福建省永安一中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

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数学丨福建省永安一中2021届高三上学期期中考试数学试卷及答案

永安一中2020—2021学年高三上学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟总分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的. 1．已知集合{}{}2|4,|3A x R x B x N x =∈≤=∈≤，则A B =A ．(]0,2B ．[]0,2C ．{}1,2D ．{}0,1,22．已知双曲线的渐近线方程为x y 33±=，一个焦点()0,2F ，则该双曲线的虚轴长为 A ．1B ．3 C ．2 D ．32 3．若a R ∈，则“复数32aiz i-=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a >”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知实数x ，y 满足0010360x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，，则23z y x =-的最大值为A ．0B ．2C ．4D ．65．如图所示的流程图中，输出d 的含义是 A.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离 B.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离的平方 C.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离的倒数 D.两条平行线间的距离6．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12,3432=+=a a S ，则公比=qA ．4±B ．4C ．2±D ．2 7．函数2ln x x y -=的图象大致为8.直线02=++y x 截圆422=+y x 所得劣弧所对圆心角为A ．6πB ．3π C ．2π D ．32π9．已知等腰梯形ABCD 中，2AB DC =，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，G 为EF 的中点，若记a AB =，ADb =，则AG =A ．3384a b +B ．3182a b +C ．1324a b +D ．1348a b +10．已知()f x 是奇函数，且当0>x 时()24xf x =-，则不等式()02>-x f 的解集为A ．{}|04x x x <>或B ．{}|024x x x <<>或 C ．{}|04x x x <>或 D ． {}|22x x x <->或 11．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在(]0,2上恰有一个最大值1和一个最小值1-，则ω的取值范围是 A ．513,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．513,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦C ．713,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．713,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦12．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线，则实数a 的取值范围为A ．2,8e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．20,8e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.13．已知53cos -=α，παπ≤≤2，则cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．14. 已知21,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若021=⋅PF PF 且212PF PF =，则C的离心率为．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其首项11a =，且满足()32n n S n a =+，则n a =_______． 16．已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面,ABCD PE BC ⊥于点E ，2,3,6,1====PE BC AB EC ，则四棱锥P ABCD -外接球的半径为______.三、解答题：共70分。

2020-2021学年福建省永安市第一中学高一上学期期中考试数学

永安一中2020-2021学年上学期期中考试高一数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个符合要求.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,,3,6,72,3,4,5B U A ===，，则U AC B =A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,72. 命题:,||0p x R x x ∀∈+≥，则A ．:,||0p x R x x ⌝∃∈+>B ．:,||0p x R x x ⌝∃∈+<C ．:,||0p x R x x ⌝∃∈+≤D ．:,||0p x R x x ⌝∃∈+≥ 3.已知函数221,0()1,0x x f x xx ，则((1))f fA. 0B. 1C. 1D. 24.函数||yx x 的图象大致是A B C D 5. 设x R ∈，则“05x <<”是“()211x -<”的A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，x ≥0时，2()2f x x x ，则函数f (x )在R 上的解析式是A ．()(2)f x x x B ．()(||2)f x x x C ．()||(2)f x x x D ．()||(||2)f x x x7.若函数k kx x x f 24)(2+-=在]2,1[-上为单调函数，则实数k 的取值范围为A.),16[+∞B.]8,(--∞C. ]16,8[-D. ]8,(--∞ ),16[+∞ 8．已知)(x f 是奇函数，且在0,上是增函数，又(2)0f ，则()01f x x 的解集为A ．2,01,2B ．2,02,C ．,21,2D ．1,22,二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得3分，错选得0分.9. 已知集合B A ,,全集为U ，下列结论正确的有A ．若B A ⊆,则A B A = ，且B B A = ； B ．若B A B A =,则B A =; C.)()(B A B A ⊆ D ．集合=A },,{c b a 的真子集有6个 ; 10.已知110a b，则下列选项正确的是 A ．a b B ．a bab C ．ab D ． 2ab b11.下列命题中错误的是A ．若函数()f x 的定义域为1,2，则函数(1)f x 的定义域为2,3；B ．若函数()f x 的值域为1,2，则函数(1)f x 的值域域为2,3；C ．若函数2()1f x x mx 是偶函数，则函数()f x 的减区间是,0；D ．函数(1),0()(1),0x x x f x x x x 是奇函数.12.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y ，当0x 时，()0f x ，则函数()f x 满足A.(0)0fB. ()y f x 是奇函数C. ()f x 在,m n 上有最大值()f nD.(1)0f x 的解集为,1第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知b 克糖水中有a 克糖(b ＞a ＞0)，若再添上m 克糖(m ＞0)（假设全部溶解），则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为a ＋m b ＋m_______ ab ．(填“>”“<”或“＝”)14.函数2()xf x 的定义域为 . 15．若a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，则ab 的最大值为________；1a ＋2b的最小值为________．16.若函数)(x f 为定义域D 上的单调函数，且存在区间D b a ⊆],[(其中b a <)，使得当∈x ],[b a 时，)(x f 的取值范围恰为],[b a ，则称函数)(x f 是D 上的正函数.若函数m x x g +=2)(是)0,(-∞上的正函数，则实数m 的取值范围是 .四、解答题：本大题共6个大题，满分70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.（10分）已知集合{|13},{|2},{|}A x x B x x C x x a ,全集R U =（1）求B A C U )(；（2）若R C B A = ,求实数a 的取值范围。

2021学年福建省三明市永安一中高三(上)期中数学试卷

2021学年福建省三明市永安一中高三（上）期中数学试卷包治百病的烧仙草高考数学试卷共享2021-03-31原文注：文末有完整版电子打印资料的获取方式。

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无偿分享！11【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点，求出k的范围即可．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查转化思想，是中档题．12【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积．【分析】由题意画出图形，设AD＝a，由四棱锥外接球的体积求解a，再由矩形及三角形面积公式求四棱锥的表面积．【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查多面体的表面积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【分析】利用向量的数量积转化求解即可．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力，是基础题．14【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，求出函数的极值点，列出方程组求解即可．【点评】本题考查函数的极值的求法，切线方程的应用，是中档题．15【考点】抛物线的性质；直线与抛物线的综合．【分析】直线x＝my+1过（1，0），求出p＝2，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线x＝my+1与抛物线y2＝4x联立，结合韦达定理，然后求解直线的斜率即可．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直．【分析】对于①，当P在C点时，DD1⊥AC，可得异面直线AC与DD1所成的角最大，当P在B1点时，异面直线AB1与DD1所成的角最小，即可判断出结论．对于②，利用BD1⊥平面A1C1D，即可判断出结论；对于③，由B1C∥平面A1C1D，可得点P到平面A1C1D的距离为定值，且等于BD1的，即可判断出正误；对于④，直线AP与平面BCC1B1所成的角为∠APB，，当BP⊥B1C 时，BP最小，tan∠APB最大，即可判断出正误．【点评】本题考查了空间角、空间距离，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．2.解答17【考点】函数的定义域及其求法；函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）a＝1时函数f（x）＝﹣x，令|x+1|﹣1≥0求出解集即可．（2）化简f（x）＝a，利用换元法求出a的解析式，再根据题意求出a的取值范围．【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也运算求解能力，是中档题．用户设置不下载评论。

福建省永安市第一中学2020届高三上学期期中考试数学(文科)试题(解析版)

