小专题(十) 三角形中线段的相关应用(含微专题4)
七年级数学下册 4.1《认识三角形》方法技巧 三角形中线性质及其应用素材 (新版)北师大版
三角形中线性质及其应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE⊥BC，垂足为E ，则S △ABD =21 BD·AE，S △ADC = 21 DC·AE，因为BD=DC ，所以S △ABD =S △ADC .因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题.一、巧分三角形例1 如图2，已知△ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1∶2∶3的三个三角形.解：方法1：取BC 的中点E ，然后在BE 上取点D ，使BD=31 BE ，则AD ，AE 把△ABC 分成面积之比为1∶2∶3的三个三角形（如图3）.方法2：在BC 边上截取CD=31 BC ，连接AD ，然后取AD 的中点P ，连接BP ，CP ，则△PAC，△PAB，△PBC 的面积之比为1∶2∶3（如图4）.二、巧算式子的值例2 在数学活动中，小明为了求21+221+321+421+…+n 21的值（结果用n 表示），设计了如图5所示的几何图形.请你利用这个几何图形求21+221+321+421+…+n 21的值.分析：由数据的特征：后面的数为前面与它相邻的数的21，联想到将三角形的面积不断地平分，所以可构造如图5的图形进行求解.解：如图5，设大三角形的面积为1，然后不断地按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，21+221+321+421+…+n 21表示组成面积为1的大三角形的n 个小三角形的面积之和，因此21+221+321+421+…+n 21=1-n 21. 点评：此题运用数形结合思想，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
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初中数学知识归纳三角形中线定理的证明与应用
初中数学知识归纳三角形中线定理的证明与应用三角形是初中数学中的重要内容，其中的中线定理是一个基础且重要的定理。
本文将对三角形中线定理进行证明，并介绍其在实际问题中的应用。
【引言】三角形中线定理是初中数学中的基本定理之一，它描述了三角形中线之间的关系。
证明该定理有助于我们理解三角形的特性，为进一步研究三角形提供基础。
【证明】假设△ABC是一个三角形，D、E和F分别为△ABC的边BC、CA和AB上的中点。
我们将证明以下三个直线相等：AD = BE = CF。
（1）首先，连接AD、BE和CF这三条直线。
（2）观察△ABC中的三角形ABD和ACF。
根据中点定理，BD = CD，AF = CF。
根据共线中线定理，我们可以得出这三线共线，即DF是三角形ABD和ACF的公共边。
（3）进一步观察△ABC中的三角形ABE和ACD。
根据中点定理，AE = CE，BD = CD。
同样根据共线中线定理，我们可以得出这两线共线，即DE是三角形ABE和ACD的公共边。
（4）由于DF和DE都是△ABC中两个不同三角形的公共边，因此这两个三角形是全等的。
根据全等三角形的性质，我们可以得出相应边相等的结论，即AD = CF 和 AE = CD。
（5）根据两个等式中的AD = CF，我们可以得出BE = AD = CF。
综上所述，我们得出结论：在△ABC中，三角形中线AD、BE和CF的长度相等。
【应用】三角形中线定理虽然看似简单，但在实际问题中却有广泛的应用。
下面将介绍三角形中线定理在几个实际问题中的应用。
（1）在计算三角形面积时，我们可以利用中线定理来简化计算过程。
根据中线定理，三角形中线的长度相等，而中线的长度又等于对应边长的一半。
因此，我们可以根据已知的边长快速计算出三角形的面积。
（2）在建筑和工程中，我们经常需要确定一个地面上位置较高的点对相邻两个位置较低的点的距离。
利用三角形中线定理，我们可以通过测量两个位置较低的点的距离和位置较高的点与这两个位置较低的点的连线长度来计算该位置较高的点与地面上位置较低的点的距离。
三角形的中线高线与垂线应用题
三角形的中线高线与垂线应用题在几何学中，三角形是一个基本的形状，具有许多有趣的特性和应用。
其中，中线、高线和垂线是三角形中常见的概念和线段。
在本文中，我们将探讨三角形的中线、高线和垂线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、中线中线是三角形中连接一个顶点与对边中点的线段。
具体来说，三角形的三条中线分别连接三个顶点与对边的中点。
设三角形的三个顶点为A、B、C，对边的中点分别为D、E、F，则三角形的中线分别为AD、BE和CF。
中线主要有以下性质：1. 三条中线的交点称为三角形的重心，记为G。
重心G将三角形分成六个小三角形，其中每个小三角形的重心也恰好是大三角形的一个顶点。
2. 三角形的重心G到顶点的距离为顶点连线长度的两倍。
3. 三角形的重心G到三条中线的距离相等，且是该距离的三倍。
应用题：已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，求三角形的重心到顶点的距离和重心到三条中线的距离。
解析：根据中线的性质，我们可以得到以下结论：1. 重心到顶点的距离为重心到对边中点的距离的两倍，即AG =2AD、BG = 2BE、CG = 2CF。
2. 重心到三条中线的距离相等，即AG = BG = CG。
因此，我们只需要求出任意一条中线的长度，就可以得到重心到顶点的距离和重心到三条中线的距离。
假设三角形的边长为a = BC、b = AC、c = AB。
根据中线的性质，我们可以得到AD = 0.5b、BE = 0.5c、CF = 0.5a。
重心到顶点的距离为AG = 2AD = b、BG = 2BE = c、CG = 2CF = a。
重心到三条中线的距离相等，为AG = BG = CG = b = c = a。
因此，三角形的重心到顶点的距离和重心到三条中线的距离都为三角形的边长。
二、高线高线是三角形中从一个顶点到对边或延长线上的垂线。
具体来说，三角形的三条高线分别从三个顶点向对边或其延长线上作出的垂直线段。
设三角形的三个顶点为A、B、C，对边或其延长线上的垂足分别为D、E、F，则三角形的高线分别为AD、BE和CF。
三角形的中线
三角形的中线三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，连接三个顶点。
而三角形的中线则是连接三角形的顶点与对应边中点的线段。
本文将详细论述三角形的中线，介绍其特性和应用。
一、中线的定义和特性中线是指从三角形的一个顶点到对边中点的线段。
一个三角形具有三个顶点，因此共有三条中线，它们分别连接一个顶点与对边的中点。
1. 中线长度关系对于任意一个三角形ABC，其三条中线分别为AD、BE和CF。
根据中点定理可知，中点是一条线段的两个等分点。
因此，中线将对边等分，即AD=BD、BE=CE和CF=AF。
2. 中线交点三条中线的交点被称为三角形的重心，记为G。
重心是三角形的一个重要特点，它将三角形分为六个小三角形，其中每个小三角形的面积都相等。
3. 重心与中线长度的关系重心G将每条中线分成两段，记为m和n。
根据重心定理可知，重心将每条中线分为1：2的比例，即m: n = 1: 2。
因此，重心离顶点的距离是离对边中点的距离的两倍。
二、中线的应用1. 构造中线在很多几何问题的解决过程中，中线是一个常用的构造工具。
通过使用尺规作图或者使用直尺和量角器进行测量，可以准确地构造出三角形的中线。
2. 求取中线长度已知三角形的三个顶点坐标，可以通过计算得出三条中线的长度。
根据中线的定义，我们可以使用中点公式来求取对边的中点坐标，进而计算出中线的长度。
3. 判断重心位置在一些问题中，需要判断给定的三角形的重心相对位置。
通过计算重心离三个顶点的距离，可以得出重心相对位置的信息。
如果重心距离某个顶点较近，则说明该顶点所在的边较长，反之则较短。
4. 证明三角形性质在几何证明中，中线也是一个常用的手段。
通过利用中线的性质，可以证明一些三角形的性质，如等腰三角形、全等三角形等。
5. 三角形的划分重心将三角形划分成六个小三角形，每个小三角形的面积相等。
这一特性在一些几何问题中有着重要的应用，如在计算三角形的面积或者寻找三角形的重心时。
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．一、证明问题1、证明角相等关系例1、如图、四边ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF =∠DFE分析：欲证：∠AEF =∠DFE ．由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB∥，12GN CD ∥，由于AB =CD ，进而有GM =GN ，∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ，从而证出结论．证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN ．∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥．同理可证：12GN AB∥，又∵AB =CD ，∴GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵GM //AB ，GN =CD ，∴∠GMN =∠EPN ，∠GNM =∠Q ，∴∠EPN =∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF =∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点．若要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结．