1、12345模型(教师版)
12345模型
12345模型几何图形中经常会出现一些特殊角，熟悉的有30°、45°、60°等等，特殊角往往伴随着固有属性运用于题目中，也是解题思路来源之一。
比如看到30°角我们会想到2，45°角总是跟等腰直角三角形说不清道不明，60°甚至能牵出一只等边三角形。
关于特殊角，除了用角度表示，诸如15°角的倍数，还可以用三角函数表示，只要最终的结果是：（1）好看；（2）好用，就可以将其归为特殊角。
比如tan A =1/2，诚然我并不知道∠A 的度数到底是多少，而且∠A 也一定不是一个整数度数，但这并不妨碍∠A 的特殊性，∠A 所对的直角边是邻边的两倍，这与30°角的2并无本质区别。
A30°521231打开三角函数的大门，打开新世界。
今天，故事的主角也是一个特殊角，哦不，是一组特殊角。
一、从一道北京中考题说起2019北京中考第12题如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB +∠PBA =_________°．（点A 、B 、P 是网格线交点）BPA解法有很多，这里就根据现有的方格纸来构造一下：∠P AB +∠PBA =∠BPQ =45°QBPA这里的∠P AB 和∠PBA 便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看，tan ∠P AB =1/2，tan ∠PBA =1/3，这个正切值可以说很好看了。
二、什么是“12345模型”？1tan 2451tan 3ααββ⎧=⎪⎪→+=︒⎨⎪=⎪⎩对于这里的数据，为了便于记忆，通常称为“12345”模型。
上文所举的北京中考题已经足够说明这个结论，考虑到使用这个结论的多样性，以下用3种方法给出证明：法一：方格纸中的构造小学的时候我们可能就遇到过这样一个题目：求∠1+∠2=_________．12考虑∠1和∠2的正切值，这不正是刚刚所说的α和β吗？构造等角，将α和β组合到一起：根据这里的等腰直角△ABC ，可得∠1+∠2=45°此外，模型还可变式为：1tan 1tan 2345αβαβ⎧=⎪→=⎨⎪+=︒⎩ 1tan 1tan 3245βααβ⎧=⎪→=⎨⎪+=︒⎩法二：熟悉的勾三股四弦五如图，AC =4，BC =3，AB =5，这个三角形我们再熟悉不过了。
中考数学专题】特殊角的妙用——“12345模型”
中考数学专题】特殊角的妙用——
“12345模型”
本文介绍了特殊角在数学中的应用，特别是介绍了“模型”，即特殊角α和β的正切值分别为1/2和1/3，它们的和为45°。
文章通过三种不同的方法证明了这个模型的正确性。
文章提醒读者，在解题时需要结合已知信息，慧眼识角，而不是仅仅依赖题目中的提示。
在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是多少？
连接AE，易证△AEF≌△AED，因此DE=2AE。
由于BE是BC的中线，因此BE=4，AE=√(AB²-
BE²)=√(64-16)=4√3.
因此DE=2AE=8√3，故答案为D.
根据题目条件，我们可以得到tan∠ABD=4/3，
tan∠ABE=1/2，由此可以得到AE=3，DE=5.因此，答案为C。
在这道小题目中，我们需要求出线段FG的长度。
已知正
方形ABCD的边长为6，BE=2AE，连接DE，在AD、BC上
分别存在点G、F，连接GF交DE于H点，且∠GHD=45°。
观察发现XXX∠ADE=1/3，且∠GHD=45°，满足条件，因此GF可动，平移GH，将α、β、45°汇于直角处。
由此，我们可以得到CF=3.
