测量误差的基本知识 ppt课件
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第五章 测量误差的基本知识
2 ma
解：
α
D
+a
mS = ± 30 2 × 0.04 2 + 40 2 × 0.03 2
mS = ±1.7(m 2 )
1、求D 、 D＝Lcos α ＝ ＝165.50×cos15°30′ × ° ＝159.48m
2、求mD 、 （1）函数式 ） D=Lcosα （2）偏微分 ）
中误差m ㎜，中误差 d＝±0.2㎜，求实地距离 及其 ㎜ 求实地距离D及其 中误差。 中误差。 解： D＝500d ＝
n-1 [ vv ] m=± n-1
例1：
l 1 2 3 4 5 85°42′49″ ° 85°42′40″ ° 85°42′42″ ° 85°42′46″ ° 85°42′48″ ° l0=85°42′40″ ° △l 9 0 2 6 8 25 v ﹣4 ﹢5 ﹢3 ﹣1 ﹣3 0 vv 16 25 9 1 9 60
V △l（㎜） （㎜） （㎜）
vv 4 25 256 441 9 121 856
m2 = n n
=
L = l0 +
[ vv ] 1 2 + m
∑∆ l 25" = 85°42' 40" + 5 5 ＝85°42′45″ °
二、求观测值的函数的中误差 S＝ab （一）求偏微分 dS＝b da＋a db （二）以偶然误差代替微分元素
60 m=± 5 -1
m = ±3.9"
mD = 0.012 + 0.02 2 + 0.03 2
=±0.037（m） ± （ ） 六、线性函数的中误差 函数： 函数： z＝k1x1＋k2x2＋…＋knxn ＝ ＋ 偏微分： 偏微分： dz＝k1 dx1＋k2 dx2＋…＋kn dxn ＝ ＋ 中误差： 中误差：
测量误差基本知识PPT课件
大量的偶然误差具有统计性，或称之为 具有概率论的规律。
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性
《土木工程测量》PPT课件第5章-测量误差的基本知识
1 K限 2K中误差 D
△= L观– L理 = L-X
D
9.5cm =X
0
10
N1 2 3 4 5 6 7 L 9.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 △ 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1
Δ
o•
• •
• •
• •
N
（2）偶然误差的示例：
1)读数误差(水准测量)
1.5
1.6
1.7
1589 中丝读数： 1590
[例] 已知：D1=100m, m1=±0.02m，D2=200m，m2=±0.02m， 求： K1, K2
解：
K1
m1
D1
0.02 100
1 5000
K2
m2
D2
0.02 200
110000, 精度高。
3、相对极限误差
当绝对误差为极限误差时，K 称为相对极限误差。测量中取 相对极限误差为相对中误差的两倍，即
§5-1 测量误差概述
测量实践中可以发现，测量结果不可避免 的存在误差，比如： 1、对同一量多次观测，其观测值不相同。 2、观测值之和不等于理论值：
三角形 α+β+γ≠180°
闭合水准测量 ∑h≠0
一、测量误差及其来源
1、测量误差： 观测值：对某一被观测量进行直接观测所获得的数 值。 真值 ：任一观测量, 客观存在的能代表其大小的数值 （1）误差——真值与观测值之差（严格：真误差）
➢ 方差和中误差 ➢ 极限误差 ➢ 相对误差。
一、方差和中误差
➢ 定义: 在相同观测条件下，对某量（真值为X）进行n次 独立观测，观测值为：L1、L2、…、Ln；其相应的真误差为 Δ1，Δ2，……，Δn；则定义该组观测值的
工程测量第五篇(测量误差的基本知识)课件
重复性
系统误差在相同条件下多次测量时， 误差的大小和符号保持不变或按一定 的规律变化。
可预测性
系统误差可以通过一定的方法预测或 估计，并可进行修正。
稳定性
系统误差通常具有一定的稳定性，即 误差的大小和符号在一定时间内变化 较小。
规律性
系统误差通常具有一定的规律性，可 以通过数学模型或统计分析方法进行 描述和预测。
真实值
被测量的客观存在的值， 但实际上无法准确获得。
误差的表示方法
绝对误差、相对误差和引 用误差。
测量误差的来源差
人为误差
测量设备的精度限制、 老化、磨损等引起的误差。
温度、湿度、气压、风 速等环境因素对测量结
果的影响。
由于测量方法的局限性、 不完善或实施不当引起 的误差。
PART 02
随机误差
随机误差的特点
01
02
03
04
随机性
随机误差的产生无法预测，每 次测量结果都可能不同。
独立性
随机误差之间相互独立，一个 误差的出现不影响其他误差。
分布规律性
随机误差通常服从正态分布， 即大多数误差接近平均值，极
值误差较少。
大小性
随机误差的大小通常与测量精 度有关，测量精度越高，随机
2023 WORK SUMMARY
工程测量第五篇(测量 误差的基本知识)课件
REPORTING
CATALOGUE
• 测量误差概述 • 随机误差 • 系统误差 • 粗大误差
PART 01
测量误差概述
测量误差的定义
01
02
03
测量误差
在测量过程中，由于各种 因素的影响，使得测量结 果与被测量的真实值之间 存在一定的差异。
系统误差在相同条件下多次测量时， 误差的大小和符号保持不变或按一定 的规律变化。
可预测性
系统误差可以通过一定的方法预测或 估计，并可进行修正。
稳定性
系统误差通常具有一定的稳定性，即 误差的大小和符号在一定时间内变化 较小。
规律性
系统误差通常具有一定的规律性，可 以通过数学模型或统计分析方法进行 描述和预测。
真实值
被测量的客观存在的值， 但实际上无法准确获得。
误差的表示方法
绝对误差、相对误差和引 用误差。
测量误差的来源差
人为误差
测量设备的精度限制、 老化、磨损等引起的误差。
温度、湿度、气压、风 速等环境因素对测量结
果的影响。
由于测量方法的局限性、 不完善或实施不当引起 的误差。
PART 02
随机误差
随机误差的特点
01
02
03
04
随机性
随机误差的产生无法预测，每 次测量结果都可能不同。
独立性
随机误差之间相互独立，一个 误差的出现不影响其他误差。