2019-2020学年福建省三明市永安一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|−2≤x <3, x ∈Z}，B ＝{−3, −1, 0, 2, 3, 4}，则A ∩B ＝（） A.{−1, 0, 2, 3} B.{−1, 0, 2} C.{−1, 2, 3} D.{0, 2, 3}2. 已知复数z =1+i2−i −i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ¯为（） A.25−15iB.25+15iC.15−25iD.15+25i3. 若向量m →=(0, −2)，n →=(√3, 1)，则与2m →+n →共线的向量可以是（） A.(√3, −1) B.(−1, √3)C.(−√3, −1)D.(−1,−√3)4. 已知命题p ：“x >1”，命题q ：“1x <1”，则p 是q 的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5. 设实数x ，y 满足{2x +y ≥43x −y ≥1x −2y ≤2 ，则目标函数z ＝x +y( )A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最小值−1，最大值3D.既无最小值，也无最大值6. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(a 2+c 2)−ac =2b 2，则sin B =( ) A.14 B.12C.√154 D.√327. 将函数f(x)=2cos (x +π6)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y ＝g(x)的图象，则函数y ＝g(x)的图象的一个对称中心是（） A.(11π12,0)B.(π6,0)C.(π12,0)D.(5π12,0)8. 已知集合A −{1，2，3，4，5，6，7，8，9)，在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)（例如a =219，则I(a)=129，D(a)=921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（）A.792B.693C.594D.4959. 一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A.8−2π3 B.4−π3C.8−π3D.4−2π310. 已知定义域为R 的函数f(x)恒满足f(−x)−f(x)＝0且当x ≥0时，f(x)=√x −2−x ，设a ＝f(−31.2)，b ＝f(−30.2)，c ＝f(log 30.2)，则（） A.c >a >b B.a >b >c C.c >b >a D.a >c >b11. 已知数列{a n }的首项a 1＝35，且满足a n −a n−1＝2n −1，则ann 的最小值为（）A.2√34B.595C.353D.1212. 已知函数f(x)={2x −1(x >−1)e x (x ≤−1) ，若a <b ，f(a)＝f(b)，则实数a −2b 的取值范围为（）A.(−∞,1e −1)B.(−∞,−1e)C.(−∞,−1e−2)D.(−∞,−1e−2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13 已知向量a →与b ¯的方向相反，|a →|＝1，|b →|＝2，则|a →−2b →|＝________14 已知sin α−cos α＝0，则cos (2α+π2)＝________．15 各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4+a 2a 6a 2a 6+a 4a 5=________．16 在三棱锥V −ABC 中，面VAC ⊥面ABC ，VA ＝AC ＝2，∠VAC ＝120∘，BA ⊥BC 则三棱锥V −ABC 的外接球的表面积是________．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17 已知等差数列{a n }中，a 2＝3，a 4+a 6＝18． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅰ)若数列{b n }满足：b n+1＝2b n ，并且b 1＝a 5，试求数列{b n }的前n 项和S n ．18 已知函数f(x)=sin 2ωx +√3sin ωx sin (ωx +π2)(ω>0)的最小正周期为π （1）求f(x)；（2）当x ∈[−π12,π2]时，求函数f(x)的值域．19 如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC =√7,EA=2,∠ADC =2π3,∠BEC =π3．（1）求sin ∠CED 的值；（2）求BE 的长．20 如图，四棱锥P −ABCD 中，AB // CD ，AB =12CD ＝1，E 为PC 中点．（1）证明：BE // 平面PAD ；（2）若△PBC 是边长为2的正三角形，AB ⊥平面PBC ，求点E 到平面PAD 的距离．21 设f(x)=ln xx−1(x >1)(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性；(Ⅰ)是否存在实数a 、使得关于x 的不等式ln x <a(x −1)在(1, +∞)上恒成立，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，试说明理由；请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4：坐标系与参数方程]22在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =1−12ty =√32t（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ． (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅰ)若点P 的直角坐标为(1, 0)，曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值． [选修4-5：不等式选讲]23已知函数f(x)＝|x −1|．(Ⅰ)解关于x 的不等式f(x)+x 2−1>0；(Ⅰ)若g(x)＝−|x +4|+m ，f(x)<g(x)的解集非空，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年福建省三明市永安一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 B【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可．【解答】Ⅰ A ＝{−2, −1, 0, 1, 2}，B ＝{−3, −1, 0, 2, 3, 4}， Ⅰ A ∩B ＝{−1, 0, 2}． 2.【答案】 D【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由z =1+i 2−i −i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)−i =15+35i −i =15−25i ，Ⅰ z ¯=15+25i ． 3.【答案】 B【考点】平行向量（共线）【解析】可求出2m →+n →=−√3(−1,√3)，从而得出向量2m →+n →与(−1,√3)共线．【解答】2m →+n →=(√3,−3)=−√3(−1,√3)； Ⅰ 2m →+n →与(−1,√3)共线． 4. 【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】解出关于q 的x 的范围，结合集合的包含关系，判断即可．【解答】命题p ：“x >1”，命题q ：“1x <1”，即x >1或x <0，故p 是q 的充分不必要条件， 5.【答案】 B【考点】简单线性规划【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最值．【解答】作出实数x ，y 满足{2x +y ≥43x −y ≥1x −2y ≤2 对应的平面区域如图：（阴影部分）由z ＝x +y 得y ＝−x +z ，平移直线y ＝−x +z ，由图象可知当直线y ＝−x +z 经过点A 时，直线y ＝−x +z 的截距最小，此时z 最小．由{2x +y =4x −2y =2 解得A(2, 0)．代入目标函数z ＝x +y 得z ＝2．即目标函数z ＝x +y 的最小值为2．没有最大值． 6.【答案】 C【考点】余弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】利用余弦定理，结合条件，两边除以ac ，求出cos B ，即可求出sin B 的值．【解答】解：在△ABC 中，由余弦定理得： a 2+c 2−b 2=2ac cos B ，代入已知等式得：2ac cos B =12ac ，即cos B =14， Ⅰ sin B =√1−116=√154，故选C ．7.【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据三角函数的平移变换规律求解g(x)，结合三角函数的性质即可求解一个对称中心．【解答】函数f(x)=2cos(x+π6)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得y＝2cos(2x+π6)，即g(x)＝2cos(2x+π6)，令2x+π6=π2+kπ，k∈Z．得：x=12kπ+π6，当k＝0时，可得一个对称中心为(π6, 0)．8.【答案】D【考点】程序框图【解析】利用验证法判断求解即可．【解答】解：A，如果输出b的值为792，则a=792，I(a)=279，D(a)=972，b=D(a)−I(a)=972−279=693，不满足题意．B，如果输出b的值为693，则a=693，I(a)=369，D(a)=963，b=D(a)−I(a)=963−369=594，不满足题意．C，如果输出b的值为594，则a=594，I(a)=459，D(a)=954，b=D(a)−I(a)=954−459=495，不满足题意．D，如果输出b的值为495，则a=495，I(a)=459，D(a)=954，b=D(a)−I(a)=954−459=495，满足题意．故选D．9.【答案】A【考点】由三视图求体积（切割型）【解析】根据三视图可得该几何体是由棱长为2的几何体挖去两个圆锥所得，利用正方体、圆锥体积公式即可计算．【解答】解：根据三视图可得该几何体是由棱长为2的几何体挖去两个圆锥所得，如图，则该几何体的体积为V=2×2×2−2×13π×12×1=8−2π3．故选A.10.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，分析可得f(x)为偶函数且在[0, +∞)上为增函数，又由a＝f(−31.2)＝f(31.2)，c＝f(log30.2)＝f(−log35)＝f(log35)，且3−0.2<1<log35<3<31.2，据此分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)恒满足f(−x)−f(x)＝0，即f(x)＝f(−x)，则函数f(x)为偶函数，又由当x≥0时，f(x)=√x−2−x，易得f(x)在[0, +∞)上为增函数，a＝f(−31.2)＝f(31.2)，c＝f(log30.2)＝f(−log35)＝f(log35)，又由3−0.2<1<log35<3<31.2，则a>c>b；11.【答案】C【考点】数列递推式【解析】运用累加法和等差数列的求和公式，可得a n，再由基本不等式和n＝5，6时，a nn的值，即可得到所求最小值．【解答】数列{a n}的首项a1＝35，且满足a n−a n−1＝2n−1，可得a n＝a1+(a2−a1)+(a3−a2)+...+(a n−a n−1)＝34+(1+3+5+...+2n−1)＝34+12n(1+2n−1)＝34+n2，则a nn=n+34n≥2√34，此时n=34n，解得n不为自然数，由于n为自然数，可得n＝5时，5+345=595；n ＝6时，6+346=353<595，则an n 的最小值为353，12. 【答案】 D【考点】函数的求值求函数的值【解析】画出函数f(x)={2x −1(x >−1)e x (x ≤−1) 的图象，结合a <b ，且f(a)＝f(b)，表示出a −2b ，利用导数法求出其上确界，可得答案．【解答】函数f(x)={2x −1(x >−1)e x (x ≤−1)的图象如下图所示：若a <b ，f(a)＝f(b)，则2b −1＝e a ，则a −2b ＝a −e a −1，a ≤−1，令y ＝a −e a −1，a ≤−1，则y′＝1−e a ，a ≤−1，此时e a ≤1e ，则y′>0恒成立，故y ＝a −e a −1<y|a ＝−1=−1e −2，即实数a −2b 的取值范围为(−∞, −1e −2)，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 13【答案】5【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】根据向量a →与b ¯的方向相反，得到a →与b ¯的数量积，然后再算出|a →−2b →|即可．【解答】Ⅰ 向量a →与b ¯的方向相反，|a →|＝1，|b →|＝2， Ⅰ a →⋅b →=|a|→|b|→cos π=−2，Ⅰ |a →−2b →|=√a →2−4a →⋅b →+4b →2 =√1−4×(−2)+16=5．【答案】 −1【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由条件可知sin 2α＝1，又cos (2α+π2)＝−sin 2α，所以答案为−1．【解答】因为sin α−cos α＝0，所以(sin α−cos α)2＝sin 2α+cos 2α−2sin αcos α＝1−sin 2α＝0，即有sin 2α＝1，则cos (2α+π2)＝−sin 2α＝−1， 14【答案】√5−12【考点】等比数列的通项公式【解析】根据等差中项的定义建立方程关系，结合等比数列的通项公式求出公比即可．【解答】解：Ⅰ a 2，12a 3，a 1成等差数列， Ⅰ a 2+a 1=2×12a 3=a 3，即a 1q 2−a 1−a 1q =0，即q 2−q −1=0，解得q =1−√52或√5+12， Ⅰ 各项均为正数， Ⅰ q >0，Ⅰ q =√5+12， Ⅰ a 3a 4+a 2a6a 2a 6+a 4a 5=1q =√5−12，故答案为：√5−12． 15【答案】16π【考点】球的表面积和体积【解析】设AC 中点为M ，VA 中点为N ，过M 作面ABC 的垂线，球心O 必在该垂线上，连接ON ，则ON ⊥AV ．可得OA ＝2，即三棱锥V −ABC 的外接球的半径为2，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】如图，设AC 中点为M ，VA 中点为N ，Ⅰ 面VAC ⊥面ABC ，BA ⊥BC ，Ⅰ 过M 作面ABC 的垂线，球心O 必在该垂线上，连接ON ，则ON ⊥AV ．在Rt △OMA 中，AM ＝1，∠OAM ＝60∘，Ⅰ OA ＝2，即三棱锥V −ABC 的外接球的半径为2， Ⅰ 三棱锥V −ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16【答案】（I ）设数列{a n }的公差为d ，根据题意得：{a 1+d =32a 1+8d =18解得：{a 1=1d =2，Ⅰ 通项公式为a n ＝2n −1(II)）Ⅰ b n+1＝2b n ，b 1＝a 5＝9Ⅰ {b n }是首项为9公比为2的等比数列 Ⅰ s n =9(1−2n )1−2=9×2n −9【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（I ）设数列{a n }的公差为d ，根据题意得：{a 1+d =32a 1+8d =18，解方程可求a 1及d ，从而可求通项(II)）由b n+1＝2b n ，可得{b n }是公比为2的等比数列，结合已知求出首项后，代入等比数列的求和公式即可求解【解答】（I ）设数列{a n }的公差为d ，根据题意得：{a 1+d =32a 1+8d =18解得：{a 1=1d =2，Ⅰ 通项公式为a n ＝2n −1(II)）Ⅰ b n+1＝2b n ，b 1＝a 5＝9Ⅰ {b n }是首项为9公比为2的等比数列 Ⅰ s n =9(1−2n )1−2=9×2n −917【答案】 f(x)=1−cos 2ωx2+√3sin ωx cos ωx =√32sin 2ωx −12cos 2ωx +12=sin (2ωx −π6)+12．Ⅰ 函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0， Ⅰ 2π2ω=π，解得ω＝1． Ⅰ f(x)=sin (2x −π6)+12． Ⅰ x ∈[−π12,π2]，Ⅰ 2x −π6∈[−π3,5π6]．根据正弦函数的图象可得：当2x −π6=π2，即x =π3时，g(x)=sin (2x −π6)取最大值1 当2x −π6=−π3，即x =−π12时g(x)=sin (2x −π6)取最小值−√32． Ⅰ 12−√32≤sin (2x −π6)+12≤32，即f(x)的值域为[1−√32,32]．【考点】正弦函数的定义域和值域二倍角的三角函数【解析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理，然后利用正弦函数的最小正周期求得ω，则函数解析式可得．（2）根据x 的范围可确定2x −π6的范围，进而根据正弦函数的单调性求得函数的最大值和最小值，则函数的值域可得．【解答】 f(x)=1−cos 2ωx2+√3sin ωx cos ωx =√32sin 2ωx −12cos 2ωx +12=sin (2ωx −π6)+12．Ⅰ 函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0， Ⅰ2π2ω=π，解得ω＝1．Ⅰ f(x)=sin (2x −π6)+12． Ⅰ x ∈[−π12,π2]，Ⅰ 2x −π6∈[−π3,5π6]．根据正弦函数的图象可得：当2x −π6=π2，即x =π3时，g(x)=sin (2x −π6)取最大值1当2x −π6=−π3，即x =−π12时g(x)=sin (2x −π6)取最小值−√32． Ⅰ 12−√32≤sin (2x −π6)+12≤32，即f(x)的值域为[1−√32,32]．18【答案】在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2+ED 2−2CD ⋅DE cos ∠CDE ，即7＝CD 2+1+CD ，则CD 2+CD −6＝0，解得CD ＝2或CD ＝−3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得ECsin∠EDC =CDsinα，于是sinα=CD sin2π3EC=2⋅√32√7=√217，即sinα=√217．由题意知0<α<π3，于是由（1）知，cosα=√1−sin2α=√1−2149=2√77，而∠AEB=2π3−α，所以cos∠AEB＝cos(2π3−α)=cos2π3cosα+sin2π3sinα=−12×2√77+√32⋅√217=√714，在Rt△EAB中，cos∠AEB=EABE =2BE，故BE=2cos∠AEB =√714=4√7．【考点】三角形的面积公式解三角形【解析】（1）设∠CED＝α，在△CDE中，由正弦定理化简可得答案（2）由题意知0<α<π3，求解cosα，而∠AEB=2π3−α，利于和与差的公式求解cos∠AEB，利于直接三角形的性质即可求解BE的长．【解答】在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2+ED2−2CD⋅DE cos∠CDE，即7＝CD2+1+CD，则CD2+CD−6＝0，解得CD＝2或CD＝−3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得ECsin∠EDC =CDsinα，于是sinα=CD sin2π3EC=2⋅√32√7=√217，即sinα=√217．由题意知0<α<π3，于是由（1）知，cosα=√1−sin2α=√1−2149=2√77，而∠AEB=2π3−α，所以cos∠AEB＝cos(2π3−α)=cos2π3cosα+sin2π3sinα=−12×2√77+√32⋅√217=√714，在Rt△EAB中，cos∠AEB=EABE =2BE，故BE=2cos∠AEB =√714=4√7．19【答案】证明：取PD的中点F，连结EF，AF，Ⅰ E为PC的中点，Ⅰ EF // CD，且EF=12CD．又Ⅰ AB // CD，且AB=12CD，Ⅰ EF // AB，且EF＝AB，故四边形ABEF为平行四边形，Ⅰ BE // AF，又BE⊄平面BEP，AF⊂平面BEP，Ⅰ BE // 平面PAD．由（1）得BE // 平面PAD，故点B到PAD的距离等于点E到平面PAD的距离，取BC的中点G，连接PG，Ⅰ AB⊥平面PBC，AB在平面ABCD内，Ⅰ 平面ABCD⊥平面PBC，又△PBC是边长为2的正三角形，Ⅰ PG=√3，BC＝2，且PG⊥BC，Ⅰ 平面ABCD∩平面PBC＝BC，Ⅰ PG⊥平面ABCD，又在直角梯形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，Ⅰ AD=√5，S△ABD=12AB⋅BC=12⋅1⋅2=1，Ⅰ AB⊥PB，AB＝1，PB＝PC＝2，CD＝2，Ⅰ PA=√5,PD=2√2，Ⅰ S△APD=12⋅2√2⋅√(√5)2−(√2)2=√6，设点B到平面PAD的距离为ℎ，Ⅰ 13⋅S△APD⋅ℎ=13⋅S△ABD⋅PG，Ⅰ ℎ=S△ABD⋅PGS△APD=√22，即点E到平面PAD的距离为√22．【考点】直线与平面平行点、线、面间的距离计算【解析】（1）取PD的中点F，可证EF // AB，且EF＝AB，即四边形ABEF为平行四边形，由此得到BE // AF，由此得证；（2）易知，点B到PAD的距离等于点E到平面PAD的距离，再利用等体积法求解即可．【解答】证明：取PD的中点F，连结EF，AF，Ⅰ E为PC的中点，Ⅰ EF // CD，且EF=12CD．又Ⅰ AB // CD，且AB=12CD，Ⅰ EF // AB，且EF＝AB，故四边形ABEF为平行四边形，Ⅰ BE // AF，又BE⊄平面BEP，AF⊂平面BEP，Ⅰ BE // 平面PAD．由（1）得BE // 平面PAD，故点B到PAD的距离等于点E到平面PAD的距离，取BC的中点G，连接PG，Ⅰ AB⊥平面PBC，AB在平面ABCD内，Ⅰ 平面ABCD⊥平面PBC，又△PBC是边长为2的正三角形，Ⅰ PG=√3，BC＝2，且PG⊥BC，Ⅰ 平面ABCD∩平面PBC＝BC，Ⅰ PG⊥平面ABCD，又在直角梯形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，Ⅰ AD=√5，S△ABD=12AB⋅BC=12⋅1⋅2=1，Ⅰ AB⊥PB，AB＝1，PB＝PC＝2，CD＝2，Ⅰ PA=√5,PD=2√2，Ⅰ S△APD=12⋅2√2⋅√(√5)2−(√2)2=√6，设点B到平面PAD的距离为ℎ，Ⅰ 13⋅S△APD⋅ℎ=13⋅S△ABD⋅PG，Ⅰ ℎ=S△ABD⋅PGS△APD =√22，即点E到平面PAD的距离为√22．21【答案】证明：（1）Ⅰ f(x)=ln xx−1,(x>1)Ⅰ f′(x)=1−1x−ln x(x−1)2，设g(x)=1−1x−ln x,(x≥1)．Ⅰ g′(x)=1x2−1x=1−xx2≤0，Ⅰ y＝g(x)在[1, +∞)上为减函数．Ⅰ g(x)=1−1x−ln x≤g(1)=0，Ⅰ f′(x)=1−1x−ln x(x−1)2<0Ⅰ 函数f(x)=ln xx−1在(1, +∞)上为减函数．(2)ln x<a(x−1)在(1, +∞)上恒成立，⇔ln x−a(x−1)<0在(1, +∞)上恒成立，设ℎ(x)＝ln x−a(x−1)，则ℎ(1)＝0，Ⅰ ℎ(x)=1x−a，若a≤0显然不满足条件，若a≥1，则x∈[1, +∞)时，ℎ(x)=1x−a≤0恒成立，Ⅰ ℎ(x)＝ln x−a(x−1)在[1, +∞)上为减函数Ⅰ ln x−a(x−1)<ℎ(1)＝0在(0, +∞)上恒成立，Ⅰ ln x<a(x−1)在(1, +∞)上恒成立，若0<a<1，则ℎ(x)=1x−a=0时，x=1a，Ⅰ x∈[1,1a)时ℎ′(x)≥0，Ⅰ ℎ(x)＝ln x−a(x−1)在[1,1a)上为增函数，当x∈[1,1a)时，ℎ(x)＝ln x−a(x−1)>0，不能使ln x<a(x−1)在(1, +∞)上恒成立，Ⅰ a≥1【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）对f(x)求导后，构造新的函数g(x)，利用导数求解函数单调的方法步骤进行求解．（2）根据已知ln x<a(x−1)在(1, +∞)上恒成立等价于ln x−a(x−1)<0在(1, +∞)上恒成立，构造新的函数ℎ(x)＝ln x−a(x−1)，本题所要求的a的取值范围，只需满足一个条件：使得ℎ(x)在定义域内为减函数即可．【解答】证明：（1）Ⅰ f(x)=ln xx−1,(x>1)Ⅰ f′(x)=1−1x−ln x(x−1)2，设g(x)=1−1x−ln x,(x≥1)．Ⅰ g ′(x)=1x2−1x=1−x x 2≤0，Ⅰ y ＝g(x)在[1, +∞)上为减函数． Ⅰ g(x)=1−1x −ln x ≤g(1)=0， Ⅰ f ′(x)=1−1x−ln x (x−1)2<0Ⅰ 函数f(x)=ln xx−1在(1, +∞)上为减函数．(2)ln x <a(x −1)在(1, +∞)上恒成立，⇔ln x −a(x −1)<0在(1, +∞)上恒成立，设ℎ(x)＝ln x −a(x −1)，则ℎ(1)＝0， Ⅰ ℎ(x)=1x −a ，若a ≤0显然不满足条件，若a ≥1，则x ∈[1, +∞)时，ℎ(x)=1x −a ≤0恒成立， Ⅰ ℎ(x)＝ln x −a(x −1)在[1, +∞)上为减函数 Ⅰ ln x −a(x −1)<ℎ(1)＝0在(0, +∞)上恒成立， Ⅰ ln x <a(x −1)在(1, +∞)上恒成立，若0<a <1，则ℎ(x)=1x−a =0时，x =1a，Ⅰ x ∈[1,1a )时ℎ′(x)≥0，Ⅰ ℎ(x)＝ln x −a(x −1)在[1,1a )上为增函数，当x ∈[1,1a )时，ℎ(x)＝ln x −a(x −1)>0，不能使ln x <a(x −1)在(1, +∞)上恒成立， Ⅰ a ≥1请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22【答案】（1）直线l 的参数方程为{x =1−12ty =√32t（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程为：√3x +y −√3=0曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ，即 ρ2＝6ρcos θ，化为直角坐标方程为 x 2+y 2＝6x ，即圆C 的直角坐标方程为：(x −3)2+y 2＝9（2）把直线的参数方程代入圆C 的方程，化简得：t 2+2t −5＝0 所以，t 1+t 2＝−2，t 1t 2＝−5<0所以|PA|+|PB|＝|t 1|+|t 2|＝|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√6⋯ 【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】(Ⅰ)直接由直线的参数方程消去参数t 得到直线的普通方程；把等式ρ＝6cos θ两边同时乘以ρ，代入x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2+y 2得答案；(Ⅰ)把直线的参数方程代入圆的普通方程，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求得|PA|+|PB|的值．【解答】（1）直线l 的参数方程为{x =1−12ty =√32t（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程为：√3x +y −√3=0曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ，即 ρ2＝6ρcos θ，化为直角坐标方程为 x 2+y 2＝6x ，即圆C 的直角坐标方程为：(x −3)2+y 2＝9（2）把直线的参数方程代入圆C 的方程，化简得：t 2+2t −5＝0 所以，t 1+t 2＝−2，t 1t 2＝−5<0所以|PA|+|PB|＝|t 1|+|t 2|＝|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√6⋯ [选修4-5：不等式选讲]23【答案】（1）由题意原不等式可化为：|x −1|>1−x 2，即x −1>1−x 2或x −1<x 2−1，解得：x >1或x <−2，或x >1或x <0，综上原不等式的解为{x|x >1或x <0}；（2）原不等式等价于|x −1|+|x +4|<m 的解集非空，令ℎ(x)＝|x −1|+|x +4|，即ℎ(x)＝(|x −1|+|x +4|)min <m ，所以即ℎ(x)min ＝5，所以m >5．【考点】绝对值不等式的解法与证明其他不等式的解法分段函数的应用【解析】(Ⅰ)去掉绝对值，求出各个范围内的x 的范围取并集即可；(Ⅰ)）问题转化为(|x −1|+|x +4|)min <m ，从而求出m 的范围即可．【解答】（1）由题意原不等式可化为：|x −1|>1−x 2，即x −1>1−x 2或x −1<x 2−1，解得：x >1或x <−2，或x >1或x <0，综上原不等式的解为{x|x >1或x <0}；（2）原不等式等价于|x −1|+|x +4|<m 的解集非空，令ℎ(x)＝|x −1|+|x +4|，即ℎ(x)＝(|x −1|+|x +4|)min <m ，所以即ℎ(x)min ＝5，所以m >5．。

