2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十三)数学

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十三）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，若12z zz =，则z 的共复数z =（ ）A.1322i + B.1322i - C. 1322i -+ D. 1322i -- 【答案】A 【解析】 【分析】如图，先判断出12,z z 对应的复数，然后根据复数除法计算出z 的值，即可求解出z 的值.【详解】由图可知：1212,1z i z i =+=-+，所以()()()()1212112131112i i z i i z z i i i +--+-====-+-+--， 所以1322z i =+. 故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义、复数除法运算、共轭复数的求解，难度较易.注意互为共轭复数的两个复数的实部相同虚部互为相反数. 2.已知{}210A x x =-≥，{}xB y y e ==，则AB =（ ）A. ()0,∞+B. (],1-∞C. [)1,+∞D. (][),11,-∞-+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法以及指数函数的值域求解出,A B ，再根据交集概念即可计算出A B 的结果.【详解】因为210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，所以(][),11,A =-∞-+∞，又因为0xy e =>，所以()0,B =+∞，所以[)1,A B ⋂=+∞， 故选：C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、指数函数的值域、集合的交集运算，属于综合问题，难度一般. 3.若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】本道题结合指数,对数运算性质,结合1和对数单调性进行判断,即可.【详解】32a ==,33322222log 3log 3log 2log 1b a ==>==>13213c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,故c a b <<,故选D.【点睛】本道题考查了指数、对数比较大小，可以结合1以及对数性质进行比较，难度中等．4.2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、方差、极差的特点进行判断即可.【详解】A ．去掉最高分、最低分后，中位数仍旧是处于中间位置（从小到大排列）的那个数，不发生改变； B ．去掉最高分、最低分后，平均数是否发生改变与去掉的分数有关，不能确定是否变化； C ．去掉最高分、最低分后，方差的确定和平均数、数据个数有关，因此方差也不确定； D ．去掉最高分、最低分后，极差可能发生改变，亦可能不改变. 故选：A.【点睛】本题考查对样本数字特征的理解，难度较易.注意：一组数据（数据个数大于等于3）的中位数不会随着这组数据去掉最大、最小值发生改变. 5.函数()1ln 1y x x =-+的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】计算导数，通过导数判断原函数的单调性，然后判断(),ln 1x x +大小关系，可得结果. 【详解】由题可知：函数定义为()()1,00,x ∈-+∞()()()'221011ln 11ln 1x x y x x x x x ⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭==-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦当()1,0x ∈-时，'0y > 当()0,x ∈+∞时，'0y <所以可知：原函数在()1,0-递增，在()0,∞+递减 令()()ln 1g x x x =-+，则()'1111xg x x x =-=++ 当()1,0x ∈-时，()'0g x <当()0,x ∈+∞时，()'0g x >则()g x 在()1,0-递减，且()()00g x g >=()g x 在()0,∞+递增，()()00g x g >=所以函数()1ln 1y x x =-+在定义域中，函数值均大于0故选：A【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属中档题. 6.已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是（ ） 31- B. 31+C. 2D. 23-【答案】A 【解析】 【分析】先确定向量a 、b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值. 【详解】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===， 则由π,3a e =得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=， 由2430b e b -⋅+=得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -的最小值为圆心()2,0到直线y =的距离211.选A. 【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.7.已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A.23B.12C.13D.14【答案】D 【解析】【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP斜率为6得，222tan sin cos 6PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 8.已知()|sin |f x x π=，123,,A A A 为图象的顶点，O ，B ，C ，D 为()f x 与x 轴的交点，线段3A D 上有五个不同的点125,,,Q Q Q ．记2(1,2,,5)i i n OA OQ i =⋅=，则15n n ++的值为（ ）A.1532B. 45C.452D.1534【答案】C 【解析】 【分析】通过分析几何关系，求出230A OC ︒∠=，260A O C ︒∠=，再将i n 表示成222()=i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD =⋅=⋅+⋅，结合向量的数量积公式求解即可【详解】解：由图中几何关系可知，32OE =,23A E =,23OA =21A C =230A OC ︒∠=∴ 260A O C ︒∠=，32//A D A C ,∴23OA DA ⊥，即23OA DA ⊥．