逆z变换.
第15讲 Z变换及逆Z变换
m
z)
令m n
X ( z) a m z m
m 1
a
m0
z m a 0 z 0 1 a m z m
m 0
z 当 1，即 z a 时收敛 a 1 a z X z 1 1 z az za 1 a
24
6.3
逆Z变换
•部分分式展开法 •幂级数展开法 •围线积分法——留数法
25
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r N (z) X (z) D( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
n 0
n
1 1 两边，对 z 求导 1 1 z
1 n 1
1 n( z ) 1 2 ( 1 z ) n 0 两边同时乘以z-1 ，可得
L nu n nz
n 0
n
z ( z 1)2
z 1
9
同理可得
n u( n) n z
x ( n) a n u n
0 n
n1
X ( z) a n z n
n 0
a 1 n z a lim n a n 0 z 1 z
a 当 1，即 z a 时收敛 z
j Im( z )
z X z a za 1 z
6.1 概述
1
一．引言
本章主要讨论： Z变换的定义、收敛域、性质，
2
z变换的定义
信号与系统 §6.3 逆z变换
z (z a)3
2z (z a)3
▲
■
第9页
例：已知象函数 F(z) z3 z 2 ，z>1 的原函数。
(z 1)3
解: F(z) z 2 z K11 K12 K13
z (z 1)3 (z 1)3 (z 1)2 z 1
K11 (z 1)3
F(z) z
z1 2
K12
d dz
( z
，|z| > ，|z| <
可见，因果序列和反因果序列的象函数分别是z-1和z 的幂级数。其系数就是相应的序列值。
例：已知象函数
z2
z2
F(z)
(z 1)(z 2) z 2 z 2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
1) 3
F(z) z
z 1
3
K13
1 2
d2 d z2
(z
1) 3
F(z) z
z 1
1
F(z) 2z 3z z (z 1)3 (z 1)2 z 1
f(k)=[k(k-1)+3k+1](k)
▲
■
第 10 页
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k) 若z< , f(k)= –2K1kcos(k+)(– k – 1)
▲
■
第8页
(3) F(z)有重极点
F(z)展开式中含
(z
z a)r
项(r>1)，则逆变换为
若z> ,对应原序列为 k(k 1).....(k r 2) ak r1 (k)
信号与系统-逆Z变换
X(z) =
z2
(z − 1)( z − 0.5)
X ( z) = A1 + A2 z z − 0.5 z − 1
X(z) = 2z − z z − 1 z − 0.5
A1
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
0.5)⎥⎦⎤ z=0.5
=
−1
A2
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
1)⎥⎦⎤ z=1
=
2
x(n) = (2 − 0.5n )u(n)
X (z) z
=
1 z(z − 1)2
=
−1 + z−1
1 (z − 1)2
+
1 z
∴
X(z)
=
−z z−1
+
(z
z − 1)2
+1
x(n) = −u(n) + nu(n) + δ (n)
38
信号与系统 生物医学工程学院 2011级
¾ 长除法
x(n)的Z变换为
∞
∑ X (z) = x(n)z−n n = −∞
36
信号与系统 生物医学工程学院 2011级
例
X(z) =
1 (z − 1)2
,
z
> 1,求x(n)。
解
X (z) = 1 = B1 + B2 + B3
z z(z − 1)2 z − 1 (z − 1)2 z
Bj
=
1 (s −
⎡ ds− j
j
)!
