第03章 动量与角动量
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第三章-动量-角动量
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为质点的角
动量定理。
质点的角动量定理可以写为
Mdt dL
其中 Mdt 称为dt 时间内力矩 M对质点的冲量矩。两边
积分有：
t2 t1
Mdt
L2
L1
上式表明：作用于质点的合外力矩M 从 t1 到 t2 时间间隔 内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
力心
例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、
B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与X轴成45 o角，vB垂 直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点
上外力对O点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。
解： 由质点的角动量定理知：
y vB B
由A到B，角动量的方向均垂 直于x-y平面向上
标量式为
(3-5)
对于冲量 I 应注意：
（1）冲量是力对时间的积累作用。
I
t2
Fdt
t1
mv1
mv
mv2
（2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。 即 I 的方向与 P 或 mv 的方向相同。
对动量原理应注意：
（1） F 是指物体所受的合外力，I 是合外力的冲量。 （2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。 （3） 动量原理用于惯性系。
②已知炮弹对炮车的相对速度为v ，仰角
为时速θ ，度由v速’ 的度水叠平加分原量理为，炮弹对V地的瞬
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为 m (v cosθ - V) – MV 系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
v v
第三章 动量和角动量
2、冲量的方向
由动量定理： I p2 p1
冲量的方向与动量增量的方向一致 3、平均冲力
p2
I
p1
F
平均冲力：真实力在一个作用过程中的时间平均值
F
t2
t1
Fdt
t 2 t1
Fm I p p2 p1 t t t 2 t1 F
平均冲力等于质点动量的增量与作用时间之比。
o
t1
t2
t
例 1 一质量为0.05kg、速率为10m· s-1的刚球,以与钢板法线 呈45º 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来 . 设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受到的平均冲力 F .
解 建立如图坐标系, 由动量定理得
2mv cos Fy t mv2 y mv1 y mv sin α mv sin 0 2mv cos mv2 F Fx 14.1 N
2. 动量守恒定律
如 果 F外 Fi 0 i 则 P2 P1 0
§ 3-4
角动量 质点的角动量定理
前面我们引入了描述物体运动状态的量 ——动量。 本章引入新的状态量 —— 角动量
地球绕太阳运动？原子中的电子绕着原子核运动？
引入角动量是为了研究转动，角动量守恒定律的应用 非常广泛。
解：由质点的动量定理，
t1
F/N 30
t2 I Fdt p2 p1
0-4s，F为恒力
I ( F m g)t p2 p1 0 7 t/s 4 v 4m / s 1 0-7s， I (4 7) 30 mg t 25 N s p2 p1 2 v 2.5m / s
3-动量与角动量.ppt
y
h
o
l
x
dm dS (l x )h d S y d x (l x ) ta n d x dx l M S lh / 2
y
y
h
xc
M l2 hl2 h 2 1 2 3 xc l l l M 3 3
xdm
0
l
v2
v1
60o
因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动 量改变，基本上由打击力的冲量决定。 重力、阻
力的冲量可以忽略。
mv2
60o
mg t
mv1
打击力冲量 F t
F t m v m v 2 1
F t m v m v
2 1
F t
30o 60o m=140g
o
rc
【思考】写出上式的分量形式
x y z
c
N
m m
N
i 1
i
x
i
c
m m
N
i 1
i
y
利用分量形式很容 易求得一些几何形 状对称和结构均匀 物体的质心位矢，
i
m m
c
i 1
i
z
i
例如：均匀直棒、 均匀圆盘、均匀球 体等 其质心就在几何对 称中心上
fi
m
i
由N个质点构成的系统
i ,j 1 , 2 , , N
ri
1、内力和外力
fji 内力： fij 外力：fi , fj
惯性系 o
rj
fij f ji m j
第3章 动量与角动量
1) 人匀速运动，到达车尾时小车的速度为(由上式解得)： u=l/t
v v0
m uv m l 0 M m M mt
2)车的运动路程为： 由于人匀速运动，即u为常量，故小车的运动速度v 也为常量。此时车的运动路程可用 s=vt 进行计算。
m l m s vt (v0 )t v 0 t l Mm t Mm
f AB F f
A
N
mA g
f BA
N AB mB g 外力： 推力F , A的重力mA g , B的重力mB g , 地面对质点系的滑动磨擦力f , 地面对质点质的支持力N . 内力： AB间的静摩擦力f AB和f BA , AB间的正压力N AB和支持力N BA
M 大小：M rF sin 方向：右手螺旋法则
由力矩的定义可知： M r F
2、角动量
O 定义： 一个质点相对于参考点 的角动量等于 质点位置矢量 与其动量mv 的矢量积。 r
o m
L
L r mv mv r
L
L
例：一个物体在空中炸成几块，在忽略空气阻力的情况下， 这些碎块受到的外力只有竖直向下的重力，因此它们的总 动量在水平方向上的分量守恒。（某方向合外力为零，则 该方向动量守恒）
4、动量守恒定律是由牛顿定律导出的，只适用于惯性 系。（更广义的动量守恒定律不依赖于牛顿定律，是 自然界中的基本定律）
