1.1.1集合的概念练习题
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(111)
一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 的值是（ ）
A．0B． C．0或 D．0或
2．已知A＝ ，0，1 }，B＝ ， ，1}，则A∪B的真子集的个数为（ ）
A．3B．7C．15D．31
3．设集合 ， ，则满足 且 的集合S的个数为（ ）
A．6个B．7个C．12个D．9个
4．已知集合 ，若 ，则a可能是（ ）
故选A
点睛：
本题考查集合交集与并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．B
解析：根据数集所表示数的分类依次判断即可
详解：
∵1是自然数,∴ ,故①正确；
∵ 是无理数,不是正整数,∴ ,故②不正确；
∵ 是有理数,∴ ,故③正确；
∵ 是实数,∴ ,所以④不正确；
∵ 是整数,∴ ,故⑤不正确.
故选：B
点睛：
2．下列集合中，不同于另外三个集合的序号是________.
① ；② ；③ ；④ .
3．设 为两个非空集合，定义集合 ．若 ， ，则 中元素的个数是_______．
4．若 ，则x=____________．
5．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”或“∉”)．
三、解答题
1．试说明下列集合各表示什么？
解析：①利用列举法求得集合 .
②由①求得集合 .
③利用列举法求得集合 .
④利用列举法求得集合 .
⑤利用列举法求得集合 .
详解：
①由9－x＞0可知，取x＝0，1，2，3，4，5，6，7，8验证，则x＝0，6，8时 ，3，9也是自然数，∴A＝0，6，8}
②由①知，B＝1，3，9}．
③∵y＝－x2＋6≤6，而x∈N，y∈N，
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念-单选专项练习(含答案及解析)
1.1 集合的概念1．定义集合运算：(){},,A B z z x x y x A y B ==-∈∈※︳，设集合 {}1,2A =，{}2,3B =，则集合 A B ※ 的所有元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B 解析：求出集合 A B ※ 的所有元素，即得解.详解：当1,2x y ==时，1(12)1z =⨯-=-；当1,3x y ==时，1(13)2z =⨯-=-；当2,2x y ==时，2(22)0z =⨯-=；当2,3x y ==时，2(23)2z =⨯-=-.所以集合 A B ※ 的共有3个元素.故选：B点睛：本题主要考查集合的新定义，考查集合的元素的互异性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．设集合M=x|x 2-3x≤0}，则下列关系式正确的是（ ）A ．2⊆MB ．2∉MC ．2∈MD ．2}∈M答案：C解析：本题已知集合M ，先将相应的不等式化简，得到集合中元素满足的条件，再看元素2是否满足条件，可得到正确选项．详解：230x x -，03x ∴， 2{|30}{|03}M x x x x x ∴=-=．又023<<，2M ∴∈．故选：C ．点睛：本题考查的是集合知识，重点是判断元素与集合的关系，难点是对一元二次不等式的化简．计算量较小，属于容易题．3．已知集合{}012M =,,，则M 的子集有（ ） A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个答案：D 解析：根据集合子集的个数计算公式求解.详解：因为集合{}012M =,,共有3个元素，所以子集个数为328=个. 故选：D.4．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：根据集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈列举求解.详解：因为集合{}1,2A =，{}2,4B =，所以集合{}2,4,8M =，故选：C5．设全集为U ，定义集合M 与N 的运算：{()*|M N x x M N =∈⋃且()}x M N ∉⋂，则()**N N M = A ．MB ．NC ．U MN D ．U N M答案：A 解析：先由题意得出*N M 表示区域，再由题中的定义，即可得出()**N N M 表示的区域，从而可得出结果.详解：如图所示，由定义可知*N M 为图中的阴影区域，()**N N M ∴为图中阴影Ⅰ和空白的区域，即()**N N M M =.故选A.点睛：本题主要考查集合的交集与并集的应用，熟记概念即可，属于常考题型.6．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D解析：①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆；②根据42c n =+，证明42n M ，即c M ∉；③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈．详解：解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈，对于①，21b n =+，n Z ∈，则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M ⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈， 若42n M ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n， 42()()n x y x y ∴+=+-， 又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则2222121122()()a a x y x y =--222212121221()()()()x x y y x y x y =+--2212121221()()x x y y x y x y M =+-+∈那么12a a M ∈，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选D ．点睛：本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．7．已知集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}b T x x a b A a b a ==∈>，则集合T 中元素的个数为A ．9B ．10C ．11D ．12答案：C解析：先阅读题意，再写出集合T 即可.详解：解：由集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}b T x x a b A a b a ==∈>， 则11213123415,,,,,,,,,,23344555566T ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 则集合T 中元素的个数为11，故选C.点睛：本题考查了元素与集合的关系，重点考查了阅读能力，属基础题.8．关于集合下列正确的是（ ）A ．0∈∅B ．0N ∉C ．{}0∅∈D ．0Q ∈答案：D解析：根据元素和集合的关系进行判断即可．详解：解：0∈∅，故A 错；0N ∈，故B 错，{}0∅⊆，故C 错，0Q ∈，故D 正确.故选：D点睛：本题主要考查元素和集合关系的判断，比较基础，正确理解N ，Z ，R ，集合的意义是解决本题的关键．9．下列关系中正确的个数是（ ）①12Q ∈ R ③*0N ∈ ④π∈ZA ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：根据集合的概念、数集的表示判断．详解：120不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确． 故选：A ．点睛：本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．10．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．9答案：B解析：由,,x M y M x y M ∈∈+∈即可求解满足题意的点(),x y 的坐标.详解：解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3.故选：B.11．设集合{}12|M x x =<<，{}|3N x x =<，则集合M 和集合N 的关系是（ ）A ．N M ∈B ．M N ∈C ．M N ⊆D ．N M ⊆答案：C解析：由子集的概念进行判断结合选项得出答案．详解：集合{}12|M x x =<<中的每一个元素都是集合{}|3N x x =<中的元素，∴集合M 是集合N 的子集 故选：C12．对于任意两个正整数m 、n ，定义某种运算，当m 、n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ∆=+；当m 、n 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，m n mn ∆=.则在上述定义下，(){}**,36,,M x y x y x y =∆=∈∈N N ，集合M 中元素的个数为（ ） A ．40B ．48C ．39D ．41答案：D 解析：分x 、y 都为正偶数或正奇数和x 、y 中一个为正奇数，另一个为正偶数，两种情况，根据运算列举求解.详解：当x 、y 都为正偶数或正奇数时，36x y x y ∆=+=，集合M 中的元素有()()()()()()1,35,2,34,3,33,4,32,...,34,2,35,1，共35个；当x 、y 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，36x y x y ∆=⋅=，，集合M 中的元素有()()()()()()1,36,3,12,4,9,9,4,36,1,12,3共6个，所以集合M 中元素的个数为35641+=，故选：D点睛：本题主要考查集合的概念和表示方法，属于基础题.13．已知元素a∈0，1，2，3}，且a ∉1，2，3}，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：A解析：由题意，根据集合中元素与集合的关系，即可求解，得到答案.详解：由题意，元素a∈0，1，2，3}，且a ∉1，2，3}， ∴a 的值为0．故选A ．点睛：本题主要考查了集合中元素与集合的关系的应用，其中解答中牢记集合的元素与集合的关系，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.14．已知集合1{|,Z}24k M x x k ==+∈,*1{|,N }42k N x x k ==+∈,若0x M ∈,则0x 与N 的关系是（ ）A ．0x N ∈或0x N ∉B ．0x N ∈C ．0x N ∉D ．不能确定答案：A解析：用列举法表示集合,M N ,最后可以选出正确答案.详解：131357{|,Z},,,,,2444444k M x x k ⎧⎫==+∈=--⎨⎬⎩⎭, *1353{|,N },1,,,42442k N x x k ⎧⎫==+∈=⎨⎬⎩⎭,当01,4x M =-∈但0x N ∉, 当03,4x M =∈有0x N ∈.故选：A点睛：本题考查了列举法表示集合,考查了元素与集合的关系,属于基础题.15．已知,,a b c 均为非零实数，集合{|}a b ab A x x a b ab ==++，则集合A 的元素的个数为． A ．2B ．3C ．4D ．5答案：A解析：当0a >，0b >时，1113a b ab x a b ab =++=++=；当0a >，0b <时，1111ab ab x a b ab =++=--=-，当0a <，0b >时，1111a b ab x a b ab=++=-+-=-，；当0,0a b <<时，1111ab ab x a b ab =++=--+=-，故x 的所有值组成的集合为{}1,3-，故选A. 16．若集合A ＝x|kx 2＋4x ＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k 的值为( )A ．1B ．0C ．0或1D ．以上答案都不对答案：C解析：当k ＝0时，A ＝－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k ＝0，k ＝1.故k ＝0或k ＝1.选C.17．集合M ＝(x ，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集答案：D详解：根据描述法表示集合的特点，可知集合表示的是横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内.选D.点睛：集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．其中描述法要注意代表元素，是点集还是数集18．定义集合A 、B 的一种运算：{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中，若{1,2,3,5}A =， {1,2}B =，则A B *中的所有元素之和为为 A ．30B ．31C ．32D ．34答案：B详解： 试题分析：由{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中可知{}1,2,3,5,4,6,10A B *=，所以所有元素之和为31考点：集合运算19．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A ，则A 中的元素个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7答案：B解析：列举出集合A 中的元素，由此可得出结论.详解：由题意可知，集合A 中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个元素. 故选：B.20．已知集合{}21,A a =，实数a 不能取的值的集合是（ ） A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}1,0,1-D ．{}1答案：A 解析：根据元素的互异性可得出关于实数a 的不等式，由此可求得结果. 详解：由已知条件可得21≠a ，解得1a ≠±.故选：A.。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(158)
1.1 集合的概念一、单选题1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数π相差很小的全体实数 答案：B解析：根据集合定义与性质一一判断即可. 详解：A 中对象不确定，故错；B 中对象可以组成集合；C 中视力比较好的对象不确定，故错；D 中相差很小的对象不确定，故错. 故选：B2．若用列举法表示集合27(,)2y x A x y x y ⎧⎫-=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭，则下列表示正确的是（ ） A ．{1,3}x y =-= B ．{(-1,3)} C ．{3,-1} D ．{-1,3}答案：B解析：由题意知，集合A 代表点集，解方程组即可求解. 详解：由272y x x y -=⎧⎨+=⎩可得13x y =-⎧⎨=⎩， 用列举法表示为：{(-1,3)}， 故选：B.3．已知集合{1}A x Nx k =∈<<∣，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．3k > B ．3k ≥ C ．4k > D ．4k ≥答案：C解析：由集合A 中至少有3个元素，即可得到k 的取值范围. 详解：解：{1}A x Nx k =∈<<∣且集合A 中至少有3个元素，4k ∴>.故选：C.4．设数集31{|},{|}43M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤，且M 、N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{|}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M∩N 的“长度”的最小值是 A ．13B ．23C ．112D ．512答案：C 详解：试题分析：根据题意，M 的长度为34，N 的长度为13，当集合M∩N 的长度的最小值时， M 与N 应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N 的长度的最小值是31114312+-=，故选C ． 考点：新定义；集合运算5．已知集合{|21,}A x x m m ==-∈Z ，{|2,}B x x n n ==∈Z ，且123,,x x A x B ∈∈，则下列判断不正确的是（ ） A ．12x x A ⋅∈ B ．23x x B ⋅∈ C ．12x x B +∈ D ．123x x x A ++∈答案：D解析：集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，所以12,x x 是奇数，3x 是偶数，奇数加奇数为偶数可判断D 选项错误. 详解：集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集， ∴12,x x 是奇数，3x 是偶数，∴12x x ⋅为奇数，23x x ⋅为偶数，12x x +为偶数，123x x x ++为偶数. 故选：D 点睛：本题考查元素与集合的关系，解题的关键是充分运用奇数、偶数相加或相乘的性质，属于基础题.6．已知集合(){}21220A x R a x x =∈+-+=,且A 中只有一个元素,则实数a 的值为A ．12- B ．0或12C ．1-D ．1-或12-答案：D解析：由条件可得方程()21220a x x +-+=只有一个实数解，对二次项系数是否为0，结合根的判别式，即可求解. 详解：A 中只有一个元素，所以方程()21220a x x +-+=只有一个实数解，当10,1a a +==-时，方程为220,1x x -+==，满足题意； 当10,1a a +≠≠-时，148(1)840,2a a a ∆=-+=--==-， 所以1a =-或12a =-. 故选:D. 点睛：本题考查集合的表示，以及对集合元素的理解，属于基础题. 7．下列关系正确的是( ) A ．3∈y|y＝x 2＋π，x∈R} B ．(a ，b)}＝(b ，a)} C ．(x ，y)|x 2－y 2＝1}(x ，y)|(x 2－y 2)2＝1} D ．x∈R|x 2－2＝0}＝答案：C解析：试题分析：2{y |y x x R}{y |y }ππ∈≥＝＋，＝， ∵3＜π，∴23{y |y x π∉＝＋｝. (a ，b)}与(b ，a)}中元素不相同， ∴(a，b)}与(b ，a)}不一定相等.(x ，y)|(x 2－y 2)2＝1}＝(x ，y)|x 2－y 2＝1或x 2－y 2＝－1}， ∴C 是正确的.x∈R|x 2－2＝0}＝2，－2}≠.考点：元素与集合、集合与集合的关系 点评：此类问题要先确定集合，再进行判断． 8．集合3，x ，x 2–2x}中，x 应满足的条件是（ ） A ．x≠–1B ．x≠0C ．x≠–1且x≠0且x≠3D ．x≠–1或x≠0或x≠3答案：C解析：利用集合元素的互异性求解. 详解：集合3，x ，x 2–2x}中，x 2–2x≠3，且x 2–2x≠x，且x≠3， 解得x≠3且x≠–1且x≠0， 故选：C ．9．下列关系中*102Q R N Z π∈∈∈①，③④，正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B解析：根据元素与集合的关系进行判断. 详解：解：对于①：12是一个有理数，Q 是有理数集，12Q ∴∈；故①正确．R 是实数集；R ；故②正确．对③：0是一个自然数，但不是正整数，*N 是正整数集，*0N ∴∉；故③错误． 对于④：π是实数但不是整数，Z 是整数集，Z π∴∉； 故④错误； 故正确的有2个 故选：B ． 点睛：本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题 10．下列四个集合中，不同于另外三个的是（ ） A ．{}2y y = B ．{}2x = C ．{}2D ．{}2440x x x -+=答案：B解析：选项A ，C ，D 中元素都是实数2，而选项B 中元素为等式2x =，即可得到答案. 详解：对选项A ，{}{}22y y ==，元素为实数2； 对选项B ，{}2x =，元素为等式2x =； 对选项C ，{}2，元素为实数2；对选项D ，{}{}24402x x x -+==，元素为实数2.故选：B 点睛：本题主要考查集合的概念，属于简单题. 二、填空题1．已知集合A=1，2，3，4，5，6，7}，则集合{|,,,}2x B x x a b a A b A N +==⨯∈∈∈中元素的个数为_____．答案：15解析：试题分析：B 表示任取的两个元素a ，b （a ，b 可以相同）之积为偶数的集合，又1×6=2×3，3×4=2×6，1×4=2×2，所以集合B 的元素的个数为11124333315C C C C ++-=．故答案是：15．考点： 元素与集合关系的判断．2．已知集合{}2|210,A x ax x x R =++=∈的子集只有两个，则a 的值为 ．答案：0或1 详解：因为集合{}2|210,A x ax x x R =++=∈的子集只有两个，所以中只有一个元素，0a =合题意， 4401a a ∆=-=⇒=，所以．3．2{|420}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是___________.答案：{|2a a 或0}a =解析：由集合A 为方程的解集，根据集合A 中至多有一个元素，转化为方程至多有一个解求解. 详解：当0a =时，方程2420ax x -+=，即为12x =，1{}2A =，符合题意； 当0a ≠时，因为2420ax x -+=至多有一个解， 所以△1680a =-， 解得2a ，综上，a 的取值范围为：2a 或0a =. 故答案为：{|2a a 或0}a =. 点睛：本题主要考查集合元素的个数以及方程的解，还考查了分类讨论思想，属于基础题. 4．用描述法表示被4除余3的正整数集合：______．答案：x|x ＝4n+3，n∈N}解析：设该数为x ，则该数x 满足x ＝4n+3，n∈N；再写成集合的形式. 详解：设该数为x ，则该数x 满足x ＝4n+3，n∈N； ∴所求的正整数集合为x|x ＝4n+3，n∈N}． 故答案为：x|x ＝4n+3，n∈N}． 点睛：本题主要考查集合的表示方法，属于基础题.5．数集{}22,a a a -中a 的取值范围是___________()a ∈R .答案：(,0)(0,3)(3,)-∞⋃⋃+∞解析：由集合的互异性可得22a a a ≠-,计算可得a 不能取得的取值,再表示出a 的取值范围即可. 详解：由集合的互异性可知,22(3)0a a a a a ≠-⇒-≠,所以0a ≠且3a ≠, 故(,0)(0,3)(3,)a ∈-∞⋃⋃+∞. 故答案为：(,0)(0,3)(3,)-∞⋃⋃+∞. 点睛：本题主要考查集合中元素的互异性,最后的答案可以写成集合或者区间的形式. 三、解答题1．已知集合A ＝x∈R|ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A.答案：1,13A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭解析：把1代入方程求得a ，然后再解方程得解集． 详解：∵1是集合A 中的一个元素，∴1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根，∴a×12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3.方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∴集合A ＝－13，1}.故答案为：1,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．点睛：本题考查集合的概念，属于简单题． 2．已知3,⎛⎝⎭和都是集合{}22(,)|1A x y ax by =-=中的元素,求实数,a b 的值.答案：1,14a b ==解析：把3,⎛ ⎝⎭和代入方程221ax by -=列出方程组，即可求出实数,a b 的值. 详解：由题：3,⎛ ⎝⎭和都是集合{}22(,)|1A x y ax by =-=中的元素,所以3,⎛ ⎝⎭和满足方程221ax by -=， 59141631a b a b ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以1,14a b ==. 点睛：此题考查根据集合中的元素求参数的值，关键在于准确代值列出方程组，解方程组即可得解. 3．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()()R R ()(),,R R A B A B A B A B ⋃⋂⋂⋃，.答案：(){|2R A B x x ⋃=≤或10},(){|3R x A B x x ⋂=<或7}x ，(){|23R A B x x ⋂=<<或710}x <，(){|2R A B x x ⋃=或37x <或10}x解析：直接根据交集，并集和补集的运算法则得到答案. 详解：{|210},{|37}A B x x A B x x ⋃=<<⋂=≤<，{|3RA x x =<或 7}x ≥，{|2RB x x =≤或10}x ≥，(){|2R A B x x ∴⋃=≤或10},(){|3R x A B x x ≥⋂=<或7}x ≥，(){|23R A B x x ⋂=<<或710}x ≤<，(){|2R A B x x ⋃=≤或37x ≤<或10}x ≥.点睛：本题考查了交并补的混合运算，意在考查学生的计算能力. 4．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ (1){|}P PA PB =(A,B 是两个不同定点)； (2){|3}P PO cm =(O 是定点)答案：(1)线段AB 的垂直平分线；(2)以点O 为圆心,3cm 长为半径的圆. 解析：(1)PA PB =指平面内到,A B 距离相等的点的集合； (2)3PO cm =指平面内到定点O 的距离为3cm 的点的集合． 详解：(1) PA PB =指平面内到,A B 距离相等的点的集合，这样的点在线段AB 的垂直平分线上，即集合的点组成的图形是线段AB 的垂直平分线；(2) 3PO cm =指平面内到定点O 的距离为3cm 的点的集合，这样的点在以O 为圆心，以3cm 为半径的圆上，即集合的点组成的图形是以点O 为圆心,3cm 长为半径的圆． 点睛：本题考查描述法表示集合，是基础题． 5．用区间表示下列的集合{|12}x x -<≤ 1{|}6x x -≤<- {|7}x x < {}|3x x ≥ {} 5|2x x ≤≤答案：(12]-，；[61)-，；(7)-∞，；[3)+∞，；[2]5， 解析：由集合的意义及区间的定义直接写出每个集合的区间表达形式. 详解：{|12}x x -<≤的区间表达为(12]-，; 1{|}6x x -≤<-的区间表达为[61)-，; {|7}x x <的区间表达为(7)-∞，; {}|3x x ≥的区间表达为[3)+∞， ; {} 5|2x x ≤≤的区间表达为[2]5，. 点睛：本题考查集合与区间的转换，属于基础题.。
