离散数学答案(尹宝林版)第二章习题解答
离散数学答案版(全)
则称 G1，G2，…，Gn 蕴涵 H，又称 H 是 G1，G2，…，Gn 的逻辑结果，记作（G1 ∧G2∧…∧Gn） H 或（G1，G2，…，Gn） H。 1.6.2 基本蕴涵式 （1）P∧Q P； （3）P P∨Q； （5） P （P→Q） ； （7） （P→Q） P； （9）P，P→Q Q； （11） P，P∨Q Q； （13）P∨Q，P→R，Q→R R； （15）P，Q P∧Q。 （2）P∧Q Q； (4) Q P∨Q； （6）Q （P→Q） ； （8） （P→Q） Q； （10） Q，P→Q P； （12）P→Q，Q→R P→R； （14）P→Q，R→S （P∧R）→（Q∧S） ；
变元，若将 A 和 A*写成 n 元函数形式，则 （1） A（P1，P2，…，Pn） A*（ P1， P2，…， Pn） （2）A（ P1， P2，…， Pn） A*（P1，P2，…，Pn） 定理（对偶原理）设 A、B 是两个命题公式，若 AÛB，则 A* B*，其中 A*、 B*分别为 A、B 的对偶式。 1.5.2 范式 定义 仅由有限个命题变元及其否定构成的析取式称为简单析取式，仅由有 限个命题变元及其否定构成的合取式称为简单合取式。 定义 仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。仅由有限个简单 析取式构成的合取式称为合取范式。 定理（范式存在定理）任何命题公式都存在着与之等价的析取范式和合取范式。 1.5.3 主范式 定义 在含有 n 个命题变元 P1，P2，…，Pn 的简单合取范式中，若每个命
P
Q
PQ
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1）P↓P ﹁（P∨Q） ﹁P； （2） （P↓Q）↓（P↓Q） ﹁（P↓Q） P∨Q； （3） （P↓P）↓（Q↓Q） ﹁P↓﹁Q ﹁（﹁P∨﹁Q） P∧Q。
离散数学(第二版)第2章一阶逻辑
(3) 如果x≤y且y≤x，则x=y。
第二章 一 阶 逻 辑
解 (1) 令F(x)：x是大学生；G(x)：x是二年级的； a：小王。 则原句形式化为：
F(a)∧G(a) (2) 令F(x，y)：x是y的学生；a：小王；b：李老师。则 原句形式化为：
F(a，b) (3) 令F(x，y)：x≤y；G(x，y)：x=y。则原句形式化为
第二章 一 阶 逻 辑
2.1一阶逻辑的基本概念
首先我们将简单命题的结构分解成个体和谓词。 个体(客体)我们讨论的对象。可以是具体的，也可以是 抽象的。 个体域(论域)个体所构成的非空集合。 全总个体域(无限域)包含宇宙中一切事物的个体域。 谓词简单命题中，表示一个个体的性质或多个个体间的关 系的词。 之所以称之为谓词，是因为谓词和个体词一起构成了 简单命题中的主谓结构。如： 小王是学生。 3是素数。 2整除6。 3位于2与5之间。
第二章 一 阶 逻 辑
【例2.1.2】在全总个体域中形式化下列命题： (1) 任意的偶数均能被2整除。 (2) 我们班有人吸烟。 解 (1) 引入特性谓词H(x)：x是偶数。 “任意的偶数均能被2整除”的含义是：全总个体域中 有子集——偶数集，该子集中的每个元素均具有一种性质， 世间万物，只要你属于这个子集，你就必然具有这种性质， 所以是蕴含式。特性谓词以蕴含式的前件加入。则原句可 形式化为：
【例2.1.4】将下列命题形式化为一阶逻辑中的命题： (1) 所有的病人都相信医生。 (2) 有的病人相信所有的医生。 (3) 有的病人不相信某些医生。 (4) 所有的病人都相信某些医生。 解 设F(x)：x是病人，G(x)：x是医生，H(x，y)：x相 信y。 (1) 本命题的意思是：对于每一个x，如果x是病人，那 么对于每一个y，只要y是医生，x就相信y。因此，本命题符 号化为：
离散数学第2版课后习题答案
离散数学第2版课后习题答案离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象及其关系、结构和运算方法。
离散数学的应用非常广泛，包括计算机科学、信息科学、密码学、人工智能等领域。
而离散数学第2版是一本经典的教材，它系统地介绍了离散数学的基本概念、原理和方法。
本文将为读者提供离散数学第2版课后习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握离散数学的知识。
第一章：基本概念和原理1.1 命题逻辑习题1：命题逻辑的基本符号有哪些？它们的含义是什么？答：命题逻辑的基本符号包括命题变量、命题联结词和括号。
命题变量用字母表示，代表一个命题。
命题联结词包括否定、合取、析取、条件和双条件等，分别表示“非”、“与”、“或”、“如果...则...”和“当且仅当”。
括号用于改变命题联结词的优先级。
习题2：列举命题逻辑的基本定律。
答：命题逻辑的基本定律包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律、吸收律和否定律等。
1.2 集合论习题1：什么是集合？集合的基本运算有哪些？答：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的基本运算包括并、交、差和补等。
习题2：列举集合的基本定律。
答：集合的基本定律包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律和德摩根定律等。
第二章：数理逻辑2.1 命题逻辑的推理习题1：什么是命题逻辑的推理规则？列举几个常用的推理规则。
答：命题逻辑的推理规则是用来推导命题的逻辑规则。
常用的推理规则包括假言推理、拒取推理、假言三段论和析取三段论等。
习题2：使用推理规则证明以下命题：如果A成立，则B成立；B不成立，则A不成立。
答：假言推理规则可以用来证明该命题。
根据假言推理规则，如果A成立，则B成立。
又根据假言推理规则，如果B不成立，则A不成立。
2.2 谓词逻辑习题1：什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何区别？答：谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑系统，它引入了谓词和量词。
与命题逻辑不同，谓词逻辑可以对个体进行量化和描述。
离散数学第四版课后答案(第2章)
离散数学课后答案第2章习题解答2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令x(是鸟F:)x(会飞翔.G:)xx命题符号化为xFx→∀.))G((x)((2)令x(为人.xF:)(爱吃糖G:)xx命题符号化为GxFx→⌝∀(x))()(或者xFx⌝∧∃(xG))(()(3)令xF:)(为人.xG:)(爱看小说.xx命题符号化为xF∃.Gx∧(x()))((4) x(为人.xF:)G:)(爱看电视.xx命题符号化为Fx⌝⌝∃.x∧(x))()G(分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。
（1）-（4）中的)(x F 都是特性谓词。
2° 初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为))()((x G x F x ∧∀即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。
将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。
”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。
若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。
”这显然改变了原命题的意义。
3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。
2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为)(x xF ∀其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。