例2、 如图,车在光滑水平面上运动,已知人的质量m, 小车的质量M ,车长l ,小车的运动速度v0 人逆车运动,方向从车头经时间t到达车尾. 求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； 2、车的运动路程； 3、若人以变速率运动，上述结论如何？ m 解：以人和车为研究系统，取 v0 u 地面为参照系。水平方向系统 M 不受外力作用，动量守恒。 x
第03章动量与角动量
第3章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum 主要内容 冲量与动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心 质心运动定理 质点的角动量和角动量定理 角动量守恒定律 质点系的角动量定理
1
3.1 冲量与动量定理 Impulse and the Theorem of Momentum 1.力的冲量
dM (v u) ( M dM )(v dv )
d M dv u , M
vf
Mf
dv u v
i
Mi
dM M
M vf vi u ln M i u ln N f
20
火箭体对喷射的气体的推力：
dm (v u ) dm v F dt dm u dt
SI unit: kgm2/s or Js
e.g. 质点作圆周运动． mv
o
R
大小：mvR 对圆心： L 方向：⊙
37
2.力对固定点的力矩 定义：
M r F
O
力 F 对O点的力矩
大小：Fr 方向：右手螺旋规则
r
r
k z Fz i j y Fy
F
在直角坐标系中表示
o
o
xC 6.8 10
rC 6.8 10
12
m
mi
O
y
d
o d
H C
52.3
o
12
x
52.3
o
H
3.5 质心运动定理
The Theorem of Motion of the Center of Mass
质心运动的速度为
dri mi i mi drc i dt i c dt m m
Momentum and Angular Momentum 主要内容 冲量与动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心 质心运动定理 质点的角动量和角动量定理 角动量守恒定律 质点系的角动量定理
1
3.1 冲量与动量定理 Impulse and the Theorem of Momentum 1.力的冲量
dM (v u) ( M dM )(v dv )
d M dv u , M
vf
Mf
dv u v
i
Mi
dM M
M vf vi u ln M i u ln N f
20
火箭体对喷射的气体的推力：
dm (v u ) dm v F dt dm u dt
SI unit: kgm2/s or Js
e.g. 质点作圆周运动． mv
o
R
大小：mvR 对圆心： L 方向：⊙
37
2.力对固定点的力矩 定义：
M r F
O
力 F 对O点的力矩
大小：Fr 方向：右手螺旋规则
r
r
k z Fz i j y Fy
F
在直角坐标系中表示
o
o
xC 6.8 10
rC 6.8 10
12
m
mi
O
y
d
o d
H C
52.3
o
12
x
52.3
o
H
3.5 质心运动定理
The Theorem of Motion of the Center of Mass
质心运动的速度为
dri mi i mi drc i dt i c dt m m
大学物理 动量与角动量解读
t2 t1
F外
dt
P2
P1
—质点系动量定 理（积分形式）
系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。
用质点系动量定理处理问题可避开内力。 8
§3.2动量守恒定律 （law of conservation of momentum）
质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。
zC
mi zi m
质量为权重的平均值。 17
二.几种系统的质心
● 两质点系统
· · m1
C× m2
r1
r2
● 连续体
z
dm
r
×C
rc m
0
x
m1 r1 = m2 r2
rC
r dm
m
xC
xdm
……m
18
● 均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。
● “小线度”物体的质心和重心是重合的。
[例]如图示，求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心C应在x轴上。
2
3.1 冲量与动量定理
冲量：力和力作用时间的乘积 （单位：牛顿·秒 (N·s)）
恒力 变力
在 dt 时间内的元冲量： dI Fdt
在 t1至 t2 时间段内的冲量：
（力对时间的积累效应）
动量：质点质量 m 和速度 的乘积
P mv
单位：千克·米·秒-1 (kg·m·s-1) 3
一、质点的动量定理
经整理得： Mdv = -udM
d v u d M M
f
Mf dM
d v u
i
M Mi
速度公式：
vf
vi
第三章动量与角动量分解
dP
dt F
dt
dt
dL
v
mv
r F
dt
称：M r F
dL
v mv
rF
dt
为质点所受合外力对同一固定点o的合外力矩
大小：M＝Frsin (为矢径与力之间的夹角)
方向：右手螺旋定则
单位v：mmNv
dL
＝0
M
o
r
F
rF M
dt
M
dL
角动量定理：质点所受的合外力矩
解：卫星在运动中仅受地球的引力（其他引力比此小得多， 可忽略），该引力始终指向地心O，因而对O的外力矩为 零，所以卫星对O的角动量守恒。
卫星在近地点的角动量 L1 mv1 (R l1 )
卫星在远地点的角动量 L2 mv2 (R l2 )
因角动量守恒 mv1 (R l1 ) mv 2 (R l2 )
t
0 (N-mg)dt mvz mv0 m 2gh
Nt mgt m 2gh 6.5
N
1 2h
0.55 56
1
1
mg t g
t
5.5×102
△t为10-1s、10-2s、10-3s、10-4s 5.5×103
计算结果表明，撞击作用持续时间愈短，平均 冲击力N与重力之比就愈大。若作用的持续时间 只有10-4秒时，N比mg要大5500倍，相比之下 重力微不足道。因此，在许多打击和碰撞问题 中，只要持续作用时间足够短，略去诸如重力 这类有限大小的力是合理的。
I
t2
Fdt＝P
mv2
- mv1
t1
质点所受合外力Biblioteka 冲量，等于该质点动量 的增量。这个结论称为质点的动量定理。
第3章 动量与角动量