1.1.1 集合的概念与表示(北师大版2019必修第一册)分册训练解析版
1.1.1集合的概念与表示分层练习基础巩固一、单选题1．已知M 是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M 可表示为（ ） A ．{x |x =1} B ．{x |x =2} C ．{1，2} D ．{1，2，3}【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的知识确定正确选项. 【详解】由于集合M 是由1,2,3三个元素构成， 所以{}1,2,3M =. 故选：D2．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ） A ．某班视力较好的同学 B ．长寿的人 C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义分析判断即可. 【详解】对于A ，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于B ，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于C ，π 的近似值没有明确近似到小数点后面几位， 不是明确的定义，故不能构成集合；对于D ，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合； 故选：D.3．已知集合{}0,1A =，则集合{},B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据,x A x B ∈∈，所以x y -可取1,0,1-，即可得解. 【详解】由集合{}0,1A =，{},B x y x A y A =-∈∈， 根据,x A y B ∈∈， 所以1,0,1x y -=-， 所以B 中元素的个数是3. 故选：C4．已知集合()(){}110A x x x x =-+=，则A =（ ） A ． {}0,1 B ． {}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-【答案】D 【解析】 【分析】通过解方程进行求解即可. 【详解】因为(1)(1)00x x x x -+=⇒=，或1x =-，或1x =， 所以{}1,0,1A =-， 故选：D5．给出下列四个关系：π∈R ， 0∉Q ，0.7∈N ， 0∈∅，其中正确的关系个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】 【分析】根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系. 【详解】∵R 表示实数集，Q 表示有理数集，N 表示自然数集，∅表示空集， ∴π∈R ，0∈Q ，0.7∉N ，0∉∅， ∴正确的个数为1 . 故选:D .6．已知{1}A x x m =∈-<Z ∣，若集合A 中恰好有5个元素，则实数m 的取值范围为（ ）A ．4<m ≤5B ．4≤m<5C ．3≤m<4D ．3<m ≤4【答案】D 【解析】 【分析】由已知求出集合A ，进一步得到m 的范围. 【详解】由题意可知{}1,0,1,2,3A =-，可得3<m ≤4. 故选：D 二、多选题7．给出下列说法，其中正确的有（ ） A ．中国的所有直辖市可以构成一个集合；B ．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；C ．正偶数的全体可以构成一个集合；D ．大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的确定性依次判断每个选项得到答案. 【详解】中国的所有直辖市可以构成一个集合，A 正确；高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B 错误； 正偶数的全体可以构成一个集合，C 正确；大于2 011且小于2 016的所有整数能构成集合，D 错误. 故选：AC.8．已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值可能是（ ）A ．98B ．1C ．0D ．23【答案】AC 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论，结合A 有且只有一个元素求得a 的值. 【详解】当0a =时，{}2|3203A x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，符合题意.当0a ≠时，9980,8a a ∆=-==，符合题意.故选：AC 三、填空题9．用符号∈或∉填空：3.1___N ，3.1___Z ， 3.1____*N ，3.1____Q ，3.1___R . 【答案】 ∉ ∉ ∉ ∈ ∈ 【解析】 【分析】由元素与集合的关系求解即可 【详解】因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数， 所以有：3.1N ∉；3.1Z ∉；*3.1N ∉；3.1Q ∈；3.1R ∈. 故答案为：∉，∉，∉，∈，∈.10．设集合{}1A x xy xy =-，，，其中x ∈Z ，y Z ∈且0y ≠，若0A ∈，则A 中的元素之和为_____. 【答案】0 【解析】 【分析】根据元素与集合间的关系，列方程求解. 【详解】因为0A ∈，所以若0x =，则集合{}0,0,1A =-不成立．所以0x ≠． 若因为0y ≠，所以0xy ≠，所以必有0xy -1=，所以1xy =． 因为x ∈Z ，y Z ∈，所以1x y ==或1x y ==-． 若1x y ==，此时{}1,1,0A =不成立，舍去．若1x y ==-，则{}1,1,0A =-，成立．所以元素之和为1100-+=． 故答案为：0. 四、解答题11．设集合{}22,3,42A a a =++，集合{}20,7,42,2B a a a =+--，这里a 是某个正数，且7A ∈，求集合B ． 【答案】B ＝{0，7，3，1}． 【解析】 【分析】解方程2427a a ++=即得解. 【详解】解：由题得2427a a ++=， 解得1a =或5a =-. 因为0a >，所以1a =. 当1a =时， B ＝{0，7，3，1}. 故集合B ＝{0，7，3，1}．12．判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由． (1)北京各区县的名称； (2)尾数是5的自然数；(3)我们班身高大于1.7m 的同学． 【答案】(1)能；有限集； (2)能；无限集； (3)能；有限集. 【解析】 【分析】根据集合的基本概念即得. (1)因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集； (2)因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集； (3)因为我们班身高大于1.7m 的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m 的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m 的同学是有限的，故该集合为有限集.培优提升一、单选题1．定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素. 【详解】因为2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，{}1,0A =-，{}1,2B =， 所以{0,1,2}A B ⊗=--， 故集合A B ⊗中的元素个数为3， 故选：C.2．若{}22,a a a ∈-，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】分别令2a =和2a a a =-，根据集合中元素的互异性可确定结果. 【详解】若2a =，则22a a -=，不符合集合元素的互异性；若2a a a =-，则0a =或2a =（舍），此时{}{}22,2,0a a -=，符合题意；综上所述：0a =. 故选：A.3．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式||||||||x y z xyz x y z xyz +++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ） A ．4∈M B ．2M ∈ C ．0M ∉ D ．4M -∉【答案】A 【解析】【分析】分别对x ，y ，z 的符号进行讨论，计算出集合M 的所有元素，再进行判断. 【详解】根据题意，分4种情况讨论；①、x y 、、z 全部为负数时，则xyz 也为负数，则4||||||||x y z xyz x y z xyz +++=-； ②、x y 、、z 中有一个为负数时，则xyz 为负数，则0||||||||x y z xyz x y z xyz +++=； ③、x y 、、z 中有两个为负数时，则xyz 为正数，则0||||||||x y z xyz x y z xyz +++=； ④、x y 、、z 全部为正数时，则xyz 也正数，则4||||||||x y z xyz x y z xyz +++=； 则{4,0,4}M =-；分析选项可得A 符合． 故选：A. 二、填空题4．集合12ZZ 3A x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭∣，的元素个数为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据集合得表示可知：3x + 是12的因数，即可求解. 【详解】由12ZZ 3A x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭∣，可知，3x + 是12的因数，故31,2,3,4,6,12x +=±±±±±± ，进而可得x 可取0,1,3,9,1,2,4,5,6,7,9,15--------，故答案为：125．若集合{}2210A xax x =-+=∣有且只有一个元素，则a 的取值集合为__________． 【答案】{}0,1##{}1,0 【解析】 【分析】讨论集合A 中的条件2210ax x -+=属于一次方程还是二次方程即可求解. 【详解】①若0a =，则210x -+=，解得12x =，满足集合A 中只有一个元素，所以0a =符合题意；②若0a =/，则2210ax x -+=为二次方程，集合A 有且只有一个元素等价于2=(2)410a --⨯⨯=∆，解得1a =.故答案为：{}0,1. 三、解答题6．已知{}2|20,R M x ax x x =-+=∈．根据下列条件，求实数a 的值构成的集合．(1)当M =∅；(2)当M 是单元素集（只含有一个元素的集合）； (3)当M 是两个元素的集合. 【答案】(1)1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)1,08⎧⎫⎨⎬⎩⎭(3)1,08a a a ⎧⎫<≠⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）由判别式小于0可得（方程为一元二次方程）； （2）由二次项系数为0或一元二次方程的判别式为0柯得； （3）由方程为一元二次方程，且判别式大于0可得． (1)M =∅，180a ∆=-<，18a >，所以a 的范围是1(,)8+∞；(2)0a =时，{2}M =，满足题意，180a ∆=-=，18a =，此时{4}M =，满足题意，(3)由题意方程有两个不等实根，0a ≠且0∆>，解得18a <且0a ≠，所以a 的范围是1{|8a a <，0}a ≠．拓展创新1．已知集合2{,}A m m =，若1A ∈，则实数m 的值是__________ 【答案】1-【解析】 【分析】由1A ∈，分1m =，21m =两种情况讨论，结合集合中元素的互异性分析，即得解 【详解】 由题意，1A ∈（1）若1m =，则{1,1}A =，和集合中元素的互异性矛盾，不成立； （2）若21m =，则1m =±，由（1）1m ≠ 若1m =-，则{1,1}A =-，1A ∈，成立 故实数m 的值是1- 故答案为：1- 2．已知*k N ∈，记集合{1101100112222,1,,,,01}k k k k k k k A x x a a a a a a a a ---==⨯+⨯++⨯+⨯==或，例如{{}110102,1,01}2,3A x x a a a a ==+===或，…．现有一款名称为“解数学题获取软件激活码”网络游戏，它的激活码为集合A 2的各元素之和，则该游戏的激活码为________． 【答案】22 【解析】 【分析】由已知得{22102104+2+,1,,0A x x a a a a a a ====或}1，由此求得集合{}24,5,6,7A =，故而可得答案. 【详解】解：由已知得{22102104+2+,1,,0A x x a a a a a a ====或}1， 所以当100a a ==时，41+0+04x =⨯=； 当1010a a ==，时，41+21+06x =⨯⨯=； 当1001a a ==，时，41+20+115x =⨯⨯⨯=， 当1011a a ==，时，41+21+117x =⨯⨯⨯=，所以{}24,5,6,7A =，该游戏的激活码为4+5+6+722=， 故答案为：22.3．已知集合{}0,2A =，()()(){}21110B x ax x x ax =---+=，用符号A 表示非空集合A中元素的个数，定义,,A B A BA B B A A B ⎧-≥=⎨-<⎩※，若1A B =※，则实数a 的所有可能取值构成集合P ，则P =______．（请用列举法表示） 【答案】{}0,1,2- 【解析】 【分析】由集合的新定义结合题意求出a 的值，再用列举法表示即可 【详解】∵2A =，1A B =※， ∴1B =或3B =， 当1B =时，0a =或1a =.当3B =时，()()()21110ax x x ax ---+=有3个解，所以210x ax -+=只有一个解不为1和1a， 则240a ∆=-=，解得2a =±，当2a =时，2210x x -+=，则此时1x =，不符合题意； 当2a =-时，2210x x ++=，则此时1x =-，符合题意； 所以2a =-，11,,12B ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，故{}0,1,2P =-. 故答案为：{}0,1,2-．4．用()C A 表示非空集合A 中元素的个数：定义()(),()()*()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C B C A -≥⎧=⎨->⎩，若{1,2}A =，{}22()(2)0,B x x ax x ax x R =+++=∈，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，S =__________； 【答案】{0,22,2}- 【解析】 【分析】根据新定义得出集合B 中元素个数，再由方程根的个数分析求解． 【详解】由已知()2C A =，而*1A B =，则()1C B =或3，试卷第11页，共11页 11显然22()(2)0x ax x ax +++=的一个解是0x =， 若()1C B =，则0a =，满足题意；若()3C B =，则0a ≠，方程已有两个根0x =和x a =-，220x ax ++=有两个相等的实根且不为0和a -，280a ∆=-=，22a =±22a =220x ax ++=的解为342x x ==- 22a =-220x ax ++=的解为342x x ==．均满足题意． 综上{0,2,22}S =-． 故答案为：{0,2,2}-．12 试卷第12页，共1页。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(143)
1.1 集合的概念一、单选题1．下列关系正确的是（ ）A ．{}10,1∉B ．{}10,1⊆C ．{}10,1∈D ．{}{}10,1∈答案：C解析：利用元素与集合的关系逐项判断后可得正确的选项.详解：对于A ，{}10,1∈，故A 错.对于B ，{}10,1∈，故B 错.对于C ，因为1为集合中的元素，故C 正确.对于D ，{}1不是{}0,1中的元素，故D 错.故选：C.2．已知集合22{(,)|}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈4，，，则A 中元素的个数为（）A ．15B ．14C ．13D ．12答案：C解析：根据列举法，确定圆及其内部整点个数即可得出结果.详解：224x y +≤24x ∴≤，x Z ∈2,1,0,1,2x ∴=--，当2x =-时，0y =；当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，2,1,0,1,2y =--当1x =时，1,0,1y =-；当2x =时，0y =；所以共有13个，故选：C.3．集合x∈N*|x–3<1}用列举法可表示为A ．0，1，2，3}B ．0，1，2，3，4}C ．1，2，3}D ．1，2，3，4}答案：C 解析：解不等式求得x 的范围，再用列举法求得对应的集合.详解：由31x -<解得4x <，由于x N *∈，所以1,2,3x =，故集合为{}1,2,3，故选C.点睛：本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查列举法表示集合，属于基础题.4．若{}212,x x ∈+，则实数x 的值为 A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1或3答案：B 解析：分类讨论21x +=或21x =，求出x ，检验即可.详解：因为{}212,x x ∈+，所以21x +=或21x =，所以1x =或1x =-， 当1x =-时，22x x +=，不符合题意，所以1x =-舍去；故以1x =，选B点睛：本题主要考查元素与集合之间的关系，注意集合中元素的互异性，属于基础题型.5．下列各项中，能组成集合的是（ ）A ．高一（3）班的好学生B ．嘉兴市所有的老人C ．不等于0的实数D ．我国著名的数学家答案：C解析：根据集合中的元素具有确定性可得选项.详解：∵对于A 、B 、D 选项中“高一（3）班的好学生”、“嘉兴市所有的老人”、“我国著名的数学家”标准不明确，即元素不确定．∴A、B 、D 选项不能构成集合．故选:C ．点睛：本题考查集合的元素的特征之一：确定性，属于基础题.6．下列写法正确的是（ ）A ．∅ {}0B ．0 ∅C ．{}0∅∈D ．0∈∅答案：A解析：根据空集定义、空集为任意非空集合真子集、元素与集合关系、集合与集合之间的关系的表示方法依次判断各个选项即可得到结果.详解：空集是任意非空集合的真子集，故∅ {}0，A 正确；元素与集合关系不能用“包含”符号，B 错误；集合与集合关系不能用“属于”符号，C 错误；空集中不含有任何元素，故0∉∅，D 错误.故选：A点睛：本题考查集合中元素与集合、集合与集合之间的关系的辨析，属于基础题.7．已知集合{|2,},{|22}A x x k k Z B x x ==∈=-≤≤，则A B =（ ）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．{0,2}D ．{2,0,2}-答案：D解析：根据集合的交集的概念及运算，即可求得A B ，得到答案.详解：由题意，集合{|2,},{|22}A x x k k Z B x x ==∈=-≤≤，根据集合的交集的概念及运算，可得{2,0,2}A B =-.故选：D.点睛：本题主要考查了集合的表示方法，以及集合交集的概念及运算，属于基础题.8．以下说法中正确的个数是①0与{}0表示同一个集合；②集合{}3,4M =与(){}3,4N =表示同一个集合； ③集合{}45x x <<不能用列举法表示．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B 解析：①中，0表示一个实数，{}0表示同一个集合，可判定不正确；②中，根据集合表示的意义，可判定是不正确的；③中，集合{}45x x <<是一个无限数集，可判定是正确的，即可求解.详解：由题意，可得①中，0表示一个实数，{}0表示同一个集合，所以不正确；对于②中，根据集合的表示方法，可得{}3,4M =表示数集，(){}3,4N =表示点集,所以不正确； 对于③中，集合{}45x x <<是一个无限数集且无规律，不能用列举法表示，所以是正确的. 故选B.点睛：本题主要考查了集合的概念，以及集合的表示方法，其中熟记集合的概念，以及集合的表示方法是解答的关键.9．设集合{1A =，2，3，4}，{3B =，4，5，6，7}，集合{|M x x B =∈且}x A ∉，则M =（ ）A ．{}1,2B ．{}3,4C ．{5，6，7}D ．{3，4，5，6，7}答案：C解析：直接利用已知{|M x x B =∈且}x A ∉，依次验证元素，即可得到答案．详解：解：因为集合{|M x x B =∈且}x A ∉，所以M 中的元素在B 集合中，但是该元素不在A 集合中，因为{3B =，4，5，6，7}，依次检验元素，可得元素5，6，7满足题意，所以{5,6,7}M =．故选：C ．点睛：本题主要考查元素与集合的关系，考查集合的新定义与运算，考查学生推理能力，属于基础题．10．把集合{}2450x x x --=用列举法表示为（ ） A ．{}1,5x x =-= B ．{}15x x x =-=或C ．{}245=0x x --D ．{}1,5-答案：D解析：先解方程，再用列举法表示.详解：24501x x x --=∴=-或5x = 所以{}2450x x x --=={}1,5-故选：D点睛：本题考查列举法，考查基本求解能力，属基础题.二、填空题1．已知非空集合{}|1A x ax ==，则a 的取值范围是____________．答案：0a ≠详解：略2．（上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模））已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是_________．答案：2解析：由题，若32,m -= 则1,m = 此时B 集合不符合元素互异性，故1;m ≠若31,2,m m -==则符合题意；若33,0,m m -==则不符合题意.故答案为23．方程组26x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为__________.答案：(){}4,2-解析：先求出方程组的解，根据列举法，可直接得出结果.详解：由26x y x y +=⎧⎨-=⎩解得42x y =⎧⎨=-⎩， 则方程组26x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为(){}4,2-. 故答案为：(){}4,2-.点睛：本题主要考查列举法表示集合，属于基础题型.4．设集合{}24,21,A a a =--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9，则实数a 的值为______．答案：3-解析：先通过已知可得219a -=或29a =，解方程求出a ，然后带入集合验证，满足互异性即可.详解：∵{}24,21,A a a =--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9， ∴219a -=或29a =．当219a -=时，5a =，此时{}4,9,25A =-，{}9,0,4B =-，A ，B 中还有公共元素4-，不符合题意；当29a =时，3a =±，若3a =，{}9,2,2B =--，集合B 违背互异性．若3,{4,7,9},{9,8,4},{9}a A B A B =-=--=-=，∴3a =-．故答案为：3-．点睛：本题考查元素与集合的关系，以及集合中元素的互异性，是基础题.5．用列举法表示集合{}220,x x x x R -=∈为__________________.答案：{}0,2解析：解出集合中的方程，然后用列举法表示出来.详解： 解：{}{}220,0,2x x x x R -=∈=，故答案为{}0,2.点睛：本题考查集合的表示，列举法，是基础题.三、解答题1．用适当的方法表示下列集合：（1）已知集合P ＝x|x ＝2n ，0≤n≤2且n∈N}；（2）抛物线y ＝x 2－2x 与x 轴的公共点的集合；（3）直线y ＝x 上去掉原点的点的集合.答案：答案见解析解析：（1）用列举法即可求得集合的元素；（2）直接用描述法表示公共点的集合；（3）用描述法即可表示.详解：（1）因为02,n n N ≤≤∈，则0,2,4x =，故用列举法表示为：P ＝0，2，4}.（2）直接用描述法表示为：()22{,|}0y x x x y y ⎧=-⎨=⎩. （3）描述法：(x ，y)|y ＝x ，x≠0}.点睛：本题考查集合的表示方法，选择适当的方法即可，属简单题.2．已知集合{|1A x x =≤-或}5x ≥，{}22B x a x a =≤≤+.（1）若1a =-，求A B 和A B ；（2）若A B B =，求实数a 的取值范围.答案：（1）{}21x x -≤≤-，{|1x x ≤或}5x ≥；（2）(](),32,-∞-⋃+∞.解析：（1）先求出集合B ，再求A B 和A B 得解；（2）由题得B A ⊆，再对集合B 分两种情况讨论得解.详解：（1）若1a =-，则{}21B x x =-≤≤，{}21A B x x ∴⋂=-≤≤-，{|1A B x x ⋃=≤或}5x ≥.（2）A B B =，B A ∴⊆.①若B =∅，则22a a >+，2a ∴>；②若B ≠∅，则2,21a a ⎧⎨+-⎩或2,25,a a ⎧⎨≥⎩3a ∴≤-. 综上，实数a 的取值范围为(](),32,-∞-⋃+∞.点睛：本题主要考查集合的交集、补集运算，考查根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知(){}2210,,A x x p x x R A R +=+++=∈⋂=∅，求实数p 的取值范围.答案：()4,-+∞详解：：因为A R +⋂=∅，所以集合A 分两种情况：（1）A 为空集，即方程()2210x p x +++=无解，()2240p ∆=+-<，解得40p -<<；（2）A 非空，即方程()2210x p x +++=有两负根，()21212402010p p x x p x x ⎧∆=+≥⎪+=-+<⎨⎪⋅=>⎩，解得042p p p ≥≥-⎧⎨>-⎩或，即0p ≥， 综上，实数p 的取值范围是()4,-+∞.4．设A 为实数集，且满足条件：若a∈A，则11a-∈A(a≠1)． 求证：(1)若2∈A，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．答案：（1）见解析； （2）见解析.解析：(1) 由2∈A 得到－1∈A.由－1∈A 得到12∈A.由12∈A 得到2∈A.即得证.(2)假设a ＝11a -，则a 2－a ＋1＝0，方程无解，所以集合A 不可能是单元素集． 详解：(1)若a∈A，则11a -∈A. 又∵2∈A，∴112-＝－1∈A. ∵－1∈A，∴()111--＝12∈A.∵12∈A，∴1112-＝2∈A. ∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11a -， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a≠11a-，∴集合A 不可能是单元素集． 点睛：本题主要考查元素与集合的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.5．用适当方法表示下列集合：（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（2﹣2|＝0的解集；（3）由二次函数y ＝3x 2+1图象上所有点组成的集合.答案：（1）1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2）1,22⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；（3）（x ，y ）|y ＝3x 2+1，x∈R}. 解析：（1）利用列举法求解即可；（2）先解出方程的解，然后利用列举法；（3）利用描述法即可详解：解：（1）当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3；当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32；当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312.由于元素个数有限，故用列举法表示为1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}.（2）由算术平方根及绝对值的意义，可知：21020x y +=⎧⎨-=⎩，解得122x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 因此该方程的解集为（﹣12，2）}.（3）首先此集合应是点集，是二次函数y＝3x2+1图象上的所有点，故用描述法可表示为（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含解析)(99)