⎢ ⎣
d
z
s−
j
(z
−
zi )s
lesson6 Z变换的逆变换
X z 的收敛域内的一条环绕原点的积分围线。
3.留数定理法
xn X z z n 1dz 可用留数定 对于有理Z变换，围线积分 2 j C 理来计算。设在有限的Z平面上， ak , k 1,2,, N 是 X z z n1 1
在围线 C 内部的极点集， bk , k 1,2,, M 是 X z z n1 在围线 C 外部的极点集。根据柯西留数定理，有
X z A1 A2 1 2 z 1 1 0.5 z 1
2.部分分式展开法
(Partial Fraction Expansion)
例2.16 解(续)：其中
A1 X z 1 2 z
1
z 2
1 4 1 1 0.5 z z2 3 1 1 1 1 2 z z0.5 3
当 n 0 时，因为 X z z n1 在 C 外无极点，且 X z z n1 的分 母与分子多项式阶数之差为 2 n 1 1 n 2因为n为负值 ， 所以有 xn 0, n 0
最后得
1 a n 1 x n u n 1 a
1.幂级数法
解(续)：
1 4 z 1 7 z 2 1 2 z 1 z 2 4 z 1 z 2 4 z 1 8 z 2 4 z 3 7 z 2 4 z 3 7 z 2 14 z 3 7 z 4 10 z 3 7 z 4
A2 X z 1 0.5 z
1
z 0.5
即
1 4 1 X z 1 3 1 2 z 1 0.5 z 1
4 n 1 n 2 0.5 , x n 3 3 0, n0
逆z变换
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
X (z)
A0
N k 1
Ak 1 zk z1
z max[ zk ]
N
则其逆Z变换为：x(n) A0 (n) Ak zknu(n)
k 1
说 明 ： a.X(z) 较 简 单 时 可 按 算 术 展 开 求 各 系 数
Ak(k=0,1…,N) 。
b.X(z) 较 复 杂 时 可 按 留 数 定 理 求 各 系 数
k 1,, s
3.围线积分法（留数法）
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
若被积函数 X (z)zn1是有理分式，一般采用留数定理来计 算围线积分 。根据留数定理， x(n) 等于围线C内全部极 点留数之和，即:
x(n) Re s[X (z)zn1, ak ]
直接用长除法进行逆变换
X z xnz n n
（是一个z 的幂级数）
x(2)z2 x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2
级数的系数就是序列 xn
注意：
在用长除法将X（Z）展开成幂级数 形式之前，应先根据给定的收敛域 是圆外域还是圆内域，确定x（n） 是右边序列还是左边序列。
5z 3 4z 4
例1：
因为 X (z) x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2
所以 xn 0, 1, 2, 3, 4, 因为长除结果无常数项，则x0 0。
例2：
X z z z
z2 2z 1 1 2z z2
z 1
z 2z2 3z3 4z4
1 2z z2 z z 2z2 z3
X(z)
N(z) D(z)
《自动控制原理》z变换与z反变换
《自动控制原理》z变换与z反变换自动控制原理是一门研究系统动态特性与控制方法的学科，其中涉及到了很多数学工具和方法，其中之一就是z变换和z反变换。
本文将对z 变换和z反变换进行详细的解释和介绍。
z变换是一种非常重要的数学工具，它是离散时间信号和系统分析中的一种常用方法。
z变换的定义如下：X(z)=Z[x(n)]=∑[x(n)*z^(-n)]其中，x(n)为离散时间信号，X(z)为z变换后的结果，z为变量。
z变换可以将离散时间信号从时域转换到z域，从而可以更方便地进行分析和处理。
z变换可以将离散时间信号表示为有理函数的形式，从而可以用于求解离散时间系统的频率响应、系统稳定性等问题。
z变换的性质有很多，这里只介绍其中几个重要的性质。
首先是线性性质，即线性系统的z变换可以表示为输入信号和系统冲激响应的z变换的乘积。
其次是时移性质，即输入信号的z变换与输入信号z变换乘以z^(-n)的结果相等。
最后是共轭对称性质，即输入信号为实数序列时，其z变换的共轭对称性质。
在进行z变换的计算时，可以使用z变换的表格、z变换的性质以及z变换的逆变换来简化计算。