dp燃
E
例题 如图所示,设炮车以仰角发射一炮弹，炮车和炮弹的质 量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。 v 炮车与地面间的摩擦力不计。
M
m
解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上 的外力有重力 G 和地面支持力 N ，而且 G N ， 在发射过程中G N 并不成立（想一想为什么？）， 系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守 E 恒。
Fx
t
冲量可表为
I x Fx t
§3-1 冲量与动量定理
t
E
质点系——多个质点组成的系统。（质点的集合）
质点系的总动量——每个质点动量的矢量和。即
p
i 1
N
pi
i 1
N
mi vi
设第 i 个质点受外力为 Fi ，受质点系其他质点的合力， 即内力为 f i , j f i ,1 f i , 2 f i ,i 1 f i ,i 1 f i , N
v M dm
v+dv M dm t+dt 时刻 x
t 时刻
由动量守恒定律
t 时刻 总动量
Mv (M dm)(v dv) dm(v u) Mv Mdv udm dmdv
t+dt 时刻 总动量
E
Mdv udm 0
dm dM
Mdv udM 0
第三章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum
E
本章主要内容
§3-1冲量与动量定理
§3-2动量守恒定律 §3-3火箭飞行原理
3.2第三章-动量与角动量讲义
初 F2 + F1 + F n dt = P末 − P初
若
F i = 0 则有 P末 = P初
动量守恒
i
dL =M= rF
角动量守恒
dt
若 M = 0 则有 L = r mv =常数
例：一个力学系统由两个质点组成，他们之间只有引力 作用。若两质点所受外力的矢量和为零，则系统：
动量守恒？ 机械能守恒？角动量守恒？
质点在有心力作用下运动，角动
量守恒。
L = pr = mvr = 常量
r F
五、质点系的角动量
质元 i ：质量 mi
Fi mi ri • fi
外力Fi 内力 fi
o
L = Li = ri pi = ri mvi
rj
fj •
Fj
mj
i
i
i
由质点的角动量定理 r F = M = dL
dt
mv0 (l0 + ) = ml0v sin( − )
1 2
mv02
+
1 2
k2
=
1 2
mv2
则有
v=
v02
+
k m
2
= arcsin v0 (l0 + )
l0v
A外+A内 = Ek末- Ek初
A外+A非保内 = E末- E初
复习
若 A外+A非保内=0
则有 E末=E初 机械能守恒定律
( ) 末
( ) 末
初 F2 + F1 dt = P末 − P初
或 注意：
I
=
P末
−
P初
……质点系的动量定理
a、外力可改变系统的动量，也可改变某一个质点的动
若
F i = 0 则有 P末 = P初
动量守恒
i
dL =M= rF
角动量守恒
dt
若 M = 0 则有 L = r mv =常数
例：一个力学系统由两个质点组成，他们之间只有引力 作用。若两质点所受外力的矢量和为零，则系统：
动量守恒？ 机械能守恒？角动量守恒？
质点在有心力作用下运动，角动
量守恒。
L = pr = mvr = 常量
r F
五、质点系的角动量
质元 i ：质量 mi
Fi mi ri • fi
外力Fi 内力 fi
o
L = Li = ri pi = ri mvi
rj
fj •
Fj
mj
i
i
i
由质点的角动量定理 r F = M = dL
dt
mv0 (l0 + ) = ml0v sin( − )
1 2
mv02
+
1 2
k2
=
1 2
mv2
则有
v=
v02
+
k m
2
= arcsin v0 (l0 + )
l0v
A外+A内 = Ek末- Ek初
A外+A非保内 = E末- E初
复习
若 A外+A非保内=0
则有 E末=E初 机械能守恒定律
( ) 末
( ) 末
初 F2 + F1 dt = P末 − P初
或 注意：
I
=
P末
−
P初
……质点系的动量定理
a、外力可改变系统的动量，也可改变某一个质点的动
第3章 动量角动量
• n个质点的系统 由于内力总是成对出现的，所以矢量和为零。
F dt d P i i i i
质点系动量定理微分形式
F 为系统所受的合外力 , P i i 为系统的总动量。 i i
Fi dt P2
注意：动量定理只适用于惯性系。
冲力
物体受到冲击，动量会明显改变。冲击过程持续一般时间 很短，因此冲击中物体受力——冲力具有作用时间短 、量 值大的特点，通常是变力。
平均冲力：
1 t t Fx Fx (t )dt t t
Fx(t)
Fx
t
冲量可表为 I x
Fx t
t
F为恒力时，可以得出I＝F t F为变力时，为求平均值提供了一个有效方法:
2 2
2
力 F 12t i ( SI )作用在质量m=2kg的物体上, 例：
使之从静止开始运动,则物体在3秒末的速度 为 。
解：由动量定理分量式，有
t2
t1
Fdt P2 P 2 1 P
3
P2 12tdt 54 kg m/s, 方向沿x轴正向 0 p2 v2 27i m/s m
1 2 gt 2 1 即 10 5t 10 t 2 2 得：t 1s y v y 0t x vx 0t 5 3m
牛顿定律是瞬时的规律。
但在有些问题中， 如：碰撞（宏观）、 散射 （微观） … 我们往往只关心过程中力的效果 ——力对时间和空间的积累效应。 力在时间上的积累效应： 平动 转动 冲量 冲量矩 动量的改变 角动量的改变 改变能量
“神州”号飞船升空
火箭在无大气层的太空中飞行，是靠向后喷射燃料获得反 冲动力。由于无外力作用，动量守恒。 设M为火箭在 t 时刻的总质量，dt 时间喷出dm质量的燃料， 相对火箭以u的速度喷射。 v M dm t 时刻 M dm t+dt 时刻 v+dv x
03动量和角动量
r ο
意义：相当于绕 作圆周运动 意义：相当于绕O作圆周运动 的角动量（动量矩） 的角动量（动量矩）
3.7 角动量守恒定律
dL 对角动量定理 M = dt
M =0
dL =0 dt
L=C
合外力矩为零时,质点角动量为恒量。 合外力矩为零时,质点角动量为恒量。
一质量2200kg的汽车以60km/h 2200kg的汽车以60km/h的速度 例4 一质量2200kg的汽车以60km/h的速度 沿一平直公路开行。 沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距 公路50m的一点的角动量是多大？ 50m的一点的角动量是多大 公路50m的一点的角动量是多大？对公路 上任一点的角动量又是多大？ 上任一点的角动量又是多大？
