信息论基础简介
信息论基础知识
信息论基础知识在当今这个信息爆炸的时代，信息论作为一门重要的学科，为我们理解、处理和传输信息提供了坚实的理论基础。
信息论并非是一个遥不可及的高深概念，而是与我们的日常生活和现代科技的发展息息相关。
接下来，让我们一同走进信息论的世界，揭开它神秘的面纱。
信息是什么？这似乎是一个简单却又难以精确回答的问题。
从最直观的角度来看，信息就是能够消除不确定性的东西。
比如，当我们不知道明天的天气如何，而天气预报告诉我们明天是晴天，这一消息就消除了我们对明天天气的不确定性，这就是信息。
那么信息论又是什么呢？信息论是一门研究信息的量化、存储、传输和处理的学科。
它由克劳德·香农在 20 世纪 40 年代创立，为现代通信、计算机科学、统计学等众多领域的发展奠定了基础。
在信息论中，有几个关键的概念是我们需要了解的。
首先是“熵”。
熵这个概念听起来可能有些抽象，但其实可以把它理解为信息的混乱程度或者不确定性。
比如说，一个完全随机的字符串，其中每个字符的出现都是完全不确定的，它的熵就很高；而一个有规律、可预测的字符串，其熵就相对较低。
信息的度量是信息论中的一个重要内容。
香农提出了用“比特”（bit）作为信息的基本度量单位。
一个比特可以表示两种可能的状态（0 或1）。
如果一个事件有8 种等可能的结果，那么要确定这个事件的结果，就需要 3 个比特的信息（因为 2³＝ 8）。
信息的传输是信息论关注的另一个重要方面。
在通信过程中，信号会受到各种噪声的干扰，导致信息的失真。
为了保证信息能够准确、可靠地传输，我们需要采用一些编码和纠错技术。
比如，在数字通信中，常常使用纠错码来检测和纠正传输过程中产生的错误。
信息压缩也是信息论的一个重要应用。
在数字化的时代，我们每天都会产生大量的数据，如图片、音频、视频等。
通过信息论的原理，可以对这些数据进行压缩，在不损失太多有用信息的前提下，减少数据的存储空间和传输带宽。
再来说说信息的存储。
信息论基础
信息论基础什么是信息论？信息论是一门研究信息处理和通信系统的数学理论。
它主要关注如何使用数学模型表达、传输和处理信息，以及信息的性质和限制。
信息的衡量在信息论中，信息的衡量是基于信息的不确定性来进行的。
当我们获取到一个消息时，如果它是非常常见的或者容易预测的，那么它包含的信息量就会很少。
相反，如果一个消息是非常不寻常的或者很难预测的，那么它包含的信息量就会很大。
信息的单位在信息论中，信息的单位被称为比特（bit），它表示一个二进制位。
当一个事件发生时，如果它有两种可能的结果，那么它所包含的信息量可以用一个比特来表示。
信息的衡量公式信息的衡量公式被称为香农熵（Shannon entropy），用于计算一个随机变量的平均信息量。
香农熵可以通过以下公式来计算：equationequation其中，H(X)表示随机变量X的香农熵，p(x_i)表示X取值为x_i的概率，n表示X可能取值的个数。
信息传输与编码信息论研究了如何通过编码将信息传输到接收方。
编码可以将原始数据转换为具有更高效率的形式，以便在传输过程中节省带宽或存储空间。
噪声与信道容量在信息传输过程中，信号可能会受到噪声的干扰，导致接收方收到的信息不完整或错误。
信道容量是一个衡量信道传输能力的指标，它表示在给定噪声条件下，信道所能传输的最大有效信息量。
奈奎斯特定理奈奎斯特定理是信息论中的重要定理之一，它描述了在理想信道条件下，最大传输速率和信道带宽之间的关系。
奈奎斯特定理可以表示为：equation2equation2其中，C表示信道的容量（单位为比特/秒），B表示信道的带宽（单位为赫兹），M表示信号的离散级别。
编码理论编码理论研究了如何设计有效的编码方案来提高信息传输的效率和可靠性。
常见的编码方案包括霍夫曼编码、汉明码和高斯码等。
信息压缩与数据压缩信息压缩是指通过消除冗余信息来减少数据的存储空间或传输带宽。
数据压缩算法基于信息论的概念和方法，通过寻找数据中的重复模式或统计规律来实现数据压缩。
第1章信息论基础
p(x1) 3 p(x1yj)p(x1y1)p(x1y2)p(x1y3)
p(xi)
p(xiyj)
j1 3
j
p(x2)j1 p(x2yj)p(x2y1)p(x2y2)p(x2y3)
p(
y1
)
2
p(xi y1) p(x1y1) p(x2 y1)
i1
p(yj)
p(xiyj)
p(
y2
)
2
p(xi y2 ) p(x1y2 ) p(x2 y2 )
|
y3)
p(x1
|
y3)
p(x2
|
y3)
1
23
p ( x iy j) p ( x 1 y 1 ) p ( x 1 y 2 ) p ( x 1 y 3 ) p ( x 2 y 1 ) p ( x 2 y 2 ) p ( x 2 y 3 ) 1
i 1 j 1
