中考数学热点专题复习

从热点专题八能力型创新问题【考点聚焦】能力型创新问题已成为近年中考中较难题或压轴题的主要方向，主要有以下四种类型：【热点透视】热点1：探索性问题探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍．初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果索因的工作，而定格于“条件———演绎———结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．例1（2008荆门）将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边长为1．（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．（2）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B C D的位置，四边形ABC D11111是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________．（3）在△Rt BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为________时，四边形ABC D为矩形，其理由是_______________________________；当点B的移动距离为11______时，四边形ABC D为菱形，其理由是_________________．（图3、图4用于探究）11解：（1）是，此时AB平行且等于CD，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（2）是，在平移过程中，始终保持AB平行且等于C D，一组对边平行且相等的四边11形是平行四边形．（3）33，此时∠ABC=90，有一个角是直角的平行四边形是矩形．13，此时点Ｄ与点B重合，AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．111点评：条件探索型———结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目．例2（2008郴州）如图5，矩形纸片ABCD的边长分别为a、b（a<b）．将纸片任（意翻折（如图6），折痕为PQ．P在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C'，PC'的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A'，且A'M所在直线与PM所在直线重合（如图7）折痕为MN．（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．（2）若∠Q PC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，MN 间的距离有何变化？请说明理由．（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45（如图8），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC'QD，及四边形BPA'N的周长与a、b有何关系，为什么？解：（1）PQ∥MN．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且M在AD直线上，则有AM∥BC，∴∠AMP=∠MPC，由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ=1∠MPC，21∠NMP=∠AMN=∠AMP，∴∠MPQ=∠NMP，2故PQ∥MN．（2）两折痕PQ，MN间的距离不变，过P作PH⊥MN，则PH=PM sin∠PMH，∵∠QPC的角度不变，∴∠C'PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的．又∵AD∥B C，∴所有的PM都是相等的，又∵∠PMH=∠QPC，故PH的长不变．令 y = 0 ，即 - 30) 0) -（3）当 ∠QPC = 45 时，四边形 PCQC ' 是正方形，四边形 C 'QDM 是矩形．∵ C 'Q = CQ ， C 'Q + QD = a ，∴矩形 C 'QDM 的周长为 2a ．同理可得矩形 BPA 'N 的周长为 2a ，所以两个四边形的周长都为 2a ，与 b 无关． 点评：结论探索型———给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应 的结论的题目．例 3 （2008 岳阳）如图 10，抛物线 y = -3 2x 2 - 3x + 3 交 x 3 3轴于 A 、B 两点，交 y 轴于点Ｃ，顶点为 D ．（1）求 A 、B 、C 的坐标．（△2）把 ABC 绕 AB 的中点 M 旋转180 ，得到四边形 AEBC ：①求 E 点坐标．②试判断四边形 AEBC 的形状，并说明理由．（3）试探索：在直线 BC 上是否存在一点 P ，使得△P AD 的周长最小，若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1） y = - 3 2 3x 2 - x + 3 ，3 3令 x = 0 ，得 y = 3 ．2 3x 2 -x + 3 = 0 ， 33x 2 + 2 x - 3 = 0 ，∴ x = 1 ， x = -3 ．1 2∴ A ，B ，C 三点的坐标分别为 A(-3， ， B(1， ， C (0，3) ．（2）① E (-2， 3) ；②四边形 AEBC 是矩形．