v
２、冲量的概念 １） 恒力的冲量 作用力F＝恒量，作用时间 作用力 ＝恒量，作用时间t1→t2，力对质点的冲量， ，力对质点的冲量，
I = F (t 2－t1 )
２） 变力的冲量
冲量的方向与力的方向相同。 冲量的方向与力的方向相同。
dI = Fdt
力在某一段时间间隔内的冲量
I =
∫
t
to
F dt的方向不能由某瞬时力的方向来决定。
解：篮球到达地面的速率
v − v = 2ax
2 2 0
（ ） v = 2gh = 2×9.8× 2 = 6.3 m/s）
2m v 2×0.58×6.3 2 ） F或 F = = = 3.8×10 （N） 0.019 ∆t
§1.5 匀加速直线运动
v = v0＋at
x =v0t + a t
1 2
2
v − v = 2ax
2
1
F ∆t
30o 60o m=140g
大学物理-动量与角动量
解：以小孔O为原点，绳对小球的拉力为有心力，其力矩为零。则小球对点的角动量守恒。
因：v = rw
则小球的动能增量为：
例3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。
太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：
角动量守恒：r1mv1=r2mv2 v1=(r2/r1)v2=1.2857v2
机械能守恒：
代入数据计算时，注意长度单位要统一使用m或km。
空间累积效应
时间累积效应
瞬时效应
动量定理
角动量定理
动能定理
功能定理
质点的角动量守恒定律
力
力矩
动量
角动量
冲量
冲量矩
力与动量
力矩与角动量
动量定理(冲量与动量)
角动量定理(冲量矩与角动量)
动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…
角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…
例2-17：将质量为m 的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O 用手拉住。先使小球以角速度 w1 在水平面上做半径为 r1 的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为 r2 ，求在此过程中小球的动能增量。
力矩
O
力矩的分量式:
对轴的力矩
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj = 0 ）
二、角动量定理
角动量 力矩
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）
由对称性分析，质心C应在x轴上。
因：v = rw
则小球的动能增量为：
例3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。
太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：
角动量守恒：r1mv1=r2mv2 v1=(r2/r1)v2=1.2857v2
机械能守恒：
代入数据计算时，注意长度单位要统一使用m或km。
空间累积效应
时间累积效应
瞬时效应
动量定理
角动量定理
动能定理
功能定理
质点的角动量守恒定律
力
力矩
动量
角动量
冲量
冲量矩
力与动量
力矩与角动量
动量定理(冲量与动量)
角动量定理(冲量矩与角动量)
动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…
角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…
例2-17：将质量为m 的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O 用手拉住。先使小球以角速度 w1 在水平面上做半径为 r1 的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为 r2 ，求在此过程中小球的动能增量。
力矩
O
力矩的分量式:
对轴的力矩
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj = 0 ）
二、角动量定理
角动量 力矩
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）
由对称性分析，质心C应在x轴上。
第3章 动量与角动量
i j
Fj
i j
N
f ji
dp j dt
Fi
pj
fi j
· · · fj i
· j
对所有粒子求和
Fj
i 1
N
Fi
i 1 i j
d f ij dt
i 1
N
pi 内力和
i 1 i j
N
f ij 0
(7)
d N Fi dt pi i 1 i 1 N N 合外力：F Fi 总动量：P pi i 1 i 1 t2 2 dP F t1 Fdt 1 dP P2 P1 dt
(12)
例6: 三只质量均为M的小船鱼贯而行速率均为v,如中 间小船以相对速率u向前后二船同时抛出质量均为m 的物体, 求:二物体落在前后二船上以后三只小船速度 各为多少? v 解: 1) 以小船1及m为研究对象, 运用动量守恒定律 u u
Mv m(v u) ( M m)v1 mu v1 v M m
(5)
§3.2 质点系的动量定理 (Theorem of momentum for system of particles) 一、质点系 把相互作用的若干个质点看作为一个整体, 这组质 点就称为质点系. F1 二、质点系的动量定理 F2 f1 内力: f1 , f 2 m1 m1 , m2 系统 m2 外力: F1 , F2 f
(2)
1)冲量 I 的方向: 是动量增量的方向, 并不是合外力
注意:
的方向, Δt 时间内平均合外力的方向是冲量的方向 2)直角坐标系中: I I x i I y j I z k t2 I x Fx dt P2 x P1 x mv2 x mv1 x 分量式:
动量与角动量
注：质心位矢rc 与坐标系的选择有，
其相对于质点系内各质点的相对位 置是不会随坐标系的选择而变化的， 即质心是相对于质点系本身的一个 特定位置。
i
m
二. 质心的计算
z
C
rC
y x
图3.4 N个质点组成的质点系
质量连续分布的物体 (微元?)