因此，答案为3.。
“12345模型”
【中考数学专题】特殊角的妙用——“12345模型”几何图形中经常会出现一些特殊角，熟悉的有30°、45°、60°等等，特殊角往往伴随着固有属性运用于题目中，也是解题思路来源之一。
比如看到30°角我们会想到1：2，45°角总是跟等腰直角三角形说不清道不明，60°甚至能牵出一只等边三角形。
关于特殊角，除了用角度表示，诸如15°角的倍数，还可以用三角函数表示，只要最终的结果是：（1）好看；（2）好用，就可以将其归为特殊角。
比如tanA=1/2，诚然我并不知道∠A的度数到底是多少，而且∠A也一定不是一个整数度数，但这并不妨碍∠A的特殊性，∠A所对的直角边是邻边的两倍，这与30°角的直角三角形三边比值并无本质区别。
打开三角函数的大门，打开新世界。
从一道中考题说起如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=___°．（点A、B、P是网格线交点）解法有很多，这里就根据现有的方格纸来构造一下：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°这里的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：tan∠PAB=1/2，tan∠PBA=1/3这个正切值可以说很好看了。
“12345模型”对于这里的数据，为了便于记忆，老师总结为“12345”模型。
上文所举的中考题已经足够说明这个结论，考虑到使用这个结论的多样性，以下用3种方法给出证明：法一：方格纸中的构造小学的时候我们可能就遇到过这样一个题目：求∠1+∠2．考虑∠1和∠2的正切值，这不正是刚刚所说的α和β吗？构造等角，将α和β组合到一起：根据这里的等腰直角△ABC，可得∠1+∠2=45°此外，模型还可变式为：法二：勾三股四弦五如图，AC=4，BC=3，AB=5，这个三角形我们再熟悉不过了。
在这里：分别延长CB、CA可构造构造此处我们还可得：这个也是在解题中常用的结论。
教师数据素养金字塔模型
教师数据素养金字塔模型摘要：1.教师数据素养金字塔模型概述2.金字塔模型的五个层次2.1 数据采集与处理2.2 数据分析与解释2.3 数据可视化2.4 数据应用与决策2.5 数据伦理与法律3.各层次的重要性4.提升教师数据素养的策略正文：【教师数据素养金字塔模型概述】教师数据素养金字塔模型是一个用于描述教师在数据驱动决策过程中所需的技能和知识的框架。
该模型分为五个层次，从基础的数据采集与处理到高级的数据应用与决策，为教师提供了一个系统化的方法来提升自己的数据素养。
【金字塔模型的五个层次】【2.1 数据采集与处理】数据采集与处理是金字塔模型的基石。
在这个层次上，教师需要掌握基本的数据收集和整理技能，如使用电子表格进行数据录入和整理，运用网络资源查找相关数据等。
【2.2 数据分析与解释】在数据分析与解释层次，教师需要具备一定的统计学和数据分析知识，能够运用各种统计方法对数据进行分析，并从中发现有价值的信息。
【2.3 数据可视化】数据可视化是让数据变得更加直观易懂的过程。
教师应学会使用数据可视化工具，如折线图、柱状图等，将分析结果以图表形式呈现，以便更好地与他人分享和交流。
【2.4 数据应用与决策】在数据应用与决策层次，教师需要将分析和可视化后的数据应用于实际教学中，通过数据驱动的决策来改进教学方法和策略。
【2.5 数据伦理与法律】教师在进行数据驱动决策时，还需遵守数据伦理与法律规定，保护学生和学校的隐私和权益。
【各层次的重要性】教师数据素养金字塔模型的五个层次环环相扣，每个层次都是下一个层次的基础。
因此，教师在提升自己的数据素养时，应从底层开始，逐步向上发展。
【提升教师数据素养的策略】为了提升教师数据素养，教育部门和学校可以采取以下策略：1.提供专业培训，让教师了解和掌握数据采集、分析、可视化等技能。
2.鼓励教师参与数据驱动决策的实践，增强他们在教学中的应用能力。
3.建立教师交流平台，分享数据驱动决策的成功案例，提高教师对数据素养的重视。
初中数学 12345模型(于新华)
纪博士数数12345于特讲题主讲：纪东旭于新华整理：郑梦前【研修团队】郑梦前、顾永清、焦建林、黄萍学悟有别，你我自取，教学践行，适切至上！（林福凯）数学解题五境界第一个境界：正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界．第二个境界：一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释．第三个境界：多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．第四个境界：发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。