理由：四边形 AEBC 是平行四边形，且 ∠ACB = 90 ．求得A'(3，3)，D -1，3⎪⎭过A'，D的直线为y=3⎛3，103⎪⎪⎛3，103⎪⎪（3）存在．P -77⎫．⎝⎭作出点A关于BC的对称点A'，连结A'D与直线BC交于点P．则点P是使△P AD周长最小的点．⎛43⎫2．⎝33x+，62过B，C的直线为y=-3x+3．两直线的交点为P -77⎫．⎝⎭点评：存在探索型———在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．热点2：开放性问题开放性试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题．观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用．例4（2008福州）如图11，直线AC∥BD，连结AB，直线AC、BD及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连结P A，PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角．）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．解：（1）解法一：如图12（１）．延长BP交直线AC于点E．∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．∵∠APB=∠PAE+∠PEA，∴∠APB=∠PAC+∠PBD．解法二：如图12（2）．过点P作FP∥AC，∴∠PAC=∠APF．+P+A P∵AC∥BD，∴FP∥B D，∴∠FPB=∠PBD．∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD．解法三：如图12（3）．∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180，即∠PAC+∠P AB+∠PBA+∠PBD=180．又∠APB+∠PBA+∠P AB=180，∴∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）不成立．（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．（b）当动点P在射线BA上，结论是∠P B D=∠P A C∠A，或∠P A C=∠P B D∠或∠APB=0，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．选择（a）证明：如图12（4），连结P A，连结PB交AC于M．∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD．又∵∠PMC=∠P AM+∠APM，∴∠PBD=∠PAC+∠APB．选择（b）证明：如图12（5）．∵点P在射线BA上，∴∠APB=0．∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0，直线 y = 2 x + 1 的交点 P 的坐标 (1的解 ⎨．， 就是方程组 ⎨y = -2 x + 2（2）用阴影表示 ⎨ x ≤ -2 x + 2 所围成的区域． ≥ 0⎩y = 2 x + 1 y = 3 （1）用作图象的方法求出方程组 ⎨的解．∠PAC = ∠PBD ．选择（c ）证明：如图 12（6）．连结 P A ，连结 PB 交 AC 于 F ． ∵ AC ∥ BD ，∴ ∠PFA = ∠PBD ． ∵ ∠PAC = ∠APF + ∠PFA ， ∴ ∠PAC = ∠APB + ∠FBD ．点评：本题由点 P 的位置的改变，让同学们探究由此而引起的三个角之间的变化，将分类思想的考查融入在探索、猜想过程中．热点 3：阅读理解型问题阅读理解题是近几年频频出现在中考试卷中的一类新题型，不仅考查学生的阅读能力， 而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其是侧重于考查学生的数学思维能力 和创新意识，此类题目能够帮助考生实现从模仿到创造的思想过程，符合学生的认知规律， 是中考的热点题目之一，今后的中考试题有进一步加强的趋势．例 5 阅读：我们知道，在数轴上，x = 1 表示一个点．而在平面直角坐标系中， x = 1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程 2 x - y + 1 = 0 的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数 y = 2 x + 1 的图象，它也是一条直线，如图13（1）可以得出：直线x = 1 与⎧ x = 1 ⎧ x = 1⎩ ⎩在直角坐标系中， x ≤ 1 表示一个平面区域，即直线 x = 1 以及它左侧的部分，如图 13（2）；y ≤ 2 x + 1也表示一个平面区域，即直线 y = 2 x + 1 以及它下方的部分，如图 13（3）．回答下列问题：在直角坐标系（13（3））中，⎧ x = -2⎩⎧ x ≥ -2 ⎪⎪ y6)则 ⎨⎧ x = -2 y =6 ⎩ y = -2 x + 2根据题意得： ⎨⎧ x = 2 y x 1+ y 1 = 90 ⨯ 2 ⎧解：（1）如图 14 所示，在坐标系中分别作出直线 x = -2 和直线 y = -2 x + 2 ，这两条直线的交点是 P(-2， ．⎩ ．⎧ x = -2是方程组 ⎨的解．（2）如图 14 阴影所示．点评：通过阅读本题所提供的材料，我们要明白两点：方程组的解与两直线交点坐标的 关系；不等式组的解在坐标中区域的表示方法．