小专题(十) 三角形中线段的相关应用(含微专题4)
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MING XIAO KE TANG
类型3 三角形角平分线的应用 5．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝ ∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有 △ABC和△ADF ； (2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算 ∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．
湖北世纪华章文化传播有限公司
MING XIAO KE TANG
数学 第9章 多边形 微专题4 等面积法及其应用
小专题(十) 三角形中线段的相关应用
MING XIAO KE TANG
等面积法及其应用 【例】如图，在△ABC 中，AB＝2，BC＝4.△ABC 的高 AD 与 CE 的比是 多少？
解：∵S△ABC＝
MING XIAO KE TANG
3．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且 AG∶GD＝2∶1.若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 4 ．
MING XIAO KE TANG
4．在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点． 1
(1)如图1，若S△ABC＝1，则△BEF的面积为 4 ； (2)如图2，若S△BFC＝1，则S△ABC＝ 4 (提示：对比第(1)问，先作辅 助线)．
MING XIAO KE TANG
解：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE. ∵∠1＝∠2＝15°， ∴∠BAE＝∠1＋∠2＝30°. ∴∠CAE＝∠BAE＝30°， 即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°. 又∵∠4＝15°，∴∠3＝15°.∴∠2＝∠3＝15°. ∴AE是△DAF的角平分线．
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小专题(十) 三角形中线段的相关应用
类型 1 三角形高的应用
1．(等面积法的变式应用)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，
点 D 沿 BC 自 B 向 C 运动(点 D 与点 B，C 不重合)，作 BE⊥AD 于点
E，CF⊥AD 于点 F，在 D 点的运动过程中，试判断 BE＋CF 的值是否
发生改变？
解：由 S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，得
12AB·BC＝12AD·CF＋12AD·BE＝12AD·(CF＋BE)． ∵△ABC 的面积不变，且点 D 由点 B 运动到点 C，AD 的长度逐渐变大，
∴BE＋CF 的值逐渐减小．
MING XIAO KE TFra Baidu bibliotekNG
类型2 三角形中线的应用 2．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC 的周长为24，则△ABC的周长为 40 ．
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2.如图，AE 是△ABC 的中线，EC＝6，DE＝2，则 S△ABD∶S△ACE 的值
2
为 3．
归纳：两个三角形同高或高相等时，面积之比等于底之比．
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3.如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂
足分别为 E，F，G.求证：DE＋DF＝BG.
证明：连结
AD，,∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，,∴
1 2
AC·BG＝
1 2
AB·DE＋
1 2
AC·DF.,又∵AB＝AC，,∴BG＝DE＋DF.
归纳：遇到垂线时，先观察垂线是否在 某个三角形中，若不在，需要连结辅助 线，将垂线放到一个三角形中去，然后 利用三角形的面积进行换算．
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1 2
BC·AD＝
1 2
AB·CE，,∴4AD＝2CE.,∴AD∶CE＝2∶4=1∶2.
归纳：在同一个三角形中，底边与底边上的高成反比，即 AD·BC＝AB·CE.
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1.如图，在△ABC 中，AC＝8，BC＝6，AD，BE 分别是边 BC，AC 上的
39
高，且 AD＝6.5，则 BE 的长为 8 ．
类型3 三角形角平分线的应用 5．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝ ∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有 △ABC和△ADF ； (2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算 ∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．
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数学 第9章 多边形 微专题4 等面积法及其应用
小专题(十) 三角形中线段的相关应用
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等面积法及其应用 【例】如图，在△ABC 中，AB＝2，BC＝4.△ABC 的高 AD 与 CE 的比是 多少？
解：∵S△ABC＝
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3．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且 AG∶GD＝2∶1.若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 4 ．
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4．在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点． 1
(1)如图1，若S△ABC＝1，则△BEF的面积为 4 ； (2)如图2，若S△BFC＝1，则S△ABC＝ 4 (提示：对比第(1)问，先作辅 助线)．
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解：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE. ∵∠1＝∠2＝15°， ∴∠BAE＝∠1＋∠2＝30°. ∴∠CAE＝∠BAE＝30°， 即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°. 又∵∠4＝15°，∴∠3＝15°.∴∠2＝∠3＝15°. ∴AE是△DAF的角平分线．
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类型 1 三角形高的应用
1．(等面积法的变式应用)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，
点 D 沿 BC 自 B 向 C 运动(点 D 与点 B，C 不重合)，作 BE⊥AD 于点
E，CF⊥AD 于点 F，在 D 点的运动过程中，试判断 BE＋CF 的值是否
发生改变？
解：由 S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，得
12AB·BC＝12AD·CF＋12AD·BE＝12AD·(CF＋BE)． ∵△ABC 的面积不变，且点 D 由点 B 运动到点 C，AD 的长度逐渐变大，
∴BE＋CF 的值逐渐减小．
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类型2 三角形中线的应用 2．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC 的周长为24，则△ABC的周长为 40 ．
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2.如图，AE 是△ABC 的中线，EC＝6，DE＝2，则 S△ABD∶S△ACE 的值
2
为 3．
归纳：两个三角形同高或高相等时，面积之比等于底之比．
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3.如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂
足分别为 E，F，G.求证：DE＋DF＝BG.
证明：连结
AD，,∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，,∴
1 2
AC·BG＝
1 2
AB·DE＋
1 2
AC·DF.,又∵AB＝AC，,∴BG＝DE＋DF.
归纳：遇到垂线时，先观察垂线是否在 某个三角形中，若不在，需要连结辅助 线，将垂线放到一个三角形中去，然后 利用三角形的面积进行换算．
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1 2
BC·AD＝
1 2
AB·CE，,∴4AD＝2CE.,∴AD∶CE＝2∶4=1∶2.
归纳：在同一个三角形中，底边与底边上的高成反比，即 AD·BC＝AB·CE.
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1.如图，在△ABC 中，AC＝8，BC＝6，AD，BE 分别是边 BC，AC 上的
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高，且 AD＝6.5，则 BE 的长为 8 ．