（2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为)(x xG ∃其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。
（3）在)(),(),(c b a 中均符号化为)xH∃(x其中.1(ba中均为假命题，在(c)中为真H此命题在)(),xx5:)(=命题。
分析 1°命题的真值与个体域有关。
离散数学习题答案解析
离散数学习题答案解析(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语∧解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q（9）只有天下大雨，他才乘班车上班→解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p （11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是()∧→p q r 15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())∧∧⌝↔⌝∨⌝→p q r p q r解：p=1，q=1，r=0，∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，p q r()(110)1p q r⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔(())((11)0)(00)1∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔()(())111p q r p q r19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()→⌝→⌝p p q解：列出公式的真值表，如下所示：由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。
离散数学课后答案
离散数学课后答案1. 集合论1.1. 集合的基本概念•问题1：什么是集合？如何表示一个集合？集合是由一些确定的元素构成的整体。
可以使用以下方式表示一个集合：–列举法：将集合的所有元素逐一列举出来，并用大括号{}包括起来。
–描述法：使用一种公式或条件来描述集合中的元素的特点，并用大括号{}包括起来。
–空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
•问题2：集合的关系有哪些？集合的关系有以下几种：–包含关系（⊆）：集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，表示为A⊆B。
–真包含关系（⊂）：集合A是集合B的子集，且A≠B，则称集合A是集合B的真子集，表示为A⊂B。
–并集（∪）：将两个集合中的所有元素合并在一起，去除重复元素。
–交集（∩）：将两个集合中共有的元素提取出来。
–差集（-）：从一个集合中去掉与另一个集合中相同的元素。
–互斥关系：两个集合没有共同的元素，即交集为空集。
1.2. 集合的运算•问题1：集合的运算有哪些？集合的运算有以下几种：–并集运算（∪）：将两个集合中的所有元素合并在一起，去除重复元素。
–交集运算（∩）：将两个集合中共有的元素提取出来。
–差集运算（-）：从一个集合中去掉与另一个集合中相同的元素。
–补集运算（C）：对于给定的全集U，集合A 在U中的补集就是U中除去集合A中的所有元素所构成的集合，表示为A’。
–笛卡尔积（×）：将两个集合的元素按照有序对的形式进行组合，构成一个新的集合。
•问题2：集合运算的性质有哪些？集合运算的性质有以下几种：–交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。
–结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
–分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。
–吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A。
–互补律：A∪A’ = U，A∩A’ = ∅。
离散数学答案版(全)
1.2.4
0 0 1 11
Q
0 1 1 1
P Q
0 0 1 1 1.2.5 双条件联结词
P
0 1 0 1
Q
1 1 0 1
P Q
1.2.6
0 0 1 1 与非联结词↑
P
0 1 0 1
Q
1 0 0 1
PQ
1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1） P↑P ﹁（P∧P） ﹁P； （2） （P↑Q）↑（P↑Q） ﹁（P↑Q） P∧Q； （3） （P↑P）↑（Q↑Q） ﹁P↑﹁Q P∨Q。 1.2.7 或非联结词↓
定义设pq是两个命题公式复合命题pq称为命题pq的条件否定当且仅当p的真值为1q的真值为0时pq的真值为1否则pq的真值为0172最小联结词组定义设s是一些联结词组成的非空集合如果任何的命题公式都可以用仅包含s中的联结词的公式表示则称s是联结词的全功能集
第一章
命题逻辑
内容： 命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵 式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法等证明方法。 教学目的： 1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。 2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。 3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。 4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。 5．熟练掌握形式演绎的方法。
式中每一个析取项都是 P1，P2，…，Pn 的一个极大项，则称该合取范式为 G 的主 合取范式。通常，主合取范式用↕表示。重言式的主合取范式中不含任何极大项， 用 1 表示。 定理 任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主合取范式。
1.6
公式的蕴涵
离散数学第二版最全课后习题答案详解
离散数学第二版最全课后习题答案详解离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、电气工程等领域都有着广泛的应用。
对于学习离散数学的同学们来说，课后习题的解答是巩固知识、加深理解的重要环节。
本文将为您提供离散数学第二版的最全课后习题答案详解，希望能对您的学习有所帮助。
在开始讲解具体的习题答案之前，让我们先简要回顾一下离散数学的主要内容。
离散数学包括集合论、数理逻辑、图论、代数结构等几个部分。
集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质、运算和关系。
在集合论的习题中，常见的问题包括集合的表示、集合的运算（并集、交集、补集等）、集合的包含关系以及集合的基数等。
例如，有这样一道习题：设集合 A ＝｛1, 2, 3}，B ＝｛2, 3, 4}，求 A ∪ B 和A ∩ B。
答案是：A ∪ B ＝｛1, 2, 3, 4}，A ∩ B ＝｛2, 3}。
这是因为并集是包含两个集合中所有元素的集合，而交集是同时属于两个集合的元素组成的集合。
数理逻辑是研究推理和证明的工具，它包括命题逻辑和谓词逻辑。
在数理逻辑的习题中，需要掌握命题的符号化、逻辑公式的等价变换、推理规则的应用等。
比如，给出这样一个命题：“如果今天下雨，那么我就不去公园”，将其符号化。
我们可以设“今天下雨”为 P，“我去公园”为 Q，那么这个命题可以符号化为P → ¬Q。
图论是研究图的性质和应用的分支。
图的概念在计算机网络、交通运输等领域有着重要的应用。
图论的习题常常涉及图的表示、顶点的度、路径、连通性、图的着色等问题。
假设有这样一道题：一个无向图有 10 个顶点，每个顶点的度都为 6，求这个图的边数。
根据顶点度数之和等于边数的两倍这个定理，我们可以计算出边数为 30。