福建省永安市第一中学2020届高三上学期期中考试数学(文) Word版含答案

永安一中2020届高三上学期期中考试数学试题（文科）（考试时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}23,,3,1,0,2,3,4A x x x z B =-≤<∈=--，则AB =A. {}1,0,2,3-B. {}1,0,2-C. {}1,2,3-D. {}0,2,3 2．已知复数1(2iz i i i+=--为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 A. 2155i - B. 2155i + C. 1255i - D. 1255i +3．若向量)1,3(),2,0(=-=，则与n m +2共线的向量可以是A.（3，-1）B.（-1，3）C.（-3，-1）D.（3-1-，） 4．已知命题1:1,:1p x q x><，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件5．设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+221342y x y x y x ，则目标函数z x y =+A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最小值-1，最大值3D.既无最小值，也无最大值6．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2222()2a c ac b +-=，则sin B ＝A.14B.12D. 34 7．将函数()2cos()6f x x π=+图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的图象的一个对称中心是A ．(,0)6πB ．11(,0)12πC ．(,0)12πD ．5(,0)12π8．已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =，在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数、十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如219a =，则 ()129I a =，()921D a =），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为A ．792B ．693C ．594D ．4959．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A. 38π- B. 328π-C.348π- D. π28- 10．已知定义域为R 的函数)(x f 恒满足0)()(=--x f x f 且当0≥x 时，x x x f --=2)(，设 )2.0(log ),3(),3(32.02.1f c f b f a ==-=-，则A.c a b >>B. a b c >>C. c a b >>D. a c b >> 11．已知数列{}n a 的首项135a =，且满足121(2)n n a a n n --=-≥，则na n的最小值为 A． B ．595 C ．353D ．12 12．已知函数()()()2111x x x f x ex ->-⎧⎪=⎨≤-⎪⎩，若()(),a b f a f b <=，则实数2a b -的取值范围是A. 1,1e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. 1,2e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D. 1,2e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13．已知向量a 与b 的方向相反，2||,1||==b a ，则=-|2|b a . 14．已知0cos sin =-αα，则cos(2)2πα+= .15．各项均为正数的等比数列{}n a 的公比2311,,,2q a a a 1≠成等差数列，则34262645a a a a a a a a ++= .16．在三棱锥V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AC ==，120VAC ∠=︒，BA BC ⊥ 则三棱锥V ABC -的外接球的表面积是___ ___.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 中，23a = ，4618a a +=.(1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：12n n b b +=，并且15b a =，试求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（12分）已知函数)0)(2sin(sin 3sin )(2>++=ωπωωωx x x x fπ的最小正周期为(1）求);(x f (2）当)(,]2,12[x f x 求函数时ππ-∈的值域.19．（12分）在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，1DE =，EC =2EA =，23ADC π∠=，3BEC π∠=．(1)求sin CED ∠的值； (2)求BE 的长．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，112AB CD ==，E 为PC 中点．（1）证明：BE ∥平面PAD ；（2）若PBC △是边长为2的正三角形，AB ⊥平面PBC ，求点E 到平面PAD 的距离． 21．（12分）设)1(1ln )(>-=x x xx f(1)判断函数)(x f 的单调性；(2)是否存在实数a ,使得关于x 的不等式)1(ln -<x a x 在(1，∞+)上恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，试说明理由.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. (1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2）若点P 的直角坐标为()1,0，曲线C 与直线l 交于,A B 两点，求PA PB +的值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数() 1.f x x =-(1）解关于x 的不等式()210f x x +->(2）若()()()4,g x x m f x g x =-++<的解集非空，求实数m 的取值范围.参考答案二、填空题：13．5； 14．－1； 15．12； 16．16π. 三、解答题：17．解：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意得：113,2818,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：112a d =⎧⎨=⎩， ………………………………………5分 {}n a ∴的通项公式为21n a n =- ……………………………………………………6分(Ⅱ） 12n n b b +=，159b a =={}n b ∴是首项为9公比为2的等比数列 ………………………………9分 9(12)12n n S ⨯-∴-＝＝929n ⨯- ………………………………12分18．解：（1）x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=.21)62sin(212cos 212sin 23+-=+-=πωωωx x x ……………………3分 ,0,)(>ωπ且的最小正周期为函数x f .1,22==∴ωπωπ解得…………4分.21)62sin()(+-=∴πx x f ……………………………………5分(2）].65,3[62],2,12[πππππ-∈-∴-∈x x……………………………………7分当3,262πππ==-x x 即时，)62sin()(π-=x x g 取最大值1 ……………9分当12,362πππ-=-=-x x 即时.23)62sin()(--=取最小值πx x g ……11分,2321)62sin(2321≤+-≤-∴πx ………………………………12分19．解：(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD·DE·cos ∠EDC ，………1分于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． …………………………………………………3分在△CDE 中，由正弦定理，得sin sin EC CDEDC CED=∠∠． …………………………4分于是，sin ∠CED＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217． …………………………………………………6分 (2)由题设知，0＜∠CED＜π3，由(1)知，cos ＝277．……………………………8分而∠AEB＝2π3－∠CED，所以cos ∠AEB ＝cos(2π3－∠CED )＝cos 2π3cos ∠CED＋sin 2π3sin ∠CED＝－12×277＋32×217＝714．……………………………………10分在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47． ……………………………………………12分20．（Ⅰ）证明：取PD 的中点F ，连结,AF EF ．………1分∵E 为PC 的中点，∴EF CD ，且12EF CD =．又∵AB CD ，且12AB CD =，∴EF AB ，且EF AB =．故四边形ABEF 为平行四边形． ∴BEAF ．………………3分又BE ⊄平面BEP ，AF ⊂平面BEP ，∴BE ∥平面PAD ． ………………5分（Ⅱ）∵AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PB ，由于1AB =，2PB =∴PA =∵AB ∥CD ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PC由于2CD =，2PC =，∴PD =在直角梯形ABCD 中，1AB =，2BC =，2CD =， ∴AD =∴12APDS =⋅=△………………………………………………8分取BC 的中点G ，连结PG ，则PG ⊥BC ，且PG =∵AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PG ，∴PG ⊥平面ABCD ．又1112122ABD S AB BC =⋅=⋅⋅=△∴111333P BAD ABD V S PG =⋅=⋅=－△………………………………………………10分设点B 到平面PAD 的距离为h ，∵BE ∥平面PAD ∴E PAD B PAD P BAD V V V ==－－－∴1133APD ABD S h S PG ⋅⋅=⋅⋅△△，∴2ABD APD S PG h S ⋅===△△ ∴点E 到平面PAD ．………………………………………………12分 21．解：(1)∵)1(,1ln )(>-=x x x x f ∴2)1(ln 11)(---='x xx x f ， ……………………1分设)1(,ln 11)(≥--=x x xx g . ∴0111)(22≤-=-='xxx x x g ，∴)(x g y =在)[∞+,1上为减函数．………3分∴0)1(ln 11)(=≤--=g x xx g ，∴0)1(ln 11)(2<---='x xx x f ………………4分 ∴函数1ln )(-=x xx f 在),1(+∞上为减函数． …………………………………5分(2))1(ln -<x a x 在),1(+∞上恒成立0)1(ln <--⇔x a x 在),1(+∞上恒成立，设)1(ln )(--=x a x x h ，∴a xx h -='1)(，且有0)1(=h若0≤a ，显然不满足条件， …………………………………7分若1≥a ，则)[∞+∈,1x 时，01)(≤-='a xx h 恒成立，∴)1(ln )(--=x a x x h 在)[∞+,1上为减函数 ∴0)1()1(ln =<--h x a x 在),0(+∞上恒成立，∴)1(ln -<x a x 在),1(+∞上恒成立， …………………………………9分若10<<a ，则01)(=-='a x x h 时，∴a x 1=， )⎢⎣⎡∈a x 1,1时0)(≥'x h ，∴)1(ln )(--=x a x x h 在1[1,)a上为增函数，当1[1,)x a∈时， )1(ln )(--=x a x x h >0,不能使)1(ln -<x a x 在(1，∞+)上恒成立， …………………………11分 ∴1a ≥ ………………………………………………12分22.解：(Ⅰ）直线l 的普通方程为：330x y +-= …………………………2分曲线C 的直角坐标方程为： ()2239x y -+=…………………………5分(Ⅱ）把直线的参数方程11232x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的方程化简得：2250t t +-= ………………………………8分∴122t t +=-，125t t =-<0∴∣P A ∣+∣PB ∣=12t t +=12t t - =()212124t t t t +-=26 ………10分23. 解：（Ⅰ）由题意原不等式可化为：即：由得由得………………………………4分综上原不等式的解为………………………………5分(Ⅱ）原不等式等价于14x x m -++<的解集非空令()14h x x x =-++，即()()min14h x x x m =-++<∴即()min 5h x =，…9分∴5m >．…………………………………………………………10分。