1.1 集合的概念一、单选题1．设集合2{|2}M x R x =∈，1a =，则下列关系正确的是（ ）A ．a MB ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M2．以下六个命题中：0{0}∈；{0}⊇∅；0.3Q ∉；0N ∈；{,}{,}a b b a ⊆；{}220,xx x Z -=∈∣是空集.正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．5D ．2 3．已知集合{(2)(2)0}M x x x x =+-=∣，则M =（ ） A ．{0,2}-B ．{0,2}C ．{0,2,2}-D ．{2,2}- 4．下列集合表示正确的是A ．2，4}B ．2，4，4}C ．1，3，3}D ．漂亮女生} 5．已知集合{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+且A B ⊆，则a =A ．1B ．0C ．1-D ．2 6．设集合A ＝（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝（x ，y ）|x+y ＝1}，则A∩B 中元素的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集不能表示为． A ．()3,1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎩⎪⎪⎩⎭ B ．()1,2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭ C ．{}1,2 D ．(){},1,2x y x y ==8．下列对象能确定为一个集合的是（ ）A ．第一象限内的所有点B ．某班所有成绩较好的学生C ．高一数学课本中的所有难题D ．所有接近1的数9．给出下列关系，其中正确的个数为（ ）①0N ∈Q ⊄；③{}0=∅；④(),R =-∞+∞A ．1B ．0C ．2D ．3二、填空题1．已知集合{}2,1,0,1A =--，集合{},B y y x x A ==∈，则B =_______________.2．由||||(,)a b a b R a b +∈所确定的实数集合是________．3．给出下列关系：①12R ∈Q ；③3N *∈；④0Z ∈．其中正确的序号是______．4．若a∈1，a 2﹣2a+2}，则实数a 的值为___________.5．已知集合A=1，2，a 2-2a}，若3∈A，则实数a=______．三、解答题1．（1）已知{}221,251,1A a a a a =-+++，2A -∈，求实数a 的值； （2）已知集合{}2340A x R ax x =∈--=，若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围．2．集合{|12}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<．（1）若A B A =，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．3．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈-．若2a =，求出A 中其他所有元素．参考答案一、单选题1．D解析：先求解集合M ，即可确定a 与M 的关系．详解：解：22x ，22x，{|22}M x R x ∴=∈， 又1a =，a M ∴∈，{}a M ．故选：D.2．C解析：根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定排除得到答案.详解：根据元素与集合间的关系可判定0{0}∈、0N ∈正确，0.3Q ∉不正确，根据集合与集合之间的关系可判定{0}⊇∅、{,}{,}a b b a ⊆、{}220,x x x Z -=∈∣是空集正确. 故选：C ．3．C解析：直接利用方程的解法化简求解.详解：因为集合{(2)(2)0}{2,0,2}M xx x x =+-==-∣， 故选：C4．A解析：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，利用元素的三个特性对四个命题逐一的进行判断，能够得到答案．详解：对于选项A ，由集合的定义可知，一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合，显然A 项符合定义．故A 项正确．对于B 项和C 项，根据集合中元素的互异性可知，对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，故B 项和C 项错误．对于D 项，根据集合中元素的确定性可知，作为一个集合中的元素，必须是确定的，而D项中的元素显然不是确定的．故D项错误．点睛：本题主要考查集合的含义与表示，以及集合中元素的特性．5．A解析：由题知：12a+=，解得：1a=.详解：因为A B⊆，所以，解得：1a=.故选：A点睛：本题考查集合的子集关系，理解子集的概念是关键，属于简单题.6．C解析：可画出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出A∩B中的元素个数．详解：画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2.故选：C．点睛：考查了描述法的定义，交集的定义及运算，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于容易题．7．C解析：由方程组31x yx y+=⎧⎨-=-⎩，解得12xy=⎧⎨=⎩，得到解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解．详解：由题意，方程组31x yx y+=⎧⎨-=-⎩，解得12xy=⎧⎨=⎩，其解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，其中A，B．D项表示都是正确的，其中选项C是表示由两个元素组成的熟记，不符合要求，所以不能表示为{}1,2．故选C．点睛：本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中正确理解集合的表示方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8．A解析：根据元素是否具备确定性逐项分析即可.详解：A ．具备集合中元素的确定性，可以构成一个集合，故正确；B．“较好”不满足集合中元素的确定性，故错误；C．“难题”不满足集合中元素的确定性，故错误；D．“接近”不满足集合中元素的确定性，故错误.故选：A.点睛：本题考查集合中元素的特征，着重考查了集合中元素的确定性，难度较易.集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性.9．C解析：根据元素与集合的关系，逐一分析①②③④，即可得答案.详解：对于①：0为自然数，所以0N∈，故①正确；Q，故②错误；对于③：0含有元素0，不是空集，故③错误；对于④：R为实数集，所以④正确；故选：C二、填空题1．{}0,1,2解析：根据题意，由列举法，即可得出结果.详解：因为{}2,1,0,1A =--， 所以{}{},0,1,2B y y x x A ==∈=. 故答案为：{}0,1,2.点睛：本题主要考查列举法表示集合，属于基础题型.2．{}202-，， 解析：根据a b 、的正负性分类讨论进行求解即可.详解：当0,0a b >>时，||||2a b a b a b a b +=+=； 当0,0a b ><时，||||0a b a b a b a b +=-=； 当0,0a b <>时，||||0a b a b a b a b +=-+=； 当0,0a b <<时，||||2a b a b a b a b+=--=-， 故答案为：{}202-，，3．①③④解析：根据元素与集合间的关系和特殊集合：有理数集，自然数集，整数集，实数集所含的元素可得选项.详解： 对于①: 12是分数，所有的分数都是实数，故①正确；对于③：3是自然数，故③正确；对于④：0是整数，故④正确；所以①③④正确，故选①③④．点睛：本题考查特殊集合：有理数集，自然数集，整数集，实数集所含的元素和元素与集合的关系，属于基础题.4．2解析：利用集合的互异性，分类讨论即可求解详解：因为a∈1，a 2﹣2a+2}，则：a=1或a=a 2﹣2a+2，当a=1时：a 2﹣2a+2=1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当a≠1时：a=a 2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2；故答案为：2点睛：本题考查集合的互异性问题，主要考查学生的分类讨论思想，属于基础题5．3或-1解析：根据3∈A 即可得出a 2-2a=3，解方程得到a 即可．详解：∵3∈A，A=1，2，a 2-2a}，∴a 2-2a=3，解得a=-1或3故答案为-1或3．点睛：本题考查了列举法的定义，元素与集合的关系，考查了推理和计算能力，属于基础题．三、解答题1．（1）32a =-；（2）9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >． 解析：（1）分析可得12a -=-或22512a a ++=-，结合集合中元素的互异性可求得实数a 的值；（2）根据已知条件得出09160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩，即可解得实数a 的取值范围. 详解：（1）因为210a +>，故212a +≠-，因为2A -∈，则12a -=-或22512a a ++=-.①当12a -=-时，即当1a =-时，此时212512a a a -=++=-，集合A 中的元素不满足互异性；②当22512a a ++=-时，即22530a a ++=，解得32a =-或1a =-（舍）， 此时512a -=-，21314a +=，集合A 中的元素满足互异性. 综上所述，32a =-；（2）因为集合{}2340A x R ax x =∈--=中有两个元素，则09160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩， 解得916a 且0a ≠， 因此，实数a 的取值范围是9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >.2．（1）2a >；（2）1a ≤-解析：（1）由A B A =，可得A B ⊆，即可列出不等关系，求出a 的取值范围；（2）由A B =∅，且B ≠∅，可列出不等关系，求出a 的取值范围.详解：（1）由集合{|12}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<，因为A B A =，所以A B ⊆，则2a >，即实数a 的取值范围为2a >.（2）因为A B =∅，且B ≠∅，所以1a ≤-，故实数a 的取值范围为1a ≤-. 3．113,,23-- 解析：根据定义依次计算即可得答案.详解：解：因为若a A ∈，则11a A a +∈-， 所以当2a =时，11a a +=-12312A +=-∈-； 当3a =-时，11a a +=-131132A -=-∈+， 当12a =-时，11a a +=-11121312A -=∈+，当13a=时，11aa+=-1132113A+=∈-，综上A中其他所有元素为：11 3,,23 --.点睛：本题考查集合的元素的求解，是基础题.。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(34)
1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合M 的非空子集的个数是7，则集合M 中的元素的个数是（ ）A ．3B ．4C ．2D ．52．集合{,,}a b c 的真子集共有 个（ ）A ．7B ．8C ．9D ．103．以数集A=a ，b ，c ，d}中的四个元素为边长的四边形只能是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．梯形4．设集合A ＝1,2,4}，集合{|}B x x a b a A b A +∈∈＝＝，，，则集合B 中的元素个数为() A ．4 B ．5 C ．6 D ．75．设，，则的元素个数是A ．5B ．4C ．3D ．无数个6．设集合{1}A x Z x =∈-，则A ．A ∅∉B ．C 2AD ．{}2⊆A7．已知集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N ⋃=A ．{}1,0,1-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2-D ．{}0,18．集合(){},0,,x y xy x y ≤∈∈R R 是指（ ）A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点9．下列表示正确的是（ ）A ．所有实数}R =B ．整数集ZC ．{}∅=∅D ．1∈有理数}10．下面说法中正确的是（ ）．A ．集合N +中最小的数是0B ．若N a +-∉，则N a +∈C ．若N a +∈，N b +∈，则a b +的最小值是2D ．244x x +=的解集组成的集合是{}2x =．二、填空题1．设[]x 表示不超过x 的最大整数，用数组21100⎡⎤⎢⎥⎣⎦，22100⎡⎤⎢⎥⎣⎦，23100⎡⎤⎢⎥⎣⎦，……，2100100⎡⎤⎢⎥⎣⎦组成集合A 的元素的个数是________.2．已知集合|1k M x x⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,且3M -∈，则k 的取值范围是____________. 3．若a∈1，a 2﹣2a+2}，则实数a 的值为___________.4．已知{}201,2x x x ∈+--，则x =_____________5．用[]M A 表示非空集合A 中的元素个数，记[][][][][][][][],,M A M B M A M B A B M B M A M A M B ⎧-≥⎪-=⎨-<⎪⎩，若{}1,2,3A =，{}2|23B x x x a =--=，且1A B -=，则实数a 的取值范围为______. 三、解答题1．已知集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈，若集合A 中的元素至多有一个，求a 的取值范围.2．已知集合{}22,,A x x m n m n ==-∈Z ．求证：偶数()42k k -∈Z 不属于集合A ．3．已知数集{}()1212,,,0,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的i、()1j i j n ≤≤≤，i j a a +，与j i a a -两数中至少有一个属于A ．（1）分别判断数集{}0,1,3,4与{}0,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（2）证明：10a =，且()122n n na a a a =+++； （3）当5n =时，若22a =，求集合A ．4．已知集合(){}2230A x x a x a =-++=，{}20B x x x =-=，是否存在实数a ，使A ，B 同时满足下列三个条件：①A B ≠；②A B B ⋃=；③()A B ∅⋂？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．5．已知集合{}213A x x =-<+<，集合B 为整数集，令C A B =.（1）求集合C ；（2）若集合1,D a ，{2,1,0,1,2}C D ，求实数a 的值.参考答案一、单选题1．A解析：由若集合M 中的元素有n 个，则非空子集有217n -=个求解.详解：设集合M 中的元素的个数是n ，则217n -=，解得3n =.所以集合M 中的元素的个数是3，故选：A2．A解析：直接根据含有n 个元素的集合，其子集个数为2n ，真子集为21n -个；详解：因为集合{,,}a b c 含有3个元素，故其真子集为3217-=个故选：A3．D解析：直接利用集合元素的特征求解.详解：由集合元素的互异性得：以数集A=a ，b ，c ，d}中的四个元素为边长的四边形只能是梯形故选：D点睛：本题主要考查集合元素的特征，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4．C解析：集合A ＝1,2,4}，集合{|}B x x a b a A b A +∈∈＝＝，，，所以{}234568B ＝，，，，，，共6个元素. 故选C.5．C详解： 试题分析：依题意有，代入得到，故有个元素. 考点：绝对值不等式，元素与集合的关系.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是定义域还是值域，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.6．B详解：试题分析：集合A 表示大于1-的正数，因此B 项正确考点：元素与集合的元素7．B详解：试题分析：由题意知{}1,0,1,2M N ⋃=-，故选B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.8．D解析：由0xy ≤，可知00x y ≤⎧⎨≥⎩或00x y ≥⎧⎨≤⎩，进而可选出答案. 详解：因为0xy ≤，所以00x y ≤⎧⎨≥⎩或00x y ≥⎧⎨≤⎩， 故集合(){},0,,x y xy x y ≤∈∈R R 是指第二象限和第四象限内的所有点，以及在,x y 轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.故选：D.点睛：本题考查集合的表示方法，属于基础题.9．D解析：本题可根据集合的性质得出结果.详解：A 项：因为符号“{}” 已包含“所有”的含义，所以不需要再加“所有”，A 不正确；B 项：Z 表示整数集，不能加“{}”，B 不正确；C 项：∅表示空集，不能加“{}”，C 不正确；D 项：1∈有理数}，显然正确，D 正确，故选：D.10．C解析：根据正整数集的含义即可判断A ，B ，C 的正误，根据集合中列举法即可判断D 选项的正误.详解：A 选项，N +是正整数集，最小的正整数是1，A 错，B 选项，当0a =时，N a +-∉，且N a +∉，B 错，C 选项，若N a +∈，则a 的最小值是1，若N b +∈，则b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a b +取最小值2，C 对，D 选项，由244x x +=的解集是{}2，D 错.故选：C ．二、填空题1．76 解析：首先，令2100k k a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（123100k =⋅⋅⋅，，，，），分析当22(1)1100100k k +-≥时，计算得到49.5k ≥，取50k =，即505152100a a a a ⋅⋅⋅，，，，都是集合A 的元素，即共有51个元素；另外，分析可知2110100a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，24949240124100100a ==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎣⎦，故数01224⋅⋅⋅，，，，也是集合中的元素，共有25个，两种情况作和即可得到答案.详解： 令2100k k a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（123100k =⋅⋅⋅，，，，）， 当22(1)1100100k k +-≥时，即211100k +≥，解之得：49.5k ≥，取50k =，此时11k k a a +->，即505152100a a a a ⋅⋅⋅，，，，都是集合A 的元素，共有51个， 另外，2110100a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，24949240124100100a ==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎣⎦，2505025100a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦==， 所以数01224⋅⋅⋅，，，，也是集合中的元素，共有25个，255176+=， 所以集合A 中的元素共有76个.故答案为：76.点睛：本题主要考查了集合中元素的个数，解题关键在于根据已知条件建立不等关系式，并进行计算，考查分析能力和逻辑思维能力，属于中档题.2．(,3)-∞解析：由集合元素与几何的关系即可得到答案.详解： 因为集合|1k M x x⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,且3M -∈， 所以13k >--，解得3k <， 所以k 的取值范围是(,3)-∞.故答案为：(,3)-∞点睛：本题考查集合的基本定义，属基础题.3．2解析：利用集合的互异性，分类讨论即可求解详解：因为a∈1，a 2﹣2a+2}，则：a=1或a=a 2﹣2a+2，当a=1时：a 2﹣2a+2=1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当a≠1时：a=a 2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2；故答案为：2点睛：本题考查集合的互异性问题，主要考查学生的分类讨论思想，属于基础题4．2解析：讨论10x +=和220x x --=两种情况，再验证得到答案.详解：{}201,2x x x ∈+--当10x +=时，1x =-，代入验证知：{}{}21,20,0x x x +--=，不满足互异性，排除；当220x x --=时，2x =或1x =-（舍去），代入验证知：{}{}21,23,0x x x +--=，满足.故答案为：2点睛：本题考查了元素和集合的关系，没有验证互异性是容易发生的错误.5．04a ≤<或4a >.解析：根据已知条件容易判断出0a =符合，0a >时，由集合B 得到两个方程，2230x x a ---=或2230x x a --+=.容易判断出B 有2个或4个元素，所以判别式()4430a ∆=--<或()4430a ∆=-->，这样即可求出a 的范围.详解：（1）若0a =，得到2230x x --=，∴集合B 有2个元素，则1A B -=，符合条件1A B -=；（2）0a >时，得到223x x a --=±，即2230x x a ---=或2230x x a --+=；对于方程2230x x a ---=，()4430a ∆=++>，即该方程有两个不同实数根； 又1A B -=，B 有2个或4个元素；()4430a ∆=--<或()4430a ∆=-->；∴4a <或4a >.综上所述04a ≤<或4a >.故答案为04a ≤<或4a >.点睛：本题考查新定义问题，考查学生的创新意识，解决问题的方法利用新定义把“新问题”转化“老问题”.三、解答题1．0a =或98a ≥解析：分情况讨论，当0a =时，符合题意；当0a ≠时，由题意可知，关于x 的一元二次方程2320ax x -+=至多有一个根，0∆≤，求解即可. 详解：当0a =时，2320ax x -+=的解23x =，A 中只有一个元素23；当0a ≠时，若使得集合A 中的元素至多有一个.则需，关于x 的一元二次方程2320ax x -+=至多有一个根. 即99808a a ∆=-≤⇒≥综上所述，0a =或98a ≥点睛：本题考查根据集合中元素个数，求参数取值范围，注意分情况讨论，属于中档题.2．证明见解析解析：分m 、n 为同奇、同偶或一奇一偶三种情况讨论，结合平方差公式推出矛盾，从而得出所证结论成立.详解：假设()42k A k Z -∈∈，则存在m 、n Z ∈，使得()()2242k m n m n m n -=-=+-. ①当m 、n 都是奇数时，设121m m =+，()11121,n n m n Z =+∈，则()()()22222211*********m n m n m n m n -=+-+=-+-为4的倍数； ②当m 、n 都是偶数时，设22m m =，()2222,n n m n Z =∈，则()2222222222444m n m n m n -=-=-为4的倍数；③当m 、n 是一奇一偶时，设m 为奇数，n 为偶数，设321m m =+，()3332,n n m n Z =∈，则()()2222223333321441m n m n m n m -=+-=-++是奇数. 假设不成立，因此，()42k A k Z -∉∈.点睛：本题考查利用元素与集合关系的证明，合理分类是解题的关键，考查推理论证能力，属于中等题.3．（1）集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明见解析. （3）{0,2,4,6,8}A =.解析：（1）利用i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .即可判断出结论.（2）先由0n na a A =-∈，得出10a =，令“,1j n i =>,由“i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ”可得n i a a -属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,1a 不符合不符合题意,2a 符合.同理可得:令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,倒序相加即可.