代数结构则包括群、环、域等概念，在这部分的习题中，需要理解和运用代数结构的定义和性质来解决问题。
接下来，我们具体来看一些习题的详细解答。
例 1：设集合 A ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正奇数}，B ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正偶数}，求 A B。
离散数学课后习题答案一
§1.1 命题和逻辑连接词习题1.11. 下列哪些语句是命题，在是命题的语句中，哪些是真命题，哪些是假命题，哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明。
（2）你喜欢计算机吗？ （3）地球上海洋的面积比陆地的面积大。
（4）请回答这个问题！ （5）632=+。
（6）107<+x 。
（7）园的面积等于半径的平方乘以圆周率。
（8）只有6是偶数，3才能是2的倍数。
（9）若y x =，则z y z x +=+。
（10）外星人是不存在的。
（11）2020年元旦下大雪。
（12）如果311=+，则血就不是红的。
解是真命题的有：（1）、（3）、(7)、 (9) 、（12） ；是假命题的有：（5）、 (8) ；是命题但真值现在不知道的有： (10)、 (11)；不是命题的有：（2）、（4）、（6）。
2. 令p 、q 为如下简单命题：p ：气温在零度以下。
q ：正在下雪。
用p 、q 和逻辑联接词符号化下列复合命题。
（1）气温在零度以下且正在下雪。
（2）气温在零度以下，但不在下雪。
（3）气温不在零度以下，也不在下雪。
（4）也许在下雪，也许气温在零度以下，也许既下雪气温又在零度以下。
（5）若气温在零度以下，那一定在下雪。
（6）也许气温在零度以下，也许在下雪，但如果气温在零度以上就不下雪。
（7）气温在零度以下是下雪的充分必要条件。
解 （1）q p ∧；（2）q p ⌝∧；（3）q p ⌝∧⌝；（4）q p ∨； （5）q p →；（6）)()(q p q p ⌝→⌝∧∨；（7）q p ↔。
3. 令原子命题p ：你的车速超过每小时120公里，q ：你接到一张超速罚款单，用p 、q 和逻辑联接词符号化下列复合命题。
（1）你的车速没有超过每小时120公里。
（2）你的车速超过了每小时120公里，但没接到超速罚款单。
（3）你的车速若超过了每小时120公里，将接到一张超速罚款单。
（4）你的车速不超过每小时120公里，就不会接到超速罚款单。
离散数学课后习题答案 (2)
离散数学课后习题答案1. 第一章习题答案1.1 习题一答案1.1.1 习题一.1 答案根据题意，设集合A和B如下：Set A and BSet A and B在此情况下，我们可以得出以下结论：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }。
因此，习题一.1的答案为：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,2), (b, 3) }。
1.1.2 习题一.2 答案根据题意，集合A和B如下所示：Set A and BSet A and B根据集合的定义，习题一.2要求我们判断以下命题的真假性：a)$A \\cap B = \\{ 2, 3 \\}$b)$\\emptyset \\in B$c)$A \\times B = \\{ (a, 2), (b, 1), (b, 3) \\}$d)$B \\subseteq A$接下来，我们来逐个判断这些命题的真假性。
a)首先计算集合A和B的交集：$A \\cap B = \\{ x\\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, x \\in B \\} = \\{ 2, 3 \\}$。
因此，命题a)为真。
b)大家都知道，空集合是任意集合的子集，因此空集合一定属于任意集合的幂集。
根据题意，$\\emptyset \\in B$，因此命题b)为真。
c)计算集合A和B的笛卡尔积：$A \\times B = \\{ (x, y) \\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, y \\in B \\} = \\{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) \\}$。
离散数学课后习题答案(第二章)
习题 2-3 （1）令 P( x) 为“ x 是质数” ； E ( x) 为“ x 是偶数” ； O( x) 为“ x 是奇数” ； D( x, y ) 为“ x 除尽 y ” ，把以下各式翻译成汉语： 解： a） P(5) 。 解：5 是质数。 b） E (2) ∧ P(2) 。 解：2 是偶数且 2 是质数。 c） (∀x)( D(2, x) → E ( x)) 。 解：对所有的 x，若 x 能被 2 除尽，则 x 是偶数。 d） (∃x)( E ( x) ∧ D( x, 6)) 。 解：存在 x，x 是偶数，且 x 能除尽 6。 （即某些偶数能除尽 6） e） (∀x)(¬E ( x) → ¬D(2, x)) 。 解：对所有的 x，若 x 不是偶数，则 x 不能被 2 除尽。 f） (∀x)( E ( x) → (∀y )( D ( x, y ) → E ( y )，则对所有的 y，若 x 能除尽 y，则 y 也是偶数。 g） (∀x)( P( x) → (∃y)( E ( y ) ∧ D( x, y))) 。 解：对所有的 x，若 x 是质数，则存在 y，y 是偶数且 x 能除尽 y（即所有质数能 除尽某些偶数） 。 h） (∀x)(O ( x) → (∀y )( P( y ) → ¬D( x, y ))) 。 解：对所有的 x，若 x 是奇数，则对所有 y，y 是质数，则 x 不能除尽 y（即任何 奇数不能除尽任何质数） 。 （2）令 P( x), L( x), R( x, y, z ), E ( x, y ) 分别表示“x 是一个点” ， “x 是一条直线” ， “z 通过 x 和 y”和“x=y” 。符号化下面的句子。 对每两个点有且仅有一条直线通过该两点。 解： （x）(y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(!z)(L(z)∧R(x,y,z))) 或 （x） (y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(z)(L(z)∧R(x,y,z) ∧┐(u)(┐E(z,u) ∧L(u) ∧R(x,y,u)))) （3）利用谓词公式翻译下列命题。 A）如果有限个数的乘积为零，那么至少有一个因子等于零。 B）对于每一个实数 x，存在一个更大的实数 y。 C）存在实数 x，y 和 z，使得 x 与 y 之和大于 x 与 z 之积。 解：a) 设 N(x):x 是有限个数的乘积。 z(y):y 为 0。 P(x):x 的乘积为零。 F(y):y 是乘积中的一个因子。 则有 (x)((N(x)∧P(x)→(y)(F(y)∧z(y))) b) 设 R(x):x 是实数。Q(x,y):y 大于 x。 故(x)(R(x)→(y)(Q(x,y)∧R(y))) c) R(x):x 是实数。G(x,y):x 大于 y。 则(x)(y)(z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,x·z) （4）用谓词公式写出下式： 若 x < y 和 z < 0 ，则 xz > yz 。 解：设 G(x,y):x 大于 y。 则有(x)(y)(z)(G(y,x)∧G(0,z)→G(x·z,y·z)) （5）自然数一共三条公理： A）每个数都有唯一的一个数是它的后继数。 B）没有一个数使数 1 是它的后继数。 C）每个不等于 1 的数都是唯一的一个数是它的直接先行者。 用两个谓词表达上述三条公理。 解：设 N(x):x 是一个数。 S(x,y):y 是 x 的后继数。E(x,y)：x=y.则 a) (x)(N(x)→(!y)(N(y)∧S(x,y))) 或(x)(N(x)→(y)(N(y)∧S(x,y) ∧┐(z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(x,z)))) b)┐(x)(N(x)∧S(x,1)) c)(x)(N(x)∧┐S(x,2)→(!y)(N(y)∧S(y,x))) 或(x)(N(x)∧┐S(x,2)→(y)(N(y)∧S(y,x)∧┐(z)(┐E(y,z)∧N(z)∧S(z,x))))