这些结论、定理规律都是解题的有用工具。
解题高手都有自己的定理库．第五个境界：自己编题．解题的最高境界是能够编题。
不是所有的老师都具备编题的能力。
解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。
即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏．刘俊勇：如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍．一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和有意义。
因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。
以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材的知识点，中考想考满分概率为零。
学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数学大格局，适合自己的就是最好的！版块一引入问题1．如图1-1，在3×3的网格中标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2＝图1-1图1-22．如图1-2，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD 是BC 边上的高，BD ＝3，DC ＝2，则AD 的长为_________．版块二“123”+“45”的来源一般化结论：若45αβ+=︒则有1tan 1a a α-=+，1tan a β=（1a >），当32a =时，则得到21tan tan =35αβ=（了解）当a =2时，则得到11tan tan =23αβ=（重要）当52a =时，则得到23tan tan =57αβ=（了解）;当4a =时，则得到13tan tan =45αβ=（次重要）【例1】（济南市中考题）如图2-1，AOB ∠是放置在正方形网络中的一个角，则cos AOB ∠的值是．图2-1【例2】（2015湖北十堰）如图2-2，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在AB ，AD 上，若CE =53，且∠ECF =45°，则CF 的长为（）A ．102B ．53C ．5103D ．1053图2-2倍角与半角构造当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“⇔⇔顶角底角顶角”解题依据“1902︒－顶角＝底角”．如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ．⑴若tan 2BCA ∠=，则tan BAC ∠=．⑵若4tan 3BAC ∠=，则tan ABC ∠=．【例3】如图2-3，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，折痕为MN ．若31tan =∠AEN ，DC ＋CE ＝10．⑴求△ANE 的面积；⑵求ENB ∠sin 的值．图2-3【例4】如图2-4，已知正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在BC 上，且CE=2BE ，过B 点作BF ⊥AE 于点F ，连接OF ，则线段OF 的长度为。
一二三四五”高效活力课堂教学基本模式
“一二三四五”高效活力课堂教学基本模式一个理念：遵循规律，尊重差异，释放潜能，创造适合学生的教育，为学生一生的幸福奠基。
遵循规律：小学生掌握概念是一个主动的、复杂的理解过程，他们的抽象思维是直接与感性经验相联系的。
所以，首先应提供丰富而典型的感性材料，使他们通过直观形象，逐步抽象、内化成概念。
形象直观地引入概念，就是通过小学生所熟悉的生活实例以及生动形象的比喻，提出问题，引入概念；或者采用教具、模型、图表、投影演示及动手操作等，增加学生的感性理解，然后逐步抽象，引入概念。
所以，在教学时，做为一个优秀的教师务必要要遵循孩子们的认知规律，才能有效地促动学生逻辑思维的发展。
尊重差异：首席导师冯恩洪先生在《创造适合学生的教育》中提出：人人有差异，要善待差异、尊重情感、释放潜能，要为有差异的学生提供适合的教育。
只有这样，卓越课堂的建模与实施中才能面对有差异的孩子设定分层次的学习目标和进度，设定分层次的问题与任务，设定分层次的展示与评价，设定分层次的检测标准，布置分层次的练习作业，从而让每个学生在各自的最近发展区得到适合的发展，培养兴趣，激活信心，释放潜能，逐步的提升，最后实现整体提升。
释放潜能：学生潜能是指学生建立在遗传素质和先天发育素质基础上的，生来就蕴含的发展可能性。