分布规律性
随机误差通常服从正态分布， 即大多数误差接近平均值，极
值误差较少。
大小性
随机误差的大小通常与测量精 度有关，测量精度越高，随机
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• 测量误差概述 • 随机误差 • 系统误差 • 粗大误差
PART 01
测量误差概述
测量误差的定义
01
02
03
测量误差
在测量过程中，由于各种 因素的影响，使得测量结 果与被测量的真实值之间 存在一定的差异。
测量误差的基本知识
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。 思考题：一个边长为l的正方形，若测量一边中误差为ml＝±1cm，求周长
的中误差？若四边都测量，且测量精度相同，均为ml，则周长中误差是多 少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 • 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得观测值l1，l2，…ln • 算术平均值为 ：L=(l1+l2+…ln )/n=[l]/n • 算术平均值原理:当n→∞时，L=X • 证明：∆i＝li－X, [∆]=[l]－ nX，
mz
(
f x1
)
2
m12
( f x2
) 2 m22
... ( f xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
1、倍数函数：Z=kx
中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn
中误差：
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn
中误差：
mz m12 m22 ... mn2
此在测量工作中，我们常常取三倍中误差作为偶然误差的容许值（或限差），如果精 度要求较高时，就可以取两倍中误差作为限差，即：
∆容＝士 2|m| 或 ∆容＝士3|m |
§5.3 误差传播定律
• 误差传播定律：是指描述观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律 一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自变量（如直接观测值），他们的 中误差分别为m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
• 所以甲组精度高 关于中误差要注意两点 • 中误差（m）与真误差（ ∆ ）不同，它只是表示某一组
5测量误差的基本知识
3．外界条件的影响 例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等 因素的变化，均使观测结果产生误差。
人、仪器和外界条件，通常称 为观测条件
观测条件相同的各次观测，称 为等精度观测；
在观测结果中，有时还会出现 错误，称之为粗差。粗差在观测结 果中是不允许出现的
2
§5-1 测量误差及其分类
二、测量误差的分类
3
§5-1 Leabharlann 量误差及其分类2．偶然误差 在相同的观测条件下，
对某量进行一系列的观测， 如果误差的大小和符号都没 有表现出一致性倾向，表面 上没有任何规律，这种误差 称为偶然误差。
偶然误差是不可避免的。
4
§5-2 偶然误差的特性
偶然误差的四个特性：
（1）有限性 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值；
第五章 测量误差的基本知识
§5-1 测量误差及其分类
测量误差—观测值与真值之差 真值—对一个量多次观测的算术平均值
一、测量误差产生的原因
1．仪器误差 由于仪器和工具加工制造不完善或校正之后残余误差 存在所引起的误差。
2．人为误差 由于观测者感觉器官鉴别能力的局限性所引起的误差。
1
§5-1 测量误差及其分类
2.容许误差： 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称 为极限误差，也称限差或容许误差。
P 2m
如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以 认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。
3.相对误差： 相对中误差是中误差的绝对值与相应观测结果之比，并化 为分子为1的分数，即:
m1 mK D D
m
7
（2）聚中性 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； （3）对称性 绝对值相等的正、负误差出现的概率几乎相同；
人、仪器和外界条件，通常称 为观测条件
观测条件相同的各次观测，称 为等精度观测；
在观测结果中，有时还会出现 错误，称之为粗差。粗差在观测结 果中是不允许出现的
2
§5-1 测量误差及其分类
二、测量误差的分类
3
§5-1 Leabharlann 量误差及其分类2．偶然误差 在相同的观测条件下，
对某量进行一系列的观测， 如果误差的大小和符号都没 有表现出一致性倾向，表面 上没有任何规律，这种误差 称为偶然误差。
偶然误差是不可避免的。
4
§5-2 偶然误差的特性
偶然误差的四个特性：
（1）有限性 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值；
第五章 测量误差的基本知识
§5-1 测量误差及其分类
测量误差—观测值与真值之差 真值—对一个量多次观测的算术平均值
一、测量误差产生的原因
1．仪器误差 由于仪器和工具加工制造不完善或校正之后残余误差 存在所引起的误差。
2．人为误差 由于观测者感觉器官鉴别能力的局限性所引起的误差。
1
§5-1 测量误差及其分类
2.容许误差： 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称 为极限误差，也称限差或容许误差。
P 2m
如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以 认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。