4. 无条件概率与联合概率的关系(i=1, 2 j=1, 2, 3)
等效无干 扰信道
等效信源 等效信宿
信
干
道
扰
源
信宿
信源译码器 信道译码器
这个模型包括以下五个部分： 1.信源 信源是产生消息的源。
2. 编码器 编码器是将消息变成适合 于信道传送的信号的设备。
信源编码器，提高传输效率
编码器
信道编码器，提高传输可靠性
3. 信道 信道是信息传输和存储的媒介。
4. 译码器 译码是编码的逆变换，分为 信道译码和信源译码。
xr-1
xr-2
xr-m
r时刻状态er=xr-1xr-2 …xr-m=si，其中，xi∈ { a1 , a2 , … , ak }, si∈{s1, s2,…, skm }。信源发出符号xr后，(r＋1)时刻状态er+1= xr xr-1 …xr-m+1=sj……
第一章信息论基础介绍
信号滤波 预测理论
调制 理论
香农 信息论
噪声 理论
统计检测 估计理论
虽然维纳和香农等人都是运用概 率和统计数学的方法研究准确或近似 再现消息的问题，都是通信系统的最 优化问题。但他们之间有一个重要的
区别。
发送
接收
维纳研究的重点是在接收端。研究 消息在传输过程中受到干扰时，在接收 端如何把消息从干扰中提取出来，并建 立了最佳过滤理论（维纳滤波器）、统 计检测与估计理论、噪声理论等。
• 编码目的——提高系统对某一方面的要求 优化系统某一方面的性能指标
课程介绍(续)
• 通信系统主要性能指标——有效性
可靠性
安全性 • 编码分类——
信源编码——提高通信系统的有效性 信道编码——提高通信系统的可靠性
保密编码——保证通信系统的安全性
• 研究——信息的度量(信源熵)、信道容量、信息 率失真函数（香农三定理）、密码学
虚假
不定
6 按照信息的传递方向 前馈 反馈
7 按照信息的生成领域 宇宙
自然 社会 思维
8 按照信息的应用部门
工 农 军 政 科 文 经 市 管 业 业 事 治 技 化 济 场 理
9 按照信息的来源
语 声 图 象 文 字 数 据 计 算
10 按照信息载体的性质
电 磁 语 声 图 象 文 字 光 学 生 物
1
香农信息论
无失真信源 编码定理
信 源 熵
香农信息论
信 道 编 码 密 码 信 源 编 码
1.4 编码理论的发展
1.4.1 无失真信源编码
• 1948年，香农发表“通信的数学理论”，标志着信息论的正 式诞生 • C.E.Shannon, A Mathematical Theory of communication, • Bell System Tech.J, vol.27, PP 379-423, July 1948 • 在前人工作基础上，用概率统计方法研究通信系统 • 揭示：通信系统传递的对象——信息 • 提出：信息熵、信息量 • 指出：通信系统的中心问题—— 噪声背景下如何有效、可靠地传递信息 实现的主要方法——编码 • 提出了无失真信源编码定理、信道编码定理
信息论基础
信息论基础
信息论是一门研究信息传输和处理的科学。
它的基础理论主要有以下几个方面：
1. 信息的定义：在信息论中，信息被定义为能够消除不确定性的东西。
当我们获得一条消息时，我们之前关于该消息的不确定性会被消除或减少。
信息的量可以通过其发生的概率来表示，概率越小，信息量越大。
2. 熵：熵是一个表示不确定性的量。
在信息论中，熵被用来衡量一个随机变量的不确定性，即随机变量的平均信息量。
熵越大，表示随机变量的不确定性越高。
3. 信息的传输和编码：信息在传输过程中需要进行编码和解码。
编码是将消息转换为一种合适的信号形式，使其能够通过传输渠道传输。
解码则是将接收到的信号转换回原始消息。
4. 信道容量：信道容量是指一个信道能够传输的最大信息量。
它与信道的带宽、噪声水平等因素相关。
信道容量的
计算可以通过香浓定理来进行。
5. 信息压缩：信息压缩是指将信息表示为更为紧凑的形式，以减少存储或传输空间的使用。
信息压缩的目标是在保持
信息内容的同时，尽可能减少其表示所需的比特数。
信息论还有其他一些重要的概念和理论，如互信息、信道
编码定理等，这些都是信息论的基础。
信息论的研究不仅
在信息科学领域具有重要应用，还在通信、计算机科学、
统计学等领域发挥着重要作用。
信息论基础
信息论基础信息论是研究信息传输和处理的一门科学，它由克劳德·香农在1948年提出。
信息论基础围绕着信息的度量、传输和压缩展开，从而揭示了信息的本质和特性。
信息论的应用领域非常广泛，包括通信系统、数据压缩、密码学、语言学、神经科学等。
信息论的核心概念是信息熵。
信息熵是对不确定性的度量，表示在某个概率分布下，所获得的平均信息量。
如果事件发生的概率越均匀分布，则信息熵越大，表示信息的不确定性程度高。
相反，如果事件发生的概率越集中，则信息熵越小，表示信息的不确定性程度低。
