第03章 动量与角动量

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复习：
1. 冲量 I 冲量是描述力的时间累积作用的物理量。
2. 动量定理：质点所受合外力F在时间t1到时间t2的积累量, 等于这段时间物体动量的增量。
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3. 动量守恒：当系统在某一方向上 受合外力为零时,系统动 量在该方向的分量守恒。
问题: 光滑平面上，动量守恒吗？
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例3.7 圆锥摆运动中的小球,在水平面上绕半径为R的圆周,以匀 速v 运动,试问运动一周过程中小球的动量是否守恒?运动半周 小球受张力的冲量是多少? 解: (1)研究对象: 小球 (2)小球受力分析: 绳的拉力以及重力; T (3)按如图所示建坐标系 b mvo (4)应用动量定理求解: mg IT Z 方向: 与Y轴夹角
5. 如多个力作用，则有：
M i r F1 r F2 r Fn r ( F1 F2 Fn ) r F M
力矩满足叠加原理。
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二、 角动量定理
M
O
—— 角动量定理 意义: 质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
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注意：
1. 一个质点系内各个质点由于内力 和外力的作用，运动情况可能十分复 杂，但其质心的运动可能相当简单， 只由质点系的合外力决定。 2.当质点系所受合外力为零时,质点 系动量总动量保持不变(守恒)。其质 心的速度保持不变。若初始质心的速 度为零则，则质心的位置保持不变。 3.质点参考系是零动量参考系。
t+dt M+dM
u dm
t +dt 时刻喷出气体的质量
t 时刻 火箭的速度 t 时刻 火箭的质量
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v
t
O
M
选 t 时刻火箭及内部气体为系统，对于地面参考系 在火箭喷出气体 dm 前 ，系统动量： 喷出气体 dm 后 ，火箭的动量： 喷出气体 dm 的动量： 由于火箭在喷出气体前及喷出气体后系统动量守恒：
3
三 、动量: 1.动量定义:
P mv
2.动量单位: kg · m· s-1 3.性质: 动量是瞬时矢量,并且具有相对性。
四、质点动量定理的积分形式
设质点 t1时刻的动量 P1 ,t2时刻的动量 P2 则t1时刻 ~ t2时 刻质点所受的冲量为：
意义:质点所受合外力F在时间t1到时间t2的积累量,等于这段 时间物体动量的增量。
X
与水平方向的夹角
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§3.2
动量守恒定律
一、质点动量守恒定律: 当 意义:在某一过程中,当质点所受合外力为零时,质点动量守恒。 二、质点系动量守恒定律: 当
意义:在某一过程中,当质点系所受合外力为零时,质点系动量守恒。
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三、直角坐标系下的动量守恒定律: 当 当 当
当系统在某一方向上受合外力为零时,系统动量 在该方向的分量守恒。
mi fi2
fi
内力—
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运用质点动量定理对各个物体列方程
上面各式相加得
——质点系动量定理的微分式
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质点系动量定理的积分式:
意义: 系统所合外力的冲量等于该系统动量的增量。 直角坐标系下的动量定理:
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应用动量定理解题的一般步骤： 1.确定研究对象 2.分析对象受力 3 .选参照系建坐标系
一个质点系质心的运动，就如同这样一个质点的运动： 该质点质量等于整个质点系的质量并且集中在质心， 而此质点所收的力是质点系所受的所有力之和。(实际质 心位置可能既没有质量又未受力)
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§3.6质点的角动量和角动量定理
一、质点的角动量:
φ
L m p r O
质点的角动量大小:
质点的角动量方向:
角动量方向垂直于r 与 p 组成的平面,其指向可用右手 螺旋法则确定。 相对性：说一个角动量时，必须指明是对哪个固定点而言的。
注意: 1.研究碰撞问题一般都要用到动量定理和动量守恒定律。因为冲 力很难测量,但是碰撞前后的动量极易测量,故可由动量增量求冲 量,并估计平均冲力。 2.实际问题中,有限大小的力与冲力同时作用时,由于冲力非常大 作用时间非常短,故有限大小的力可以忽略不计。 3.只适用于惯性系。
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例3.6 小球距地面h处以初速度vo 水平抛出,与地面碰撞后反弹 回同样高度,速度仍为vo, 问1.该过程小球的动量是否守恒? 2.求小球受地面的冲量。 mvo h Y mvo
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r Fα
§3.7 角动量守恒定律