每一个人都是具有潜能的，而且这些潜能都有可塑性。
尤其是身心正处在快速发展的学生。
好的课堂就应该尊重学生的兴趣和需要，激发和释放学生的潜能，为学生当下发展助力，为学生未来发展奠基。
创造适合学生的教育，为学生一生的幸福奠基：是学校工作的目标。
百年大计，人才为本；人人都有才，人人都能成才。
我们在教学的全过程贯穿成才机制，时时刻刻、方方面面创造教育时机培养学生成才。
学校全部工作都围绕让学生成才这个目标而展开，这是社会赋予学校的神圣职责。
我们国家正处于现代化建设的关键时期，急需大批优秀人才，社会的水平竞争也越来越激烈，培养学生成才的重要性也就越见突出。
12345模型练习题
12345模型练习题在数字时代的今天，信息爆炸的时代背景下，人们的注意力越来越难以集中。
为了能够更好地提高注意力和专注力，12345模型应运而生。
本文将介绍12345模型的基本概念、原理和练习题，帮助读者更好地掌握这个工具。
一、12345模型的基本概念和原理12345模型是一种时间管理和注意力集中的技巧，通过每天划定一定时间来专注于一项任务，提高效率和工作质量。
它的名称即为1小时工作块，20分钟休息，3个1小时工作块，40分钟休息的缩写。
12345模型的基本原理是以"工作块"和"休息时间"为单位，将任务分解为更小的部分，以提高集中注意力的时间和效果。
通过不断重复1小时的工作块和20分钟的休息，可以帮助大脑更好地处于高效工作状态，同时避免过度疲劳。
二、12345模型的练习题1. 练习题一：时间管理请你根据自己的日常工作安排，合理安排每天的1小时工作块和20分钟的休息时间。
并记录下每个工作块的成果和休息时间的感受，总结出最适合你的时间管理模式。
2. 练习题二：专注力训练在进行1小时工作块的过程中，随着时间的推移，注意力集中的难度逐渐增加。
请你思考并记录下如何在逐渐降低的注意力集中度中，通过调整呼吸、进行简短的运动或其他方法来提高自己的专注力。
3. 练习题三：任务分解将一项复杂的任务进行分解，确定每个小任务所需的时间，并合理安排在相应的1小时工作块中。
完成后，记录下任务分解和时间安排的效果如何，以及是否对整个任务的完成有积极的促进作用。
4. 练习题四：休息调整在20分钟的休息时间内，尝试不同的放松方式，如散步、冥想、听音乐等，记录下不同休息方式对自己的放松效果和恢复力的影响。
寻找最适合自己的休息方式，并在之后的休息时间中坚持使用。
5. 练习题五：维持习惯12345模型的实施需要坚持和保持良好的时间管理习惯。
请你思考并记录下如何在实施的过程中保持习惯的连续性和稳定性，同时如何应对外界干扰和内心的动摇。
几何模型之12345模型
以下用3种方法给出证明：
法一：方格纸中的构造
如图：
C
A
α
β
D
Rt△ACD中， tan CD 1
E
R∠Cttt△aaAAnnDE+B∠中E，1123AB=t4a5n°ABADEE
2 1
453
B
法二：熟悉的勾三股四弦五
如图，AC=4，BC=3，AB=5
tan
A
3 4
tan
B
4 3
β 5 AA
分别延长CB、CA,
y
A O
α 45°
B
β Cx
题型1：已知45°，α寻β 或 已知45°，β寻α
练习2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别 交x轴、y轴于A、B两点，已知点C（2,0），点P为线段OB 的中点，连接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是___．
题型2：发掘潜在的2α、2β
例3：如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，
如图(1)，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于 A（-1，0）和B（5，0）两点，交 y 轴于点 C，点 D 是线段 OB 上一动点，连接 CD，将线段 CD 绕点 D顺时针旋转 90°得到线 段 DE，过点 E 作直线 l⊥x 轴于 H，过点 C 作 CF⊥l 于 F． ⑴求抛物线解析式； ⑵如图(2)当点 F 恰好在抛物线上时，求线段 OD 的长； ⑶在⑵的条件下： ①连接 DF，求 tan∠FDE 的值； ②试探究在直线 l 上，是否存在点 G，使∠EDG=45°？若存在， 请直接写出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由。
即可得
tan
tan
初中数学-12345模型(于新华讲座记录)
