第一次习题课2014-12-8

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2014版教材课后习题答案4_7章

P78 第四章3.一物体按规律x ＝ct 3在流体媒质中作直线运动，式中c 为常量，t 为时间．设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为k ，试求物体由x ＝0运动到x ＝l 时，阻力所作的功．解：由x ＝ct 3可求物体的速度： 23d d ct tx==v 1分物体受到的阻力大小为： 343242299x kc t kc k f ===v 2分力对物体所作的功为：⎰=W W d =⎰-lx x kc 03432d 9 =7273732lkc - 2分4．一人从10 m 深的井中提水．起始时桶中装有10 kg 的水，桶的质量为1 kg ，由于水桶漏水，每升高1 m 要漏去0.2 kg 的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．解：选竖直向上为坐标y 轴的正方向，井中水面处为原点．由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F 等于水桶的重量即： F =P =gy mg ky P 2.00-=-=107.8-1.96y (SI) 3分人的拉力所作的功为：W=⎰⎰=Hy F W 0d d ＝⎰-10d )96.18.107(y y =980 J 2分5．质量m ＝2 kg 的质点在力i t F ρρ12=(SI)的作用下，从静止出发沿x 轴正向作直线运动，求前三秒该力所作的功．解： ⎰⎰=⋅=t t r F A d 12d v ρρ 1分而质点的速度与时间的关系为200003d 212d 0d t t t t m Ft a t tt==+=+=⎰⎰⎰v v 2分所以力F ρ所作的功为 ⎰⎰==33302d 36d )3(12t t t t t A =729 J 2分6．如图所示，质量m 为 0.1 kg 的木块，在一个水平面上和一个劲度系数k 为20 N/m 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了x = 0.4 m ．假设木块与水平面间的滑动摩擦系数μ k 为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率v 为多少？解：根据功能原理，木块在水平面上运动时，摩擦力所作的功等于系统（木块和弹簧）机械能的增量．由题意有 222121v m kx x f r -=- 而mg f k r μ= 3分由此得木块开始碰撞弹簧时的速率为 mkx gx k 22+=μv1分= 5.83 m/s 1分[另解]根据动能定理，摩擦力和弹性力对木块所作的功，等于木块动能的增量，应有20210v m kxdx mgx xk -=--⎰μ 其中2021kx kxdx x=⎰7．一物体与斜面间的摩擦系数μ = 0.20，斜面固定，倾角α = 45°．现给予物体以初速率v 0 = 10 m/s ，使它沿斜面向上滑，如图所示．求：(1) 物体能够上升的最大高度h ；(2) 该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v ．解：(1)根据功能原理，有 mgh m fs -=2021v 2分 ααμαμsin cos sin mgh Nh fs ==mgh m mgh -==2021ctg v αμ 2分)ctg 1(220αμ+=g h v =4.5 m 2分(2)根据功能原理有 fs m mgh =-221v 1分αμctg 212mgh mgh m -=v 1分[]21)ctg 1(2αμ-=gh v =8.16 m/s 2分8．一链条总长为l ，质量为m ，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a ．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为μ．令链条由静止开始运动，则 (1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？ (2)链条刚离开桌面时的速率是多少？解：(1)建立如图坐标.某一时刻桌面上全链条长为y ,则摩擦力大小为g lymf μ= 1分摩擦力的功 ⎰⎰--==00d d a l a l f y gy lmy f W μ 2分=022a l y l mg -μ =2)(2a l lmg--μ 2分(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ∑W ＝2022121v v m m -其中 ∑W = W P ＋W f ，v 0 = 0 1分W P =⎰la x P d =la l mg x x l mg la 2)(d 22-=⎰ 2分由上问知 la l mg W f 2)(2--=μ所以222221)(22)(v m a l l mg l a l mg =---μ 得 []21222)()(a l a l lg ---=μv 2分9．劲度系数为k 、原长为l 的弹簧，一端固定在圆周上的A 点，圆周的半径R ＝l ，弹簧的另一端点从距A 点2l 的B 点沿圆周移动1/4周长到C 点，如图所示．求弹性力在此过程中所作的功．解：弹簧长为AB 时，其伸长量为 l l l x =-=21 1分弹簧长为AC 时，其伸长量为 l l l x )12(22-=-=1分弹性力的功等于弹性势能的减少 2221212121kx kx E E W P P -=-= 2分[]22)12(121--=kl 2)12(kl -= 1分10．一质量为m 的质点在Oxy 平面上运动，其位置矢量为j t b i t a r ρρρωωsin cos +=(SI)式中a 、b 、ω是正值常量，且a ＞b ． (1)求质点在A 点(a ，0)时和B 点(0，b )时的动能；(2)求质点所受的合外力F ρ以及当质点从A 点运动到B 点的过程中F ρ的分力x F ρ和y F ρ分别作的功．解：(1)位矢 j t b i t a r ρρρωωsin cos += (SI) 可写为 t a x ωcos = ， t b y ωsin =t a t x x ωωsin d d -==v ， t b ty ωωcos d dy-==v在A 点(a ，0) ，1cos =t ω，0sin =t ωE KA =2222212121ωmb m m y x =+v v 2分在B 点(0，b ) ，0cos =t ω，1sin =t ωE KB =2222212121ωma m m y x =+v v 2分(2) j ma i ma F y x ρρρ+==j t mb i t ma ρρωωωωsin cos 22-- 2分由A →B ⎰⎰-==2d cos d a a x x x t a m x F W ωω=⎰=-022221d a ma x x m ωω 2分 ⎰⎰-==b b y y t b m y F W 020dy sin d ωω=⎰-=-b mb y y m 022221d ωω 2分11．某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F ，相应伸长为x ，力与伸长的关系为 F ＝52.8x ＋38.4x 2（SI ）求：(1)将弹簧从伸长x 1＝0.50 m 拉伸到伸长x 2＝1.00 m 时，外力所需做的功．(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg 的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x 2＝1.00 m ，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x 1＝0.50 m 时，物体的速率．(3)此弹簧的弹力是保守力吗？解：(1) 外力做的功＝31 J 1分(2) 设弹力为F ′⎰⎰⋅+==21d )4.388.52(d 2x x xx x xF W ρρ⎰⎰⋅=-==1212d d 21'2x x x x Wx F x F m ρρv 3分= 5.34 m/s1分(3) 此力为保守力，因为其功的值仅与弹簧的始末态有关． 2分12．如图所示，悬挂的轻弹簧下端挂着质量为m 1、m 2的两个物体，开始时处于静止状态．现在突然把m 1与m 2间的连线剪断，求m 1的最大速度为多少？设弹簧的劲度系数k ＝8.9×104 N /m ，m 1＝0.5 kg ，m 2＝0.3 kg ．解：以弹簧仅挂重物m 1时，物体静止（平衡）位置为坐标原点，竖直向下为y 轴正向，此时弹簧伸长为： l 1＝m 1 g / k ① 1分再悬挂重物m 2后，弹簧再获得附加伸长为l 2＝m 2 g /k ② 1分当突然剪断连线去掉m 2后，m 1将上升并开始作简谐振动，在平衡位置处速度最大．根据机械能守恒，有21221)(21gl m l l k -+＝21212121kl m m +v ③ 2分将①、②代入③得 )(v k m g m m 121= ≈0.014 m/s ④ 1分13．用劲度系数为k 的弹簧，悬挂一质量为m 的物体，若使此物体在平衡位置以初速v 突然向下运动，问物体可降低到何处？解：取物体在平衡位置时，重力势能E P ＝0，设平衡时弹簧的伸长量为x 0，则物体开始向下运动的一瞬间，机械能为2v m kx E 2121201+=1分设物体刚好又下降x 距离的一瞬间速度为零(不再下降)，则该瞬时机械能为mgx x x k E -+=202)(211分物体运动过程中，只有保守力作功，故系统的机械能守恒：mgx x x k m kx -+=+2020)(2121212v 2分把kx 0＝mg 代入上式，可解得： k m x v = 1分P103 第五章3．一飞轮以等角加速度2 rad /s 2转动，在某时刻以后的5s 飞轮转过了100 rad ．若此飞轮是由静止开始转动的，问在上述的某时刻以前飞轮转动了多少时间？mW2=v 3分解：设在某时刻之前，飞轮已转动了t 1时间，由于初角速度 ω 0＝0则 ω1β=t 1 ① 1分而在某时刻后t 2 =5 s 时间，转过的角位移为222121t t βωθ+= ② 2分将已知量=θ100 rad ， t 2 =5s ， =β 2 rad /s 2代入②式，得ω1 = 15 rad /s 1分从而 t 1 = ω1/=β 7.5ｓ即在某时刻之前，飞轮已经转动了7.5ｓ． 1分4．有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量221mR J =，其中m 为圆形平板的质量）解：在r 处的宽度为d r 的环带面积上摩擦力矩为r r r R mgM d 2d 2⋅π⋅π=μ3分总摩擦力矩 mgR M M R μ32d 0==⎰ 1分故平板角加速度 β =M /J 1分设停止前转数为n ，则转角 θ = 2πn由 J /Mn π==4220θβω 2分可得 g R MJ n μωωπ16/342020=π=1分5．如图所示，转轮A 、B 可分别独立地绕光滑的固定轴O 转动，它们的质量分别为m A ＝10 kg 和m B ＝20 kg ，半径分别为r A 和r B ．现用力f A 和f B 分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动．为使A 、B 轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力f A 、f B 之比应为多少？(其中A 、B 轮绕O 轴转动时的转动惯量分别为221AA A r m J =和221B B B r m J =) 解：根据转动定律f A r A = J A βA ① 1分其中221AA A r m J =，且 f B r B = J B βB ② 1分其中221B B B r m J =．要使A 、B 轮边上的切向加速度相同，应有a = r A βA = r B βB ③ 1分由①、②式，有BB B AA AB A B A B A B A r m r m r J r J f f ββββ== ④ 由③式有 βA / βB = r B / r A将上式代入④式，得 f A / f B = m A / m B = 212分B A f Ar B r A6．一质量为m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r ，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t 下降了一段距离S ．试求整个轮轴的转动惯量(用m 、r 、t 和S 表示)．解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T ，则根据牛顿运动定律和转动定律得：mg T ＝ma ① 2分T r ＝J β ② 2分由运动学关系有： a = r β ③ 2分由①、②、③式解得： J ＝m ( g －a ) r 2 / a ④ 又根据已知条件 v 0＝0∴ S ＝221at ， a ＝2S / t 2 ⑤ 2分将⑤式代入④式得：J ＝mr 2(Sgt22－1) 2分7．一定滑轮半径为0.1 m ，相对中心轴的转动惯量为1×10-3 kg ·m 2．一变力F ＝0.5t (SI)沿切线方向作用在滑轮的边缘上，如果滑轮最初处于静止状态，忽略轴承的摩擦．试求它在1 s 末的角速度．解：根据转动定律 M ＝J d ω / d t 1分即 d ω＝(M / J ) d t 1分其中 M ＝Fr ， r ＝0.1 m ， F ＝0.5 t ，J ＝1×10-3 kg ·m 2, 分别代入上式，得d ω＝50t d t 1分则1 s 末的角速度 ω1＝⎰150t d t ＝25 rad / s 2分8．一长为1 m 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒向上与水平面成60°，然后无初转速地将棒释放．已知棒对轴的转动惯量为231ml ，其中m 和l 分别为棒的质量和长度．求： (1) 放手时棒的角加速度；(2) 棒转到水平位置时的角加速度．解：设棒的质量为m ，当棒与水平面成60°角并开始下落时，根据转动定律 M = J β1分其中 4/30sin 21mgl mgl M ==ο 1分于是 2rad/s 35.743 ===lgJ M β 1分当棒转动到水平位置时， M =21mgl 1分那么 2rad/s 7.1423 ===lg J M β 1分9．长为L 的梯子斜靠在光滑的墙上高为h 的地方，梯子和地面间的静摩擦系数为μ，若梯子的重量忽略，试问人爬到离地面多高的地方，梯子就会滑倒下来？解：当人爬到离地面x 高度处梯子刚要滑下，此时梯子与地面间为最大静摩擦，仍处于平衡状态 (不稳定的) ．1分 N 1－f ＝0， N 2－P ＝0 1分N 1h －Px ·ctg θ ＝0 1分f ＝μN 2 1分解得 222/tg h L h h x -=⋅=μθμ 1分10．有一半径为R 的均匀球体，绕通过其一直径的光滑固定轴匀速转动，转动周期为T 0．如它的半径由R 自动收缩为R 21，求球体收缩后的转动周期．(球体对于通过直径的轴的转动惯量为J ＝2mR 2 / 5，式中m 和R 分别为球体的质量和半径)．解：球体的自动收缩可视为只由球的力所引起，因而在收缩前后球体的角动量守恒． 1分设J 0和ω 0、J 和ω分别为收缩前后球体的转动惯量和角速度, 则有J 0ω 0 = J ω ① 2分由已知条件知：J 0 = 2mR 2 / 5，J = 2m (R / 2)2 / 5代入①式得 ω = 4ω 0 1分即收缩后球体转快了，其周期442200T T =π=π=ωω1分周期减小为原来的1 / 4． 11．一匀质细棒长为2L ，质量为m ，以与棒长方向相垂直的速度v 0在光滑水平面平动时，与前方一固定的光滑支点O 发生完全非弹性碰撞．碰撞点位于棒中心的一侧L 21处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬时绕O 点转动的角速度ω．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为231ml ，式中的m 和l 分别为棒的质量和长度．)解：碰撞前瞬时，杆对O 点的角动量为L m L x x x x L L 0202/002/30021d d v v v v ==-⎰⎰ρρρ 3分式中ρ为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O 点的角动量为ωωω2221272141234331mL L m L m J =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= 3分因碰撞前后角动量守恒，所以L m mL 022112/7v =ω 3分 ∴ ω = 6v 0 / (7L) 1分12．如图所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和2m 的小球，杆可绕水平光滑固定轴O 在竖直面转动，转轴O 距两端分别为31lLh N 1 h N 2 P R θ R x RfL21L 21L O0v0v2m mmO21v 0v ϖl32l31和32l ．