离散数学2及答案
离散数学2一、填空题（每小题2分，共30分）1 设():M x x 偶数， ():F x x 素数。
将命题“存在偶素数”符号化为： ))()((x F x M x ∧∃ 。
2 集合A={2,2,2,3}的幂集合P(A)={}3,2{},3{},2{,φ }。
3 设A={1,2,3}，B={a,b}，则=⨯B A 6 。
4 已知命题公式A 含有2个命题变项，其成真赋值为00、10、11，则其主合取范式为 1M 。
5 设p ：北京比大连人口多，q ：2+2=4，r ：乌鸦是白色的。
则命题公式)()(r p r p ⌝∧↔∨⌝的真值为 0 。
6 无向图G 具有欧拉通路，当且仅当G 是 连通 图且无奇度顶点或有两个奇度顶点。
7 6阶无向树的总度数为 10 。
8设A={1,2,3}，B={a, b}，A 1={2}，f={<1,a>,<2,a>,<3,b>}，则=-))((11A f f { 1，2 }。
9 设B A f →:，若ran B f )(=，则称B A f →:是满射的。
10 设群>⊕=<}),.({b a P G ，其中⊕为对称差。
群方程φ=⊕}{b Y 的解=Y {b} 。
11 设p：我去自习，q：我去看电影，r：我有课。
则命题“如果我去自习或看电影，我就没有课”的符号化形式为r qp⌝→∨)(。
12 画出3阶有向完全图的2条边的2个非同构的生成子图。
13 下面运算表中的=-1a c 。
14 写出模4乘法<Z4,⊗ >的运算表⊗0 1 2 31230 0 0 00 1 2 30 2 0 20 3 2 115 设A（x）是任意的含自由出现个体变项x的公式，则⇔⌝∀)(xxA )(xAx⌝∃。
二、试解下列各题（每小题5分，共25分）1. 设A = {a , b , c , d }, R = {<a ,b >,<b ,a >,<b ,c >,<c ,d >}, 求3R 的的矩阵表示和关系图表示。
离散数学课后习题答案二
离散数学课后习题答案二习题3.71. 列出关系}6|{=∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。
解}6|{=∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3, 1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。
表3.18 航班信息航空公司航班登机口目的地起飞时间Nadir 112 34 底特律08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛09:10 Nadir 32234底特律09:44解略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><="">解略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？解略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir 航空公司＝σ到二维表3.18以后得到的表。
解对航班信息二维表进行投影运算5,3,2π后得到的二维表航班登机口起飞时间 112 34 08:10 221 22 08:17 122 33 08:22 323 34 08:30 199 13 08:47 222 22 09:10 3223409:44对航班信息二维表进行选择运算Nadir 航空公司＝后得到的二维表航空公司航班登机口目的地起飞时间Nadir 112 34 底特律08:10 Nadir 199 13 底特律 08:47 Nadir 32234底特律09:446. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量？解略7. 构造把连接运算2J 用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。
离散数学答案第二版-高等教育出版社课后答案
第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q 的真值为0；r、s 的真值为1，求下列各命题公式的真值。
( 1)p∨ (q∧ r) 0∨ (0∧ 1) 0( 2)( p? r)∧(﹁q∨ s) ( 0? 1)∧(1 ∨ 1) 0∧ 1 0.( 3)(p∧q∧r ) ? (p∧q∧﹁r) ( 1∧ 1∧1) ? (0 ∧0∧0) 0( 4)( r ∧ s)→ (p ∧ q) ( 0∧ 1)→ (1 ∧ 0) 0→0 117．判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。
并且，如果 3 是无理数，则 2 也是无理数。
另外6 能被2 整除，6 才能被4 整除。
答：p: 是无理数1q: 3 是无理数0r:2是无理数1s: 6 能被 2 整除1t: 6 能被 4 整除0命题符号化为：p∧(q→ r)∧(t→ s)的真值为1，所以这一段的论述为真19．用真值表判断下列公式的类型：4)(p→ q) →( q→p)5)(p∧ r) ( p∧q)6)((p→ q) ∧ (q→ r)) →(p→r)答： ( 4)p q p→q q p0 0 1 1 10 1 1 0 11 0 0 1 01 1 1 0 0所以公式类型为永真式( 5)公式类型为可满足式(方法如上例) q→ p111(p→q)→( q→ p)1111( 6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)](pAq-q)(2)(p^(pVq))V (p^r)⑶(pVq) 一(pAr)答：(2) (p一(pVq)) V(p-r)= (一pV(pVq))V(「pVr)=「pVpVqVru 1 所以公式类型为永真式⑶p q r PV q p A r (pV q) f (p/\「)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可涉足式4,用等值演算法证明下面等值式：⑵(p 一q)A(p—r) u (p 一(qAij)⑷(p A「q) V「pAq)u (p Vq) A」(p A q)证明(2) (p -q) A (p->r)u (」pVq) A(「pVr)u「P V (q A ij)u p一(q A r)(4) (pA「q) V(「pAq)u (p V(^pAq)) A(「qV(「pAq). (p V「p) A (p Vq) A (「qV「p) A(「qVq)u 1 A (p V q) A - (p A q) A 1u (p V q) A (p A q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(「p-q)-(「qVp)(2)](p - q) AqAr(3)(p V(q Ar)) 一(p VqVr)解：( 1)主析取范式( p→q)→( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p q) ( q p) ( q p) (p q) (p q)( p q) (p q) (p q)m0 m2 m3∑ (0,2,3) 主合取范式：( p→q) →( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p ( q p)) ( q ( q p))1 (p q)(p q) M1∏ (1)(2)主合取范式为：(p →q) q r ( p q) q r(p q) q r 0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为0(3)主合取范式为：(p (q r)) →(p q r)(p (q r)) →(p q r)( p ( q r)) (p q r)( p (p q r)) (( q r)) (p q r))11所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：(2)前提：p