球与几何体的切接问题

4 4 63 6 3 ∴V球＝ π R ＝ π ( ) ＝ π . 3 3 4 8 【答案】 6 8π
(2)(2014· 大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该 棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( 81π A. 4 C．9π B．16π 27π D. 4 )
【解析】 利用球心到各顶点距离相等列 式求解． 如图，设球心为 O，半径为 r，则在 Rt△ 9 AOF 中，(4－r) ＋( 2) ＝r ，解得 r＝4.
题型二
几何体的内切球
(1)半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面 都相切)的表面积为________，体积为பைடு நூலகம்_______．
(2)已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面 上， 若 AB＝3， AC＝4， AB⊥AC， AA1＝12， 则球 O 的半径为( 3 17 A. 2 13 C. 2 B．2 10 D．3 10 )
【解析】 的中点M.
如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC
1 5 1 又AM＝2BC＝2，OM＝2AA1＝6， 所以球O的半径R＝OA＝ 【答案】 C 5 2 13 2 （2） ＋6 ＝ 2 .
★状元笔记 柱体的外接球问题，其解题关键在于确定球心在多面体中的 位置，找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系，结合 原有多面体的特性求出球的半径，然后再利用球的表面积和体积 公式进行正确计算．常见的方法是将多面体还原到正方体和长方 体中再去求解．
思考题 2
(1)已知某一多面体内接于球构成一个简单组
专题研究 球与几何体的切接问题
专 题 要 点
(1)长方体的外接球： ①球心：体对角线的交点； a2＋b2＋c2 ②半径：r＝ (a，b，c为长方体的长、宽、高)． 2
(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球： 3 ①外接球：球心是正方体中心；半径r＝ 2 a(a为正方体的棱 长)； a ②内切球：球心是正方体中心；半径r＝ 2 (a为正方体的棱 长)； 2 ③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝ 2 a(a 为正方体的棱长)．
设 OO1＝x，则 O1A＝ R2－x2，AB＝ 2· R2－x2，PO1＝ 1 2 1 R＋x， 所以正四棱锥 P－ABCD 的体积 V＝ AB ×PO1＝ ×2(R2 3 3 2 2 3 2 2 3 －x )(R＋x)＝3(－x －Rx ＋R x＋R )， 求导： V′＝3(－3x2－2Rx
2
(2)已知正四棱锥P－ABCD内接于一个半径为R的球，则正 四棱锥P－ABCD体积的最大值是( 16R3 A. 81 64R3 C. 81 ) 32R3 B. 81 D．R3
【解析】 如图， 记 O 为正四棱锥 P－ABCD 外接球的球心， O1 为底面 ABCD 的中心， 则 P， O， O1 三点共线， 连接 PO1， OA， O1A.
(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体 的一部分) 6 ①外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝ a(a为正四面 4 体的棱长)； 6 ②内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝ 12 a(a为正四面 体的棱长)．
专 题 讲 解
题型一 几何体的外接球
类型1：锥体的外接球 (1)求棱长为1的正四面体外接球的体积为________．
2 2 2
∴该球的表面积为 4π r ＝4π 【答案】 A
2
92 81 ×4 ＝ π 4
.
★状元笔记 球的表面积和体积都是半径 R 的函数．对于和球有关的问 题，通常可以在轴截面中建立关系．画出轴截面是正确解题的关 键．
思考题 1
(1)如图是某几何体的三视图，其中正视图是 )
一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为(
2 R 64 3 ＋R )＝－ (x＋R)(3x－R)，当 x＝ 时，体积 V 有最大值 R ， 3 3 81
2
故选 C. 【答案】 C
类型 2：柱体的外接球 (1)若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上， 则该球 的表面积为________．
【解析】 本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出 球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径 R 3 3 ＝ 2 ，则该球的表面积为 S＝4π R2＝27π .故填 27π . 【答案】 27π
【解析】 设SO1是正四面体S－ABC的高，外接球的球心 O在SO1上，设外接球半径为R，AO1＝r，
3 则在△ABC中，用解直角三角形知识得r＝ 3 .
从而SO1＝ SA
2
－AO12＝
1 1－3＝
2 3，
在Rt△AOO1中，由勾股定理，得 R ＝(
2
2 32 6 2 3－R) ＋( 3 ) ，解得R＝ 4 .
16π A. 3 C．4 3π
8π B. 3 D．2 3π
【解析】 几何体的直观图是三棱锥，由对 称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高 线上，设外接球的半径为R，则(
2
3 －R)2＋12＝
2 3 2 3 2 2 R ，R＝ 3 ，其表面积S＝4π R ＝4π ( 3 ) ＝ 16π 3 . 【答案】 A
合体，如果该组合体的主视图、左视图、俯视图均如图所示，且 图中的四边形是边长为 2 的正方形， 则该球的表面积是________．
【解析】 由三视图知，棱长为 2 的正方体内接于球，故正 方体的体对角线长为 2 3，即为球的直径． 2 32 所以球的表面积为 S＝4π ·( ) ＝12π . 2 【答案】 12π
(2)(2017· 长春模拟)已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面是边长 为 6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面 积为 12π ，则该三棱柱的体积为________．
【解析】 设球半径为 R，上，下底面中心设为 M，N，由题 意，外接球心为 MN 的中心，设为 O，则 OA＝R，由 4π R2＝12π ， 得 R＝OA＝ 3，又易得 AM＝ 2，由勾股定理可知，OM＝1，所 3 以 MN＝2，即棱柱的高 h＝2，所以该三棱柱的体积为 ×( 6)2×2 4 ＝3 3. 【答案】 3 3