轻杆原来静止在竖直位置．今有一质量为m 的小球，以水平速度0v ϖ与杆下端小球m 作对心碰撞，碰后以021v ϖ的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度．解：将杆与两小球视为一刚体，水平飞来小球与刚体视为一系统．由角动量守恒得 1分ωJ l m lm +-=3223200v v （逆时针为正向） ① 2分又 22)3(2)32(l m l m J += ② 1分将②代入①得 l230v =ω 1分13．一半径为25 cm 的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动．圆柱体上绕上绳子．圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1 m/s 2的加速度运动．绳与圆柱表面无相对滑动．试计算在t = 5 s 时(1) 圆柱体的角加速度， (2) 圆柱体的角速度，(3) 如果圆柱体对转轴的转动惯量为2 kg ·m 2，那么要保持上述角加速度不变,应加的拉力为多少？解：(1) 圆柱体的角加速度 ββ＝a / r ＝4 rad / s 2 2分(2) 根据t t 0βωω+=，此题中ω 0 = 0 ，则有ωt = βt那么圆柱体的角速度====55 t t t βω20 rad/s 1分(3) 根据转动定律 fr = J β则 f = J β / r = 32 N 2分14．一台摆钟每天快1分27秒，其等效摆长l = 0.995 m ，摆锤可上、下移动以调节其周期．假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离，才能使钟走得准确？解：钟摆周期的相对误差∆T / T =钟的相对误差∆t / t 2分等效单摆的周期 g l T /2π=，设重力加速度g 不变，则有 2分2d T / T =d l / l 1分令∆T = d T ，∆l = d l ，并考虑到∆T / T = ∆t / t ，则摆锤向下移动的距离∆l = 2l ∆t / t =8640087995.02⨯⨯ mm = 2.00 mm即摆锤应向下移2.00 mm ，才能使钟走得准确． 3分P124 第六章3．一体积为V 0，质量为m 0的立方体沿其一棱的方向相对于观察者A 以速度v 运动．求：观察者A 测得其密度是多少？解：设立方体的长、宽、高分别以x 0，y 0，z 0表示，观察者A 测得立方体的长、宽、高分别为 221cx x v -=，0y y =，0z z =．相应体积为 2201cV xyz V v -== 3分观察者Ａ测得立方体的质量 2201cm m v -=故相应密度为V m /=ρ22022011/c V c m v v --=)1(2200cV m v -=2分4．一艘宇宙飞船的船身固有长度为L 0 =90 m ，相对于地面以=v 0.8 c (c 为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过．(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？ (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？解：(1) 观测站测得飞船船身的长度为 =-=20)/(1c L L v 54 m则 ∆t 1 = L /v =2.25×10-7 s 3分(2) 宇航员测得飞船船身的长度为L 0，则∆t 2 = L 0/v =3.75×10-7 s 2分5．一电子以=v 0.99c (c 为真空中光速)的速率运动．试求： (1) 电子的总能量是多少？(2) 电子的经典力学的动能与相对论动能之比是多少？(电子静止质量m e =9.11×10-31 kg)解：(1) 222)/(1/c c m mc E e v -== =5.8×10-13 J 2分(2) 20v 21e K m E == 4.01×10-14 J 22c m mc E e K -=22]1))/(1/1[(c m c e --=v = 4.99×10-13 J∴ =K K E E /08.04×10-2 3分P150 第七章 3．一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速度是24 cm/s ，求(1)周期T ；(2)当速度是12 cm/s 时的位移．解：设振动方程为t A x ωcos =，则 t A ωωsin -=v(1) 在x = 6 cm ，v = 24 cm/s 状态下有 t ωcos 126= t ωωsin 1224-=解得 3/4=ω，∴ 72.2s 2/3/2=π=π=ωT s 2分 (2) 设对应于v =12 cm/s 的时刻为t 2，则由t A ωωsin -=v 得 2sin )3/4(1212t ω⨯⨯-=，解上式得 1875.0sin 2-=t ω 相应的位移为8.10sin 1cos 222±=-±==t A t A x ωω cm 3分4．一质点作简谐振动，其振动方程为 )4131cos(100.62π-π⨯=-t x (SI)(1) 当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？(2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？解：(1) 势能 221kx W P =总能量 221kA E = 由题意，4/2122kA kx =， 21024.42-⨯±=±=A x m 2分 (2) 周期 T = 2π/ω = 6 s 从平衡位置运动到2A x ±=的最短时间 ∆t 为 T /8．∴ ∆t = 0.75 s ． 3分5．在一轻弹簧下端悬挂m 0 = 100 g 砝码时，弹簧伸长8 cm ．现在这根弹簧下端悬挂m = 250 g 的物体，构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下拉动4 cm ，并给以向上的21 cm/s 的初速度（令这时t = 0）．选x 轴向下, 求振动方程的数值式．解： k = m 0g / ∆l 25.12N/m 08.08.91.0=⨯=N/m11s 7s 25.025.12/--===m k ω 2分 5cm )721(4/2222020=+=+=ωv x A cm 2分4/3)74/()21()/(tg 00=⨯--=-=ωφx v ，φ = 0.64 rad 3分 )64.07cos(05.0+=t x (SI) 1分6．质量m = 10 g 的小球与轻弹簧组成的振动系统，按)318cos(5.0π+π=t x 的规律作自由振动，式中t 以秒作单位，x 以厘米为单位，求(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相；O x(2) 振动的速度、加速度的数值表达式；(3) 振动的能量E ；(4) 平均动能和平均势能．解：(1) A = 0.5 cm ；ω = 8π s -1；T = 2π/ω = (1/4) s ；φ = π/3 2分(2) )318sin(1042π+π⨯π-==-t x &v (SI) )318cos(103222π+π⨯π-==-t x a && (SI) 2分 (3) 2222121A m kA E E E P K ω==+==7.90×10-5 J 3分 (4) 平均动能 ⎰=T K t m T E 02d 21)/1(v ⎰π+π⨯π-=-Tt t m T 0222d )318(sin )104(21)/1( = 3.95×10-5 J = E 21 同理 E E P 21== 3.95×10-5 J 3分7．在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l 0 = 1.2 cm 而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式．解：设小球的质量为m ，则弹簧的劲度系数 0/l mg k =．选平衡位置为原点，向下为正方向．小球在x 处时，根据牛顿第二定律得 220d /d )(t x m x l k mg =+- 将 0/l mg k = 代入整理后得 0//d d 022=+l gx t x∴ 此振动为简谐振动，其角频率为． 3分π===1.958.28/0l g ω 2分设振动表达式为 )cos(φω+=t A x 由题意： t = 0时，x 0 = A=2102-⨯m ，v 0 = 0，解得 φ = 0 1分 ∴ )1.9cos(1022t x π⨯=- 2分8．在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g 的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在32 s 完成48次振动，振幅为5 cm ．(1) 上述的外加拉力是多大？(2) 当物体在平衡位置以下1 cm 处时，此振动系统的动能和势能各是多少？解一：(1) 取平衡位置为原点，向下为x 正方向．设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为∆l ，则有l k mg ∆=, 加拉力F 后弹簧又伸长x 0，则+x )0)(0=+-+∆x l k mg F解得F = kx 0 2分由题意，t = 0时v 0 = 0；x = x 0 则 02020)/(x x A =+=ωv 2分又由题给物体振动周期4832=T s, 可得角频率 Tπ=2ω, 2ωm k = ∴ 444.0)/4(22=π==A T m kA F N 1分(2) 平衡位置以下1 cm 处： )()/2(2222x A T -π=v 2分221007.121-⨯==v m E K J 2分 2222)/4(2121x T m kx E p π== = 4.44×10-4 J 1分解二：(1) 从静止释放，显然拉长量等于振幅A （5 cm ）， kA F = 2分 2224νωπ==m m k ，ν = 1.5 Hz 2分 ∴ F = 0.444 N 1分 (2) 总能量 221011.12121-⨯===FA kA E J 2分当x = 1 cm 时，x = A /5，E p 占总能量的1/25，E K 占24/25． 2分 ∴ 21007.1)25/24(-⨯==E E K J ，41044.425/-⨯==E E p J 1分9．一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为x 1 =5×10-2cos(4t + π/3) (SI) , x 2 =3×10-2sin(4t - π/6） (SI)画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程．解： x 2 = 3×10-2 sin(4t - π/6)= 3×10-2cos(4t - π/6- π/2)= 3×10-2cos(4t - 2π/3)．作两振动的旋转矢量图，如图所示．图2分由图得：合振动的振幅和初相分别为A = (5-3)cm = 2 cm ，φ = π/3． 2分合振动方程为 x = 2×10-2cos(4t + π/3) (SI)1分10．一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm ．现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体向下拉10 cm ，然后由静止释放并开始计时．求(1) 物体的振动方程；(2) 物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力；(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm 解： k = f/x =200 N/m ， 07.7/≈=m k ω rad/s 2分(1) 选平衡位置为原点，x 轴指向下方（如图所示）， t = 0时， x 0 = 10A cos φ ，v 0 = 0 = -A ωsin φ．解以上二式得 A = 10 cm ，φ = 0． 2分∴ 振动方程x = 0.1 cos(7.07t ) (SI) 1分(2) 物体在平衡位置上方5 cm 时，弹簧对物体的拉力f = m (g -a )，而a = -ω2x = 2.5 m/s 2 x 5 cm O∴ f =4 (9.8－2.5) N= 29.2 N 3分(3) 设t 1时刻物体在平衡位置，此时x = 0，即0 = A cos ω t 1或cos ω t 1 = 0．∵ 此时物体向上运动， v < 0∴ ω t 1 = π/2， t 1= π/2ω = 0.222 s 1分再设t 2时物体在平衡位置上方5 cm 处，此时x = -5，即-5 = A cos ω t 1，cos ω t 1 =－1/2∵ v < 0， ω t 2 = 2π/3，t 2=2 π/3ω =0.296 s 2分 ∆t = t 1-t 2 = (0.296－0.222) s ＝0.074 s 1分11．一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B 点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm 求： (1) 质点的振动方程； (2) 质点在A 点处的速率．解：由旋转矢量图和 |v A | = |v B | 可知 T /2 = 4秒，∴ T = 8 s ， ν = (1/8) s -1，ω = 2πν = (π /4) s -1 3分(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方．t = 0时， 5-=x cm φcos A =t = 2 s 时， 5=x cm φφωsin )2cos(A A -=+=由上二式解得 tg φ = 1因为在A 点质点的速度大于零，所以φ = -3π/4或5π/4（如图） 2分 25cos /==φx A cm 1分 ∴ 振动方程 )434cos(10252π-π⨯=-t x (SI) 1分 (2) 速率 )434sin(41025d d 2π-π⨯π-==-t t x v (SI) 2分当t = 0 时，质点在A 点221093.3)43sin(10425d d --⨯=π-⨯π-==t x v m/s 1分12．一物体作简谐振动，其速度最大值v m = 3×10-2 m/s ，其振幅A = 2×10-2 m ．若t = 0时，物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动. 求：(1) 振动周期T ；(2) 加速度的最大值a m ；(3) 振动方程的数值式．解: (1) v m = ωA ∴ω = v m / A =1.5 s -1∴T = 2π/ω = 4.19 s 3分(2) a m = ω2A = v m ω = 4.5×10-2 m/s 2 2分 (3) π=21φ x = 0.02)215.1cos(π+t (SI) 3分13．在一平板上放一质量为m =2 kg 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为TA B v ρx= 21s ，振幅A = 4 cm ，求 (1) 物体对平板的压力的表达式．(2) 平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？解：选平板位于正最大位移处时开始计时，平板的振动方程为t A x π=4cos (SI)t A x π4cos π162-=&& (SI) 1分(1) 对物体有 xm N mg &&=- ① 1分 t A mg x m mg N ππ+=-=4cos 162&&(SI) ② 物对板的压力为 t A mg N F ππ--=-=4cos 162 (SI)t ππ--=4cos 28.16.192 ③ 2分(2) 物体脱离平板时必须N = 0，由②式得 1分 04cos 162=ππ+t A mg (SI)A q t 2164cos π-=π 1分若能脱离必须 14cos ≤πt (SI)即 221021.6)16/(-⨯=π≥g A m 2分14．一物体质量为0.25 kg ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25 N ·m -1，如果起始振动时具有势能0.06 J 和动能0.02 J ，求(1) 振幅；(2) 动能恰等于势能时的位移；(3) 经过平衡位置时物体的速度．解：(1) 221kA E E E p K =+= 2/1]/)(2[k E E A p K +== 0.08 m 3分(2)222121v m kx = )(sin 22222φωωω+=t A m x m)(sin 222φω+=t A x 2222)](cos 1[x A t A -=+-=φω 222A x =， 0566.02/±=±=A x m 3分(3) 过平衡点时，x = 0，此时动能等于总能量221v m E E E p K =+= 8.0]/)(2[2/1±=+=m E E p K v m/s 2分 x &&。

