7、子空间的直和

合集下载

子空间的直和的充要条件

子空间的直和的充要条件一、引言在线性代数中，子空间是向量空间的一个重要概念。

直和则是子空间的一个重要性质。

本文将介绍子空间的直和以及充要条件。

二、子空间2.1 定义向量空间V中的非空子集U称为V的子空间，如果U对于向量加法和数乘运算也构成一个向量空间。

2.2 子空间的性质•零向量属于任意子空间•对于任意u，v属于U，u+v也属于U•对于任意k，u属于U，ku也属于U三、直和3.1 定义设V是线性空间，W1和W2是V的两个子空间。

如果满足以下两个条件，则称W1与W2的直和为V：•V = W1 + W2：即任意v属于V都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。

•W1 ∩ W2 = {0}：即W1与W2只有零向量交集。

3.2 直和的几何理解直和可以理解为两个子空间在几何上没有交集，并且它们的所有组合可以覆盖整个向量空间V。

四、充要条件子空间的直和有以下充要条件：4.1 直和的充要条件一设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当对于任意v属于V，存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2。

4.2 直和的充要条件二设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当维数公式成立：dim(V) = dim(W1) + dim(W2)。

4.3 证明充分性证明：如果存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = v1 + v2。

这说明V = W1 + W2。

另外，假设存在一个非零向量w同时属于W1与W2，则w既属于W1又属于W2，那么存在唯一的w’属于W1和w’‘属于W2，使得w = w’ + w’’。

由此可知w也可以表示为其他两个不同向量之和，与唯一性矛盾。

因此，W1与W2的交集只有零向量。

必要性证明：如果V是两个子空间W1和W2的直和，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。

《子空间的直和》课件

1 符号表示：
V = U ⊕W
2 分量表示：
任意向量v都可以分解为u+w，其中u∈U， w∈W。
7. 直和与基底的关系？
1 基底的直和：
如果U和W 有互不相同的基底，则它们的直和是由这些基底组成的。
2 基底生成子空间：
U和W 的基底加在一起构成直和空间的基底。
子空间的直和
介绍子空间及直和的课件，包括子空间的定义、直和的意义、基底与直和的关系等内容，以图文并茂的方式呈现。
1. 什么是子空间？
1 定义：
2 例子：
子空间是向量空间中的一个子集，它本身也是向量空间。
平面、直线、原点。
3 性质：
子空间必须包含零向量，对于向量的线性运算封闭。
2. 什么是直和？
1 定义：
直பைடு நூலகம்是将两个或多个子空间进行的一种运算，用于生成一个新的子空间。
2 意义：
直和使得子空间的维数相加，构成合并子空间的一个更大空间。
3. 子空间的交和和运算？
1 交：
两个子空间的交集，即同时属于两个空间的向量的集合。
2 和：
两个子空间的并集，包括两个空间中的所有向量。
4. 两个子空间的和？
1 合并维度：
两个子空间的维数之和等于它们的和空间的维数。
2 示例：
平面与直线的和值空间是三维空间。
5. 直和定理的意义？
1 定理：
若两个子空间的和值空间等于整个空间，且交集为空集，则这两个子空间是直和关系。
2 意义：
直和定理提供了一种分解向量空间的方法，便于研究子空间的性质。
6. 直和定理的表述方式？