z变换的逆变换可以将z域的信号重新转换回时域的信号，其定义如下：x(n) = Z^(-1)[X(z)] = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中，X(z)为z变换的结果，x(n)为z变换的逆变换结果。
z反变换可以将z域的信号转换为时域的信号，从而可以得到离散时间信号的具体数值。
z变换和z反变换在自动控制领域中有着广泛的应用。
例如，在系统建模和分析中，可以通过z变换将离散时间系统转换为z域的传递函数，从而可以方便地进行系统分析和控制器设计。
此外，在数字滤波器设计中，z变换也是一种常用的工具，可以将滤波器的差分方程转换为z域的传递函数，从而可以设计出满足要求的数字滤波器。
总结起来，z变换和z反变换是自动控制原理中的重要数学工具，可以方便地进行离散时间信号和系统的分析和处理。
Z变换及逆变换与-稳定性
数字信号处理课程设计课程名称数字信号处理题目名称Z变换与逆变换与稳定性专业班级电子信息（12）学生XX学号指导教师二○××年××月××日Z变换-反变换求系统响应与稳定性判断引言 (1)数字信号处理 (2)MATLAB (2)GUI (2)课题相关 (2)设计要求 (1)理论知识 (1)离散时间系统 (2)Z变换 (2)数字信号处理 (2)离散时间系统的频域分析 (2)系统函数 (6)因果性和稳定在Z域的描述 (6)系统函数的零极点位置 (6)MATLAB仿真 (1)M脚本涉与函数 (2)GUI控件介绍 (2)常用控件 (6)控件的公共属性 (6)程序实现 (1)稳定系统I (5)稳定系统II (5)非稳定系统 (5)致谢 (1)参考文献 (4)附录 (1)1 引言1.1 数字信号处理数字信号处理就是用数值计算的方式对信号进行加工的理论和技术，它的英文原名叫digital signal processing，简称DSP。
另外DSP也是digital signal processor的简称，即数字信号处理器，它是集成专用计算机的一种芯片，只有一枚硬币那么大。
有时人们也将DSP看作是一门应用技术，称为DSP技术与应用。
数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。
数字信号处理与模拟信号处理是信号处理的子集。
数字信号处理的目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。
因此在进行数字信号处理之前需要将信号从模拟域转换到数字域，这通常通过模数转换器实现。
而数字信号处理的输出经常也要变换到模拟域，这是通过数模转换器实现的。
1.2 MATLABMATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以与数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。
数字信号处理2 Z变换
X1 ( z ) Z1[ x(n)] x(n) z n
n 0
z是复数,X(z)是复变函数
X ( z ) X ( re )
jw z re jw n
x ( n ) r n e jnw
r 1
2
F变换属于双边Z变换
X ( z ) X ( e jw )
正、逆Z变换：存在条件
变换存在&绝对可和
Z变换存在,即复变函数幅值有限(定义)
X (z)
存在条件放宽(充要条件)
X (z)
n
x(n) z
n
n
x(n) z
n
n
x(n) z n
收敛域:
z r Rx
已知x(n), 使
Im(z)
a z b
….
n1
0
x n
….
n2
Re(z)
Im(z)
a z b, a b
….
n1
0
….
n2
Re(z)
9
第五次 @ 5.20
回顾：
单、双边Z变换公式 Z变换的收敛域
定义（对比DTFT变换的“绝对可和”条件） 不同序列的收敛域
本次：
Z逆变换 Z变换性质
2 z 2 z 2 2 z 3 2 z 4 ... z 1 1 2 2 2z 2z 2z 2z2 2z2 2z 2 2z3 2z3
X1(z)
z逆变换 长除法
z逆变换长除法题目：用长除法解析z逆变换导言：在信号与系统领域，z逆变换是一种将离散时间域信号转换为连续时间域信号的方法。
通过z逆变换，我们可以从离散时间域中恢复出原始信号的特性。
本文将介绍如何使用长除法来解析z逆变换，以帮助读者更好地理解和应用这一技术。
一、什么是z逆变换？z逆变换是一种将离散时间域信号转换为连续时间域信号的方法。
它是z变换的逆运算，可以通过对z域表达式进行长除法的方式来实现。
通过z逆变换，我们可以从离散时间域中恢复出原始信号的特性。
