初中数学专题折叠问题
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初中数学专题折叠问题The final revision was on November 23, 2020
专题八 折叠问题
学习要点与方法点拨:
出题位置:选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题
折叠问题中,常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等;
考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等;轴对称性质-----折线,是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。
压轴题是由一道道小题综合而成,常常伴有折叠;解压轴题时,要学会将大题分解成一道道小题;那么多作折叠的选择题填空题,很有必要。
基本图形:
在矩形ABCD 中,将△ABF 沿BE 折叠至△FBE,可得何结论
(1)基本图形练习:
如图,将三角形纸片ABC 沿过点A 的直线折叠,使得AC 落在AB 上,折痕为AD ,展开纸片;再次折叠,使得A 和D 点重合,折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,则△AEF 是等腰三角形,对吗
(2)折叠中角的考法与做法:
将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠,使得A 落在BC 边上的点F 处,折痕为BE (图1);再沿过点E 的直线折叠,使点D 落在BE 边上的点D ’,折痕为EG (图2),再展开纸片,求图(3)中角a 的大小。
(3)折叠中边的考法与做法:
如图,将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠,使点D 落在AB 边中点E 处,
折痕为FH ,点C 落在Q 处,EQ 与BC 交于点G ,则△EBG 的周长是多少
模块精讲 例1.(2014扬州)已知矩形ABCD 的一条边AD=8,将矩形ABCD 折叠,使得顶点B 落在CD 边上的P 点处. (1)如图1,已知折痕与边BC 交于点O ,连结AP 、OP 、OA . ①求证:△OCP ∽△PDA ;
②若△OCP 与△PDA 的面积比为1:4,求边AB 的长;
(2)若图1中的点P 恰好是CD 边的中点,求∠OAB 的度数;
(3)如图2,,擦去折痕AO 、线段OP ,连结BP .动点M 在线段AP 上(点M 与点P 、A 不重合),动点N 在线段AB 的延长线上,且BN=PM ,连结MN 交PB 于点F ,作ME ⊥BP 于点E .试问当点M 、N 在移动过程中,线段EF 的长度是否发生变化若变化,说明理由;若不变,求出线段EF 的长度.
例2.(2013苏州)如图,在矩形ABCD 中,点E 是边CD 的中点,将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE ,且点F 在矩形ABCD 内部.将AF 延长交边BC 于点G .若=,则= 用含k 的代数式表示).
例3、(2013苏州)如图,点O 为矩形ABCD 的对称中心,AB=10cm ,BC=12cm ,点E 、F 、G 分别从A 、B 、C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E 的运动速度为1cm/s ,点F 的运动速度为3cm/s ,点G 的运动速度为s ,当点F 到达点C (即点F 与点C 重合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB′F .设点E 、F 、G 运动的时间为t (单位:s ).
(1)当t= s 时,四边形EBFB′为正方形;
(2)若以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F ,C ,G 为顶点的三角形相似,求t 的值;
结论:(1)全等;(2)垂直。 ★解题步骤:
第一步:将已知条件标在图上; 第二步:设未知数,将未知数标在图上; 第三步:列方程,多数情况可通过勾股定理解决。
(3)是否存在实数t ,使得点B′与点O 重合若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.
例4、如图,已知矩形纸片ABCD ,AD=2,AB=4.将纸片折叠,使顶点A 与边CD 上的点E 重合,折痕FG 分别与AB ,CD 交于点G ,F ,AE 与FG 交于点O .
(1)如图1,求证:A ,G ,E ,F 四点围成的四边形是菱形;
(2)如图2,当△AED 的外接圆与BC 相切于点N 时,求证:点N 是线段BC 的中点;
(3)如图2,在(2)的条件下,求折痕FG 的长.
例5、已知AD ∥BC ,AB ⊥AD ,点E ,点F 分别在射线AD ,射线BC 上.若点E 与点B 关于AC 对称,点E 与点F 关于BD 对称,AC 与BD 相交于点G ,则( )
A .1+tan ∠ADB=
B .2BC=5CF
C .∠AEB+22°=∠DEF
D .4cos ∠AGB=
课堂练习
1、
2、(2014连云港)如图1,将正方形纸片ABCD 对折,使AB 与CD 重合,折痕为EF .如图2,展开后再折叠一次,使点C 与点E 重合,折痕为GH ,点B 的对应点为点M ,EM 交AB 于N ,则tan ∠ANE= _________ . 图3 图4
3、(2014徐州)如图3,在等腰三角形纸片ABC 中,AB=AC ,∠A=50°,折叠该纸片,使点A 落在点B 处,折痕为DE ,则∠CBE= _________ °.
4、(2014扬州)如图4,△ABC 的中位线DE=5cm ,把△ABC 沿DE 折叠,使点A 落在边BC 上的点F 处,若A 、F 两点间的距离是8cm ,则△ABC 的面积为 _________ cm 2.
5、(2013扬州)如图1,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠B=90°,AB=2,CD=1,BC=m ,P 为线段BC 上的一动点,且和B 、C 不重合,连接PA ,过P 作PE ⊥PA 交CD 所在直线于E .设BP=x ,CE=y .
(1)求y 与x 的函数关系式;
(2)若点P 在线段BC 上运动时,点E 总在线段CD 上,求m 的取值范围;
(3)如图2,若m=4,将△PEC 沿PE 翻折至△PEG 位置,∠BAG=90°,求BP 长.
课后巩固习题
1、(2014淮安)如图,在三角形纸片ABC 中,AD 平分∠BAC ,将△ABC 折叠,使点A 与点D 重合,展开后折痕分别交AB 、AC 于点E 、F ,连接DE 、DF .求证:四边形AEDF 是菱形.
2、(2013宿迁)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,∠B=90°,且AB=10,BC=6,CD=2.点E 从点B 出发沿BC 方向运动,过点E 作EF ∥AD 交边AB 于点F .将△BEF 沿EF 所在的直线折叠得到△GEF ,直线FG 、EG 分别交AD 于点M 、N ,当EG 过点D 时,点E 即停止运动.设BE=x ,△GEF 与梯形ABCD 的重叠部分的面积为y .
(1)证明△AMF 是等腰三角形;
(2)当EG 过点D 时(如图(3)),求x 的值;
(3)将y 表示成x 的函数,并求y 的最大值.
3、如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,把△BCD 沿着对角线BD 折叠,使点C 落在C'处,BC 交AD 于点G,E,F,分别是C'D 和BD 上的点,线段EF 交AD 于点H,把△FDE 沿着EF 折叠,使点D 落在D'处,点D'恰好与点A 重合.
(1)求证:三角形ABG ≌△C'DG
(2)求tan ∠ABG 的值;
(3)求EF 的长。
3、 26