6.7子空间的直和

§7. 子空间的直和一直和的定义引入设为线性空间V 的两个子空间，由维数公式有两种情形：此时即，必含非零向量. 此时不含非零向量，即情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和一、直和的定义设为线性空间V 的两个子空间，若和中每个向量的分解式是唯一的，和就称为直和，记作注: ① 分解式唯一的，意即 121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 12121)dim()dim dim V V V V +<+12dim()0,V V > 12V V12122)dim()dim dim V V V V +=+12dim()0,V V = 12V V {}120V V = 12,V V 12V V +12112,,V V ααααα=+∈∈12.V V ⊕12,V V a 12V V +12ααα=+若有则 ② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立. 例如，，3R 的子空间这里，在和中，向量的分解式不唯一，如所以和不是直和. 而在和中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的，事实上，对都只有唯一分解式：故是直和.二、直和的判定1、(定理8) 和是直和的充要条件是零向量分解式唯一，即若则必有证：必要性. 是直和,的分解式唯一. ,,,1212111222,V V αααββαβαβ=+=+∈∈1122,.αβαβ==11222333(,),(,),()V L V L V L εεεεε===123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===12V V +(2,2,2)(2,3,0)(0,1,2)(2,1,0)(0,1,2)=+-=+12V V+13V V +(2,2,2)(2,2,0)(0,0,2)=+12313(,,),a a a V V α∀=∈+123(,,0)(0,0,).a a a α=+12V V +12V V +1211220,,V V αααα+=∈∈120.αα==12V V + 12,V V αα∴∀∈+1211220,,V V αααα+=∈∈若而0有分解式充分性. 设，它有两个分解式于是其中由零向量分解成唯一，且有即的分解式唯一. 故是直和.2、和是直和证：“ ” 若则有即是直和.“ ” 任取于是零向量可表成由于是直和，零向量分解式唯一，故3、和是直和证：由维数公式+0=00,120,0.αα∴==,,,1212111222,V V αααββαβαβ=+=+∈∈+0=00,1122,αβαβ==1211220,,.V V αααα+=∈∈{}120V V ⇔= .{}12120V V αα=-∈= 12,V V α∈ 120(),,.V V αααα=+-∈-∈0.αα∴=-={}120.V V = 1212dim()dim dim V V V V ⇔+=+12V V α∈+1122()()0αβαβ-+-=111222,V V αβαβ-∈-∈11220,0.αβαβ-=-=12V V +12V V +⇐120,αα∴==12V V +⇒12V V +12V V +有，是直和. （由2、得之）总之，设为线性空间V 的子空间，则下面四个条件等价:1）是直和 2）零向量分解式唯一3） 4） 4、(定理10) 设U 是线性空间V 的一个子空间，则必存在一个子空间W ，使称这样的W 为U 的一个余子空间. 证：取U 的一组基把它扩充为V 的一组基则注余子空间一般不是唯一的(除非U 是平凡子空间).如，在3R 中，设 121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 1212dim()dim dim V V V V +=+12dim()0V V ⇔= {}120V V ⇔= 12V V ⇔+12,V V12V V +{}120V V = 1212dim()dim dim V V V V +=+.V U W =⊕,,,12m ααα ,,,,,,121m m n ααααα+ ,,,12(),m m n W L ααα++= 令.V U W =⊕1212(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)ααββ====121122(,),(),(),U L W L W L ααββ===令则但 5、设分别是线性子空间的一组基，则是直和线性无关. 证：由题设，若线性无关，则它是的一组基. 从而有是直和.反之,若直和，则从而的秩为r ＋s .所以线性无关.三、推广多个子空间的直和1、定义都是线性空间V 的子空间，若和中每个向量的分解式是唯一的，则和就称为直和，记作31212,R U W U W W W =⊕=⊕≠;1212,,,,,,r sεεεηηη 12,V V 12V V +1212,,,,,,,r s εεεηηη⇔ ,,1121(,),dim r V L V r εεε== 2122(,,,),dim s V L V s ηηη== ,,121212(,,,,,).r s V V L εεεηηη∴+= 1212,,,,,,,r sεεεηηη 12V V +1212dim()dim dim V V r s V V +=+=+12V V ∴+12V V +1212dim()dim dim V V V V r s +=+=+1212,,,,,,,r s εεεηηη 1212,,,,,,,r sεεεηηη 12,,,s V V V 121s i s i V V V V ==+++∑ ,,121,2,,s i i V i sααααα=+++∈= 1si i V =∑12s V V V ⊕⊕⊕ α2、判定设都是线性空间V 的子空间，则下面四个条件等价:1）是直和2）零向量分解式唯一，即3） 4）例1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与② 解空间：② 证明: 证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系再解齐次线性方程组②.由即得②的一个基础解系 12,,,sV V V ,120,s i i V αααα+++=∈ 0,1,2,,i i sα== 必有1si i W V ==∑{}0,1,2,,i j j i V V i s ≠==∑ 1dim dim sii W V ==∑①120n x x x +++= 12n x x x === 12n P V V =⊕121(1,0,,0,1)(0,1,,0,1)(0,0,,1,1)n εεε-=-=-=- ,,,1121().n V L εεε-∴= 12n x x x === 121000n n n n x x x x x x --=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ (1,1,,1)ε=考虑向量组由于线性无关，即它为n P 的一组基.又例2、每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维子空间的直和.证：设是 n 维线性空间V 的一组基,则而得证. 小结：直和的定义与三个判定方法。