通过信息熵的概念，我们可以衡量信息的含量和重要性。
在信息论中，信息是通过消息来传递的，消息是对事件或数据的描述。
信息熵越大，需要的消息量就越多，信息的含量就越大。
在通信系统中，信息传输是其中一个重要的应用。
信息的传输需要考虑噪声和信号的问题。
噪声是指干扰信号的其他噪音，而信号是携带着信息的载体。
通过信息论的方法，我们可以优化信号的传输和编码方式，从而能够在尽可能少的传输成本和带宽的情况下，达到最高的信息传输效率。
数据压缩是信息论的另一个重要应用。
在现代社会中，我们产生的数据量越来越大，如何高效地存储和传输数据成为了一个迫切的问题。
信息论提供了一种压缩算法，能够在保证信息不丢失的情况下，通过减少冗余和重复数据，从而达到数据压缩的目的。
除了通信系统和数据压缩，信息论还在其他领域得到了广泛的应用。
在密码学中，信息论提供了安全性的度量，并通过信息熵来评估密码强度。
在语言学中，信息论用来研究语言的结构和信息流动。
在神经科学中，信息论提供了一种理解大脑信息处理和编码方式的框架。
总结起来，信息论基础是一门重要的科学，它揭示了信息的本质和特性，为各个领域提供了一种理解和优化信息传输、处理和压缩的方法。
通过对信息的度量和研究，我们能够更好地应用信息技术，提高通信效率、数据存储和传输效率，甚至能够理解和模拟人脑的信息处理过程。
信息论的发展必将在现代社会发挥重要的作用，为我们带来更加便利和高效的信息科技。
信息论基础简介
我们可以看到此时传输这23个字只需要： (4+3+3)×1+(5×2)×2+3×3=39
个字符。这样就利用信息出现的频率减小了文字的冗 余度，使得传输更有效。
A ·— B — ··· C — ·— · D — ·· E· F ··— · G ——· H ···· I ··
J ·— — — K — ·— L ·— ·· M —— N —· O ——— P ·— — · Q — — ·— R ·— ·
美国则是由一批数学修养很高的工程技术人员 致力于信息有效处理和可靠传输的可实现性
我国数学家和信息科学专家在20世纪 50年代将信息论引进中国。如胡国定、王 寿仁、万哲先、江泽培、蔡长年、章照止、 沈世镒等，为信息论的发展作出了自己的 贡献。
信源 接受者
通讯基本模型
信源 编码器
信道 编码器
噪声
信道 （存储介质）
1948年发表《通信的数学理论》，奠定了信息论的基础。
IEEE在1950年成立了信息论学会，于1973年设立申农讲 座，是国际信息论届的最高荣誉。
前苏联的辛钦(Shiqin)、柯尔莫哥洛夫 (Kolmogorov)、宾斯基(Pinsker)和达布鲁新 (Dabrushin)等一批著名数学家致力于信息论的 公理化体系和更一般的数学模型
只能用低于信道容量的速率来可靠的传输信息， 否则就会出现错误。
• 利用增加的冗信息进行纠错，形成了纠错技术， 如：Hamming码、Golay码、循环码、BCH码等。
消息=
Yes 信道编码: Yes=0
Yes 或 No
No=1
0
噪声
信道
接受者
10
YNeos
信道译码: 0=Yes
第二章信息论
无记忆信源 X的各时刻取值相互独立。
有记忆信源 X的各时刻取值互相有关联。
补充解释 信源和信宿
信源亦称信息源，它能够形成和发送一组有待于传输
给接收端的消息或消息序列。
信宿即信息接受者，它能够接收信息并使信息再现从
而达到通信的目的。
说明：
信源和信宿是多方面的，既可以是人，也可以是 物
信源和信宿是相对的 信源发出的信息对于信宿来说是不确定的
第二节 信息论基础知识
一、通信系统模型 1、通信系统模型
申农认为通信应该是信息在系统中识别、 传输、变换、存储、处理、显示的过程。因此 通信系统必须是一个发送与接收，输入与输出 两者相互联系的不可分割的统一体。
通信系统模型
通信的基本问题是在彼时彼地精确地或近似地再现此时此 地发出的消息。 各种通信系统，一般可概括为下图所示的统计模型：
信源
信源编码器 信道编码器
等效信源 等效信宿
信宿
信源译码器 信道译码器
等效干扰 信道
信
干
道
扰
源
这个模型包括以下五个部分： 1.信源 信源是产生消息的源。
2. 编码器 编码器是将消息变成适合于 信道传送的信号的设备。
信源编码器，提高传输效率
编码器
信道编码器，提高传输可靠性
3. 信道 信道是信息传输和存储的媒介。
维纳从控制和通信的角度研究了信息问题，以自动 控制的观点解决了信号被噪声干扰时的处理问题，建立 了“维纳滤波理论”，从而扩大了信息论的研究范围。
申农信息论
申农使信息论成为了一门独立的学科，主要解决 了信息编码问题和如何提高通信的效率和可靠性。
《通信中的数学理论》和《在噪声中的通信》集 中了申农的研究成果，系统的论述了信息理论，奠定 了现代信息论的基础。
信息论基础