（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,可得51i a a Ai -∈=51525354550a a a a a a a a a a ->->->->-=,则515533524a a a a a a a a a -=-=-= ,又34245a a a a a +>+=,可得34a a A +∉,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-.可得即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列是首项为0,公差为22a =等差数列.详解：解：（1）在集合{}0,1,3,4中，设{}0,1,3,4A =①011,101A A +=∈-=∈,具有性质P②033,303A A +=∈-=∈,具有性质P③044,404A A +=∈-=∈,具有性质P④134,312A A +=∈-=∉,具有性质P⑤145,413A A +=∉-=∈,具有性质P⑥347,431A A +=∉-=∈,具有性质P综上所述：集合{}0,1,3,4具有性质P ；在集合{}0,2,3,6中，设{}0,2,3,6B =,①022,202B B +=∈-=∈,具有性质P②033,303B B +=∈-=∈,具有性质P③066,606B B +=∈-=∈,具有性质P④235,321B B +=∉-=∉,不具有性质P⑤267,624B B +=∉-=∉,具有性质P⑥368,633B B +=∉-=∈,具有性质P综上所述：集合{}0,2,3,6不具有性质P .故集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明:令,1j n i =>由于120n a a a ≤<<<，则n n n a a a +>，故2n a A ∉ 则0n n a a A =-∈，即10a =i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ,i j a a ∴+不属于A ,n i a a ∴-属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,10a =不符合题意,2a 可以.如果是3a 或者4a ,那么可知31n n a a a --=那么231n n n a a a a a -->-=,只能是等于n a ,矛盾.所以令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,同理,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,∴倒序相加即可得到1232n n n a a a a a +++⋯+= 即()122n n na a a a a =+++⋯+（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P ,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,51,2,3,4,5i a a Ai ∴-∈=123451234500a a a a a a a a a a =<<<<=<<<<,51525354550a a a a a a a a a a ∴->->->->-=,则515524a a a a a a -=-=,533a a a -=,从而可得245532a a a a a +==,故2432a a a +=,即433230a a a a a <-=-<,又3424534a a a a a a a A +>+=∴+∈/ ,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-又54221a a a a a -==-544332212a a a a a a a a a ∴-=-=-=-=,即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列,{0,2,4,6,8}A ∴=点睛：（1）本问采用举反例的方法证明A 不具有P 性质;（2）采用极端值是证明这类问题的要点,一个数集满足某个性质,则数集中的特殊的元素（比如最大值、最小值）也满足这个性质;本问的第二个要点是集合的元素具有互异性,由互异性及题中给的性质P ,可得出等式;（3）利用在（2）中得到的结论得出12345,,,,a a a a a 之间的关系，再结合A 中元素所具有的P 性质即可得到结论.4．存在实数1a =-，使得A ，B 满足条件，详见解析解析：先求出集合B ，由A B B ⋃=得A B ⊆，由()A B ∅⋂得A ≠∅，再由A B ≠得{}0A =或{}1，分别代入集合A 中求得a 的值，再验证是否满足条件得解. 详解：假设存在实数a ，使A ，B 同时满足题设①②③三个条件，易知{}0,1B =．因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，即A B =或A B ．由条件①A B ≠，知A B ．又()A B ∅⋂，所以A B ⋂≠∅，所以A ≠∅，所以{}0A =或{}1．当{}0A =时，将0x =代入方程()2230x a x a -++=，得20a =，解得0a =．而当0a =时，{}0,3A =，与{}0A =矛盾，舍去．当{}1A =时，将1x =代入方程()2230x a x a -++=，得220a a --=，解得1a =-或2a =．当1a =-时，{}1A =，符合题意；当2a =时，{}1,4A =，与{}1A =矛盾，舍去．综上所述，存在实数1a =-，使得A ，B 满足条件．故得解.点睛：本题考查集合间的包含关系和集合的交、并运算，关键在于由交、并运算结果得到两集合之间的包含关系，属于基础题.5．（1）{2,1,0,1}--；（2）2a =.解析：（1）首先得到{}32A x x =-<<，再求C A B =即可.（2）根据2,1,0,1,2C D 即可得到答案. 详解：（1）{}{}21332A x x x x =-<+<=-<<，因为集合B 为整数集，所以{}2,1,0,1C A B -=-=.（2）因为{}2,1,0,1C -=-，1,D a ，2,1,0,1,2C D ， 所以2a =.。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(173)
1.1 集合的概念一、单选题1．设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中； （1）{|2,}y y x x X =∈；（2）{|}y y x X =∈；（3）1{|,}y y x X x =∈；（4）2{|,}y y x x X =∈；与X 相同的集合有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．下列四个命题：①0}是空集；②若a∈N，则－a ∉N ；③集合x∈R|x 2－2x ＋1＝0}含有两个元素；④集合6|x Q N x⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．03．用列举法可以将集合{A a a =使方程221=0ax x ++有唯一实数解}表示为（ ） A ．{}1A =B ．{}0A =C ．{}0,1A =D ．{}0A =或{}14．集合{}*|5x x ∈<N 的另一种表示法是（ ）A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}5．已知集合1{|,Z}24k M x x k ==+∈,*1{|,N }42k N x x k ==+∈,若0x M ∈,则0x 与N 的关系是（ ）A ．0x N ∈或0x N ∉B ．0x N ∈C ．0x N ∉D ．不能确定6．给出下列6 ∉N 2-∉Z.其中正确命题的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．设集合{0,1,2}M =，则（ ）A ．1M ∈B ．2M ∉C ．3M ∈D ．{}0M ∈8．方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集可表示为（ ）A ．{}1,2B ．()1,2C ．(){},1,2x y x y ==D ．()3,1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭9．下列各式表述正确的是（ ） A ．20{0}x ∈=B ．0{(0,0)}∈C ．0N ∈D ．0∈∅10．若集合A ＝(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题1．已知整数数列{}n a 共5项，其中11a =，54a =，且对任意14i ≤≤，都有12i i a a +-≤，则符合条件的数列个数为______.2．若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________. 3．已知集合A 含有三个元素1,0，x ，若x 2∈A，则实数x ＝________. 4．已知集合{86|A x N x=∈-且}x N ∈，则用列举法表示集合A =__________． 5．设集合{}2P x ax a =+>，如果3P ∉，那么a 的取值范围_____________ 三、解答题1．已知集合(){}2|1320=-+-=A x m x x .(1)若集合A 为两个元素的集合,试求实数m 的范围；(2)是否存在这样的实数m ,使得集合A 有且仅有两个子集?若存在,求出所有的m 的值组成的集合M ；若不存在,请说明理由.2．已知集合{}2320,A x ax x x =-+=∈R ．（1）若集合A 中只有一个元素，求实数a 的值，并写出该元素； （2）若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．3．用适当的方法表示下列集合． （1）小于5的自然数构成的集合； （2）直角坐标系内第三象限的点集； （3）偶数集．4．用符号“∈”或“∉”填空：（1）若集合P 由小于||S 的实数构成，则2P;（2）若集合Q 由可表示为n 2+1(||1S =)的实数构成，则5 Q.5．已知集合A=a-2,2a2+5a,10}，且-3∈A，求实数a的值参考答案一、单选题 1．B解析：将x a =+1）、（2）、（3）中，化简并判断,p q 与,a b 是否一一对应，再举反例判断（4）. 详解：对于（1），由2(a p +=+2,2p a q b ==，一一对应，则{|2,}y y x x X X =∈=对于（22ab p =+=+,2a p d q ==，一一对应，则{|}y y x X X =∈=对于（3222222a b p a b a b ⎛⎫=+-=+ ⎪--⎝⎭2222,22a p q a b b b a ==---，一一对应，则1{|,}y y x X X x=∈=对于（4），1X -，但方程21x -无解，则2{|,}y y x x X =∈与X 不相同 故选：B 2．D解析：①0}不是空集，可判断不正确； ②若a N ∈，当0a =时，N a -∈，可判断不正确；；③集合{}22101{|}A x R x x =∈-+==，只有1个元素，可判断不正确；④当x 为正整数的倒数时，6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是无限集，可判断不正确．详解：①0}是含有一个元素0的集合，不是空集，所以①不正确； ②当a ＝0时，0∈N，所以②不正确；③因为由x 2－2x ＋1＝0，得x 1＝x 2＝1，所以x∈R|x 2－2x ＋1＝0}＝1}，所以③不正确；④当x 为正整数的倒数时，6x∈N，所以6|x Q N x⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是无限集，所以④不正确．故选：D 3．C解析：根据题意求当方程2210ax x ++=有唯一实数解时，求a 的取值范围，分0a =和0a ≠两种情况求a 的取值. 详解：由题意可知集合A 的元素表示能使方程2210ax x ++=有唯一实数解的a 的值， 当0a =时，210x += ，解得12x =-，成立； 当0a ≠时，方程2210ax x ++=有唯一实数解， 则440a ∆=-=， 解得：1a =，{}0,1∴=A .故选：C 点睛：本题考查根据方程的实数根的个数求参数的取值，属于简单题型. 4．B解析：题中所给集合中元素为小于5的正自然数，改用列举法表示即可. 详解：集合{}*|5x x ∈<N 中元素为小于5的正自然数，可用列举法表示为{1,2,3,4}.故选：B 点睛：本题考查集合的表示方法，属于基础题. 5．A解析：用列举法表示集合,M N ,最后可以选出正确答案. 详解：131357{|,Z},,,,,2444444k M x x k ⎧⎫==+∈=--⎨⎬⎩⎭, *1353{|,N },1,,,42442k N x x k ⎧⎫==+∈=⎨⎬⎩⎭,当01,4x M =-∈但0x N ∉,当03,4x M =∈有0x N ∈. 故选：A 点睛：本题考查了列举法表示集合,考查了元素与集合的关系,属于基础题. 6．C解析：根据元素与集合的关系进行判断． 详解：R ，Q ，N ，Z 分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，20是自然数，故③错误；2=是正整数，故④正确；π是无理数，故⑤错误；22-=是正整数，故⑥错误.即①④正确，②③⑤⑥不正确. 故选：C 点睛：本题主要考查元素与集合的关系，考查常用的数集，属于基础题． 7．A解析：根据集合中的元素，依次检验四个选项即可. 详解：由题：集合{0,1,2}M =，所以1M ∈，2M ∈，3M ∉，0是一个集合，应该{}0M ⊆.故选：A 点睛：此题考查元素与集合的关系，容易混淆概念，元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系. 8．C解析：根据集合的表示方法确定正确选项. 详解：方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩，根据集合的表示方法可知方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集可表示为(){},1,2x y x y ==或()3,1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎩⎪⎪⎩⎭.所以C 选项正确. 故选：C 点睛：本小题主要考查集合的表示方法，属于基础题. 9．C解析：根据元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项．2{0}x =表示集合中有一个元素是20x =，20{0}x ∴∉=，A 错误，{(0,0)}表示集合中有一个元素为(0,0)，0{(0,0)}∴∉，B 错误，N 表示自然数集，包含数0，0N ∴∈成立，C 正确，φ表示集合一个元素也没有，0φ∴∉，D 错误.故选：C 点睛：本题考查集合的含义，以及元素与集合的关系，属于基础题. 10．B 详解：集合A ＝(1,2)，(3,4)}中有两个元素，(1,2)和(3,4) 故选B.二、填空题 1．52解析：根据12i i a a +-≤可分别表示出相邻两项的差，而根据{}12,1,0,1,2i i a a +-∈--，结合组合的应用即可求得所有数列. 详解：因为151,4a a ==，所以设121x a a =-,232x a a =-,343x a a =-,454x a a =-， 所以1234513x x x x a a +++=-=，可设1234x x x x ≤≤≤， 因为{}12,1,0,1,2i i a a +-∈--，则1234x x x x 、、、的所有组合可能为{}{}{}2,1,2,21,1,1,21,0,2,2---，，，{}0,0,1,2，{}0,1,1,1，共五组，只需在每一组中选3个即可，所以符合条件的数列个数为21212121142424242452C C C C C C C C C ++++=，故答案为:52. 点睛：本题考查了数列的综合应用,绝对值不等式的解法,组合数的性质及运算,综合性强,属于中档题.2．0或1解析：转化为求方程2210kx x ++=有且仅有一个解的条件，分k=0和k≠0，利用一次方程和二次方程的解的个数的判定方法求解.当k=0时，方程为2x+1=0,有且只有一解，符合题意；当k≠0时，方程2210kx x ++=有且仅有一个解等价于2240k -=,解得k=1, 故答案为：0或1. 3．-1 详解：当20x =时，解得0x =，与集合元素的互异性矛盾，故不成立； 当21x =时，解得1x =±，结合互异性可得1x =-；当2x x =时，解得0x =或1x =，不满足元素的互异性，舍去． 综上1x =-． 答案：-1 点睛：（1）根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．（2）利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．4．{}2,4,5 解析：当6x >时，806x <-，必不是自然数，依次代入0,1,2,3,4,5x =，可验证86x-是否是自然数，从而得到结果. 详解： 当0x =时，84603N =∉-；当1x =时，88615N =∉-； 当2x =时，8262N =∈-；当3x =时，88633N =∉-； 当4x =时，8464N =∈-；当5x =时，8865N =∈- 当6x >且x ∈N 时，806x <- 86N x∴∉- {}2,4,5A ∴=故答案为{}2,4,5 点睛：本题考查列举法表示集合，关键是明确常用数集的含义，属于基础题.5．(]1∞--，解析：根据元素的性质列不等式即可. 详解：∵集合{}2P x ax a =+>，3P ∉， ∴32a a +≤ ∴1a ≤-∴a 的取值范围(]1-∞-， 故答案为：(]1-∞-，点睛：本题考查元素与集合的关系，考查一元一次不等式的解法，考查转化思想.三、解答题1．（1）()1,11,8m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭；（2）存在，1,18M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭解析：（1）讨论方程()21320m x x -+-=有两个不等实根即可求解； （2）只需集合里面恰有一个元素，即()21320m x x -+-=只有一个实数根. 详解：（1）集合A 为两个元素的集合,所以方程()21320m x x -+-=有两个不等实根，即()109810m m -≠⎧⎪⎨∆=+->⎪⎩， 得：()1,11,8m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭；（2）存在这样的实数m ,使得集合A 有且仅有两个子集， 即集合里面恰有一个元素， 即()21320m x x -+-=只有一个实数根， 当1m =时，2320,3x x -==符合题意；或()109810m m -≠⎧⎪⎨∆=+-=⎪⎩即18m =-， 所以1,18M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. 点睛：此题考查根据集合中的元素个数求参数范围，关键在于对方程的根的个数进行准确判断.2．(1)见解析(2) 908a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或解析：（1）当0a =时，得到23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意；当0a ≠时，由()2380a ∆=--=，解得98a =，得出43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，即可求解． （2）若集合A 是空集，根据()20380a a ≠⎧⎪⎨∆=--<⎪⎩，解得98a >，在结合（1）的结论，即可求解． 详解：（1）当0a =时，方程为一元一次方程320x -+=，解得23x =，此时23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意； 若0a ≠时，因为A 中只有一个元素，所以方程有两个相等的实根， 则()2380a ∆=--=，解得98a =，此时集合A 中只有一个元素43，即43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭． 综上所述，当0a =时，集合A 中只有一个元素23；当98a =时，集合A 中只有一个元素43． （2）当集合A 是空集，即方程2320ax x -+=无解，则满足()20380a a ≠⎧⎪⎨∆=--<⎪⎩，解得98a >． 结合（1），可知实数a 的取值范围是908a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或．点睛：本题主要考查了根据集合的元素个数求解参数问题，其中解答中正确理解题意，结合方程根的个数，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．3．（1）{0,1,2,3,4}；（2）{(,)|0,0}x y x y <<；（3）{|2,}x x k k Z =∈. 解析：（1）用列举法表示集合，自然数集{}0,1,2,3,4,5N =;（2）用描述法表示集合，第三象限内上点横纵坐标都小于零；（3）用描述法表示集合，能被2整除的整数叫偶数. 详解：（1）{}0,1,2,3,4； （2）{(,)|0,0}x y x y <<； （3）{|2,}x x k k Z =∈ 点睛：本题考查了用不同方法表示集合，其时用描述法表示集合时，也不是唯一的一种表示方法，比如本题的偶数集也可以表示为{|22,},{|22,}x x k k Z x x k k Z =-∈=+∈等等，再有本题的第一个集合也可以用描述法进行表示：{|04},{|05}x N x x N x ∈≤≤∈≤<等等.4．（1）∉;（2）∈解析：（1）因为2,所以2不在由小于的实数构成的集合P 中,所以2∉P. （2）因为5=22+1,||0T =,所以5∈Q.5．32a =-详解：试题分析：3A -∈，则集合A 中含有元素3-，由此要分类讨论，23a -=-或2253a a +=-，解得a 的值后，要注意代入检验，是否符合集合中元素的互异性． 试题解析：∵-3∈A ∴a -2= -3或2a 2+5a= -3当a-2= -3时，a= -1,此时2a 2+5a = -3，与集合的互异性矛盾，舍去当2a 2+5a= -3时，a= -1（舍去）或a=32- a=32-时a-2=72-，满足条件 综上可知32a =-．考点：集合的概念．。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(105)
1.1 集合的概念一、单选题1．集合{}1,2的子集的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2．已知集合A=1,2,3,4}，B=2,4,6,8}，则A B 中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．43．已知集合1A x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，1B y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，()1,C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，下列结论正确的是（ ） A ．A B =B ．AC =C ．B C =D ．A B C ==4．设集合{123}n S n =，，，，，n X S ⊆，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量（若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若X 的容量是奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集，若3n =，则n S 的所有偶子集的容量之和为 A ．6B ．8C ．12D ．165．下列说法中正确的是( ) A ．联合国所有常任理事国组成一个集合 B ．衡水中学年龄较小的学生组成一个集合 C ．1，2，3}与2，1，3}是不同的集合D ．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 6．集合中含有的元素个数为 A ．4B ．6C ．8D ．127．已知集合2{2,25,12}A a a a =-+，且3A -∈，则a 的值为（ ） A ．1-或32-B ．1-C ．32-D ．18．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U A （ ） A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-9．已知集合{}3,1M m =+，4M ∈,则实数m 值为 A ．4B ．3C ．2D ．110．已知集合(){}10A x x x =-=，那么下列结论正确的是（ ） A ．0A ∈ B ．1A ∉ C ．1A -∈ D ．0A ∉二、填空题1．集合{}22,,1A a a =+，且1A ∈，则实数a 的值为__________.2．已知{}210,,x x ∈，则x =__________3．已知集合{}220A x R ax x =∈++=，若A 为单元素集合，则a =__________. 4．用列举法表示集合{}4,,x x y x N y N *+=∈∈=______5．已知集合2{|}A x x px q x =++=，2{|(1)(1)1}B x x p x q x =-+-+=+，当{2}A =时，则集合B =________．三、解答题1．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. （1）第三象限内所有点组成的集合； （2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合； （3）所有被5除余2的奇数组成的集合.2．用适当的方法表示下列集合：（1）所有能被3整除的整数；（2）图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合； （3）满足方程||x x =，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B.3．已知集合{}2|340A x R ax x =∈--=，①若A 是空集，求a 的范围； ②若A 中只有一个元素，求a 的值；4．已知集合{}22,A y y x x x ==-∈R ，{}226,B y y x x x ==-++∈R ．（1）求A B ；（2）若集合A ，B 中的元素都为整数，求A B ．（3）若集合A 变为{}22,A x y x x x ==-∈R ，其他条件不变，求A B ；（4）若集合A ，B 分别变为(){}2,2,A x y y x x x ==-∈R ，(){}2,26,B x y y x x x ==-++∈R ，求A B ．5．已知{}{},,1,2,3,5,0,2,4,8,A B A C B C ⊆⊆==求A ．参考答案一、单选题 1．C解析：直接列出即可. 详解：解：集合{}1,2的子集为：∅，{}1，{}2，{}1,2共4个. 故选：C. 2．B 详解：由题意可得{}2,4A B =，故A B 中元素的个数为2，所以选B. 【名师点睛】集合基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．3．A解析：根据函数1y x =定义域和值域求出集合A 与B ，由A 、B 都是数集，C 是点集可得出A 、B 、C 的关系.详解：函数1y x =的定义域为{}10A x y x x x ⎧⎫===≠⎨⎬⎩⎭，值域为{}10B y y y y x ⎧⎫===≠⎨⎬⎩⎭，由于集合A 、B 都是数集，C 是点集，因此，A B =，故选A. 