2、证明线段的倍分以及相等关系例2.如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点．求证：（1）BM =14BD （2）ME =MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM =MO ．又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO =OD ，即BM =41BD ．欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM =12AO ，MF =12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论．证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，∴BM =MO =12BO （平行线等分线段定理） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC ， ∴BM =1124BO BD ，即BM =14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点．∴12ME AD =，12MF OC =，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系．3、证明线段平行关系例3.如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E ．求证：DE ∥BC 分析：欲证ED //BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC ．证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB =∠BDG =900． 在△ABD 与△GBD 中12BD BDBDG BDA⎧⎪⎨⎪⎩=== ∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD (A S A ) ∴AD =DG ，同理可证，AE =GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行．二、比较大小1、比较线段大小 例4.如图，M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行．求证：MN ＜12(AB ＋CD ). 分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD )，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了．证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP . ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点.∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD ．∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上．在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM +PN ＝12(AB +CD )小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明．2、比较角的大小例5、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB >AC ，那么∠BAD <∠CAD ． 分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB >AC , 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD <∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点．∴∠1=∠3，∵AB >AC ，∴12AB >12AC ，即在△AED 中，DE >AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD <∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题．三、求值问题例6. 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ，若GE ＝24 求FC 的长．分析：求FC 的长，因为E 为对角线交点，就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC 且有PE =21FC 所以只要能求出PE 的长即可，而PE 的长可由∠3＝∠4求出，因为∠3为△APE 的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF 为∠BAC 的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE =GE =12FC ,这样问题就解决了． 解：过点E ，作EP ∥BC ，交AF 于点P ，则P 为AF 中点，∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP ＝EG ，∵PE 是△AFC 的中位线，∴PE ＝12FC =EG ，即FC =2EG =2PE =2×24=48小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题．总之，三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点．要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理．一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标．。
三角形的中线
三角形的中线在几何学中，三角形是最基本、最常见的图形之一。
它由三条直线段组成，每两条直线段的交点被称为三角形的顶点。
三角形的中线是连接三角形的每条边的中点的线段。
三角形有三条边，我们可以将中线分别连接三角形的三个顶点。
这样，我们可以得到三个中线，分别称为三角形的重心线、垂心线和媒介线。
接下来，我们将探讨这些中线的性质和应用。
一、重心线以三角形的三个顶点为起点，连接三个顶点到对边中点的线段，得到的三条线段交于一点，称为重心，连接重心与三个顶点的线段分别称为重心线。
在标准笛卡尔坐标系中，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
重心线有以下性质：1. 重心线三条线段交于一点，该点与三角形的重心重合。
2. 重心线平分对应边，即重心到对边中点的线段长度相等。
重心线在三角形中起到平衡作用。
在平面上，三个人均匀站在三角形的顶点上，通过绳子将每个人与重心相连，可以保持平衡。
因此，重心被称为三角形的“几何中心”。
二、垂心线以三角形的三个顶点为起点，连接三个顶点到对边的垂线的交点，得到的三条线段交于一点，称为垂心，连接垂心与三个顶点的线段分别称为垂心线。
垂心线有以下性质：1. 垂心线三条线段交于一点，该点与三角形的垂心重合。
2. 垂心线互相垂直，即三条垂心线两两垂直。
垂心线在三角形中起到垂直作用。
垂心可以看作是三角形的“垂直投影中心”，通过垂心线可以得到三角形的三个顶点到对边的垂直距离。
三、媒介线以三角形的三个顶点为起点，连接三个顶点到非相邻顶点的中点的线段，得到的三条线段互相平行，称为媒介线。
三角形的媒介线有三条，连接三个媒介线交点的线段被称为媒介线三角形。
媒介线有以下性质：1. 媒介线三条线段互相平行，且等于对边的一半。
媒介线在三角形中起到平行作用。
当我们绘制媒介线后，可以将三角形分割为三个面积相等的小三角形。
总结：三角形的中线包括重心线、垂心线和媒介线，它们分别连接三角形的顶点和对边的中点。
这些中线具有独特的性质，如重心线的平分性、垂心线的垂直性和媒介线的平行性，可以帮助我们研究三角形的性质和解决与三角形相关的问题。
三角形的中线中线的性质和应用
三角形的中线中线的性质和应用三角形是初中数学中的基础概念之一。
在三角形中，中线是一条连接一个顶点与其对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，互相交于一个点，我们称之为重心。
本文将探讨三角形的中线中线的性质和应用。
一、三角形中线的定义与性质1. 定义：三角形的中线是一条连接一个顶点与其对边中点的线段。
2. 性质1：三角形的三条中线互相交于一个点，这个点被称为三角形的重心。
重心划分每条中线的长度比为2:1，即重心到顶点的距离是重心到中点距离的两倍。
3. 性质2：三角形的重心离每条边的距离相等。
4. 性质3：三角形的中线长度满足关系式：m₁+m₂+m₃=3m（其中，m₁、m₂、m₃分别表示三角形的三条中线的长度，m表示三角形的周长）。
二、三角形中线中线的应用1. 面积计算：利用三角形中线中线的性质，我们可以简化计算三角形面积的步骤。
设三角形的三条边长分别为a、b、c，三条中线的长度分别为m₁、m₂、m₃，则三角形的面积S可以通过以下公式计算得到：S = 1/4 * √(2a²+2b²-c²) * √(2a²+2c²-b²) * √(2b²+2c²-a²)这个公式称为三角形中线长公式，可以大大简化我们计算三角形面积的过程。
2. 相似三角形比较：利用三角形中线对应线段相等的性质，我们可以判断两个三角形是否相似。
如果两个三角形的中线等分对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，如果一个三角形的一个中线等分了对应边，而另一个三角形的对应中线等分了对应边的同一比例，那么这两个三角形就是相似的。