7.子空间的直和

§6.7 子空间的直和
反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面
§6.7 子空间的直和
三、多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
sБайду номын сангаас
Vi V1 V2 Vs 中每个向量的分解式
§6.7 子空间的直和
一、两个子空间的直和二、余子空间三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
注意：
余子空间一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ), 则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，

6[1].7 子空间的直和

1 - 1 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即 1 = 1 , 2 = 2 .
这就是说，向量的分解式是唯一的.
证毕
推论和 V1 + V2 为直和的充分必要条件是
V1 ∩ V2 = { 0 } .
证明先证充分性. 假设有等式
1 + 2 = 0，
那么
1 V1 , 2 V2 ,
是唯一的，这个和就称为直和. 记为 V1 V2 … Vs .
和两个子空间的直和一样，我们有
定理 4 设 V1 , V2 , … , Vs 都是线性空间 V
的子空间，则下面这些条件是等价的：
1) W Vi 是直和；
2) 零向量的表法唯一； 3) Vi
V
j i
j
{0}
(i 1,2,, s) ;
则 R 3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
例 3 设 V = P 3，U = L(1 )， 1 = (1, 1, 1)，
求 U 的补空间 W .
解要求补空间 W，即要求 W 的一组基. 只需
把 U 的基扩充为 P 3 的基. 取
e1 = (1, 0, 0), e2 = ( 0, 1, 0),
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立. 例如，R3的子空间
V1 L( 1 , 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 )
这里， 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和 V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
充分性.
设 V1 + V2 1 + 2 ， 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2.

51-子空间直和的判定与证明

子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1V1，α2V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αiVi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。

必要性：显然成立；充分性：设αV1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βiVi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βiVi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。

2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αiVi （i=1,2）那么α1=-α2 V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。

必要性：任取向量αV1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），αV1，—αV2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。

必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。

子空间的直和

1 + 2 = 0， 1 V1 , 2 V2 ,
等价的，也就与维(W) = 维(V1) + 维(V2) 等价. 这就
证明了定理.
证毕
三、直和的性质
定理 11 设 U 是线性空间 V 的一个子空间，
那么一定存在一个子空间 W 使 V = U W .
这时 U 叫做 W 的补空间，W 叫做 U 的补空间，
或者 U 与 W 是互补子空间.
证明取 U 的一组基 1 , … , m . 把它扩充
为 V 的一组基 1 , … , m , m + 1 , … , n . 令 W = L(m + 1 , … , n ) .
则 W 即满足要求.
证毕
例 1 在 3 维空间 P3 中，过原点的两条相交直
线的直和就是由这两条直线所确定的平面. 如图6-9 所示.
L2
例 2 设 V = P 3 ，L 是过原点的直线，是过
原点的平面. 令 L 上的点构成的空间为 U，上的
点构成的空间为 W，如果 U ∩ W = { 0 } ，即 L 不
上，则 V = U W . 如图 6-10 所示.
z
L
o
y
x
图 6-10
例例 33 设设VV==PP33，，UU==LL((11))，，11==(1(1, ,11, ,11)，)，
面( 直线不在平面上 ) 上的全体向量构成的
二、直和的充分必要条件
定理 9 和 V1 + V2 是直和的充分必要条件是
等式
1 + 2 = 0， 1 V1 , 2 V2 ,
只有在1, 2全为零时才成立.
证明定理的条件实际上就是：零向量的分
解式是唯一的. 因而这个条件显然是必要的. 下面来证这个条件的充分性.