二、使用长除法解析z逆变换的步骤1. 首先，将z域表达式按照降幂的方式排列。
例如，将z^2 + 3z + 2表示为z^2 + 3z + 2 = 0。
2. 然后，找出z^2的系数，将其除以z的系数，得到商项。
例如，z^2的系数为1，z的系数为3，所以商项为1/3。
3. 将商项乘以z的幂次，得到一个新的项。
例如，商项为1/3，z 的幂次为1，所以新的项为1/3z。
4. 将新的项与z域表达式相减，得到一个新的表达式。
例如，将z^2 + 3z + 2减去1/3z，得到2/3z + 2。
5. 重复上述步骤，直到新的表达式中没有z的幂次大于等于1的项为止。
最终得到的表达式即为z逆变换的结果。
三、例子假设我们有一个z域表达式为z^3 + 2z^2 + z + 1。
我们将使用长除法来解析该表达式的z逆变换。
1. 找出z^3的系数，将其除以z的系数，得到商项。
商项为1。
2. 将商项乘以z的幂次，得到一个新的项。
新的项为z。
3. 将新的项与z域表达式相减，得到一个新的表达式。
新的表达式为2z^2 + 1。
4. 找出2z^2的系数，将其除以z的系数，得到商项。
商项为2。
5. 将商项乘以z的幂次，得到一个新的项。
新的项为2z。
6. 将新的项与新的表达式相减，得到一个新的表达式。
新的表达式为1。
7. 新的表达式中没有z的幂次大于等于1的项了，所以最终的结果为z + 2 + 1/z。
mobius函数及其在逆z变换计算中的应用
mobius函数及其在逆z变换计算中的应用Mobius函数是一种函数，它是一个复杂称之为双曲线的函数。
它可以被用来表示任意整数点之间的函数关系，是一个非常有用的函数，并且在计算中有着广泛的应用。
Mobius函数的数学形式为：M(z) = (z - a)(z - b)(z - c)(z - d)/(z + a)(z + b)(z + c)(z + d)其中a,b,c,d是任意实数或者复数。
Mobius函数的物理意义是用来表示一个二维物理系统的状态，这个物理系统可以用来模拟某种复杂的系统，比如流体力学、电磁学等。
Mobius函数的另一个重要应用就是在逆Z变换计算中，它可以用来表示图像中某一点的状态和象素点的关系，也就是说要进行逆z 变换，首先要通过mobius函数来确定图像中每一点的状态，然后再根据象素点的关系来计算出各个点的值，从而完成对图像的逆Z变换。
Mobius函数在计算机图像处理中有着广泛的应用，它可以帮助程序员模拟复杂的几何图形和几何变化，比如曲线的旋转、缩放、平移变换等等。
Mobius函数还可以用来解决多项式函数的求解问题，比如求解复数多项式等。
Mobius函数还可以用来解决复数函数问题，这些函数可以用来求解给定复数参数的几何形状的最小值及最大值的问题。
Mobius函数还可以用来求解复杂的数学运算，比如求解线性方程组，通过Mobius函数可以将复杂的线性方程组转换为简单的一元函数，从而求解和处理复杂的线性问题。
在日常的技术应用中，Mobius函数也有着重要的应用，比如电子技术领域，它可以用来便捷地计算极坐标和直角坐标之间的转换，从而降低程序员计算电子转换所需要的经验。
以上是Mobius函数及其在计算中的应用，它不仅可以帮助程序员模拟复杂的几何图形，也可以帮助程序员方便快捷地求解复杂的运算问题，同时也可以在图像处理中帮助程序员实现图像的逆Z变换，并有效地减少程序员的编程时间，提升程序的执行效率。
8.04 逆z变换
• 部分分式展开法
• 幂级数展开法
• 围线积分法——留数法
逆z变换的定义
设序列 x n 的 z 变换为 X z Z x n , 则 X z 的逆变 换为
x n Z
1
X z
1
2 j C
X z z n 1 d z
其中C 是位于收敛域内以原点 为中心的圆. 计算逆 z 变换的方法: 一 . 围线积分法 留数法 . 二 . 幂级数展开法 长除法 . 三 . 部分分式展开法 公式法 .
这里有一个二阶极点z1 1 , 一个一阶极点z 2 0
1 d 1 2 B1 z 1 2 ( 2 1)! d z z z 1
z z 1 z 1 z z 所以 X ( z ) 1 2 z 1 ( z 1)
2
1
z 1
（重点）
一．围线积分法
x n Z
1
X z
1
Res Xz z n1 在 C 内的极点
m
2 j C
X z z n 1 d z
围线积分法是基本的计 算逆 z 变换的方法 , 主要应用于 非有理分式的 z . X
二．幂级数展开法
1．幂级数展开法
幂级数展开法比较简单 可应用于有理分式的X z , 但一 , 般只能得到 x n 的有限项 , 且不容易得到 x n 的闭式 .