xdm xC m ydm yC m zdm zC m
y
dm
0
x
y
b
xC
xdm
m
O
x dx
动力学30
a
x
例3.9一段均匀铁丝弯成半圆形，其半 径为R，求半圆形铁丝的质心。
作业：3.12
3.5 质心运动定理
一、质心运动定理
rC
mi ri
i
m
dri mi drc dt i vc dt m
mi vi
矢量法
I F t (mv1 ) 2 (mv2 ) 2 2mv1mv2 cos120 3mv
3mv 3 0.14 40 F 8.1103 N t 1.2 103
例3.3一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过，每秒 落入车厢的煤为△m=500kg。如果使车厢的速率保持 不变，应用多大的牵引力拉车厢？
以F 表示喷出气体对火箭体推力
根据动量定理： Fdt ( M dm) (v dv) v Mdv
又由 udM Mdv 0 可得Mdv udM udm dm F u dt 上式表明，火箭发动机的推力与燃料燃烧速率
(dm / dt )及喷出气体的相对速度u成正比。
第3章：动量与角动量.ppt
解：以竖直悬挂的链条和 桌面上的链条为一系统，
m2
O
建立如图坐标，则：
F ex m1g yg
m1
y
由质点系动量定理得：
F exdt dp
y
F exdt dp
又 dp d(yv)
ygdt d(yv)
则
yg dyv
dt
两边同乘以 yd y 则：
y2gdy ydy dyv yv dyv
dt
g y y 2 d y yv yv dyv
0
0
m2
O
m1
y
y
1 gy3 1 yv2
32
v
2
gy
1 2
3
3.2 动量守恒定理
质点系动量定理：I t t0
Fiexdt
pi
pi0
动量守恒定律
若质点系所受的合外力为零：Fex Fiex 0
速率和角度弹回来。设碰撞时间为 0.05s。求此时间
内钢板所受到的平均F冲力 。
解：建立如图坐标系，由动量定理
Fxt mv2x mv1x
mvcos (mvcos)
x
mv1
2mv cos Fyt mv2y mv1y
m v2
mvsinα mvsin 0
p0 p
0 0
t2
t1
(F1
F12 )dt
m1v1
m1v10
t2
t1
(F2
F21 )dt
m2v2
m2
O
建立如图坐标，则：
F ex m1g yg
m1
y
由质点系动量定理得：
F exdt dp
y
F exdt dp
又 dp d(yv)
ygdt d(yv)
则
yg dyv
dt
两边同乘以 yd y 则：
y2gdy ydy dyv yv dyv
dt
g y y 2 d y yv yv dyv
0
0
m2
O
m1
y
y
1 gy3 1 yv2
32
v
2
gy
1 2
3
3.2 动量守恒定理
质点系动量定理：I t t0
Fiexdt
pi
pi0
动量守恒定律
若质点系所受的合外力为零：Fex Fiex 0
速率和角度弹回来。设碰撞时间为 0.05s。求此时间
内钢板所受到的平均F冲力 。
解：建立如图坐标系，由动量定理
Fxt mv2x mv1x
mvcos (mvcos)
x
mv1
2mv cos Fyt mv2y mv1y
m v2
mvsinα mvsin 0
p0 p
0 0
t2
t1
(F1
F12 )dt
m1v1
m1v10
t2
t1
(F2
F21 )dt
m2v2
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解： 均匀物质，质心在其几何对称中心。 以l 表示铁丝的线密度 C O y
d
y
dl x
x
32
§3.5
质心运动定理
m
m
一个质点系质心的运动，就如同这样一个质点的运动： 该质点质量等于整个质点系的质量并且集中在质心， 而此质点所收的力是质点系所受的所有力之和。(实际质 心位置可能既没有质量又未受力)
第3章 动量与角动量
§3.1冲量与动量定理 §3.2 动量守恒定律 §3.3 火箭飞行原理 §3.4 质心 §3.5 质心运动定理 §3.6 质点的角动量和角动量定理 §3.7 角动量守恒定律 §3.8 质点系的角动量定理 *§3.9 质心参考系中的角动量
1
第3章 动量与角动量
上章：表示力和物体加速度之间的关系，力的瞬时效果。 本章：力的时间积累效果，力作用一段时间对物体运动的影响。
m
风速
f
V
龙骨
船速
7
例3.3：一辆煤车以 v=3m/s的速率从煤 斗下面通过,每秒钟落入 车厢的煤 为 △m=500 kg。如果车厢的速率保持不变,应用多大 的牵引力拉车厢? 解: (1)研究对象： t 时刻车和煤 的总质量m和 t t+dt 时刻落入车厢的煤 的质量dm （2）设以地面为参考系 （3）建立直角坐标系如图， ( 4 ) t 时刻和t+dt时刻系统水平总 动量分别为: 初态： 末态： O X
4.计算过程中合外力的冲量及始末态的动量 5.由动量定理列方程求解 例 3.4.
