平面曲线的弧长
定积分的应用平面曲线弧长课件
参数方程的转换
参数方程转换为普通方程
将参数方程中的参数t消除，将参数方程转换为普通方程。
参数方程的微分形式
将参数方程转换为微分形式，以便于计算曲线的切线斜率和 弧长。
03 定积分在平面曲线弧长中 的应用
理论完善
随着定积分在平面曲线弧长中的应用越来越广泛，其理论体系也可能会得到进一步完善。例如，可能会发现新的定理 和公式，以更好地描述和解决定积分问题。
应用领域的拓展
随着科技的不断发展，定积分的应用领域也可能会进一步拓展。例如，在人工智能、机器学习等领域中， 定积分可能会被用来解决一些新的问题。
定积分在平面曲线弧长中的实际价值
弧长公式的应用
计算特定曲线的弧长
利用弧长公式，可以计算出给定参数 方程的曲线上任意一段弧的长度。这 迹的长度 等。
比较不同曲线的长度
通过比较不同曲线的弧长，可以得出 它们之间的形状差异。例如，可以利 用弧长公式比较不同函数的图像长度。
弧长公式的拓展
弧长公式的推导
弧长公式的基本概念
弧长公式是定积分的一个重要应用，它用于计算平面曲线上某段弧的长度。在推 导弧长公式之前，需要了解曲线的基本参数方程和弧长的定义。
弧长公式的推导过程
通过将曲线分割成许多小段，并利用定积分计算每小段线段的长度，然后将这些 长度相加，最终得到整个弧的长度。这个过程涉及到极限和定积分的概念。
建立方程
首先需要确定曲线的起点和终点，以 及曲线在起点和终点处的切线方向。
根据起点、终点和参数，建立曲线的 参数方程。
选择参数
选择一个合适的参数，例如时间或角 度，来表示曲线上每一点的位置。
6.4平面曲线的弧长
折线的长 Mi1Mi 的极限存在,则称此极限为曲线
i 1
弧AB的弧长.
二、平面曲线弧长的计算
1.直角坐标情形
设曲线弧为y f ( x) y
(a x b),其中f ( x)在[a,b]
上有一阶连续导数.
dy
取积分变量为x , 在[a , b]上
任取小区间[ x, x dx],
o a x x dx b x
以对应小切线段的长代替小弧段的长,
小切线段的长 (dx)2 (dy)2 1 y2dx,
弧长元素ds 1 y2dx, 弧长s b 1 y2dx. a
例 1 计算曲线 y 2 x3 2 上相应于x从点 a 到 b 的 3
一段弧的长度.
解
因为
y
1
x2,
所以ds
1
(
x
1 2
)2
dx
1 xdx,
2.参数方程情形
设曲线弧为
x y
(t) (t)
( t ).
其中 (t), (t)在[ , ]上具有连续导数.
ds (dx)2 (dy)2 [ 2 (t ) 2 (t )](dt )2
2 (t ) 2 (t )dt,
所以弧长 s 2 (t) 2 (t)dt.
例4 求星形线 x2 3 y2 3 a2 3 (a 0) 的全长.
解 星形线的参数方程为
x a cos3 t
y
a
sin3
t
(0 t 2π),
设s1为第一象限部分的弧长,则根据对称性,
π
s
4s1
4
2 0
x2 y2dt
π
4 2 3a sin t cos tdt 6a. 0
平面曲线的弧长与曲率
O
ax
π
因此 s 4 2 x2(t ) y2(t )dt 0
π
4 2
3a cos2 t sin t
2
3a sin2 t cos t
2
dt
0
12a
π 2
sin
t
cos
tdt
12a
sin2
t
π 2
6a.
0
20
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
n
故 lim T 0 i1
x2(i ) y2(i )Δti
数学分析 第十章 定积分的应用
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x2(t) y2(t) dt.
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
由第一章§1习题 6 可知
*平面曲线的曲率
x2(i ) y2(i ) x2(i ) y2(i ) y(i ) y(i ) . 又y(t)在[ , ]上连续，从而在[ , ]上一致连续，
b2
ab sin2 t
b2
32.