91116-飞行力学-飞行动力学习题课(一)2014

2. A随Ma的变化规律：
亚声速：基本不变；超声速：随 Ma 的增大而增大。
A
1 CL
1 e
1.0FlMigaht Dynamic4s
1.4 何谓飞行器极曲线？极曲线形状受哪些因素的影响？
极曲线：飞行器阻力与升力系数的曲线。其影响因素：高度、马赫数、飞行器的气动外形（如展弦比、后掠角等）。
/
dt
d
/
dt
z k d / dt 0 (d / dt)cos
Flight Dynami1cs2
两个空间坐标系Ox
p
y
p
z
和
p
Oxq
yq
zq间的欧拉角为：
,, ，则其转换矩阵为：
Lqp Lx ( )Ly ()Lz ( )
✓三维转换矩阵同样具有二维转换矩阵的四个特性？
课后作业
Flight Dynami1cs3
Flight Dynamics5
1.5 简要说明涡轮喷气发动机的速度特性、高度特性和转速特性。
推力
油耗
速度特性
推力随马赫数先轻微减小后增加而后再减小。
耗油率随马赫数先快速增加，而后均匀缓慢增加，再快速增加。
高度特性
推力随高度增加而减小。油耗在对流层(H<11km) 内随高度增加而减小，在平流层基本不变。
定直爬升段 R1 V1t1 900 5 60 km 75 km
定直下滑段 R3 V3t3 500 20 60 km 166.667 km
定直平飞段
R2 Qf. a2 cf.R Qf. a cf.t1t1 cf.t3t3 cf.R
1100 km
总航程 Rtotal R1 R2 R3 1341.67 km

2014教材课后习题答案第08-11章解析

振速v = ct--0.4二sin4二(t - x/20).= (1/4) s ，在 X 1 = ■ /4 = (10 /4) m 处质点的振速1v 2 - -0.4r:sin(— ) - -1.26 m/s4.在弹性媒质中有一沿x 轴正向传播的平面波，其表达式为y =0.01cos(4t -二x -丄二)(SI).若在x = 5.00 m 处有一媒质分界面，且在分界面处反射波相位突变不变，试写出反射波的表达式. 解：反射波在x 点引起的振动相位为二，设反射波的强度反射波表达式为1■ t = 4t -二(55「x)-2 11y =0.01cos(4t 二 x10(SI)P184第八章一 1 一、一3. 一简谐波，振动周期 Ts,波长■ = 10 m ，振幅A = 0.1 m.当t = 0时，波源振动的2位移恰好为正方向的最大值.若坐标原点和波源重合，且波沿Ox 轴正方向传播，求：(1) 此波的表达式； (2) t 1 = T /4时刻，X 1 =/4处质点的位移；(3) t 2 = T /2时刻，X 1 = X /4处质点的振动速度.21 解：(1) y=0.1cos(4二t x) =0.1cos4二(t x) (SI)1020 t 1 = T /4 = (1 /8) s , X 1 = ■ /4 = (10 /4) m 处质点的位移 y 1 =0.1COS 4JI (T /4 — X/80)1=0.1cos4 二(1/8) = 0.1m81y = 0.01 cos(4t 二 x ) (SI)25.已知一平面简谐波的表达式为y ^Acos 二(4t 2x) (SI).(1) 求该波的波长，，频率和波速u 的值；(2) 写出t = 4.2 s 时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置；(3)求t = 4.2 s时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻t. 解：这是一个向x轴负方向传播的波.(1) 由波数 k = 2二/ ■得波长■=2：/k=1 m由--=2二、得频率'•. = - ■/ 2二=2 Hz波速u = ■■ ：2 m/s(2)波峰的位置，即 y = A的位置.由cos 二(4t 2x)二1有解上式, 二（4t -：2x ）=2k 二（k = 0，土 1，土 2,…）x = k _ 2t . t = 4.2 s 时， x = （k 「8.4） m. 所谓离坐标原点最近，即| x |最小的波峰.在上式中取 k = 8,可得 x = -0.4的波峰离坐标原点最近. 设该波峰由原点传播到过=I Z x | /u . 该波峰经过原点的时刻x = - 0.4 m 处所需的时间为 =| L X | 1('、' t = 4 st, )=0.2 s 6.平面简谐波沿x 轴正方向传播, 时，x = 0处的质点正在平衡位置向该点在t = 2 s 时的振动速度. 解：设x = 0处质点振动的表达式为 2 cm ，频率为 x 振幅为 y 轴正方向运动，求 50 Hz ，波速为 200 m/s .在 t = 0 =4 m 处媒质质点振动的表达式及已知 t = 0 时，y o = 0,且 v o > 0y 0 二 Aco s(t ), 片12 2 1 y 0 = Acos(2 曲:t ) = 2 10 cos(100 二 t ) 2 (SI)由波的传播概念，可得该平面简谐波的表达式为1 y 0 二 Ac o 0二、t ：；= -2曲:『x/u) =2 10 ° cos(100二t- 2 Tt —1 二 x) (SI)2 x = 4 m 处的质点在t 时刻的位移y =2 10, cos(100二t - 1 二)(SI) 该质点在t = 2 s 时的振动速度为丄 1v =-2 10 100 二 si n(200 ) 6.28 m/s 7.沿x 轴负方向传播的平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形曲线如图所示，设波速u = 0.5 m/s.求：原点O 的振动方程. “ (m)1\A 2 x (m)解：由图，入=2 m , 又■/ u = 0.5 m/s,. v = 1 /4 Hz , 1T = 4 s.题图中t = 2 s = T . t = 0时，波形比题图中的波形倒 21退■，见图. 2 此时O 点位移y 。