q, (q r),r结论：p(4)前提：q p,q s,s t,t r结论：p q证明： ( 2)①(q r) 前提引入②q r ①置换③q r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤q ③④拒取式⑥p q 前提引入⑦￢p( 3) ⑤⑥拒取式证明( 4) ：①t r 前提引入②t ①化简律③q s 前提引入④s t 前提引入⑤q t ③④等价三段论⑥( q t ) (t q) ⑤ 置换⑦( q t ) ⑥化简⑧q ②⑥ 假言推理⑨q p 前提引入15在自然推理系统 P 中用附加前提法证明下面各推理：(1) 前提：p(q r),s p,q结论：s r证明① s 附加前提引入 ② s p 前提引入 ③ p ①②假言推理 ④ p (q r)前提引入 ⑤ q r ③④假言推理 ⑥ q 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理16 在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理：(1) 前提： p q, r q,r s 结论： p证明：① p 结论的否定引入 ② p ﹁ q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢r q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥ r ￢s 前提引入⑦ r ⑥化简律 ⑧ r ﹁r⑤⑦ 合取由于最后一步 r ﹁ r 是矛盾式 , 所以推理正确 .⑩p (11)p q ⑧⑨假言推第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化, 并分别讨论个体域限制为(a),(b) 条件时命题的真值:(1)对于任意x, 均有2=(x+ )(x ).(2)存在x, 使得x+5=9.其中(a) 个体域为自然数集合.(b) 个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+ )(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为xF(x)，在( a)中为假命题，在(b) 中为真命题。
离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答案
离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第二章作业评分要求：1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48分2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由)3. 总得分在采分点1处正确设置.一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方法每种方法至少使用一次): 说明证1. p ⇔(p ∧q)∨(p ∧¬q)解逻辑方程法设 p ↔((p ∧q)∨(p ∧¬q)) =0, 分两种情况讨论:⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=0)()(1)1(q p q p p 或者 ⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=1)()(0)2(q p q p p (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ↔(p ∧q)∨(p ∧¬q)无成假赋值, 为永真式.等值演算法(p ∧q)∨(p ∧¬q)⇔ p ∧(q ∨¬q)∧对∨的分配率⇔ p ∧1 排中律⇔ p 同一律真值表法2. (p→q)∧(p→r)⇔p→(q∧r)等值演算法(p→q)∧(p→r)⇔ (¬p∨q)∧(¬p∨r)蕴含等值式⇔ ¬p∨(q∧r)析取对合取的分配律⇔ p→(q∧r)蕴含等值式3. ¬(p↔q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q)等值演算法¬(p↔q)⇔ ¬( (p→q)∧(q→p) )等价等值式⇔ ¬( (¬p∨q)∧(¬q∨p) )蕴含等值式⇔ ¬( (¬p∧¬q)∨(p∧q) )合取对析取分配律, 矛盾律, 同一律⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)德摩根律4. (p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q)等值演算法(p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)析取对合取分配律, 排中律, 同一律说明: 用真值表法和解逻辑方程法证明相当于证明为永真式.等值演算法证明时每一步后面最好注明理由以加深印象, 熟练后可以不写. 由于等值演算法证明具有较强的技巧性, 平时应注意总结心得.二. 求下列公式的主析取范式与主合取范式(等值演算法与用成真赋值或成假赋值求解都至少使用一次):1.2.3.4.1. (¬p→q)→(¬q∨p)解(¬p→q)→(¬q∨p)⇔ (p∨q)→(¬q∨p)蕴含等值式⇔ (¬p∧¬q)∨(¬q∨p)蕴含等值式, 德摩根律⇔ (¬p∧¬q)∨¬q ∨ p结合律⇔ p∨¬q吸收律, 交换律⇔ M1因此, 该式的主析取范式为m0∨m2∨m32. (¬p→q)∧(q∧r)解逻辑方程法设 (¬p→q)∧(q∧r) =1, 则 ¬p→q=1且 q∧r=1,解得q=1, r=1, p=0 或者 q=1, r=1, p=1, 从而所求主析取范式为 m3∨m7, 主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M6等值演算法(¬p→q)∧(q∧r)(p q)(q r) 蕴含等值式(p q r)(q r) 对分配律, 幂等律(p q r) (p q r)(p q r) 同一律, 矛盾律, 对分配律m7 m3主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M63. (p↔q)→r解逻辑方程法设 (p↔q)→r =0, 解得 p=q=1, r=0 或者 p=q=0, r=0, 从而所求主合取范式为M0∧M6, 主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7等值演算法(p↔q)→r((p q)(q p))r 等价等值式((p q)(q p))r 蕴含等值式(p q)(q p)r 德摩根律, 蕴含等值式的否定(参见PPT)(p q r)(q p r) 对分配律, 矛盾律, 同一律M0 M6主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m74. (p→q)∧(q→r)解等值演算法(p→q)∧(q→r)(p q)(q r) 蕴含等值式(p q)(p r)(q r) 对分配律, 矛盾律, 同一律(p q r)(p q r) (p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m1 m0 m3 m7主合取范式为M2 M4 M5 M6.解逻辑方程法设 (p q) (q r) = 1, 则p q =1 且 q r =1.前者解得: p=0, q=0; 或者 p=0, q=1; 或者 p=1, q=1.后者解得: q=0, r=0; 或者 q=0, r=1; 或者 q=1, r=1.综上可得成真赋值为 000, 001, 011, 111, 从而主析取范式为m0 m1 m3 m7, 主合取范式为M2 M4 M5 M6.真值表法公式 (p q)p q r(p q) (q r)00010011010001111000101011001111013724 M5 M6.。
离散数学 第二章练习题答案