作用在m=2kg的物体上,使物体由原点从静止开始运动,试求 (1)头3秒内该力的冲量 (2)3秒末物体的速率
14
解:
建立一维坐标如图 o X
(1)头3秒内该力的冲量;
由动量定理
(2)3秒末物体的速率
15
例 3.5 :一质量为 m 的物体,原来向北运动,速率为vo ,它突然受到外力 的打击,变为向东运动,速率为 。求打击过程外力的冲量大小和 方向。 解: Y o 根据动量定理 忽略重力的冲量,则外力的冲量为 东 北
4
分量式:
' I x Fx dt p x p x0
t'
I y Fy dt p 'y p y 0
t0
t'
t0
' I z Fz dt p z pz0 t0
t'
五、碰撞：一般泛指物体间相互作用时间很短的过程。 特点： 在这个过程中相互作用力很大而且 随时间改变，这种力叫冲力。 平均冲力： F Fm
43
r Fα
§3.7 角动量守恒定律
当： 意义: 如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点 对该固定点的角动量保持不变。 —— 角动量守恒定律
575N 384N
F
t'
t0
F dt
t 't 0
p p0 t 't 0
F t p
o
I
0.019s→t’ t← 0 t
动量定理常用于碰撞过程如：篮球与台面的碰撞 例3.1 一个质量为0.58kg的篮球，从2.0m高度竖直下落，到 达台上时，仪器显示它对台面的冲力，假设球以同样的速率 反弹，接触时间不超过0.019s，求：球对地的平均冲力？ 解：篮球到达地面的速率 v 2 gh 2 9.8 2 6.3(m / s)
8
dm m
dt时间内系统水平总动量增量为:
（5）由动量定理可得:
9
六、质点系动量定理
质点系：由有相互作用的若干个质点组成的系统。 内 力：系统内各质点间的相互作用力。 外 力：系统外其他物体对系统内任意一质点的作用力。
f2 f12 f1
m1
f21
系统=研究对象 外力—
m2 mn
f1i
fi1 fn
2）人相对于船走过的距离为船长 l 。
l （v人对水 v船对水）dt S人 S船
t0
25
t
§3.3火箭飞行原理
X
假设自由空间飞行：忽略引力，空气阻力。 选地面参考系，并建立直角坐标系。
v+dv t +dt 时刻火箭的速度 t +dt 时刻火箭的质量 t +dt 时刻喷出气体相对于火箭的速度
X
与水平方向的夹角
16
§3.2
动量守恒定律
一、质点动量守恒定律: 当 意义:在某一过程中,当质点所受合外力为零时,质点动量守恒。 二、质点系动量守恒定律: 当
意义:在某一过程中,当质点系所受合外力为零时,质点系动量守恒。
17
三、直角坐标系下的动量守恒定律: 当 当 当
当系统在某一方向上受合外力为零时,系统动量 在该方向的分量守恒。
39
问题: 1. 质量为m的质点以匀速率v做半径为R的圆 周运动,其角动量为多少?
L O r v
m
2. 质量为m的汽车,以速率v沿直线运动,求它 对O点的角动量为多少?对 P点的角动量为 多少? P d o d
40
m v
二、质点的力矩
z
1. 定义
M O r x F
M rF
SI单位： 牛· 米（N ·m）
3. 目前单级火箭实际能够达到的最大末速度是7千米/秒。 29 该速度小于第一宇宙速度（7.9千米/秒）。
§3.4 质心
质量中心（质心）
对于分立体系：
mN
Y
c ri r2 O
mi
m1
r1
rN
rc
m2 X
直角坐标系下：
Z
30
对于连续体：
Y 直角坐标系下： rc c dm
r
O Z
31
X
例3.9 一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R，求此半圆形铁丝 的质心。
23
R
o
mvo a
Y
β
O
X
例3.8 一质量m1=50kg的人站在一条质量 m2=200kg , 长度 l = 4m 的船头上。开始时船静止,求当人从船头走到船 尾时船移动 的距离d =？ y
0
x
x
24
解: 1）取人和船为系统,该系统在水平方向不受外力,因而水平 方向的动量守恒。
m人 S人 m船 S船 0
y
2. 矢量性 大小： M=rFsin=mrvsin 方向：用右手螺旋法则确定,垂直于r和F决定的平面 3. 相对性 相对于不同的参考点O，力矩是不同的。
41
4. M的直角分量式
M r F x Fx
i
j y Fy
k z Fz
M x yFz zFy M y zFx xFz M z xFy yFx
mg=5.7N
2mv 2 0.58 6.3 F 384( N ) t 0.019
F Fm
575N 384N 篮 球 冲 击 台 面 的 冲 力
I
o 0.019s→t’ t← 0 注意：碰撞问题中重力可以忽略不计。
t
6
例3.2：逆风行舟。
船速
V
风 风速
风速
f' f’
帆
f’||
33
注意：
1. 一个质点系内各个质点由于内力 和外力的作用，运动情况可能十分复 杂，但其质心的运动可能相当简单， 只由质点系的合外力决定。 2.当质点系所受合外力为零时,质点 系动量总动量保持不变(守恒)。其质 心的速度保持不变。若初始质心的速 度为零则，则质心的位置保持不变。 3.质点参考系是零动量参考系。
5. 如多个力作用，则有：
M i r F1 r F2 r Fn r ( F1 F2 Fn ) r F M
力矩满足叠加原理。
42
二、 角动量定理
M
O
—— 角动量定理 意义: 质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
§3.1 动量定理与冲量
一、质点动量定理的微分形式
——质点动量定理的微分形式 意义:力在时间dt内的积累量，等于物体动量的增量。
