定积分计算方法总结

定积分计算方法总结Last revision on 21 December 2020

定积分计算方法总结

一、不定积分计算方法

1.凑微分法

2.裂项法

3.变量代换法

1)三角代换

2)根幂代换

3)倒代换

4.配方后积分

5.有理化

6.和差化积法

7.分部积分法（反、对、幂、指、三）

8.降幂法

二、定积分的计算方法

1.利用函数奇偶性

2.利用函数周期性

3.参考不定积分计算方法

三、定积分与极限

1.积和式极限

2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限

3.洛必达法则

4.等价无穷小

四、 定积分的估值及其不等式的应用

1. 不计算积分，比较积分值的大小

1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有

f(x)>=g(x),则∫f (x )dx b a >=∫g(x)b a dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之

a) 当0

2. 估计具体函数定积分的值

积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M ，最小值为m 则

M(b-a)<=∫f (x )dx b a <=M(b-a)

3. 具体函数的定积分不等式证法

1) 积分估值定理

2) 放缩法

3) 柯西积分不等式

[∫f (x )g (x )dx b

a ]∗2

≤∫(f (x ))∗2b a dx ∫g (x )%2dx b

a

4. 抽象函数的定积分不等式的证法

1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性

2) 积分中值定理

3) 常数变易法

4)利用泰勒公式展开法

五、变限积分的导数方法