6.7 子空间的直和

第六章线性空间学习单元7：子空间的直和_________________________________________________________● 导学学习目标：了解子空间的直和的概念；理解子空间的直和的判别；掌握证明线性空间V 是两个子空间的直和的证明方法。

学习建议：本学习单元的理论比较抽象，建议大家认真看书，深刻理解概念及定理的条件与结论，通过例题掌握证明方法。

重点难点：重点：深刻理解子空间的直和的概念与判别法。

难点：线性空间分解成两个子空间的直和的证明。

_________________________________________________________● 学习内容一、直和的概念观察两个子空间的和的特点例 212,{(,,0)|,},{(0,,)|,}V P V a b a b P V x y x y P ==∈=∈，则12V V V +=，但V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法不唯一，如(1,7,4)(1,2,0)(0,5,4)(1,3,0)(0,4,4)=+=+ 又12{(,,0)|,},{(0,0,)|}V a b a b P V x x P =∈=∈。

则12V V V +=，而V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法唯一。

定义 V 为P 上线性空间，12,V V V ≤，如果12V V +中向量表为1V 与2V 中向量的和时，表法唯一，即由1212111222,,,,V V αααββαβαβ=+=+∈∈可推出1122,αβαβ==，则称这个和为直和，记为12V V ⊕。

二、直和的判别定理设12,V V 为数域P 上线性空间V 的两个子空间，则下列几条等价。

（1）1212V V V V +=⊕；（2）12V V +中零向量表法唯一；（3）12{0}V V =I ；（4）1212dim()dim dim V V V V +=+。

推广定理设1,,s V V V ≤L ，则下列几条等价。

子空间的和与直和

5.5 子空间的和与直和授课题目：子空间的和与直和.教学目标：1．理解并掌握子空间的概念.2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念.授课时数：3学时教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和．教学过程：一子空间的的和回忆:令W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间. 一个向量空间V 本身和零空间叫做V 的平凡子空间。

V 的非平凡子空间叫做V 的真子空间。

1. 定义：设12,W W V ⊆，则称V 的子集{}121122/,W W αααα+∈∈ 为1212w w W W +与的和，记为即12W W +={}121122/,W W αααα+∈∈定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12W W +仍然是子空间.证明：12,W W θθθθθ∈∈∴=+∈ 12W W +故12W W +≠φ对121212,,,,a b F W W αβαααβββ∀∈∉+=+=+有，111222,,,W W αβαβ∈∈ 12W W +均为v 子空间.∴111222,a b W a b W αβαβ+∈+∈于是()()()()1212112212a b a b a b a b W W αβααββαβαβ+=+++=+++∈+∴12W W +是V 的子空间。

推广：12,,,n W W W V n 为的个子空间，则{}12121122/,,,n n n n W W W W W W αααααα+++=+++∈∈∈仍然是V 的子空间.补充：若W =L ()ααα,,, ，(),,,W L βββ=证明：∈γ12W W +，有βαγ+=，12,W W αβ∈∈ 设r r k k k αααα+++= 2211t t l l l ββββ+++= 2211∴ =+=βαγr r k k k ααα+++ 2211+βββt l l l +++ 2211 ∴12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121定理5.5.2 维数定理。

§7子空间的直和

从而
W1 W2 L(1 ,, m ) L( 1 ,, s )
L(1 ,, m , 1 ,, s )
故 1 , 2 ,, m , 1 , 2 ,, s 的秩
dim(W1 W2 )
dim W1 dim W2 m s
是 W1 W2 的基. W1 W2 ,令
1 2 1 2 , 1 ,1 W1 , 2 ,2 W2
设
1 k11 k2 2 km m 2 l1 1 l2 2 l s s
1 l2 2 ls s 2 km m 2 l1 1 k11 k2
4) dim(W1 W2 Wt ) dimW1 dimW2 dimWt ; 5) 各取合起来构成的基.
例3 设
P nn 的子空间
S

A A P nn , A A ,

T A A P nn , A A
证明:

S T P nn .
0 1 2 , 1 W1 , 2 W2
则 1 0, 2 0 ;
3)
W1 W2 0.
证明 1) 2)显然的
.
2) 3) W1 W2 ,则 W1 , W2 ,由
0 ( ),因而 0 ,故 W1 W2 0 3) 1) 设 W1 W2 中的向量的分解式为
1 2 , 1 W1 , 2 W2
是唯一的.称 W1 W2 为直和(direct sum), 记为 W1 W2
下面,我们讨论子空间的和是直和的等价条件. 定理7.1 设为数域上的线性空间的两个子空间.则下列命题等价: 1) W1 W2 是直和; 2) 零向量分解式是唯一的.即若