则2222()cos6i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD OA OD π=⋅=⋅+=⋅=⋅，153453352n n ++==答案选C【点睛】本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量2OA ，OD 是关键二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分.9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A. 12a =- B. 12a =C. 4d =D. 4d =-【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件，构造关于1,a d 的方程组，即可求解出1,a d 的值并完成选项的判断.【详解】因为45161272461548a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，所以124a d =-⎧⎨=⎩，故选：AC .【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及等差数列求和公式中的基本量的计算，难度较易.已知两个关于等差数列的等式，求解等差数列首项和公差的常见方法：（1）化简为关于首项1a 、公差d 的方程组求解；（2）借助等差数列的性质进行求解. 10.已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A. 函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B. 函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D. 函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据对称轴可得4πϕ=-,即()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,将12x π+代入判断函数奇偶性进而判断选项A ；先求出()f x 的单调增区间,再判断,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是否为其子集来判断B ；将问题转化为符合条件的区间至少包含一个最大值,一个最小值,即需包含半个周期,即可判断C ；根据图像变换规则判断D 即可 【详解】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确； 对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误； 对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确； 对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D错误 故选：AC【点睛】本题考查正弦型函数的对称性,周期性,单调性的应用,考查转化思想,熟练掌握正弦型函数的图象与性质是解题关键11.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ）A. 沙漏中的细沙体积为3102481cm πB. 沙漏的体积是3128cm πC. 细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD. 该沙漏的一个沙时大约是1985秒（ 3.14π≈） 【答案】ACD 【解析】 【分析】A ．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B ．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C ．根据等体积法计算出沙堆的高度；D ．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.【详解】A ．根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比， 所以细沙的底面半径28433r cm =⨯=，所以体积23121641610243339381h V r cm πππ=⋅⋅=⋅⋅=； B ．沙漏的体积2231125622483233h V h cm πππ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭； C ．设细沙流入下部后的高度为1h ，根据细沙体积不变可知：21102418132h h ππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1102416813h ππ=，所以1 2.4h cm ≈； D ．因为细沙的体积为3102481cm π，沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙， 所以一个沙时为：10241024 3.14815019850.0281π⨯=⨯≈秒. 故选：ACD.【点睛】本题考查圆锥体积有关的计算，涉及到新定义的问题，难度一般.解题的关键是对于圆锥这个几何体要有清晰的认识，同时要熟练掌握圆锥体积有关的计算公式.12.在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ） A. 在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD 'B. 存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC. 若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，||104A B '= D. 在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为23【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即可判断出结论.对于C ，12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+，结合余弦定理即可得出.对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确.对于C.12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：可得AM ⊥平面BCDE ， 则22223111010()1()21cos12022224A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确； 对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE fS λλλλ=⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得33λ=时，函数()f λ取得最大值()31231339f λ⎫=-=⎪⎝⎭，因此D 正确.综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC.【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在)5111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项等于___【答案】9 【解析】 【分析】 先求出二项式)51x 展开式的通项，然后根据分类讨论的方法得到常数项．【详解】二项式)51x 的展开式的通项为552155)(0,1,2,,5)r r rrr T C x C xr --+===，∴)5111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为3555(1)1019C C +-⨯=-=．故答案为9．【点睛】对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况． 14.对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件：①离心率为2；②一条渐近线的倾斜角为30；③实轴长为4，且焦点在x 轴上. 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程________.【答案】①②()2203x y λλ-=>或()2203x y λλ-=>；①③221412x y -=；②③223144x y -= 【解析】 【分析】选①②：根据,,a b c 之间的比值关系确定出双曲线方程； 选①③：根据离心率以及a 的值确定出双曲线的方程； 选②③：根据a 以及ba的值确定出双曲线的方程. 【详解】若选①②：若双曲线的焦点在x 轴上，则设双曲线方程为22221x ya b-=，所以2tan 30c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=︒⎪⎩，所以2c a a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为()2203x y λλ-=>，若双曲线的焦点在y 轴上，则设双曲线方程为22221y xa b-=，所以2tan 30ca a b⎧=⎪⎪⎨⎪=︒⎪⎩，所以2c a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为()2203x y λλ-=>；若选①③：因为224c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以42c a =⎧⎨=⎩，所以2b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩221412x y -=；若选②③：因为tan 302b a a ⎧=︒⎪⎨⎪=⎩，所以32b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以双曲线方程为：223144x y -=.故答案为：()2203x y λλ-=>(或()2203x y λλ-=>或221412x y -=或223144x y -=). 【点睛】本题考查根据已知条件求解双曲线的方程，着重考查双曲线几何性质中的离心率、渐近线知识，难度一般.一般求解双曲线的标准方程时，注意观察双曲线的焦点位置并假设方程.15.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}n a 满足11a =，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次. 【答案】16 【解析】 【分析】根据已知的数列递推公式，得到5a 与1a 的等量关系，即可计算出解下5个圆环需最少移动的次数. 【详解】因为()54332222124a a a a =+=-+=，所以()()53221144228882181616a a a a a a ==+=+=-+==， 所以解下5个圆环需最少移动的次数为16. 故答案为：16.【点睛】本题考查递推数列的简单应用，难度较易.解答问题的关键是能根据n 的奇偶选择合适的递推公式进行计算.16.已知集合{}001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1nn A A φ-=对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“ϕ”(I)具有性质“ϕ”的一个一次函数的解析式可以是 _____； (Ⅱ)给出下列函数：①1y x =；②21y x =+；③cos()22y x π=+，其中具有性质“ϕ”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）【答案】 (1). 1y x =+（答案不唯一） (2). ①② 【解析】 【分析】(I)根据题意，只需找到满足题中条件的函数即可，如1y x =+； (Ⅱ)根据题中条件，逐个判断所给函数即可得出结果.【详解】(I)对于解析式：1y x =+，因为{}001A x x =<<，{}112A x x =<<，{}223A x x =<<…符合1n n A A φ-⋂=．(Ⅱ) 对于①{}001A x x =<<，{}11A x x =＞，{}201A x x =<<…，循环下去，符合1n n A A φ-⋂=； 对于②{}001A x x =<<，{}112A x x =＜＜，{}225A x x =<<，{}3526A x x =<<…，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合1n n A A φ-⋂=，对于③，{}001A x x =<<，{}123A x x =＜＜，{}212A x x =<<，{}312A x x =<<不符合1n n A A φ-⋂=，所以，选①②【点睛】本题主要考查集合的交集以及函数值域问题，熟记交集的概念，掌握求函数值域的方法即可，属于常考题型.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，364,27a S ==. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .【答案】（1）1n a n =+；（2）5m =； 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式以及数列的求和公式，求出数列的首项以及公差，然后求解通项公式. （2）说明数列是等比数列，然后求解数列和，求解m 即可. 【详解】（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 由已知得112461527a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩. 所以()111n a a n d n =+-=+.（2）因为2n an b =，由（1）可得12n n b +=，∴{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则()()41242112n n nT -==--.由124m T =，得()421124m-=，解得5m =.