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1.2 信息论的基本内容
信道编码问题也就是在一定的误差允许范围内， 如何得到最短的编码便是信道编码问题。具 体地讲，这也是两个问题：1）最短的编码 在理论上是否存在？2）最短的编码实际中 怎么去构造，或者能否构造出接近最短的编 码？ 目前为止，对于信源和信道编码，第1个问题 都得到了满意的解决，但第2个问题还没有 完全解决。
2012/2/19
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1.3 信息论的发展简史
近十年来，信息论和信息技术取得了长足的进 展，已经形成了一门综合型的学科。它不仅 直接应用于通信、计算机和自动控制等领域， 而且还广泛渗透到生物学、医学、语言学、 社会学和经济学等领域。特别是通信技术与 微电子、光电子、计算机技术相结合，使现 代通信技术的发展充满了生机和活力。 人们追求的目标是实现宽带综合业务数字信息 网，使人类进入高度发达的信息科学时代。
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1.4 控制论、信息论和系统论
信息论的诞生并不是独立的。实际上是控制论和系统 论同时诞生的，三者统称为老三论。由于它们密 切相关，我们也简单地介绍一些控制论、系统论 以及它们之间的关系。 1. 控制论 1948, Wiener 出版了《Control Theroy（控制论）》 一书，诞生了控制论学科。 Wiener将动物（特别 是指人）和机器中的控制和通信问题进行比较研 究，创造一套语言、思想和方法，能够有效分析 一般的控制和通信问题。经过50多年的发展，控 制论已成为一门综合性科学，并被广泛应用到科 学技术。
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1.2 信息论的基本内容
信源：产生消息的源泉，即提供消息的人、设备或 事物。消息可以是文字、语言、图象等。而信源 大 致可以分为三类：1）自然信源，包括来自于物理、 化学、天体、地理、生物等方面的自然的信息，主 要通过各种传感器获得。2）社会信源，包括政治、 军事、管理、金融等，通过社会调查、并利用统计 方法加以整理。3）知识信源，古今中外记录下来的 知识和专家经验。 通信中信源：在通信中，信源就具体化为一个符号 集和产生各个符号（或字母）的概率分布：
第三章：信息论基础知识
§3-2 信息论与广义通信系统
❖ 一、信息论的基本概念
信息论源于通信工程，其发展背景源于通讯系统中的：
(1)信息传输的效率； (2)信息传输的准确性； (3)噪声干扰； (4)信道频率特性等。
实际上信息论范畴更广，而通信理论只是信息论中与通 信有关的一部分。通常，对于信息论有三种理解：
❖ 狭义信息论，主要研究信息的测度、信道容量以及信源和信道 编码理论等，这一部分即山农信息基本理论；
判断的。
用超声波发生器检测物体内部有无裂纹，超声波穿透试件后，携 带着有无裂纹的信息，经过对接收的信号进行处理之后，用图像或数 据显示出来。试件内部状态构成一个信息源，在未检测之前是不清楚 的，这是一个典型的是、非信源，其信源模型为：
X,PPxx11
x2
Px2
N
Pxi 1
i 1
第三章：信息论基础知识
IxiloP g1xiloP gxi
——事件xi发生时，该事件所含有的信息量。
第三章：信息论基础知识
§3-3 信息的定量描述
IxiloP g1xiloP gxi
因为I(xi)描述的是事件xi发生时的信息量，故又称为自信息。I(xi) 代表两种含义：
(1)当事件xi发生以前，表示事件xi发生的不确定性； (2)当事件xi发生以后，表示事件xi所含有(或所提供)的信息量。 自信息采用的测度单位取决于所取对数之底: 如果以2为底，则所得信息量单位为比特(bit， binary unit)； 以e为底，则为奈特(nat，nature unit的缩写)； 以10为底，则为哈特(Hart， hartley的缩写)等。 一般都采用以2为底的对数，因为当P(xi)＝1／2时，I(xi)＝1比特， 所以，1 bit信息量就是两个互不相容的等可能事件之一发生时，所提 供的信息。
信息论基础-第4章信息论基础1
研究目的——信息传输系统最优化
1.可靠性高 使信源发出的消息经过信道传输后，尽可能准确地、 不失真地再现在接收端。
2.有效性高 经济效果好，用尽可能短的时间和尽可能少的设备来 传送一定数量的信息。
往往提高可靠性和提高有效性是矛盾的。
3. 保密性 隐蔽和保护通信系统中传送的消息，使它只能被授
权接收者获取，而不能被未授权者接收和理解。
★信息论研究的对象、目的和内容