当 a b 0 时, 在 t 0, π 处曲率最大, 在 t π ,
3π 2
处曲率最小,
Kmax
a b2
, Kmin
b a2
.
2
数学分析 第十章 定积分的应用
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§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
*平面曲线的曲率
由例1可得,若
a
b
R,
则各点处曲率相等,
数学分析 第十章 定积分的应用
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§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
*平面曲线的曲率
数学分析-平面曲线的弧长与曲率
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
星形线
星形线是内摆线的一种.
点击图片任意处 播放开始或暂停
大圆半径 R＝a
小圆半径
参数的几何意义
(当小圆在圆内沿圆周滚动
时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)
内容小结
3. 平面曲线的弧长
曲线方程
参数方程方程
上
半圆为
下
它也反映了环面微元的另一种取法.
第三节、平面曲线的弧长与曲率
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
则称
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
的弧长 .
解:
例12. 求阿基米德螺线
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
第四节、旋转体的侧面积
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
极坐标方程
弧微分:
直角坐标方程
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
4. 旋转体的侧面积
侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)
思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的边界长 s .
7-2平面曲线的弧长及旋转体的侧面积
2 2
2
π
1
1
周所得的旋转面的面积为
2 0
1 5 S 2= ∫ 2π ⋅ x ⋅ dx = 5π . 2 2
因此, 因此,所求旋转体的表面积为
练习题答案
a 2 1 3 5 3 2、 3、 一、1、1 + ln ； 2、 π ； 3、 + ln . 2 2 12 2 2 3 8 5 二、 [( ) 2 − 1]. 9 2 三、6a . 四、8a .
2 3 3 )a, a ) . 六、(( π − 3 2 2
2 2
= n∫
0
sin t + cos t + 2 sin t cos t dt 2 2 2 2
sin t + cos t dt = n∫ = 4n. 0 2 2
π
三、参数方程情形
曲线弧为
x = ϕ (t ) , y = ψ (t )
= r (θ ) + r ′ (θ )dθ ,
2 2
故弧长 s = ∫α r (θ ) + r ′ (θ )dθ .
β
2 2
例 4 求阿基米德螺线 r = aθ (a > 0)上相应
的弧长. 于 θ 从 0 到 2π 的弧长. 解Q
r′ = a,
β α
2π
∴ s=∫
′ 2 (θ )dθ r (θ ) + r
第二节 平面曲线的弧长与 旋转体的侧面积
一、 平面曲线弧长的概念 二、 直角坐标系情况 三、 参数方程情况 四、 极坐标情况 五、旋转体的侧面积 六、 小结
平面曲线弧长极坐标公式探讨
《微积分》第八节 平面曲线的弧长
小结
平面曲线弧长的概念
弧微分的概念
直角坐标系下
求弧长的公式
参数方程情形下
极坐标系下
思考题
闭区间[a, b]上的连续曲线 y f ( x)
是否一定可求长？
思考题解答
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证 曲线光滑才可求长．
作业
P236习题3_8 1(单)，2(2)，3，4(2)， 5，7(1、4)，8，10(单)
三、平面曲线的弧长
直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x) y (a x b)，其中 f ( x)
在[a, b]上有一阶连续导数
取积分变量为x ，在[a, b]
dy
上任取小区间[ x, x dx]，
o a x x dx b x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 (dx)2 (dy)2 1 y2dx
曲线弧为 ( ) ( )
其中 ( ) 在[ , ]上具有连续导数.
x y
( (
)cos )sin
( )
dx [()cos ()sin]d,
dy [()sin ()cos]d,
ds (dx)2 (dy)2 2( ) 2( )d,
弧长
s
2( ) 2( )d .
例5
求极坐标系下曲线r
a
sin
3
3
的长.