2014教材课后习题答案第08-11章

P184 第八章3. 一简谐波，振动周期21=T s ，波长λ = 10 m ，振幅A = 0.1 m ．当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值．若坐标原点和波源重合，且波沿Ox 轴正方向传播，求： (1) 此波的表达式； (2) t 1 = T /4时刻，x 1 = λ /4处质点的位移； (3) t 2 = T /2时刻，x 1 = λ /4处质点的振动速度．解：(1) )1024cos(1.0x t y π-π=)201(4cos 1.0x t -π= (SI) (2)t 1 = T /4 = (1 /8) s ，x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的位移)80/4/(4cos 1.01λ-π=T ym 1.0)818/1(4cos 1.0=-π=(3) 振速 )20/(4sin 4.0x t ty-ππ-=∂∂=v ． )4/1(212==T t s ，在 x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的振速 26.1)21sin(4.02-=π-ππ-=v m/s4. 在弹性媒质中有一沿x 轴正向传播的平面波，其表达式为)214cos(01.0π-π-=x t y (SI)．若在x = 5.00 m 处有一媒质分界面，且在分界面处反射波相位突变π，设反射波的强度不变，试写出反射波的表达式．解：反射波在x 点引起的振动相位为π+π--+π-=+21)55(4x t t φωπ-π+π+=10214x t反射波表达式为)10214cos(01.0π-π+π+=x t y (SI) 或 )214cos(01.0π+π+=x t y (SI)5. 已知一平面简谐波的表达式为 )24(cos x t A y +π= (SI)．(1) 求该波的波长λ ，频率ν 和波速u 的值；(2) 写出t = 4.2 s 时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置；(3) 求t = 4.2 s 时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻t ．解：这是一个向x 轴负方向传播的波．(1) 由波数 k = 2π / λ 得波长 λ = 2π / k = 1 m 由 ω = 2πν 得频率 ν = ω / 2π = 2 Hz 波速 u = νλ = 2 m/s(2) 波峰的位置，即y = A 的位置．由 1)24(cos =+πx t有 π=+πk x t 2)24( ( k = 0，±1，±2，…)解上式，有 t k x 2-=．当 t = 4.2 s 时， )4.8(-=k x m ．所谓离坐标原点最近，即| x |最小的波峰．在上式中取k = 8，可得 x = -0.4 的波峰离坐标原点最近．(3) 设该波峰由原点传播到x = -0.4 m 处所需的时间为∆t ，则 ∆t = | ∆x | /u = | ∆x | / (ν λ ) = 0.2 s∴ 该波峰经过原点的时刻 t = 4 s6. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s ．在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动，求x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度．解：设x = 0处质点振动的表达式为 )cos(0φω+=t A y ，已知 t = 0 时，y 0 = 0，且 v 0 > 0 ∴π-=21φ ∴ )2cos(0φν+π=t A y )21100cos(1022π-π⨯=-t (SI) 由波的传播概念，可得该平面简谐波的表达式为)/22cos(0u x t A y νφνπ-+π=)2121100cos(1022x t π-π-π⨯=- (SI) x = 4 m 处的质点在t 时刻的位移)21100cos(1022π-π⨯=-t y (SI)该质点在t = 2 s 时的振动速度为 )21200sin(1001022π-π⨯⨯-=-πv= 6.28 m/s7. 沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 2 s 时刻的波形曲线如图所示，设波速u = 0.5 m/s ．求：原点O 的振动方程．解：由图，λ = 2 m ，又 ∵u = 0.5 m/s ，∴ ν = 1 /4 Hz ， 3分 T = 4 s ．题图中t = 2 s =T 21．t = 0时，波形比题图中的波形倒退λ21，见图．此时O 点位移y 0 = 0（过平衡位置）且朝y 轴负方向运动，∴ π=21φ ∴ )2121cos(5.0π+π=t y (SI)x (m)y (m)O u 0.512t = 2 sx (m)y (m)0u0.512t = 0-18. 如图所示为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz ，且此时质点P 的运动方向向下，求(1) 该波的表达式； (2) 在距原点O 为100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式．解：(1) 由P 点的运动方向，可判定该波向左传播．原点O 处质点，t = 0 时φcos 2/2A A =, 0sin 0<-=φωA v所以 4/π=φO 处振动方程为 )41500cos(0π+π=t A y (SI)由图可判定波长λ = 200 m ，故波动表达式为]41)200250(2cos[π++π=x t A y (SI) (2) 距O 点100 m 处质点的振动方程是)45500cos(1π+π=t A y 振动速度表达式是 )45500cos(500π+ππ-=t A v (SI)9. 如图所示，S 1，S 2为两平面简谐波相干波源．S 2的相位比S 1的相位超前π/4 ，波长λ = 8.00 m ，r 1 = 12.0 m ，r 2 = 14.0 m ，S 1在P 点引起的振动振幅为0.30 m ，S 2在P 点引起的振动振幅为0.20 m ，求P 点的合振幅．解：=-π--=∆)(21212r r λφφφ422412/r r π-=π+π-πλλ 464.0)cos 2(2/1212221=++=∆φA A A A A m10. 图中A 、B 是两个相干的点波源，它们的振动相位差为π（反相）．A 、B 相距 30 cm ，观察点P 和B 点相距 40 cm ，且AB PB ⊥．若发自A 、B 的两波在P 点处最大限度地互相削弱，求波长最长能是多少．解：在P 最大限度地减弱，即二振动反相．现二波源是反相的相干波源，故要求因传播路径不同而引起的相位差等于 ± 2k π（k = 1，2，…）．由图 =AP 50 cm ． ∴ 2π (50－40) /λ = 2k π，∴ λ = 10/k cm ，当k = 1时，λmax = 10 cm11. 如图所示，一平面简谐波沿Ox 轴正向传播，波速大小为u ，若P 处质点的振动方程为)cos(φω+=t A y P ，求(1) O 处质点的振动方程； (2) 该波的波动表达式；(3) 与P 处质点振动状态相同的那些质点的位置．P S S解：(1) O 处质点振动方程 ])(cos[0φω++=u Lt A y (2) 波动表达式 ])(cos[φω+--=uLx t A y(3) ωuk L x L x π±=±=2 (k = 0，1，2，3，…)12.如图为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，已知波速u = 20 m/s ．试画出P 处质点与Q振动方程．解：(1)波的周期T = λ / u =( 40/20) s= 2 s ． P 处Q 处质点振动周期与波的周期相等，故P 处质点的振动曲线如图(a) 振动方程为：)21cos(20.0π-π=t y P (SI) 2分(2) Q 处质点的振动曲线如图(b)，振动 2分方程为 )cos(20.0π+π=t y Q (SI) 或)cos(20.0π-π=t y Q (SI)13.两波在一很长的弦线上传播，其表达式分别为：)244(31cos 1000.421t x y -π⨯=- (SI))244(31cos 1000.422t x y +π⨯=- (SI)求： (1) 两波的频率、波长、波速； (2) 两波叠加后的节点位置； (3) 叠加后振幅最大的那些点的位置．解：(1) 与波动的标准表达式 )/(2cos λνx t A y -π= 对比可得：ν = 4 Hz ， λ = 1.50 m ，波速 u = λν = 6.00 m/s(2) 节点位置 )21(3/4π+π±=πn x )21(3+±=n x m , n = 0，1，2，3, …(3) 波腹位置 π±=πn x 3/44/3n x ±= m , n = 0，1，2，3, …14. 一列横波在绳索上传播，其表达式为 )]405.0(2cos[05.01xt y -π= (SI) (1) 现有另一列横波（振幅也是0.05 m ）与上述已知横波在绳索上形成驻波．设这一-横波在x = 0处与已知横波同位相，写出该波的表达式．(2) 写出绳索上的驻波表达式；求出各波节的位置坐标；并写出离原点最近的四个波节的坐标数值.解：(1) 由形成驻波的条件．可知待求波的频率和波长均与已知波相同，传播方向为x 轴的负方向．又知 x = 0处待求波与已知波同相位，∴待求波的表达式为)]405.0(2cos[05.02xt y +π= (2) 驻波表达式 21y y y +=∴ )40cos()21cos(10.0t x y ππ= (SI)波节位置由下式求出． )12(212/+π=πk x k = 0，±1，±2，… ∴ x = 2k + 1 k = 0，±1，±2，…离原点最近的四个波节的坐标是x = 1 m 、-1 m 、3 m 、-3 m.P208 第九章3. 在双缝干涉实验中，波长λ＝550 nm 的单色平行光垂直入射到缝间距a ＝2×10-4 m 的双缝上，屏到双缝的距离D ＝2 m ．求：(1) 中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距；(2) 用一厚度为e ＝6.6×10-5 m 、折射率为n ＝1.58的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将移到原来的第几级明纹处？(1 nm = 10-9 m)解：(1) ∆x ＝20 D λ / a ＝0.11 m(2) 覆盖云玻璃后，零级明纹应满足(n －1)e ＋r 1＝r 2设不盖玻璃片时，此点为第k 级明纹，则应有r 2－r 1＝k λ所以 (n －1)e = k λ k ＝(n －1) e / λ＝6.96≈7零级明纹移到原第7级明纹处4. 在双缝干涉实验中，用波长λ＝546.1nm (1 nm=10-9 m)的单色光照射，双缝与屏的距离D ＝300 mm ．测得中央明条纹两侧的两个第五级明条纹的间距为12.2 mm ，求双缝间的距离．解：由题给数据可得相邻明条纹之间的距离为∆x ＝12.2 / (2×5)mm ＝1.22 mm 由公式 ∆x ＝D λ / d ，得d ＝D λ / ∆x ＝0.134 mm5. 在图示的双缝干涉实验中，若用薄玻璃片(折射率n 1＝1.4)覆盖缝S 1，用同样厚度的玻璃片(但折射率n 2＝1.7)覆盖缝S 2，将使原来未放玻璃时屏上的中央明条纹处O 变为第五级明纹．设单色光波长λ＝480 nm(1nm=109m )，求玻璃片的厚度d (可认为光线垂直穿过玻璃片)．解：原来， δ = r 2－r 1= 0覆盖玻璃后， δ＝( r 2 + n 2d – d )－(r 1 + n 1d －d )＝5λ ∴ (n 2－n 1)d ＝5λ125n n d -=λ= 8.0×10-6 m6. 在双缝干涉实验中，单色光源S 0到两缝S 1和S 2的距离分别为l 1和l 2，并且l 1－l 2＝3λ，λ为入射光的波长，双缝之间的距离为d ，双缝到屏幕的距离为D (D >>d )，如图．求： (1) 零级明纹到屏幕中央O 点的距离． (2) 相邻明条纹间的距离．S 1 S 2 n 2 n 1 r 1r 2 d屏 dS 2 S 1 l 1 S 0 l 2D解：(1) 如图，设P 0为零级明纹中心则 D O P d r r /012≈- (l 2 +r 2) - (l 1 +r 1) = 0∴ r 2 – r 1 = l 1 – l 2 = 3λ ∴()d D d r r D O P /3/120λ=-=(2) 在屏上距O 点为x 处, 光程差λδ3)/(-≈D dx 明纹条件λδk ±= (k ＝1，2，....) ()d D k x k /3λλ+±=在此处令k ＝0，即为(1)的结果．相邻明条纹间距d D x x x k k /1λ=-=+∆7. 用波长为λ1的单色光垂直照射牛顿环装置时，测得中央暗斑外第1和第4暗环半径之差为l 1，而用未知单色光垂直照射时，测得第1和第4暗环半径之差为l 2，求未知单色光的波长λ2．解：由牛顿环暗环半径公式 λkR r k =，根据题意可得 11114λλλR R R l =-=22224λλλR R R l =-=212212//l l =λλ211222/l l λλ=8. 折射率为1.60的两块标准平面玻璃板之间形成一个劈形膜(劈尖角θ 很小)．用波长λ＝600nm (1 nm =10-9 m)的单色光垂直入射，产生等厚干涉条纹．假如在劈形膜内充满n =1.40的液体时的相邻明纹间距比劈形膜内是空气时的间距缩小∆l ＝0.5 mm ，那么劈尖角θ 应是多少？解：空气劈形膜时，间距 θλθλ2sin 21≈=n l液体劈形膜时，间距 θλθλn l 2sin 22≈= ()()θλ2//1121n l l l -=-=∆∴ θ = λ ( 1 – 1 / n ) / ( 2∆l )＝1.7×10-4 rad9. 用波长λ＝500 nm (1 nm ＝10-9 m)的单色光垂直照射在由两块玻璃板(一端刚好接触成为劈棱)构成的空气劈形膜上．劈尖角θ＝2×10-4 rad ．如果劈形膜内充满折射率为n ＝1.40的液体．求从劈棱数起第五个明条纹在充入液体前后移动的距离．解：设第五个明纹处膜厚为e ，则有2ne ＋λ / 2＝5 λ 设该处至劈棱的距离为l ，则有近似关系e ＝l θ，由上两式得 2nl θ＝9 λ / 2，l ＝9λ / 4n θ 充入液体前第五个明纹位置 l 1＝9 λ / 4θ充入液体后第五个明纹位置 l 2＝9 λ / 4n θ 充入液体前后第五个明纹移动的距离∆l ＝l 1 – l 2＝9 λ ( 1 - 1 / n ) / 4θ ＝1.61 mmOP 0 r 1 r 2Dl 2s 1 s 2d l 1 0x10.11.波长为λ的单色光垂直照射到折射率为n 2的劈形膜上，如图所示，图中n 1＜n 2＜n 3，观察反射光形成的干涉条纹．(1) 从形膜顶部O 开始向右数起，第五条暗纹中心所对应的薄膜厚度e 5是多少？(2) 相邻的二明纹所对应的薄膜厚度之差是多少？解：∵ n 1＜n 2＜n 3，二反射光之间没有附加相位差π，光程差为δ = 2n 2 e第五条暗纹中心对应的薄膜厚度为e 5，2n 2 e 5 = (2k - 1)λ / 2 k = 5()2254/94/152n n e λλ=-⨯= 明纹的条件是 2n 2 e k = k λ 相邻二明纹所对应的膜厚度之差∆e = e k+1－e k = λ / (2n 2)12. 在如图所示的牛顿环装置中，把玻璃平凸透镜和平面玻璃(设玻璃折射率n 1＝1.50)之间的空气(n 2＝1.00)改换成水(2n '＝1.33)，求第k 个暗环半径的相对改变量()k k k r r r /'-．解：在空气中时第k 个暗环半径为λkR r k =, (n 2 = 1.00)充水后第k 个暗环半径为2/n kR r k '='λ , (2n ' = 1.33) 干涉环半径的相对变化量为()λλkR n kR r r r kk k 2/11'-='-n 2n 1n 3O λn 1 n 12/11n '-=＝13.3％13.P226 第10章3. 用波长λ=632.8 nm(1nm=10−9m)的平行光垂直照射单缝，缝宽a =0.15 mm ，缝后用凸透镜把衍射光会聚在焦平面上，测得第二级与第三级暗条纹之间的距离为1.7 mm ，求此透镜的焦距．解：第二级与第三级暗纹之间的距离∆x = x 3 –x 2≈f λ / a ． ∴ f ≈a ∆x / λ=400 mm4. 一束单色平行光垂直照射在一单缝上，若其第３级明条纹位置正好与2600nm λ=的单色平行光的第２级明条纹的位置重合．求前一种单色光的波长？解：单缝衍射明纹估算式：()sin 21(1,2,3,)b k k θ=±+=⋅⋅⋅根据题意，第二级和第三级明纹分别为22sin 2212b λθ=⨯+（）33sin 2312b λθ=⨯+（）且在同一位置处，则 23sin sin θθ= 解得： 325560042577nm λλ==⨯=5. 某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a = 0.15 mm ．缝后放一个焦距f = 400 mm 的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0 mm ，求入射光的波长．解：设第三级暗纹在ϕ3方向上，则有a sin ϕ3 = 3λ此暗纹到中心的距离为 x 3 = f tg ϕ3因为ϕ3很小，可认为tg ϕ3≈sin ϕ3，所以x 3≈3f λ / a ．两侧第三级暗纹的距离是 2 x 3 = 6f λ / a = 8.0mm∴ λ = (2x 3) a / 6f= 500 nm6. (1) 在单缝夫琅禾费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，λ1=400 nm ，λ2=760 nm(1 nm=10-9 m)．已知单缝宽度a =1.0×10-2 cm ，透镜焦距f =50 cm ．求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离．(2) 若用光栅常数d =1.0×10-3 cm 的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离．解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知()111231221sin λλϕ=+=k a (取k ＝1 ) ()222231221sin λλϕ=+=k af x /tg 11=ϕ , f x /tg 22=ϕ 由于 11tg sin ϕϕ≈ , 22tg sin ϕϕ≈所以 a f x /2311λ= a f x /2322λ=则两个第一级明纹之间距为a f x x x /2312λ∆=-=∆=0.27 cm (2) 由光栅衍射主极大的公式 1111sin λλϕ==k d2221sin λλϕ==k d 且有f x /tg sin =≈ϕϕ所以d f x x x /12λ∆=-=∆=1.8 cm7. 一束具有两种波长λ1和λ2的平行光垂直照射到一衍射光栅上，测得波长λ1的第三级主极大衍射角和λ2的第四级主极大衍射角均为30°．已知λ1=560 nm (1 nm= 10-9 m)，试求: (1) 光栅常数a ＋b (2) 波长λ2解：(1) 由光栅衍射主极大公式得 ()1330sin λ=+b acm 1036.330sin 341-⨯==+λb a (2) ()2430sin λ=+b a()4204/30sin 2=+=b a λnm8. 以波长400 nm ─760 nm (1 nm ＝10-9 m)的白光垂直照射在光栅上，在它的衍射光谱中，第二级和第三级发生重叠，求第二级光谱被重叠的波长范围．解：令第三级光谱中λ=400 nm 的光与第二级光谱中波长为λ' 的光对应的衍射角都为θ，则 d sin θ =3λ，d sin θ =2λ'λ'= (d sin θ / )2==λ23600nm∴第二级光谱被重叠的波长范围是 600 nm----760 nm9. 钠黄光中包含两个相近的波长λ1=589.0 nm 和λ2=589.6 nm ．用平行的钠黄光垂直入射在每毫米有 600条缝的光栅上，会聚透镜的焦距f =1.00 m ．求在屏幕上形成的第2级光谱中上述两波长λ1和λ2的光谱之间的间隔∆l ．(1 nm =10-9 m)解：光栅常数 d = (1/600) mm = (106/600) nm =1667 nm据光栅公式，λ1 的第2级谱线 d sin θ1 =2λ1 sin θ1 =2λ1/d = 2×589/1667 = 0.70666θ1 = 44.96︒ λ2 的第2级谱线 d sin θ2 =λ2 sin θ2 =2λ2 /d = 2×589.6 /1667 = 0.70738θ2 = 45.02︒∆ lfLOλ1，λ2Gθ1θ2两谱线间隔 ∆ l = f (tg θ2 －tg θ1 ) =1.00×103 ( tg 45.02︒－tg 44.96︒) = 2.04 mm10. 波长600nm λ=的单色光垂直入射到一光栅上，第２、第３级明条纹分别出现在2sin 0.20θ=与3sin 0.30θ=处，且第４级缺级．求：⑴光栅常数；⑵光栅上狭缝的宽度；⑶在屏上实际呈现出的全部级数？解：根据光栅方程sin ,d k θλ=（1）则光栅的光栅常数 6322260010610sin 0.20d mmλθ--⨯⨯===⨯（2）由于第4级缺级，4db= 31.5104db mm -==⨯（3）03max 6sin 9061011060010d k λ--⨯⨯===⨯则出现第0,1,2,3,5,6,7,9k =±±±±±±±级条纹，共15条。