研究对象——通信系统模型
信 源 消息 编码器 信号 信 道
干扰
噪声源
译码器 消息 信 宿
1. 信息源：简称信源 信源是产生消息和消息队列的源。如电视直播厅，广 播室，人等等。
特点：信源输出的消息是随机的、不确定的，但有一 定的规律性。
2. 编码器：
编码器是把消息变换成信号的措施，编码器输出的 是适合信道传输的信号。
定理4.2.5 熵函数 H X 是概率 px1, px2 ,..., pxN
的型凸函数。
定理4.2.6 当离散信源X取等概分布时，其熵 H X 取最大值。
max
H px1 ,
px2
,...,
pxN
H
1 N
,
1 Ng 1 log 1
i1 N
N
N
即：当信源取等概分布时，具有最大的不确定性。
(1) f ( p应i ) 是先验概率 的P(x单i ) 调递减函数，
即
P(x1)时 P,(x2 )
f [P(x1)] f [P(x2)]
(2) 当 P(xi )时,1
f ( pi ) 0
(3) 当 P(xi )时 0, f ( pi )
(4) 两个独立事件的联合信息量应等于它们分
信息论基础
信息论研究的目的
研究这样一个概括性很强的通信系统，其目的就是 要找到信息传输过程的共同规律高信息传输的可靠性、 有效性、保密性、认证性，使达到信息传输系统最优 化。 可靠性：就是要使信源发出的消息经过信道传输以 后，尽可能准确地、不失真地再现在接收端。 有效性：就是经济效果好，即用尽可能短的时间和 尽可能少的设备来传送一定数量的信息。
信息论研究的对象、目的和内容
信源 消息
编码器 信号
信道
译码器 信号+干扰 消息
信宿
噪声源
通信系统模型图
信息论研究的对象、目的和内容
信息论研究的对象:正是这种统一的通信系统模型,人们通过系统 中消息的传输和处理来研究信息传输和处理的共同规律. 这个模型主要分成下列五个部分: 1、信息源（简称信源） 顾名思义，信源是产生消息和消息序列的源。它可以是人， 生物，机器或其他事物。它是事物各种运动状态或存在状态的集 合。 如前所述，“母亲的身体状况”，“各种气象状态”等客观存在 是信源。人的大脑思维活动也是一种信源。信源的输出是消息， 消息是具体的，但它不是信息本身。消息携带着信息，消息是信 息的表达者。
信息论基础
刘昌红
第一章 绪论
1、信息的概念 2、信息论研究的对象、目的和内容 3、信息论发展简史与信息科学
信息的概念
1、信息论的定义：信息论是人们在长期通信工程的实践中， 由通信技术与概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发 展起来的一门科学。 2、信息论的奠基人：是美国科学家香农 (C.E.Shannon)，他 在1948年发表了著名的论文《通信的数学理论》，为信息论 奠定了理论基础。 3、香农信息的定义：信息是事物运动状态或存在方式的不 确定性的描述,这就是香农信息的定义。 4、信息、情报、知识、消息及信号间的区别与联系。
信息论基础
信息论研究的内容
信息论研究的内容一般有以下三种理解： 1、狭义信息论：也称经典信息论。它主要研究信息 的测度、信道容量以及信源和信道编码理论等问题。 这部分内容是信息论的基础理论，又称香农基本理论。 2、一般信息论：主要也是研究信息传输和处理问题。 除了香农理论以外，还包括噪声理论、信号滤波和预 测、统计检测与估计理论、调制理论、信息处理理论 以及保密理论等。 后一部分内容是以美国科学家维纳(N.Wiener)为代表， 其中最有贡献的是维纳和苏联科学家柯尔莫哥洛夫 (A.KOnMOropoB)。
信息论研究的对象、目的和内容
信源
编码器
消息
信号
信道
译码器
信号+干扰
消息
信宿
噪声源
通信系统模型图
信息论研究的对象、目的和内容
信息论研究的对象:正是这种统一的通信系统模型,人们通过系统 中消息的传输和处理来研究信息传输和处理的共同规律. 这个模型主要分成下列五个部分: 1、信息源（简称信源）
顾名思义，信源是产生消息和消息序列的源。它可以是人， 生物，机器或其他事物。它是事物各种运动状态或存在状态的集 合。 如前所述，“母亲的身体状况”，“各种气象状态”等客观存在 是信源。人的大脑思维活动也是一种信源。信源的输出是消息， 消息是具体的，但它不是信息本身。消息携带着信息，消息是信 息的表达者。
信息论基础
刘昌红
第一章 绪论
1、信息的概念 2、信息论研究的对象、目的和内容 3、信息论发展简史与信息科学
信息的概念
1、信息论的定义：信息论是人们在长期通信工程的实践中， 由通信技术与概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发 展起来的一门科学。 2、信息论的奠基人：是美国科学家香农 (C.E.Shannon)，他 在1948年发表了著名的论文《通信的数学理论》，为信息论 奠定了理论基础。 3、香农信息的定义：信息是事物运动状态或存在方式的不 确定性的描述,这就是香农信息的定义。 4、信息、情报、知识、消息及信号间的区别与联系。
