平面曲线的弧长

' '
由弧长公式得
s
2 0
x '2 ( t ) y '2 ( t )dt

2
0
2a (1 cos t )dt
2
2 0
2a
t sin dt 8a . 2
例 1 求摆线 x a( t sin t ), y a(1 cos t )(a 0) 一拱 的弧长.
求长的, 且弧长为
s


x '2 ( t ) y '2 ( t )dt .
证明
如前所述, 对C 作任意分割T { P0 , P1 ,
Pn },
并设 P0 与 Pn 分别对应 t 与 t ,且
Pi ( xi , yi ) ( x( t i ), y( t i )), i 1,2..., n 1 .
i 1
t
i 1 i
n
i
i t i .
i 1
n
从而公式成立.
例 1 求摆线 x a( t sin t ), y a(1 cos t )(a 0) 一拱 的弧长.
解
x (t ) a(1 cos t ), y (t ) a sin t ,
x'2 ( i ) y'2 ( i )
i
,
x'2 ( i ) y'2 (i )
则有
sT [ x '2 ( i ) y '2 ( i ) i ]t i .
i 1 n
利用三角不等式容易证明
i y' (i ) y' ( i ) y ' (i ) y ' ( i ) ,
yi y( t i ) y(t i 1 ) y (i )t i ,i i .
'
从而曲线C 得内接折线总长为
sT xi2 yi2 x '2 ( i ) y '2 (i )t i .
i 1 i 1 n n
又因为 C 为光滑曲线 , 当 x' (t ) 0 时 , 在 t 得某 领域内 x x ( t ) 有连续得反函数 ,故当 x 0 时 t 0 ;
于是,与T 对应地得到区间[ , ]的一个分割
T ' : t0 t1 t 2
中值定理得
t n1 t n .
在T ' 所属的每个小区间 i [t i 1 , ti ]上, 由微分
xi x( ti ) x( t i 1 ) x ' ( i )t i , i i ;
y f ( x ), x [a , b]
表示,把它看作参数方程时,即为
x x , y f ( x ) , x [ a , b ].
所以当 f ( x) 在[ a, b] 上连续可微时,此曲线 即为一光滑曲线.这时弧长公式为
s
b
a
1 f ( x )dx .
'2
e x e x 例 2 求悬链线 y 从 x 0 到 x a (a 0 ) 2 那一段弧长. x x x x 2 e e ( e e ) ' '2 ,1 y , 解 y 2 4 由弧长公式得
' '
时为零时,此极坐标曲线为一光滑曲线 .
此时弧长公式为
s


r 2 ( ) r '2 ( )d .
例 3 求心形线 r a(1 cos )(a 0)的周长.
解 由极坐标下的弧长公式得
s
2 0
r 2 r '2 d
2

0
2a 2 (1 cos )d
s
a
0
1 y'2 dx
a
0
e x e x ea ea dx . 2 2
• 极坐标方程情形
若曲线C 由极坐标方程
r r ( ) , [ , ]
表示,把它化为参数方程 ,则为
x r ( )cos , y r ( )sin , [ , ]
解
x' (t ) a(1 cos t ), y' (t ) a siny t,
s
2
由弧长公式得
0
x ( t ) y ( t )dt
'2 '2
2a
a
A
t a

2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
2a 2 (1 cos t )dt
2 0
o
2 a
x
2a
t sin dt 8a . 2
• 直角坐标系情形 若曲线C 由直线坐标方程

4a cos d 0 2 8a .

• 弧微分
若将参数方程的弧长公式 s
P ( x ( t ), y( t )) 的弧长, 即

x '2 ( t ) y '2 ( t )dt 的
积 分 上 限 改 为 t , 就 得 到 曲 线 C 由 端 点 P0 到 动 点
s
类似地 ,当 y' (t ) 0 时 ,亦能由 y 0 推知 t 0 . 所以当 Pi 1 Pi xi2 yi2 0时,必有 ti 0 .
反之,当 ti 0 时,显然 Pi 1 Pi 0. 由此知道:当C 为光滑曲线时, T 0 与
T ' 0 是等价的.
t

x '2 ( ) y '2 ( )d .
由于被积函数是连续的,因此
ds dx 2 dy 2 ( ) ( ) , dt dt dt
ds dx 2 dy 2 .
特别称 s ( t ) 的微分 ds 为弧微分 .如图所示 , PR 为 曲 线 在 点 P 处 的 切 线 , 在 直 角 三 角 形 PQR 中 ,
由于 x'2 ( t ) y'2 ( t ) 在[ , ] 上连续从而可积 , 因此根据定义 1,只需证明:
lim sT lim x '2 ( i ) y '2 ( i )t i ,
T 0 T 0 i 1 n
而后者即为

为此记

x '2 ( t ) y '2 ( t )dt .
1 i n i 1 n
弦的长度和折线的总长度.
定义 1 对于曲线C 的无论怎样的分割T ,如果存在 有限极限
lim sT s ,
T 0
则成曲线 C 是可求长的 ,并把极限 s 定义作为曲线
C 的弧长.
• 参数方程情形
定义 2 设平面曲线C 由参数方程 x x ( t ), y y( t ), t [ , ] 给出.如果 x ( t ) 与 y( t ) 在[ , ]上连续可微, 且 x' (t ) 与 y' (t )不同时为零(即 x'2 (t ) y'2 (t ) 0, t [ , ]), 则称C 为一条光滑曲线. 定理 10.1 设曲线 C 是一条光滑曲线 , 则C 是可
由于
x' ( ) r ' ( )cos r ( )sin ,
y ( ) r ( )sin r ( )cos ,
' '
x'2 ( ) y'2 ( ) r 2 ( ) r '2 ( ),
当 r ( ) 在[ , ]上连续,且 r ( ) 与 r ( ) 不同
PQ 为 dx , QR 为 dy , PR 为 ds .这个三角形称为
微分三角形.
y
R
ds
P
dx
dy
Q
o
x
五、小结
平面曲线弧长的概念 求弧长的公式
直角坐标系下 参数方程情形下
极坐标系下
弧微分的概念
作业: P252 1;3.
i 1,2,..., n.
由 y '( t ) 在[ , ]上连续,从而一致,
故对任给的 0 ,存在 0 ,当 T ' 时,只要
i ,i i ,就有 i
因此有
n

, i 1,2,..., n.
sT x '2 ( i ) y'2 ( i )t i
§10.3平面曲线的弧长
一、平面曲线弧长的概念
二、参数方程情形
三、直角坐标情形 四、极坐标情形
• 平面曲线弧线的概念
设平面曲线C AB .从 A 到 B 依次取点:
y
P2 P 1
Pn1
B Pn
A P0 , P1 , P2 B,
Pn1 , Pn
A P0
o
x
它们成为对曲线C 的一个分割,极为T .然后用先 端联结T 中每相邻两点,得到C 的一条内接折线. 记 T max Pi 1 Pi , sT Pi 1 Pi ,分别表示最长