点睛：本题考查集合相等，解题时要从集合相等的定义除法来理解，但要注意集合元素的类型要一致，考查计算能力，属于基础题. 4．D由题意可知：当3n =时，集合{}1,2,3n S =∴n S 所有的偶子集为：∅，{}2，{}1,2，{}2,3，{}1,2,3∴当3n =时，集合n S 所有的偶子集的容量之和为0226616 故选D点睛：本题考查的是集合的子集和新定义的综合问题．在解答过程当中充分体现了新定义问题的规律、列举的方法还有问题转化的思想，解答本题的关键是正确理解奇、偶子集与容量的概念．5．A 详解：年龄较小不确定,所以B 错; 1，2，3}与2，1，3}是相同的集合; 由1，0，5，1，2，5组成的集合有4个元素,因此选A.6．B 详解：共6 个．故选B7．C解析：根据3A -∈，分别考虑223,253a a a -=-+=-，注意借助集合元素的互异性进行分析. 详解：当23a -=-时，1a =-，此时{}3,3,12A =--，不满足集合中元素的互异性，当2253a a +=-时，32a =-或1-（舍），此时7,3,122A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，满足条件，综上可知：a 的值为32-. 故选：C. 点睛：本题考查根据元素与集合的属于关系求解参数值，难度较易.根据元素与集合的关系求解参数时，注意集合中元素的互异性. 8．B解析：先求出集合A ，根据补集运算，即可求出U A . 详解：由21x < 得： 11x -<<，又x U ∈，所以{}0A = ，因此{}1,1,2U A =- .点睛：本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题. 9．B 详解：因为集合{}3,1M m =+，4M ∈，故必有m+1=4,m=3,选B10．A解析：求解A 中的方程，得到集合A=0,1}，进而作出判定. 详解：(){}{}100,1x x x -==，,1A A ∈∈∴0，故选A ．点睛：本题考查元素与集合的关系，是容易题.二、填空题 1．0解析：根据元素与集合的关系，分类求解，并用集合元素的互异性进行检验即可. 详解：因为1A ∈，所以有1a =或211a +=.当1a =时，有212a +=，不符合集合元素的互异性，故舍去；当211a +=时，解得0a =，此时集合{}2,0,1A =，符合集合元素的互异性. 故答案为：0 点睛：本题考查了根据元素与集合的关系求参数问题，考查了集合元素的互异性，属于基础题. 2．1-解析：对集合中的元素分类讨论，根据集合中元素的互异性可得结果. 详解：当1x =时，21x =，不满足集合中元素的互异性，不合题意； 当21x =时，1x =（舍）或1x =-（符合）. 故答案为：1-本题考查了分类讨论思想，考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 3．0或18解析：分0a =和0a ≠两种情况讨论，根据方程220ax x ++=只有一根可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值. 详解：当0a =时，{}{}{}220202A x R ax x x x =∈++==+==-，合乎题意；当0a ≠时，要使A 为单元素集合，只需180a ∆=-=，解得18a =. 综上所述：0a =或18. 故答案为：0或18.4．{}0,1,2,3解析：直接利用集合的列举法写出结果即可． 详解：集合{|4,,}{0,1,2,3}x x y x N y N *+=∈∈=． 故答案为：{}0,1,2,3． 点睛：本题考查集合的表示方法，列举法，考查计算能力．5．{3-+解析：先由2x =是方程2x px q x ++=的解可得34p q =-⎧⎨=⎩,故2{|(1)3(1)41}B x x x x =---+=+,从而解方程即可 详解：解:当{2}A =时,方程2x px q x ++=有两个相等的实根,为2，所以2422(1)40p q p q ++=⎧⎨∆=--=⎩,解得34p q =-⎧⎨=⎩ 所以2{|(1)3(1)41}B x x x x =---+=+由2(1)3(1)41x x x ---+=+,即2670x x -+=,得3x =所以{3B =-+故答案为{3-+ 点睛：本题考查列举法表示集合,考查解方程,考查运算能力三、解答题 1．答案见解析.解析：由于（1）（3）表示的集合都是无限集，所以利用描述法表示，（2）表示的是有限的5个元素，所以利用列举法表示 详解：解：（1）{(,)|0,0}x y x y <<，它是无限集； （2）{}2,0,2,4,6,8-，共有6个元素，是有限集； （3）{|107,}x x k k Z =+∈，它是无限集. 点睛：此题考查了集合的表示方法，属于基础题.2．（1）{|3,}x x n n =∈Z .（2）1(,)|12,1,02x y x y xy -≤≤-⎧⎫⎨≤≤⎩≥⎬⎭.（3）{|||,}B x x x x ==∈Z .解析：由题意并利用集合表示方法中的描述法来一一表示三个集合. 详解：(1)由题意所有能被3整除的整数为：3,x n n =∈Z ，所以集合表示为{|3,}x x n n =∈Z ； (2)由图象可知，对于第一象限的阴影部分可得：02,01x y <≤<≤，则对应的点(含边界)为(){},|02,01x y x y ≤≤≤≤；对于第三象限的阴影部分可得：110,02x y -≤<-≤<，则对应的点(含边界)为()1,|10,02x y x y ⎧⎫-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，所以综上可得，满足图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合为：()1,|12,1,02x y x y xy ⎧⎫-≤≤-≤≤≥⎨⎬⎩⎭.(3)由集合描述法可将满足方程||x x =，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B 表示为{|||,}B x x x x ==∈Z .点睛：本题考查了集合表示方法的正确应用，理解集合元素的意义是解题的关键，属于基础题.3．①9,16⎛⎫-∞-⎪⎝⎭；②0或916- 解析：①当0a =时，可知集合43A，不合题意；当0a ≠时，一元二次方程无实根，则∆<0，从而解得所求范围；②当0a =时，可知集合43A，符合题意；当0a ≠时，一元二次方程有两个相等实根，则0∆=，解得a 的另一个取值.详解：①当0a =时，234340ax x x --=--=，解得：43x =- 43A ⎧⎫∴=-⎨⎬⎩⎭，不合题意 当0a ≠时，若A 为空集，则2340ax x 无实根 9160a ∴∆=+<，解得：916a 综上所述：a 的取值范围为：9,16⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭②由①知，当0a =时，43A，满足题意 当0a ≠时，2340ax x 有两个相等实根 9160a ∴∆=+=，解得：916a 综上所述：a 的值为0或916- 点睛：本题考查根据集合中元素的个数求解参数值的问题；易错点是忽略对于二次项系数是否为零的讨论，造成丢根的情况出现.4．（1）{}17A B y y ⋂=-≤≤（2）{}1,0,1,2,3,4,5,6,7A B =-（3）{}7A B y y ⋂=≤（4）()(){}3,3,1,3A B =-解析：（1）将二次函数配方，得到其二次函数的值域，从而求得A B ；（2）由于集合A ，B 中的元素都为整数，所以题意就是求（1）中所得的A B 中的整数元素，可得解；（3）集合A 表示的是二次函数22,y x x x =-∈R 的定义域，所以得A =R ，再求A B ； （4）集合A 、B 表示的是二次函数图象上的点，求A B 实际上是求这两个二次函数的交点，联立其方程可得解. 详解：（1）∵()222111y x x x =-=--≥-，()2226177y x x x =-++=--+≤， ∴{}1A y y =≥-，{}7B y y =≤，∴{}17A B y y ⋂=-≤≤． （2）由已知，得{}1A y y =∈≥-Z ，{}7B y y =∈≤Z ， 所以{}17A B y y ⋂=∈-≤≤Z ∴{}1,0,1,2,3,4,5,6,7A B =-．（3）由已知，得A =R ，{}7B y y =≤，∴{}7A B y y ⋂=≤．（4）由22226y x x y x x ⎧=-⎨=-++⎩，得2230x x --=，解得3x =或1x =-．∴33x y =⎧⎨=⎩，或13x y =-⎧⎨=⎩， ∴()(){}3,3,1,3A B =-． 故得解. 点睛：本题考查集合的交集运算，求解的关键是理解集合中的元素具体含义，特别是分清集合表示的是点集还是数集，属于基础题.5．{}2或φ解析：,A B A C ⊆⊆，则A B C ⊆，可得集合A ． 详解：{}{}1,2,3,5,0,2,4,8B C ==，则{}2B C ⋂=，则{}2A =或A φ=．。
人教A版数学第一册第一单元《1.1.1 集合的含义与表示》同步检测(含答案)
《1.1.1 集合的含义与表示》同步检测一、基础达标1.下列各组对象不能构成一个集合的是( )A.不超过20的非负实数B.方程x 2-9=0在实数范围内的解C.√3的近似值的全体D.某校身高超过170厘米的同学的全体2.下列各组中集合P 与Q 表示同一个集合的是( )A.P 是由元素1,√3,π构成的集合,Q 是由元素π,1,|-√3|构成的集合B.P 是由π构成的集合,Q 是由3.141 59构成的集合C.P 是由2,3构成的集合,Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D.P 是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q 是方程x 2=1的解集3.集合M 是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是( )A.√5∈MB.0∉MC.1∈MD.-π2∈M4.已知集合Ω中的三个元素l,m,n 分别是△ABC 的三边边长,则△ABC 一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.(多选)下面几个命题中正确的命题有( )A.集合N *中最小的数是1B.若-a ∉N *,则a∈N *C.若a∈N *,b∈N *,则a+b 的最小值是2D.x 2+4=4x 的解集中有2个元素6.已知a,b 是非零实数,代数式|a |a +|b |b +|ab |ab 的值组成的集合是M,则下列判断正确的是( )A.0∈MB.-1∈MC.3∉MD.1∈M7.已知集合A是由全体偶数组成的,集合B是由全体奇数组成的,若a∈A,b∈B,则a+b A,ab A(填“∈”或“∉”).8.若集合A中有两个元素-1和2,集合B中有两个元素x,a2,若A与B相等,则x= ,a= .9.设集合A是由1,k2为元素构成的集合,则实数k的取值范围是.10.已知-3是由x-2,2x2+5x,12三个元素构成的集合中的元素,求x的值.二、能力提升11.已知集合M是方程x2-x+m=0的解组成的集合,若2∈M,则下列判断正确的是( )A.1∈MB.0∈MC.-1∈MD.-2∈M所以方程为x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2.故方程的另一个解为-1.选C.12.由实数x,-x,|x|,√x2,-√x33所组成的集合,其元素的个数最多为( )A.2B.3C.4D.513.已知关于x的不等式x-a≥0的解组成的集合为A,若3∉A,则实数a的取值范围是.14.已知集合A含有三个实数,分别为a2,ba,a,若0∈A且1∈A,则a2 020+b2020= .15.集合A中共有3个元素-4,2a-1,a2,集合B中也共有3个元素9,a-5,1-a,已知9∈A,且集合B中再没有其他元素属于A,根据上述条件求出实数a的值.三、素养综合16.已知集合M中有两个元素x,2-x,若-1∉M,则下列说法一定错误的是.(填序号)①2∈M;②1∈M;③x≠3.参考答案一、基础达标1.答案 CA项,不超过20的非负实数,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.B项,方程x2-9=0在实数范围内的解,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.C项,√3的近似值的全体,元素不具有确定性,不能构成一个集合.D项,某校身高超过170厘米的同学,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.故选C.2.答案 A3.答案 D√5>1,故A错;-2<0<1,故B错;1不小于1,故C错;-2<-π<1,故D正确.24.答案 D因为集合中的元素是互异的,所以l,m,n互不相等,即△ABC不可能是等腰三角形,故选D.5.答案ACN*是正整数集,最小的正整数是1,故A正确;当a=0时,-a∉N*,且a∉N*,故B错误;若a∈N*,则a的最小值是1,又b∈N*,b的最小值也是1,当a和b都取最小值时,a+b取最小值2,故C正确;x2+4=4x的解集为{2},故D错误.故AC正确.6.答案 B当a,b全为正数时,代数式的值是3;当a,b全是负数时,代数式的值是-1;当a,b 是一正一负时,代数式的值是-1.综上可知B正确.7.答案∉;∈解析∵a是偶数,b是奇数,∴a+b是奇数,ab是偶数,故a+b∉A,ab∈A.8.答案-1;±√2解析由集合相等的概念可知x=-1,a2=2,即a=±√2.9.答案k≠1且k≠-1解析∵1∈A,k2∈A,结合集合中元素的互异性可知k2≠1,解得k≠1且k≠-1.10.解析由题意知x-2=-3或2x2+5x=-3.当x-2=-3,即x=-1时,集合中的三个元素为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性,所以x=-1舍去.当2x2+5x=-3,即x=-32或x=-1(舍去)时,集合中的三个元素为-72,-3,12,满足集合中元素的互异性.综上可知x=-32.二、能力提升11.答案 C由2∈M可知,2为方程x2-x+m=0的一个解,所以22-2+m=0,解得m=-2.所以方程为x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2.故方程的另一个解为-1.选C.12.答案 A当x>0时,x=|x|=√x2,-√x33=-x,此时集合中共有2个元素;当x=0时,x=|x|=√x2=-√x33=-x,此时集合中共有1个元素;当x<0时,√x2=|x|=-√x33=-x,此时集合中共有2个元素.综上,此集合中最多有2个元素,故选A.13.答案a>3解析因为3∉A,所以3是不等式x-a<0的解,所以3-a<0,解得a>3.14.答案 1解析由0∈A,“0不能做分母”可知a≠0,故a2≠0,所以ba=0,即b=0.由1∈A,可知a2=1或a=1.当a=1时,得a2=1,由集合中元素的互异性,知a=1不符合题意; 当a2=1时,解得a=-1或a=1(舍去).故a=-1,b=0,所以a2 020+b2 020的值为1.15.解析∵9∈A,∴2a-1=9或a2=9,①若2a-1=9,则a=5,此时A中的元素为-4,9,25,B中的元素为9,0,-4,显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去.②若a2=9,则a=±3.当a=3时,A中的元素为-4,5,9,B中的元素为9,-2,-2,B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去;当a=-3时,A中的元素为-4,-7,9,B中的元素为9,-8,4,符合题意.综上所述,a=-3.三、素养综合16.答案②解析依题意得{x≠-1,2-x≠-1,x≠2-x,解得x≠-1,x≠1且x≠3,当x=2或2-x=2,即x=2或x=0时,集合M中的元素为0,2,故①正确;当x=1或2-x=1,即x=1时,集合M中的元素为1,1,不满足集合中元素的互异性,故②不正确;③显然正确.。
必修第一册1.1.1集合的含义与表示练习题及答案
1.1.1集合的含义与表示课后配餐一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）1.已知3∈{1,a,a−2}，则实数a的值为()．A. 3B. 5C. 3或5D. 无解2.定义集合运算：A∗B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2}，B={0,2}，则集合A∗B中的所有元素之和为()．A. 0B. 2C. 3D. 63.下列各组对象：(1)接近于0的数的全体；(2)比较小的正整数的全体；(3)平面上到点O的距离等于1的点的全体；(4)正三角形的全体；(5)√2的近似值的全体.其中能构成集合的组数是()A. 2B. 3C. 4D. 54.下列说法中正确的是()A. 2019年某汽车制造厂生产的所有汽车组成一个集合B. 某中学年龄较小的学生组成一个集合C. {1,2，3}与{2,1，3}是不同的集合D. 由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素5.已知x2∈{1,0，x}，则实数x的值为()A. 0B. 1C. −1D. ±16.给出下列命题：①√2∈Q；②{1,2}={(1,2)}；③2∈{1,2}；④{⌀}⊆{1,2}，其中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 37.对于数集M，N，定义M+N={x|x=a+b,a∈M,b∈N}，M÷N={x|x=ab,a∈M,b∈N}.若集合P={1,2}，则集合(P+P)÷P的所有元素之和为()A. 272B. 232C. 212D. 152二、多选题（本大题共1小题，共5.0分）8.下面说法正确的是()①{2,3}≠{3,2}；②{(x,y)|x+y=1}={y|x+y=1}；③{x|x>1}={y|y>1}；④{x|x+y=1}={y|x+y=1}A. ①B. ②C. ③D. ④第II卷（非选择题）三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）9.若A={2,3,a2+2a−3},B={a+3,2}，若5∈A,5∉B，则a=．∈Z}，用列举法表示集合A，则A=______．10.已知集合A={x∈Z|32−x四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）11.已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0}，其中a∈R．(1)若1是集合A中的一个元素，用列举法表示集合A．(2)若集合A中有且仅有一个元素，求实数a组成的集合B．(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．∈A，且1∉A．12.设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则11−a(1)若3∈A，求A；∈A．(2)证明：若a∈A，则1−1a13.用适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的偶数的集合；(2)被3除余1的正整数的集合；(3)一次函数y =2x −3图象上所有点的集合；(4)方程组{x +y =1x −y =−1的解集．14. 设集合A ={x ∈N|63+x ∈N}．(1)试判断0，2与集合A 的关系;(2)用列举法表示集合A ．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查集合中元素的性质，属于基础题．根据元素与集合的关系和元素的性质进行求解即可．【解答】解：因为3∈{1,a,a−2}，所以a−2=3或a=3．当a−2=3，即a=5时，满足题意；当a=3时，不满足集合元素的互异性，故舍去．综上可得a的值为5，故选B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合中元素的性质，元素与集合的关系，属中档题.根据题意求出集合A∗B中所有的元素即可得解．【解答】解：依题意，A={1,2}，B={0,2}，当x=1，y=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=2，当x=2，y=0时，z=0，当x=2，y=2时，z=4，则A∗B={0,2，4}，其所有元素之和为6，故选D．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的概念和性质，属于基础题．根据集合元素的“确定性”，各组进行分析，即可得正确选项．【解答】解：(1)“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；(2)“比较小的正整数的全体”的对象不确定，不能构成集合；(3)“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定，能构成集合；(4)“正三角形的全体”的对象是确定，能构成集合；(5)“√2的近似值的全体”的对象不确定，不能构成集合；故(3)(4)正确．故选A．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查集合的含义及集合中元素的性质，属于基础题．根据集合的含义即可得．【解答】解：A项中因为标准明确所以可以构成一个集合；B项中“较小”标准不明确不能构成集合；C项中三个元素组成的集合相等；D项中组成的集合有4个元素．故选A．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．属于较易题．根据集合元素和集合的关系确定x的值，注意元素的互异性的应用．【解答】解：∵x2∈{1,0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1,0，0}不成立．当x=1时，集合为{1,0，1}不成立．当x=−1时，集合为{1,0，−1}，满足条件．故x=−1．故选C．6.【答案】B【解析】解：①√2为无理数，∴√2∉Q，故①是假命题；②{1,2}是以1，2为元素的集合，{(1,2)}可以看成是以点(1,2)为元素的集合，故两个集合不相等，所以②是假命题；③由元素与集合的关系，知③是真命题；④集合{⌀}包含了一个元素⌀，而集合{1,2}包含了元素1，2，所以{⌀}⊈{1,2}，故④是假命题．故真命题的个数是1，故选：B．①根据√2为无理数，即可判断出①的真假；②{1,2}是以1，2为元素的集合，{(1,2)}可以看成是以点(1,2)为元素的集合，即可判断出真假；③由元素与集合的关系，即可判断出真假；④集合{⌀}包含了一个元素⌀，而集合{1,2}包含了元素1，2，即可判断出真假．本题考查了元素与集合之间的关系、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵P ={1,2}，∴a =1或2，∴P +P ={x|x =a +b,a ∈P,b ∈P}={2,3，4}，∴(P +P)÷P ={x|x =2,3，4，1，32}，∴元素之和为2+3+4+1+32=232， 故选：B ．根据定义分别求出(P +P)÷P 中对应的集合的元素即可得到结论．本题主要考查集合元素的确定，根据定义分别求出对应集合的元素是解决本题的关键．8.【答案】CD【解析】【分析】本题考查集合的概念和性质，解题时要熟练掌握基本知识和基本方法．集合中的元素具有无序性，故①不成立；{(x,y)|x +y =1}是点集，而{y|x +y =1}不是点集，故②不成立；③④正确．【解答】解：∵集合中的元素具有无序性，∴①{2,3}={3,2}，故①错误；{(x,y)|x +y =1}是点集，而{y|x +y =1}不是点集，故②错误；由集合的性质知③④正确．故选CD ．9.【答案】−4【解析】【分析】本题考查了元素与集合的关系，由题意得{a 2+2a −3=5a +3≠5，解出即可． 【解答】解：若A ={2,3,a 2+2a −3},B ={a +3,2}，若5∈A,5∉B ，则{a 2+2a −3=5a +3≠5，解得a =−4， 故答案为−4．10.【答案】{−1,1，3，5}【解析】解：∵x ∈Z ，32−x ∈Z ，∴2−x =±1或±3，即x =1，3，−1，5， 故A ={−1,1，3，5}，故答案为：{−1,1，3，5}．由x ∈Z 且32−x ∈Z 知2−x =±1或±3，从而求得．本题考查了集合的化简与列举法的应用，属于基础题．11.【答案】解：(1)∵1是A 的元素，∴1是方程ax 2+2x +1=0的一个根， ∴a +2+1=0，即a =−3，此时A ={x|−3x 2+2x +1=0}．∴x 1=1，x 2=−13，∴此时集合A ={−13,1};(2)若a =0，方程化为x +1=0，此时方程有且仅有一个根x =−12，若a ≠0，则当且仅当方程的判别式△=4−4a =0，即a =1时，方程有两个相等的实根x 1=x 2=−1，此时集合A 中有且仅有一个元素，∴所求集合B ={0,1};(3)集合A 中至多有一个元素包括有两种情况， ①A 中有且仅有一个元素，由(2)可知此时a =0或a =1， ②A 中一个元素也没有，即A =⌀，此时a ≠0，且△=4−4a <0，解得a >1， 综合 ① ②知a 的取值范围为{a|a ≥1或a =0}【解析】本题考查的知识点是集合中元素与集合的关系，一元二次方程根的个数与系数的关系，难度不大，属于基础题.(1)若1∈A ，则a =−3，解方程可用列举法表示A;(2)若A 中有且仅有一个元素，分a =0，和a ≠0且△=0两种情况，分别求出满足条件a 的值，可得集合B ．(3)集合A 中至多有一个元素包括有两种情况， ①A 中有且仅有一个元素， ②A 中一个元素也没有，分别求出即可得到a 的取值范围．12.【答案】解：(1)因为3∈A ，所以11−3=−12∈A ，所以11−(−12)=23∈A ， 所以11−23=3∈A ，所以A ={3,−12,23}.(2)证明：因为a ∈A ，有11−a ∈A ，所以11−11−a =1−a −a =1−1a ∈A ．【解析】(1)根据集合A 的定义，找出A 的所有元素即可；(2)有集合A 的定义证明即可．本题是新概念的题目，考查了元素与集合的关系的判断与应用，属于中档题．13.【答案】解：(1){−2,0，2}，(2){m|m =3k +1,k ∈N}，(3){(x,y)|y =2x −3}，(4)由{x +y =1x −y =−1，解得x =0，y =1，所以集合为{(0,1)}．【解析】本题考查了集合的概念，数集和点集，属于基础题．(1)根据条件直接表示集合即可；(2)根据条件直接表示集合即可；(3)根据条件直接表示集合即可；(4)先求出方程的解，再表示集合即可；14.【答案】解：(1)因为0，2∈N ，当x =0时，63+0=2∈N ，所以0∈A;当x =2时，63+2=65∉N ，所以2∉A .∈N，x∈N，(2)因为63+x所以x只能取0，3，所以A={0,3}．【解析】本题主要考查了集合的表示法，元素与集合的关系，属于基础题．(1)分情况讨论当x=0时，当x=2时，即可求解．∈N，x∈N，只能取0，3，即可得到结论．(2)由题可得63+x。
高一数学集合知识点及练习题