【点睛】本题考查数列的通项公式以及数列求和以及应用，考查计算能力，属于基础题.18.在平面四边形ABCD 中，ABD △中边BD 所对的角为A ，BCD 中边BD 所对的角为C ，已知2AB BC CD ===，23AD =.（13cos A C -是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；（2）记ABD △与BCD 的面积分别为1S 和2S ，求出2212S S +的最大值.【答案】（13cos A C -为定值1.（2）14 【解析】 【分析】（1）由已知结合余弦定理，分别表示BD ，从而建立关于A 的三角关系，化简可求； （2）结合三角形的面积及（1）的结论进行化简可求.【详解】（1）在ABD △中，由余弦定理得2412831683BD A A =+-=-， 在BCD 中，由余弦定理得2448cos BD C =+-， 所以168388cos A C -=-， 则()83cos 8A C -=，3cos 1A C -=； 3cos A C -为定值1. （2）11223sin 232S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=，则()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C A C +=+=-+，由（1）可知3cos 1cos A C =+， 代入上式得()22222121612cos 43cos 124cos 83cos 12S S A A A A +=---=-++，配方得22212324cos 146S S A ⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴当3cos A =时，2212S S +取到最大14. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数的关系在求解三角形中的应用，属于中档题.19.已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面P AD ，E,F ,G ,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）π3（Ⅲ）不存在，见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）正三角形PAD 中PO ⊥AD ，由CD ⊥平面PAD 得到PO ⊥CD ，所以得到PO ⊥面ABCD ；（Ⅱ）以O 点为原点建立空间直角坐标系，根据平面EFG 的法向量，和平面ABCD 的法向量，从而得到平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）线段PA 上存在满足题意的点M ，直线GM 与平面EFG 法向量的夹角为3π，设PM PA λ=，[]0,1λ∈，利用向量的夹角公式，得到关于λ的方程，证明方程无解，从而得到不存在满足要求的点M . 【详解】（Ⅰ）证明:因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 PO ⊥AD .又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥CD .AD CD D =，AD CD ⊂，平面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD .（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,23)O A B C D G P --，(1,3),(3)E F --，(0,2,0),(1,2,3)EF EG =-=，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =所以00EF m EG m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20,230,y x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩令1z =，则 (3,01)m =，， 又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ， 所以()221cos 2311m n m nθ⋅===+⨯.所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为π3. （Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ， 使得直线GM 与平面EFG 所成角为6π， 即直线GM 与平面EFG 法向量m 所成的角为3π， 设PM PA λ=，[]0,1λ∈，,GM GP PM GP PA λ=+=+，所以)()2,1GM λλ=--所以coscos ,3GM m π==，整理得22320λλ-+=，∆<0，方程无解，所以，不存在这样的点M .【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在性问题.20.已知抛物线()2:20C y px p =>，直线:1l y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）求过点A ，B 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.【答案】（1）24y x =（2）()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线，再根据弦长公式以及8AB =即可计算出p 的值，从而C 的方程可求； （2）根据过弦的中点垂直于弦的直线过圆心、圆心到弦的距离的平方加上半弦长的平方等于半径的平方，得到关于圆心坐标的方程组，求解出圆心即可求解出圆的方程.【详解】解：（1）由221y px y x ⎧=⎨=-⎩，得()22110x p x -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()1221x x p +=+，121=x x8AB ====，8=，解得2p =，所以抛物线C 的方程24y x =； （2）由（1）得()12132x x p +=+=，312y =-=，即AB 的中点坐标为()3,2， 则AB 的中垂线方程为()23y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为()00,x y ，则()()0022000511162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为()()223216x y -+-=或()()22116144x y -++=【点睛】本题考查直线与圆、抛物线的综合应用，难度一般.（1）根据条件求解圆的方程时，注意借助圆的几何性质完成解答：圆心与弦中点连线垂直且平分弦、半径平方等于圆心到直线距离的平方加上半弦长的平方；（2）常见的弦长公式：12AB x =-=12AB y =-=.21.