子空间的直和与因子空间

子空间的直和与因子空间子空间是线性代数中的重要概念，它在研究向量空间时起着关键的作用。

子空间的直和和因子空间是子空间的重要衍生概念，它们在向量空间的分割和表示上发挥着重要的作用。

一、子空间的直和子空间的直和是指由两个或多个子空间组成的全新子空间。

设V是向量空间，W1和W2是V的两个子空间。

如果V中的任意一个向量既可以表示为W1中的一个向量和W2中的一个向量之和，又可以唯一地这样表示，那么我们就称V是W1和W2的直和，记作V=W1⊕W2。

例如，若V=R3，W1是R3中所有满足x1+x2+x3=0的向量构成的子空间，W2是R3中所有满足2x1-3x2+x3=0的向量构成的子空间。

则V是W1和W2的直和。

直和的概念可以推广到多个子空间的情况。

设V是向量空间，W1、W2、...、Wn是V的n个子空间。

如果V中的任意一个向量既可以表示为W1、W2、...、Wn中的向量之和，又可以唯一地这样表示，那么我们就称V是W1、W2、...、Wn的直和，记作V=W1⊕W2⊕...⊕Wn。

子空间的直和具有以下性质：1. 若V=W1⊕W2，则V中的任意一个向量都可以唯一地表示为W1中的一个向量和W2中的一个向量之和。

2. 若V=W1⊕W2⊕...⊕Wn，则V中的任意一个向量都可以唯一地表示为W1、W2、...、Wn中的向量之和。

二、因子空间因子空间（也称为商空间）是指用一个向量空间V的子空间W对V进行分割而得到的新的向量空间。

设V是向量空间，W是V的子空间，我们记为V/W。

在V/W中，等价类[x]代表了所有形如x+w的向量的集合，其中x属于V，w属于W。

换言之，[x]是由W平移x得到的平行于W的子空间。

因子空间的概念可以理解为对子空间的一种降维运算。

通过因子空间，我们可以将原始向量空间V映射到一个低维的向量空间，而这个低维空间的维度就是原始向量空间V中子空间W的维度。

因子空间在理论研究和实际计算中都有广泛的应用和意义。

三、子空间的直和与因子空间的关系子空间的直和与因子空间之间存在着密切的关系。

子空间的直和与直和分解

子空间的直和与直和分解在线性代数中，我们学习了向量空间的概念和性质。

而向量空间可以由子空间构成，子空间是向量空间中的一个非空集合，满足加法和标量乘法封闭性的子集。

本文将探讨子空间之间的直和和直和分解。

一、子空间的直和在向量空间V中，如果存在子空间U和W，满足两个条件：1.U∩W={0}；2. V是U和W的和集，即任意向量v∈V可以表示为u+w 的形式，其中u∈U，w∈W；那么我们称子空间U和W的直和为子空间V的直和。

直和的概念可以类比于数字的加法。

例如，我们将数字3表示为1+2，其中1和2是3的因子。

同样地，如果向量v可以表示为u+w，其中u和w是v的因子，那么我们可以将向量v看作是子空间U和W 的直和。

二、子空间的直和分解在向量空间V中，如果存在子空间U和W，满足两个条件：1.U∩W={0}；2. 任意向量v∈V，都可以唯一地表示为u+w的形式，其中u∈U，w∈W；那么我们称v关于子空间U和W的直和分解。