3. 证明三角形性质：三角形中线中线的性质也可以用来证明其他三角形的性质。
例如，我们可以利用中线的长度比是2:1，来证明三角形重心到两边距离的关系。
假设三角形ABC的重心为G，连接AG、BG、CG分别和边BC、AC、AB交于点D、E、F。
三角形中线的应用
“三角形中线的应用”教材学情分析：学生在学习了三角形、平行四边形之后，掌握了全等三角形、平行四边形及特殊的平行四边形的相关性质和判定，可以证明简单的线段相等和角相等以及相关的方法.但对较复杂的几何证明题，大多数的学生还是显得力不从心.有些学生因此还产生困惑：定义、性质、定理都会背，就是不会做题，一遇到稍复杂的几何题就无从下手.通过深入了解发现，有很多同学对于几何证明题中许多辅助线的作法及相关规律没有掌握，不能灵活应用.其实在几何中，一些特殊的线或线段，就能给我们提示思考方法和解题思路，掌握这些特殊线或线段的应用，对于我们提高解题能力、总结解题方法、解决实际问题都有很大帮助.“三角形中线的应用”就是巧妙利用三角形中线（有时候是中点）的性质和特点，归纳总结与三角形中线有关题型的解题方法.教学目标：知识与技能：理解三角形中线的定义、性质.过程与方法：让学生在解题过程中掌握三角形中线的应用规律，归纳几何解题的技巧. 情感态度与价值观：学生在合作交流中，培养有条理的思维方法，积累数学活动经验，体验用中线的相关性质解决问题后的成功感.教学重难点：重点：应用三角形中线相关性质解题.难点：结合不同条件，在具体题目中应用中线、中点的特点作辅助线.教学设计思想：三角形的中线，很可能大多数学生只知道中线把对边分成两条相等的线段，可能还有部分学生会想到中线分三角形为两个面积相等的三角形.本节课是想让学生通过具体的问题，归纳在特殊的三角形中的中线的特点及其应用.有些题目有些难度，在课前把学案发给学生，让他们通过预习探究先解决简单的问题，不能解决的问题在课堂上通过老师的点拨和几何画板的演示，让学生找出解决问题的思路和方法，最后进行总结归纳.教学过程： 复习引入：已知△ABC 中，AD 是中线，你能得到哪些结论？老师：根据图形说你能得到哪些结论，说得越多越好.学生：1、线段BD =线段CD2、△ABD 与△ACD 的面积相等. 以上两条是学生最容易想到的，其实在特殊三角形中， 三角形的中线还有很多特殊的性质，看来还是要通过具体的问题，让学生在解决实际问题的过程中去归纳总结.应用精选：１、一根长为a 的木棍AB 斜靠在墙上，设木棍的中点为P ，当木棍A 端下滑时： （１）点P 到点O 的距离是否变化，为什么？DB 图１（２）当木棍滑到什么位置时，△ABC 的面积最大？ 先让学生独立思考，第一问难度不大，主要是想让学生归纳：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.在特殊的三角形中，中线还有更特殊的性质. 学生一：点P 到点O 的距离不变，根据是在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半. 第二问有一定的难度，通过几何画板演示，当线段AB 在滑动的过程中，△AOB 的面积变化情况.同进提醒同学们注意，在 线段AB 滑动过程中，线段AB 是不会变化的，把它当三角形的 底边，观察AB 边上高OC 的变化情况.学生二：当OC 与中线OP 重合时，即AB 与墙面成450时，三角形的面积最大.点评： 本题主要是想让学生注意在直角三角形中，斜边上的中线的特殊性.２、在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，O 为BC 的中点，M 、N 是AB 、AC 上的动点，且AN =BM .判断△OMN 的形状，并证明你的结论.通过前一题应该有启发：有斜边上的中点，联想到斜 边上的中线.所以辅助线问题应该是能够解决.学生一：△OMN 是等腰三角形.因为有斜边上的中点，连接AO ，就可以证明△AON 与△BOM 全等，从而得到OM =ON.学生二：还可以证明∠MON =900，从而证明△OMN 是等腰直角三角形. 点评：学生通过上题可能掌握了直角三角形中斜边上的中线性质， 但在等腰直角三角形中，斜边上的中线还有“三线合一”的性质.３、在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，且BD =2AB ，E 、F 分别是OA 、BC 的中点.（１）求证：EF =BF（２）如果AC =BD ，G 是BD 上的一点，且BD ：GD =4：1，试判断四边形EBFG 的形状，并说明理由. 老师：本题要充分利用平行四边形的性质，再结合E 、F 是中点这一条件，在相关三角形中就会有中线，再利用三角形中线的性质来解决问题. 学生分析思路： 学生一：平行四边形的对角线互相平分，所以OB =OD ，且BD =2AB ，得到AB =OB ，那么BE 为等腰△ABO 的底边上的中线，所以BE ⊥AO ，进一步得到△BEC 为直角三角形，EF 为斜边BC 上的中线， 从而得到：EF =BF 学生二：在平行四边形基础上，AC =BD ，所以四边形ABCD 是距形.又因为BD ：GD =4：1，可以得到G点为OD 的中点，那么EG 为△AOD 的中位线，结合第一问的结论，可以得到四边形EBFG 是菱形. 点评： 本题是想充分利用等腰三角形底边上的中线的性质， B A B 图2M 图3 F C 图4FB 图5得到垂直.同时也提醒学生注意，当在一个三角形中有两边的中点时，就要想到三角形的中位线性质.４、已知AD为△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD.老师：通过此题的辅助线的作法，归纳思路.就是利用中线的特点构造全等三角形.学生：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，得到△ABD全等于△ECD，把AB转化到△ACE中来，再利用三角形三边之间的关系可以得到：AB+AC＞2AD老师：题中的辅助线也可以通过过C点作AB的平行线与AD的延长线相交得到.探究：菱形ABCD中，∠A=110°，E、F分别是AB、BC的中点，EH⊥CD，求∠FHC的度数.本题有一定的难度，根据学生探究情况，适当提示，连接EF并延长，与DC的延长线相交于G点.再观察有没有全等三角形.学生：连接EF并延长，与DC的延长线相交于点G，即可证明EF=GF，而EH⊥CD，所以在Rt△EHG中，HF为斜边上的中线，FH=FG，从而把∠FHC转化到∠G上来.再利用菱形的相关性质，得到∠B=700，∠BEF=∠BFE=550 ，所以∠G=550 ，∠FHC=550老师：本题作辅助线的基本思想是把中线延长一倍，寻找全等三角形.但在实际操作过程中，可能是通过延长来达到这个目的.所以要灵活掌握，活学活用.以上几个例题都是充分利用三角形的中线的性质，特别是等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形中线的特点，掌握相关作辅助线的作法，达到化难为易的目的.５、已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线.△ABC的面积等于20，BD=５，求Ｅ点到BC的距离.（本题难度不大，学生应该能够解决.）学生：因为AD是△ABC的中线，所以△ABD的面积等于10，又BE是△ABD的中线，△BDE的面积等于5，且BD=5，所以图中BD边上的高h=2.而E点到BC的距离即为h的长度.点评：本题即是利用三角形的中线把三角形的分成两个面积相等的三角形，原理是等底等高.６、已知O点是△ABC的重心.AO⊥CO，且AO=3，CO=4，求BO的长.老师：根据重心的定义及性质来思考.学生：因三角形的重心是三角形三条中线的交点，所以延长BO与AC边的交点D就是AC边的中点.且AO⊥CO，OD就是直角三角形斜边上的中线，所以OD=12AC=52.根据重心的性质，OB=2OD，所以EB C图6图7D图8图9BO =5.点评： 本题利用重心的定义及性质，结合直角三角形斜边上的中线的特点来解题.难度并不大.主要是培养学生逆向思维的方法，学生都知道三角形三条中线相交一点，这点叫重心，如果先知道重心，那么延长BO 与AC 边的交点就应当是AC 边的中点，培养学生逆向思维的方法.（延长BO 与AC 的交点就是AC 边的中点）归纳小结：复习引入时的提问，学生当时归纳三角形中线的特点肯定有不完整的地方，现在通过 解决以上的题目，基本上能完整归纳出三角形中线的特点.特别是等腰三角形底边上的中线、直角三角形斜边上的中线以及等腰直角三角形斜边上中线的性质，在以上题目中有较多的应用.具体为：1、线段BD =线段CD2、△ABD 与△ACD 的面积相等.3、等腰三角形中底边的中线垂直于底边（三线合一）.4、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.5、等腰直角三角形斜边上的中线分原直角三角形为两个 等腰直角三角形.6、重心的应用.课后反思：本节课是想通精选例题，集中了三角形中线的应用，让学生掌握中线在解题中的一些技巧.在复习引入时让学生回答由三角形中线得到哪些结论时，一般学生都只能得到中线平分某一边，或是中线分三角形得到两个面积相等的三角形.这时老师不必先补充还有哪些性质，可通过解决精选例题逐步来回答这些问题.本节课精选的例题要想在一节课内完成有一定的困难， 必须让学生在课前通过小组合作学习分析前三题的解题思路，在课堂上再通过学生发言、老师点拨，进一步完善前 三题的解题过程.第4题后的探究题有一定的难度，通过对比第4题的辅助线的作法，实际上课时也还学生提出另 外的辅助线的作法，即延长HF 与EB 的延长线相交于点 G ，如右图. 并让一名学生上台展示完整的解题过程. 通过本节课学生对三角形中线应用的探究，能够形成 一定的技能，提高了解题的能力，加深了对三角形中线的认识，达到了教学目标.宜都市西湖中学 黄 勇D B 图１图10。
三角形中线的运用
∴DE= 1 2
BC
且 DE ∥ BC
3.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 斜边 的一半 .