三．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X ( z) 2 k 1 k D( z ) a0 a1 z a2 z ak 1 z ak z
序列逆Z变换的Matlab实现
>>[r,p,c]= residuez(b,a);
– 输入参数: b=[b0， b1， …， bM]为分子多项式的系数, a=[a0， a1， …， aN]为分母多项式的系数，这些多项式都按z的降幂 排列
– 输出参数: r是极点的留数，p是极点，c是无穷项多项式的系数 项，仅当M≥N时存在。
例：计算逆Z变换
– 当x为矩阵时，y为矩阵x每一列的FFT。 – 当x长度为2的整数次幂时，函数fft采用基-2的FFT算法，否则采
用混合基算法。
• y= fft(x, N)采用N点FFT。
– 当序列x长度小于N时，函数fft自动对序列尾部补零，构成N点数 据；
– 当x长度大于N时，函数fft自动截取序列前面N点数据进行FFT。
例
：计算
X
(z)
2z
2
z 3z
1
的逆Z变换。
解: 有理分式X(z) 分子和分母 多项式都按z的降幂排列。
X
(z)
2z2
z 3z
1
2
0 z1 3z1
z 2
•>>b= [0,1]; a= [2,-3,1]; % 多项式的系数
•[r,p,c]= residuez(b,a); % 求留数、极点和系数项
stem(0:1:length(y1)-1,y1),grid on;
title('x(n)与x(n)线性卷积')
X2= fft(x);
% 计算x(n)与x(n)的4点循环卷积
Y2= X2.*X2;
y2= ifft(Y2);
subplot(2,2,3)
stem(n1,y2),grid on;
title('x(n)与x(n)的4点循环卷积')
K2.08-逆z变换：幂级数和部分分式展开
10
逆z变换：幂级数和部分分式展开
例1 已知象函数 F (z)
z2
(z 1)(z 2)
，分别求f(k)。
(1) | z | 2; (2) | z | 1; (3)1 | z | 2
解：
F(z) 1 z 2 z
3 z 1 3 z 2
(1) |z|>2，因果序列 f (k) [1 (1)k 2 (2)k ] (k)
k(k 1).....(k r 2) akr1 (k)
(r 1)!
16
逆z变换：幂级数和部分分式展开
以z>a 为例：
当 r=2 时，为 kak1 (k )
z
当 r=3 时，为 1 k(k 1)ak2 (k)
(z a)r
2
推导记忆：
Z [ak (k)] z
za
两边对a求导得:
Z
[kak 1
相应地，其z变换也分为两部分
其中
F (z) F2 (z) F1(z), | z |
F1(z) Z[ f (k) (k)] f (k)zk , | z | k 0 1
F2 (z) Z[ f (k) (k 1)] f (k)zk , | z | k
3
逆z变换：幂级数和部分分式展开
j1
z
j1
z
4 z (2 j2) 4 z (2 j2)
1
e
j
2
4
z
j
(z 2 2e 4 )
1
e
j
2
4
(z 2
z
j
2e 4 )
14
逆z变换：幂级数和部分分式展开
（1）| z | 2 2, f (k)为因果序列
逆z变换(部分分式展开法)
7 页
z pi
AN z A1 z A2 z Ai z X ( z ) A0 A0 z p1 z p 2 z pN i 1 z pi
第 5 页
拉氏反变换的基本形式 ：
z反变换的基本形式:
1 e t t sα
Re[ s]
z a
讨论: 1)只有真分式才可进行部分分式展开,但展开的 形式乘z才具备上述z反变换的基本形式;
X ( z) X ( z) 2)对 进行部分分式展开, 要求 是真分式, z z 即要求X ( z )有理分式的n m
z
因果序列n m, 如n m长除结果无常数项，这 x0 0 时 如n＝m长除结果有常数项，这 x0 0 时
X
例2
z z X z 2 z 2z 1 1 2z z 2
采用z的升幂排列：
z 1
第 4 页
收敛域在圆内，故是反 因果序列，一定是 k 形式， z
n 1 n2 n3 z z k (k ); ka k 1 (k ) ( z 1) 2 ( z a) 2 z k (k 1) z k (k 1) k 2 (k ); a (k ); 3 3 2! 2! ( z 1) ( z a) z k (k 1)( k 2) (k ); 4 3! ( z 1)
双边序列
Z逆变换的思路:
X ( z) 对 进行展开, 并要求X ( z ) : n m z
X
第
2．极点性质决定部分分式形式
X z 的极点 : 单极点, 共轭单极点和重极点。 1)单极点 X ( z ) A0 A1 A2 AN z z z p1 z p 2 z pN