数学解题五境界第一个境界：正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界．第二个境界：一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释．第三个境界：多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．第四个境界：发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。
这些结论、定理规律都是解题的有用工具。
解题高手都有自己的定理库．第五个境界：自己编题．解题的最高境界是能够编题。
不是所有的老师都具备编题的能力。
解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。
即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏．刘俊勇：如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍．一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和有意义。
因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。
以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材的知识点，中考想考满分概率为零。
学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数学大格局，适合自己的就是最好的！版块一引入问题1．如图1-1，在3×3 的网格中标出了∠1 和∠2，则∠1＋∠2＝图1-1 图1-22．如图1-2，在△ABC 中，∠BAC＝45°，AD 是BC 边上的高，BD＝3，DC＝2，则AD 的长为．版块二“1 2 3”+“4 5”的来源一般化结论：若α+β= 45︒则有tanα=a - 1，a + 1tanβ=1（a>1），a当 a =3时，则得到tanα=2tan β=1（了解）2 3 5当a=2 时，则得到tanα=1tan β=1（重要）2 3当a =5时，则得到tanα=2tan β=3（了解）;2 5 7当a = 4 时，则得到tanα=1tan β=3（次重要）4 55105【例1】（济南市中考题）如图2-1，∠AOB 是放置在正方形网络中的一个角，则cos ∠AOB 的值是．图2-1【例2】（2015 湖北十堰）如图2-2，正方形ABCD 的边长为6，点E，F 分别在AB，AD 上，若CE= 3 ，且∠ECF=45°，则CF 的长为（）A．2 B．3 C．5103图2-2倍角与半角构造D．1053当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“ 顶角⇔底角⇔顶角”解题依据“90︒1－顶角＝底角”．2如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC．⑴若tan ∠BCA = 2 ，则tan ∠BAC =．⑵若tan ∠BAC =4，则tan ∠ABC =．3【例3】如图2-3，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，折痕为MN．若tan ∠AEN =1，DC＋CE＝10．3⑴求△ANE 的面积；⑵求sin ∠ENB 的值．图2-3【例4】如图2-4，已知正方形ABCD 的边长为，对角线AC、BD 交于点O，点E 在BC 上，且CE=2BE，过B 点作BF ⊥AE 于点F，连接OF，则线段OF 的长度为。
「初中数学」45度角与“12345“模型
「初中数学」45度角与“12345“模型关于45°的处理策略在前面的文章中着重介绍了构造等腰直角三角形或构造“K”字型。
本期将继续复习巩固上述策略，并在此基础上简单介绍“12345”模型。
一、复习巩固【例1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠C=45°，AB=AD，AE⊥BC于E，求证：BC=2AE.解法一：构造”K“字型.作DH⊥BC，AF⊥DH，BG⊥AF易证△ABG≌△ADF∴GB=AF，AG=FD又∵四边形GBEA,四边形AEHF均为矩形∴GB=AE=AF=EH=FH∵FH=FD DH=GA HC=BE HC∴BC=BE HC EH=AE AE=2AE解法二：构造变异”K“字型作DH⊥BC，DF⊥AE易证AE=FD=EH,BE=AF,FE=DH=HC∵AE=AF FE=BE HC∴BC=BE HC EH=AE AE=2AE显然构造变异的”K“字型比构造'K”字型更为简洁。
但这两种解法本质相同，下面再介绍另一种截然不同的解法。