如图,在RT△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°,
∴BC=
1 2
AB .
4.等腰三角形“三线合一”的性质：
如图,已知AB=AC，AD⊥BC.
∴BD=CD=
1 2
BC
，
∠BAD=∠CAB.
5.一种常见的关于中点的辅助线思想 ——“倍长中线法”
如图：在△ABC中，点D是BC边的中点， 我们可以将AD延长至A′，使A′D=AD ， 连接A′B（A′C）.
∴△ACD≌ △A′BD （△ABD≌ △A′C）D
∴ AA′=2AD.
例1：如图：∠BAC=∠DAE=90º，AB=AC，AD=AE， 连接BE、CD，M为BE的中点，连接AM，
求证：CD=2AM.
北碚区王朴中学童昌强
三角形中线的运用
一.知识回顾—线段“中点”相关知识点： 1.在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边的一半
如图,在RT△ABC中，∠ABC=90°， 点D是AC的中点，
∴AD=CD= BD = 1 AC . 2
2.三角形的中位线平行且等于 第三边的一半
如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC中，点E在AC上，且AE=CE ，连接 BE，点D在BC的延长线上，且CE=CD，连接ED、AD. 点F是BE的中点，连接FA、FD.求证：AD=2AF.
A
E
F B
D C
A
B
MC
E
D
A
B M
D
C
E
A′
△ACD≌△EA′A
A
B
解三角形(中线问题)(典型例题+题型归类练)(解析版)
专题04 解三角形（中线问题）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1、向量化(三角形中线问题）如图在ABC∆中，D为CB的中点，2AD AC AB=+(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）2、角互补∠+∠=ADC ADBADC ADBπ∠+∠=⇒cos cos0二、典型例题例题1．如图，在ABC ∆中，已知2AB =，62AC =，45BAC ∠=︒，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ．求BAM ∠的正弦值；思路点拨：本题涉及三角形中线问题，可以考虑中线向量化，也可以考虑角互补的技巧.解答过程：由，，，利用余弦定理在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，与互补，则，解得解法1：角互补解法2：中线向量化由题意可得，，由为边上的中线，则，两边同时平方得，，故在中，由余弦定理，得，因为，所以．【答案】35解：解法1、由余弦定理得222cos AC AB AC C B BA BC A +-⋅⋅∠=，即(22222252BC =+-⨯⨯=，所以BC =所以12BM CM BC === 在ABM 中，由余弦定理，得2222cos2BM AM AB BMA BM AM +-∠==⋅，在ACM △中，由余弦定理，得2222cos2CM AM AC CMA CM AM +-∠==⋅BMA ∠与CMA ∠互补，则cos cos 0BMA CMA ∠+∠=，解得5AM =，在ABM 中，由余弦定理，得2224cos 25AB AM BM BAM AB AM +-∠==⋅，因为0,2BAM π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5BAM ∠==．解法2、由题意可得，cos 4512AB AC AB AC ⋅=⨯⨯︒=， 由AM 为边BC 上的中线，则()12AM AB AC =+， 两边同时平方得，22211125442AM AB AC AB AC =++⋅=，故5AM =， 因为M 为BC 边中点，则ABM 的面积为ABC 面积的12， 所以111sin sin 222AB AM BAM AB AC BAC ⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠，即11125sin 2sin 45222BAM ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯︒， 化简得，3sin 5BAM ∠=．例题2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2,5,1a b c ===． (1)求sin ,sin ,sin A B C 中的最大值； (2)求AC 边上的中线长．【答案】(1)最大值为2sin 2B =(2)12 (1)521>>，故有sin sin sin b a c B A C >>⇒>>，由余弦定理可得222(2)1(5)2cos 2221B +-==-⨯⨯，又(0,)B π∈，34B π∴=，故2sin 2B =．(2)设AC 边上的中线为BD ，则1()2BD BA BC =+， 2222223(2)()2cos 1(2)212cos 14BD BA BC c a ca B π∴=+=++=++⨯⨯⨯=， 1||2BD ∴=，即AC 边上的中线长为12．第（2）问思路点拨：本题涉及三角形中线问题，可以考虑中线向量化，也可以考虑角互补的技巧.本题提供中线向量化方法由（1）知，设边上的中线为，则（注：中线向量化的技巧：两边同时平方，化向量为标量）.，即边上的中线长为．配图两边同时平方例题3．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B a cC a b--=+.（1）求角B 的大小；（2）若6b =，且AC 边上的中线长为4，求ABC 的面积.【答案】（1）3B π=（2）732（1）由正弦定理得a b a c c a b--=+，化简得222a c b ac +-=. 由余弦定理得2221cos 22a c b B ac +-==， 由()0,B π∈可得3B π=；（2）设AC 的中点为D ，由余弦定理得222cos 2BD AD AB ADB BD AD +-∠=⋅，222cos 2BD CD BC BDC BD CD +-∠=⋅，由ADB BDC π∠+∠=可得cos cos ADB BDC ∠=-∠，第（2）问思路点拨：本题涉及三角形中线问题，可以考虑中线向量化，也可以考虑角互补的技巧.本题提供角互补方法由（1）知，设的中点为，由余弦定理得，，由可得即即，所以. 又，，所以，所以.配图即22222222BD AD AB BD CD BC BD AD BD CD +-+-=-⋅⋅即2222224343243243c a +-+-=-⨯⨯⨯⨯， 所以2250a c +=.又222a c b ac +-=，6b =，所以14ac =，所以11sin 1422S ac B ==⨯=三、题型归类练1．已知ABC 的内角,,A B C 对的边分别为,,a b c ， 2c =，cos sin 2a C C b =+. (1)求A ；(2)若BC 边上的中线AM b . 【答案】(1)π3A =(2)2b =(1)由cos sin 2a C C b =+，2c =，得cos sin 0a C C b c --=由正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=sin cos sin sin()sin 0A C A C A C C +-+-=sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C ---=sin cos sin sin 0A C A C C --=()0,,sin 0,C C π∈∴≠∴cos 1,A A -= ∴2sin()16A π-=()50,,,666A A ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭， 66A ππ∴-=3A π∴=(2)因为AM 为BC 边上的中线， 所以()12AM AB AC =+, 所以()()222211244AM AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+，所以2221222cos 43b b π⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭， 即2113142b b =++解得2b =或-4（舍去） 2b ∴=2．已知函数()()1sin cos 64f x x x x π⎛⎫=⋅--∈ ⎪⎝⎭R ．(1)求()f x 的最小正周期和最大值：(2)设ABC 的三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且122C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b =，AB 边上的中线长为72，求ABC的面积．【答案】(1)πT =，最大值为12.(2)S =(1)()111sin cos sin sin 6424πf x x x x x x ⎫⎛⎫=⋅--=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12cos24x x =- 1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故2ππ2T ==，当ππ22π62x k -=+，即ππ3x k =+，k Z ∈时有最大值为12.(2)1π1sin 2262C f C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,πC ∈，故2π3C =.AB 边上的中线长72CD =，()12CD CA CB =+， 故()()222211492444CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅=， 故21923492a a ⎛⎫++⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得8a =或5a =-（舍去），11sin 3822S ab C ==⨯⨯= 3．在三角形ABC 中，有23sinsin sin 24B C B C -+=． （1）求角A ；（2）设CD 是AB 边上的中线，若45,2ABC AC ︒∠==，求中线CD 的长．