z变换反演积分法
z变换反演积分法
Z变换反演积分法是通过利用逆Z变换的公式，将Z变换的结果反变换成时域信号。
具体步骤如下：
1. 根据信号的Z变换结果，确定其逆Z变换的公式。
2. 将Z变换结果的极坐标形式转换为分数形式，即将Z变换
结果表示为分子和分母的比值。
3. 将分数形式的Z变换结果进行部分分式展开，得到Z变换
结果的逆Z变换表达式。
4. 反变换的结果通常是关于n的时域信号，其中n为正整数。
5. 根据逆Z变换的公式，对得到的逆Z变换表达式进行展开，得到最后的时域信号。
需要注意的是，逆Z变换涉及到部分分式展开，通常需要使
用拉普拉斯反演公式、维特公式等方法来求解。
对于复杂的Z
变换结果，逆Z变换可能会比较繁琐或难以求解，因此在实
际应用中，常常利用Z变换表格或数值计算方法来进行逆Z
变换。
序列逆Z变换的Matlab实现
%计算N=60的FFT并绘出其幅频曲线 N=60;n=0:N-1;t=0.01*n; q=n*2*pi/N; x=2*sin(4*pi*t)+5*cos(8*pi*t); y=fft(x,N); figure(1) subplot(2,2,4) plot(q,abs(y)) title('FFT N=60')
%计算N=55的FFT并绘出其幅频曲线 N=55;n=0:N-1;t=0.01*n; q=n*2*pi/N; x=2*sin(4*pi*t)+5*cos(8*pi*t); y=fft(x,N); figure(1) subplot(2,2,3) plot(q,abs(y)) title('FFT N=55')
•disp('留数:');disp(r'); % 显示输出参数
•disp('极点:');disp(p'); •disp('系数项:');disp(c');
程序运行结果为
X(z)的部分分式形式为
X
(z)
1 1 z1
1
1 0.5 z 1
•留数: 1
-1
逆Z变换为
•极点: 1.0000 0.5000 •系数项:
程序运行结果
FFT N=45 150
FFT N=50 150
100
100
50
50
0
0
2
4
6
8
FFT N=55 150
0
0
2
4
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FFT N=60 150
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Z反变换方法范文
Z反变换方法范文Z反变换方法是一种在控制系统设计和信号处理领域广泛应用的数学工具。
它能够将复平面上的频域信号转换回时域信号，提供了一种有效的逆变换方法，可以将频域系数转换成原始信号。
在本文中，我们将详细介绍Z反变换的原理、应用和计算方法。
首先，我们来了解一下Z变换。
Z变换是一种将离散时间序列转换为复平面上的频域表示的方法。
它在控制系统设计和信号处理中具有重要的作用。
Z变换将离散时间序列表示为复数序列，这些复数的模长表示信号的幅度，相位角表示信号的相位信息。
Z变换的数学定义如下：X(z) = Σ[x(n) * z^(-n)], n=-∞ to +∞其中，X(z)表示Z变换后的频域信号，x(n)表示时域信号，z是一个复数变量。
Z变换的作用类似于傅里叶变换，它能够将时域信号转换为频域信号，提供了一种分析和处理信号的有效方法。
Z反变换是Z变换的逆运算。
它的作用是将Z变换后的频域信号转换回时域信号。
Z反变换的数学定义如下：x(n) = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中，x(n)表示反变换后的时域信号，X(z)表示Z变换后的频域信号，∮表示沿着闭合曲线的积分，j是虚数单位。
Z反变换的计算方法有多种，下面我们将介绍两种常用的计算方法。
一种常用的计算方法是使用留数定理。
留数定理是复变函数理论中的重要定理，它提供了一种计算复变函数积分的方法。
对于Z反变换的计算，我们可以首先将X(z)分解为部分分式的形式，然后计算每个留数对应的积分，最后求和得到反变换。
另一种常用的计算方法是使用逆Z变换表。
逆Z变换表是一种预先计算好的Z反变换的结果表格。
通过查表可以直接得到反变换的结果。
逆Z 变换表通常包含了一些常用的频域信号的反变换结果，可以方便地应用于实际计算中。
Z反变换在控制系统设计和信号处理中有广泛的应用。
在控制系统设计中，Z反变换可以用于恢复控制信号的时域波形，从而实现对系统的控制。
在信号处理中，Z反变换可以用于恢复被Z变换后的频域信号，从而实现对信号的处理和分析。
用留数法求逆Z变换
3.4.1用留数定理求逆变换
留数定理为：在s平面沿一不通过被积分函数极点的封闭曲线C进行的围线积分等于此围线C中被积函数各极点p i的留数之和，即