3.相对误差： 相对中误差是中误差的绝对值与相应观测结果之比，并化 为分子为1的分数，即:
m1 mK D D
m
7
（2）聚中性 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； （3）对称性 绝对值相等的正、负误差出现的概率几乎相同；
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第五章 测量误差的基本知识
本章重点： 1、偶然误差的特点 2、评定精度的指标 3、中误差的计算 4、误差传播定律
本章难点： 1、中误差的计算 2、误差传播定律
1 重庆交通大学课件
一、概 述
1、误差的概念
从测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在
误差，比如： 1)对同一量多次观测，其观测值不相同。 2)观测值不等于理论值：
本章的主要内容就是在观测值具有大量偶然误差 的情况下如何求得最接近观测对象真值的值及如何评 定其精度高低的方法。
12 重庆交通大学课件
三、评定精度的标准
◆测量成果中都不可避免地 含有误差，在测量工作中， 是使用“精度”来判断观测 成果质量好坏的。所谓精度， 就是指误差分布的密集或离 散程度。误差分布密集，误 差就小，精度就高；反之， 误差分布离散，误差就大， 精度就低。
晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中 带有误差。
(2) 仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪 器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来 误差。
(3) 观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所限以及技 术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误
不可避免，无法消除，有互补性
7 重庆交通大学课件
◆粗差与多余观测
1、粗差：因读错、记错、测错造成的错误， 并非误差。
2、多余观测：观测某未知量时进行的多于 必要观测数外的观测。 多余观测为什么不多余？
（为什么要进行多余观测）
目的：发现错误，剔除粗差；
提高观测质量，进行精度评定。
重庆交通大学课件
8
二、偶然误差的统计特性
正态分布曲线
e f ()
1
2
2
2
2
偶然误差具 有正态分布 的特性
-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+2411
重庆交通大学课件
11
第一个特性说明偶然误差的“有界性”。它说明偶 然误差的绝对值有个限值，若超过这个限值，说明观 测条件不正常或有粗差存在；第二个特性反映了偶然 误差的“密集性”，即越是靠近0″，误差分布越密集； 第三个特性反映了偶然误差的对称性，即在各个区间 内，正负误差个数相等或极为接近；第四个特性反映 了偶然误差的“抵偿性”，它可由第三特性导出，即 在大量的偶然误差中，正负误差有相互抵消的特征。 因此，当n无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于 零。
在某测区，等精度观测了217个三角形的 内角之和，得到217个三角形闭合差i(偶然 误差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差 i 进行分析。
分析结果表明：当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次
误差的区间
０“～３＂ ３“～６＂ ６“～９＂ ９“～１２＂
三角形 α+β+γ≠180° 闭合水准 ∑h≠0
测量误差(△) =真值（X）- 观测值（L）
2 重庆交通大学课件
2、测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和感官鉴别能力的局限性及仪器本身 构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。
所以，测量误差主要来自以下三个方面： (1) 外界条件 主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清
１２“～１ １５５“＂～１ １８８“＂～２ ２１１“＂～２ ２４４“＂～２
７ 总＂ 和
个数 k
30 21 15 14 12 8 5 2 1 108
为正值
k
频率
n
k n d
0. 138
0.046
0.097
0.032
0.069
0.023
0.065
0.022
0.055
0.018
0.039
0.012
0.023
计算改正、观测方法、仪器检校
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2）偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果 单个误差出现的大小和符号均不一定(无规律)，则这 种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例如，用经 纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数误差等， 都属于偶然误差。
偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实 不能预知其出现的大小和符号。但若在一定的观测条 件下，对某量进行多次观测，误差列却呈现出一定的 规律性，称为统计规律。而且，随着观测次数的增加， 偶然误差的规律性表现得更加明显。
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再如，在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行 而产生夹角时，对水准尺的读数所产生的误差为
si/ ，它与水准仪至水准尺之间的距离S
成正比，所以这种误差按某种规律变化。