【答案】（1）60；（2 （1）由已知，化简得1cos()3sin sin 24B C B C --+=，1cos cos sin sin 3sin sin 24B C B C B C --+=，整理得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即()12cos B C +=-，由于0B C π<+<，则23B C π+=，所以60A =．（2）由题意得，sin sin AC ABC B==又6cos cos 75ACB ∠==所以()22114622444CD CA CB ⎛=+=++⨯= ⎝⎭， 所以4CD =-4．在ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=，且152AB AC ⋅=-．（1）求ABC 的面积； （2）若5AB =，求AD 的长． 【答案】（1；（2）2【详解】 （1）115cos12022AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅=-⋅=-，则15AB AC ⋅=， 11sin 1522ABC S AB AC BAC∴=⋅∠=⨯=△； （2）由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ．由平面向量加法的平行四边形法则可得2AD AE AB AC ==+，所以，()2222422515919AD AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+=-+=，192AD ∴=AD5．在∴ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，cos cos sin a C c A B +，AB （1）求角C ；（2）若2a =，求∴ABC 的面积.【答案】（1）3C π=或23C π=；（2解（1）因为cos cos sin a C c A B +，由正弦定理知，sin cos sin cos sin A C C A C B +=.即()sin sin A C C B +，sin sin B C B ，又sin 0B ≠1C =，即sin C =在∴ABC 中，所以3C π=或23C π=. （2）记CD 是AB 边上中线，则有()12CD CA CB =+. ()2222127444CA CB CA CB CDCA CB ++⋅=+==，当3C π=时，有2427b b ++=，解得，1b =（负值舍去），此时∴ABC 的面积1sin 2ABCS CB CA C =⋅⋅ 当23C π=时，有2427b b +-=，解得，3b =（负值舍去），此时∴ABC 的面积1sin 2ABCSCB CA C =⋅⋅=；综上，∴ABC 6．已知,,a b c 是ABC 三内角,,A B C 的对边，且2cos 2b C c a +=. （1）求角B 的大小；（2）若2b =，且ABC ①ABC 周长；②AC 边的中线BD 的长度.【答案】（1）3π；（2）①2解：（1）由正弦定理：2sin cos sin 2sin B C C A +=， sin sin()sin()sin cos cosCsinB A A B C B C π=-=+=+，sin 2cos sin C B C ∴=，又1(0,),sin 0,cos 2C C B π∈≠∴=， 又(0,)B π∴∈，所以3B π=；（2）①由余弦定理：222222cos 4b a c ac B a c ac =+-=+-=(1)，由三角形面积公式：1sin 2S ac B ===，即2ac =(2)， 由（1）（2）2222()3()64a c ac a c ac a c +-=+-=+-=，所以a c +=2 ②在,ABD BCD 中分别使用余弦定理： 2222cos 42b bc BD BD ADB =+-⋅⋅∠（3）2222cos DB 42b ba BD BD C =+-⋅⋅∠（4）又因为,cos cos 0ADB CDB ADB CDB π∠+∠=∠+∠= （3）+（4）得222226242b BD ac =+-=-=所以BD =.7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2sin 5tan a B c C =. （1）求222a b c+的值； （2）记边AB 的中点为D ，若2AB =，求中线CD 的长度. 【答案】（1）6；（2（1）由题设条件可得：sin 2sin 5cos Ca B c C=⋅，即222252cab c a b c ab=+-即：2226a b c +=（2）222624,a b c +== 设CD x =，则在ACD ∆中，由余弦定理得，2222cos CD AD CD AD CDA AC +-⋅∠=， 即2212coscos x x CDA b +-∠=；①在BCD ∆中，由余弦定理得，2222cos CD BD CD BD CDB BC +-⋅∠=， 即2212coscos x x CDB a +-∠=；② 又cos cos 0CDA CDB ∠+∠=，① +②得，22222x a b +=+，故211x =，所以CD =因此，中线CD .。
八年级数学下册24三角形的中位线三角形中位线的性质及应用素材(新版)湘教版
八年级数学下册24三角形的中位线三角形中位线的性质及应用素材（新版）湘教版三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
这一性质说明了三角形中位线与第三边的位置关系——平行，三角形的中位线与第三边之间的长度关系——等于第三边的一半。
运用这一性质可以解决一些与三角形中位线有关的问题。
一、说明线段相等例1：如图1，在△ABC中，BE是中线，AD⊥BC于D，∠CBE=30°，试说明AD=BE。
解：过E作EF⊥BC于F，在Rt△BEF中，因为∠CBE=30°，所以BE=2EF。
又因为BE为中线，所以E为AC的中点。
因为AD⊥BC，EF⊥BC，所以EF∥AD，所以AD=2EF，所以AD=BE。
二、求线段的长度例2、如图2，在△ABC中，M是BC边的中点，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB=12，AC=22，求MD的长。
解：延长BD交AC于E，因为BD⊥AD，图1C所以∠ADB=∠ADE=90°。
因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠EAD。
又因为AD=AD，所以△ABD≌△AED所以AE=AB=12，BD=DE。
所以EC=AC-AE=22-12=10。
因为M是BC边的中点，D是BE的中点，所以MD=EC=5。
三、说明线段倍、分关系例3、如图3，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，BE交AC于F，AF=AC,说明EF=BF。
解：取CF的中点G，连结DG，所以DG是△CFB的中位线。
因为AF=AC，所以F为AG 的中点，所以EF=DG，DG=BF，所以EF=BF 。
四、说明三角形的形状例4、如图4，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是边DC的中点，N是边AB的中点，△MPN是什么三角形？为什么？解：因为，P是对角线BD的中点，M是边DC的中点，N是边AB的中点，所以MP=BC，PN=AD，因为AD=BC，G图3AB CDFEDABCPMN图4所以MP= PN所以△MPN 是等腰三角形。
三角形的中线及中位线性质的运用举例
直角三角形斜边上中线性质的运用在直角三角形中有这样一个十分重要而又运用广泛的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明.例1 如图1，已知，△ABC 中，CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ，BM ＝CM .求证：ME ＝MD .分析 要证明ME ＝MD 首先想到的要证明两个角相等，可没有足够的条件，但有中点和垂线，于是想到通过辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质证明.证明 延长DM 与CE 交于N .因为CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ， 所以CE ∥BD ，即∠NCM ＝∠DBM ，又∠CMN ＝∠BMD ，BM ＝CM ，所以△CMN ≌△BMD ， 所以NM ＝DM ，即M 为ND 中点.因为CE ⊥AD 于E ，所以△NED 为直角三角形，所以ME ＝12ND ，所以ME ＝MD .例2 如图2，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，求证：FG ⊥DE .分析 有三角形高就会想到直角三角形，有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点性质和等腰三角形的性质，于是，连结DG 、EG ，可得DG 、EG 分别是Rt △BDC 和Rt △BEC 的中线，可知△GDE 是等腰三角形，进而由F 是DE 的中点，即FG ⊥DE .证明 因为BD 、CE 是高，所以∠BDC ＝∠BEC ＝90°， 即△BDC 和△BEC 都是直角三角形. 又因为G 是BC 的中点，所以DG ＝EG ＝12BC ，即△GDE 是等腰三角形. 因为F 是DE 的中点，所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线， 所以由等腰三角形的“三线合一”，得GF 也是底边DE 上的高线，EDBCA FG图2N ED CBAM图1所以FG ⊥DE .例3 如图3所示，点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点，DF 、CE 交于点M ，CE 的延长线交DA 的延长线于G ，试探索：（1）DF 与CE 的位置关系；（2）MA 与DG 的大小关系.分析（1）要探索DF 与CE 的位置关系，由图可以猜想到DF ⊥CE ，而由条件可以证明△EBC ≌△FCD ，则有∠ECB ＝∠FDC ，即可证明DF ⊥CE .（2）仍然通过观察分析图形，可以猜想MA ＝12DG ，而事实上，由（1）可知△DMG 是直角三角形，再由条件可得△GAE ≌△CBE ，即得GA ＝CB ，于是利用直角三角形斜边上的中线性质即可证明.