一、 选择题1．下列四个公式正确的是①)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀⇒∧∀ ②)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀⇒∨∀③)()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃⇒∨∃ ④))()(()()(x B x A x x xB x xA ∧∃⇒∃∧∃A.①③B.①④C.③④D.②④2. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词∀x 的辖域是( )(A) ))()((y yR x P x ∃∨∀ (B) P (x ) (C ) )()(y yR x P ∃∨ (D) )(x Q3. 谓词公式))()(()(x xQ x Q x x xP ⌝∃→⌝∀→∀的类型是（ ）(A ) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 蕴涵式4. 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( )(A ) )0(=+∃∀y x y x (B) )0(=+∀∃y x x y(C))0(=+∀∀y x y x (D) )0(=+∃⌝∃y x y x5. 设个体域{,}A a b =，公式()()xP x xS x ∀∧∃在中消去量词后应为 ( )(A) ()()P x S x ∧ (B ) ()()(()())P a P b S a S b ∧∧∨(C) ()()P a S b ∧ (D) ()()()()P a P b S a S b ∧∧∨6. 在谓词演算中，下列各式正确的是( )(A) (,)(,)x yA x y y xA x y ∃∀⇔∀∃ (B ) (,)(,)x yA x y y xA x y ∃∃⇔∃∃(C) (,)(,)x yA x y x yA x y ∃∀⇔∀∃ (D) (,)(,)x yA x y y xA x y ∀∀⇔∀∀7.下列各式不正确的是( )(A ) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∨⇔∀∨∀(B) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∧⇔∀∧∀(C) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∃∨⇔∃∨∃(D) (())()x P x Q xP x Q ∀∧⇔∀∧8. 设I 是如下一个解释：D ＝{a,b}, 01 0 1b) P(b,a) P(b,b) P(a,),(a a P 则在解释I 下取真值为1的公式是( ).(A) ∃x ∀yP(x,y) (B)∀x ∀yP(x,y) (C)∀xP(x,x) (D )∀x ∃yP(x,y).9. 设个体变元z y x ,,的论域都为自然数集合，(,,):,P x y z x y z +=(,,),(,):Q x y z x y z R x y x y ⋅=<：，则以下命题中（ ）是假命题.A ．),0,(x x xP ∀B ．),,(y y x yP x ∀∃C ．),,(x x y yQ x ∃∀D ．)0,(x xR ∀10. 下面不是命题的是（ ）A ．()xP x ∀B ．()()x P x ∃C ．()()()x P x P y ∀∨D ．()()(()())x y P x R y ∃∃→11公式()()()()x P x x Q x ∀→∀的前束范式为（ ）A ．()()(()())x y P x Q y ∀∀→B ．()()(()())x y P x Q y ∀∃→C ．()()(()())x y P x Q y ∃∀→D ．()()(()())x y P x Q y ∃∃→12. 公式()(())x P x Q ∀↔⇔（ ）A ．(()())(()())x P x Q Q x P x ∀→∧→∀B ．(()())(()())x P x Q Q x P x ∀→∧→∃C (()())(()())x P x Q Q x P x ∃→∧→∀D ．(()())(()())x P x Q Q x P x ∃→∧→∃13. ()()(,)x y P x y ∀∃的否定是（ ）A ．()()(,)x y P x y ∀∀⌝B ．()()(,)x y P x y ∃∀⌝C ．()()(,)x y P x y ∀∃⌝D ．()()(,)x y P x y ∃∃⌝14.下列谓词公式与()(()())x A x B x ∀↓等价的是（ ）A ．()()()()x A x xB x ∀↓∀ B ．()()()()x A x x B x ∀↑∀C ．()()()()x A x x B x ∃↓∃D ．()()()()x A x x B x ∃↑∃15.在谓词演算中，()P a 是()xP x ∀的有效结论，其理论依据是（ ）A ．USB ．UGC ．ESD ．EG16. 设个体域是整数集合，P 代表∀x ∀y ((x <y )→(x -y <x ))，下面4个命题中为真的是( )(A) P 是真命题 (B ) P 是假命题(C) P 是一阶逻辑公式，但不是命题 (D) P 不是一阶逻辑公式二、填空题1. 设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ()x y xy y ∀∃= ( 0 ) (2) ()+x y x y y ∃∀= ( 0 )(3) ()+x y x y x ∃∀= ( 0 ) (4) (2)x y y x ∀∃= ( 1 )2. 谓词公式()((,)())()((,)()())x P x y Q z y R x y z Q z ∀∨∧∃→∀中量词∀x 的辖域是3. 公式()(()(,)()(,))()x P x Q x y z R y z S x ∀→∨∃→中量的自由变量为 x,y 约束变量为 x,z4. 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 .A (1)∨A (2)∨(B (1)∧B (2)) .5. 设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ∃→∀消去量词化为. (G (a )→(H (a ,a )∨H (a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))6. 设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数”符号化为 (()())(()())x N x Z x x Z x N x ∀→∧∃∧⌝7. 谓词公式∀x (F (x )→G (x ))∧⌝∀y (F (y )→G (y ))的类型是 永假式 ．8. 设个体域{1,2},谓词P (1)=1,P(2)=0，Q(1)=0，Q (2)=1，则∀x (P (x )∨Q (x ))的真值是 19.只用联结词,,⌝∀→表示以下公式()(()())x P x Q x ∃∧= ()(()())x P x Q x ⌝∀→⌝()(()()())x P x y Q y ∃↔∀= ()((()()())(()()()))x P x y Q y y Q y P x ⌝∀→∀→⌝∀→ ()(()()())y x P x Q y ∀∀∨⌝= ()(()()())y Q y x P x ∀→∀三、计算及证明1. 求谓词公式))(())((a f R x Q P x ∧→∀的真值．其中P ：4>3，Q （x ）：x >1，R （x ）：x ≤2．f （-3）=1，f （1）=5，f （5）= -3．a ：5．个体域D =（-3，1，5）．解：))(())((a f R x Q P x ∧→∀=))5(())5(())1(())3((f R Q P Q P Q P ∧→∧→∧-→=)3()11()01()01(-∧→∧→∧→R01100=∧∧∧=2.说明公式))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是逻辑有效式(永真式)．解：因为))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是)(P Q P →→的代换实例，可知 ))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是逻辑有效式．