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2
D.
，—2
e
e
e
e
第n卷(非选择题共90分)
4小题，每小题5分，共20分•在答题卷上的相应题目的答题区域内作
13
14.已知sin cos 0,则cos(2 )
2
15. 各项均为正数的等比数列｛an｝的公比q
16
则三棱锥V ABC的外接球的表面积是•
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
永安一中
数学试题（文科）
（考试时间：120分钟
总分：150分）
一、选择题：本大题共一项是符合题目要求的
第I卷（选择题共
12小题，每小题5分，共
60分）
60分.在每小题给出的四个选项中，只有
1.已知集合A x
2 x 3,x z , B 3,
1,0,2,3,4
A.
B.
1,0,2
1,2,3
D.
0,2,3
设
A.c a b
B.
a b
cC.
c a
b
D.
a c
b
11•已知数列｛ar
J的首项a1
35,
且满足an
an 1
2n
1(n
2)，则
色的最小值为
n
A.2.34
B.
59
C
35
D
.12
5
3
2x
1 x
1
12.已知函数f
xx
，若a
b, f
a
f b
，则实数
a 2b的取值范围
e
x
1
是
1
1
1
1c
A.,-

福建省永安市第一中学2020届高三数学上学期期中试题文

2020届高三数学上学期期中试题文福建省永安市第一中学总分：150分）（考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）分．在每小题给出的四个选项中，只有小题，每小题5分，共60一、选择题：本大题共12.一项是符合题目要求的????BA1,0,2,3,43,??x?z?,B?A?x?2?x3,=．已知集合1，则????????0,2,31,0,2?1,0,2,31,2,3?? B. A. C. D.i1?i?i(z?z的共轭复数，则2．已知复数z为为虚数单位)i?221212112ii??i?i?D. B. C. A.55555555n2m?)?2),n?(3,m1(?0,，则与3共线的向量可以是．若向量-133，-33（ D.）C.（-1-） A.）（（，-1） B.-1，，1?:1x?1,qp:qp的是，则4．已知命题x A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件2x?y?4??x,y3x?y?1z?x?y，则目标函数5．设实数满足??x?2y?2?A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最小值-1，最大值3D.既无最小值，也无最大值222b?)?ac22(a?cc,a,b,A,BC B sin?ABC6．在，则的对边分别为中，，若＝31115 C.D. A. B. 2444?1)2cos(x?f(x)?，7．将函数)(纵坐标不变得到图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍26)(xyx)?gy?g(的图象的一个对称中心是函数的图象，则函数????511,0)(,0)(,0)(,0)(． C．A．． B D12121261,2,3,4,5,6,7,8,9}{A?A，在集合中任取三个8．已知集合记十位数和百位数，元素，分别作为一个三位数的个位数、aa现将组成这个三位数为，的三个数字按从小到大排成的- 1 -)I(a)D(a三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例219a?921)?129D(a)?I(a）如，阅读如图所，，则a程序，任意输入一个，则输示的程序框图，运行相应的b出的值为693 A．792 B．495594 D．C． 2，则9．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为该几何体的体积为??2??88 B.A.33?4??828? D.C.3x?2?)?xf(x0)?f(x)f(?x)?f(x0?x，恒满足时，的函数10．已知定义域为R且当21.20.?)2(log0.(a?f(?3),b?f3),c?f则，设3b?c??b?cc?a?babc?a?a B. A. C. D.a n2)?a?2n?1(n?aa?35}a{的首项的最小值为，且满足11．已知数列，则1?1nnn n3559 34212． C．A B． D．35??1?x?2x?1?????????fx baf??ab,fba?2的取值范围，若，则实数12．已知函数???x e1x????是1111????????2???2??,??,?1?????,?, B. A. D. C. ???????? eeee????????第Ⅱ卷（非选择题共90分）分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作54二、填空题：本大题共小题，每小题分，共20 答．ba?2?|?2ab||||a1|?,b . ，则13．已知向量的方向相反，与???0sin?cos??．已知14，则?cos(2)? .2aaa?a?6234{a}q,aa?1,a,的公比．各项均为正数的等比数列15= .成等差数列，则n231aaaa?25264BC?2ACV AABC?V AC?V ABC??V ACBA?120??，．在三棱锥16中，面面，，ABCV?___ ___.的外接球的表面积是则三棱锥- 2 -70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．三、解答题：本大题共6小题，共??18a?a?3a?a.12分）已知等差数列，中， 17．（642n??a的通项公式；(1）求数列n????bbbb2?a?bSn. 的前）若数列，试求数列，并且满足：项和（2nnnn?151n?2?????0)x?3sin?x sin()()f(x?sin x分）已知函数18．12（2?的最小正周期为f(x); (1）求??)f(x?,]时,求函数x?[.(2）当的值域212ABCD中，分）在平面四边形．（1219EC?71DEDA?AB?，，，?2?ADC?2EA?，，3??BEC?．3CEDsin? (1)求的值；BE的长．(2)求∥AB CD ABCDP? 20．（中，，12分）如图，四棱锥1PCE1CD?AB?为，中点．2PADBE∥（1）证明：平面；PBC△2?AB平面的正三角形，是边长为（2）若PBCPADE，求点到平面的距离．x ln)xx()??1(f12分）设21．（1x?)xf(判断函数的单调性；(1)xa??)?1xax ln?(上恒成立？若存在，在使得关于,(2)是否存在实数的不等式(1)，- 3 -a的取值范围；若不存在，试说明理由.求出请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程1?x?1?t?2?xt xoyOl以以原点的参数方程为（为极点，在直角坐标系为参数）中，直线.?3?t?y??2??6cos?C. 的极坐标方程为轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Cl的直角坐标方程；的普通方程和曲线 (1）写出直线??PA?,0PB1B,A ClP的值(2）若点，曲线的直角坐标为. 与直线两点，求交于23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲???xf?x1.已知函数??2?1??xf0x x）解关于的不等式 (1??????xxg?4?gm,fx???x m的取值范围的解集非空，求实数）若. (2参考答案一、选择题：5?1?16. 16．．－二、填空题：13．5； 141； 15．；2三、解答题：??d的公差为，根据题意得：．解：17（I）设数列a n3,?da?1a???115分………………………………………解得：，??18,?a8d?22?d??1??分……………………………………………………的通项公式为6 a?12a?n?nn(Ⅱ），b2b?9a?b?n?n151??是首项为公比为的等比数列………………………………9分b?29nn)?29?(1n………………………………12分＝929??＝?Sn1?2- 4 -?x21?cos??x?3f(x)?sincos x）（118．解：2?1131???.x?cos2)x2sin???sin(2?x?分 (3)26222?2????,?且f(x)的最小正周期为0,函数 .??1,?解得………… 4分?2?1.?f(x)?sin(2x?)? 5分..........................................26?????5].,[????,],?2x x?[分） (2 (7)631226????)?x)?sin(2x?2?x,即x?g(9分时，取最大值当 1 ……………6632????3.)?取最小值?xg()?sin(2x??,即x2x??? 11时……当分261263?3131,?x?)????sin(2分12 ………………………………222621CD19．解：(1)在△CDE中，由余弦定理，得EC＝＋DE－2CD·DE·cos∠EDC22 0，222分，………CD于是由题设知，7＝＋1＋CD，即CD＋CD－6＝分CD解得＝2(CD＝－3舍去)．…………………………………………………3CDEC?．…………………………中，由正弦定理，得在△CDE4分CED sin?sin?EDC32π×sin2CD·2321 ＝，于是，sin∠CED＝＝7EC721＝CED6．…………………………………………………分∠即sin7π (2)由题设知，0＜∠CED＜，372212CED1?sin?由(1)知，cos1－＝．……………………………8分∠CED＝749π2 而∠AEB＝－∠CED，3π2π2π2 cos∠CED＋∠CEDsin＝所以cos∠AEBcos(－∠CED)＝cossin3337211273 10＝．……………………………………分＝－×＋×1472722EAAEB＝＝cos∠， Rt在△中，EAB BEBE22故BE＝＝＝47．……………………………………………12分cos∠AEB714- 5 -AF,EF PD F．………，连结120．（Ⅰ）证明：取分的中点1CDEFPCE EF?CD．为，且∵的中点，∴21AB CD AB?CD，，且又∵2ABEFEF?ABABEF为平行四边形．．故四边形∴，且AFBE．………………∴3分BE∥PAD?BE?AFBEPBEP．………………平面又5，∴平面分，平面PBCPB??ABAB，∴平面（Ⅱ）∵，5?PA1AB?2PB?，由于∴PBC??PC∥AB CDCDCD，∴∴平面∵，2CD?由于，，∴2PD?22PC?2??2CDBC ABCD1AB?中，，，，在直角梯形5?AD，∴1????2262??22?S??5分∴………………………………………………8APD△23?PG BCPGBC PGG的中点，且取，连结⊥，则ABCDPGPBCPG??ABAB，∴．，∴平面⊥平面∵1112???S?1?AB?BC ABD△22又311??V1?3?SPG??∴10分………………………………………………BAD△ABDP－333h PADB到平面，设点的距离为PADBE∥V?V?V∵平面∴BADPB－PAD－E－PAD11??h??S?PGS∴，APD△ABD△33PGS?23ABD△??h?2S6∴APD△2PADE 12∴点分到平面．………………………………………………的距离为21x?ln1?x ln x??)(xf?)f)(,x(x?1分……………………1 21∴．解：(1)∵，2)1(x?1x?1)1(,x??(x)1??ln xg.?????,10gx()????)(xgy?上为减函数．………3在分∴，∴设x x?11122xxx- 6 -1?x1?ln1x??0?(fx)0x1(x?))?gg1???(ln，∴……………… 4∴分2)?(1xxx ln?)f(x)??(,1分在上为减函数．…………………………………∴函数51?x)(1,??a?(x?1)a?(x0?1)(1,??)?lnln xx?上恒成立上恒成立，在(2)在1?ax)?h?(0(1))h(x)?ln x?a(x?1?h，∴，且有设x0a?????x??1,0?ah?(x)?1a?时，恒成立，，若…………………………………7分显然不满足条件，，1???,?1)x?1)h(x?ln x?a(在∴上为减函数则若x),??1)?0(0h ln x?a(x?1)?(∴在上恒成立，),??x?1)(1ln x?a( 9分上恒成立，在…………………………………∴111????,1x??hx(x)??a?00h?(x)1?0?a，，，则若时，∴时?a ax?1)[1,)1(x?h(x)?ln x?a上为增函数，∴在a1)[1,x?)1a(x?h(x)?ln x?>0, 当时，a??)?1ln x?a(x不能使…………………………在(1，11分)上恒成立，1a?∴………………………………………………12分0?3?3x?y l………………………… 22.解：(Ⅰ）直线2的普通方程为：分2??29y?x?3?曲线C的直角坐标方程为： 5分…………………………1?t?x?1?2?t的方程化简得：为参数）代入曲线C(Ⅱ）把直线的参数方程（?3?ty??2?20??5t?2t 分 (8)2?t?t?5?t?t<0∴，21212??62ttt?4?t t?ttt? 10=PB∣=………分= =∣∴∣PA+∣21122211 23. 解：（Ⅰ）由题意原不等式可化为：即：由得………………………………4分由得综上原不等式的解为分………………………………5m4??x??x1 (Ⅱ）原不等式等价于的解集非空??????4?1?xhxx???4m?x?x?1x?h，即令min??5hx? 9∴即，…分min- 7 -m?5．…………………………………………………………10分∴- 8 -。