信息论基础__信息论
def
图2.1 自信息量
自信息量的单位与所用对数的底有关。 （1）常取对数的底为2，信息量的单位为比特(bit，binary unit)。当
p( xi )=1/2时，I ( xi ) =1比特，即概率等于1/2的事件具有1比特的自信
息量。 （2）若取自然对数（对数以e为底），自信息量的单位为奈特（nat， natural unit）。 1奈特= log 2 e 比特=1.443比特
2.1.1 自信息
随机事件的自信息量 I ( xi ) 是该事件发生概率 p( xi ) 的函数，并且应该满
足以下公理化条件：
1. I ( xi ) p( xi )的严格递减函数。当 p( x1 ) p( x2 ) 时，I ( x1 ) I ( x2 ) ，概率 是 越小，事件发生的不确定性越大，事件发生后所包含的自信息量越大
H ( X ) pi log pi H ( p1 , p2 ,, pq ) H (p)
i 1 q
熵函数 H (p)具有以下性质： 1.对称性：
H ( p1 , p2 ,, pq ) H ( p2 , p1 ,, pq )= = H ( pq , p1,, pq 1 )
对称性说明熵函数仅与信源的总体统计特性有关。
2. 确定性： H (1, 0) H (1, 0, 0) H (1, 0, 0, 0) H (1, 0, ,0) 0 在概率矢量中，只要有一个分量为1，其它分量必为0，它们对熵的 贡献均为0，因此熵等于0。也就是说确定信源的不确定度为0。 3. 非负性： H (p) H ( p1 , p2 ,, pq ) 0 对确定信源，等号成立。信源熵是自信息的数学期望，自信息是非 负值，所以信源熵必定是非负的。 4. 扩展性： lim H q 1 ( p1 , p2 ,, pq ， ) H q ( p1 , p2 , , pq ) 0 这个性质的含义是增加一个基本不会出现的小概率事件，信源的熵 保持不变。 5. 连续性： lim H ( p1 , p2 ,, pq 1 ， pq ) H ( p1 , p2 , , pq ) 0 即信源概率空间中概率分量的微小波动，不会引起熵的变化。
信息论基础总结
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()()()(2211I Ix q x x q x x q x X q X ΛΛ∑==I i ix q 11)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()()()(2211m q q q q x x x x x x X X m ΛΛ∏=Ni i x q 1)(第1章 信息论基础信息是物质和能量在空间和时间上分布的不均匀程度，或者说信息是关于事物运动的状态和规律。
消息是能被人们感觉器官感知的客观物质和主观思维的运动状态或存在状态。
通信系统中形式上传输的是消息，实质上传输的是信息，消息中包含信息，消息是信息的载体。
信息论是研究信息的基本性质及度量方法，研究信息的获取、传输、存储和处理的一般规律的科学。
狭义信息论信息论研究的范畴： 实用信息论广义信息论信息传输系统信息传输系统的五个组成部分及功能：1. 信源 信源是产生消息的源。
2. 编码器 编码器是将消息变换成适合于信道传送的信号的设备。
编码器分为信源编码器和信道编码器两种。
3. 信道 信道是信息传输和存储的媒介，如光纤、电缆、无线电波等。
4.译码器 译码器是编码器的逆变换，分为信道译码器和信源译码器。
5. 信宿 信宿是消息的接收者，可以是人，也可以是机器。
离散信源及其数学模型离散信源—消息集X 为离散集合，即时间和空间均离散的信源。
连续信源—时间离散而空间连续的信源。
波形信源—时间和空间均连续的信源。
无记忆信源—X 的各时刻取值相互独立。
有记忆信源—X 的各时刻取值互相有关联。
离散无记忆信源的数学模型—离散型的概率空间：x i ∈{a 1,a 2,…,a k } 1≤i ≤I0≤q(x i )≤1离散无记忆N 维扩展信源的数学模型： x ＝x 1x 2…x N x i ∈{a 1,a 2,…,a k } 1≤i ≤Nq (x )＝q (x 1x 2 … x N )＝离散信道及其数学模型离散信道—信道的输入和输出都是时间上离散、取值离散的随机序列。
第三章_信息论基础知识
激光
而生物技术、空间技术和海洋技术 则是新材料、新能源和信息技术共
同派生出来的三门新技术。
新能源
至于光导纤维通信和计算机技术则 是信息技术的具体分支.