解法三：构造中位线分析：构造△BCD的中位线FH，则BC=2FH，这样只需证△AEH≌△HDF.证明：作△DBC的中位线HF，连接AH∵AB=AD,H为BD中点，∠BAD=90°∴AH⊥BD，AH=DH∵AE⊥BC∴A,B,E,H四点在以AB为直径的圆上∴∠1=∠2，∠ABH=∠AEH∵HF∥BC∴∠2=∠3∴∠1=∠3又∵∠ABH=∠C=45°，∠C=DFH∴∠AEH=∠DFH∴△AEH≌△HDF∴AE=HF∵BC=2HF∴BC=2AE【例2】如图,在平面直角坐标系中A（0，4），B（0，-6），P （m,0）(m>0),∠APB=45°，求m的值。
解法一：构造变异的“K'字型或构造”K“字型作CA⊥AP，交PB的延长线于点C，作CF⊥AB,作AE平行x轴，PE⊥AE。
易证△APE≌△ACF，得AO=PE=CF=4，PO=AE=AF=m,由△BOP∽△BFCOB:OF=OP:CF解法二：在x轴上分别取一点E、F，使OA=OE，OB=OF，连接AE,BF∵∠1 ∠3=45°，∠1 ∠2=45°∴∠2=∠3同理，∠1=∠4∴△AEP∽△PFB如此巧妙地构造相似，为研题者们提供了一种崭新的思路。
12345模型经典例题
12345模型经典例题12345 模型是一种常用的数据分析模型，可以帮助人们更好地理解数据之间的关系和趋势。
在数据分析领域中，12345 模型被广泛应用于分类、回归、聚类等任务中。
下面是一些经典例题，可以帮助我们更好地掌握 12345 模型的使用方法。
例题 1:分类问题假设我们有一个包含多个变量的数据集，想要使用 12345 模型对其进行分类。
一个经典的例子是“购物篮分析”问题，其中我们要预测哪些商品会被顾客放入购物篮中。
我们可以使用 12345 模型来对购物篮中的商品进行分类，预测哪些商品是顾客最喜欢的。
在这个例子中，我们可以将商品变量作为输入变量，将顾客购买记录作为输出变量。
例题 2:回归问题另一个使用 12345 模型的经典例子是预测股票价格。
我们可以使用 12345 模型来预测明天的股票价格，或者预测股票价格的长期趋势。
在这个例子中，我们可以将股票价格作为输入变量，将其他变量作为输出变量，例如公司的财务状况、行业趋势等。
例题 3:聚类问题聚类问题是 12345 模型的另一个重要应用领域。
聚类是一种常见的数据降维技术，可以将高维数据转换为低维数据，更好地理解数据之间的关系。
例如，我们可以使用 12345 模型来对社交媒体用户进行分类，预测哪些用户可能会形成一组。
在这个例子中，我们可以将用户属性作为输入变量，将用户分组作为输出变量。
以上是一些使用 12345 模型的经典例题，这些例子可以帮助我们更好地理解 12345 模型的使用方法和应用场景。
12345 模型不仅可以用于分类和回归任务，还可以用于聚类、降维等数据分析任务中。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择适当的 12345 模型，并对模型进行优化和调整，以获得更好的预测效果。
教师评价模型 数学建模
教师评价模型一、 摘要学校是一个充满着评价人的场所，每时每刻都在对各个人进行评价。
毫不夸张地说评价教师是学校里每个人的“日常功课”。
由于教师职业劳动的特殊性，它是复杂劳动。
不能仅仅用工作量来评价教师的劳动，同时评价教师的人员纷繁复杂，方式多种多样。
评价教师的标准往往束缚着学校的教学质量，教师教学的积极性。
所以教师评价的确定就显的很重要。
新课程强调：评价的功能应从注重甄别与选拔转向激励、反馈与调整；评价内容应从过分注重学业成绩转向注重多方面发展的潜能；评价主体应从单一转向多元。
那么如何公正、客观地评价教师的同时，有效地保护教师的教学积极性和帮助提高学校的办学水平呢？此模型的建立改变了以往同类模型的多种弊端，从另一角度更加合理地分析、评价，就是为了更公平，公正地对教师做出合理的评价，从而促进学生发展和教师提高。
本模型主要用了模糊数学模型和对各项评价付权重的方法进行建模分析。
从（1）教师对自己的评价，（2）学生对教师的评价；（3）由专家组对教师的评价的角度出发，通过量化，加权，得出结果。
然后确定三方面的比重来评价教师。
同时通过确定教师自评与他人评价的比值范围，而确定这次评价是否有效。
在各个方面采用的数学模型如下：1、 教师对自己的评价：教师对自己的满意度，既体现教师的主人翁意识也保护教师的教学积极性。
161160iii P Q D ==∑ ( i ∈[1,16])(Q 表示教师自评的得分Pi 表示教师对自己各项符合度而打的分数 Di 表示对教师自评要求各项所加给的权重) 2、 学生对教师的评价：表明以学生为主体，体现了模型的客观性，公平、公开的原则。
9ji ij i d c a ==∑ ija=ijnuija=A （U ，V ）（ U 为评价的主要因素，V 为评价因素分等。
C i 为学生对教师的各项评价要求所付的权重 N 为填写有效调查表的人数）3、 由专家组成通过听课对教师的评价：表明专家对教师指导性，帮助教师提高教学水平。
面临中考的同学应该都听说过12345模型...