2020-2021学年第一学期高一数学期中考试联考试卷福建省

2020-2021学年高一第一学期期中数学（时间: 120分钟，满分: 150 分）一.选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1.已如集合M={-1，1，3， 5}， N=(-2，1，2，3，5} 则M ∩N=（）A. {-1，1，3}B.{1，2，5)C.{1，3, 5}D. ∅2.已知幂函数y= f(x)的图像过(36, 6),则此幂函数的解析式是（） A.31x y = B. 3x y = C.21x y = D. 2x y = 3.函数112)(2--=x x x f 的定义城为（） A.),21[+∞ B. (1+∞) C. )∞(1,+)21(-1, ⋃ D. )∞,1)U(1,+21[4.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A.0>1+2x +x R,∈x 2∀B.所有菱形的4条边都相等C.若2x 为偶数，则x ∈ND.π是无理数5.设x ∈R ，则“|x-3|<1"是“x>2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知x ，Y 都是正数，xy=1,则yx 41+的最小值为( ) A.3 B. 4 C. 5 D.67. 定义在R 上的偶函数f(x)满足:对任意的2121),,0[,x x x x ≠+∞∈,有0)]()()[(1212<--x f x f x x ，则（）A. f(3)<f(-2)<f(1)B. f(1)<f(-2)<f(3)C. f(3)<f(1)<f(-2)D. f(-2)<f(1)<f(3)8.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x+2)，且当x ∈[-2,0) 时，491)(++=x x x f ，若对任意的m ∈[m ，+∞)，都有31≤f(x)，则m 的取值范围为（） ),511.[+∞-A ),310.[+∞-B ),25.[+∞-C ),411.[+∞-D 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分，)9.若集合A={x|x 2-3x=0,则有（）A. 0⊆AB.{3}∈AC. {0,3}⊆AD.A ⊆{y|y<4}10.下列各组的数表示不同函数的是（） A.f （x ）=2x ，g （x ）=|x|11)(,1)(.)()(,)(.)(,1)(.2220--=+=====x x x g x x f D x x g x x f C x x g x f B11.若非零实数a ，b 满足a<b ，则下列不等式不一定成立的是（） A.1<b a B.2≥+b a a b C.2211baab < D.b b a a +<+22 12.对x ∈R, [x] 表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列结论中正确的是（）A. 任意x ∈R, x<[x]+1B. y=[x]，x ∈R 的图像关于原点对称C.函数y=x-[x]，(x ∈R)，y 的取值范围为[0,1)D. 任意x,y ∈R, [x]+[y]≤[x+y]恒成立三填空愿(每小题5分，共20分)13. 命题“21)21(,100≥>∃x x ”的否定是： ; 14.已知函数⎩⎨⎧>-<+0,40x 4,x =f(x)x x 则f[f(-3)]的值： ;15.若函数f （x ）=a ax x ++2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是： ;16.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收人的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少2.5t 万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收人每年不少于900万元，求实数t 的取值范围 ;四.解答题:本大题共6小题，共70分。

福建省永安一中高三上学期期中考试(数学文).doc

福建省永安一中高三上学期期中考试（数学文）（考试时间：1 总分：150分）第Ⅰ卷 (选择题共60分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合}2,1,1{-=M ，集合},|{2M x x y y N ∈==，则N M 是(A) }3,2,1{ (B) }4,1{ (C) }1{ (D) Φ 2．不等式x x x R 220--<∈||()的解集是A.{|}x x x <->22或B. {|}x x -<<11C. {|}x x -<<22D. {|}x x x <->11或 3. 若函数)1,0)(1(log )(≠>+=a a x x f a 的定义域和值域都是[0，1]，则a=（）(A)31(B) 2 (C)22(D)24．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ ( )（A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）195．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ( )A 30°B 60°C 1D 150° 6．将函数x y 4sin =的图象向右平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，则ϕ等于( ) A ．12π-B ．3π-C ．3π D ．12π 7．已知i ， j 为互相垂直的单位向量，a = i – 2j ， b = i + λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 ( )A ．),(21∞+B ．),2()2,(21-⋃--∞C ．),(),2(3232∞+⋃-D ．),(21-∞8．已知函数2sin1()log (65)f x x x =-+在(,)a +∞上是减函数，则实数a 的取值范围为（）A . （5，+∞）B . （3，+∞）C . （-∞，3）D . [5,)+∞9．如果)(x f 满足))(()1(R x x f x f ∈-=+，且当11≤≤-x 时，3)(2+=x x f ，则当)](12,12[Z n n n x ∈+-∈时，函数的表达式是（）A ． 14422++-n nx x B ．34422+++n nx x C ． 34422++-n nx x D ．14422+++n nx x10．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ，则a =（）A.4B.2C.-2D.-4 11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0 x 时，f (x )=x)(21，设f (x )的反函数为)(1x f -，则)8()0(11--+ff的值为（）A ．2B 。

答案_3数学

时， ᇺ
ȁ;
③当
,即
,
时， ᇺ ᇺ
，
,所以
7,所以
7;
综上所述：
或
7.
（第 3 问用分离参数酌情给分ᇺ 上单调递增
证明：设
ᇺ
ȁ
ᇺ
ᇺ
ᇺ
ᇺ
………………12 分
………………1 分
ᇺ
ᇺ
ᇺ
ᇺ
因为
ᇺ
由定义得：函数
ȁ 所以
ȁ
ᇺ
在区间鋠 ᇺ 上单调递增.
ᇺ ………………3 分
②当鋠
即鋠 7, 鋠时，鋠
ȁ 鋠 ȁ 所以鋠无解;
综上所述：鋠 ȁ .
（如果用分离变量需要通过证明单调性求最值）
（3）方程因为函数得到
.得到
ᇺ
ᇺ
在区间鋠 ᇺ 上单调递增，所以
（）化简得：
所以
,或 ȁ
. ……………7 分
，（）
. ……………12 分
2020-2021 学年第一学期高一年级期中考试
一、单项选择题
数学试题参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
A
C
C
A
D
A
二、多项选择题
9 CD 三、填空题 13. ᇺ . 鋠四、解答题 17.（10 分）解:选①
) B=
10 BC
14.12
15.
ȁ
ᇺ
ᇺ ᇺ．
11 ABD
鋠ᇺ ᇺ࢞ 鋠
鋠
鋠
鋠ᇺ ࢞ ȁ鋠
12 ABD
ᇺ
ᇺᇺ
ᇺ
.