解（1）DF ⊥CE .理由：因为点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点， 所以∠B ＝∠FCD ＝90°，BE ＝12AB ，CF ＝12BC ，而AB ＝BC ＝CD ，即BE ＝CF ， 所以△EBC ≌△FCD ，所以∠ECB ＝∠FDC ，而∠DFC ＋∠FDC ＝90°，所以∠DFC ＋∠FCM ＝90°， 即∠CMF ＝90°，所以DF ⊥CE . （2）MA ＝12DG .理由：因为F 是AB 的中点，所以AE ＝BE ， 又∠GAE ＝∠B ，∠AEG ＝∠BEC ，所以△GAE ≌△CBE ，所以GA ＝CB . 而由（1）可知△DMG 是直角三角形，所以MA ＝12DG . 例4 已知：如图4，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，EF ⊥AC ，O 是垂足，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，且BE ＝OE ＝12AE .求证：□ABCD 是矩形.EDBCA FGM 图3图4ABCEGFOD分析 要证□ABCD 是矩形，只要证AC ＝BD 或OA ＝OB 即可.由BE ＝OE ＝12AE ，可作出Rt △AOE 斜边上的中线OG ，这样可证得△AOG ≌△BOE ，于是证得OA ＝OB .证明 取AE 的中点G ，连结OG ，所以Rt △AOE 中，OG ＝12AE ＝AG ， 因为BE ＝OE ＝12AE ，所以OE ＝OG ，AG ＝BE ，即∠OGE ＝∠OEG ， 所以∠AGO ＝∠OEB ，所以△AGO ≌△BEO ，所以OA ＝OB ，又四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ＝2OA ，BD ＝2OB ，即AC ＝BD ， 所以□ABCD 是矩形.综上所述，利用直角三角形斜边上中线的性质解题时，应依据条件，贯例图形，通过分析，把问题转化为证明线段相等，或通过辅助线，构造出直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时兼用全等三角形的知识，从而逐步逼近结论.在几何证明中，另外，熟练地识别图形、善于构造图形，并运用图形的性质进行推理论证是十分重要的.下面一道题目供同学们自己练习：如图6所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C +∠D ＝90°，E 、F 为AB 、CD 的中点.求证：CD －AB ＝2EF .提示：作EM ∥AD 交CD 于M ，EN ∥BC 交CD 于N .利用直角三角形斜边上中线等斜边的一半.图6FEDCBA聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点，在同一个题设下有两个结论：一个结论是表明两条线段的位置关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1 在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，A D ⊥BD,垂足为D ，AE=EC. 求证：DE ∥BC.图1CFEDBA证明：延长AD 交BC 于点F. 因为BD 平分∠ABC ， 所以∠ABD =∠CBD. 因为A D ⊥BD,所以∠BDA =∠BDF=900. 又BD=BD,所以△BDA ≌△BDF(ASA). 所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE ∥FC, 即DE ∥BC （三角形的中位线定理）. 二、用于证明角相等例2 如图2，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，已知AC=BD,M,N 分别是AD 、BC 的中点，MN 与AC 、BD 分别交于E 、F 点.求证：∠AEN=∠BFM.图24312FEBAP NMCD分析：可取CD 或AB 的中点构造中位线. 证明：可取AB 的中点P ，连接PM 、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC, 所以MPBD 21,PN AC 21(三角形中位线定理). 所以∠1=∠3，∠2=∠4. 又因为AC=BD, 所以MP=NP, ∠3=∠4, 所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM （等角的补角相等）. 三、用于证明线段相等例3 如图3，△ABC 的AB 、AC 向形外作正三角形ABD 和ACE,分别取BD 、BC 、CE 的中点P 、M 、Q.求证：PM=QM.图3QPCAD分析：中点P 、M 所在线段DB 、CB 有公共端点B ，若连接它们的另一端D 、C ，则PM 使成为△BCD 的中位线，同理连接BE 之后MQ 也成为△BEC 的中位线，通过中位线定理的传递，问题转化为证明DC 与BE 相等.证明过程由同学们自己完成！四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4，已知四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点，且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分.分析：要证明EF 和GH 互相平分，可证明四边形EGFH 是平行四边形；有中点，可考虑利用中位线定理.图4GHBE ACFD证明：连接EG 、GF 、FH 、HE. 因为AE=EB, BH=HD, 所以EH AD 21. 同理FG AD 21. 所以EHFG.所以四边形EGFH 是平行四边形. 所以EF 和GH 互相平分.巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.一、巧算式子的值例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +的值.图1解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12)n +112n =-.【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.图2 解析：连接CG ，不难得出BCFSDCE S=4ab=，从而BEGDFG S S=，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，因此S四边形ABGDab=-4ab43⨯23=ab.【点评】本题的难度较大，通过连接CG，巧妙地把四边形ABGD以外的部分分成四个面积相等的三角形.像CG这样原题中没有，但我们在解题的过程中用它来“辅助”解决问题的线，称之为“辅助线”.三、巧等分土地例3.有一块三角形优良品种试验基地，如图3所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．图3解析：可根据中线的特征，先分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分.方案1：如答图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、•AF．(1) (2) (3)方案2：如答图2，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如答图3，分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD、AE、DF．【点评】三角形面积计算公式为12×底×高，因此解题的关键是找出底、高分别相等的四个三角形．对于本题，同学们！你还有别的方法吗？试试看．。
三角形中线专题
三角形中线专题在初中数学的几何领域中，三角形是一个极为重要的研究对象，而三角形的中线则是其中一个关键的概念。
今天，咱们就来深入探讨一下三角形中线的相关知识。
首先，咱们得明白啥是三角形的中线。
简单来说，三角形中线就是连接三角形顶点和它对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们分别从三个顶点出发，连接到对边的中点。
中线有一个非常重要的性质，那就是三角形的三条中线相交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心有个特点，就是它把每条中线都分成了长度比例为 2:1 的两段。
比如说，从顶点到重心的这一段中线长度，是重心到对边中点那一段中线长度的两倍。
为了更直观地理解三角形中线的性质，咱们来做几道题目感受一下。
例 1：已知在三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若 BC ＝ 6，则 BD ＝＿___。
这道题就很简单啦，因为 AD 是中线，所以 BD 就是 BC 的一半，答案就是 3。
例 2：在三角形 ABC 中，G 是重心，AG ＝ 6，求 AD 的长。
根据重心的性质，AG:GD ＝ 2:1，所以 GD ＝ 3，那么 AD ＝ AG＋ GD ＝ 9。
那三角形中线在实际问题中又有啥用呢？比如说，在测量一些不可直接到达的距离时，就可以利用三角形中线的性质来解决。
再来说说三角形中线和三角形面积的关系。
由于中线把三角形分成了两个等底等高的小三角形，所以这两个小三角形的面积相等。
如果三角形的三条中线把三角形分成了六个小三角形，那么这六个小三角形的面积都相等。
举个例子，在三角形 ABC 中，AD 是中线，那么三角形 ABD 的面积就等于三角形 ACD 的面积。
咱们接着深入探讨一下。
如果已知三角形的三条中线的长度，能不能求出三角形的面积呢？答案是可以的。
这里就涉及到一个比较复杂的公式，咱们先不详细讲解，等以后知识储备更丰富了再研究。
三角形中线还有一个有趣的应用，就是在证明一些几何定理的时候。
比如，在证明三角形全等或者相似的时候，中线有时候能起到关键的作用。
三角形的中位线及其应用