面临中考的同学应该都听说过12345模型吧鼓掌123这里指的是正切值为二分之一和三分之一的角45顾名思义就是45非常漂亮的一组数据由此在数学出题中会经常出现
面临中考的同学应该都听说过12345模型...
面临中考的同学应该都听说过12345模型吧[鼓掌]“123”这里指的是正切值为二分之一和三分之一的角，45顾名思义就45°，非常漂亮的一组数据，由此在数学出题中会经常出现。
中考数学几何模型“12345”
中考数学几何模型“12345”
例题1：已知A(2，3)B(0，2)点A在反比例函数y=的图象上，再将射线 A B绕点 A按逆时针方向旋转 45°，交反比例函数图象于点C，则点 C的坐标为
例 2.在如图正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D 都在格点处，AB 与CD 相交于O，则tan∠BOD 的值等于。
例题3：如图，正方形ABCD 中，P 是BC 的中点，把△PAB 沿着PA 翻折得到△PAE，过C 作CF⊥DE 于
F，若CF＝2，则DF＝．
例题4：如图：在矩形ABCD 中，AB = 6 ，BC =10 ，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在A' 处，若EA' 的延长线恰好过点C ，则sin ∠ABE 的值：．
练习1:
1.如图∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB 的值是．
2.如图正方形ABCD 的边长AB=2，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，AF 分别与DE、BD 相交于点M，N，则MN 的长为()
3.在四边形ABCD 中BC⊥AB,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°，AB=BC=12，E 是AB 上一点,且∠ DCE=45°，BE=4, 则DE=.
4.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段
AB,PQ 相交于点 M，则图中∠QMB 的正切值是（）
5题：。
特殊角的妙用-“12345”模型
感谢观看
中考数学专题
此处我们还可得： tan（α+45°）=3 tan（β+45°）=2
Hale Waihona Puke 中考数学专题【2018湖北中考第9题】
如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点，将△ABG沿AG对折至△AFG，延长
GF交DC于点E，则DE长是（ ）
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
【分析解答】
根据BG是AB的一半，可得tan∠BAG=1/2， 连接AE，易证△AEF≌△AED， ∴tan∠DAE=1/3，∴DE=2，
根据这里的等腰直角△ABC，可得∠1+∠2=45°
中考数学专题
法二：勾三股四弦五 如图，AC=4，BC=3，AB=5，这个三角形我们再熟悉不过了。在这里： tanA=3/4，tanB=4/3
分别延长CB、CA使得AD=BE=AB可构造构造： 2α=∠ABC，2β=∠BAC，α+β=45°
法三：构造矩形 直角中夹一个45°角也是一种常见的构图。
中考数学专题
特殊角的妙用-“12345”模型
中考数学专题
一、几何图形中经常会出现一些特殊角，熟悉的有30°、45°、60°等等，特殊角往 往伴随着固有属性运用于题目中，也是解题思路来源之一。
比如看到30°角我们会想到直角三角形，45°角总是跟等腰直角三角形有着说不清道 不明的联系，60°甚至能牵出一只等边三角形。
