初中数学专题折叠问题

初中数学专题折叠问题The final revision was on November 23, 2020

专题八 折叠问题

学习要点与方法点拨：

出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题

折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；

考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；轴对称性质-----折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。

压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。

基本图形：

在矩形ABCD 中，将△ABF 沿BE 折叠至△FBE,可得何结论

（1）基本图形练习：

如图，将三角形纸片ABC 沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 上，折痕为AD ，展开纸片；再次折叠，使得A 和D 点重合，折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,则△AEF 是等腰三角形，对吗

（2）折叠中角的考法与做法：

将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使得A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （图1）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 边上的点D ’，折痕为EG （图2）,再展开纸片，求图（3）中角a 的大小。

（3）折叠中边的考法与做法：

如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，

折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是多少

模块精讲 例1.（2014扬州）已知矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处． （1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ． ①求证：△OCP ∽△PDA ；

②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；

（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数；

（3）如图2，，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．

例2.（2013苏州）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE ，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若=，则= 用含k 的代数式表示）．

例3、（2013苏州）如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，AB=10cm ，BC=12cm ，点E 、F 、G 分别从A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm/s ，点F 的运动速度为3cm/s ，点G 的运动速度为s ，当点F 到达点C （即点F 与点C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB′F ．设点E 、F 、G 运动的时间为t （单位：s ）．

（1）当t= s 时，四边形EBFB′为正方形；

（2）若以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F ，C ，G 为顶点的三角形相似，求t 的值；

结论：（1）全等；（2）垂直。 ★解题步骤：

第一步：将已知条件标在图上； 第二步：设未知数，将未知数标在图上； 第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。

（3）是否存在实数t ，使得点B′与点O 重合若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

例4、如图，已知矩形纸片ABCD ，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合，折痕FG 分别与AB ，CD 交于点G ，F ，AE 与FG 交于点O ．

（1）如图1，求证：A ，G ，E ，F 四点围成的四边形是菱形；

（2）如图2，当△AED 的外接圆与BC 相切于点N 时，求证：点N 是线段BC 的中点；

（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG 的长．

例5、已知AD ∥BC ，AB ⊥AD ，点E ，点F 分别在射线AD ，射线BC 上．若点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于BD 对称，AC 与BD 相交于点G ，则（ ）

A ．1+tan ∠ADB=

B ．2BC=5CF

C ．∠AEB+22°=∠DEF

D ．4cos ∠AGB=

课堂练习

1、

2、（2014连云港）如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF ．如图2，展开后再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为点M ，EM 交AB 于N ，则tan ∠ANE= _________ ． 图3 图4

3、（2014徐州）如图3，在等腰三角形纸片ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，折叠该纸片，使点A 落在点B 处，折痕为DE ，则∠CBE= _________ °．

4、（2014扬州）如图4，△ABC 的中位线DE=5cm ，把△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在边BC 上的点F 处，若A 、F 两点间的距离是8cm ，则△ABC 的面积为 _________ cm 2．

5、（2013扬州）如图1，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m ，P 为线段BC 上的一动点，且和B 、C 不重合，连接PA ，过P 作PE ⊥PA 交CD 所在直线于E ．设BP=x ，CE=y ．

（1）求y 与x 的函数关系式；

（2）若点P 在线段BC 上运动时，点E 总在线段CD 上，求m 的取值范围；

（3）如图2，若m=4，将△PEC 沿PE 翻折至△PEG 位置，∠BAG=90°，求BP 长．

课后巩固习题

1、（2014淮安）如图，在三角形纸片ABC 中，AD 平分∠BAC ，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，展开后折痕分别交AB 、AC 于点E 、F ，连接DE 、DF ．求证：四边形AEDF 是菱形．

2、（2013宿迁）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E 从点B 出发沿BC 方向运动，过点E 作EF ∥AD 交边AB 于点F ．将△BEF 沿EF 所在的直线折叠得到△GEF ，直线FG 、EG 分别交AD 于点M 、N ，当EG 过点D 时，点E 即停止运动．设BE=x ，△GEF 与梯形ABCD 的重叠部分的面积为y ．

（1）证明△AMF 是等腰三角形；

（2）当EG 过点D 时（如图（3）），求x 的值；

（3）将y 表示成x 的函数，并求y 的最大值．

3、如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,把△BCD 沿着对角线BD 折叠,使点C 落在C'处,BC 交AD 于点G,E,F,分别是C'D 和BD 上的点,线段EF 交AD 于点H,把△FDE 沿着EF 折叠,使点D 落在D'处,点D'恰好与点A 重合.

（1）求证:三角形ABG ≌△C'DG

（2）求tan ∠ABG 的值；

（3）求EF 的长。

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