当： 意义: 如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点 对该固定点的角动量保持不变。 —— 角动量守恒定律
2）人相对于船走过的距离为船长 l 。
l （v人对水 v船对水）dt S人 S船
t0
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t
§3.3火箭飞行原理
X
假设自由空间飞行：忽略引力，空气阻力。 选地面参考系，并建立直角坐标系。
v+dv t +dt 时刻火箭的速度 t +dt 时刻火箭的质量 t +dt 时刻喷出气体相对于火箭的速度
3. 目前单级火箭实际能够达到的最大末速度是7千米/秒。 29 该速度小于第一宇宙速度（7.9千米/秒）。
§3.4 质心
质量中心（质心）
对于分立体系：
mN
Y
c ri r2 O
mi
m1
r1
rN
rc
m2 X
来自百度文库
直角坐标系下：
Z
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对于连续体：
Y 直角坐标系下： rc c dm
r
O Z
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X
例3.9 一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R，求此半圆形铁丝 的质心。
y
2. 矢量性 大小： M=rFsin=mrvsin 方向：用右手螺旋法则确定,垂直于r和F决定的平面 3. 相对性 相对于不同的参考点O，力矩是不同的。
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4. M的直角分量式
M r F x Fx
i
j y Fy
k z Fz
M x yFz zFy M y zFx xFz M z xFy yFx
解： 均匀物质，质心在其几何对称中心。 以l 表示铁丝的线密度 C O y
d
y
dl x
x
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§3.5
质心运动定理
m
m
一个质点系质心的运动，就如同这样一个质点的运动： 该质点质量等于整个质点系的质量并且集中在质心， 而此质点所收的力是质点系所受的所有力之和。(实际质 心位置可能既没有质量又未受力)
mg=5.7N
2mv 2 0.58 6.3 F 384( N ) t 0.019
F Fm
575N 384N 篮 球 冲 击 台 面 的 冲 力
I
o 0.019s→t’ t← 0 注意：碰撞问题中重力可以忽略不计。
t
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例3.2：逆风行舟。
船速
V

风 风速
风速
f' f’
帆
f’||
解: (1)研究对象： 小球。
(2)分析小球受力：
N
O
G
X
小球在整个过程中受重力,与地面碰撞时还受地面的冲力
（3）设以地面为参考系，建立直角坐标系如图:
（4）设从抛出到落地所用时间为 t
（5）应用动量定理:
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复习：
1. 冲量 I 冲量是描述力的时间累积作用的物理量。
2. 动量定理：质点所受合外力F在时间t1到时间t2的积累量, 等于这段时间物体动量的增量。
4.计算过程中合外力的冲量及始末态的动量 5.由动量定理列方程求解 例 3.4.
作用在m=2kg的物体上,使物体由原点从静止开始运动,试求 (1)头3秒内该力的冲量 (2)3秒末物体的速率
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解:
建立一维坐标如图 o X
(1)头3秒内该力的冲量;
由动量定理
(2)3秒末物体的速率
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例 3.5 :一质量为 m 的物体,原来向北运动,速率为vo ,它突然受到外力 的打击,变为向东运动,速率为 。求打击过程外力的冲量大小和 方向。 解: Y o 根据动量定理 忽略重力的冲量,则外力的冲量为 东 北
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例 一质量m1=50kg的人站在一条质量 m2=200kg , 长度 l = 4m 的船头上。开始时船静止,求当人从船头走到船尾时船移动的距 离d =？ x1’ x1 y 解： 初：
末： 0 x2’ x2 d x
x
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例3.10 如图所示，水平桌面上铺一张纸，纸上放一均匀球，球 的质量m=0.5kg.将纸向右拉，会有f=0.1N的摩擦力作用在球上。 求该球的球心加速度aC以及在从静止开始2s内，球心相对桌面的 距离sC。 y
第3章 动量与角动量
§3.1冲量与动量定理 §3.2 动量守恒定律 §3.3 火箭飞行原理 §3.4 质心 §3.5 质心运动定理 §3.6 质点的角动量和角动量定理 §3.7 角动量守恒定律 §3.8 质点系的角动量定理 *§3.9 质心参考系中的角动量
1
第3章 动量与角动量
上章：表示力和物体加速度之间的关系，力的瞬时效果。 本章：力的时间积累效果，力作用一段时间对物体运动的影响。
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问题: 1. 质量为m的质点以匀速率v做半径为R的圆 周运动,其角动量为多少?