M 【分析解答】 观察发现tan∠ADE=1/3，且∠GHD=45°， 条件已经具备，考虑GF可动，平移GH，将 α、β、45°汇于直角处。可知CF=3， 所以DF长度为3倍根号5．
2019-2020学年度
做题从来都不是靠题目告诉我什么，而是结合已知信息，分析这里需要什么 已知45°+α寻β、已知45°+β寻α 留意题中给的45°角以及由正切值确定的α和β。
“12345”模型的应用
“12345”模型的应⽤前⾯的⽂章中时有⽤到“12345”模型，今天我们就来具体说说这个模型，这个模型的好⽤之处，简直不能⽤⾔语来形容了。
省时省⼒省⼯⾸先，我们认识模型中考应⽤简析：tan∠1=tan∠2=1/2,所以tan∠BAF=4/3所以tan∠3=3/4其他解法：和平⾏线相关的相似三⾓形--正“X”、正“A”相似2020年成都中考简析：根据NF=AN+FD，可知2NF=AD=BC=BFBN平分∠ABF，所以AN:AB=NF:BF=1:2BN平分∠ABF，所以AN:AB=NF:BF=1:2所以tan∠1=tan∠2=1/2所以tan∠ABF=4/3,即AF:AB=4:3所以AB:BC=AB:BF=3:52021年哈尔滨中考简析：（1）N是AC的中点-----根据垂径定理及其推理可知：AC垂直OE 因为AB是直径，所以∠C=90°所以OE∥BC，同时OB=OE所以BE平分∠ABC（平⾏线+等腰→⾓平分线）作∠BAC的⾓平分线AM（求证问题中出现1/2∠BAC）所以∠CDE+1/2∠BAC=∠ADB+∠CAM=∠1=135°（2）根据GD⊥BD，△BDO≌△GDO所以∠G=∠B=∠E=∠ADG所以OG∥AC（3）∠GDB=∠C=90°----⼀线三等⾓矩形（正⽅形）中的“⼗字架”模型与“三垂直（⼀线三等⾓）”模型三垂直模型应⽤（⼆）---K型ON=1/2BC（中位线）可得ON=CD所以tan∠CBD=1/2=tan∠ABD=tan∠E可得tan∠ABC=4/3=tan∠AONEN=2DNON:OA=ON:OE=3:5根据勾股定理可求得AG=2倍根号2.“12345”模型在很多⼏何、函数综合问题中都有应⽤，掌握好⽅法可以事半功倍。
12345模型,平面几何不得不说的几何模型
A
FB
A
5
E
3 2 5
B
2
4C
tan 1 , tan 1 , 454
5
D
已知正方形 ABCD中，E为BC上一点，将正方形折叠 起来，使点 A与点E重合 折痕为MN，若tanAEN 1 , DC CE 10; (1)求ANE的面积；(2)求 sin ENB的值
平面几何不得不说的几何模型：12345 模型，附经典习题及答案
前言：12345 模型本身在书本上没有涉及，但在学生平时习题甚至竞赛题中经常出现，以此 命名，叫的人多了，也就有了这个模型。 一．问题引入： 问题 1：在以下格点中，两角的和为_______ 问题 2：在下右图▲ABC 中，∠BAC=450，AD 是 BC 边上的高，BD=3，CD=2，则 AD
DEG EDF 450 , 故tanEDF 1 3
C EF : FD 10 :10
如图,等腰RtABC中，C 900，D为BC的中点，将ABC折叠，使A 与点D重合，若EF为折痕，则sinBED的值为 ______
C
F
A
E
D
BA
C
tanCAD 1 ,CAD BAD 450
2
F
D
则tanBAD 1 ,又DEH 2BAD
2
B O
A
B PO
A
连接 OA ，则 AOE 2ABE
P tan ABE 1 , 则 tan AOE 4
2
3
故 sin E 4 5
E
E
正方形ABCD中，点P是BC的中点，把PAB沿着PA翻折得到PAE 过C作CF DE交DE延长线于点F，若CF 2，则DF _______