2
二、 冲量 I 冲量是描述力的时间累积作用的物理量。
1.定义: 力对时间累积作用的物理量。
2.恒力的冲量:
3.性质: 冲量是过程矢量,其方向和大小取决于力的大小和方 向及其作用时间。 4.冲量的单位:N·s
3
三 、动量: 1.动量定义:
P mv
2.动量单位: kg · m· s-1 3.性质: 动量是瞬时矢量,并且具有相对性。
四、质点动量定理的积分形式
设质点 t1时刻的动量 P1 ,t2时刻的动量 P2 则t1时刻 ~ t2时 刻质点所受的冲量为：
意义:质点所受合外力F在时间t1到时间t2的积累量,等于这段 时间物体动量的增量。
mi fi2
fi
内力—
10
运用质点动量定理对各个物体列方程
上面各式相加得
——质点系动量定理的微分式
11
质点系动量定理的积分式:
意义: 系统所合外力的冲量等于该系统动量的增量。 直角坐标系下的动量定理:
12
13
应用动量定理解题的一般步骤： 1.确定研究对象 2.分析对象受力 3 .选参照系建坐标系
解： C aC
0
x
x
36
例3.11 直九型直升机的每片旋翼长5.97m。若按宽度一定，厚度 均匀的薄片计算，旋翼以400r/min的转速旋转时，其根部受的拉 力是其重力的多少倍？
ω 解： F aC C L/2
将数据代入，可得
x
37
复习：
1. 质心
均匀物质，质心在其几何对称中心。
2. 质心运动动量定理
d
y
dl x
x
32
§3.5
质心运动定理
m
m
一个质点系质心的运动，就如同这样一个质点的运动： 该质点质量等于整个质点系的质量并且集中在质心， 而此质点所收的力是质点系所受的所有力之和。(实际质 心位置可能既没有质量又未受力)
第3章 动量与角动量
§3.1冲量与动量定理 §3.2 动量守恒定律 §3.3 火箭飞行原理 §3.4 质心 §3.5 质心运动定理 §3.6 质点的角动量和角动量定理 §3.7 角动量守恒定律 §3.8 质点系的角动量定理 *§3.9 质心参考系中的角动量
1
第3章 动量与角动量
上章：表示力和物体加速度之间的关系，力的瞬时效果。 本章：力的时间积累效果，力作用一段时间对物体运动的影响。
m
风速
f
V
龙骨
船速
7
例3.3：一辆煤车以 v=3m/s的速率从煤 斗下面通过,每秒钟落入 车厢的煤 为 △m=500 kg。如果车厢的速率保持不变,应用多大 的牵引力拉车厢? 解: (1)研究对象： t 时刻车和煤 的总质量m和 t t+dt 时刻落入车厢的煤 的质量dm （2）设以地面为参考系 （3）建立直角坐标系如图， ( 4 ) t 时刻和t+dt时刻系统水平总 动量分别为: 初态： 末态： O X
4.计算过程中合外力的冲量及始末态的动量 5.由动量定理列方程求解 例 3.4.
作用在m=2kg的物体上,使物体由原点从静止开始运动,试求 (1)头3秒内该力的冲量 (2)3秒末物体的速率
14
解:
建立一维坐标如图 o X
(1)头3秒内该力的冲量;
由动量定理
(2)3秒末物体的速率
15
例 3.5 :一质量为 m 的物体,原来向北运动,速率为vo ,它突然受到外力 的打击,变为向东运动,速率为 。求打击过程外力的冲量大小和 方向。 解: Y o 根据动量定理 忽略重力的冲量,则外力的冲量为 东 北
4
分量式:
' I x Fx dt p x p x0
t'
I y Fy dt p 'y p y 0
t0
t'
t0
' I z Fz dt p z pz0 t0
t'
五、碰撞：一般泛指物体间相互作用时间很短的过程。 特点： 在这个过程中相互作用力很大而且 随时间改变，这种力叫冲力。 平均冲力： F Fm
43
r Fα
§3.7 角动量守恒定律
当： 意义: 如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点 对该固定点的角动量保持不变。 —— 角动量守恒定律
575N 384N
F
t'
t0
F dt
t 't 0
p p0 t 't 0
F t p
o
I
0.019s→t’ t← 0 t
动量定理常用于碰撞过程如：篮球与台面的碰撞 例3.1 一个质量为0.58kg的篮球，从2.0m高度竖直下落，到 达台上时，仪器显示它对台面的冲力，假设球以同样的速率 反弹，接触时间不超过0.019s，求：球对地的平均冲力？ 解：篮球到达地面的速率 v 2 gh 2 9.8 2 6.3(m / s)
8
dm m
dt时间内系统水平总动量增量为:
（5）由动量定理可得:
9
六、质点系动量定理
质点系：由有相互作用的若干个质点组成的系统。 内 力：系统内各质点间的相互作用力。 外 力：系统外其他物体对系统内任意一质点的作用力。
f2 f12 f1
m1
f21
系统=研究对象 外力—
m2 mn
f1i
fi1 fn
2）人相对于船走过的距离为船长 l 。
l （v人对水 v船对水）dt S人 S船
t0
25
t
§3.3火箭飞行原理
X
假设自由空间飞行：忽略引力，空气阻力。 选地面参考系，并建立直角坐标系。
v+dv t +dt 时刻火箭的速度 t +dt 时刻火箭的质量 t +dt 时刻喷出气体相对于火箭的速度
X
与水平方向的夹角
16
§3.2
动量守恒定律
一、质点动量守恒定律: 当 意义:在某一过程中,当质点所受合外力为零时,质点动量守恒。 二、质点系动量守恒定律: 当
意义:在某一过程中,当质点系所受合外力为零时,质点系动量守恒。
17
三、直角坐标系下的动量守恒定律: 当 当 当
当系统在某一方向上受合外力为零时,系统动量 在该方向的分量守恒。
39
问题: 1. 质量为m的质点以匀速率v做半径为R的圆 周运动,其角动量为多少?