第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）AA A = （2）A ∅=∅ （3）AB A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集AC U{|,}x x U x A ∈∉且)()()()()()(B C A C B A C B C A C B A C UA C A A C A U U U U U U U U ===∅=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅例题讲解1.已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 ( )答案 B解析 由{}2|0N x x x =+=，得{1,0}N =-，则N M ⊂,选B.2.设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则UAB =( )A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x > 答案 B解析 对于{}1U C B x x =≤，因此UA B ={|01}x x <≤3.（北京文）设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = （ ） A ．{12}x x -≤< B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤<答案 A解析 本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运 算的考查∵1{|2},2A x x =-<<{}2{1}|11B x x x x =≤=-≤≤， ∴{12}AB x x =-≤<，故选A.4.(山东卷理)集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为 ( )A.0B.1C.2D.4 答案 D解析 ∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题. 5.（全国卷Ⅱ文）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则C u ( M N )=( ) A.{5，7} B.{2，4} C. {2.4.8} D. {1，3，5，6，7} 答案 C6.已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 答案 B解析 由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个，选B. 7．设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -= （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-答案 C8．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝（ ）A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3｝C ．｛x |1＜x ＜3｝D ．｛x |2＜x ＜3｝答案 D解析 {}{}2log 12N x x x x =>=>,用数轴表示可得答案D 。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(80)
1.1 集合的概念一、单选题1．集合{}13A x N x =∈-<<的真子集的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．82．设集合{}2,3,4A =，{}2,4,6B =，若x A ∈且x B ∉，则x 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 3．下列说法正确的是A QB QC ZD R 4．集合5793,,,,234⎧⎫⎨⎬⎩⎭用描述法可表示为（ ）A ．*21|,2n n x x n N +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ B ．*23|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ C ．*21|,n x x n N n -⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭ D ．*21|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭5．下列各组中的两个集合M 和N ，表示相等集合的是（ ）A ．{},{3.14159}M N π==B ．{2,3},{(2,3)}M N ==C ．{11,},{1}M x x x N N =-<≤∈=∣D ．{},{,1,M N ππ==6．定义集合运算：(){},,A B z z x x y x A y B ==-∈∈※︳，设集合 {}1,2A =，{}2,3B =，则集合 A B ※ 的所有元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 7．已知集合{|14,}A x x x Z =-≤<∈，则集合A 中元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6 8．下列给出的对象中，能组成集合的是（ ） A ．一切很大的数B ．好心人C ．漂亮的小女孩D ．方程210x -=的实数根9．关系：①{x x ≤Q ；③0N ∈；④0∈∅其中正确的个数是A ．4B ．3C ．2D ．1 10．若集合{}1,2,3,4,5A =，集合{}04B x x =<<，则图中阴影部分表示（ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}4,5D ．{}1,4二、填空题 1．若集合2{|440}A x kx x =-+=只有一个元素，则集合A =______．2．已知集合{}1,2,A m =，{}13,B n =,，若A B =，则m n +=_______． 3．已知，则实数的值是_________．4．已知()f x ax b =+，集合{}()0A x f x φ===(1)2,f =，则120182019a b -+=_____.5．用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是____________.三、解答题1．已知全集{}2{1,2,3,4},1,2,,{1,4}U A x B ===.(1)求U B(2)若A B B =，求x 的值.2．12345,,,,x x x x x 是正整数，任取四个正整数，其和组成的集合为{44,45,46,47}，求这五个数.3．用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程2x x =的所有实数根组成的集合；（3）由1～20以内的所有素数组成的集合；（4）方程240x -=的所有实数根组成的集合；4．（1）若21{1,21,1}a a a -∉-+-，求实数a 的取值范围；（2）已知由方程28160kx x -+=的根组成的集合A 只有一个元素，求实数k 的值．5．已知集合112A xx ⎧⎫=≤-⎨⎬-⎩⎭，设a A ∈，判断元素2292417b a a =-+与A 的关系.参考答案一、单选题1．C解析：先化简集合A ，再列举出所有真子集，从而可得答案．详解： 因为{}{}130,1,2A x N x =∈-<<=，所以A 的真子集为{}{}{}{}{}{},0,1,2,0,1,0,2,1,2∅可得真子集的个数为7，故选：C ．2．B详解：试题分析：由{}2,3,4x A ∈=得x 可以是2,3,4中的任意一个，但{}2,4,6x B ∉=，所以x 只能是3．故选：B考点：集合的概念和元素与集合的关系3．B解析：因为Q Q ，故A 错误，B 正确；在C Z （整数集），故C错误；在D ,故D 错误．故选B ．4．D解析：找出集合中元素的规律通式即可.详解： 由5793,,,,234，即3579,,,,1234，从中发现规律*21,n x n N n +=∈， 故可用描述法表示为*21|,n x x n N n +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭. 故选：D.点睛：本题考查集合的描述法，属于基础题.5．D解析：根据两个集合中元素是否相同可得正确的选项.详解：A 中，3.14159π≠，故两个集合不相等；B 中，N 为点的集合，M 为数的集合，两个集合不相等；C 中，{}0,1M =，{}1N =，两个集合不相等；D 中，{N π=，故两个集合相等.故选：D.点睛：本题考查两个集合相等的判断，一般依据两者元素是否相同来判断，也可以根据两者相互包含来判断，本题属于容易题.6．B解析：求出集合 A B ※ 的所有元素，即得解.详解：当1,2x y ==时，1(12)1z =⨯-=-；当1,3x y ==时，1(13)2z =⨯-=-；当2,2x y ==时，2(22)0z =⨯-=；当2,3x y ==时，2(23)2z =⨯-=-.所以集合 A B ※ 的共有3个元素.故选：B点睛：本题主要考查集合的新定义，考查集合的元素的互异性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：根据x 满足的不等式列举出x 的可能值，然后用列举法写出集合A ，即可得到集合A 中元素的个数.详解：因为14,x x Z -≤<∈，所以x 可取1,0,1,2,3-，所以{}1,0,1,2,3A =-，所以集合A 中元素的个数为5.故选：C.点睛：本题考查用列举法求集合中元素的个数，难度较易.8．D解析：,,A B C 都不满足集合的确定性，排除，解出方程可以确定构成集合.详解：A. 一切很大的数B. 好心人C. 漂亮的小女孩均不满足集合的确定性，排除；D. 方程210x -=的实数根为±1，可以构成集合.故选D点睛：本题考查了能否构成集合，属于简单题型.9．C解析：根据元素与集合间的关系和特殊集合：有理数集，自然数集，空集所表示的具体含义可得选项.详解：对于①(221817=>=，∴{x x ≤，故①正确；对于③：0是自然数，故③正确；对于④：空集中不含任何元素，故④错误；所以共有2个关系正确，故选C ．点睛：本题考查特殊集合：有理数集，自然数集，空集所表示的具体含义和元素与集合的关系，属于基础题.10．C解析：图中阴影部分所表示为()U C B A ⋂，利用已知计算可得出答案.详解：集合{}1,2,3,4,5A =，{}04B x x =<<，又图中阴影部分所表示为()U C B A ⋂，又{|4U C B x x =≥或}0x ≤∴(){}4,5U C B A ⋂=故选：C ．点睛：本题考查集合的交并补运算,考查韦恩图的应用,属于基础题.二、填空题1．{}1或{}2解析：根据A 只有一个元素可得出方程2440kx x -+=只有一个解，然后分类讨论，0k =或0(0)k ∆=≠，分别计算可得．详解：解：A 只有一个元素；∴方程2440kx x -+=只有一个解；0k =①时，440x -+=，1x =，满足题意；0k ≠②时，16160k =-=；1k ∴=；解2440x x -+=得，2x =；{}1A ∴=或{}2．故答案为：{}1或{}2．2．5解析：由集合的性质，即元素的无序性和互异性可得3,2m n ==，得5m n +=.详解：根据集合的元素具有无序性和互异性可得，3,2m n ==，所以5m n +=.故答案为：5.点睛：（1）集合A B =的充要条件是A B ⊆，且A B ⊇；（2）集合由三个性质：确定性，互异性和无序性.3．-1解析：试题分析：220,111(1)x x x x x x ≠≠⇒≠⇒=⇒=-舍去考点：元素互异性【名师点睛】对于集合中含有参数的问题，要注意将得到的参数的值代回集合中，对解出的元素进行检验，判断是否满足集合中元素的互异性．4．2020解析：由()f x ax b =+且集合{}()0A x f x φ===(1)2,f =，解得0a =，2b =，由此能求出120182019a b -+．详解：解：()f x ax b =+且集合{|()0}A x f x ===∅，0ax b ∴+=无解，0a ∴=，(1)2f =，2b ∴=，1020182019202a b -+=．故答案为：2020．点睛：本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 解析：解方程22320,x x x R --=∈，得112x =-，22x =，从而可得方程的解集.详解：解方程22320,x x x R --=∈，得112x =-，22x =，∴用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故答案为：1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 点睛：本题考查了列举法表示集合，属于基础题.三、解答题1．(1){2,3}；(2)2±.解析：（1）根据补集的定义，即可求解；（2）A B B =，可得B A ⊆，由子集定义，即可得出结论.详解：（1）∵{1,2,3,4}U =，{1,4}B =∴{2,3}U B =；(2)若A B B =，则B A ⊆，∵{}21,2,A x =，{1,4}B =，∴24x =，即2x =±.点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的关系求参数，属于基础题.2．10，11，11，12，13.解析：由题意知五个元素中有相同的，且其和为4的倍数推出相等和数为46，从而求出和总和为57，总数减去四个整数的和即为第5个数的值.详解：五个数任取四个可以得到五个和值，故必有两个和值相等.而这五个和值之和为()123454x x x x x ++++，是4的倍数.又44454647182+++=，所以这个相等的和值只可能是46，从而123454445464746574x x x x x ++++++++==，则这五个数分别为574413,574512,574611,574710,574611-=-=-=-=-=，即10，11，11，12，13.点睛：本题考查对正整数求和的特征掌握及数学转化的思想应用，属于中档题.3．（1）{}0123456789，，，，，，，，，；（2）{}01，；（3）{}235711131719，，，，，，，；（4）{}22-，. 解析：根据各小题中的对集合的元素的描述，确定集合的元素，然后写在大括号内，便得到其列举法表示.详解：（1）小于10的所有自然数为0123456789，，，，，，，，，，用列举法表示它们构成的集合为{}0123456789，，，，，，，，，； （2）由2x x =解得0x =或1x =,所以方程2x x =的所有实数根为0和1，用列举法表示所有实数根组成的集合为{}0,1；（3）1～20以内的所有素数为235711131719，，，，，，，，用列举法表示它们组成的集合为{}235711131719，，，，，，，； （4）方程240x -=的所有实数根为-2，2，用列举法表示它们组成的集合为{}22-，.4．（1）2a ≠-且0a ≠且1a ≠±且1a ≠±2）0k =或1k =解析：（1）根据集合中元素的互异性可构造不等式组求得a 的范围；假设{}211,21,1a a a -∈-+-，可构造方程求解出1a =-，由此可得结果；（2）当0k =时，方程为一元一次方程，符合题意；当0k ≠时，由一元二次方程有两相等实根得到0∆=，从而求得结果.详解：（1）由集合中元素的互异性得：2212111121a a a a a a -≠+⎧⎪-≠-⎨⎪-≠+⎩解得2a ≠-，0a ≠，1a ≠，1a ≠当{}211,21,1a a a -∈-+-时若11a -=-，解得：0a =（舍）若211a +=-，解得：1a =-，此时集合为{}2,1,0--若211a -=-，解得：0a =（舍）∴当1a =-时，{}211,21,1a a a -∈-+-综上所述，若{}211,21,1a a a -∉-+-，则实数a 的取值范围为：2a ≠-且0a ≠且1a ≠±且1a ≠（2）当0k =时，原方程变为8160x -+=，解得：2x =，符合题意；当0k ≠时，要使一元二次方程28160kx x -+=有两个相等的实根，需64640k ∆=-= 解得：1k =，此时方程的解为124x x ==，集合A 中只有一个元素4，符合题意综上所述：0k =或1k =点睛：本题考查根据元素与集合的关系求解参数范围、根据集合中元素的个数求解参数值的问题；易错点是忽略集合中元素的互异性对参数范围的影响.5．当513a ≤≤，且43a ≠时，b A ∈；当43a =或523a <<时，b A ∉.详解： 分析：{}1112,2A x x x x ⎧⎫=≤-=≤<⎨⎬-⎩⎭对b 变形并对a 分类讨论即可. 详解：根据题意{}1112,2A x x x x ⎧⎫=≤-=≤<⎨⎬-⎩⎭，2222,,924174913b a A a a a ==∈-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 故当513a ≤≤，且43a ≠时，b A ∈；当43a =或523a <<时，b A ∉.点睛：本题考查集合与元素的关系，解题的关键在于正确的分类讨论.。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(43)
1.1 集合的概念一、单选题1．设集合{}1,0,1,2U =-，{|}A y y x U =∈，则集合A 的子集个数为（ ） A ．2 B ．3C ．7D ．82．下列各组集合中，满足E=F 的是（ ）A ．E =，F=1.414}B ．(){}(){}2,1,1,2E F ==C ．{}{}22,E x y x F y y x ====D ．{}{}2,1,1,2EF ==3．下列关系中正确的是（ ）A ．0∈∅B QC ．0N ∈D ．{}1(0,1)∈ 4．已知集合|1{A x x =>或1}x <-，那么下列结论正确的是（ ） A ．0A ∈B ．1A ∈C ．1A -∈D ．1A ∉5．已知集合{}1,2,3A =，则下列说法正确的是（ ） A ．2A ∈B ．2A ⊆C ．2A ∉D ．∅=A614∉Q ；③0∈Z.其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．07．已知集合A ＝(x ，y)|x 2＋y 2＝1}，B ＝(x ，y)|y ＝2x ＋1}，则A∩B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．08．已知集合Ω中的三个元素,,l m n 分别是ABC 的三边长，则ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是 （ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形10．下列式子表示正确的有（ ）Q ；②N Z =；③Q R ⊆；④Q π∉ A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个二、填空题1．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m ＝________．2．已知集合2{|A x x ＝＋20}x a ＋＝，若1∈A，则A ＝________. 3．已知集合{}220A x R ax x =∈++=，若A 为单元素集合，则a =__________.4．设,a b ∈R ，集合{}{}2,0,a b a =，则b a -=_____________5．用列举法表示集合2|,,103m m N m N m -⎧⎫∈∈≤=⎨⎬⎩⎭_______. 三、解答题1．已知不等式2520ax x +->的解集是M ． （1）若2M ∈，求a 的取值范围； （2）若122M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．2．方程2210ax x ++=，R a ∈的根组成集合A .（1）当A 中有且只有一个元素时，求a 的值，并求此元素； （2）当A 中至少有一个元素时，求a 满足的条件.3．已知集合{|31,},{|32,},{|63,}A x x n n Z B x x n n Z C x x n n Z ==+∈==+∈==+∈. (1)若c C ∈,问是否存在,,a A b B ∈∈使c a b =+;(2)对于任意的,a A b B ∈∈,是否一定有a b C +∈?并证明你的结论.4．用适当的方法表示下列集合．（1）方程组2314328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合； （3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合； （4）所有三角形构成的集合．5．已知集合{}2320A x ax x =-+=，其中a 为常数，且R a ∈.（1）若A 是单元素集合，求a 的取值范围； （2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围.参考答案一、单选题 1．D解析：化简集合A ，再求子集的个数. 详解：{{|}A y y x U ==∈=∴集合A 的子集个数为328=个故选：D 2．D 详解：对于A1.414，所以{}1.414≠即E F ≠，故A 错误；对于B ，因为()2,1与()1,2是不同的点，所以(){}(){}2,11,2≠即E F ≠，故B 错误；对于C ，{}2E x y x R ===，{}{}20F y y x y ===≥，所以E F ≠，故C 错误；对于D ，由集合元素的无序性可得E F =，故D 正确. 故选：D.3．C解析：根据空集是不含有任何元素的集合，得到A B 不正确； 由元素与集合的关系，得到D 不正确，即可求解. 详解：由题意，A 中，空集是不含有任何元素的集合，所以不正确；Q 不正确； 根据元素与集合的关系，{}1(0,1)∈不正确， 又由0是自然数，所以0N ∈，故选C. 点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 4．D解析：根据元素与集合的关系直接进行判断. 详解：0,1，-1均不满足条件1x >或1x <-， 所以0A ∉，1A ∉，1A -∉. 故选：D 点睛：本题考查元素与集合关系的判断，属于基础题. 5．A解析：根据元素与集合之间关系，可直接得出结果. 详解：因为集合{}1,2,3A =，所以2A ∈. 故选：A 点睛：本题主要考查元素与集合之间关系的判断，熟记元素与集合之间的关系即可，属于基础题型. 6．B解析：根据常用数集,,Z Q R 分别的表示整数集，有理数集，实数集，判断关系式是否正确. 详解：由R 由Q 表示有理数集，则14Q ∈，故②错误； 由Z 表示有整数集，则0Z ∈，故③正确. 故正确的个数为2个. 故选：B 点睛：本题考查了常用数集的表示，识记常用数集表示所用的大写字母是解题的关键，属于基础题. 7．B解析：根据题意，联立方程组，求得方程组解的个数，即可求得集合中元素的个数. 详解：由22121x y y x ⎧+=⎨=+⎩解得01x y =⎧⎨=⎩或4535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故集合A∩B 中有2个元素， 故选：B 点睛：本题考查集合的交运算以及集合中元素的个数，属简单题. 8．D解析：根据集合元素的互异性即可判断. 详解：根据集合元素的互异性可知l m n ≠≠，故ABC 一定不是等腰三角形，故选：D 9．D解析：根据几何元素的互异性可以得到结论． 详解：因为集合{},,M a b c =，所以由集合元素的互异性可得a b ，a c ≠，bc ≠，所以△ABC 一定不是等腰三角形. 故选：D. 10．C解析：根据集合,,,N Z Q R 的意义即可做出判断. 详解：因为集合Z 中有负数，N 中没有负数，所以②错误； ③Q R ⊆正确；因为π是无理数，所以④正确， 故选C. 点睛：本题考查常用数集及其关系，属基础题.二、填空题1．3解析：根据集合与元素的关系，分类求得m 的值，然后利用集合元素的互异性检验取舍. 详解：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2， 解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证， 当m ＝0或m ＝2时，不满足集合中元素的互异性， 当m ＝3时，满足题意， 故m ＝3. 答案：32．－3,1}解析：集合2{|A x x ＝＋20}x a ＋＝，1∈A，则2x ＋20x a ＋＝由一根是1，所以21＋20a ＋＝，a =-3,所以2x ＋23x -=0，x=1或x=-3,所以A ＝－3,1} 3．0或18解析：分0a =和0a ≠两种情况讨论，根据方程220ax x ++=只有一根可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值. 详解：当0a =时，{}{}{}220202A x R ax x x x =∈++==+==-，合乎题意；当0a ≠时，要使A 为单元素集合，只需180a ∆=-=，解得18a =. 综上所述：0a =或18. 故答案为：0或18. 4．1-解析：根据集合的互异性原则,可求得a 与b 的值,即可求得b a -的值. 详解：因为集合{}{}2,0,a b a =所以0a =或0b =当0a =时,集合20a =,因而元素重复,与集合的互异性原则相悖,所以舍去0a = 当0b =时,可得2a a =,解得0a =(舍)或1a =综上可知, 1a =,0b = 所以011b a -=-=- 故答案为: 1- 点睛：本题考查了集合的互异性原则及集合相等的应用,属于基础题.5．{}2,5,8解析：由,10m N m ∈≤得0,1,2,,10m =，依次把m 值代入23m -，若23m N -∈成立，则得到的m 值为集合中的元素. 详解：由,10m N m ∈≤得0,1,2,,10m =， 当2m =时，2203N -=∈，当5m =时，5213N -=∈，当8m =时，8223N -=∈， 所以2|,,103m m N m N m -⎧⎫∈∈≤=⎨⎬⎩⎭{}2,5,8. 故答案为{}2,5,8. 点睛：本题考查集合描述法的元素具有的性质、集合列举法表示，考查对集合概念的理解和基本运算求解能力.三、解答题1．（1）2a >-；（2）132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．解析：（1）将2代入不等式，满足不等式求解即可.（2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理求出2a =-，将a 代入不等式求解即可. 详解：（1）∵2M ∈，∴225220a ⨯+⨯->，∴2a >- （2）∵122M xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∴1,22是方程2520ax x +-=的两个根，∴由韦达定理得15221222aa ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，解得2a =-，∴不等式22510ax x a -+->，即为：22530x x --+>， 其解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．点睛：本题考查了由一元二次不等式的解集求参数值、一元二次不等式的解法，考查了考生的基本运算能力，属于基础题.2．（1）当0a =时，集合A 中的元素为12-；当1a =时，集合A 中的元素为1-；（2）1a ≤. 解析：（1）根据题意可知方程2210ax x ++=为一元一次方程或者一元二次方程有两相等根，由此可求出；（2）根据题意可知方程2210ax x ++=有两个不等实根或有两个相等实根或有且只有一个实根，由此分类求出满足条件的a 值。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(87)
