第五节高阶偏导数

例5
设z
1 x
f ( xy) y( x y),
f , 具有二阶
2z
连续偏导,求 xy .
x
x
x
x
解f u v
f u
v
y
y
y
y
zx
1 x2
f
1 x
f x
y x
1 x2
f
y x
f
y
zxy
1 x2
f y
1 x
f
y x
(
f
)y
y( )y
yf y
例6 设 z f (2x y) g( x, xy), 其中 f (t)二阶
再将前面求出的代入.
例4
设z
f ( xy, x2 y2 ), 求
2z 2z x2 , xy .
解 令 u xy v x2 y2 则 z f (u, v)
ux
ux
ux
zv
y fu v
y
f
v
v
y
zx yfu 2 xfv
zxx y( fu)x 2 fv 2x( fv)x
y( yfuu 2 xfuv ) 2 fv 2 x( yfvu 2 xfvv ) y2 fuu 4 xyfuv 2 fv 4 x 2 fvv
第五节 高阶偏导数
定义 一阶偏导的偏导数,称为二阶偏导. 二阶偏导的偏导数,称为三阶偏导. 三阶偏导的偏导数,称为四阶偏导.
二阶以及二阶以上的称为高阶偏导.
(1)n阶偏导一共 2n 个.
(2)高阶偏导主要掌握二阶偏导.
(3)二阶偏导记号:
f xx
zxx
2z x 2
2 f x 2
f xy
zxy
f yx
解 z 3x2 y 6xy3
x
2z x 2
6xy 6 y3
z
y
x3 9x2 y2
2z y 2
18x2
y
2z 3x2 18xy2 xy
2z 3x2 18xy2 . yx
例2 设 u e xy sin z, 求
3u .
xyz
解 u ye xy sin z
x 2u e xy sin z xye xy sin z xy
e xy (1 xy)sin z
3u e xy (1 xy)cos z. xyz
例3 x ln z 所确定的函数 z f ( x, y),求 2z .
zy
xy
解 令 F(x, y, z) x z ln z z ln y
则 Fx 1
Fy
z y
Fz ln z 1 ln y
令 u xy v x2 y2 则 z f (u, v)
ux
ux
ux
zv
y fu v
y
f
v
v
y
zx yfu 2 xfv
zxy fu y( fu)y 2 x( fv)y fu y( xfuu 2 yfuv ) 2x( xfvu 2 yfvv ) fu xyfuu 2( x2 y2 ) fuv 4 xyfvv .
(
y x
)
(
y ), x
求
x 2 zxx
2xyzxy
y 2 zyy .
解
fu
x
v
x f u
x
v
x
y
y
y
y
zx
f xf x x
f
y x
f
y x2
zy
xf y y
f
1
x
zxx
f x
y x2
f
y x
(
f
)x
2y x3
y x2
( )x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2 x3
f
2y x3
y x
2 4
zxx
f x
y x2
故 z
1
z
z
x ln z 1 ln y y y(ln z 1 ln y)
1 z 1
2z
xy
y
( ln
z
1 1
ln
) y
(ln
z y z 1
y ln
y)2
ln z ln y (ln z 1 ln y)3 .
注
隐函数求二阶偏导时: 1.要在一阶偏导的基础上用原始法则求, 2.同时注意到 z f ( x, y), 3.遇到 z 的地方先写一偏导符号,
zyx
f yy
zyy
2z xy 2z yx 2z y 2
2 f xy 2 f yx 2 f y2
定理8.4 若 f xy ( x, y) 和 f yx( x, y) 在点 ( x, y)
处连续,则 f xy ( x, y) f yx( x, y).
例1 求 z x3 y 3x2 y3 的二阶偏导数.
可导, g(u, v) 二阶偏导连续,求 2z .
xy
x
解f 1 y
1x g
2y
x
f 1 y
1x
1x
g1 2
y g2 2
y
zx f x gx 2 f g1 yg2
zxy 2( f )y ( g1 )y g2 y( g2 )y
2 f xg12 g2 xyg22
例7
设
z
xf
f
y x
(
f
)x
2y x3
y x2
(
)x
y2 x3
f
2y x3
y2 x4
zxy
f
y
1 x
f
y x
(
f
)y
1 x2
y x2
(
)y
y x2
f
1 x2
y x3
zyy
( f )y
1 x
(
)y
1 x
f
1 x2
x2zxx 2xyzxy y2zyy 0.
作业题 习题八(A) 9、20①②.