L O r v
m
2. 质量为m的汽车,以速率v沿直线运动,求它 对O点的角动量为多少?对 P点的角动量为 多少? P d o d
40
m v
二、质点的力矩
z
1. 定义
M O r x F
M rF
SI单位： 牛· 米（N ·m）
3. 目前单级火箭实际能够达到的最大末速度是7千米/秒。 29 该速度小于第一宇宙速度（7.9千米/秒）。
§3.4 质心
质量中心（质心）
对于分立体系：
mN
Y
c ri r2 O
mi
m1
r1
rN
rc
m2 X
直角坐标系下：
Z
30
对于连续体：
Y 直角坐标系下： rc c dm
r
O Z
31
X
例3.9 一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R，求此半圆形铁丝 的质心。
23
R
o
mvo a
Y
β
O
X
例3.8 一质量m1=50kg的人站在一条质量 m2=200kg , 长度 l = 4m 的船头上。开始时船静止,求当人从船头走到船 尾时船移动 的距离d =？ y
0
x
x
24
解: 1）取人和船为系统,该系统在水平方向不受外力,因而水平 方向的动量守恒。
m人 S人 m船 S船 0
y
2. 矢量性 大小： M=rFsin=mrvsin 方向：用右手螺旋法则确定,垂直于r和F决定的平面 3. 相对性 相对于不同的参考点O，力矩是不同的。
41
4. M的直角分量式
M r F x Fx
i
j y Fy
k z Fz
M x yFz zFy M y zFx xFz M z xFy yFx
mg=5.7N
2mv 2 0.58 6.3 F 384( N ) t 0.019
F Fm
575N 384N 篮 球 冲 击 台 面 的 冲 力
I
o 0.019s→t’ t← 0 注意：碰撞问题中重力可以忽略不计。
t
6
例3.2：逆风行舟。
船速
V
风 风速
风速
f' f’
帆
f’||
33
注意：
1. 一个质点系内各个质点由于内力 和外力的作用，运动情况可能十分复 杂，但其质心的运动可能相当简单， 只由质点系的合外力决定。 2.当质点系所受合外力为零时,质点 系动量总动量保持不变(守恒)。其质 心的速度保持不变。若初始质心的速 度为零则，则质心的位置保持不变。 3.质点参考系是零动量参考系。
5. 如多个力作用，则有：
M i r F1 r F2 r Fn r ( F1 F2 Fn ) r F M
力矩满足叠加原理。
42
二、 角动量定理
M
O
—— 角动量定理 意义: 质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
§3.1 动量定理与冲量
一、质点动量定理的微分形式
——质点动量定理的微分形式 意义:力在时间dt内的积累量，等于物体动量的增量。
2
二、 冲量 I 冲量是描述力的时间累积作用的物理量。
1.定义: 力对时间累积作用的物理量。
2.恒力的冲量:
3.性质: 冲量是过程矢量,其方向和大小取决于力的大小和方 向及其作用时间。 4.冲量的单位:N·s
3
三 、动量: 1.动量定义:
P mv
2.动量单位: kg · m· s-1 3.性质: 动量是瞬时矢量,并且具有相对性。
四、质点动量定理的积分形式
设质点 t1时刻的动量 P1 ,t2时刻的动量 P2 则t1时刻 ~ t2时 刻质点所受的冲量为：
意义:质点所受合外力F在时间t1到时间t2的积累量,等于这段 时间物体动量的增量。
mi fi2
fi
内力—
10
运用质点动量定理对各个物体列方程
上面各式相加得
——质点系动量定理的微分式
11
质点系动量定理的积分式:
意义: 系统所合外力的冲量等于该系统动量的增量。 直角坐标系下的动量定理:
12
13
应用动量定理解题的一般步骤： 1.确定研究对象 2.分析对象受力 3 .选参照系建坐标系
解： C aC
0
x
x
36
例3.11 直九型直升机的每片旋翼长5.97m。若按宽度一定，厚度 均匀的薄片计算，旋翼以400r/min的转速旋转时，其根部受的拉 力是其重力的多少倍？
ω 解： F aC C L/2
将数据代入，可得
x
37
复习：
1. 质心
均匀物质，质心在其几何对称中心。
2. 质心运动动量定理