分块矩阵求逆公式及证明
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分块矩阵求逆公式及证明 A
12
,如果A ii (i=1,2)的逆存在，则
A 22
A 11
B 12 * A 12B 22 A 21B 11 A 22B 21
A 21
B 12 A 22B 22
将B 22代入方程(2)可以得到： B q 厂-A -1|A 12F 2 将B/弋入方程(1)可以得到： B qi = A ；；(I iq + A 12F 2A 21A ；1) 证毕。
同理可得，A ；1的另外一种表达形式为：
F -F -1A A -1 1
A I ；；； ；； 1 12 22 ,其中 F 广(A ii-A i2A 22；；A 2i ) A -
-1 -1 -1 化 1 A 11 (I + A 12F 2A 21A 11 ) _A 11A 12F 2 ； -F 2A 21A 11
F 2 其中 F 2= (A 2^A
21A 11A 12 F 1 证明: 设A 的逆为B 二 B 11 _B 21 B
B ：，其中B 与A 分块形式相同'则:
A 11 A 12
B 11 A
22 _ -B 21 B q? I 11 B 22H 22 - A 11B 11 A 12B 21 111 (1
) 定理: A= A 11
A 21 ⑷- A 21A -?⑵二 A 22
B 22 -1
- A 21A 11B 22 -1 1
1
22 = B 22 二(A 22 一 A 21A 11A 12) F 2
(3) - A 21A 11 (1) — A 22B 21 - A 21A 11A 12B 21 =-A 21A -1 二 B 21 二一 B 22A 21A 11
A
22 A
21
F
1 A 22
(I
22 *
A
21
F
i
A
12 )_