专题：极坐标与参数方程知识点及对应例题

极坐标及参数方程

一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念：

2．有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 3.极坐标与直角坐标的互化： (1)互化的前提条件

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式

二、参数方程知识点

（1）圆2

22)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为 )(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .

（2）椭圆122

22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.

sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .

（3）经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩

⎨⎧+=+=.sin ,

cos o o ααt y y t x x （t 为参数）.

三、点到直线的距离公式、直线与圆、圆与圆位置关系 极坐标方程典型例题

1.点()22-，

的极坐标为 。 2.已知圆C ：22(1)(3)1x y ++-=，则圆心C 的极坐标为_______(0,02)ρθπ>≤<

3.若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

4.化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）

A ．201y y +==2x 或

B ．1x =

C ．201y +==2x 或x

D ．1y = 5.极坐标ρ=cos(

θπ

-4

)表示的曲线是( )

A.双曲线

B.椭圆

C.抛物线

D.圆

6.极点到直线()cos sin 3ρθθ+________ 。

7.在极坐标系中，点3

(2,)2

π到直线l ：3cos 4sin 3ρθρθ-=的距离为 .

8.在极坐标系中，点π(1,)2P 到曲线π3

:cos()242

l ρθ+=

上的点的最短距离为 ．

9.已知直线4sin cos :=-θρθρl ，圆θρcos 4:=C ，则直线l 与圆C 的位置关系是________.（相交或相切或相离？）

10.在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a 的值。

11.在极坐标系中，直线(sin cos )2ρθθ-=被圆4sin ρθ=截得的弦长为

,

sin ,cos )

0(n t ,2

22θρθρθρ==≠=+=y x x x

y a y x

12.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l 上

两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π

，圆C 的参数方程θθ

θ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）。 （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系。

13.已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线L 的参数方程是⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=,54253t

y t x （t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求MN 的最大值.

1.在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点(2,)6

π

到直线l 的距离为 ．

2.已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0)2π

ρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 2C 交点的极坐

标为 ．

3.若直线⎩⎨⎧+=-=t y t

x 3221（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k =________．

4.在极坐标系(ρ，θ)(02θπ≤＜)中，曲线()cos sin 1ρθθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为 ．

（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点P Q 、都在曲线2cos ,

:2sin x C y ββ=⎧⎨

=⎩

（β为参数）上，对应参数分别为=βα与=2M απ（02απ<<），

M 为PQ 的中点。

（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；

（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，

0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥

⎣⎦

. （Ⅰ）求C 的参数方程；

（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D

处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C ：22

149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨

=-⎩

（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()2

2

121x y -+-=,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4

R π

θρ=

∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求

2C MN 的面积

（23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos ,

sin ,

x t y t α=⎧⎨

=∂⎩（t 为参数，t ≠0）其中0α

π≤，在以O 为极点，x 轴

正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3

：ρθ=. (Ⅰ).求C 2与C 3交点的直角坐标；

(Ⅱ).若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.