1.1 集合的概念一、单选题1．设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，若A ⊆B ，则a 的取值范围是（ ） A ．}{2a a ≥B ．}{1a a ≤C ．}{1a a ≥D ．}{2a a ≤2．给出下列关系： ①12∈R； ②2∈Q； ③|﹣3|∈N； ④|-3|∈Z； ⑤0∉N ，其中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．104．已知下列四对数值是方程组22113y x x y =+⎧⎨+=⎩的解集是（ ） A ．(){}3,2 B ．(){}3,2-C ．()(){}2,3,3,2--D ．(){}3,2-5．已知集合A ＝x∈R|x－，则下列各式正确的是( )A ．3∈A 且－3∉AB ．3∈A 且－3∈AC ．3∉A 且－3∉AD ．3∉A 且－3∈A6．已知{}|330A x N x =∈->，则下列成立的是（ ） A ．1A ∈B ．0A ∈C ．1A -∈D ．0.5A ∈7．下列表示正确的是 A ．0N ∈B ．12Z ∈C ．3N -∈D ．Q π∈8．已知集合2{|1},A x x a A =>∈, 则 a 的值可以为 A ．-2B ．1C ．0D ．-19．下面能构成集合的是 （ ） A ．大于3小于11的偶数 B ．我国的小河流 C ．高一年级的优秀学生D ．某班级跑得快的学生10．设非空数集M 同时满足条件：①M 中不含元素－1，0，1；②若a∈M，则11aa+-∈M.则下列结论正确的是（ ） A ．集合M 中至多有2个元素 B ．集合M 中至多有3个元素 C ．集合M 中有且仅有4个元素 D ．集合M 中至少有4个元素 二、填空题1．已知集合{}22,2A m m m =++，若3A ∈，则m 的值为___________.2．若集合{}240,A x x x k x R =++=∈中只有一个元素，则实数k 的值为_______．3．对非空有限数集12{,,,}n A a a a =定义运算“min”：min A 表示集合A 中的最小元素．现给定两个非空有限数集A ，B ，定义集合{|,,}M x x a b a A b B ==-∈∈，我们称min M为集合A ，B 之间的“距离”，记为AB d ．现有如下四个命题：①若min min A B =，则0AB d =；②若min min A B >，则0AB d >； ③若0AB d =，则A B ⋂≠∅；④对任意有限集合A ，B ，C ，均有AB BC AC d d d +．其中所有真命题的序号为__________．4．已知集合{}22,2,A a a a =--，若2A ∈，则a =__________.5．用列举法表示集合10|,1M m Z m Z m ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭＝________． 三、解答题1．已知集合A 有三个元素：a －3，2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0，1，x. （1）若－3∈A，求a 的值； （2）若x 2∈B，求实数x 的值； （3）是否存在实数a ，x ，使A ＝B ．2．用列举法写出集合{||1||2|7}A x x x =∈-+-=N .3．判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由． （1）集合{}2,4,6与集合{}4,2,6表示同一集合； （2）集合(){}2,3与集合(){}3,2表示同一集合； （3）集合{}3x x >与集合{}3t t >表示同一集合；（4）集合{}2,y y x x R =∈与集合(){},2,x y y x x R =∈表示同一集合；4．方程ax=b 是关于x 的方程.当a 、b 满足什么条件时，该方程的解集是有限集？当a 、b 满足什么条件时，该方程的解集是无限集？5．设A 是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A 且3a∈A，求a 的值．参考答案一、单选题 1．A解析：由题意，用数轴表示集合的关系，从而求解． 详解：}{12A x x =<<，}{B x x a =<，由数轴表示集合，作图如下：由图可知2a ≥，即a 的取值范围是}{2a a ≥ 故选：A 2．D解析：根据元素与集合的关系可逐项判断. 详解：根据元素与集合的关系： ①12∈R，正确； ②2∈Q，正确； ③|﹣3|=3∈N，正确； ④|-3|=3∈Z，正确； ⑤0∉N ，错误， 故正确的个数为4． 故选：D ． 3．D解析：根据题中条件，由列举法写出集合B 中的所有元素，即可得出结果. 详解：因为集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，当0x =时，0y =；则()0,0是集合B 中的元素；当1x =时，0y =或1y =，则()1,0，()1,1是集合B 中的元素；当2x =时，0y =或1y =或2y =，则()2,0，()2,1，()2,2是集合B 中的元素；当3x =时，0y =或1y =或2y =或3y =，则()3,0，()3,1，()3,2，()3,3是集合B 中的元素. 即B 中所含元素的个数为10个. 故选：D. 4．C解析：将y 用1x +表示，由此求解出方程组的解，然后用列举法表示出解集. 详解：因为()22113x x ++=，解得2x =或3x =-， 所以方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩或32x y =-⎧⎨=-⎩，所以解集为()(){}2,3,3,2--， 故选：C. 5．D解析：利用元素与集合的关系直接求解． 详解：集合A ＝x∈R|x－∉A又D ． 点睛：本题考查元素与集合的关系的判断，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 6．B解析：集合{}|330A x N x =∈->＝0}，即可得出结论． 详解：集合{}|330A x N x =∈->＝x N ∈ |x ＜1}＝0}， 则0∈A， 故选：B ． 点睛：本题考查集合的含义与表示，考查了元素与集合的关系，比较基础．解析：利用元素与集合的关系直接求解． 详解：在A 中，0∈N，故A 正确； 在B 中，12Z ∉，故B 错误； 在C 中，﹣3∉N ，故C 错误； 在D 中，π∉Q ，故D 错误． 故选：A ． 点睛：本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．A解析：先解不等式得{}|11A x x x =><-或，再由元素与集合的关系逐一判断即可得解. 详解：解：解不等式21x >，解得1x >或1x <-， 即{}|11A x x x =><-或， 又2,1,0,1A A A A -∈∉∉∉, 则a 的值可以为-2, 故选A. 点睛：本题考查了二次不等式的解法，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 9．A解析：结合集合中元素的特征，对选项逐个分析可选出答案. 详解：由题意，对于A ，大于3小于11的偶数为4,6,8,10，可以构成集合； 对于B ，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性； 对于C ，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性； 对于D ，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性. 故选：A. 点睛：本题考查集合，注意集合中元素的特征：“确定性”、“互异性”、“无序性”，属于基础10．D解析：由若a∈M，则11aa+-∈M，依次计算可求出集合M中的元素详解：因为a∈M，11aa+-∈M，所以111111aaaa++-+--＝－1a∈M，所以1111aa+---＝11aa-+∈M，又因为11111aaaa-++--+＝a，所以集合M中必同时含有a，－1a ，11aa+-，11aa-+这4个元素，由a的不确定性可知，集合M中至少有4个元素．故选：D二、填空题1．3 2 -解析：根据题意，分别讨论23m+=与223m m+=的情况，结合互异性即可求出m的值. 详解：由题意知，当23m+=，即1m=时，223m m+=，此时集合A中有重复元素3，所以1m=不符合题意；当223m m+=，即32m=-或1m=(舍)时，23m+≠，符合题意.综上，32m=-.故答案为：32 -.2．4解析：∵240x x k ++=由唯一的实根， ∴164k 0=-=， 解得：4k = 故答案为：4 3．①③解析：根据题意可得①③正确，通过举反例可得②④错误. 详解：对于结论①，若min min A B =，则A ，B 中最小的元素相同，故①正确；对于结论②，取集合{}1,2A =，{}0,2B =，满足min min A B >，但0AB d =，故②错误； 对于结论③，若0AB d =，则,A B 中存在相同的元素，则交集非空，故③正确； 对于结论④，取集合{}1,2A =，{}2,3B =，{}3,4C =，可知0AB d =，0BC d =，1AC d =， 则AB BC AC d d d +≥不成立，故④错误. 故答案为：①③．4．1或2；解析：由2A ∈，可得22a =或22a a -=，注意要满足集合元素的互异性，即可得解. 详解：由{}22,2,A a a a =--，2A ∈，若22a =，1a =，20a a -=， 此时{}2,2,0A =-，符合题意； 若22a a -=，则2a =，1a =-， 当1a =-时，22a =-，不符题意， 当2a =时，{}2,4,2A =-，符合题意， 综上可得：1a =或2a =. 故答案为：1或2.5．－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}. 解析：利用题目条件，依次代入，使101Z m Z m ∈∈+，，从而确定出m 的值，即可得到答案 详解：101Z m Z m ∈∈+，， 1m ∴+为10的因数则11251010521m +=----，，，，，，， 014911632m ∴=----，，，，，，，则答案为{}116320149----，，，，，，， 点睛：本题主要考查了集合的表示法，理清题意，找出满足条件的因数是关键，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．三、解答题1．（1）a ＝0或－1；（2）x ＝－1；（3）不存在.解析：（1）若3A -∈，则33a -=-或213a -=-，再结合集合中元素的互异性，能求出a 的值． （2）当x 取0，1，1-时，都有2x B ∈，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数x 的值． （3）210a +≠，若30a -=，则3a =，{0A =，5，10}B ≠，若210a -=，则12a =，{0A =，52-，5}4B ≠，由此求出不存在实数a ，x ，使A B =． 详解：解：（1）集合A 中有三个元素：3a -，21a -，21a +，3A -∈，33a ∴-=-或213a -=-，解得0a =或1a =-，当0a =时，{3A =-，1-，1}，成立； 当1a =-时，{4A =-，3-，2}，成立．a ∴的值为0或1-．（2）集合B 中也有三个元素：0，1，x ．2x B ∈， 当x 取0，1，1-时，都有2x B ∈，集合中的元素都有互异性，0x ∴≠，1x ≠-，1x ∴=-．∴实数x 的值为1-．（3）210a +≠，若30a -=，则3a =，{0A =，5，10}B ≠， 若210a -=，则12a =，{0A =，52-，5}4B ≠， ∴不存在实数a ，x ，使A B =．点睛：本题主要考查元素与集合的关系、集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．{5}A =解析：利用绝对值的几何意义求出x ,根据x N ∈,用列举法表示即可. 详解：因为|1||2|7x x -+-=的几何意义是数轴上的点x 到1和2的距离之和为7， 故5x =或2-，又x N ∈，所以5,{5}x A =∴=. 点睛：本题考查绝对值的几何意义和集合的表示法;正确求出方程的解是求解本题的关键;属于基础题.3．（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）错误解析：（1）根据元素的无序性可知两集合为同一集合；（2）集合为点集，元素不同，不是同一集合；（3）两集合均表示大于3的所有实数的集合，为同一集合；（4）两集合分别为数集和点集，不是同一集合. 详解：（1）集合元素具有无序性，{}2,4,6与{}4,2,6元素完全相同，故为同一集合，正确 （2）两集合为点集，()2,3与()3,2表示的点不同 (){}(){}2,33,2∴≠∴两集合表示的不是同一集合，命题错误（3）{}3x x >与{}3t t >均表示大于3的所有实数的集合 {}{}33x x t t ∴>=> 即两集合表示的是同一集合，命题正确（4）{}2,y y x x R =∈为数集；(){},2,x y y x x R =∈为点集∴两集合表示的不是同一集合，命题错误点睛：本题考查同一集合的判定，关键是明确只有元素完全相同时，两集合为同一集合；易错点是忽略点集和数集的区别.4．当a≠0时，或a=0且b≠0时，解集是有限集；当a=b=0时，解集是无限集. 解析：解方程ax=b ，对a 、b 直接分类讨论即可. 详解：当a≠0时，方程的解为ba，有一个解，有限集； 当a=0且b≠0时，方程无解，解集为空集，有限集； 当a=b=0时，方程有无数个解，则解集为无限集.5．a＝0或1.详解：试题分析：试题解析：∵a∈A且3a∈A，∴a<6且3a<6，∴a<2.又∵a是自然数∴a＝0或1.。
1.1.1 集合的概念
安宜高级中学高一A 数学作业纸A 1.1.1集合的概念姓名 班级 学号一、填空题：1、下列说法正确的是 （填正确的序号）①某个村子里的年青人组成一个集合；②所有小正数组成的集合③集合｛１，２，３，４，５｝和｛５，４，３，２，１｝表示同一个集合④1361,0.5,,,224 2、下面有三个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；其中正确命题的个数为3、用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______N ,5______N , 16______N （2）21- Q ,π Q （e 是个无理数） 4、由实数332,|,|,,x x x x x --所组成的集合中，最多含有元素的个数 为5、若集合A 中有三个元素3，x ，x 2－2x ，则x 不能取6、已知c b a ,,为非零实数，代数式||||||||abc abc c c b b a a +++的值所组成的集合为M ，则M 中的元素有7、以方程0652=+-x x 和方程022=--x x 的解为元素构成集合M ，则M 中元素有8、N m m x N x ∈-=∈,8,，又M x ∈，则集合M 中的元素个数至少 为 个9、小于或等于x 的最大整数与不小于x 的最小整数之和是15，则x 的取值范围是订正二、简答题：10、已知集合A 中有三个元素是10,52,22a a a +-，其中有一个元素是3-，求实数a 的值？11、集合A 的元素由kx 2－3x ＋2＝0的解构成，其中k ∈R ，若A 中的元素至多有一个，求k 值的范围.12、已知集合},,3|{Z ∈+==b a b a x x A ，试判断下面的元素x 与集合A 的关系：（1）312-=x ；（2）若21,x x 都是集合A 中的元素，21x x x ∙=订正参考答案1、③；2、0；3、,,,∈∉∈∈∉；4、2；5、1,0,3-；6、4,4,0-；7、2,3,1-8、9；9、78x <<10、32a =-；11、908k k =≥或；12、（1）x A ∈;（2）x A ∈。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(27)
1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{|2,}A x x k k N ==∈，{|4,}B x x k k N ==∈，则A 与B 的关系为（ ） A ．A B ⊆B ．B A ∈C ．B A ⊆D ．A B =2．已知集合{}2,1,0,1,2,3M =--，若集合N 满足N M ⊆，则N 可能为（ ） A ．{}3,2,1,0,1,2,3--- B ．{}3,2,1--- C ．{}2,1,0,1,2,3,4--D ．{}0,1,23．若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．104．已知{}232,2a a ∈++，则实数a 的值为（ ）A ．1或1-B ．1C ．1-D ．1-或05．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ⋂=A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-6．下列说法：①集合x∈N|x 3＝x}用列举法表示为－1,0,1}； ②实数集可以表示为x|x 为所有实数}或R}； ③方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为x ＝1，y ＝2}．其中正确的有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个7．如果集合{}2|410A x ax x =++=中只有一个元素，则a 的值是（ ）A ．0B ．4C ．0或4D ．不能确定 8．已知全集{0,1,2,3,4,5}，集合{1,5}A =，集合{2}B =，则集合()U C A B ⋃=（ ） A ．{0,2,3,4}B ．{0,3,4}C ．{2}D ．φ9．设集合{}1A x Q x =∈>-，则（ ）A ．0A ∉B AC ．{2}A ∈D ．A10．现有以下说法，其中正确的是 ①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于3的所有自然数构成一个集合． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④二、填空题1．把集合{37}A x N x =∈<<用列举法表示出来_______________. 2．2{|420}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是___________.3．式子22a b a a b a +++________.4．若{a ∈，则a =______．5．已知不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围是________ 三、解答题1．对于集合A ，B ，我们把集合(){},|,a b a A b B ∈∈记作A B ⨯例如，{}1,2A =，{}3,4=B ，则有：()()()(){}1,3,1,4,2,3,2,4⨯=A B ，()()()(){}3,1,3,2,4,1,4,2⨯=B A ，()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2⨯=A A ，()()()(){}3,3,3,4,4,3,4,4⨯=B B ，据此，试回答下列问题：（1）已知{}=C a ，{}1,2,3=D ，求C D ⨯；（2）已知()(){}1,2,2,2⨯=A B ，求集合A ，B ；（3）若集合A 中有3个元素，集合B 中有4个元素，试确定A B ⨯中有多少个元素.2．已知函数()()25,f x x bx c b c R =++≤∈，记(){}A x f x x ==，()(){}B x f f x x ==．（1）若5b =，3c =，求集合A 、B ；（2）若集合{}12,A x x =，{}1234,,,B x x x x =，且12341x x x x -+-≤恒成立，求b c +的取值范围．3．已知集合{1,2,}A a =,{}2,1B a a =+(1)当1a =-时,求A B .(2)是否存在实数a ,使得{0}A B =,说明你的理由;(3)记{}2|,C y y x x A ==∈若B C ⋃中恰好有3个元素,求所有满足条件的实数a 的值.(直接写出答案即可)4．已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ； （3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围5．已知集合{}12,,,n S a a a =中的元素都是正整数，对任意,i j a a S ∈，定义11(,)||i j i j d a a a a =-.若存在正整数k ，使得对任意(),i j i j a a S a a ∈≠，都有21(,)i j d a a k ≥，则称集合S 具有性质k F .记()d S 是集合中的(){},,i j i j d a a a a S |∈最大值.（1）判断集合{}1,2,3,4A =和集合{}6,8,12,16B =是否具有性质4F ，直接写出结论； （2）若集合S 具有性质k F ，求证： ①21()n d S k -≥； ②21n k ≤-.参考答案一、单选题 1．C解析：根据子集的概念分析可得结果. 详解：若x B ∈，则42(2)x k k A ==∈，所以B A ⊆， 因为2A ∈，且2∉B ，所以A 不是B 的子集. 故选：C 点睛：关键点点睛：掌握子集的概念是解题关键. 2．D解析：由子集的概念，即可得出结果. 详解：N M ⊆3M -∉，A ，B 不正确； 4∉M ，C 不正确；0,1,2∈∈∈M M M ，D 正确.故选：D 3．D解析：根据题中条件，由列举法写出集合B 中的所有元素，即可得出结果. 详解：因为集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，， 当0x =时，0y =；则()0,0是集合B 中的元素；当1x =时，0y =或1y =，则()1,0，()1,1是集合B 中的元素；当2x =时，0y =或1y =或2y =，则()2,0，()2,1，()2,2是集合B 中的元素；当3x =时，0y =或1y =或2y =或3y =，则()3,0，()3,1，()3,2，()3,3是集合B 中的元素. 即B 中所含元素的个数为10个.4．C解析：分类讨论，解出a ，根据集合中元素的互异性进行验证可得解. 详解：当23a +=时，得1a =，此时223a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意； 当223a +=时，得1a =±，若1a =，则23a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；若1a =-，则21a +=，满足{}232,2a a ∈++.故选：C 点睛：易错点点睛：求出a 后，不对集合中元素的互异性进行验证导致错误. 5．A解析：本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 详解：={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-故选：A 点睛：易于理解集补集的概念、交集概念有误. 6．D解析：x 3=x 的解为-1，0，1，因为x∈N 从而可知①错误；实数集可以表示为x|x 为实数}或R ，故②错误；集合x=1，y=2}表示x=1与y=2两条直线，故③错误． 详解：∵x 3=x 的解为-1，0，1，∴集合x∈Z|x 3=x}用列举法表示为-1，0，1}，故①正确； 实数集可以表示为x|x 为实数}或R ，故②错误；方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为（1，2）}，集合x=1，y=2}中的元素是x=1，y=2；故③错误；故选D ． 点睛：本题考查了元素与集合的关系的判断及集合的表示法的应用，属于基础题． 7．C解析：利用0a =与0a ≠，结合集合元素个数，求解即可．解：当0a =时，集合21{|410}{}4A x ax x =++==-，只有一个元素，满足题意；当0a ≠时，集合2{|410}A x ax x =++=中只有一个元素，可得2440a ∆=-=，解得4a =． 则a 的值是0或4． 故选：C ． 点睛：本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题． 8．A解析：由集合的并集、补集运算，先求出{0234}，，，=U C A ，再求出(){0,2,3,4}=U C A B ，即可得结果. 详解：全集{0,1,2,3,4,5}，集合{1,5}A =则{0234}，，，=U C A 集合{2}B =所以(){0,2,3,4}=U C A B 故选：A 点睛：本题考查了集合的并集和补集运算，考查了数学运算能力，属于基础题目. 9．B解析：根据有理数的分类，结合元素与集合的关系、集合与集合的关系逐一判断即可. 详解：集合A 用语言叙述是所有大于－1的有理数， 所以0是集合A 中的元素，故A 错，A 中的元素，故B 正确，2}应该是集合A 的子集，故C 错误，不是集合A 的子集，故D 错误．故选：B 10．D解析：由集合元素特征三要素中的“确定性”可以判断正误． 详解：在①中，接近于0的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，高科技的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．故选D ． 点睛：集合元素的三要素是：确定性、互异性和无序性.确定性是指集合中的元素是明确的，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，两者只能取其一．互异性是指集合中不能有相同元素．无序性指集合中的元素没有顺序．二、填空题 1．{}4,5,6解析：根据x 为自然数及x 的范围，即可列出x 的所有取值，即可得答案. 详解：因为x ∈N 且37x ， 所以x 的所有取值为4,5,6， 故答案为：{}4,5,62．{|2a a 或0}a =解析：由集合A 为方程的解集，根据集合A 中至多有一个元素，转化为方程至多有一个解求解. 详解：当0a =时，方程2420ax x -+=，即为12x =，1{}2A =，符合题意； 当0a ≠时，因为2420ax x -+=至多有一个解， 所以△1680a =-， 解得2a ，综上，a 的取值范围为：2a 或0a =. 故答案为：{|2a a 或0}a =. 点睛：本题主要考查集合元素的个数以及方程的解，还考查了分类讨论思想，属于基础题. 3．{}2,0，得到 0b <，再分0a >和 0a <求解.详解：， 所以 0b <，当0a >时，222a b a a b a ++=，当0a <时，220a b a a b a ++=，所以式子22a b a a b a +++{}2,0，故答案为： {}2,0 点睛：本题主要考查式子的化简和集合的表示，属于基础题. 4．0解析：分别令1a =和a =a 的值，再检验满足元素互异性即可. 详解：当1a =时，则{{}1,1=，不满足元素互异性，舍去；当a =1a =（舍）或0a =，此时{{}1,0=，符合题意， 所以0a =， 故答案为：0 点睛：本题主要考查了集合元素的互异性和确定性，属于基础题.5．3[,1)2--解析：由题意可知，代入2x =可满足不等式，代入3x =则不满足不等式，从而得到关于a 的不等式组，解得a 的取值范围. 详解：因为不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉， 所以可得代入2x =，不等式成立，即2022222a≤+⨯+，解得1a <-， 代入3x =，不等式不成立，即2323032a+⨯>+，解得32a >-， 且当32a =-时，3x =也不满足不等式，综上，a 的范围为3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，故答案为：3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭点睛：本题考查根据分式不等式的解集中的元素求参数的范围，属于中档题.