福建省永安市第一中学2021届高三数学上学期期中试题文.doc

福建省永安市第一中学2021届高三数学上学期期中试题文（考试时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}23,,3,1,0,2,3,4A x x x z B =-≤<∈=--，则AB =A. {}1,0,2,3-B. {}1,0,2-C. {}1,2,3-D. {}0,2,3 2．已知复数1(2iz i i i+=--为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 A. 2155i - B. 2155i + C. 1255i - D. 1255i +3．若向量)1,3(),2,0(=-=n m ，则与n m +2共线的向量可以是A.（3，-1）B.（-1，3）C.（-3，-1）D.（3-1-，） 4．已知命题1:1,:1p x q x><，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件5．设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+221342y x y x y x ，则目标函数z x y =+A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最小值-1，最大值3D.既无最小值，也无最大值6．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2222()2a c ac b +-=，则sin B ＝A.14B.12 C.154D. 34 7．将函数()2cos()6f x x π=+图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的图象的一个对称中心是A ．(,0)6πB ．11(,0)12πC ．(,0)12πD ．5(,0)12π8．已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =，在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数、十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如219a =，则 ()129I a =，()921D a =），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为A ．792B ．693C ．594D ．4959．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A. 38π- B. 328π-C. 348π- D.π28- 10．已知定义域为R 的函数)(x f 恒满足0)()(=--x f x f 且当0≥x 时，x x x f --=2)(，设 )2.0(log ),3(),3(32.02.1f c f b f a ==-=-，则A.c a b >>B. a b c >>C. c a b >>D. a c b >> 11．已知数列{}n a 的首项135a =，且满足121(2)n n a a n n --=-≥，则na n的最小值为 A ．234 B ．595 C ．353D ．12 12．已知函数()()()2111x x x f x ex ->-⎧⎪=⎨≤-⎪⎩，若()(),a b f a f b <=，则实数2a b -的取值范围是A. 1,1e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. 1,2e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D. 1,2e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13．已知向量a 与b 的方向相反，2||,1||==b a ，则=-|2|b a . 14．已知0cos sin =-αα，则cos(2)2πα+= .15．各项均为正数的等比数列{}n a 的公比2311,,,2q a a a 1≠成等差数列，则34262645a a a a a a a a ++= .16．在三棱锥V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AC ==，120VAC ∠=︒，BA BC ⊥ 则三棱锥V ABC -的外接球的表面积是___ ___.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 中，23a = ，4618a a +=.(1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：12n n b b +=，并且15b a =，试求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（12分）已知函数)0)(2sin(sin 3sin)(2>++=ωπωωωx x x x fπ的最小正周期为(1）求);(x f (2）当)(,]2,12[x f x 求函数时ππ-∈的值域.19．（12分）在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，1DE =，7EC =，2EA =，23ADC π∠=，3BEC π∠=．(1)求sin CED ∠的值； (2)求BE 的长．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，112AB CD ==，E 为PC 中点．（1）证明：BE ∥平面PAD ；（2）若PBC △是边长为2的正三角形，AB ⊥平面PBC ，求点E 到平面PAD 的距离． 21．（12分）设)1(1ln )(>-=x x xx f (1)判断函数)(x f 的单调性；(2)是否存在实数a ,使得关于x 的不等式)1(ln -<x a x 在(1，∞+)上恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，试说明理由.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为112x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. (1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2）若点P 的直角坐标为()1,0，曲线C 与直线l 交于,A B 两点，求PA PB +的值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数() 1.f x x =-(1）解关于x 的不等式()210f x x +->(2）若()()()4,g x x m f x g x =-++<的解集非空，求实数m 的取值范围.参考答案二、填空题：13．5； 14．－1； 15．12； 16．16π. 三、解答题：17．解：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意得：113,2818,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：112a d =⎧⎨=⎩， ………………………………………5分 {}n a ∴的通项公式为21n a n =- ……………………………………………………6分(Ⅱ） 12n n b b +=，159b a =={}n b ∴是首项为9公比为2的等比数列 ………………………………9分 9(12)12n n S ⨯-∴-＝＝929n ⨯- ………………………………12分18．解：（1）x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=.21)62sin(212cos 212sin 23+-=+-=πωωωx x x ……………………3分 ,0,)(>ωπ且的最小正周期为函数x f .1,22==∴ωπωπ解得…………4分.21)62sin()(+-=∴πx x f ……………………………………5分(2）].65,3[62],2,12[πππππ-∈-∴-∈x x……………………………………7分当3,262πππ==-x x 即时，)62sin()(π-=x x g 取最大值1 ……………9分当12,362πππ-=-=-x x 即时.23)62sin()(--=取最小值πx x g ……11分,2321)62sin(2321≤+-≤-∴πx ………………………………12分19．解：(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD·DE·cos ∠EDC ，………1分于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． …………………………………………………3分在△CDE 中，由正弦定理，得sin sin EC CDEDC CED=∠∠． …………………………4分于是，sin ∠CED＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217． …………………………………………………6分 (2)由题设知，0＜∠CED＜π3，由(1)知，cos ＝277．……………………………8分而∠AEB＝2π3－∠CED，所以cos ∠AEB ＝cos(2π3－∠CED )＝cos 2π3cos ∠CED＋sin 2π3sin ∠CED＝－12×277＋32×217＝714．……………………………………10分在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47． ……………………………………………12分20．（Ⅰ）证明：取PD 的中点F ，连结,AF EF ．………1分∵E 为PC 的中点，∴EF CD ，且12EF CD =．又∵AB CD ，且12AB CD =，∴EF AB ，且EF AB =．故四边形ABEF 为平行四边形． ∴BEAF ．………………3分又BE ⊄平面BEP ，AF ⊂平面BEP ，∴BE ∥平面PAD ． ………………5分（Ⅱ）∵AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PB ，由于1AB =，2PB =∴5PA =∵AB ∥CD ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PC由于2CD =，2PC =，∴22PD =在直角梯形ABCD 中，1AB =，2BC =，2CD =， ∴5AD =，∴()()221225262APDS =⋅⋅-=△………………………………………………8分取BC 的中点G ，连结PG ，则PG ⊥BC ，且3PG =∵AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PG ，∴PG ⊥平面ABCD ．又1112122ABD S AB BC =⋅=⋅⋅=△∴1131333P BAD ABD V S PG =⋅=⋅⋅=－△………………………………………………10分设点B 到平面PAD 的距离为h ，∵BE ∥平面PAD ∴E PAD B PAD P BAD V V V ==－－－∴1133APD ABD S h S PG ⋅⋅=⋅⋅△△， ∴3226ABD APD S PG h S ⋅===△△ ∴点E 到平面PAD 的距离为22．………………………………………………12分 21．解：(1)∵)1(,1ln )(>-=x x x x f ∴2)1(ln 11)(---='x xx x f ， ……………………1分设)1(,ln 11)(≥--=x x xx g .∴0111)(22≤-=-='xxx x x g ，∴)(x g y =在)[∞+,1上为减函数．………3分∴0)1(ln 11)(=≤--=g x xx g ，∴0)1(ln 11)(2<---='x xx x f ………………4分 ∴函数1ln )(-=x xx f 在),1(+∞上为减函数． …………………………………5分(2))1(ln -<x a x 在),1(+∞上恒成立0)1(ln <--⇔x a x 在),1(+∞上恒成立，设)1(ln )(--=x a x x h ，∴a xx h -='1)(，且有0)1(=h若0≤a ，显然不满足条件， …………………………………7分若1≥a ，则)[∞+∈,1x 时，01)(≤-='a xx h 恒成立，∴)1(ln )(--=x a x x h 在)[∞+,1上为减函数 ∴0)1()1(ln =<--h x a x 在),0(+∞上恒成立，∴)1(ln -<x a x 在),1(+∞上恒成立， …………………………………9分若10<<a ，则01)(=-='a x x h 时，∴a x 1=， )⎢⎣⎡∈a x 1,1时0)(≥'x h ，∴)1(ln )(--=x a x x h 在1[1,)a上为增函数，当1[1,)x a∈时， )1(ln )(--=x a x x h >0,不能使)1(ln -<x a x 在(1，∞+)上恒成立， …………………………11分 ∴1a ≥ ………………………………………………12分22.解：(Ⅰ）直线l 的普通方程为：330x y +-= …………………………2分曲线C 的直角坐标方程为： ()2239x y -+=…………………………5分(Ⅱ）把直线的参数方程11232x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的方程化简得：2250t t +-= ………………………………8分∴122t t +=-，125t t =-<0∴∣P A ∣+∣PB ∣=12t t +=12t t - =()212124t t t t +-=26 ………10分23. 解：（Ⅰ）由题意原不等式可化为：即：由得由得………………………………4分综上原不等式的解为………………………………5分(Ⅱ）原不等式等价于14x x m -++<的解集非空令()14h x x x =-++，即()()min14h x x x m =-++<∴即()min 5h x =，…9分m ．…………………………………………………………10分∴5。

福建省永安市第一中学2020届高三上学期期中考试(理数)

福建省永安市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（理科）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知sin cos x x +=cos 2=2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭（）A ．725B ．725-C ．45D ．45-2．已知0.61.2 1.22,log2.4,log3.6x y z ===，则（） A ．x y z <<B ．x z y <<C ．z x y <<D ．y x z <<3．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程，曾经经历过的两仪数量总和，是中国数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8，12,18,24,32,40,50…，则此数列的第20项为 ( ) A.220B.200C.180D.1624．将余弦函数的图象向右平移2π个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()f x 的图象，下列关于()f x 的叙述正确的是（）A ．最大值为1，且关于3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．周期为π，关于直线2x π=对称C ．在,68ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，且为奇函数 D ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数 5．设0sin a xdx π=⎰，则二项式51ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的所有项系数和为（）A.1B.3C.243D.10246．在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆和以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为（）A ．12B ．2πC ．12π- D ．22π-7．函数2ln x x y x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．在ABC △中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是（） A.12 B.11 C.10 D.99．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为1AA ，BC ，11C D 的中点，现有下面三个结论：①EFG ∆为正三角形；②异面直线1A G 与1C F 所成角为60︒；③//AC 平面EFG .其中所有正确结论的编号是（）A ．①B ．①②C ．①③D ．②③10．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．2-B ．2log 3C ．3D ．2log 5-11．若三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，且三棱锥P ABC -的体积为3，则球O 的体积为( )A ．3B ．3C ．3D ．12．已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的x ∈R 都有'()4f x x >，且1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭.当[0,2]απ∈时，不等式(sin )cos 210f αα+->的解集为（）A ．711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（共4小题，每天小题5分，共20分）13．复数z 满足342z i ++=，则z z ⋅的最大值是14．已知平面向量1a =，2b =，223a b +=，则a 在b 方向上的射影为_____．15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，()1*23n n a n N -=⋅∈，若11n n n n a b S S ++=，则12n b b b +++=__________．16．已知函数2,[0,1]()e ,(1,3]x x x f x x -∈⎧=⎨∈⎩，若存在实数12,x x 满足3021≤<≤x x ，且()()12f x f x =，则212x x -的最大值为______.三、解答题（共6小题，12+12+12+12+12+10=70分）17．ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若222sin sin 3sin A B C-=，sin A ，且0BA AC ⋅>.（1）求sin sin BC；（2）若2a =，求ABC ∆的面积.18．在数列{}n a 中，13a =，()*1222,n n a a n n n N -=+-≥∈且（1）求2a 和3a 的值；（2）证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S .19.如图①，正方形ABCD 的边长为4，12AB AE BF EF ===，AB EF ，把四边形ABCD 沿AB 折起，使得AD ⊥平面AEFB ，G 是EF 的中点，如图② （1）求证：AG ⊥平面BCE ；（2）求二面角C AE F --的余弦值.20．武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为12，游客之间选择意愿相互独立. （1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望；（2）（i ）若从游客中随机抽取m 人，记总分恰为m 分的概率为m A ，求数列{}m A 的前10项和；（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，探讨n B 与1n B -之间的关系，并求数列{}n B 的通项公式.21．已知函数()21cos 14f x x x =+-. （1）证明：,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()0f x ≤成立；（2）判断()y f x =的零点个数，并给出证明过程.22．在直角坐标系xOy 中，曲线12cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2:4cos 2sin 0C ρθθ+-=.（I ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）若曲线1C 与2C 交于,A B 两点（A 在B 的上方），点()1,0P -，求22PA PB -的值.数学（理科）参考答案一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知sin cos x x +=cos 2=2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭（ B ）A ．725B ．725-C ．45D ．45-2．已知0.61.2 1.22,log2.4,log3.6x y z ===，则（ A ） A ．x y z <<B ．x z y <<C ．z x y <<D ．y x z <<3．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程，曾经经历过的两仪数量总和，是中国数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8，12,18,24,32,40,50…，则此数列的第20项为 ( ) A.220B .200C.180D.1624．将余弦函数的图象向右平移2π个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()f x 的图象，下列关于()f x 的叙述正确的是（）A ．最大值为1，且关于3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．周期为π，关于直线2x π=对称C ．在,68ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且为奇函数D ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数 5．设0sin a xdx π=⎰，则二项式51ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的所有项系数和为（）A.1B.3C .243 D.10246．在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆和以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为（）A ．12B ．2πC ．12π- D ．22π-7．函数2ln x x y x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．在ABC △中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A .12 B.11 C.10 D.99．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为1AA ，BC ，11C D 的中点，现有下面三个结论：①EFG ∆为正三角形；②异面直线1A G 与1C F 所成角为60︒；③//AC 平面EFG .其中所有正确结论的编号是（）A ．①B ．①②C ．①③D ．②③10．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．2-B ．2log 3C ．3D ．2log 5-11．若三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，且三棱锥P ABC -的体积为3，则球O 的体积为( )A ．3B ．3C ．3D ．12．已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的x ∈R 都有'()4f x x >，且1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.当[0,2]απ∈时，不等式(sin )cos 210f αα+->的解集为（）A ．711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、填空题（共4小题，每天小题5分，共20分）13．复数z 满足342z i ++=，则z z ⋅的最大值是 4914．已知平面向量1a =，2b =，223a b +=，则a 在b 方向上的射影为___21__． 15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，()1*23n n a n N -=⋅∈，若11n n n n a b S S ++=，则12n b b b +++=__________．【答案】111231n +-- 16．已知函数2,[0,1]()e ,(1,3]x x x f x x -∈⎧=⎨∈⎩，若存在实数12,x x 满足3021≤<≤x x ，且()()12f x f x =，则212x x -的最大值为______.【答案】1ln2-画出()f x 的图象可得212x <≤，因为()()12f x f x =，所以221e x x -=，所以2221222e x x x x --=-，令()222222e ,(1,2]x g x x x -=-∈.则()22212ex g x -=-'，令()20g x '=，则22ln 2(1,2]x =-∈，当2(1,2ln 2)x ∈-时，()20g x '>；当2(2ln 2,2)x ∈-时，()20g x '<所以当22ln 2x =-时，()2g x 最大，且()2max 1ln 2g x =-. 故212x x -的最大值为1ln2-三、解答题（共6小题，12+12+12+12+12+10=70分）17．ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若222sin sin 3sin A B C -=，sin A ，且0BA AC ⋅>.（1）求sin sin BC；（2）若2a =，求ABC ∆的面积.（1）()cos cos 0BA AC BA AC A cb A π⋅=⋅-=->uu r uuu r uu r uuu rQ ，cos 0A ∴<.由同角三角函数的平方关系得1cos 3A ===-. 222sin sin 3sin A B C -=Q ，由正弦定理可得2223a b c -=.由余弦定理得2222231cos 223b c a c c c A bc bc b +--===-=-，3b c ∴=，由正弦定理边角互化思想得sin 3sin B bC c==；（2）由（1）可知3b c =，由余弦定理得2222222cos 10212a b c bc A c c c =+-=+=，2211123c a ∴==，则3c =b =由三角形面积公式可知，ABC ∆的面积为11sin 2233ABC S bc A ∆===.18．在数列{}n a 中，13a =，()*1222,n n a a n n n N -=+-≥∈且（1）求2a 和3a 的值；（2）证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 、的通项公式；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S .（1），()*1222,n n a a n n n N -=+-≥∈且，13a =21322226,23213a a a a ∴=+-==+-=.（2）11111(222)222111n n n n n n a a n a n a n a n a n n n -----++-===+-+-+-+-+∴数列{}n a n +是首项为114a +=，公比为2的等比数列， 142n n a n -∴+=⋅，11422n n n a n n -+∴=⋅-=-∴数列{}n a 的通项公式为12n n a n +=-。