三角形的中位线及其应用作者：王飞来源：《中学生数理化·教与学》2011年第12期“遇中点、找中点”，说的是在几何图形中，如果发现有线段的中点时，通常要找出相关线段的中点，构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质达到解题目的.可见有关三角形的中位线的应用是多么的广泛.三角形的中位线、梯形的中位线是初中数学的重要内容之一.它在研究多边形、相似形、圆等章节中占有重要地位.因此，要想学好这部分内容，必须理解它的意义，弄清楚三角形的中位线与三角形的中线的关系.不论是三角形的中线，还是三角形的中位线，它们的共性都是图形的线段.那么，两者之间的区别是什么呢？三角形的中线是指连接三角形的一边中点与它所对的顶点之间的线段；而三角形的中位线，则是指连接三角形任意两边中点的线段.例如，如图１，在△ABC中，D为BC边的中点，则AD为△ABC的BC边的中线；如图２，在△ABC中，E、F分别为AB、AC边的中点，则EF即为△ABC的中位线.我们要在四边形或多边形中积极发掘有关三角形的中位线.在数学教学中，我们发现，研究四边形的四边中点连线所构成的四边形的形状，有助于强化学生对三角形中位线有关知识的理解与认识.例如，如图３，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，试说明四边形EFGH是什么四边形.分析：由于点E、F、G、H分别为四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA的中点，如果连接BD时，不难发现EH为△ABD的中位线、GF为△BCD的中位线，所以EH//FG，EH=FG.故四边形EFGH为平行四边形.我们进一步研究图形，还能发现如下规律.１．当四边形ABCD具备何条件时，四边形EFGH为矩形.分析：由于四边形EFGH已经是平行四边形，现在要使它要为矩形，只需再有一个角是直角即可，故需要有四边形ABCD的对角线AC⊥BD.如图４.２．当四边形ABCD具备何条件时，四边形EFGH为菱形.分析：由于四边形EFGH已经是平行四边形，现在要使它要为菱形，只需再有一组邻边相等即可，故需要有四边形ABCD的对角线AC=BD.如图５.3．当四边形ABCD具备何条件时，四边形EFGH为正方形.分析：由于四边形EFGH已经是平行四边形，现在要使它要为正方形，只需再有一组邻边相等且有一个角是直角即可，故需要有四边形ABCD的对角线AC=BD、AC⊥BD.如图６.可见，利用三角形中位线的性质，不仅可以探究四边形四边中点所得四边形的形状，还可以进一步探究出四边形四边中点连线所得的四边形其形状与原四边形的本身无直接关系.一个四边形四边中点连线所得的四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的数量关系和位置关系：当一个四边形两条对角线相等时，它的四边中点连线就是菱形；当一个四边形两条对角线互相垂直时，它的四边中点连线就是矩形；当一个四边形两条对角线既相等又互相垂直时，它的四边中点连线就是正方形.下面再谈谈有关三角形中位线的应用.1．构造三角形的中位线，由中位线的长度测算不能直接到达物体的长度.2．“遇中点，找中点”.即利用图形中现有的中点，再寻找适当线段的中点，构造三角形的中位线，证明等腰三角形.3．利用三角形的中位线的性质对特殊四边形作探索性的研究.。
三角形中线的几种用法
三角形中线的几种用法一、加倍法加倍法是三角形中线的最基本最常见的用法，其基本思路是：把三角形一边的中线延长，并截取中线长，得到二倍的三角形的中线长，利用三角形全等或中心对称，证明有关线段（或角）的相等及不等关系．基本模式是：如图1，已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，延长AD 至E ，使DE=AD ，则有：△ADC ≌△EDB ，BE ∥AC ，BE=AC ．例题 已知：如图2，AD 为△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ， 求证：AC=B Ｆ．证明：延长AD 至H ，使DH=AD ，则△ACD ≌HBD(SAS)，AC=BH ，∠HAC=∠H ∵AE=EF ，∴∠AFE=∠AEF ，由∠BFH=∠AFE 得∠BFH=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ．ͼ 1E DC BAͼ 2H FE DCBA二、利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分来解决有关面积的求解问题基本模式是：若AD 为△ABC 中线，则S △ABD=S △ADC=21S △ABC ．例题 已知：如图3，△ABC 中，M 是AB 中点，MD ⊥BC ，EC ⊥BC ，S △ABC=24，求S △BDE ． 解：连接MC ，由题意知：DM ∥EC ，∴S △DME=S △DMC ，又∵M 为AB 中点，∴S △BCM=21S △ABC ，∴S △BDE=S △BCM=21S △ABC=12．三、关于“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”的用法基本模式：如果CD 是Rt △ACB 斜边AB 上的中线，则有：CD=21AB ．例题 已知：如图4，∠ABC=∠ADC=90°，点M 、N 分别是对角线AC 、BD 的中点， 求证：MN ⊥BD ．证明：连结BM 、DM ，则由∠ABC=90°，M 为AC 的中点，得：BM=21AC ， 同理：由∠ADC=90°， M 为AC 的中点，得：MD=21AC ，∴BM=DM ，由N 为BD 中点及等腰三角形三线合一性质，得MN ⊥BD ．四、关于三角形重心问题的应用基本模式是：若O 为△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF 的交点（即△ABC 的重心），则有OD OA =OE OB =OF OC =12．例题 已知：如图5，线段PQ 过△ABC 的重心M ，P 、Q 分别内分AB 、AC 的比值为p 、q ，求p 1+q 1．解：作射线AM 交BC 于D 点，分别过B 、C 两点作PQ 的平行线交AM 于G 、F ，∵M 为△ABC 的重心，∴DB=DC ，MD AM=2：1，∴△BDG ≌△DCF ，∴DG=DF ．。
三角形的中线有什么作用
三角形的中线有什么作用在我们学习数学的过程中，三角形是一个非常基础且重要的几何图形。
而三角形的中线，作为三角形中的一个重要概念，具有许多独特且实用的作用。
首先，让我们来明确一下什么是三角形的中线。
三角形的中线是连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段。
也就是说，如果我们有一个三角形 ABC，那么连接顶点 A 和边 BC 中点的线段就是中线。
同样，顶点 B 到边 AC 中点的线段，以及顶点 C 到边 AB 中点的线段，也都是中线。
那么，三角形的中线到底有哪些作用呢？其一，三角形的中线可以将三角形分成两个面积相等的部分。
这是因为中线将对边平分，所以以中线为底边的两个小三角形的高是相同的，而底边也相等，根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），就可以得出这两个小三角形的面积相等。
比如，在三角形 ABC 中，AD 是BC 边上的中线，那么三角形 ABD 和三角形 ACD 的面积就是相等的。
这一性质在解决很多与三角形面积相关的问题时非常有用。
其二，三角形的三条中线相交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心具有一些特殊的性质。
比如，如果我们把一个质地均匀的三角形薄板用细线悬挂起来，使其能够自由摆动，那么薄板静止时，细线所在的直线一定经过三角形的重心。
而且，重心到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之比为 2:1。
其三，中线还与三角形的周长和边长有着密切的关系。
通过中线，我们可以建立一些等式来求解三角形的边长或者判断三角形的类型。
比如，如果已知三角形两条中线的长度，以及这两条中线所对应的边的长度，就可以利用中线定理求出第三条中线的长度。
其四，在实际生活中，三角形中线的概念也有广泛的应用。
例如在建筑设计中，工程师们在计算三角形结构的稳定性和受力情况时，就需要用到中线的相关知识。
在物理学中，研究物体在三角形斜面上的运动时，也会涉及到中线的原理。
此外，从数学思维的角度来看，对三角形中线的研究和理解有助于培养我们的逻辑推理能力和空间想象力。
知识专题1_三角形中线段的相关应用
《小专题1 三角形中线段的相关应用》类型1 三角形的三边关系1.已知一个三边都不相等的三角形的一边等于5，另一边等于3，若第三边长为奇数，则周长等于___________2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，其周长为20，则AB边的取值范围为__________. 类型2 三角形高的应用3.已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为__________.4.（等面积法的变式应用）（娄底中考改编）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B，C不重合），作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，在D点的运动过程中，试判断BE+CF的值是否发生改变？类型3 三角形中线的应用5.如图，已知BE=CE，ED为△EBC的中线，BD=8，△AEC的周长为24，则△ABC 的周长为__________.6.（广东中考改编）如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG:GD=2：1.若S△ABC=12，则图中阴影部分的面积是___________.7.在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点（1）如图1，若S△ABC=1，则△BEF的面积为____________;（2）如图2，若S△BFC=1，则S△ABC=__________（提示：对比第（1）问，先作辅助线）类型4 三角形角平分线的应用8.（1）如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，以AE为角平分线的三角形有____________.（2）如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1=∠2=∠4=15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线参考答案1.152.5<AB<103.90°或504.解：BE+CF的值逐渐减小5.406.47.（1）（2）48.解：（1）△ABC和△ADF（2）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE.∵∠1=∠2=15°，∴∠BAE=∠1+∠2=30，∴∠CAE=∠BAE=30°，即∠CAE=∠4+∠3=30°.又∵∠4=15°，∴∠3=15°.∴∠2=∠3=15°.∴AE是△DAF的角平分线。