2014-2015学年高中数学选修2-3 第1章计数原理第一章习题课排列与组合

研一研·题型解法、解题更高效
(2)有一人一本，有一人两本，有一人三本，没指定哪个人几本，故在(1)的情况下，甲、乙、丙手中的书可以任意交换，故有
1 2 3 3 C6 · C5· C3 · A3种分配法．
2 2 (3)同(1)一样，甲、乙、丙依次去取书，共有 C2 · C C2种取法， 6 4·
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题型二分组分配问题例 2 将 6 本不同的书，分配给甲、乙、丙三人，问如下分配的分配方法各有多少种？
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(1)甲一本，乙两本，丙三本？ (2)其中有一人一本，有一人两本，有一人三本？ (3)甲、乙、丙每人两本？ (4)分成三堆，每堆两本？
1 解 (1)甲一本，有 C6 种取法；乙从剩余的 5 本中任取 2 本， 3 1 2 3 有 C2 C5· C3种取法． 5种取法；丙有 C3种取法，故有 C6·
方法与“组合数”是不同的概念．
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跟踪训练 2 有 9 本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？ (1)甲得 4 本，乙得 3 本，丙得 2 本；
本课时栏目开关
(2)一人得 4 本，一人得 3 本，一人得 2 本； (3)甲、乙、丙各得 3 本．Fra bibliotek方法．
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根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法
4 3 2 3 C9 C5C2A3＝7 560(种)．
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所以一人得 4 本，一人得 3 本，一人得 2 本的分法共有 7 560 种．
(2)组合数具备以下两个性质：
n－m m m m－1 ①Cm ＝ C ； ② C ＝ C ＋ C ＋ n n n 1 n n . 证明如下： n！ n！ n－m ①∵Cn ＝＝， n－m！[n－n－m]！ m！n－m！