(a 0) (0 3)
解
r
3a
sin
3
2
cos
3
1 3
a sin
2
cos
,
3 3
s
r 2( ) r2( )d
3 0
a2
sin
3
数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率
第十章 定积分的应用 3 平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长设平面曲线C=⌒AB. 如图所示，在C 上从A 到B 依次取分点： A=P 0,P 1,P 2,…,P n-1,P n =B ，它们成为曲线C 的一个分割，记为T. 用线段联结T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦P i-1P i (i=1,2,…,n)，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记：T =ni 1max ≤≤|P i-1P i |，s T =∑=n1i i 1-i |P P |，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1：对于曲线C 的无论怎样的分割T ， 如果存在有限极限：0T lim →s T =s ，则称曲线C 是可求长的， 并把极限s 定义为曲线C 的弧长.定义2：设平面曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x ’(t)与y ’(t)不同时为零 (即x ’2(t)+y ’2(t)≠0, t ∈[α,β])，则称C 为一条光滑曲线.定理：设曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 若C 为一光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为：s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.证：对C 作任意分割T={P 0,P 1,…,P n }，并设P 0与P n 分别对应t=α与t=β, 且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )), i=1,2,…,n-1.于是，与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T ’： α=t 0< t 1<t 2<…t n-1<t n =β.在T ’所属的每个小区间△i =[t i-1,t i ]上，由微分中值定理得△x i =x(t i )-x(t i-1)=x ’(ξi )△t i , ξi ∈△i ；△y i =y(t i )-y(t i-1)=y ’(ηi )△t i , ηi ∈△i . 从而C 的内接折线总长为s T =∑=∆+∆n1i 2i 2i y x =∑='+'n1i i 2i 2)(ηy )(ξx △t i .记σi =)(ηy )(ξx i 2i 2'+'-)(ξy )(ξx i 2i 2'+'，则s T =[]∑=+'+'n1i i i 2i 2σ)(ηy )(ξx △t i .又由三角形不等式可得：|σi |≤||y ’(ηi )|-|y ’(ξi )||≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|. 由y ’(t)在[α,β]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0, 存在δ>0， 当T '<δ时，只要ηi , ξi ∈△i ，就有|σi |≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|<α-βε, i=1,2,…,n. ∴|s T -∑='+'n1i i 2i 2)(ξy )(ξx △t i |=|∑=n1i i σ△t i |≤∑=n1i i |σ|△t i <ε,∴0T lim →s T =∑=→''+'n1i i 2i 20T )(ξy )(ξx lim △t i ，即s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.注：1、若曲线C 由直线坐标方程y=f(x), x ∈[a,b]表示，则看作参数方程：x=x, y=f(x), x ∈[a,b]. 因此，当f(x)在[a,b]上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线，其弧长公式为：s=⎰'+ba 2(x )f 1dx. 2、若曲线C 由极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]表示，则 化为参数方程：x=r(θ)cos θ, y=r(θ)sin θ, θ∈[α,β]. 由x ’(θ)=r ’(θ)cos θ-r(θ)sin θ, y ’(θ)=r ’(θ)sin θ+r(θ)cos θ, 得：x ’2(θ)+y ’2(θ)=r 2(θ)+r ’2(θ)，∴当r ’(θ)在[α,β]连续，且r(θ)与r ’(θ)不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线， 其弧长公式为：s=⎰'+βα22 )(θr )(θr d θ.例1：求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0)一拱的孤长.解：∵x’(t)=a-acost; y’(t)=asint. ∴x’2(t)+y’2(t)=2a2(1-cost)=4a2sin22t.其弧长为s=⎰2π222tsin4a dt=4a⎰2π02tsin d⎪⎭⎫⎝⎛2t=8a.例2：求悬链线y=2ee-xx+从x=0到x=a>0那一段的弧长.