系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量 结果的影响很大。但是由于系统误差的大小和符号 有一定的规律，所以可以采取措施加以消除或减少 其影响。
0.008
0.009
0.003
0.005
0.002
0.5
0.166
个数 k
29 20 18 16 10 8 6 2 0 109
为负值
k
频率
n
0.134
k
n d
0.045
0.092
0.031
0.083
0.028
0.074
0.025
0.046
0.015
0.037
0.012
0.028
0.009
0.009
0.003
0.000
0.000
0.503
0.168
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10
k
◆在一定观测条件下，偶然误差 n d 的绝对值不会超过一定的限值
◆绝对值较小的误差比绝 对值较大的误差出现的概 率大；
◆绝对值相等的正误 差和负误差出现的概 率相同；
◆偶然误差的数学 期望为零，即
E () 0,
lim [ ] 0 n n
1）系统误差
在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出 现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为 系统误差。系统误差一般具有累积性。
系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不 完善。例如，用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢 尺的实际长度为50.005 m，则每量一尺，就带有+0.005 m的 误差(“+”表示在所量距离值中应加上)，丈量的尺段越多， 所产生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。
差。
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3
通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三 个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想 和不断变化，是产生测量误差的根本原因。
通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测； 观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。
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3、测量误差的分类
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统 误差和偶然误差。
本章重点： 1、偶然误差的特点 2、评定精度的指标 3、中误差的计算 4、误差传播定律
本章难点： 1、中误差的计算 2、误差传播定律
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一、概 述
1、误差的概念
从测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在
误差，比如： 1)对同一量多次观测，其观测值不相同。 2)观测值不等于理论值：
本章的主要内容就是在观测值具有大量偶然误差 的情况下如何求得最接近观测对象真值的值及如何评 定其精度高低的方法。
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三、评定精度的标准
◆测量成果中都不可避免地 含有误差，在测量工作中， 是使用“精度”来判断观测 成果质量好坏的。所谓精度， 就是指误差分布的密集或离 散程度。误差分布密集，误 差就小，精度就高；反之， 误差分布离散，误差就大， 精度就低。
晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中 带有误差。
(2) 仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪 器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来 误差。
(3) 观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所限以及技 术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误
不可避免，无法消除，有互补性
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◆粗差与多余观测
1、粗差：因读错、记错、测错造成的错误， 并非误差。
2、多余观测：观测某未知量时进行的多于 必要观测数外的观测。 多余观测为什么不多余？
（为什么要进行多余观测）
目的：发现错误，剔除粗差；
提高观测质量，进行精度评定。
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二、偶然误差的统计特性
正态分布曲线
e f ()
1
2
2
2
2
偶然误差具 有正态分布 的特性
-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+2411
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第一个特性说明偶然误差的“有界性”。它说明偶 然误差的绝对值有个限值，若超过这个限值，说明观 测条件不正常或有粗差存在；第二个特性反映了偶然 误差的“密集性”，即越是靠近0″，误差分布越密集； 第三个特性反映了偶然误差的对称性，即在各个区间 内，正负误差个数相等或极为接近；第四个特性反映 了偶然误差的“抵偿性”，它可由第三特性导出，即 在大量的偶然误差中，正负误差有相互抵消的特征。 因此，当n无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于 零。