已知函数()cos sin xf x e x x x =-，()sin xg x x =，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，试求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->． 【答案】（Ⅰ）)1,+∞；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】试题分析：第一问根据题意将问题转化为()f x 在区间[,0]2π-上的最大值小于等于()m g x +在区间[0,]2π上的最大值，之后根据函数的单调性求得相应的最值，第二问转化不等式，将问题转化为一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，从而求得结果． 试题解析：（Ⅰ） 由题意，12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立， 等价于[]1max 2max ()()f x mg x ≤+．1分()(cos sin )(sin cos )()cos (1)sin x x x f x e x x x x x e x x e x =----+'+=，当π[,0]2x ∈-时，()0f x '>，故()f x 在区间π[0,]2上单调递增， 所以0x =时，()f x 取得最大值1．即max ()1f x =又当π[0,]2x ∈时，()cos xg x x ='，()sin 0xg x x ''=-<所以()g x '在π[0,]2上单调递减，所以()()010g x g ≤='<'，故()g x 在区间π[0,]2上单调递减，因此，0x =时，max ()(0)2g x g ==-． 所以12m ≤-，则21m ≥+．实数m 的取值范围是)21,⎡++∞⎣． （Ⅱ）当1x >-时，要证，只要证e cos sin sin 2e 0x x x x x x --+>，即证()()ecos 21sin xx x x +>+，由于cos 20,10x x +>+>，只要证e 1cos 2x x x >++． 下面证明1x >-时，不等式e 1sin 2x x x >++成立． 令()()e11xh x x x =>-+，则()()()()22e 1e e 11x xxx x h x x x =+'+-=+，当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以当且仅当0x =时，()h x 取最小值为1．法一：cos 2k x =+，则cos 2sin k x k x +=，即sin cos 2x k x k -=，即22sin()1k x kϕ-=+，由三角函数的有界性，2211k k≤+，即11k -≤≤，所以max 1k =，而()()min01h x h ==，但当0x =时，()010k h =<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，max min e 1cos 2x x x ⎛⎫> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即e 1cos 2x x x >++ 综上所述，当1x >-时，成立．法二：令()cos 2x x ϕ=+，其可看作点()cos ,sin A x x 与点()2,0B 连线的斜率k ，所以直线AB 的方程为：(2y k x =+，由于点A 在圆221x y +=上，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切，当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时，直线AB 取得斜率k 的最大值为1．而当0x =时，()(0)010h ϕ=<=； 0x ≠时，()1h x k >≥．所以，minmax ()()h x x ϕ>，即e sin 1cos 2x x x x >++ 综上所述，当1x >-时，成立． 法三：令()cos 2x x ϕ=+，则212cos ()(cos 2)x x x ϕ'+=+， 当32,()4x k k N ππ=+∈时，()x ϕ取得最大值1，而()()min 01h x h ==， 但当0x =时，()()0010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，min max ()()h x x ϕ>，即e 1cos 2x x x >++ 综上所述，当1x >-时，成立． 考点：等价转化的思想，恒成立问题的解决方法．22.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x 元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？2.63≈，若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）17.40千元；（2）（i ）14.77千元.（ii ）978人.【解析】【分析】（1）求解每一组数据的组中值与频率的乘积，将结果相加即可得到对应的x ；（2）（i ）根据()P x μσ>-的数值判断出年收入的取值范围，从而可计算出最低年收入；（ii ）根据()2P x μσ≥-的数值判断出每个农民年收入不少于12.14千元的概率，然后根据二项分布的概率计算公式计算出“恰有k 个农民年收入不少于12.14”中k 的最大值即可.【详解】解：（1）120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元故估计50位农民的年平均收入x 为17.40千元；（2）由题意知()17.40,6.92X N ~（i ）()10.68270.841422P x μσ>-=+≈， 所以17.40 2.6314.77μσ-=-=时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元.（ii ）由()()0.954512.1420.50.97732P x P x μσ≥=≥-=+≈， 每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则()1000,B P ξ，其中0.9773P =，于是恰好有k 个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为()()3310101k kk C p P k p ξ-=-=，从而由()()()()1001111P k k p P k k p ξξ=-⨯=>=-⨯- 得1001k p <，而1001978.2773p =，所以，当0978k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=-<=，当9791000k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=->=，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人.【点睛】本题考查频率分布直方图、正态分布、二项分布概率计算，属于综合题型，对于分析和数字计算的能力要求较高，难度较难.判断独立重复试验中概率的最值，可通过作商的方法进行判断.。