解：∵y’=2ee-xx-. ∴1+y’2=2x-x2ee⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.其弧长为s=⎰+a-xx2ee dx=2ee-aa-.例3：求心形线r=a(1+cosθ) (a>0)的周长.解：∵r’(θ)=-asinθ. ∴r2(θ)+r’2(θ)=4a2cos22θ.其周长为s=⎰2π02θacos2dθ=4a⎰2π02θcos d⎪⎭⎫⎝⎛2θ=8a.注：∵s(t)=⎰'+'tα22(t)y(t)x dt连续，∴dtds=22dtdydtdx⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛，即有ds=22dydx+. 特别称s(t)的微分dx为弧微分. (如左下图)PR为曲线在点P处的切线，在Rt△PQR中，PQ为dx，QR为dy，PR则为dx，这个三角形称为微分三角形。
10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用平面曲线的弧长与曲率)
§3 平面曲线的弧长与曲率一 平面曲线的弧长先建立平面曲线弧长的概念，设C=AB 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，在C 上从A 到B 依次取分点A=P 0,P 1,P 2,…，P n =B,它们成为对曲线C 的一个分割，记为T ，然后用线段连接T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦1(1,2,...,)i i P P i n -=，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记||T||=max|P i-1P i |,11||nT i ii s PP -==∑分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1 如果存在有限极限||||0lim s T T s →=，即任给ε>0,恒存在δ>0，使得对于C 的任何分割T ，只要||T||<δ，就有|s T -s|<ε,曲线C 是可求长的，并把s 定义为曲线C 的弧长。
定理10.1 设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]给出，若x(t)、y(t)在[α,β]上连续可微，则C 是可求长的，且弧长为s βα=⎰。
证明 对C 作任一分割T={ P 0,P 1,P 2,…，P n },并设P0与Pn 分别对应t=α和t=β,且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )),i=1,2,…,n -1,于是与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T'：α=t 0,t 1,t 2,…,t n =β。
现在用反证法先证明||||0lim ||||0T T →'=.假设||||0lim ||||0T T →'≠，则存在ε0>0，对于任何δ>0，都可以找到一个分割T 使得||T||<δ而同时||T'||>ε0,从而可以找到C 上两点Q'和Q''，使得|Q''Q'|<δ，而它们对应的参量t'和t''满足|t't''|≥ε0,依次取δ=1/n,n=1,2,…,则得到两个点列{Q'n }和{Q''n }和它们对应的参量数列{t'n }和{t''n },它们满足|Q n ''Q n '|<1/n, |t'n t''n |≥ε0,由致密性定理，存在子列{}{}k kn n t t '''及,和t*和t**∈[α,β]，使得lim *,lim **k knn k k t t t t →∞→∞'''==，显然|t*-t**|≥ε0,即t*≠t**。
定积分计算弧长公式
定积分计算弧长公式弧长公式是计算曲线弧长的一种工具，通过定积分来求解。
弧长公式在多个领域应用广泛，如物理、数学、工程等。
在本文中，我们将介绍弧长公式的推导过程，并给出一些常见曲线的弧长计算示例。
我们首先考虑平面上的一条曲线，可以表示为y=f(x)。
我们的目标是计算曲线一段区间[a,b]的弧长。
我们将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
在每个小区间上，我们可以通过线段的长度来近似曲线上的弧长。
设曲线上一点(x,f(x))，它与相邻点(x+Δx,f(x+Δx))之间的线段长度为s。
根据勾股定理，我们有：s=√((Δx)²+(Δy)²)其中Δy=f(x+Δx)-f(x)为两个点在y轴上的纵向距离。
为了得到曲线上所有小线段的长度之和，我们要对每个小区间[x_i,x_i+1]上的线段长度进行求和。
我们可以将弧长公式表示为一个求和的形式：S=∑s_i其中s_i为小区间[x_i,x_i+1]上的线段长度。
现在我们来推导弧长公式的一般形式。
我们先对s进行平方，并展开成二项式的形式：s²=(Δx)²+(Δy)²=(Δx)²+(f(x+Δx)-f(x))²=(Δx)²+(f'(x)Δx+R(Δx))²其中f'(x)为f(x)的导数，R(Δx)为高阶无穷小。
将(s)²展开，得到：s²=(Δx)²+f'(x)²(Δx)²+2f'(x)R(Δx)Δx+R²(Δx)(Δx)²注意到R(Δx)是高阶无穷小，所以(R(Δx))²项可以忽略。
再次整理得：s²=(1+f'(x)²)(Δx)²+2f'(x)R(Δx)Δx将上述等式两边开平方，得到：s=√((1+f'(x)²)(Δx)²+2f'(x)R(Δx)Δx)现在我们要将s表示为x的函数。
平面曲线弧长的概念
2 2 t2
2
2 2 t2
1 2
例 5 证明正弦线 y a sin x (0 x 2)的弧长
等于椭圆
x y
cos t 1
a
2
sin
t
(0 t 2)的周长.
