第四章 气体内的输运过程

u0
B
流体沿x 方向作定向流动, 并且流动速率u沿z方向递 增 。 u是z的函数 u u ( z ) 流速梯度
du dz
u u( z )
o
u0
A x
沿z方向所出现的流速空间 变化率。 15
15
z
黏性力的大小与两部分 的接触面dS和截面所在 处的流速梯度成正比。
u0
df dS
L
14
14
一 . 黏性现象的宏观定律
当气体各层流速不同时，通过任一平行于流速的截 面，相邻两部分气体将沿平行于截面方向互施作用 力，结果使得流动慢的气层加速，使流动快的气层 减速。这种相互作用力称为内摩擦力，也叫做黏性 力。这种现象称为内摩擦现象，也叫做黏性现象。
z
L
z0
df dS df
23
23
我们这里研究的是：纯扩散--仅仅是由于分 子的无规则运动和碰撞引起的扩散过程。
不存在宏观气流
实现纯扩散的条件
P、T各处均匀 n各处均匀 不同气体的分子质量相等
即：混合气体各处的密度、压强、温度都相 同，只是组成混合气体的各组分密度不均匀
24
24
25
25
系统中某种气体的密度 沿z 方向增大,其不均匀 情况用密度梯度d /dz 表示。 设想在z=z0 处有一界面 dS,实验指出，在dt内 通过dS 面传递的气体 质量为:
z
v


448 6.9 10
8
6.5 10 s
9
1
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12
12
二 . 分子按自由程的分布
y P(x) 1/λ
x
z
0 0 N0
x t N
x+dx t+dt N+dN
0
x x+dx
x
经过dx路程分子数的减少量
N x exp( ), N0
dN
1

Ndx
分子行进到 x 出的残存概率。 以 表示的自由程分布。
P (mmHg) 760 1 10-4 ( m) 710-8 510-5 510-1
若超过了容器的线度 l, >> l
10-6…… 50 ……
----真空。
在这种情况下,可以认为 l
。
10
10
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程 气体
(m)
d (m)
氢
1.13 10
7
0
22
22
三.扩散现象的宏观定律
扩散(diffusion) 在混合气体内部，当某种气体
在各处的密度不均匀时，这种气体将从密度大的地 方向密度小的地方散布，这种现象叫扩散。
若 不 均 匀 则 n不 均 匀 mn 一种气体 p n kT 则 p不 均 匀 则 产 生 宏 观 气 流
28
这样,在dt 时间内,从 dS一侧跑到另一侧 的分子数为
dN 1 6 n v dt dS
z
z0
u u0



z0
z0
pz
dS
pz
x
u0
（2）假设分子越过 dS 面之前都是在离 dS 面距离 约为平均自由程处发生最后一次碰撞的， 而且它们带过来的定向动量,就是在那里 的定向动量…… “一次同化论”假设。
27
27
内摩擦现象的微观本质是： 分子在无序的热运动中输运定向动量的过程。 下面近似地推导关系式：
气体黏性系数

1 3
nm v
简化模型: (1) u 宏观流速 v 分子热运动平均速率 如果 可认为气体处于平衡态
(2)认为dS上下交换的分子都是沿z轴运动的， n 并且单位体积中各有 的分子沿 + z, - z 6 28 方向运动。
z0
df
B
u u( z )
o
u0
A x
f (
du dz
) z0 dS
——牛顿黏性定律
——是流体的黏性系数，单位：NSM-2，表示单
位时间、单位面积、单位速度梯度上输运的动量。
( du dz ) z ——是流体定向流动速率梯度在z0处之值
0
16
ds——是在z0处两流体层接触面的面积。
z u n π d nu
v

v
碰撞夹角 有各种可能（0 — 180）
90 u
u
2v
7

z
2 π d nv
2
7
例.数量级的概念： 氧气O2 ,标准状态下，以 d 310-10m估计
v
n
8 RT πM
P kT

8 8 . 31 273 π 32 10
13
dN 1 x exp( )dx, N0
13
§ 4.2 输运过程的宏观规律
(Macroscopic Law of Transport Process )
当气体处于非平衡状态下，气体内部或者各 部分的温度不相等，或者各部分的压强不相 等，或者各气层之间有相对运动，或者这三 者同时存在。在这些非平衡状态下，气体内 部将有能量、质量或动量从一个部分向另一 个部分定向迁移，这种由非平衡态向平衡态 的变化过程就是气体的输运过程。 黏性现象、热传导现象、扩散现象
d 3.5 10
10
m
11
11


kT 2 d p
2
1.38 10
23
273
10
1.41 3.14 (3.5 10
) 1.01 10
5
6.9 10 m
8
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
8 RT 空气分子在标准状态下 v 448m / s M mol 的平均速率
z
2 > 1 2
z0 O x
dM
ΔS
1
y
d dM D dSdt dz z0
——菲克定律
D 为扩散系数,单位m 2s-1，表示单位时间、 26 单位面积、单位密度梯度上所输运的质量。26
§ 4.3 输运过程的微观解释
一 . 黏性现象的微观解释
从分子运动角度看内摩擦现象：
1 . 01 10
5 23
3
425 m/s
25 3
1 . 38 10
2
273
2 . 68 10
/m
z
2 πd vn 2 π 3 10
9