在某测区，等精度观测了217个三角形的 内角之和，得到217个三角形闭合差i(偶然 误差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差 i 进行分析。
分析结果表明：当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次
误差的区间
０“～３＂ ３“～６＂ ６“～９＂ ９“～１２＂
三角形 α+β+γ≠180° 闭合水准 ∑h≠0
测量误差(△) =真值（X）- 观测值（L）
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2、测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和感官鉴别能力的局限性及仪器本身 构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。
所以，测量误差主要来自以下三个方面： (1) 外界条件 主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清
１２“～１ １５５“＂～１ １８８“＂～２ ２１１“＂～２ ２４４“＂～２
７ 总＂ 和
个数 k
30 21 15 14 12 8 5 2 1 108
为正值
k
频率
n
k n d
0. 138
0.046
0.097
0.032
0.069
0.023
0.065
0.022
0.055
0.018
0.039
0.012
0.023
计算改正、观测方法、仪器检校
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2）偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果 单个误差出现的大小和符号均不一定(无规律)，则这 种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例如，用经 纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数误差等， 都属于偶然误差。
偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实 不能预知其出现的大小和符号。但若在一定的观测条 件下，对某量进行多次观测，误差列却呈现出一定的 规律性，称为统计规律。而且，随着观测次数的增加， 偶然误差的规律性表现得更加明显。
5 重庆交通大学课件
再如，在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行 而产生夹角时，对水准尺的读数所产生的误差为
si/ ，它与水准仪至水准尺之间的距离S
成正比，所以这种误差按某种规律变化。
系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量 结果的影响很大。但是由于系统误差的大小和符号 有一定的规律，所以可以采取措施加以消除或减少 其影响。
0.008
0.009
0.003
0.005
0.002
0.5
0.166
个数 k
29 20 18 16 10 8 6 2 0 109
为负值
k
频率
n
0.134
k
n d
0.045
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0.028
0.074
0.025
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0.015
0.037
0.012
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0.009
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0.003
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k
◆在一定观测条件下，偶然误差 n d 的绝对值不会超过一定的限值
◆绝对值较小的误差比绝 对值较大的误差出现的概 率大；
◆绝对值相等的正误 差和负误差出现的概 率相同；
◆偶然误差的数学 期望为零，即
E () 0,
lim [ ] 0 n n
1）系统误差
在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出 现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为 系统误差。系统误差一般具有累积性。
系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不 完善。例如，用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢 尺的实际长度为50.005 m，则每量一尺，就带有+0.005 m的 误差(“+”表示在所量距离值中应加上)，丈量的尺段越多， 所产生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。
差。
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3
通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三 个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想 和不断变化，是产生测量误差的根本原因。
通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测； 观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。
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3、测量误差的分类
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统 误差和偶然误差。