证 设正弦线的弧长等于s1
s1
2 0
1 y2dx
2 0
1 a2 cos2 xdx
2
1 a2 cos2 xdx,
0
无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
n
此折线的长 | M i1M i |的极限存在，则称此极限为
i 1
曲线弧AB 的弧长.
二、直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x) y (a x b)，其中 f ( x)
在[a, b]上有一阶连续导数
取积分变量为x ，在[a,b]
dy
上任取小区间[ x, x dx]，
0
0
6a.
例4.求曲线 y=sin x 在[0, ]上对应弧长。
2
解: Q y cos x
ds 1 cos2 xdx
S
2
1 cos2 xdxS令 1 cos2 x t 1
2t2 dt
0
2 2 t2
1 4 2t2 4dt 2 1 2 t2 dt 4 1 1 dt
作业: P252 1;3.
x y
r( r(
)cos )sin
( )
ds (dx)2 (dy)2 r 2( ) r2( )d ,
弧长 s r 2( ) r2( )d .
例6
求极坐标系下曲线r
a
sin
3
3
的长.
(a 0) (0 3)
高等数学 第6章 第四节 平面曲线的弧长
A M0
O
n
⌒
M i1 M i 的极限存在，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长，
i 1
⌒
并称此曲线弧 AB是可求长的。
定理:
光滑曲线弧(即弧上任意点具有一阶连续导数）是可求长的。
•
M n1
• •
B Mn
x
1
二.直角坐标情形
y
设曲线弧由
y f (x)
y f ( x) (a x b)
给出， 其中f（x）在[a，b]上 上具有一阶连续导数，现在来 计算这曲线弧的长度。
(3) 极坐标
s r 2 ( ) r'2 ( )d
思考题： 一根弹簧按等速螺线 r =a 盘绕，共计10 圈，已知每圈的间隔为 10mm,求弹簧的全长。
AB
10
解： 考察第1、2两圈的间隔，如图 A、B两点的坐标分别为：
(2 ,2a), (4 ,4a)
所以AB 4a 2a 2a 10 解得： a 5
弹簧共10圈， 由0增加到20
s 20 r( )2 r'( )2 d a 20 1 2 d
0
0
查表 5 1 2
1 2 ln(
20
1 2 ) 0 3144.2(mm )
11
于是所求弧长为
s
'2 t '2 t dt
5
例3 计算摆线
x
y
a(
a(1
sin ) cos )
的一拱
y
2a
y y(x)
(0 2 ) 的长度。
2a
O
a
解:
∵
x' a(1 cos )
y' a sin
定积分的应用-定积分的几何应用(3)--平面曲线的弧长
L
dy
= ′2 (t ) + ψ ′2 (t ) d t
o
a x x+dx b x
因此所求弧长
s=∫
β α
′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t (α ≤ β )
(2) 直角坐标情形 设曲线弧 L由直角坐标方程给出:
y = f ( x ) (a ≤ x ≤ b)
其中 f ( x )在[a , b]上有一阶连续导数.
4. 证明： 正弦线 y = a sin x ( 0 ≤ x ≤ 2π ) 的弧长
x = cos t 等于椭圆 y = 1 + a 2 sin t
5. 试用定积分求圆
( 0 ≤ t ≤ 2π ) 的周长.
x 2 + ( y b )2 = R 2 ( R < b )
绕 x 轴 旋转而成的环体的表面积 S .