福建省永安市第一中学2021届高三上学期期中考试数学试题

永安一中2020—2021学年高三上学期期中考试数学试题一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|4A x N x *=∈<，(){}|20B x x x =-≤，则集合A B 中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4B分别化简集合,A B ，然后利用交集的定义求解A B ，即可判断出A B 中的元素个数.{}{}|41,2,3*=∈<=A x N x ，{}|02B x x =≤≤，所以{}1,2A B =，所以集合A B 中元素的个数为2.故选：B.2. “2a <”是“2,1x a x ∀∈≤+R 为真命题”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 B利用恒成立问题求参数的取值范围的方法求出a 的取值范围，再由充分必要条件的定义进行判断即可.因为2,1x a x ∀∈≤+R 为真命题，又211x +≥对x R ∀∈恒成立，所以2,1x a x ∀∈≤+R 为真命题等价于1a ≤，所以“2a <”不能推出“1a ≤”，反之，“1a ≤”能推出“2a <”，所以“2a <”是“2,1x a x ∀∈≤+R 为真命题”的必要不充分条件.故选：B本题考查利用恒成立问题求参数的取值范围和充分必要条件；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握恒成立问题求参数的取值范围的方法和充分必要条件的判断是求解本题的关键；属于中档题.3. 在ABC 中，若3,120AB BC C ==∠=，则AC = A. 1 B. 2C. 3D. 4A余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.4. 设()1sin f x x =，()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n N ∈，则()2020f x =（） A. sin x B. sin x -C. cos xD. cos x -D利用求导的公式计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x …，可得函数()n f x 的周期为4，利用周期计算即可.由题意，()1sin f x x =，()()21cos '==f x f x x ，()()32sin '==-f x f x x ，()()43cos '==-f x f x x ，()()54sin '==f x f x x ，…，所以可得函数()n f x 的周期为4，即()()4,+=∈n n f x f x x N ，所以()()20204cos ==-f x f x x .故选：D. 5. 已知(),0,x y ∈+∞，4124yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则xy 的最大值为（） A. 2 B.98C.32D.94A 根据4124yx -⎛⎫= ⎪⎝⎭可得24x y +=，之后利用基本不等式得到2112(2)()2222x y xy x y +=⋅≤=，从而求得结果.因为(),0,x y ∈+∞，且421224yx y --⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以42x y ，即24x y +=，所以有2112(2)()2222x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当22x y ==时取得最大值2，故选：A.该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求积的最大值，属于简单题目.6. 数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（）A. 153B. 190C. 231D. 276B细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形可知，1111a ==⨯，2623a ==⨯，31535a ，452847,4559a a ==⨯==⨯，⋅⋅⋅，()21n a n n =-，据此即可求解.由题意知，数列{}n a 的各项为1，6，15，28，45，... 所以1111a ==⨯，2623a ==⨯，31535a ，452847,4559a a ==⨯==⨯，⋅⋅⋅，()21n a n n =-，所以101019190a =⨯=.故选：B本题考查合情推理中的归纳推理；考查逻辑推理能力；观察分析、寻求规律是求解本题的关键；属于中档题、探索型试题.7. 已知3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A. 45-B.35C.35D.45C利用三角函数的诱导公式，化简得sin cos cos 3326ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可求解.由三角函数的诱导公式，可得3sin cos cos 33265ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C. 8. 已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =A. 43-B.2332 C. 34D. 38-A利用周期性和奇函数的性质可得，()()()222log 12log 1244log 12f f f =-=--，再根据指数运算和对数运算即可求得结果.由题意()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数，由23log 124<<，则21log 1240-<-<，即204log 121<-<，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2244log 12222log 1224log 12log 1244log 12223f f f -=-=--=-=-=-，故选A.本题主要考查对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题. 二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有2个选项符合题目要求作出的选择中，不选或含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得3分，正确选项全部选出的得5分. 9. 下列说法正确的是（）A. 回归直线一定经过样本点的中心(),x yB. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r 的值越接近于1C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高D. 在线性回归模型中，相关指数2R 越接近于1，说明回归模型的拟合效果越好 ACD对于选项A ：由回归直线恒过样本中心点，不一定经过每个样本点即可判断；对于选项B ：由相关系数的绝对值越趋近于1，相关性越强即可判断；对于选项C ：由在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高即可判断；对于选项D ：由在线性回归模型中，相关指数2R 越接近于1，说明线性回归模型的拟合效果越好即可判断.对于选项A ：因为回归直线恒过样本中心点(),x y ，不一定经过每个样本点，故选项A 正确；对于选项B ：由相关系数的绝对值越趋近于1，相关性越强可知，若两个变量负相关，其相关性越强，则线性相关系数r 的值越接近于1-，故选项B 错误；对于选项C ：因为在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故选项C 正确；对于选项D ：因为在线性回归模型中，相关指数2R 越接近于1，说明线性回归模型的拟合效果越好，故选项D 正确；故选：ACD本题考查线性回归方程的特点、两个变量相关性和相关系数之间的关系和利用残差图和相关指数判断模型的拟合效果；熟练掌握回归分析的有关知识是求解本题的关键；属于基础题. 10. 设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（） A. 0d < B. 90a =C. 117S S >D. 8S 、9S 均为n S 的最大值 ABD利用结论：2n ≥时，1n n n a s s -=-，结合题意易推出89100,0,0a a a >=<，然后逐一分析各选项. 解：由78S S <得12377812a a a a a a a a +++⋯+<++⋯++，即80a >，又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++， 90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>，由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：ABD.本题考查了等差数列的前n 项和公式和n S 的最值问题，熟练应用公式是解题的关键.11. 将函数()2cos 2f x x x =-的图像向左平移6π个单位后，得到函数()g x 的图像，则下列结论正确的是（） A. ()2sin 2g x x = B. ()g x 最小正周期为πC. ()g x 的图象关于3x π=-对称D. ()g x 在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增BCD由题意，利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．将函数()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后，得到函数()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，对A ，函数()2sin 2g x x =，故A 错误；对B ，最小正周期为22ππ=，故B 正确；对C ，当3x π=-，求得()2g x =-为最小值，故()g x 的图象关于直线3x π=-对称，故C 正确；在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，2,,()2sin 26626x g x x ππππ⎡⎤⎛⎫+∈-=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭单调递增，故D 正确，故选：BCD ．本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．12. 对于函数()()216ln 110f x x x x =++-，下列正确的是（）A. 3x =是函数()f x 的一个极值点B. ()f x 的单调增区间是()1,1-，()2,+∞C. ()f x 在区间()1,2上单调递减D. 直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有2个交点 AC对函数()()216ln 110f x x x x =++-求导，判断函数的单调性，极值点，进而可判断每个选项的对错.由题意，函数的定义域为()1,-+∞，()2162862(1)(3)210111-+--'=+-==+++x x x x f x x x x x，()0f x '<，得13x <<；()0f x '>，得11x -<<或3x >，所以函数()f x 的单调递减区间为()1,3，单调递增区间为()1,1-，()3,+∞，所以3x =是函数()f x 的极小值点，故A 正确，B 错误，C 正确；又因为(2)16ln316f =-，且(3)(2)(1)f f f <<，所以直线16ln316y =-与函数函数()y f x =的图象有3个交点，故D 错误.故选：AC用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.. 13. 已知522()ax x-的展开式中1x -的系数为40-，则实数a =____ 1-利用二项式定理写出522()ax x-二项展开式的通项公式，令x 的幂指数为1-，求出r 的值，利用其系数为40-得到关于a 的方程，解方程即可求解. 由二项式定理可得，522()ax x-二项展开式的通项公式为()()5553155222rrr r r r r r T C ax C a x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令531r -=-，解得2r ，所以522()ax x-的展开式中1x -的系数为()2235240C a ⋅-⋅=-，解得1a =-. 故答案为：1-本题考查利用二项式定理由二项展开式中某项的系数求参数；考查运算求解能力；利用二项式定理写出二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.14. 已知曲线3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，则0x =______. －1求出函数的导数，代入x 0求得切线的斜率，再由两直线平行的条件可得到关于x 0的方程，解方程即可得到所求值，注意检验.3y x x =-的导数为231y x '=-，即在点()00,x y 处的切线斜率为2031k x =-，由切线平行于直线220x y --=，则2k =，即20312x -=，解得01x =或1-.若01x =，则切点为(1,0)，满足直线220x y --=，不合题意. 若01x =-，则切点为(1,0)-，不满足直线220x y --=，符合题意. 故答案为1-.本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线平行的问题，属基础题.15. 从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为ξ，则数学期望()E ξ=______. 2ξ的可能值为1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. ξ的可能值为1,2,3，则()124236115C C p C ξ===；()214236325C C p C ξ⋅===；()3436135C p C ξ===. 故分布列为：ξ1 2 3p15 35 15故()1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=.故答案为：2.本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.16. 设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．(1,)+∞根据条件构造函数F （x ）()xf x e =，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e -=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x e f x f x -<-∴()()2121xx f x f x e e --＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为()1,+∞本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．四、解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设{}n a 是等差数列，110a =-，且23410,8,6a a a +++成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值. （1）212n a n =-；（2）30-（1）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出2d =，由此能求出{}n a 的通项公式．（2）由110a =-，2d =，求出n S 的表达式，然后转化求解n S 的最小值．解：（1）{}n a 是等差数列，110a =-，且210a +，38a +，46a +成等比数列．2324(8)(10)(6)a a a ∴+=++， 2(22)(43)d d d ∴-+=-+，解得2d =，1(1)1022212n a a n d n n ∴=+-=-+-=-．（2）由110a =-，2d =，得：22(1)1112110211()224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--， 5n ∴=或6n =时，n S 取最小值30-．本题考查数列的通项公式、前n 项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．18. 在①1a b +=+②sin 2c A =，③3b =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，__________，且sinB A =，6C π=？注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．答案见解析.由条件可得b =，若选①，则可求出边,a b ，再用余弦定理可求解；若选②，由正弦定理可得2asinC =，结合条件可得出a 边，由条件sinB A =进一步得出b ，再用余弦定理可求解；若选③，即=c ．由sin B A =，b =，由余弦定理可得2253a a =-，故不成立.解：选①：∵sin B A =∴b =．∴1a b +=+1a =，b = ∵2222cos c a b ab C =+-，6C π=∴1c =．符合a c b +>，故存在满足条件的ABC ．选②：由正弦定理sin sin a cA C=,则 sin c sinA a C ⋅=⋅ ∵2c sinA ⋅=，∴2asinC =． ∵6C π=∴4a =．∵sin B A =，∴b =，∴b ⋅=由2222cos 16482416c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，解得：4c =．符合a c b +>，故存在满足条件的ABC ．选③：∵33b c =，∴3=c b ． ∵sin 3sin B A =∴3b a =．∵2222cos a b c ab C +-=，∴2223923cos 6a a a a a π+-=⋅．得2253a a =-，不成立．故不存在满足条件的ABC ．角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．属于中档题. 19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（1）2nn a =（2）12n n T n +=⋅试题分析：（1）本题考察的是求数列的通项公式，根据所给条件先求出首项，然后仿写1n S -，作差即可得到{}n a 的通项公式（2）根据（1）求出{}n b 的通项公式，观察是由一个等差数列乘以一个等比数列得到，要求其前n 项和，需采用错位相减法，即可求出前n 项和n T ．试题解析：（1）当1n =时，12a =，当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=--- 即：12nn a a -=，数列{}n a 为以2为公比的等比数列 2n n a ∴=（2）()122log 212n n nn b n +=⋅=+()212232212n n n T n n -=⨯+⨯+⋯+⋅++()23122232212n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+⋅++ 两式相减，得()23114222122n n n n T n n ++-=+++⋯+-+=-⋅12n n T n +∴=⋅考点：求数列的通项和前n 项和20. 平面四边形ABCD 中，边BC 上有一点E ，∠ADC =120°，AD =3，2sin 3ECD ∠=，3DE =，33CE =（1）求AE 的长：（2）已知∠ABC =60°求△ABE 面积的最大值. （1）AE 23=（2）33（1）在CED 中利用正弦定理可得sin CDE ∠，根据边角关系可得CDE ∠，进而可得90ADE ∠=︒，利用勾股定理计算即可；（2）先利用余弦定理算出12AB BE ⋅≤，再通过三角形面积公式计算即可. （1）在CED 中由正弦定理可得sin sin DE CEECD CDE=∠∠，即33342sin 3CDE =∠， 1sin ,2CDE ∴∠=因为CE DE <，所以CDE ∠是锐角，故30∠=︒CDE ，又∠ADC =120°90ADE ∴∠=︒，在直角三角形ADE 中，22223312,AE AD DE AE =+=+==（2）在ABE △中，60AE ABC =∠=︒，由余弦定理可得：222222cos 60,12AE AB BE AB BE AB BE AB BE =+-⋅︒=+-⋅，因为222,122,AB BE AB BE AB BE AB BE +≥⋅∴⋅+≥⋅12AB BE ∴⋅≤，当且仅当AB BE ==时等号成立，从而，1sin 6024ABESAB BE AB BE =⋅︒=⋅≤. 所以△ABE面积的最大值为本题考查正弦定理，余弦定理解三角形，考查面积公式的应用，是中档题.21. 某销售公司在当地A 、B 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A 、B 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X 表示这两家超市每日共销售食品件数，n 表示销售公司每日共需购进食品的件数. （1）求X的分布列；（2）以销售食品利润的期望为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选哪个？ (1)见解析；(2) 19n =.（1）由已知一家超市销售食品件数8,9,10,11，得X 取值为16,17,18,19,20,21，22，求出相应的概率即可；（2）分别列出n=19，n=20的分布列，求出相应的期望，比较即可.（1）由已知一家超市销售食品件数8,9,10,11的概率分别为12115555，，， .X 取值为16,17,18,19,20,21,22.()111165525P X ==⨯=，()1241725525P X ==⨯⨯=；()22116182555525P X ==⨯+⨯⨯=； ()121161922555525P X ==⨯⨯+⨯⨯=；()11215202555525P X ==⨯+⨯⨯=； ()1122125525P X ==⨯⨯=()111225525P X ==⨯=所以X 的分布列为（2）当19n =时，记1Y 为A B ，销售该食品利润，则1Y 的分布列为()11466521145016001750190019502000205025252525252525E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1822= 当20n =时，记2Y 为,A B 销售该食品利润，则2Y 的分布列为()21466521140015501700185020002050210025252525252525E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1804= 因为()()12E Y E Y > ，故应选19n =.本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，运用统计的知识解决实际问题，属于基础题.22. 已知函数()()22ln 2f x ax a x x =-+-+，其中a R ∈.（1）当4a =时，求函数()f x 的极值；（2）若02a <<，试讨论函数()f x 在()1,e 上的零点个数. （1）当12x =时，函数取得极大值16ln 22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当1x =时，函数取得极小值()14f =；（2）当()201a e e <<-时，()f x 在()1,e 上有唯一零点，当()221a e e >≥-时，()f x 在()1,e 上没有零点．（1）把4a =代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．【详解】（1）当4a =时，()246ln 2f x x x x =--+，()()()222211624x x f x x x x --=-+='，0x >，令()0f x '>得10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,+∞，()0f x '<得1,12⎛⎫⎪⎝⎭所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增所以当12x =时，函数取得极大值16ln 22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当1x =时，函数取得极小值()14f =，（2）()()()222122ax x a f x a x x x--+-+='=，令()0f x '=得12x a =或21x = 因为02a <<，所以21>a，所以当 2e a ≥，即20a e<≤时，()f x 在()1,e 上单调递减，若函数()f x 有零点，则()()1020f a f e ae a e ⎧=>⎪⎨=--<⎪⎩，解得：()201a e e <<-，若函数()f x 无零点，则()20f e ae a e=--≥，即()221a e e e ≥≥- 当21e a <<时，即22a e <<时，()f x 在21,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在2,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，由于()10f a =>，()()()22241120f e a e e e e e e=-->--=->，令()()()()2ln 1l 222n 242ln n 222l g a f a a a a a a a +-+⎛⎫==-+-+= -⎝+⎪⎭，令()()2ln ln 2h a g a a a ==+-'，则()220a h a a-'=<，所以()h a 在2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，()()210h a h >=>，即()'0g a >，所以()g a 在2,2e ⎛⎫⎪⎝⎭上递增， ()2420g a g e e ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，即20f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 在()1,e 上没有零点，综上，当()201a e e <<-时，()f x 在()1,e 上有唯一零点，当()221a e e >≥-时，()f x 在()1,e 上没有零点．本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题．。