直和分解是一种将向量分解为两个子空间的方法。

这种分解在很多算法和数学问题中都有广泛的应用。

例如，对于矩阵的特征值分解和奇异值分解等问题，都可以采用直和分解的方式来求解。

三、子空间的例子与应用1. 平面的直和分解：考虑平面上的向量空间R^2，其中存在两个子空间U和W，分别表示x轴和y轴上的向量。

显然，两个子空间的交集为零向量{0}，任意向量v可以唯一地表示为x轴和y轴上的分量之和。

因此，平面的直和分解是R^2的一种典型示例。

2. 空间的直和分解：类似地，在三维空间R^3中，我们可以将空间分为三个子空间：XY平面、YZ平面和ZX平面。

这三个平面两两相交于一条直线，即它们的交集为零向量{0}。

因此，任意向量v可以唯一地表示为这三个平面上的分量之和。

子空间的直和和直和分解在线性代数的理论和实践中具有重要作用。

它们不仅可以帮助我们理解向量空间的性质和结构，还可以应用于各种数学和工程问题中，例如线性方程组的求解、矩阵分解和数据压缩等。

子空间的和与直和的区别

直和的数学定义
直和的定义是指两个或多个向量或子空间合并成一个新的向量或子空间，其中每个原始向量或子空间都是该新向量或子空间的一个子集。
直和可以通过向量的加法运算或子空间的直积来定义。
直和的物理意义
直和在物理中有广泛的应用，例如在量子力学、电磁学
和机械力学等领域中。
1
在量子力学中，直和可以用于描述两个或多个量子态的
THANKS
感谢观看
应用上的区别
子空间和的应用
子空间和在信号处理、图像处理等领域中有着广泛的应用。例如，可以将一个信号分解为多个子空间的叠加，从而对信号进行更好的分析和处理。
直和的应用
直和在数学、物理等领域中有着广泛的应用。例如，在数学中，可以将多个向量空间中的元素进行直和，从而得到一个新的向量空间；在物理中，可以将多个物理量进行直和，从而得到一个新的物理量。
子空间和可以描述物理系统的组合，例如两个粒子的状态可以表示为两个子空间的和。
子空间和可以描述量子叠加态，即多个量子态的组合。
02 直和的定义
直和的基本概念
直和是一种数学概念，用于描述两个或多个向量或子空间的合并方式。
直和是一种特殊的向量或子空间合并方式，其中两个或多个向量或子空间合并成一个新的向量或子空间。
构成。
子空间和的物理应用例子
要点一
量子力学
在量子力学中，波函数是一种重要的物理量，它描述了粒子的状态。波函数可以定义在一个无限维的函数空间中，而这个空间的子空间可以用来描述不同的物理状态。
要点二
信号处理
在信号处理中，常常需要将信号投影到一个低维子空间中以实现信号的压缩和降噪。例如，在主成分分析中，原始数据可以被投影到一个由数据的主要成分构成的子空间中。

子空间直和的判定与证明

子空间直和的判定与证明子空间的直和是指两个或多个子空间的并等于它们的直和。

在线性代数中，我们经常需要判断两个子空间的直和关系，并且需要给出证明。

下面将详细介绍子空间直和的判定和证明方法。

首先，我们先回顾子空间的定义。

设V是一个线性空间，U和W是V 的两个非空子集。

如果U和W都是V的子空间，并且U和W的和空间等于V，即U+W=V，则称U和W是V的一个直和，记作V=U⊕W。

接下来我们来讨论子空间直和的判定方法。

设V是一个线性空间，U 和W是V的两个子空间。

要判断U和W是否是V的直和，我们需要验证以下三个条件：1.U+W=V：也就是说，对于V中的任意一个向量v，都可以表示为v=u+w的形式，其中u属于U，w属于W。

2.U∩W={0}：也就是说，U和W的交集只包含零向量。

3.U和W的交集只有零向量时，任意向量u+w=0的表示方式唯一、也就是说，如果u1+w1=u2+w2，其中u1和u2属于U，w1和w2属于W，则u1=u2，w1=w2当满足上述三个条件时，我们可以得出结论，U和W是V的直和。

接下来我们来看一个具体的例子，并给出证明。

例子：设V=R^3，U和W是V的两个子空间，其中U={(x,y,z)，x+y+z=0}W={(x,y,z)，x=y=z}我们需要判断U和W是否是V的直和。

首先，我们验证条件1：对于V中的任意一个向量(x,y,z)，是否都可以表示为v=u+w的形式，其中u属于U，w属于W。

可以取一个任意向量(x,y,z)，我们需要找到u和w，使得x=u+w满足。

观察U的定义可以得到，当x+y+z=0时，向量(x,y,z)属于U。

同理，当x=y=z时，向量(x,y,z)属于W。

当我们取u=(x,y,z)和w=(0,0,0)时，显然u属于U，w属于W，并且u+w=(x,y,z)。

所以，条件1满足，即U+W=V。

其次，我们验证条件2：是否有U∩W={0}。

显然，U和W的交集就是满足x+y+z=0且x=y=z的向量。

子空间直和的判定与证明

子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1∊V1，α2∊V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αi∊Vi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。

必要性：显然成立；充分性：设α∊V1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βi∊Vi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βi∊Vi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。

2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是 V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αi∊Vi （i=1,2）那么α1=-α2∊ V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。

必要性：任取向量α∊V1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），α∊V1，—α∊V2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则 V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。