例2 求星形线 x + y = a ( a > 0) 的全长.
2 3
2 3
2 3
x = a cos 3 t ( 0 ≤ t ≤ 2π ) 解 星形线的参数方程为 y = a sin 3 t
根据对称性 第一象限部分的弧长
π
0
y
s = 4s1= 4∫ 2 ( x′)2 + ( y′)2 d t
= 4 ∫ 2 3a sin t cos t d t = 6a .
四、同步练习解答
1. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, x 1 x 下垂成悬链线. 悬链线方程为 ( c ch )′= c sh c c c x y = c ch ( b ≤ x ≤ b) c 求这一段弧长 . y c 2 2 x ′ d x = 1 + sh d x 解 ds = 1 + y c x = ch d x b o b x c b b x x = 2c sh b ∴ s = 2 ∫ ch d x = 2c sh 0 c c c 0
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由弧长公式得
s
2 0
x '2 ( t ) y '2 ( t )dt
2
0
2a (1 cos t )dt
2
2 0
2a
t sin dt 8a . 2
例 1 求摆线 x a( t sin t ), y a(1 cos t )(a 0) 一拱 的弧长.
求长的, 且弧长为
s
x '2 ( t ) y '2 ( t )dt .
证明
如前所述, 对C 作任意分割T { P0 , P1 ,
Pn },
并设 P0 与 Pn 分别对应 t 与 t ,且
Pi ( xi , yi ) ( x( t i ), y( t i )), i 1,2..., n 1 .
i 1
t
i 1 i
n
i
i t i .
i 1
n
从而公式成立.
例 1 求摆线 x a( t sin t ), y a(1 cos t )(a 0) 一拱 的弧长.
解
x (t ) a(1 cos t ), y (t ) a sin t ,
x'2 ( i ) y'2 ( i )
i
,
x'2 ( i ) y'2 (i )
则有
sT [ x '2 ( i ) y '2 ( i ) i ]t i .
i 1 n
利用三角不等式容易证明
i y' (i ) y' ( i ) y ' (i ) y ' ( i ) ,
yi y( t i ) y(t i 1 ) y (i )t i ,i i .
'
从而曲线C 得内接折线总长为
sT xi2 yi2 x '2 ( i ) y '2 (i )t i .
i 1 i 1 n n
又因为 C 为光滑曲线 , 当 x' (t ) 0 时 , 在 t 得某 领域内 x x ( t ) 有连续得反函数 ,故当 x 0 时 t 0 ;
于是,与T 对应地得到区间[ , ]的一个分割
T ' : t0 t1 t 2
中值定理得
t n1 t n .
在T ' 所属的每个小区间 i [t i 1 , ti ]上, 由微分
xi x( ti ) x( t i 1 ) x ' ( i )t i , i i ;
y f ( x ), x [a , b]
表示,把它看作参数方程时,即为
x x , y f ( x ) , x [ a , b ].
所以当 f ( x) 在[ a, b] 上连续可微时,此曲线 即为一光滑曲线.这时弧长公式为
s
b
a
1 f ( x )dx .
'2
e x e x 例 2 求悬链线 y 从 x 0 到 x a (a 0 ) 2 那一段弧长. x x x x 2 e e ( e e ) ' '2 ,1 y , 解 y 2 4 由弧长公式得
' '
时为零时,此极坐标曲线为一光滑曲线 .
此时弧长公式为
s
r 2 ( ) r '2 ( )d .
例 3 求心形线 r a(1 cos )(a 0)的周长.