或 ))(),(()(x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃∨⌝∀1)(),()(⇔∨⌝∃∨⌝∀⇔x P y x yG x xP3. 通过等值演算说明下列等值式成立： )()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃→∀⇔→∃证：⇔→∃))()((x Q x P x )()((x Q x P x ∨⌝∃))()(x xQ x P x ∃∨⌝∃⇔)()(x xQ x xP ∃∨⌝∀⇔)()(x xQ x xP ∃→∀⇔4. 求谓词公式),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ∃∧∀→∀的前束范式解：),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ∃∧∀→∀),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ∃∧∀∨⌝∀⇔((,)(,))(,,)u F u y vG x v zH x y z ⇔∃⌝∨∀∧∃((,)(,))(,,))u F u y vG x v zH x y z ⇔∃⌝∨∀∧∃(((,)(,))(,,))u v z F u y G x v H x y z ⇔∃∀∃⌝∨∧(或(((,)(,))(,,))u v z F u y G x v H x y z ⇔∃∀∃→∧)5. 前提：∃xF (x ), ∀x (F (x )→G (x )∧H (x ))结论：∃x (F (x )∧H (x ))6. 构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →∀⇒∀→∃． （提示：))()(()()(x B x A x x xB x xA ∨∀⇒∀∨∀.) 证 ① )()(x xQ x xP ∀→∃ 前提引入② )()(x xQ x xP ∀∨⌝∃ T ①,蕴含等值式③ )()(x xQ x P x ∀∨⌝∀ T ②,量词否定 ④ ))()((x Q x P x ∨⌝∀⑤ ))()((x Q x P x →∀ T ④,蕴含等值式 法2：（反证法）① (()())x P x Q x ⌝∀→ 前提引入② (()())x P x Q x ∃∧⌝ T E ①,③ ()()P c Q c ∧⌝ ES ②, ④ ()Q c ⌝ T ③ , ⑤ ()P c T ③,⑥()xP x ∃ EG ⑤ ⑦)()(x xQ x xP ∀→∃ P⑧()xQ x ∀ T ⑦⑨()Q c UG ⑧ ⑩()()Q c Q c ⌝∧ T ④。
离散数学答案(尹宝林版)第二章习题解答
离散数学答案(尹宝林版)第二章习题解答第二章谓词逻辑习题与解答1. 将下列命题符号化：(1) 所有的火车都比某些汽车快。
(2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。
(3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。
(4) 每个人都有自己喜欢的职业。
(5) 有些职业是所有的人都喜欢的。
解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。
令T(x):x是火车， C(x):x是汽车， F(x,y):x比y跑得快。
“所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为?x(T(x)??y(C(y)?F(x,y)))。
(2) 取论域为所有物质的集合。
令M(x):x是金属， L(x):x是液体， D(x,y):x可以溶解在y中。
“任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为?x(M(x)??y(L(y)?D(x,y)))。
(3) 论域和谓词与(2)同。
“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为?x(M(x)??y(L(y)?D(x,y)))。
(4) 取论域为所有事物的集合。
令M(x):x是人， J(x):x是职业， L(x,y):x喜欢y。
“每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为?x(M(x)??y(J(y)?L(x,y))) (5)论域和谓词与(4)同。
“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为?x(J(x)??y(M(y)?L(y,x)))。
2. 取论域为正整数集，用函数?（加法），?（乘法）和谓词?，?将下列命题符号化：(1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。
(2) 任何两个正整数都有最小公倍数。
(3) 没有最大的素数。
(4) 并非所有的素数都不是偶数。
解先引进一些谓词如下：D(x,y):x能被y整除，D(x,y)可表示为?v(v?y?x)。
J(x):x是奇数，J(x)可表示为??v(v?2?x)。
E(x):x是偶数，E(x)可表示为?v(v?2?x)。
P(x):x是素数，P(x)可表示为?(x?1)??u(?v(v?u?x)?u?1?u?x)。
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第二章 谓词逻辑习题与解答1. 将下列命题符号化：(1) 所有的火车都比某些汽车快。
(2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。
(3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。
(4) 每个人都有自己喜欢的职业。
(5) 有些职业是所有的人都喜欢的。
解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。
令x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。
“所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧∃→∀。
(2) 取论域为所有物质的集合。
令x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。
“任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧∃→∀。
(3) 论域和谓词与(2)同。
“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →∀∧∃。
(4) 取论域为所有事物的集合。
令x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。
“每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧∃→∀(5)论域和谓词与(4)同。
“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →∀∧∃。
2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），•（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化：(1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。
(2) 任何两个正整数都有最小公倍数。
(3) 没有最大的素数。
(4) 并非所有的素数都不是偶数。
解 先引进一些谓词如下：x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =•∃。
x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =•⌝∃。
x x E :)(是偶数，)(x E 可表示为)2(x v v =•∃。
x x P :)(是素数，)(x P 可表示为)1)(()1(x u u x u v v u x =∨=↔=•∃∀∧=⌝。
