二次函数中动点图形的最值问题

2
3
3
2
2
3
3
1 2x 1 (2 1 x2 4 x 4)x 1 x(2 1 x2 4 x 4) (2 1 x2 4 x 4)
2
2
3
3
2
3
3
3
3
x 2 2 1 x2 4 x
3
3
1 x2 7 x
3
3
1 (x2 7x) 3
O
GB D
x
E
A
1 [x2 7x (7 )2 ] 49
）
规则 不规则
关 用含x的代数式
键 表示相关线段的长度
过点 A 作一条直线与 x 轴平行，与抛物线交于点 B.连接BC,
求ABC 的面积.
y
1
1
SABC 2 ABCD 2 4 4 8
O
Cx
A
BD
探秘三角形的世界
变式1:若抛物线的顶点为 B,求AB的C面积.
y
SABC SOAB SOBC SOAC
O
A B
Cx
探秘三角形的世界
变式2:若点B是线段AC下方的抛物线上的动点,那么ΔABC的面积 有最大值吗？如果有,请求出最大面积和此时点B的坐标.
课前准备
➢ 复习回顾二次函数的有关性质 并形成本章知识框架
➢ 学习用具：笔记本、草稿纸、笔
宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学；学数学、用数学、爱数学
人教2011课标版九年级数学
两点的奇妙之旅
一、当线段与 x 轴平行时,线段的长度等于右端点的横坐标 减去左端点的横坐标. 如图(1)所示,线段 AB// x 轴,则 AB x2 x1;
点M的坐标表示为(m, 1 m2 3 m 4),则点N的坐标为(m, 1 m 4), 2
MN
1
m2
3
m
4
4
(
21
m 4)
1
m2
2m
2
又 MN
3,
1 m2 2m
3,
4
2
2
4
4
当0 m 8时, 1 m2 2m
当m
0或m
4 8时,
1
点M的坐标为
(4
4
2
3 0, 解得m1 2, m2 6,点M的坐标为(2,6)或(6,4);
解 :由题可知,点A(0,4), 点C(6,0), 则直线AC解析式为
y
O
F
D
A
E
Cx
y 2 x4 3
设点B（x, 1 x2 4 x 4),则点D（x, 2 x 4)
BD
(2
3
x
4)
3
(
1
x2
4
x
4)
3
3
3
3
1 x2 2x 3
SABC
1 6 ( 1
2
3
x2
2x)
(x
3)2
9
0 x 6
2
2
1 CE 2 2
CE x 4 1 x2 4 x 4
33
1 x2 7 x 33
1 (x 7 )2 49 3 2 12
当x
7 2
时,
SABE最大
49 , 所以E点坐标为( 7
12
2
, 55). 12
y
C
OHale Waihona Puke Baidu
BD
x
E
A
F
探秘三角形的世界
变式3: 已知B(2,2),若E(x, y)为抛物线上的一个动点 (0 x 6),
连接 AB、BE、AE,求AB面E积的最大值及此时点 E 的坐标.
<法2>解: 设E点的坐标为(x, 1 x2 4 x 4),则DE (2) (1 x2 4 x 4).
y
33
33
SABE S梯GAED SABG SBDE
1 [2 (2 1 x2 4 x 4)]x 1 2 2 1 (x 2)(2 1 x2 4 x 4)
其中, y1 y2.
两点的奇妙之旅
二、当线段与 y轴平行时,线段的长度等于上端点的纵坐标 减去下端点的纵坐标.
如图(2)所示,线段 AB // y 轴,则 AB y2 y1; 其中, x1 x2.