三角形中线定理的证明与应用
三角形中线定理的证明与应用三角形中线定理是初中数学中的重要内容之一，它对于理解和应用三角形的性质具有重要意义。
本文将通过证明三角形中线定理，并探索其在实际问题中的应用。
三角形中线是连接三角形两边中点的线段。
三角形中线定理表明，连接三角形两边中点的中线长度等于第三边的一半。
下面我们来证明这个定理。
证明：设△ABC为任意三角形，D、E分别为AB和AC上的中点，则连接BD、CE所得的线段即为△ABC的中线。
我们要证明BD = CE= 0.5AC。
首先，根据平行四边形的性质，我们可以得出三角形ADE是一个平行四边形。
因此，AD∥BE且AD = BE。
同样地，我们可以得出三角形ABD是一个平行四边形。
因此，BD∥AC且BD = 0.5AC。
接下来，我们需要证明△ABC与△AED相似。
根据平行线与等角定理，我们可以得出∠CAD = ∠DAE。
同样地，∠CAB = ∠ADE。
因此，根据AA相似定理，△ABC与△AED相似。
根据相似三角形的性质，我们可以得出BD/AD = AC/DE。
由于AD = DE（平行四边形ADE的性质），我们可以得出BD = 0.5AC。
同理可证，CE = 0.5AC。
综上所述，我们证明了三角形中线定理。
三角形中线定理在几何学中具有重要的应用价值。
下面我们来探索一些实际问题中的应用。
首先，我们思考一个问题：在△ABC中，若AC = 10 cm，BD = 6 cm，且BD是AC的中线，求BC的长度。
根据中线定理，BD = 0.5AC。
代入已知条件，我们可以得到6 = 0.5 * 10。
解方程，可得BC = 8 cm。
接下来，我们考虑一个与三角形中线定理相关的面积问题：在△ABC中，若AD是BC的中线，且△ABC的面积为12 cm²，求△ABD的面积。
根据中线定理，我们知道AD = 0.5BC。
由于BD = 0.5AC（中线定理的推论），我们可以得出△ABD和△ABC的高相等，即他们对应的底边长（即AD和BC）的比值为1∶2。
有大用途的“中线”文档 (4)
有着大用途的“中线”一、 三角形的中线把三角形分成面积相等的二部分经典例题：在如图1至图3中，△ABC 的面积为a ．（1）如图12－1， 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=________（用含a 的代数式表示）；（2）如图12－2，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（1）在图2的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的表示）． 发现 像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图3），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍． 应用 去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？图4HM能力培养：1.如图△ABC 中，已知D 、E 、F 分别是BC 、AD 、CE 的中点，且S △ABC =4，求阴影部分的面积2.【阅读理解】如图a ，在△ABC 中，D 是BC 的中点．如果用S △ABC 表示△ABC的面积，则由等底等高的三角形的面积相等，可得S △ABD =S △ACD =21S △ABC ．同理，如图b ，在△ABC 中，D 、E 是BC 的三等分点，可得S △ABD =S △ADE =S △AEC =___ S △ABC ．【结论应用】已知：△ABC 的面积为42，请利用上面的结论解决下列问题：（1）如图1，若D 、E 分别是AB 、AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，△DBF 的面积为 ______ ；（2）如图2，若D 、E 是AB 的三等分点，F 、G 是AC 的三等分点，CD 分别交BF 、BG 于M 、N ，CE 分别交BF 、BG 于P 、Q ，求△BEP 的面积；二、倍长中线“造”全等；暗度陈仓“倒”角边经典例题：例1.在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．例2.求证：直角三角形斜边上的中线等与斜边的中线。
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发生改变？
解：由 S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，得
12AB·BC＝12AD·CF＋12AD·BE＝12AD·(CF＋BE)． ∵△ABC 的面积不变，且点 D 由点 B 运动到点 C，AD 的长度逐渐变大，
∴BE＋CF 的值逐渐减小．
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类型2 三角形中线的应用 2．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC 的周长为24，则△ABC的周长为 40 ．
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类型3 三角形角平分线的应用 5．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝ ∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有 △ABC和△ADF ； (2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算 ∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．
1 2
BC·AD＝
1 2
AB·CE，,∴4AD＝2CE.,∴AD∶CE＝2∶4=1∶2.
归纳：在同一个三角形中，底边与底边上的高成反比，即 AD·BC＝AB·CE.
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1.如图，在△ABC 中，AC＝8，BC＝6，AD，BE 分别是边 BC，AC 上的
39
高，且 AD＝6.5，则 BE 的长为 8 ．
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数学 第9章 多边形 微专题4 等面积法及其应用
小专题(十) 三角形中线段的相关应用
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等面积法及其应用 【例】如图，在△ABC 中，AB＝2，BC＝4.△ABC 的高 AD 与 CE 的比是 多少？
解：∵S△ABC＝
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3．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且 AG∶GD＝2∶1.若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 4 ．
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4．在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点． 1
(1)如图1，若S△ABC＝1，则△BEF的面积为 4 ； (2)如图2，若S△BFC＝1，则S△ABC＝ 4 (提示：对比第(1)问，先作辅 助线)．
小专题(十) 三角形中线段的相关应用
类型 1 三角形高的应用
1．(等面积法的变式应用)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，
点 D 沿 BC 自 B 向 C 运动(点 D 与点 B，C 不重合)，作 BE⊥AD 于点
E，CF⊥AD 于点 F，在 D 点的运动过程中，试判断 BE＋CF 的值是否
证明：连结
AD，,∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，,∴
1 2
AC·BG＝
1 2
AB·DE＋
1 2
AC·DF.,又∵AB＝AC，,∴BG＝DE＋DF.
归纳：遇到垂线时，先观察垂线是否在 某个三角形中，若不在，需要连结辅助 线，将垂线放到一个三角形中去，然后 利用三角形的面积进行换算．
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解：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE. ∵∠1＝∠2＝15°， ∴∠BAE＝∠1＋∠2＝30°. ∴∠CAE＝∠BAE＝30°， 即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°. 又∵∠4＝15°，∴∠3＝15°.∴∠2＝∠3＝15°. ∴AE是△DAF的角平分线．
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2.如图，AE 是△ABC 的中线，EC＝6，DE＝2，则 S△ABD∶S△ACE 的值
2
为 3．
归纳：两个三角形同高或高相等时，面积之比等于底之比．
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3.如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂
足分别为 E，F，G.求证：DE＋DF＝BG.