中国税收习题：习题课(一)增值税

增值税习题1.某机械制造厂（地处西北地区，一般纳税人）增值税纳税期限为1个月。

2014年2月该厂有关业务资料如下：（1）购进生产用钢材一批，取得增值税专用发票，发票上注明的价款、税款分别为200000元、34000元；支付运费4000元，取得货物运输业增值税专用发票，发票上注明的增值税税额440元；该批钢材已运抵企业，款项已转账付讫。

（2）购进生产经营用低值易耗品（工器具）一批，取得增值税专用发票，发票上注明的价款、税款分别为50000元、8500元；工器具已验收入库并部分地投入使用，款项已转账付讫。

（3）购进小轿车1辆供厂部管理部门使用，取得税控机动车销售统一发票上注明的价款、增值税税款分别为180000元、30600元。

（4）购进办公用消耗性材料一批，取得增值税专用发票，发票上注明的价款、税款分别为1000元、170元；该批办公用材料直接交付办公科室使用，货款已付讫。

（5）生产用设备发生故障，交付某厂修理。

支付修理费时取得增值税专用发票，发票上注明的修理费、增值税税款分别为8000元、1360元。

（6）支付水费，取得自来水公司开具的增值税专用发票，发票中注明的价款、税款分别为20000元、1200元；支付电费，取得供电部门开具的增值税专用发票，发票中注明的价款、税款分别为25000元、4250元；上述水电均为生产、经营管理耗用。

（7）销售已使用过的设备一台，向购买方开具普通发票，价税合计为52000元；改设备为2008年购入，折旧年限10年，原值91000元，已提取折旧53000元。

（8）扩建厂房领用上月购进的生产用钢材一批，实际成本50000元；该批钢材在购进时已取得增值税专用发票。

（9）销售自制货物并向购买方开具普通发票，价税合计为1053000元；结算时给予购买方5%的现金折扣。

（10）销售设备配件，开具的增值税专用发票上列明的销售额（不含税）60000元，款项已收讫。

（11）其他资料：该厂上月无留底税额；本例涉及的增值税专用发票已纳入防伪税控系统，在本申报期均通过主管税务机关认证。

2014习题课—无线通信原理解析

50 ohms
则：RL＝10lg(10/0.5)=13dB
返回: 0.5W
80 ohms
9.5 W
（2）由回波损耗RL计算反射系数：
RL=-20lg , ＝0.2238
（3）VSWR=(1+)/(1- )＝1.58
例题2
某无树林丘陵地区微波电路，微波通信频率为4GHz，站距为41km，发射天线高度为 h1=2m ,接收天线高度为h2=10m，发端海拔高度H1=80m，收端海拔高度H2=90m，离发射端3km处有一突起山头，海拔高度65m，路径其余各点明显低于它，见图所示路径剖面图。路径中地势最高点为反射点，反射系数为0.7，考虑气象条件对电波传播影响，当K＝4/3时，求：
hce 11.8 0.825 F1 14.43
(5)
衰落因子
V
1
2

2
cos

hce F1
2

11 2 cos[ (0.825)2 ]
2 2 cos(123o) 1.75 VdB 20 lgV 20 lg1.75 4.87dB
（1）子载波的间隔如何选取？为什么？
（2）各子信道间的正交调制通过什么方法来实现？
（3）OFDM系统与单载波系统相比较存在哪些主要缺点？
答：
（1）若子信道的码元速率为1/Ts，子载波的间隔 f 1 ；避
Ts
免码间干扰。另外若频谱允许重叠，提高频带效率。
（2）快速（离散）傅里叶反变换和快速（离散）傅里叶变换。
解：已知：Pt=200mW(23dBm)，Eb N0 30dB ，N0 164dBm Hz ，
Rb 10 lg(54 106 ) 77.32dBHz

【步步高】2014届高考数学一轮复习习题课数列求和备考练习苏教版

习题课数列求和一、基础过关1．数列12·5，15·8，18·11，…，13n －1·3n ＋2，…的前n 项和为________．2．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn所确定的数列{b n }的前n 项之和是________．3．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋4)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)的前m 项和为2 036，则m 的值为________．4．若1＋3＋5＋…＋2x －111·2＋12·3＋13·4＋…＋1x x ＋1＝132 (x ∈N *)，则x ＝________.5．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是________．6．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________． 7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n . 二、能力提升9．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.10．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.11．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝________.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 三、探究与拓展13．等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 1.n 6n ＋4 2.12n (n ＋5) 3.10 4．11 5.－76 6.1 473 7．解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n n －12×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝12n ＋12－1＝14·1n n ＋1 ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4n ＋1，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1.8．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋2a n ＋1＝2a n ＋1a n ＋1＝2， ∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为a 1＋1＝2. (2)解由(1)知{a n ＋1}为等比数列， ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n，∴a n ＝2n－1. ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋...＋(2n －1)＝(21＋22＋ (2))－n＝21－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2.9．2n－110.⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2， n ≥211．2＋ln n12．解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．13．解 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意；因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18. 所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)nln a n＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln 3＝3n＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.。

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.7 1.7.3 定积分(习题课)

栏目链接
点评：(1)求曲边形的面积、变速运动的路程、力所做的功等均可用定积分来完成．
b (2)用定积分 a f(x)dx 计算时，关键是要找到满
栏目链接
足 F′(x)＝f(x)的函数 F(x)，通常用求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出 F(x)．
跟踪训练
1．抛物线 y＝－x2＋4x－3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．
2
栏目链接
又直线 x＋y＝4 与抛物线 y＝ax2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点，
跟踪训练
x＋y＝4，由方程组得 2 y＝ax ＋bx
ax2＋(b＋1)x－4＝0，其判别式为 0，即 (b＋1) ＋16a＝0. 1 于是 a＝－ (b＋1)2，代入①式得： 16 128b23－b 256b3 S(b)＝ (b>0)，S′(b)＝ . 6b＋14 3b＋15
跟踪训练
3．抛物线 y＝ax2＋bx 在第一象限内与直线 x＋y＝4 相切．此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积记为 S.求使 S 达到最大值的 a，b 值，并求 Smax.
解析：依题设可知抛物线为凸形，它与 x 轴的交点的横 b 坐标分别为 x1＝0，x2＝－a，所以 S＝ 1 3 (ax ＋bx)dx＝ 2b .① 6a
10 0 5－t＋
栏目链接

55 1＋tdx
10 12 │0 ＝55ln 11(m)． 5 t － t ＋ 55ln 1 ＋ t ＝ 2
跟踪训练
2．物体 A 以速度 v＝2t＋1 在一直线上运动，在此直线上与物体 A 出发的同时，物体 B 在物体 A 的正前方 6 m 处以 v＝6 m/s 的均匀速度与 A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体 A 走过的路程是多少(时间单位为 s，速度单位为 m/s)?

线性代数矩阵习题课

301
= 19 18 28 5 -13 11
线性代数习题课（一）
3、用初等变换将矩阵A化成阶梯形矩阵、
行最简形矩阵、及标准型。
2 -1 -1 1 2
A= 1 1 -2 1 4 r1↔r2 4 -6 2 -2 4
3 6 -9 7 9
1 1 -2 1 4 2 -1 -1 1 2 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9
1 0 -1 1 0 1
线性代数习题课（一）
2、设n 维向量α =(a , 0 , … , 0 , a)T(a<0), A=E-ααT , B=E-ααT/a ,
其中A的逆矩阵为B，求a的值。
解：AB=E+(1-1/a-2a)ααT,
AB=E 1-1/a-2a =0 a=-1/2 ( a =1舍去)
1、设矩阵 A=
2 1
0 -2
4 4
1 3
B=
1 0
2 -2 2 -1
3 4
C=
3 2
4 -3
1 2
2 -1
则(1)A+B=
3 1
2 0
2 3
4 7
B-C=
-2 -2
-2 -3 5 -3
1 5
2A-3C= -5 -12 5 -4 -4 5 2 9
(2)若矩阵X满足A+2X=C ,
则X =(C-A)/2=
-1 0 3
k1 1 1
10、设A=
1 1
k 1
1 k
1 1
, 且r(A)=3,则 k = -3
11 1 k
线性代数习题课（一）
α
β
11、设三阶矩阵A= γ1 ,
γ2
B= γ1

习题(第二章一阶逻辑)080923

2014-11-8 计算机科学与工程系16
第二章一阶逻辑（习题）
4） D:R,F(x,y) :x>y, ｘyF(x,y) :存在实数x,对任意的实数y，使得x>y。假 yxF(x,y) :对任意的实数y,存在实数x，使得x>y。真所以，ｘ yF(x,y) yxF(x,y) 为真。 D:N,F(x,y) :x<y, ｘyF(x,y) :存在自然数x,对任意的自然数y，使得 x < y。真 yxF(x,y) :对任意的自然数y,存在自然数x，使得 x < y。假所以，ｘ yF(x,y) yxF(x,y) 为假。综上，ｘ yF(x,y) yxF(x,y)是可满足的。
2014-11-8
计算机科学与工程系14
第二章一阶逻辑（习题）
解： 1） P (Q P) P Q P 1 ，用F(x,y) 代替上式中的P，用代替上式中的Q，得 F(x,y) (G(x,y) F(x,y) ) 是永真的。 2）因为 F(x) F(x) F(x) F(x) 1 ，
第二章一阶逻辑（习题）
12、证明下列各式既不是永真的也不是永假的： 1）ｘ（F(x) y(G(y)∧H(x,y)) )。 2）ｘ y（F(x) ∧ G(y) H(x,y))。
2014-11-8
计算机科学与工程系20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二章一阶逻辑（习题）
1） D:N,F(x) :x是偶数, G(x) :x是奇数, H(x,y)：x≥y。ｘ（F(x) y(G(y)∧H(x,y)) ):对任意的自然数x，如果x是偶数，则存在奇数 y，使得x≥y。假 D:N,F(x) :x是偶数, G(x) :x是奇数, H(x,y)：x≠y。ｘ（F(x) y(G(y)∧H(x,y)) ):对任意的自然数x，如果x是偶数，则存在奇数 y，使得x ≠ y。真综上，ｘ（F(x) y(G(y)∧H(x,y)) )既不是永真的也不是永假的。