AB // y轴
两点的奇妙之旅
三、线段不与坐标轴平行 当线段不与坐标轴平行时,线段的长度即两点之间的
y
O
F
法1：
SABC SOAB SOBC SOAC
C
x 法2：
D
SABC SABD SCBD
A
E
B
1 BD AE 1 BD CF
2
2
1 BD( AE CF ) 2
探秘三角形的世界
变式2:若点B是线段AC下方的抛物线上的动点,那么ΔABC的面积 有最大值吗？如果有,请求出最大面积和此时点B的坐标.
y
点B, C为定点,
A
点A为动点, 过
F
动点A作平行
于y轴的直线
l , 交B C(或 其
D
延长线)于点D
B
E
O
示例图形
y C
B C
xO
公式
l A
E F D
(1)如左图, 若B, C两点位于l的两侧,则
SABC SABD SACD
1 AD BE 1 AD CF
2
2
1 AD (BE CF ) 2
4
1 (m2 8m) 1 (m2 8m 16) 4 1 (m
4
4
4
4)2 4
所以当m 4时, MN有最大值 4,此时点M的坐标为(4,2).
典例精析---探秘三角形的世界
例2.如图二次函数 y 1 x2 4 x 4 与 x 轴交于点 C ,与 y 轴交于点 A ,
33
距离为:
如图(3)所示.
图(3)
典例精析---走进线的家族
例1.已知抛物线 y ax2 3 x 4 的对称轴是直线 x 3,抛物线与 x 轴 2 交于A, B两点(点 B 在点 A 右侧),与 y 轴交于点 C .
(1)求抛物线的解析式和 A, B 两点的坐标.
解:因为抛物线y ax2 3 x 4的对称轴是x 3,
例1.已知抛物线 y ax2 3 x 4 的对称轴是直线 x 3,抛物线与 x 轴 2 交于A, B两点(点 B 在点 A 右侧),与 y 轴交于点 C .
(2)若点 M是抛物线上任意一点,过点 M作y轴的平行
线,交直线 BC于点 N ,当MN 3时,求 M点的坐标.
解: 设直线BC的解析式为y kx b(k 0),将B(8,0),C(0,4)代入,可得y 1 x 4.
B
当x 3时，Smax 9
此时点B的坐标为(3,5).
探秘三角形的世界
变式3: 已知B(2,2),若E(x, y)为抛物线上的一个动点 (0 x 6), 连接 AB、BE、AE,求AB面E积的最大值及此时点 E 的坐标.
<法1> 解: SABE SACE SBCE
1 CE AF 1 CE BD
3
2
所以 2 3, 解得a 1 ,
2a
4
所以抛物线的方程为y 1 x2 3 x 4. 42
令y 0, 可得 1 x2 3 x 4 0,即x2 6x 16 0, 42
解得x1 2, x2 8,
因为点B在点A的右侧,所以A(2,0), B(8,0).
典例精析---走进线的家族
(3)若点 M是抛物线第一象限内的点,过点 M作y轴的平行
线,交直线 BC于点 N ,当MN最长时,求 M点的坐标.
解:设点M的坐标为(m, 1 m2 3 m 4),点N的坐标为(m, 1 m 4),
42
2
MN ( 1 m2 3 m 4) ( 1 m 4) 1 m2 2m
4
2
2
m2 2m 3 0, 解得m3 4 2 7, m4 4 2 7,
7, 7 1)或(4 2 7, 7 1).
典例精析---走进线的家族
例1.已知抛物线 y ax2 3 x 4 的对称轴是直线 x 3,抛物线与 x 轴 2 交于A, B两点(点 B 在点 A 右侧),与 y 轴交于点 C .
1 2
yA yD
xC xB
(2)如右图, 若B, C两点位于l的同侧,则
SABC SABD SACD
1 AD BE 1 AD CF
2
2
x
1 AD (BE CF ) 2
1 2
yA yD
xC xB
课堂小结，反思升华
函数中动点 图形与面积
静态
以 静 代 动
动态
规则：用公式
转
化
（
割
不规则
补 法
3
2
12
1 (x 7 )2 49 3 2 12
探秘三角形的世界
变式4: 若B、C是抛物线与x轴的交点，A是抛物线与y轴的交点，点D 是线段AC上的动点，过点D作x轴的垂线与抛物线相交于点E， 四边形ABCE的面积有最大值吗 ？如果有,求此时点E的坐标.
y
B
O
A
C
x
D
E
课堂小结，反思升华
背景