拉氏变换对中逆变换的定义式
要利用留数定理求拉氏反变换，需要补充一条积分路线以构成一条积分围线C，所补充的积分路线为从积分限s - j¥至s + j¥的直线。
如图3-1所示。
图3-1 F(s)的围线积分途径
于是，用留数定理求拉普拉斯逆变换的公式为：
例3.3 已知。
试用留数法求f(t)。
解：易见，F(s)的极点有两个s1=-1和s2=-2。
它们对应的留数为
所以
下面我们再看一个例子。
例3.4已知。
试用留数法求f(t)。
解：易见，F(s)的极点有三个s1=0, s2=-3, s3=-1，其中s3是二重极点。
它们对应的留数分别为
所以
通过上面两个例子，我们可以看出：留数法的要点是求各极点所对应的留数。
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(z zi )s
X (z)
z
zzi
在这种情况下，X(z)也可展开为下列形式
X (z)
A0
M
m1
Am z z zm
S j 1
Cjz j (z zi ) j
其中，对于j=s项系数
Cs
z
zi z
s
X (z)
zzi
其他各Cj系数由待定系数法求出
思考题
• 1. 逆变换的定义式？ • 2. 求逆变换的方法？ • 3. 利用部分分式展开法求逆变换的步骤？
z
X(z)
z
z (z 1)(z 2)
X z A B
z z1 z2
A (z 1)
z
(z 1)(z 2)
1 同理：B＝2
z1
X(z) 1 2 z z1 z2
部分分式乘以 z
X(z) z 2z z1 z2
查表 x(n) u(n) 2(2)nu(n)
收敛域与原函数的对应
围坐标原点的逆时针方向的围线
j Im(z)
C， X的z全z部n1极点都在积分路
线的内部。已知
0
X z xnz n
1
n0
1式两边同乘以z m1，并进行围线积分
Re(z) C
1 X zzm1 d z 1x nFra bibliotekznzm1 d z
2j c
2j
c n0
将积分与求和互换得
X zzm1 d z x n znm1 d z
部分方式求逆Z变换步骤：
1）F(z)F(z)/z(真分式）； 2）F(z)/z进行部分分式展开； 3）求部分分式中的系数； 4）部分分式型 F(z)/z F(z)； 5）利用基本形式进行逆变换，求得f(k)。
例：已知X (z)
z2
，ROC : z 2,求xn。
(z 1)(z 2)
解： Xz除以z 将 X z 展开为部分分式
在这里，zm是X(z)的极点，而A0
b0 a0
如果X(z)除了含有M个一阶极点外，在z=zi处还 含有一个s阶极点，此时X(z)应展开为
X (z)
A0
M
m1
Am z z zm
S j 1
Bjz (z zi ) j
式中Am确定方法与前相同，而Bj等于
Bj
1 (s
d s j
j)!
dz
s
j
§ 7.4 逆z变换
• 主要内容
•逆z变换的定义及推导 •求逆变换的方法
• 重点：部分分式展开法
• 难点：围线积分法和幂级数展开法
一、逆变换的定义及推导
1．z逆变换的的定义
已知z变换
X z xnzn
n0
利用围线积分得 z 逆变换公式
xn
1
2
j
X zzn1 d c
z
2.逆变换公式的推导
在 X 的z 收敛域内，选择一条包
X(z) z 2z z1 z2
z 2
右右
x(n) u(n) 2(2)nu(n)
j Imz
12
O
Rez
1 z 2
右左
x(n) u(n) 2(2)nu(n 1)
z 1
左左
x(n) u(n 1) 2(2)nu(n 1)
一般情况下，X(z)表达式为
X (z)
b0 b1z br1z r1 br z r a0 a1z ak1z k1 ak z k
对于因果序列，它的z变换收敛域为|z|>R， 为保证在z=∞处收敛，其分母多项式的阶次 不低于分子多项式的阶次，即满足k≥r。
如果X(z)只含有一阶极点，则 X (可z)以展开为
z
X (z) k Am
z
m0 z zm
Am 是X (z) 在
z
zm 处的留数
或者表示成
X
(z)
A0
k m1
Am z z zm
c
c
2
n0
根据柯西定理：
z
c
k 1
d
z
2j
0
k 0 k 0
（2）式的右边只存在m=n一项，其余均等于零。 于是（2）式变成
X zzn1
c
d
z
2jxn
xn
1
2j
c X
z z n1
d
z
二、求逆变换的方法
1 留数法（自己看） 2 幂级数展开法（自己看） 3 部分分式展开法
部分分式展开法
序列的z变换通常是z的有理数，可表示为有 理分式形式。类似于拉氏变换中部分分式展 开法，在这里，也可以先将X(z)展成一些简 单而常见的部分分式之和，然后分别求出各 部分分式的逆变换，把各逆变换相加即可得 到x(n)。