高等代数第六章7第七节子空间的直和太原理工大学

j≠i
( i = 1 , 2 ,⋯ , s ) ;
4）维(W)=∑维(Vi) . ）维这个定理的证明和s=2的情形基本一样，这里就不这个定理的证明和的情形基本一样，定理的证明的情形基本一样再重复了. 再重复了
返回上页下页
返回上页下页
V1+V2中每个向量的分解式每个向量α的
定理8 和V1+V2是直和的充分必要条件是等式直和的充分必要条件是等式定理 α1+α2=0, α1∈V1, α2∈V2 只有在α 全为零(α 时才成立. 只有在 1 , α2全为零 1=α2=0)时才成立时才成立定理的条件实际上就是：证明定理的条件实际上就是：零向量的分解式是唯一的. 因而这个条件显然是必要的下面来证这这个条件显然是必要的. 唯一的因而这个条件显然是必要的下面来证这个条件的充分性. 个条件的充分性. 它有两个分解式设α∈V1+V2 ，它有两个分解式 ∈ α=α1+α2=β1+β2 ，αi,βi∈Vi (i=1,2). 于是 (α1-β1)+(α2-β2)=0 .
返回
上页
下页
子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的直和的概念可以推广到多个子空间情形. 情形定义10 设V1,V2,…,Vs 都是线性空间的子空间，定义都是线性空间V的子空间，线性空间如果和中每个向量α的如果和V1+V2+…+Vs中每个向量 βi∈Vi (i=1,2). 由定理的条件，应有 αi-βi=0，αi=βi (i=1,2). ，这就是说，向量α的分解式是唯一的. 这就是说，向量的分解式是唯一的证毕. 证毕
返回

子空间的直和的充要条件

子空间的直和的充要条件子空间的直和是线性代数中一个重要的概念。

在研究向量空间时，我们常常遇到将一个向量空间分解成若干个子空间的情况，而子空间的直和就是一种特殊的分解方式。

本文将介绍子空间的直和的充要条件。

假设V是一个向量空间，U和W是V的两个子空间。

我们称V是U和W的直和，记作V=U⊕W，如果满足以下两个条件：1. V=U+W：任意向量v∈V都可以写成v=u+w的形式，其中u∈U，w∈W。

2. U∩W={0}：U和W的交集只包含零向量。

我们来证明V=U⊕W的充分性。

假设V=U⊕W，我们需要证明满足上述两个条件。

对于第一个条件，我们可以将任意向量v∈V表示为v=u+w的形式，其中u∈U，w∈W。

由于V=U⊕W，所以v的表示是唯一的。

对于第二个条件，假设存在一个非零向量x∈U∩W。

由于x∈U，所以x也属于V。

那么我们可以找到另外两个向量u'∈U和w'∈W，使得x=u'+w'。

因为x∈W，所以w'∈W；因为x∈U，所以u'∈U。

因此，x=u'+w'既是U和W的一个表示，也是V的一个表示。

但由于v的表示是唯一的，所以u'+w'=u+w。

因此，我们可以得到u-u'=w'-w。

由于u-u'∈U，w'-w∈W，所以u-u'∈U∩W。

但由于U∩W={0}，所以u-u'=0，即u=u'，w=w'。

因此，x=u'+w'=u+w=0。

这与x是一个非零向量矛盾。

因此，U∩W={0}。

接下来，我们来证明V=U⊕W的必要性。

假设V=U⊕W，我们需要证明满足上述两个条件。

对于第一个条件，任意向量v∈V都可以写成v=u+w的形式，其中u∈U，w∈W。

因此，V=U+W。

对于第二个条件，假设存在一个非零向量x∈U∩W。

那么x既属于U 也属于W，所以x可以写成x=0+0的形式。

7、子空间的直和

子空间的直和的充要条件

《子空间的直和》课件

6.7子空间的直和

7.子空间的直和

6[1].7 子空间的直和

51-子空间直和的判定与证明

子空间的直和

6.7 子空间的直和

子空间的和与直和

§7子空间的直和

子空间的直和与因子空间

子空间的直和与直和分解

子空间的和与直和的区别

子空间直和的判定与证明

子空间直和的判定与证明

高等代数第六章7第七节 子空间的直和 太原理工大学

子空间的直和的充要条件

高等代数第六章7第七节子空间的直和太原理工大学