L O r v
m
2. 质量为m的汽车,以速率v沿直线运动,求它 对O点的角动量为多少?对 P点的角动量为 多少? P d o d
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m v
二、质点的力矩
z
1. 定义
M O r x F

M rF
SI单位： 牛· 米（N ·m）
8
dm m
dt时间内系统水平总动量增量为:
（5）由动量定理可得:
9
六、质点系动量定理
质点系：由有相互作用的若干个质点组成的系统。 内 力：系统内各质点间的相互作用力。 外 力：系统外其他物体对系统内任意一质点的作用力。
f2 f12 f1
m1
f21
系统=研究对象 外力—
m2 mn
f1i
fi1 fn
m
风速
f
V
龙骨
船速
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例3.3：一辆煤车以 v=3m/s的速率从煤 斗下面通过,每秒钟落入 车厢的煤 为 △m=500 kg。如果车厢的速率保持不变,应用多大 的牵引力拉车厢? 解: (1)研究对象： t 时刻车和煤 的总质量m和 t t+dt 时刻落入车厢的煤 的质量dm （2）设以地面为参考系 （3）建立直角坐标系如图， ( 4 ) t 时刻和t+dt时刻系统水平总 动量分别为: 初态： 末态： O X
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R
o
mvo a
Y
β
O
X
例3.8 一质量m1=50kg的人站在一条质量 m2=200kg , 长度 l = 4m 的船头上。开始时船静止,求当人从船头走到船 尾时船移动 的距离d =？ y
0
x
x
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解: 1）取人和船为系统,该系统在水平方向不受外力,因而水平 方向的动量守恒。
m人 S人 m船 S船 0
§3.1 动量定理与冲量
一、质点动量定理的微分形式
——质点动量定理的微分形式 意义:力在时间dt内的积累量，等于物体动量的增量。
2
二、 冲量 I 冲量是描述力的时间累积作用的物理量。
1.定义: 力对时间累积作用的物理量。
2.恒力的冲量:
3.性质: 冲量是过程矢量,其方向和大小取决于力的大小和方 向及其作用时间。 4.冲量的单位:N·s
575N 384N
F
t'
t0
F dt
t 't 0
p p0 t 't 0
F t p
o
I
0.019s→t’ t← 0 t
动量定理常用于碰撞过程如：篮球与台面的碰撞 例3.1 一个质量为0.58kg的篮球，从2.0m高度竖直下落，到 达台上时，仪器显示它对台面的冲力，假设球以同样的速率 反弹，接触时间不超过0.019s，求：球对地的平均冲力？ 解：篮球到达地面的速率 v 2 gh 2 9.8 2 6.3(m / s)
将（2）、（3）式代入（1）式中并整理得到：
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设火箭在点火前质量为Mi，初速度为 vi 设火箭在燃料烧完后质量为Mf，速度为 vf
注意： 1. 火箭速度的增量与喷出气体的相对速度成正比。理论计算 相对速度的最大值是5000米/秒。
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2.
火箭速度的增量与火箭始末质量的自然对数成正比。 令 则
当n =4时
解： C aC
0
x
x
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例3.11 直九型直升机的每片旋翼长5.97m。若按宽度一定，厚度 均匀的薄片计算，旋翼以400r/min的转速旋转时，其根部受的拉 力是其重力的多少倍？
ω 解： F aC C L/2
将数据代入，可得
x
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复习：
1. 质心
均匀物质，质心在其几何对称中心。
2. 质心运动动量定理
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分量式:
' I x Fx dt p x p x0
t'
I y Fy dt p 'y p y 0
t0
t'
t0
' I z Fz dt p z pz0 t0
t'
五、碰撞：一般泛指物体间相互作用时间很短的过程。 特点： 在这个过程中相互作用力很大而且 随时间改变，这种力叫冲力。 平均冲力： F Fm