10
新技术的关系结构
第三章 信息论基础知识 3、信息技术与传统技术
中原工学院
机电学院
信息技术在当代整个技术体系中，担负着对传统技术进行补充、改造和更 新的使命。例如，在改造传统工业方面，实现生产过程的自动化。
第三章 信息论基础知识
中原工学院
机电学院
2、信息技术与新技术革命
信息技术向人类提供各种有用的知识，是现代技术的智慧和灵魂。在新的 技术革命中扮演主要的角色.
通信 传感 信息 计算机
微电子技术是由新材料技术和信息 技术派生出来的一门新技术; 激光技术是新能源技术和信息技术 派生出来的新技术;
微电子
空间 海洋 生物 新材料
自动化防空体系 自动化轧钢系统
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第三章 信息论基础知识 3、信息的基本性质
中原工学院
机电学院
（1）可以识别 通过人的感官、各种探测工具。 （2）可以转换 例如，电信号、代码 语言、文字、图像等 （3）可以存储 （4）可以传输 此外，还具有可共享性和永不枯竭性。即信息经过传播可以成为全人类的 财富；信息作为事物运动的状态和方式，是永不枯竭的，只要事物在运动， 就有信息存在。
三、信息科学
1、信息科学
★ 信息科学以信息为主要研究对象；传统科学以物质和能量为研究对象。
★ 信息科学——是研究如何认识和利用信息的科学。认识信息方面：探讨 信息的本质，建立信息问题的完整数学描述方法和定量度量方法，探明信息 的产生、识别、提取、变换、传递、检测、存储、检索、处理和分析。利用 信息方面：研究利用信息进行有效控制和组织最优系统的一般原理和方法。
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IEEE在1950年成立了信息论学会，于1973年设立申农讲 座，是国际信息论届的最高荣誉。
前苏联的辛钦(Shiqin)、柯尔莫哥洛夫 (Kolmogorov)、宾斯基(Pinsker)和达布鲁新 (Dabrushin)等一批著名数学家致力于信息论的 公理化体系和更一般的数学模型
信源编译码
• 压缩编码：信源发出的消息（如普通文字）是有冗 余的，为了有效地进行通信，要对有冗余的消息先 进性无冗余或少冗余编码，即压缩编码。
• 信源编码理论：无失真信源编码、允许失真的率失 真理论。
• 实用压缩编码技术：Huffman码、算术码、 Shannon-Fano-Elias码、LZ/LZW压缩算法，等等。
信道
我们可以看到此时传输这23个字只需要： (4+3+3)×1+(5×2)×2+3×3=39
个字符。这样就利用信息出现的频率减小了文字的冗 余度，使得传输更有效。
A ·— B — ··· C — ·— · D — ·· E· F ··— · G ——· H ···· I ··
J ·— — — K — ·— L ·— ·· M —— N —· O ——— P ·— — · Q — — ·— R ·— ·
• 严格意义上的信息编码起源于人们对概率的认识。
楚国有个人乘船渡江。剑从船上掉进水里了。 这个人便急忙在船边刻下一个记号，说："这 是我的剑掉下去的地方。"然后就悠闲地等着 船靠岸。船靠岸停下来以后，他就从刻记号的 地方跳进水里去找剑，可是再也没有找到剑。
楚人有涉江者，其剑自舟中坠 于水。遽契其舟，曰：“是吾 剑之所从坠。”舟止，从其所 契者入水求之。舟已行矣，而 剑不行。求剑若此，不亦惑乎！
信源 译码器
信道 译码器
信源
• 信源（Information Source）是信息的产生和发送者。 • 信源发出的信息为消息（Message），不考虑其语
意，而考虑它的统计特性。
• 消息包括无失真的文本消息、数据等以及允许失真 的语音、图像、影视信息等。
• 消息要经过发送器的变换，转换成适合于信道传输 的信号（Signal）。信号是随机的，不确定的，服 从一定的统计规律。
刻舟求剑（有失真）
舟剑其水之不契求人江吾
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
信道
这些字出现的次数为：舟（4次），剑、其（各3 次），水、之、不、契、求（各2次），人、江、 吾（各1次）。则传输这23个字需要23×2=46个字 符。
舟剑其水之不契求人江吾
0 1 2 30 31 32 33 34 400 ···— W ·— — X — ··— Y — ·— — Z — — ··
莫尔斯电报码
信道编译码
• 信道：信息（信号）传输的通道。实际信道包括 电缆、光纤、微波、无线通讯等。存储介质包括 磁带、光盘等。
• 信道中通常会有噪声干扰，使传输的消息失真。 • 信道容量：信道的最大理论信息传输速率。信道
• 密码学研究信息在通信过程中的安全问题。 • 应用：政治、军事、经济、金融、商业、计算机
网络等。 • 安全服务：机密性、鉴别、完整性、不可抵赖、
访问控制，可用性等。 • 加密技术：DES，IDEA，AES，RSA，ElGamal，