10

2
425 2 . 68 10
25
4 . 55 10 /s
8
8
平均自由程与压强、温度的关系
一个分子在相邻两次碰撞之间的平均 路程称为平均自由程，记作 。
z
L
df dS
u0
B
从分子运动看,各层流体的流速不 z0 同, 是在各层分子无规则热运动之 上加上去的定向运动的速度不同。 o
df
u u( z )
u0
A x
由于热运动,下层的分子跑到上层时带去 较小的定向动量; 上层的分子跑到下层时带去较大的定向动量, 下层的定向动量增大,所以宏观上看 等于下层受到了指向前方的内摩擦力。

v z
5
5
平均碰撞频率与平均速率的关系
理想气体，在平衡态下，并假定： （1）只有一种分子； （2）分子可视作有效直径为 d 的刚球；
（3）只有某一个分子A以平均相对速率 u 运动， 其余的分子静止。分子A走的是一条折线。
一秒钟内它 与多少个分 子碰撞?
A 2d d 中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞
热 学
1
第4章 气体内的输运过程
4.1 气体分子的平均自由程
4.2 输运过程的宏观规律 4.3 输运过程的微观过程
2
2
输运过程（transport process）
非平衡态下气体各部分性质不均匀。
热运动+碰撞 、p、m 的迁移
气体系统由非平衡态向平衡态转变的过程，就 称为输运过程。扩散过程、热传导过程和黏性 性现象都是典型的输运过程。 扩散：密度 不均匀 m的迁移 输运过程 热传导：温度T不均均 热 的迁移 分子定向速度u 不均匀 内摩擦(黏性)： 定向运动动量 p的迁移 3
20
20
二. 热传导现象的宏观定律
热传导(heat conduction)
当系统内各部分的温度不均匀时，就有热量从 温度较高的地方传递到温度较低的地方，由于温差 而产生的热量传递现象。
傅立叶定律
设 Q 为单位时间内通过的热量简称为热流，则
Q


dT dz
A
傅立叶定律
J T dT dz
4
4
在相同的t时间内，分子由A到 B的位移大小比它的路程小得多 扩散速率
A
B
(位移量/时间)
(路程/时间)
平均速率
平均碰撞频率(mean collision frequency) z ： 单位时间内一个气体分子与其它分子碰撞的 平均次数。 平均自由程(mean free path) ：气体分子 在相邻两次碰撞间飞行的平均路程 —
16
dK ：表示一段时间dt内通过截面积ds沿z 轴正方向疏运的动量 根据动量定理: 将
dK = fdt
f (
du dz
) z0 dS 代入上式得:
注:因为动量是沿着流速减小方向输运的，若
du
0
17
dz 则 dk<0 ,而粘滞系数总是正的,所以应加一负号
17
：与流体的性质和状态有关,
可以实验测定。 测定 的实验装置简图：
分子由上到下携带 的动量是 p z 0 ;
分子由下到上携带 的动量是 p z 0 .
29
29
分子由上到下携带 的动量是 p z ;
0
z
z0
u u0

z0
z0
pz
dS
分子由下到上携带 的动量是 p z .
0
pz
x
u0
因此,在 dt 时间内, 在 dS 下方的流体层 净增加的定向动量为
21
若设热流密度为JT,则：
21
T2 ( T1 )
B
温度梯度
dT dz
z0
dS
dQ
T T (z)
表示流体中温度沿z 轴方向的空间变化率。
x
o
T1
A
在dt时间内，从温度较高的一侧，通过这一平 面向温度较低的一侧所传递的热量，与这一平面所 在处的温度梯度和面积元成正比 热导率 恒为正值 能量流动方 dT dQ κ 向与温度梯 dSdt dz z 度方向相反



π d2
u



n
6
6 — 碰撞截面 （collision cross-section）
中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞

A 2d d



π d2
u


n
u
2
— 碰撞截面 （collision cross-section）
单位时间内扫过的体积
3
§ 4.1 气体分子的平均自由程
一 . 分子的平均自由程和碰撞频率
气体分子 平均速率
矛盾
v 1.60 RT M mol
氮气分子在270C时的 平均速率为476m.s-1.
气体分子热运动平均速率高， 但气体扩散过程进行得相当慢。
克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前 进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分 子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。
提示：因δ<<R ，可认为夹层内的 速度梯度处处相等
19
19
解： 外桶的线速度
M
u R u 0
R
2 R L
3
内桶的线速度 夹层流体的速度梯度
A
B
L
R R+δ ω
黏性力对扭丝作用的合力矩：
G 2 RL
R
R

3
所以，气体的黏度为：
G 2 R L

v z

v 2 π d vn
1
2

1 2 πd n
2

2 πd n
2
因为P = nkT 所以也可以写成

kT 2 πd P
9
2
9

kT 2 πd P
2
当温度一定时, 压强越小,平均自由程越大。
例. 空气 , t = 0oC,
d 3.510-10m,
在不同压强时对应的 平均自由程 ：
A筒保持一定的转速，B筒相应 地偏转一定的角度（可由小镜反 射的光线测得）； 悬丝的扭转系数和 B 筒的半径 都是已知的，可算出内摩擦力； 速度梯度和面积也可以直接测得；
旋转黏度计
18
C
小镜
B
A
于是，从公式可以算出 内摩擦系数。
18
M
B
A
L
R R+δ ω
例题：旋转黏度计是为了测定气体的 黏度而设计的仪器,其结构如图所示。 扭丝悬吊一只外径为R、长为L的内 圆筒，筒外同心套上一只长亦为L、 内径为R+δ的外圆筒(δ<<R),内、外筒 的隔层装有被测气体。使外筒以恒定 角速度ω旋转，这时内筒所受的气体 黏性力产生的力矩被扭丝的扭转力矩 G所平衡。G可由装在扭丝上的反光 镜M的偏转角度测定。试导出被测气 体的黏度表达式
氮
0.599 10 3.10 10
7
氧
0.647 10
7
空气
7.0 10
8
2.30 10
10
10
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平 均碰撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知
空气的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013 105 Pa,