(1) “没有既是奇数，又是偶数的正整数”可表示为))()((x E x J x ∧⌝∃，并可进一步符号化为))2()2((x v v x v v x =•∃∧=•⌝∃⌝∃。
(2) “任何两个正整数都有最小公倍数”可表示为))),(),((),(),((u z u z y u D x u D u y z D x z D z y x =∨<→∧∀∧∧∃∀∀，并可进一步符号化为)))()(()()((u z u z u y v v u x v v u z y v v z x v v z y x =∨<→=•∃∧=•∃∀∧=•∃∧=•∃∃∀∀(3) “没有最大的素数”可表示为)))(()((x y x y y P y x P x =∨<→∀∧⌝∃，并可进一步符号化为)))1)(()1(()1)(()1((x y x y y u u y u v v u y y x u u x u v v u x x =∨<→=∨=↔=•∃∀∧=⌝∀∧=∨=↔=•∃∀∧=⌝⌝∃ (4) “并非所有的素数都不是偶数”可表示为))()((x E x P x ⌝→⌝∀，并可进一步符号化为))2()1)(()1((x v v x u u x u v v u x x =•⌝∃→=∨=↔=•∃∀∧=⌝⌝∀3. 取论域为实数集合，用函数+，－（减法）和谓词<，=将下列命题符号化：(1) 没有最大的实数。
(2) 任何两个不同的实数之间必有另一实数。
(3) 函数)(x f 在点a 处连续。
(4) 函数)(x f 恰有一个根。
(5) 函数)(x f 是严格单调递增函数。
解 (1) “没有最大的实数”符号化为)(x y x y y x =∨<∀⌝∃。
(2) “任何两个不同的实数之间必有另一实数”符号化为))((y z z x z y x y x <∧<∃→<∀∀。
(3) “函数)(x f 在点a 处连续”的定义是：任给0>ε，总可以找到0>δ，使得只要δ<-||a x 就有ε<-|)()(|a f x f 。
“函数)(x f 在点a 处连续”符号化为))))()()()((0(0(εεδδδδεε+<∧<-→+<∧<-∀∧<∃→<∀a f x f x f a f a x x a x(4) “函数)(x f 恰有一个根”符号化为))0)((0)((x y y f y x f x =→=∀∧=∃。
(5) “函数)(x f 是严格单调递增函数”符号化为))()((y f x f y x y x <→<∀∀。
4. 指出下列公式中变元的约束出现和自由出现，并对量词的每次出现指出其辖域。
(1) )),(),((a x P x y P x →∀(2) ),()(y x zQ x xP ∀→∀(3) )()())()((x Q x xP x R x P x ∧∀→∧∀(4) ))),(,()),,(((y x g z xP x y x f P y ∀→∀(5) )())()()((x R x xR x Q x P x ∧∃∧→∀解 (1) 变元 x 在)),(),((a x P x y P x →∀中三次出现都是约束出现，∀x 的唯一出现的辖域是 P (y , x ) → P (x , a )。
(2) 变元 x 在),()(y x zQ x xP ∀→∀中的头两次出现是约束出现，第三次出现是自由出现。
变元 y 在),()(y x zQ x xP ∀→∀中的唯一出现是自由出现。
变元 z 在),()(y x zQ x xP ∀→∀中的唯一出现是约束出现。
∀x 的唯一出现的辖域是 P (x )，∀z 的唯一出现的辖域是Q (x , y )。
(3) 变元 x 在)()())()((x Q x xP x R x P x ∧∀→∧∀中的头五次出现是约束出现，第六次出现是自由出现。
∀x 的第一次出现的辖域是P (x ) ∧ R (x )，第二次出现的辖域是P (x )。
(4) 变元 x 在))),(,()),,(((y x g z xP x y x f P y ∀→∀中的头两次出现是自由出现，后两次出现是约束出现。
∀x 的唯一出现的辖域是 P (z , g (x , y ))， ∀y 的唯一出现的辖域是 P (f (x , y ), x ) → ∀xP (z , g (x , y ))。
(5) 变元 x 在)())()()((x R x xR x Q x P x ∧∃∧→∀中的头五次出现是约束出现，第六次出现是自由出现。
∀x 的唯一出现的辖域是P (x ) → Q (x ) ∧ ∃xR (x )，∃x 的唯一出现的辖域是R (x )。
5. 归纳证明：若t ，t '是项，则x t t '也是项。
证明 ① 若t 是x ，则x t t '是t '，x t t '是项。
② 若t 是不同于x 的变元y ，则x t t '仍是y ，x t t '是项。
③ 若t 是常元a ，则x t t '仍是a ，x t t '是项。
④若t 是),,(1n t t f ，则x t t '是))(,,)((1x t n x t t t f '' ，由归纳假设知x t n x t t t '')(,,)(1 都是项，所以x t t '是项。
6. 归纳证明：若t 是项，A 是公式，则x t A 也是公式。
证明 ① 若A 是),,(1n t t P ，则x t A 是))(,,)((1x t n x t t t P ，由上题知x t n x t t t )(,,)(1 都是项，所以x t A 是公式。
② 若A 是B ⌝，则x t A 是x t B ⌝，由归纳假设知x t B 是公式，所以x t A 是公式。
③ 若A 是C B →，则x t A 是x t x t C B →，由归纳假设知x t B 和x t C 都是公式，所以x t A 是公式。
④ 若A 是xB ∀，则x t A 仍是A ，x t A 是公式。
⑤ 若A 是yB ∀，其中y 是不同于x 的变元，则x t A 是x t yB ∀，由归纳假设知x t B 是公式，所以x t A 是公式。
7. 给定解释I 和I 中赋值v 如下：}2,1{=I D ，1=I a ，2=I b ，2)1(=I f ，1)2(=I f1)2,1()1,1(==I I P P ，0)2,2()1,2(==I I P P ，1)(=x v ，1)(=y v计算下列公式在解释I 和赋值I 中v 下的真值。
(1) )),(())(,())(,(x y f P b f x P x f a P ∧∧(2) ),(x y yP x ∃∀(3) )))(),((),((y f x f P y x P y x →∀∀解 (1))))(),(())(,())(,((v x y f P b f x P x f a P I ∧∧))()),((())(),(()))((,(x v y v f P b f x v P x v f a P I I I I I I I I ∧∧=)1),1(())2(,1())1(,1(I I I I I I f P f P f P ∧∧=0011)1,2()1,1()2,1(=∧∧=∧∧=I I I P P P (2))))(,((v x y yP x I ∃∀])2/[))(,((])1/[))(,((x v x y yP I x v x y yP I ∃∧∃= ]))2/][1/[))(,((])1/][1/[))(,(((y x v x y P I y x v x y P I ∨=]))2/][2/[))(,((])1/][2/[))(,(((y x v x y P I y x v x y P I ∨∧))2,2()2,1(())1,2()1,1((I I I I P P P P ∨∧∨= 1)01()01(=∨∧∨=(3) )))))((),((),(((v y f x f P y x P y x I →∀∀)))2(,)1(()2,1(()))1(,)1(()1,1((I I I I I I I I f f P P f f P P →∧→=)))2(,)2(()2,2(()))1(,)2(()1,2((I I I I I I I I f f P P f f P P →∧→∧))1,1()2,2(())2,1()1,2(())1,2()2,1(())2,2()1,1((I I I I I I I I P P P P P P P P →∧→∧→∧→=01100)10()10()01()01(=∧∧∧=→∧→∧→∧→=7. 给定解释I 如下：},{b a D I =， 1),(),(==b b P a a P I I ， 0),(),(==a b P b a P I I判断I 是不是以下语句的模型。