线性代数矩阵习题课-

γ1, B=
γ2
γ1,
γ2
且|A|=2 , |B|=3, 则|3A|= 54
|A+B|= 20 , |A-B|= 0
|AT+BT|= 20
33
作业题答案
1.设矩阵
A=
2 1
0 -2
4 4
1 3
B=
1 0
2 -2 2 -1
3 4
C=
3 2
4 -3
1 2
2 -1
则(1)A+B=
• 1
2 0
2 3
4 7
线性代数矩阵习题课
线性代数习题课（一）
2.设n 维向量α =(a , 0 , … , 0 , a)T(a<0),
A=E-ααT , B=E-ααT/a ,
其中A的逆矩阵为B, 求a的值。解: AB=E+(1-1/a-2a)ααT,
AB=E 1-1/a-2a =0 a=-1/2 ( a =1舍去)
2
线性代数习题课（一）
3.设A与A+E均可逆，G=E-(A+E)-1 ,求 G-1。 G =E-(A+E)-1 =(A+E)(A+E) -1-(A+E)-1 =A(A+E) -1 由A与A+E均可逆可知G也可逆, 且 G -1=(A(A+E) -1)-1=(A+E)A-1
3
线性代数习题课（一）
4.设四阶矩阵A=(α , r2, r3, r4), B=(β, r2, r3, r4), 其中α, β, r2, r3, r4均为4维向量, 且已知|A|=4 , |B|=1 , 求|A+B|。
d =-1×(-1)1+2×3×(-1)2+3×(2-3)

电功率习题课(2014年12月21日)

P总 P 1P 2 W总 W1 W2
I=U/R; P=UI
2
基本公式：
P=W/t
推导式：
推论：
U P UI I 2R R 串联电路并联电路
U 1 R1 U 2 R2
P R1 1 P2 R2
I1 R2 I 2的电能表，此时示数约为 kw.h,如果这些电用于“”220V，10W”的节能灯工作，可以正常工作的时间是 h。
参考答案：变小 7.2 0.8 17.如图所示，一个标有“6V ，3.6W”字样的小灯泡L和最大阻值为50Ω的滑动变阻器R串联后接在电源电压U 恒为6V 的电路中，设灯泡电阻不变，则下列判断不正确的是（） A．无论如何移动滑片P，电路中总功率不会超过2W B．移动滑片P，电路中总功率最小值为0.6W C．当滑片P滑到某个位置时，L和R 的电功率相等 D．当滑片P由由a滑向b的过程中，灯泡L的电功率一直是减小
答案：（1）S1闭合，S2断开。（1分）低温档电热毯发热功率： P＝I2R2＝[U/（R1+R2）]2 R2 （1分）（2） S1、S2均闭合（1分）高温档电热毯发热功率：．P＝（U2/R2）+ （U2/R3）（1分）（3）较好的电路是乙，（1分）因为在甲电路中，低温档时R1要发热，浪费电能。（1分
热水壶容量
2.0L
额定电压
加热时功率频率
220V 800W 50Hz
参考答案：（1）60.5欧（2）840S （3）661W
20.如图是一条电热毯电路的示意图，R0是发热电阻丝，R是串联在电路中的电阻，S是控温开关。电热毯标牌上标有“220V 40W”字样。问（不考虑温度对电阻值的影响）： ⑴、要使电热毯处于低温挡时，开关S应处于什么状态？ ⑵、发热电阻丝R0的阻值是多大？ ⑶、当电热毯处于低温挡时，电路中的电流为0.1A，则在 10s内电阻丝R0产生的热量是多少？