三、解答题1．（1）()()(){},1,,2,,3⨯=C D a a a ；（2）{}1,2A =，{}2B =；（3）12个元素. 解析：（1）根据(){},|,⨯=∈∈A B a b a A b B ，计算C D ⨯即可. （2）根据()(){}1,2,2,2⨯=A B ，即可得到集合A ，B .（3）根据A B ⨯的定义得到若A 中有m 个元素，B 中有n 个元素，则A B ⨯中应有m n ⨯个元素，由此即可得到答案. 详解：（1）()()(){},1,,2,,3⨯=C D a a a ，（2）因为()(){}1,2,2,2⨯=A B ，所以{}1,2A =，{}2B =.（3）由题意可知A B ⨯中元素的个数与集合A 和B 中的元素个数有关，即集合A 中的任何一个元素与B 中的任何一个元素对应后，得到A B ⨯中的一个新元素. 若A 中有m 个元素，B 中有n 个元素，则A B ⨯中应有m n ⨯个元素.于是，若集合A 中有3个元素，集合B 中有4个元素，则A B ⨯中有12个元素. 点睛：本题主要考查集合的新定义，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.2．（1）{}1,3A =--，{}1,3B =--；（2）5,84⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.解析：（1）当5b =，3c =时，直接解方程()f x x =可得集合A ，解方程()()0f f x x -=可得集合B ；（2）由题意得()()()()2121f x x x b x c x x x x -=+-+=--，由此化简得出()()()()()()1221111f f x x x x x x x x x x ⎡⎤-=---+-++⎣⎦，由此可得出3x 、4x 是方程()()()2121221110x x x x x x -+-+--+=的两根，利用韦达定理可得1234x x x x -+-=()24145b c <--≤，经过化简计算得出b c+的取值范围. 详解：（1）当5b =，3c =时，()253f x x x =++，则()()()24313f x x x x x x -=++=++，{}1,3A ∴=--.()()()()()()()()()()()()1313f f x x f f x f x f x x f x f x x x -=-+-=+++++()()()()()()1313f x x x f x x x x x =-++-+++++()()()()()()()()()()()32143213136913x x x x x x x x x x x x =+++++++=++++=++，{}1,3B ∴=--；（2）由题意得()()()()2121f x x x b x c x x x x -=+-+=--，()()()()()()()()()()()()1212f f x x f f x f x f x x f x x f x x x x x x -=-+-=--+-- ()()()()()()1212f x x x x f x x x x x x x x =-+--+-+--()()()()()()12211211x x x x x x x x x x x x =--+--++--()()()()1221111x x x x x x x x =---+-++⎡⎤⎣⎦，则方程()()211110x x x x -+-++=的两根为3x 、4x ，即方程()()()2121221110x x x x x x -+-+--+=的两根为3x 、4x ，由韦达定理得34122x x x x +=+-，()3412122x x x x x x =-++，34x x ∴-=1234x x x x -+-=令2t =>，1t ，函数()g t t =()2,+∞上单调递增，且1g ，则()g t g ≤，2t ∴<≤()24145b c ∴<--≤，则()()22151444b bc ----≤<，()()22151444b b bc +-+-∴≤+<，55b -≤≤，416b ∴-≤+≤，()20136b ∴≤+≤，因此，584b c -≤+<.点睛：本题考查方程的求解，同时也考查了代数式取值范围的计算，涉及不等式基本性质的应用，灵活利用因式分解是解答的关键，考查计算能力，属于难题.3．(1){}1,0,1,2A B ⋃=-.(2)不存在,证明见解析;(3)0a =,3a =.解析：解:(1)将1a =-代入集合中,再求出A B 即可.(2)不存在.证明:若{0}A B =,则0{1,2,}A a ∈=且{}20,1B a a ∈=+,将0a =代入集合A 和B 中,再求交集,得出{0,1}A B =,与{0}A B =矛盾,故不存在.(3)根据{1,2,}A a =得出{}21,4,C a =,再根据B C ⋃中恰好有3个元素,即可得出满足条件的实数a 的值.详解：解:(1)当1a =-时,{1,2,1}A =-,{}1,0B =所以{}1,0,1,2A B ⋃=-.(2)不存在实数a ,使得{0}A B =,证明:若{0}A B =,则0{1,2,}A a ∈=,且{}20,1B a a ∈=+,所以0a =,则{1,2,0}A =,{}0,1B =则{0,1}A B =,与{0}A B =矛盾,故不存在实数a ,使得{0}A B =;(3)因为{}2|,C y y x x A ==∈,{1,2,}A a =所以C 含有21,4,a ，{}2,1B a a =+,B C ⋃含有21,4,,1a a +，又因为B C ⋃中恰好有3个元素,所以当11a +=时,0a =, {}1,4,0B C ⋃=,当14a +=,3a =,{}1,4,9B C ⋃=,所以满足条件的实数a 的值有0a =,3a =.点睛：本题考查集合的基本性质和集合的基本运算,注意集合的互异性是解题中容易出错的地方.4．（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：（1）方程ax 2﹣3x+2＝0无解，则0a ≠，根据判别式即可求解；（2）分a ＝0和a≠0讨论即可；（3）综合（1）（2）即可得出结论.详解：（1）若A 是空集，则方程ax 2﹣3x+2＝0无解此时0,a ≠ ∆＝9-8a ＜0即a 98＞ 所以a 的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x+2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a≠0，此时∆＝9﹣8a ＝0，解得：a 98=∴a＝0或a 98= 当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.5．（1）集合{1,2,3,4}A =具有性质4F ，集合{6,8,12,16}B =不具有性质4F ；（2）①证明见解析；②证明见解析.解析：（1）根据定义，任意(),i j i j a a S a a ∈≠，都有21(,)i j d a a k ≥，对集合A 和B 进行计算即可；（2）不妨设12n a a a <<<， （i ）由120n a a a <<<<得12111n a a a >>>，1111111111()()()0n i j i j na a a a a a a a ---=-+-≥，所以11111n i ja a a a -≥-，再结合新定义即可得解， （ii ）由（i ）可知，对任意1,2,,1i n =-，都有21112(,)(,)(,)(,)i i i n n n i i n id a a d a a d a a d a a k-+++-=+++≥， 所以211i n n i a a k --≥，所以21i n i a k->，因为对任意1,2,,1i n =-，i a i ≥，所以11i a i ≤，所以21n i i k->，即2()i n i k -<，再利用反证法即可得解. 详解：（1）集合{1,2,3,4}A =具有性质4F ，集合{6,8,12,16}B =不具有性质4F .（2）证明：不妨设12n a a a <<<. （i ）由120n a a a <<<<得12111na a a >>>. 对任意1i j n ≤≤≤，有11(,)(,)i j j i i jd a a d a a a a ==-， 因为1111111111()()()0n i j i j na a a a a a a a ---=-+-≥， 所以11111n i ja a a a -≥-. 所以对任意1i j n ≤≤≤，都有1(,)(,)n i j d a a d a a ≥，所以111()n d S a a =-. 又因为11223111111111n n n a a a a a a a a --=-+-++- 1223121(,)(,)(,)n n n d a a d a a d a a k --=+++≥， 所以21()n d S k -≥. （ii ）由（i ）可知，对任意1,2,,1i n =-，都有 21112(,)(,)(,)(,)i i i n n n i i n i d a a d a a d a a d a a k -+++-=+++≥， 所以211i n n i a a k --≥，所以21i n i a k->. 因为对任意1,2,,1i n =-，i a i ≥，所以11i a i ≤，所以21n i i k ->， 即2()i n i k -<，1,2,,1i n =-. 若2n k ≥，则当i k =时，2()()(2)i n i k n k k k k k -=-≥-=，矛盾.所以2n k <.又因为n 是正整数，所以21n k ≤-.点睛：本题考查了关于集合的新定义，考查了对新定义的理解和运算，考查了放缩法和反正法等数学方法，要求较高的计算能力和思维推理能力，属于较难题.。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(167)
1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{0,2}A =，则下列关系表示错误的是（ ）． A ．0A ∈ B ．{2}A ∈ C ．A ∅⊆ D ．{0,2}A ⊆答案：B解析：由元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可得解. 详解：因为集合{0,2}A =，所以0A ∈，{2}A ⊆，A ∅⊆，{0,2}A ⊆， 故B 错误. 故选：B.2．已知全集，集合A {|2x x =<或}4x >，B {}|21x x =-<<，则（ ）． A ．A B ⊆ B ．B A ⊆ C ．A B = D ．B A ⊄答案：B解析：由集合间的关系即可得解. 详解：因为集合A {|2x x =<或}4x >，{}|21B x x =-<<，所以B A ⊆. 故选：B.3．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O 的距离等于1.其中能构成集合的组数有（ ） A ．2组 B ．3组C ．4组D ．5组答案：A解析：根据集合元素满足确定性可判断①②③④⑤中的对象能否构成集合，即可得出结论. 详解：①“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合； ②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；③“平面上到点O 的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合； ⑤“2的近似值的全体的对象”不确定，不能构成集合； 故③④正确. 故选：A. 4．定义集合运算：※，设，，则集合A※B 的所有元素之和为 A ．6 B ．3 C ．2 D ．0答案：A 详解：试题分析：由题意t=0,2,4;即A※B=0,2,4}，故选A.5．下列各组对象中不能构成集合的是 A ．正三角形的全体B ．所有的无理数C ．高一数学第一章的所有难题D ．不等式2x ＋3>1的解答案：C 详解：试题分析：C 中难题并没有确定的标准，因此不满足几何元素的确定性，不能构成集合 考点：集合元素特征6．设集合0M ＝，1,{}0,1N ＝﹣，那么下列结论正确的是（ ） A ．M =∅ B ．M N ∈C ． M ND ．N ⫋M答案：C解析：利用集合与集合的关系直接求解． 详解：∵集合0M ＝,1,{}0,1N ＝﹣, ∴M N ． 故选：C 点睛：本题考查集合的关系的判断,考查子集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题． 7．下列集合中表示同一集合的是（ ） A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N = B ．{2,3}M =，{3,2}N =C ．{(,)1}M x y x y =+=∣，{1}N y x y =+=∣ D ．{2,3}M =，{(2,3)}N = 答案：B解析：利用集合的定义和元素的三个性质，对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断； 详解：A.M 、N 都是点集，()3,2与()2,3是不同的点，则M 、N 是不同的集合，故错误；B.2,3M，{}3,2N =，根据集合的无序性，集合M ，N 表示同一集合，故正确；C.{}(,)1M x y x y =+=∣，M 集合的元素表示点的集合，{}1N y x y =+=∣，N 表示直线1x y +=的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误； D.2,3M 集合M 的元素是两个数字2，3，{}(2,3)N =，集合N 的元素是一个点()2,3，故错误； 故选：B. 点睛：本题主要考查集合的定义及元素的性质，属于基础题.8．已知集合{}{}{}|2,,|21,,|41,P x x k k Z Q x x k k Z M x x k k Z ==∈==+∈==+∈，且,a P b Q ，则（ ） A ．a b P B ．a b QC ．a b MD ．a b +不属于,,P Q M 中的任意一个答案：B解析：设出,a b 的值，相加再判断得解. 详解：11,2,.a P a k k Z ∈∴=∈ 22,21,.b Q b k k Z ∈∴=+∈122()121a b k k k Q ∴+=++=+∈12(,,)k k k Z ∈.故选：B9．已知{}1,A x x k x N =-<<∈，若集合A 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()2,3 B ．[)2,3C ．(]2,3D ．[]2,3答案：C解析：由x ∈N ，可以确定集合A 中的元素，进而可以求出k 的取值范围． 详解：解：因为{}1,A x x k x N =-<<∈，且集合A 中恰有3个元素， 所以集合{0,1,2}A =，所以23k <≤， 故选：C ． 点睛：本题主要考查由集合中的元素个数求参数的取值范围，属于基础题． 10．下列式子表示正确的有（ ）Q ；②N Z =；③Q R ⊆；④Q π∉ A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个答案：C解析：根据集合,,,N Z Q R 的意义即可做出判断. 详解：因为集合Z 中有负数，N 中没有负数，所以②错误； ③Q R ⊆正确；因为π是无理数，所以④正确， 故选C. 点睛：本题考查常用数集及其关系，属基础题. 二、填空题1．用列举法表示集合{}|3213A x Z x =∈-<-≤，A =___________．答案：{}012，， 解析：先求解3213x -<-≤，得集合{}|12A x Z x =∈-<≤，然后再列举集合A. 详解：由3213x -<-≤可得12x -<≤，因为在12x -<≤内包含的整数由：0,1,2，所以集合{}012A =，，. 故答案为：{}012，，. 点睛：本题考查了用列举法表示集合的形式，属于基础题.2．已知集合2{|1log }A x N x k =∈<<，若集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为________．答案：16k >解析：由集合A 中至少有3个元素，则满足2log 4k >，再根据对数的运算性质，即可求解，得到答案． 详解：由题意知，集合{|1log 2}k A x N x =∈<<中至少有3个元素，则满足2log 4k >， 即4216k >=，所以实数k 的取值范围是16k >. 点睛：本题主要考查了集合的表示方法，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记的表示方法，合理得到不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．用符号“∈”或“∉” ________．（1）0 *N ；（2）3- Q ；（3）{|x x <；（4）3 2*{|1,}x x n n N =+∈．答案：,,,∉∈∉∉解析：（1）*N 表示正整数集，不包括零； （2）Q 是有理数集，3-是有理数；（3）=，所以{|x x <的元素；（4）22132n n n +=⇒=⇒=3不是2*{|1,}x x n n N =+∈的元素. 详解：（1）因为*N 表示正整数集，不包括零，所以*0N ∉； （2）因为Q 是有理数集，3-是有理数，所以3Q -∈;（3）因为=，所以{|x x <里，即{|x x <；（4）22132n n n +=⇒=⇒=3不是2*{|1,}x x n n N =+∈的元素，所以3∉ 2*{|1,}x x n n N =+∈.点睛：本题考查了集合与元素之间的关系，解决本题的关键是看元素符合不符合集合元素的属性特征.4．若集合(){}210A x k x x k =++-=中只有一个元素，则k =______.答案：1-或12-解析：对方程()210k x x k ++-=为一次方程和二次方程两种情况讨论，在该方程为二次方程的前提下得出0∆=，由此可解出实数k 的值. 详解：当10k +=时，即当1k =-时，{}{}101A x x =+==-，合乎题意；当10k +≠时，即当1k ≠-时，由题意得()()2141210k k k ∆=++=+=，解得12k =-. 因此，1k =-或12-. 故答案为：1-或12-. 点睛：本题考查利用集合元素的个数求参数，解题时要对变系数的二次方程分一次方程和二次方程两种情况讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.5．已知集合()()21|,}0{x x x x a x R --+=∈中的所有元素之和为1，则实数a 的取值范围为__________．答案：{}1,04⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭解析：首先确定集合中包含元素1；分别在20x x a -+=无实根、有两个相等实根和有两个不等实根三种情况下，讨论元素之和是否为1，综合可求得结果. 详解：令10x -=，解得：1x =①若20x x a -+=无实根，即140a ∆=-<，解得：14a > 此时集合只有一个元素1，满足题意②若20x x a -+=有两个相等实根，即140a ∆=-=，解得：14a =2104x x ∴-+=，解得：12x = ∴集合为11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭，不满足元素之和为1③若20x x a -+=有两个不等实根，即140a ∆=->，解得：14a < 设此时方程20x x a -+=的两根为12,x x ，则121x x =+ 若11x ≠，21x ≠，此时集合为{}121,,x x ，不满足元素之和为1若11x =，则20x =，此时集合为{}1,0，满足元素之和为1 120a x x ∴==综上所述：{}1,04a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故答案为：{}1,04⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭点睛：本题考查根据集合中元素的个数求解参数范围的问题，易错点是忽略集合中元素的互异性，在20x x a -+=有两个不等实根的情况下，忽略其中一个根为1的情况，造成求解错误. 三、解答题1．已知集合(){}21210A x R a x x =∈--+=，a 为实数.（1）若集合A 是空集，求实数a 的取值范围； （2）若集合A 是单元素集，求实数a 的值；（3）若集合A 中元素个数为偶数，求实数a 的取值范围.答案：（1）2a >；（2）1a =或2a =；（3）2a ≠且1a ≠解析：（1）根据一元二次方程没有实数根，判别式小于零列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.（2）当10a -=时，求得12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意.当10a -≠，根据一元二次方程有一个根，判别式为零列方程，求得a 的值，此时{}1A =符合题意.（3）根据（1）求得a 的一个可能取值.当A 中有2个元素时，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于零列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 详解：（1）若集合A 是空集，则()()210,2410,a a -≠⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩解得2a >.故实数a 的取值范围为2a >. （2）若集合A 是单元素集，则①当时10a -=，即1a =时，{}12102A x R x ⎧⎫=∈-+==⎨⎬⎩⎭，满足题意； ②当10a -≠，即1a ≠时，()()22410a ∆=---=，解得2a =，此时{}{}22101A x R x x =∈-+==.综上所述，1a =或2a =.（3）若集合A 中元素个数为偶数，则A 中有0个或2个元素. 当A 中有0个元素时，由（1）知2a >；当A 中有2个元素时，()()210,2410,a a -≠⎧⎪⎨∆=--->⎪⎩解得2a <，且1a ≠. 综上所述，实数a 的取值范围为2a ≠且1a ≠. 点睛：本小题主要考查方程20ax bx c ++=解的个数问题，考查集合元素的概念，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.2．用列举法写出集合{||1||2|7}A x x x =∈-+-=N .答案：{5}A =解析：利用绝对值的几何意义求出x ,根据x N ∈,用列举法表示即可. 详解：因为|1||2|7x x -+-=的几何意义是数轴上的点x 到1和2的距离之和为7， 故5x =或2-，又x N ∈，所以5,{5}x A =∴=. 点睛：本题考查绝对值的几何意义和集合的表示法;正确求出方程的解是求解本题的关键;属于基础题.3．用列举法表示下列给定的集合： （1）不大于8的非负偶数组成的集合A ； （2）小于10的质数组成的集合B ；（3）方程2x 2－x －3＝0的实数根组成的集合C ；（4）一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合D.答案：（1）A ＝0，2，4，6，8}；（2）B ＝2，3，5，7}；（3）C ＝31,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（4）D ＝(1，4)}.解析：由题意，依次求出（1）、（2）、（3）、（4）集合中的元素，再用列举法写出即可． 详解：解：（1）不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，所以A ＝0，2，4，6，8}． （2）小于8的质数有2，3，5，7，所以B ＝2，3，5，7}． （3）方程2x 2－x －3＝0的实数根为－1，32，所以C ＝31,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. （4）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点为(1，4)，所以D ＝(1，4)}．4．已知集合A 含有两个元素3a -和21a -，a R ∈，若3A -∈，求实数a 的值.答案：0a =或1a =-解析：根据元素与集合关系列方程，再验证互异性即得结果. 详解：因为3A -∈，所以33213a a -=-⎧⎨-≠-⎩或33213a a -≠-⎧⎨-=-⎩解得0a =或1a =- 点睛：本题考查根据元素与集合关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．用适当的方法表示下列集合：（1）绝对值小于5的全体实数组成的集合； （2）所有正方形组成的集合；（3）除以3余1的所有整数组成的集合； （4）构成英文单词mathematics 的全体字母.答案：（1）{}5x x <（2）{正方形}（3）{}31,a a x x =+∈Z （4）{}m,,,,,,,a t h e i c s 解析：考虑采用描述法、列举法表示相关集合. 详解：（1）绝对值小于5的全体实数组成的集合可表示为{}5x x <. （2）所有正方形组成的集合可表示为{正方形}.（3）除以3余1的所有整数组成的集合可表示为{}31,a a x x =+∈Z . （4）构成英文单同mathematics 的全体字母可表示为{}m,,,,,,,a t h e i c s . 点睛：列举法和描述法的比较：（1）列举法：直观、灵活、简便，但不适用于元素多的集合； （2）描述法：概括性强，但是较为抽象.。
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1.1集合的概念
〖帮你读书〗
1. 集合的概念：有某些 的对象组成的 叫做集合，简称 ；组成集合的对象叫做这个集合的 。
2. 集合的表示：一般采用 表示集合，
3. 采用 表示集合中的元素。
4. 几个常用数集的表示：自然数集记作 ；正整数集记作 ；整数集记作 ；有理数集记作 ；实数集记作 ；空集记作 。
5. 集合与元素之间的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a
A ，记作 ， 6. 如果a 不是集合A 的元素，就说a A ，记
作 ，
7. 集合的分类：含有 元素的集合，叫做有限集，含有无限多个元素的集合叫做 ，不含 叫空集，记作: .
〖疑难解惑〗
1.只含有元素0的集合是空集吗？
〖技能训练〗
1.用符号""""∉∈
或填空： （1）3.14 R (2)2 R (3)21 N (4)-2 N (5)3 Q (6)
π R
2.选择题：
（1） 下列对象能组成集合的是（ ）； A,大于5的自然数
B.一切很大的树
C.班上个子很高的同学
D.班上考试分数很高的同学
（2） 下列对象不能组成集合的是（ ）.
A.不大于8的自然数
B.很接近于1的数
C.班上身高超过1.8米的同学
D.班上数学小测中得分在85分以上的同学。
3.下列对象能否组成集合？若能组成集合，判断哪些是有限集？哪些是无限极？那些事空集？
（1）.某班学习成绩好的同学；
（2）绝对值不小于3的所有整数；
（3）的解集方程06=-x
（4）的解集方程022=+x
4.判断下列集合是有限集、无限集还是空集：
（1）的奇数且小于所有大于200
（2）的解集不等式01<-x
（3）的解集022=+x
（4）所有大于3且小于4的实数；
（5）的解集方程0652=--x x .。