解 由极坐标下的弧长公式得
s
2 0
r 2 r '2 d
2
0
2a 2 (1 cos )d
s
a
0
1 y'2 dx
a
0
e x e x ea ea dx . 2 2
• 极坐标方程情形
若曲线C 由极坐标方程
r r ( ) , [ , ]
表示,把它化为参数方程 ,则为
x r ( )cos , y r ( )sin , [ , ]
解
x' (t ) a(1 cos t ), y' (t ) a siny t,
s
2
由弧长公式得
0
x ( t ) y ( t )dt
'2 '2
2a
a
A
t a
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2a 2 (1 cos t )dt
2 0
o
2 a
x
2a
t sin dt 8a . 2
• 直角坐标系情形 若曲线C 由直线坐标方程
4a cos d 0 2 8a .
• 弧微分
若将参数方程的弧长公式 s
P ( x ( t ), y( t )) 的弧长, 即
x '2 ( t ) y '2 ( t )dt 的
积 分 上 限 改 为 t , 就 得 到 曲 线 C 由 端 点 P0 到 动 点
s
类似地 ,当 y' (t ) 0 时 ,亦能由 y 0 推知 t 0 . 所以当 Pi 1 Pi xi2 yi2 0时,必有 ti 0 .
反之,当 ti 0 时,显然 Pi 1 Pi 0. 由此知道:当C 为光滑曲线时, T 0 与
T ' 0 是等价的.
t
x '2 ( ) y '2 ( )d .
由于被积函数是连续的,因此
ds dx 2 dy 2 ( ) ( ) , dt dt dt
ds dx 2 dy 2 .
特别称 s ( t ) 的微分 ds 为弧微分 .如图所示 , PR 为 曲 线 在 点 P 处 的 切 线 , 在 直 角 三 角 形 PQR 中 ,
由于 x'2 ( t ) y'2 ( t ) 在[ , ] 上连续从而可积 , 因此根据定义 1,只需证明:
lim sT lim x '2 ( i ) y '2 ( i )t i ,
T 0 T 0 i 1 n
而后者即为
为此记
x '2 ( t ) y '2 ( t )dt .
1 i n i 1 n
弦的长度和折线的总长度.
定义 1 对于曲线C 的无论怎样的分割T ,如果存在 有限极限
lim sT s ,
T 0
则成曲线 C 是可求长的 ,并把极限 s 定义作为曲线
C 的弧长.
• 参数方程情形
定义 2 设平面曲线C 由参数方程 x x ( t ), y y( t ), t [ , ] 给出.如果 x ( t ) 与 y( t ) 在[ , ]上连续可微, 且 x' (t ) 与 y' (t )不同时为零(即 x'2 (t ) y'2 (t ) 0, t [ , ]), 则称C 为一条光滑曲线. 定理 10.1 设曲线 C 是一条光滑曲线 , 则C 是可
由于
x' ( ) r ' ( )cos r ( )sin ,
y ( ) r ( )sin r ( )cos ,
' '
x'2 ( ) y'2 ( ) r 2 ( ) r '2 ( ),
当 r ( ) 在[ , ]上连续,且 r ( ) 与 r ( ) 不同
PQ 为 dx , QR 为 dy , PR 为 ds .这个三角形称为
微分三角形.
y
R
ds
P
dx
dy
Q
o
x
五、小结
平面曲线弧长的概念 求弧长的公式
直角坐标系下 参数方程情形下
极坐标系下
弧微分的概念
作业: P252 1;3.
i 1,2,..., n.
由 y '( t ) 在[ , ]上连续,从而一致,
故对任给的 0 ,存在 0 ,当 T ' 时,只要
i ,i i ,就有 i
因此有
n
, i 1,2,..., n.
sT x '2 ( i ) y'2 ( i )t i
§10.3平面曲线的弧长
一、平面曲线弧长的概念
二、参数方程情形
三、直角坐标情形 四、极坐标情形
• 平面曲线弧线的概念
设平面曲线C AB .从 A 到 B 依次取点:
y
P2 P 1
Pn1
B Pn
A P0 , P1 , P2 B,
Pn1 , Pn
A P0
o
x
它们成为对曲线C 的一个分割,极为T .然后用先 端联结T 中每相邻两点,得到C 的一条内接折线. 记 T max Pi 1 Pi , sT Pi 1 Pi ,分别表示最长