【试卷】福建省永安市第一中学2021届高三上学期第一次月考数学试题(含答案)

永安一中2020—2021学年下学期第一次月考高三数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{24}A x x =-<<∣，{lg(2)}B x y x ==-∣，则()R A C B ⋂=（）A ．(2,4)B ．(2,2]-C ．(2,2)-D ．(2,4)-2．已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数3．函数()ln 26f x x x =+-的零点0x 所在区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．已知函数2()42f x x ax =++在区间(,6)-∞上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．[3,)+∞B ．(,3]-∞C ．(,3)-∞-D ．(,3]-∞-5．已知1275a -⎛⎫=⎪⎝⎭，1357b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．b a c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<6．设,x y R +∈，且191x y+=，则x y +的最小值为（） A ．6B ．12C ．14D ．167．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为12，13，14，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是（） A ．2324B ．524C ．1124D ．1248．函数()()33lg ||x xf x x -=+⋅的图象大致为（）ABCD二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有2个选项符合题目要求．作出的选择中，不选或含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得3分，正确选项全部选出的得5分．9．下列四个命题正确的是（）A ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a =，则0ab ≠”B ．若命题:p x R ∃∈，210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，210x x ++≥ C ．若命题“¬p ”与命题“p 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题 D ．命题“若01a <<，则1log (1)log 1a a a a ⎛⎫+<+⎪⎝⎭”是真命题 10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当(2,3)x ∈时，()|25|f x x =-，则下列结论正确的有（） A ．函数()f x 的周期为2 B ．函数()f x 在区间(1,0)-上单调递增 C ．( 2.5)0f -=D ．(2021.2)0.6f =-11．已知函数()2cos cos )1f x x x x =+-，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期2T π=B ．函数()f x 的最小正周期T π=C ．函数()f x 关于,012π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称 D ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，则关于()f x ，下列说法正确的是（） A ．x R ∀∈，(())1f f x = B ．函数()f x 是奇函数C ．任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立D ．存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33,C x f x ，使得ABC 为等边三角形第Ⅱ卷（非选择题 90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数sin[(1)],0()2,0xx x f x x π-≥⎧=⎨<⎩，则12log 4f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．14．若函数()y f x =，的定义域是[0,4]，则函数()g x =________． 15．现有3位男学生3位女学生排成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同的排法种数是________．（用数字作答）16．已知函数24,0()1log |1|,0a x a x f x x x ⎧+>=⎨+-≤⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递增，且关于x 的方程|()|3f x x =+恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________．四、解答题：本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）计算下列各式的值：（1）122231832(9.6)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）7log 23log lg 25lg 47+++． 18．（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数()(1)xxf x a k a -=--（0a >且1a ≠）是奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若(1)0f <，判断函数单调性，并求不等式()2(4)0f x tx f x ++-<恒成立时t 的取值范围；19．（本小题满分12分）将函数3sin 2y x =的图像向左平移6π个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到()f x 的图像．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若对于任意的,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式|()|3f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围． 20．（本小题满分12分）某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X 服从正态分布()2,12.2Nμ，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算μ，并计算测量数据落在(187.8,212.2)内的概率；（3）设生产成本为y 元，质量指标值为x ，生产成本与质量指标值之间满足函数关系0.4,2050.8100,205x x y x x ≤⎧=⎨->⎩假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产疫苗的平均成本．参考数据：()2,X Nμσ~，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈．21．（本小题满分12分）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知满足(2)cos cos a c B b C -=．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，求ABC 的面积的取值范围． 22．（本小题满分12分）已知函数221()(1)4f x x ax a =-+--，a R ∈，函数()ln g x x =．（1）若()f x 的最大值为0，记21log lg 10m a =⋅，求()g m 的值；（2）当1a <时，讨论函数()()|()()|()2f xg x f x g xh x ++-=的零点个数．永安一中2020—2021学年下学期第一次月考高三数学参考答案一、单选题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B ACDCDCDBCACDBCDACD三、填空题 13．22-14．(1,2] 15．7216．1313,4416⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭四、解答题17．（1）原式1232239231432⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭122223221233⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31122=-=．（2）原式31424333log lg(254)2log 3lg1023-=+⨯+=++1152244=-++=．18．解：（1）()f x 是定义域为R 的奇函数，00(0)(1)1(1)0f a k a k ∴=--=--=，2k ∴=．（2）()xxf x a a-=-（0a >且1a ≠），(1)0f <，10a a∴-<，又0a >，且1a ≠，01a ∴<<，而xy a =在R 上单调递减，xy a -=在R 上单调递增，故判断()xxf x a a-=-在R 上单调递减，不等式化为()2(4)f x tx f x +<-，24x tx x ∴+>-，2(1)40x t x ∴+-+>恒成立，2Δ(1)160t ∴=--<，解得35t -<<．19．（1）函数3sin 2y x =的图像向左平移6π个单位长度可得3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后将3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得()3sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令22232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，即52,266x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故()f x 的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，（2）因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以5636x πππ-≤+≤，所以函数()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，此时32x ππ+=，即6x π=，最小值为32-，此时36x ππ+=-，即2x π=-．对于任意的,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式|()|3f x m -<恒成立，即3()3m f x m -<<+恒成立，max min ()3()3f x m f x m <+⎧⎨>-⎩，所以33332m m <+⎧⎪⎨->-⎪⎩，302m <<，故实数m 的取值范围为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．20．解：（1）由10(0.0090.0220.0330.0240.008)1a a ⨯++++++=，解得0.002a =．（2）依题意，1700.021800.091900.222000.332100.24μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+2200.082300.02200⨯+⨯=，故()2200,12.2X N ~，所以(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6827P X P X <<=-<<+≈．故测量数据落在(187.8,212.2)内的概率约为0.6827．（3）根据题意得0.41700.020.41800.090.41900.220.4200y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.33(0.8210100)0.24(0.8220100)0.08(0.8230100)0.02+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯75.04=故生产该疫苗的平均成本为75.04．21．（1）(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B C B B C B C A ∴=+=+=， (0,)A π∈，sin 0A ∴≠，1cos 2B ∴=，(0,)B π∈，3B π∴=．（2）由正弦定理得：sin sin b A a B =，a A ∴==，同理：3c C =，11sin sin 223323ABCSac B A C A C ∴==⨯⨯⨯=21sin sin sin 32C C C C C π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112cos244C C ⎫=-+⎪⎝⎭1sin 262C π⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 203C π<<，72666C πππ∴-<-<， 1sin 2126C π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭，10sin 2362C π⎫⎛⎫∴<-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ABC ∴的面积的取值范围为：．22．（1）函数22211()(1)4224a a f x x ax a x ⎛⎫=-+--=--+- ⎪⎝⎭的最大值为0，1024a ∴-=，解得12a =， 2221111log lg log lg log 10lg 2lg 2110102lg 2m a ∴=⋅=⋅=⋅==， ()(1)0g m g ∴==．（2）(),()()()()|()()|()(),()()2f x f x g x f x g x f x g x h x g x f x g x <⎧++-==⎨<⎩， ①(1)0g =，∴1为()g x 的一个零点，21(1)1(1)4f a a =---，1a <，(1)0f ∴<，(1)(1)0h g ∴==，即1为()h x 的零点．②当1x >时，()0g x >，()()0h x g x ≥>，()h x ∴在(1,)∞+上无零点．③当01x <<时，()0g x <，()g x 在(0,1)上无零点，()h x ∴在(0,1)上的零点个数是()f x 在(0,1)上的零点个数，21(0)(1)04f a =--<，21(1)1(1)04f a a =---<，Δ21a =-，（i ）当210a -<，即12a <时，函数()f x 无零点，即()h x 在(0,1)上无零点．（ii ）当210a -=，即12a =时，函数()f x 的零点为14，即()h x 在(0,1)有零点14．（iii ）当210a ->，即112a <<时，21024a a f -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，函数()f x 在(0,1)上有两个零点，即函数()h x 在(0,1)上有两个零点．综上所述，当12a <时，()h x 有1个零点，当12a =时，()h x 有2个零点．当112a <<时，()h x 有3个零点．。