热点 4：方案设计型问题近年一些省市的中考数学题中涌现了立意活泼、设计新颖、富有创新意识、培养创新能 力的题目．这类命题综合考查阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、 书面表达能力和动手能力等．能与初中所学的重点知识进行联结．例 6 （2008 茂名）已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点 A 出发行驶．（1）若甲车的速度是乙车的 2 倍，甲车走了 90 千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙 车走了 1 小时．求甲、乙两车的速度；（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200 升汽油，每升汽油可以行驶 10 千米，途中不能 再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A ，请你设计一 种方案使甲车尽可能地远离出发点 A ，并求出甲车一共行驶了多少千米？解：（1）设甲，乙两车速度分别是 x 千米/时和 y 千米/时，⎩ ，解之得： ⎨ x = 120 ⎩ y = 60．即甲、乙两车速度分别是 120 千米/时、60 千米/时．（2）方案一：设甲汽车尽可能地远离出发点 A 行驶了 x 千米，乙汽车行驶了 y 千米，⎧⎪ x + y ≤ 200 ⨯1(2) 则 ⎨ ∴ 2 x ≤ 200 ⨯10 ⨯ 3 即 x ≤ 3000 ．⎪⎩ x - y ≤ 200 ⨯10即甲、乙一起行驶到离 A 点 500 千米处，然后甲向乙借油 50 升，乙不再前进，甲再前 进 1 000 千米返回到乙停止处，再向乙借油 50 升，最后一同返回到 A 点，此时，甲车行驶 了共 3 000 千米．方案二：（画图法） 如图：此时，甲车行驶了500⨯2+1000⨯2=3000（千米）．方案三：先把乙车的油均分4份，每份50升．当甲乙一同前往，用了50升时，甲向乙借油50升，乙停止不动，甲继续前行，当用了100升油后返回，到乙停处又用了100升油，此时甲没有油了，再向乙借油50升，一同返回到A点．此时，甲车行驶了50⨯10⨯2+100⨯10⨯2=3000（千米）．点评：此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、方程联系在一起．例7（2008福州）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图15（3）、图15（4）、图15（5）中画出三种不同的的设计图案．提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图15（1）、图15（2）只能算一种．解：答案不惟一，如图16：点评：几何图形的分割与设计在中考中经常出现，有时是根据面积相等来分割，有时是根据线段间的关系来分割，有时根据其它的某些条件来分割，做此类题一般用尺规作图．【考题预测】1．观察算式：1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；……用代数式表示这个规律（n为正整数）：9+11+13+15++(2n-1)=________．x2-x-交x轴于A，B两点，顶点为D．以B A为直2．将图17（1）所示的正六边形进行分割得到图17（2），再将图17（2）中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图17（3），再将图17（3）中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…，则第n个图形中，共有________个正六边形．3．如图18，将边长为1的正方形O APB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P，P，P，P，，P12342008的位置，则P2008的横坐标x2008=________．4．如图19，设抛物线y=113424径作半圆，圆心为M，半圆交y轴负半轴于C．（1）求抛物线的对称轴；（2）将△A CB绕圆心M顺时针旋转180，得到△A PB，如图20．求点P的坐标；（3）有一动点Q在线段AB上运动，△QCD的周长在不断变化时是否存在最小值？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．5．青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润＝售价－进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；（3）在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：打折前一次性购物总金额不超过300元超过300元且不超过400元超过400元优惠措施不优惠售价打九折售价打八折按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）6．已知一元二次方程a x2-2bx+c=0的两个根满足x-x=2，且a，b，c分12别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a=c，求∠B的度数．小敏解得此题的正确答案“∠B=120”后，思考以下问题，请你帮助解答．（1）若在原题中，将方程改为ax2-3bx+c=0，要得到∠B=120，而条件“a=c”不变，那么对应条件中的x-x的值作怎样的改变？并说明理由．12（2）若在原题中，将方程改为ax2-nbx+c=0（n为正整数，n≥2），要得到∠B=120，而条件“a=c”不变，那么条件中的x-x的值应改为多少（不必说明理12由）？。