu(n 1)
一般情况下，X(z)表达式为
X (z)
b0 b1z br1z r1 br z r a0 a1z ak1z k1 ak z k
对于因果序列，它的z变换收敛域为|z|>R， 为保证在z=∞处收敛，其分母多项式的阶次 不低于分子多项式的阶次，即满足k≥r。
如果X(z)只含有一阶极点，则 X (可z)以展开为
z
X (z) k Am
z
m0 z zm
Am 是X (z) 在
z
zm 处的留数
或者表示成
X
(z)
A0
k m1
Am z z zm