Newton迭代法求解非线性方程

Newton迭代法求解非
线性方程
一、 Newton 迭代法概述
构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。

因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。

牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。

设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即：
)x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1)
于是我们得到如下近似方程：
0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2)
设0)('≠k x f ，则方程的解为：
x ̅=x k +f (x k )
f (x k )́
(1-3)
取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： )
x ('f )
x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,…
(1-4)
上式称为牛顿迭代格式。

用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。

牛顿法具有明显的几何意义。

方程：
)x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5)
是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。

迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。

正因为如此，牛顿法也称为切线法。

牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。

一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x 时才能保证收敛。

若
要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。

如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：
)
x ('f )
x (f x x k k k 1k λ
-=+,
⋯=,2,1,0k (1-6)
上式中，10<λ<，称为下山因子。

因此，用这种方法求方程的根，也称为牛顿下山法。

牛顿法对单根收敛速度快，但每迭代一次，除需计算)x (f k 之外，还要计算
)x ('f k 的值。

如果)x (f 比较复杂，计算)x ('f k 的工作量就可能比较大。

为了避免计算导数值，我们可用差商来代替导数。

通常用如下几种方法： 1. 割线法 如果用
1
k k 1k k x x )
x (f )x (f ----代替)x ('f k ，则得到割线法的迭代格式为：
)x (f )
x (f )x (f x x x x k 1k k 1
k k k 1k --+---=
(1-7) 2. 拟牛顿法 如果用
)
x (f ))
x (f x (f )x (f k 1k k k ---代替)x ('f k ，则得到拟牛顿法的迭代格式为：
))
x (f x (f )x (f )
x (f x x 1k k k k 2k 1k -+---
= (1-8)
3. Steffenson 法 如果用
)
x (f )
x (f ))x (f x (f k k k k -+代替)x ('f k ，则得到拟牛顿法的迭代格式为：
)
x (f ))x (f x (f )
x (f x x k k k k 2k 1
k -+-
=+
(1-9)
二、 算法分析
1. 割线法
割线法的迭代公式为：
)x (f )
x (f )x (f x x x x k 1k k 1
k k k 1k --+---
=,k=0,1,2,…
割线法是超线性收敛，其程序流程图为：
2. 拟牛顿法
牛顿拟迭代法迭代公式为：
))
x (f x (f )x (f )
x (f x x 1k k k k 2k 1
k -+---
= (1)对单根条件下，牛顿拟迭代法平方收敛，牛顿拟迭代法程序框图如下所
示：
(2) 对重根条件下，此时
迭代公式修改为：
))
x (f x (f )x (f )
x (f m
x x 1k k k k 2k 1
k -+---=,m 为根的重数 此时，牛顿迭代法至少平方收敛。

3. Steffenson 法
Steffenson 迭代法程序流程图与牛顿拟迭代法类似。

三、 牛顿法的程序
给定初值0p ，用牛顿法格式)
p ('f )
p (f p p 1k 1k 1
k k ---=，⋯=,2,1k ，求解非线性方程
0)x (f =。

*********************************************************************
function [p1,err,k,y] = newton(f1041,df1041,p0,delta,max1) % f1041是非线性函数。

% df1041是f1041的微商。

% p0是初始值。

% delta 是给定允许误差。

% max1是迭代的最大次数。

% p1是牛顿法求得的方程的近似解。

% err 是p0的误差估计。

% k 是迭代次数。

% y = f(p1)
p0, feval('f1041',p0) for k = 1:max1
p1 = p0 - feval('f1041', p0)/feval('df1041', p0); err = abs(p1-p0); p0 = p1;
p1, err, k, y = feval('f1041', p1) if (err < delta) | (y == 0),
break, end
p1, err, k, y = feval('f1041', p1) end
*********************************************************************
四、程序实例与计算结果
例 用上述程序求方程0233=+-x x 的一个近似解，给定初值为，误差界为610-。

解：先用m 文件先定义二个名为和的函数文件。

function y = f1041(x)
y = x^3 – 3*x + 2;
function y=df1041(x)
y=3*x^2-3;
建立一个主程序 clear
newton('f1041','df1041',, 10^(-6), 18)然后在MATLAB命令窗口运行上述主程序，即： >> prog1041
计算结果如下：
p0 = ans = p1 = err = k = 1 y =
p1 = err = k = 1 y =
p1 = err = k = 2 y =
p1 = err = k = 2 y =
p1 = err = k = 3 y =
p1 = err = k = 3 y = p1 = err = k = 4 y =
p1 = err = k = 4 y =
p1 = err = k = 5 y =
p1 = err = k = 5 y =
p1 = err = k = 6 y =
p1 = err = k = 6 y =
p1 = err = k = 7 y =
p1 = err = k = 7 y =
p1 = err = k = 8 y =
p1 = err = k = 8 y =
p1 = err = k = 9 y =
p1 = err = k = 9y =
p1 = err = k = 10 y =
p1 = err = k = 10 y =
p1 = err = k = 11 y =
p1 = err = k = 11 y =
p1 = err = k = 12 y =
p1 = err = k = 12 y =
p1 = err =
k = 13 y =
p1 = err = k = 13 y =
p1 = err = k = 14 y =
p1 = err = k = 14 y =
p1 = err = k = 15 y =
p1 = err = k = 15 y = p1 = err = k = 16 y =
p1 = err = k = 16 y =
p1 = err = k = 17 y =
p1 = err = k = 17 y =
p1 = err = k = 18 y =
ans =
这说明，经过18次迭代得到满足精度要求的值。

以下
是程
序运
行截图：。