椭圆曲线密码，流密码等。
凯撒密码的传说
在人类历史上，保护信息的需求与信息本身一 样历史久远。第一个用于加密和解密消息的文档化 数学“密码”是凯撒密码，是由凯撒本人创造的。 这是一个古老的加密方法，当年凯撒大帝行军打仗 时用这种方法进行通信，因此得名。
看，结果出来了 wklv lv fdhvdu frgh
this is caesar code
我们建立起字母和数字之间的对应，如下表： abcdef ghi j kl m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n o p q r s t u v wx y z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
信息论基础
——通讯中的问题
信息论简介
什么是信息？无线电波是信息么？
电波是信息么？
通信系统中形式上传输的是消息， 实质上传输的是信息，消息中包含 信息，消息是信息的载体。
信息是抽象的概念。
• 人类需要随时获取、传递、加工、利用信息。 • 语言（手势）—文字—印刷—现代通讯技术。
信息论是研究信息的基本性质及度量方法，研究
解密器 m m=Dk(c)
ke 密钥源
kd
秘密信道
接受者
信息科学的发展与展望
• 信息论与智能计算问题 • 生物信息学
序列比对问题 蛋白质的空间结构预测问题 基因组编码区域与调控因子的识别问题
• 网络信息论与量子信息论
信息论基础 （第二版）
作者：叶中行 出版社：高等教育出版社 ISBN：9787040217957
它的原理很简单，其实就是单字母的替换。让 我们看一个简单的例子：
wklv lv fdhvdu frgh
看上去这是一段没有意义的信息，似乎很“安全”。
现在尝试一下，把这段很难懂的东西每一个字 母换为字母表中前移3位的字母凯撒密码的字母对 应关系： abcdef ghi j kl m D E F GH I J K L MN OP n o p q r s t u v wx y z Q R S T U V WX Y Z A B C
美国则是由一批数学修养很高的工程技术人员 致力于信息有效处理和可靠传输的可实现性
我国数学家和信息科学专家在20世纪 50年代将信息论引进中国。如胡国定、王 寿仁、万哲先、江泽培、蔡长年、章照止、 沈世镒等，为信息论的发展作出了自己的 贡献。
信源 接受者
通讯基本模型
信源 编码器
信道 编码器
噪声
信道 （存储介质）
信息论之父：Shannon
（Claude Shannon 克劳德·申农）
1916年4月30日，生于美国密西根州 的贝多斯克，2001年2月24日去世， 享年85岁
1936年获密西根大学数学和电机工程学学士学位
1938年获麻省理工学院（MIT）电机工程硕士学位
1940年获麻省理工学院（MIT）数学博士学位
Shannon 1948
McMillan 1956
率失真理论 Shannon Gallager Berger
Huffman码(1952)、Fano码 算术码(1976,1982) LZ码(1977,1978)
压缩编码 JPEG MPEG
信道编码定理
纠错码 编码调制理论
网络信息理论 网络最佳码
密码学
信息的有效处理和可靠传输的一般规律的科学。
• 狭义信息论，即通信的数学理论，主要研究狭义 信息的度量方法，研究各种信源、信道的描述和信 源、信道的编码定理。研究信息传输和处理问题。 • 广义信息论，包括信息论在自然和社会中的新的 应用，如模式识别、机器翻译、自学习自组织系统、 心理学、生物学、经济学、社会学等一切与信息问 题有关的领域。
则Caesar体制可用以下算法描述:(c为密文，m为明文) 加密算法： c=m+3 (mod 26) 解密算法： m=c-3 (mod 26)
将3换成不同的数，如5、11就得到不同的密码算法。
保密通讯模型
（干扰型）
非法入侵者
c’
搭线信道
（窃听型）
密码分析者
明文信源 m
加密器 c c=Ek(m) 信道
其他参考书： 1．《信息论基础与应用》，高等教育出版社，沈世镒、 吴忠华 . 2．《Coding and Information Theory》 Steven Roman.
只能用低于信道容量的速率来可靠的传输信息， 否则就会出现错误。
• 利用增加的冗信息进行纠错，形成了纠错技术， 如：Hamming码、Golay码、循环码、BCH码等。
消息=
Yes 信道编码: Yes=0
Yes 或 No
No=1
0
噪声
信道
接受者
10
YNeos
信道译码: 0=Yes
1=No
消息= Yes 或 No
Yes 信道编码: Yes=000 No=111
000
噪声
信道
接受者
0110
信道译码: YNeos if(0多于1) then “Yes”
else “No”
信息论体系结构
Shannon信息论
压缩理论
传输理论
无失真编码
有失真编码
等长编码 定理
Shannon 1948
McMillan 1953
变长编码 定理