大学复变函数期末考试试卷及标准答案(理工科所有专业)

大学复变函数期末考试试卷及答案(理工科所有专业)

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2

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年

级

重庆××大学《复变函数》期末考试

专业：理工科 课程名：复变函数 考核方式：闭卷

专 业 ： 班 级 ： 姓 名 ： 学 号 ：

题号 一 二 三 四 五 总分 分数

评卷

人

装 线

订

一． 填空题（每小题4分，共24分）

1． =+++-)1

21

311Re(i i i .

2． 若函数())6()1(232222y x xy i y m xy x z f +-+--+=在复平面内处处解析，那么实常数m = 。 3．设C 为1<=r z ，那么⎰

--C z z dz

)

1)(1(3

2＝ 。 4．幂级数∑∞

=03n n

n

z 的收敛半径=R 。

5．设C 是沿2x y =自原点到i +1的曲线段，求dz

z C

⎰＝ 。

6．函数3

41

)(-=z z f 在0=z 处的泰勒级数为 。

二．单项选择题（每小题4分，共20分） 1．的主值为)1(i Ln -（）

A ．4

2ln

π

i

+ B. 4

2ln π

i

- C ．2ln 4i +π

D. 2ln 4

i -π

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2．设2

2-+=

ni ni

n α),3,2,1(ΛΛ=n ,则=∞→n n αlim （ ）

A. 0；

B. 1；

C. -1+i ；

D. 1+i 。

3．满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是（ ）。

A ．有界单连通区域； B. 无界单连通区域； C ．有界复连通闭域； D.无界复连通闭域。

4．下列函数中，不在复平面内解析的函数是( )

A.1

)(+=z e z f ； B ．-

=z z f )( ；

C

．n

z z f =)( ；

D ．)sin (cos )(y i y e z f x

+=。

5．下列级数中，条件收敛的级数是（）

A. ∑∞

=+0

8)56(n n

n

i ； B. ∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+-03)1(n n n i n ； C. ∑∞

=02

n n i

； D.

∑∞

=+0

)1(1n n i n . 三．计算题（每小题7分，共49分） 1．设i z 31+=求6

1z 。

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2．判定函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导，在何处解析。

3．计算积分⎰

-

C

dz z z 4

)2

(sin π，其中C ：2=z 。

4.计算积分⎰-++C z dz z i z e )34

(，其中C ：4=z 。

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5.设,)1(2y x u -=试求解析函数iv u z f +=)(，使得i f -=)2(。

6.将函数)

2)(1(1

)(--=z z z f ，在圆环域21<

数。

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7.利用留数计算积分⎰--C z

dz i z z e )()1(2

，C 为正向圆周：2=z

四.证明函数yi x z f 2)(+=在复平面内不可导。（7分）

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参考答案

一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共21分）

1．109 ， 2. 4 ，3. 0 ，4. 1，5. -3或i ，6. ∑∞=-034)31(n n n n z ,4

3

二、单项选择题(本大题共7小题，每小题3分，共21分)

1. B ，

2. B ，

3.C,

4. B,

5. B .

三、计算题（本大题共7小题，15-19每小题7分，20-21题8分，共51分） 1.解：由i z 31+=得：)3

sin 3(cos

2π

π

i z +=, （1分）

)6

24

sin 6

24

(cos 23166ππ

ππ

k i k i z k +++=+=, （3分）

所以)18sin 18(cos 260ππi z +=，)187sin 187(cos 261π

πi z +=，

)1813sin 1813(cos 262ππi z += ,)1819sin 1819(cos 263π

πi z +=

)1825sin 1825(cos 264ππi z +=,)18

31sin 1831(cos 265π

πi z += （7分）

2.

解

：

)

2()()(222y xy i x y x z f -+--=,则

)2(),(),(),(222y xy y x v x y x y x u -=--=,（1分）

y y

u x x u 2,12-=∂∂-=∂∂y x y v

y x v 22,2-=∂∂=∂∂,（5分）

只在2

1

=

y 处满足柯西-黎曼方程：

,y v x u ∂∂=∂∂,x v y u ∂∂-=∂∂（6分） 故)2()()(222y xy i x y x z f -+--=只在2

1

=y 处可导，处处不解析。（7分）

3．由于2

π

=

z 包含在2=z 内，z sin 在2=z 内解析，（2分）