中考数学热点专题复习

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热点专题八能力型创新问题

【考点聚焦】

能力型创新问题已成为近年中考中较难题或压轴题的主要方向，主要有以下四种类型：【热点透视】

热点1：探索性问题

探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学

科领域之中，在数学中则更为普遍．初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定

的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题

或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果索因的工作，而定格于“条件———演绎———结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．

例1（2008荆门）将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边长为1．

（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．

（2）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B C D的位置，四边形ABC D

11111是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________．

（3）在△Rt BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为________时，四

边形ABC D为矩形，其理由是_______________________________；当点B的移动距离为11

______时，四边形ABC D为菱形，其理由是_________________．（图3、图4用于探究）

11

解：（1）是，此时AB平行且等于CD，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

（2）是，在平移过程中，始终保持AB平行且等于C D，一组对边平行且相等的四边

11

形是平行四边形．

（3）

3

3，此时∠ABC=90，有一个角是直角的平行四边形是矩形．

1

3，此时点Ｄ与点B重合，AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

111

点评：条件探索型———结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目．

例2（2008郴州）如图5，矩形纸片ABCD的边长分别为a、b（a

（

意翻折（如图6），折痕为PQ．P在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C'，PC'

的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A'，且A'M

所在直线与PM所在直线重合（如图7）折痕为MN．

（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．

（2）若∠Q PC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，MN 间的距离有何变化？请说明理由．

（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45（如图8），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC'QD，及四边形BPA'N的周长与a、b有何关系，为什么？

解：（1）PQ∥MN．

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且M在AD直线上，则有AM∥BC，

∴∠AMP=∠MPC，

由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ=

1

∠MPC，

2

1

∠NMP=∠AMN=∠AMP，∴∠MPQ=∠NMP，

2

故PQ∥MN．

（2）两折痕PQ，MN间的距离不变，

过P作PH⊥MN，则PH=PM sin∠PMH，

∵∠QPC的角度不变，∴∠C'PC的角度也不变，

则所有的PM都是平行的．

又∵AD∥B C，∴所有的PM都是相等的，

又∵∠PMH=∠QPC，

故PH的长不变．

令 y = 0 ，即 - 3

0) 0) -

（3）当 ∠QPC = 45 时，

四边形 PCQC ' 是正方形，

四边形 C 'QDM 是矩形．

∵ C 'Q = CQ ， C 'Q + QD = a ，

∴矩形 C 'QDM 的周长为 2a ．

同理可得矩形 BPA 'N 的周长为 2a ，所以两个四边形的周长都为 2a ，与 b 无关． 点评：结论探索型———给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应 的结论的题目．

例 3 （2008 岳阳）如图 10，抛物线 y = -

3 2

x 2 - 3x + 3 交 x 3 3

轴于 A 、B 两点，交 y 轴于点Ｃ，顶点为 D ．

（1）求 A 、B 、C 的坐标．

（△2）把 ABC 绕 AB 的中点 M 旋转180 ，得到四边形 AEBC ：

①求 E 点坐标．②试判断四边形 AEBC 的形状，并说明理由．

（3）试探索：在直线 BC 上是否存在一点 P ，使得△P AD 的周长最小，若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1） y = - 3 2 3

x 2 - x + 3 ，

3 3

令 x = 0 ，得 y = 3 ．

2 3

x 2 -

x + 3 = 0 ， 3

3

x 2 + 2 x - 3 = 0 ，

∴ x = 1 ， x = -3 ．

1 2

∴ A ，B ，C 三点的坐标分别为 A(-3， ， B(1， ， C (0，3) ．

（2）① E (-2， 3) ；

②四边形 AEBC 是矩形．

理由：四边形 AEBC 是平行四边形，且 ∠ACB = 90 ．