步步高数学必修一答案

步步高数学必修一答案【篇一：【步步高学案导学设计】2014-2015学年高中人教b版数学必修一课时作业：第1章章末测试(a)]】>(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合m＝{1,2,4,8}，n＝{x|x是2的倍数}，则m∩n等于( ) a．{2,4}b．{1,2,4}c．{2,4,8} d．{1,2,8}2．若集合a＝{x||x|≤1，x∈r}，b＝{y|y＝x2，x∈r}，则a∩b等于( )a．{x|－1≤x≤1} b．{x|x≥0}c．{x|0≤x≤1} d．?3．已知全集i＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合m＝{3,4,5}，集合n＝{1,3,6}，则集合{2,7,8}是( )a．m∪nb．m∩nc．(?im)∪(?in)d．(?im)∩(?in)4.已知全集u＝r，集合m＝{x|－2≤x－1≤2}和n＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系的维恩(venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )a．3个 b．2个c．1个 d．无穷多个5．设集合a＝{x|2≤x2a－1}，b＝{x|1≤x≤6－a}，若3∈a∩b，则实数a的取值范围是( )a．a2 b．2≤a3c．2≤a≤3d．2a≤36．已知全集u＝n*，集合m＝{x|x＝2n，n∈n*}，n＝{x|x＝4n，n∈n*}，则( )a．u＝m∪n b．u＝(?um)∪nc．u＝m∪(?un) d．u＝?u(m∩n)7．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )a．{x|x＝1}b．{y|(y－1)2＝0}c．{x＝1} d．{1}8．设集合a＝{a，b}，集合b＝{a＋1,5}，若a∩b＝{2}，则a∪b等于( )a．{1,2}b．{1,5}c．{2,5}d．{1,2,5}9．集合a＝{1,2,3,4}，ba，且1∈(a∩b)，4?(a∩b)，则满足上述条件的集合b的个数是( )a．1b．2 c．4d．810．设全集u＝{1,2,3,4,5}，集合m＝{1,4}，n＝{1,3,5}，则n∩(?um)等于( )a．{1,3} b．{1,5}c．{3,5} d．{4,5}11．设p、q是非空集合，定义p?q＝{x|x∈(p∪q)且x?(p∩q)}，现有集合m＝{x|0≤x≤4}，n＝{x|x1}，则m?n等于( )a．{x|0≤x≤1或x4}b．{x|0≤x≤1或x≥4}c．{x|1≤x≤4}d．{x|0≤x≤4}12．设集合a＝{4,5,7,9}，b＝{3,4,7,8,9}，全集u＝a∪b，则集合?u(a∩b)中的元素共有( )a．3个二、填空题(13．满足{a，b}∪b＝{a，b，c}的集合b的个数是________．10??14．用列举法表示集合：m＝?m|m＋1z，m∈z?＝________________________. ??15．已知集合{2x，x＋y}＝{7,4}，则整数x＝_________________________________， y＝________.16．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种都买了的有3人，则这两种都没买的有____人．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知集合a＝{x∈r|ax2－3x＋2＝0，a∈r}．(1)若a是空集，求a的取值范围；(2)若a中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来．18．(12分)已知集合a＝{a2，a＋1，－3}，b＝{a－3,2a－1，a2＋1}，若a∩b＝{－3}，求a的值．19．(12分)若a＝{x|－3≤x≤4}，b＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，b?a，求实数m的取值范围．20．(12分)已知全集u＝r，集合a＝{x|x0或x2}，b＝{x|－1x3}，c＝{x|3x－1a}．求：(1)a∩b，a∪b；(2)b∩c.21．(12分)设集合a＝{x|2x2＋3px＋2＝0}，b＝{x|2x2＋x＋q＝0}，其中p、q为常数，x1∈r，当a∩b＝}时，求p、q的值和a∪b. 222．(12分)设集合a＝{x|x2－3x＋2＝0}，b＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，若a∩b＝b，求实数a所有可能的值组成的集合．第一章集合(a)1．c [因为n＝{x|x是2的倍数}＝{…，0,2,4,6,8，…}，故m∩n＝{2,4,8}，所以c正确．]2．c [a＝{x|－1≤x≤1}，b＝{y|y≥0}，解得a∩b＝{x|0≤x≤1}．]3．d [∵(?im)∩(?in)＝?i(m∪n)，而{2,7,8}＝?i(m∪n)]．4．b [m＝{x|－1≤x≤3}，m∩n＝{1,3}，有2个．]5．d [∵3∈a，∴2a－13.∴a2.又3∈b，∴6－a≥3.∴a≤3.]6．c [由于nm，由venn图可知选c.]7．c [由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选c.]8．d [本题考查集合交、并集的运算及其性质，由a∩b＝{2}可知2∈b,2∈a，∴a＋1＝2，a＝1，b＝2，a＝{1,2}，从而a∪b＝{1,2,5}．]9．c [由ba,1∈(a∩b)，且4?(a∩b)知1∈b，但4?b，∴集合b中至少含有一个元素1，至多含有3个元素1,2,3，故集合b可以为{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．]10．c [?um＝{2,3,5}，n＝{1,3,5}，则n∩(?um)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．]11．a12．a [∵a＝{4,5,7,9}，b＝{3,4,7,8,9}，∴a∪b＝{3,4,5,7,8,9}，a∩b＝{4,7,9}，∴?u(a∩b)＝{3,5,8}，∴?u(a∩b)共有3个元素．]13．4个解析 b＝{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．14．{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}10解析由∈z，且m∈z，知m＋1是10的约数，故|m＋1| m＋1＝1,2,5,10，从而m的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.15．2 5解析由集合相等的定义知，712x＝7，,x＋y＝4或2x＝4，,x＋y＝7，解得x,y＝或x＝2，,y＝5. 22又x，y是整数，所以x＝2，y＝5.16．2解析结合venn图可知17．解集合a是方程ax2－3x＋2＝0在实数范围内的解集．(1)a是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解，2(2)当a＝0时，方程只有一解，为x 39当a＝0或a＝时， 824a. 3318．解由a∩b＝{－3}，得－3∈b，∴a－3＝－3或2a－1＝－3，即a＝0或a＝－1，当a＝0时，a＝{0,1，－3}，b＝{－3，－1,1}，此时a∩b＝{1，－3}与题意不符合，舍去．∴a＝－1.19．解∵b?a，当b＝?时，得2m－1m＋1，m2，当b≠?时，解得－1≤m≤2.综上所述，m的取值范围为m≥－1.20．解结合数轴：得(1)a∩b＝{x|－1x0或2x3}，a∪b＝r.a＋1(2)c＝x|x 3a＋1当3，即a≥8时，b∩c＝?， 3a＋1当－1≤，即－4≤a8时， 3a＋1b∩c＝xx3. 3a＋1当－1，即a－4时，b∩c＝{x|－1x3}． 3综上，a≥8时，b∩c＝?；【篇二：【步步高学案导学设计】2014-2015学年高中人教b版数学必修一课时作业：模块综合检测(c)]】(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)21．设全集u是实数集r，m＝{x|x24}，n＝{x1}，则右图中阴影部分所表示的集x－1合是( )a．{x|－2≤x1} b．{x|－2≤x≤2} c．{x|1x≤2}d．{x|x2}112．设2a＝5b＝m，且＋2，则m等于( )aba.10 b．10 c．20 d．1003．设函数f(x)满足：①y＝f(x＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f(－1)与f(2)的大小关系是( )a．f(－1)f(2) b．f(－1)f(2) c．f(－1)＝f(2) d．无法确定4．集合a＝{x|x＝3k－2，k∈z}，b＝{y|y＝3l＋1，l∈z}，s＝{y|y＝6m＋1，m∈z}之间的关系是( )a．s＝b∩a b．s＝b∪a c．sb＝a d．s∩b＝a5．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元，则税率p%为( ) a．10% b．12% c．25% d．40%6．设f(x)＝则f(f(2))的值为( ) a．0 b．1 c．2 d．3 7．定义运算：如1*2=1，则函数f(x)a．r b．(0，＋∞) c．(0,1] d．[1，＋∞)x8．若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则log2等于( )ya．2 b．2或0 c．0 d．－2或0 9．设函数f(x)＝的值域为( )，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝ f(x)－g(x)的零点个数是( )a．4 b．3 c．2 d．1b10．在下列四图中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝()x的图象只可为( )a11．已知f(x)＝a，g(x)＝loga|x|(a0且a≠1)，若f(4)g(－4)0，则y ＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )x－212．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有( )11a．ff(2)f()3211b．ff(2)f()2311c．ff()f(2)2311d．f(2)f()f()23二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则不等式f[g(x)]g[f(x)]的解为________．11x2?2x?414．已知loga0，若a≤，则实数x的取值范围为______________． 2a15．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围为________________． 16三、解答题(本大题共6小题，共70分) 117．(10分)已知函数f(x)＝log1[()x－1]，22(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的增减性．18．(12分)已知集合a＝{x∈r|ax2－3x＋2＝0，a∈r}． (1)若a是空集，求a的取值范围；(2)若a中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若a 中至多只有一个元素，求a的取值范围．ax－119．(12分)设函数f(x)＝，其中a∈r.x＋1(1)若a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．20．(12分)关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．21．(12分)据气象中心观察和预测：发生于m地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段oc上一点t(t,0)作横轴的垂线l，梯形oabc在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)． (1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若n城位于m地正南方向，且距m地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到n 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到n城？如果不会，请说明理由．(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)解不等式f(2x2－1)2.模块综合检测(c)1．c [题图中阴影部分可表示为(?um)∩n，集合m＝{x|x2或x－2}，集合n＝{x|1x≤3}，由集合的运算，知(?um)∩n＝{x|1x≤2}．] 2．a [由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m， 11∴＝logm2＋logm5＝logm10. ab11∵＝2，∴logm10＝2，∴m2＝10，m＝10.] ab3．a [由y＝f(x＋1)是偶函数，得到y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f(3)f(2)，即f(－1)f(2)．]6．c [∵f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，－∴f(f(2))＝f(1)＝2e11＝2.] 7．c[由题意可知f(x)x??2 x≤0，＝?－x作出f(x)的图象(实线部分)如右图所示； ?2，x0.?由图可知f(x)的值域为(0,1]．] 8．a [方法一排除法．由题意可知x0，y0，x－2y0，xx∴x2y，2，∴log21.yy方法二直接法．依题意，(x－2y)2＝xy，∴x2－5xy＋4y2＝0，∴(x－y)(x－4y)＝0，∴x＝y或x＝4y，∵x－2y0，x0，y0，∴x2y，xx∴x＝y(舍去)，∴＝4，∴log22.]yy9．b [当x≤1时，函数f(x)＝4x－4与g(x)＝log2x的图象有两个交点，可得h(x)有两个零点，当x1时，函数f(x)＝x2－4x＋3与g(x)＝log2x的图象有1个交点，可得函数h(x)有1个零点，∴函数h(x)共有3个零点．]b10．c [∵，∴a，b同号．a【篇三：【步步高学案导学设计】2014-2015学年高中人教b版数学必修一课时作业：第1章习题课]】.巩固和深化对基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．若a＝{x|x＋10}，b＝{x|x－30}，则a∩b等于( ) a．{x|x－1}b．{x|x3} c．{x|－1x3} d．{x|1x3}2．已知集合m＝{x|－3x≤5}，n＝{x|x－5或x5}，则m∪n等于( ) a．{x|x－5或x－3} b．{x|－5x5}c．{x|－3x5} d．{x|x－3或x5} 3．设集合a＝{x|x≤，a11，那么( ) a．aa b．a?a c．{a}?ad．{a}a4．设全集i＝{a，b，c，d，e}，集合m＝{a，b，c}，n＝{b，d，e}，那么(?im)∩(?in)是( )a．? b．{d} c．{b，e} d．{a，c} 5．设a＝{x|x＝4k＋1，k∈z}，b＝{x|x＝4k－3，k∈z}，则集合a与b的关系为________． 6．设a＝{x∈z|－6≤x≤6}，b＝{1,2,3}，c＝{3,4,5,6}，求：(1)a∪(b∩c)；(2)a∩(?a(b∪c))．一、选择题1．设p＝{x|x4}，q＝{x|x24}，则( )a．p?q b．q?p c．p??rq d．q??rp2．符合条件{a}p?{a，b，c}的集合p的个数是( ) a．2 b．3 c．4 d．5 3．设m＝{x|x＝a2＋1，a∈n*}，p＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈n*}，则下列关系正确的是( ) a．m＝pb．mpc．pmd．m与p没有公共元素4．如图所示，m，p，s是v的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )a．(m∩p)∩s b．(m∩p)∪s c．(m∩s)∩(?sp) d．(m∩p)∪(?vs)5．已知集合a＝{x|a－1≤x≤a＋2}，b＝{x|3x5}，则能使a?b成立的实数a的范围是( )a．{a|3a≤4} b．{a|3≤a≤4} c．{a|3a4}二、填空题6．已知集合a＝{x|x≤2}，b＝{x|xa}，如果a∪b＝r，那么a的取值范围是________． 7．集合a＝{1,2,3,5}，当x∈a时，若x－1?a，x＋1?a，则称x为a的一个“孤立元素”，则a中孤立元素的个数为________．8．已知全集u＝{3,7，a2－2a－3}，a＝{7，|a－7|}，?ua＝{5}，则a＝________. 9．设u＝r，m＝{x|x≥1}，n＝{x|0≤x5}，则(?um)∪(?un)＝________. 三、解答题10．已知集合a＝{x|－1≤x3}，b＝{x|2x－4≥x－2}． (1)求a∩b；(2)若集合c＝{x|2x＋a0}，满足b∪c＝c，求实数a的取值范围．11．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中a，b，c三道知识题作答情况如下：答错a者17人，答错b者15人，答错c者11人，答错a，b者5人，答错a，c者3人，答错b，c者4人，a，b，c都答错的有1人，问a，b，c都答对的有多少人？能力提升12．对于k∈a，如果k－1?a且k＋1?a，那么k是a的一个“孤立元”，给定s＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由s的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？3113．设数集m＝{x|m≤x≤m＋}，n＝{x|n－x≤n}，且m，n都是集合u＝{x|0≤x≤1}43的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合m∩n的长度的最小值．1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解交、并、补集的意义，并能将题目中符号语言准确转化为文字语言．2．集合运算的法则可借助于venn图理解，无限集的交集、并集和补集运算可结合数轴，运用数形结合思想．习题课双基演练1．c [∵a＝{x|x－1}，b＝{x|x3}，∴a∩b＝{x|－1x3}．]2．a[画出数轴，将不等式－3x≤5，x－5，x5在数轴上表示出来，不难看出m∪n＝{x|x－5或x－3}．] 3．d4．a [∵?im＝{d，e}，?in＝{a，c}，∴(?im)∩(?in)＝{d，e}∩{a，c}＝?.] 5．a＝b解析 4k－3＝4(k－1)＋1，k∈z，可见a＝b.6．解∵a＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6} (1)又∵b∩c＝{3}，∴a∪(b∩c)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}． (2)又∵b∪c＝{1,2,3,4,5,6}，∴?a(b∪c)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}∴a∩(?a(b∪c))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．作业设计1．b [q＝{x|－2x2}，可知b正确．]2．b [集合p内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故p＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．] 3．b [∵a∈n*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，?.∵b∈n*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，?. ∴mp.]4．c [阴影部分是m∩s的部分再去掉属于集合p的一小部分，因此为(m∩s)∩(?sp)．] 5．b [根据题意可画出下图．∵a＋2a－1，∴a≠?. ?a－1≤3，?有?解得3≤a≤4.] ?a＋2≥5.?6．a≤2解析如图中的数轴所示，要使a∪b＝r，a≤2. 7．1解析当x＝1时，x－1＝0?a，x＋1＝2∈a；当x＝2时，x－1＝1∈a，x＋1＝3∈a；当x＝3时，x－1＝2∈a，x＋1＝4?a；当x＝5时，x－1＝4?a，x＋1＝6?a；综上可知，a中只有一个孤立元素5. 8．4解析∵a∪(?ua)＝u，由?ua＝{5}知，a2－2a－3＝5，∴a＝－2，或a＝4.当a＝－2时，|a－7|＝9,9?u，∴a≠－2.a＝4经验证，符合题意． 9．{x|x1或x≥5}解析 ?um＝{x|x1}，?un＝{x|x0或x≥5}，故(?um)∪(?un)＝{x|x1或x≥5}或由m∩n＝{x|1≤x5}，(?um)∪(?un)＝?u(m∩n) ＝{x|x1或x≥5}． 10．解 (1)∵b＝{x|x≥2}，∴a∩b＝{x|2≤x3}．a(2)∵c＝{x|x－}，b∪c＝c?b?c，2a∴－2，∴a－4.211.解由题意，设全班同学为全集u，画出venn图，a表示答错a的集合，b表示答错b 的集合，c表示答错c的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此a∪b∪c中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此a，b，c全对的有50－32＝18人．12．解依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．1313．解在数轴上表示出集合m与n，可知当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋1时，3423321m∩n的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，m∩n＝{x|≤x，长度为；当34431211111111n＝且m＝时，m∩n＝{x|≤x}，长度为－.综上，m∩n3443341212。

清华大学微积分第1次习题课答案

（5） lim
x y
x y . x xy y 2
2
解：（1）（2）
( x , y ) (1,0)
lim ( x y )
x y 1 x y 1

( x , y ) (1,0)
lim (1 ( x y 1))
1 ( x y 1) x y 1
2
因此 lim
x y =0. x x xy y 2 y
2
y 0 x 0 x 0 y 0 x 0 y 0
4.讨论下列函数的累次极限 lim lim f x, y , lim lim f x, y 与二重极限 lim f x, y
1 1 x sin y sin , x y 0 y x （1） f x, y = 0, x y 0 x2 y 2 （3） f ( x, y ) 2 2 . x y ( x y)2
即 U ( a, 0 ) f
1
(G ) ，即 f 1 (G ) 是 R n 中的开集，证毕。
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作者：闫浩, 章纪民
2014 年 3 月
二、多元函数的极限与连续 3. 下列极限是否存在？若存在，求出极限值；若不存在，说明理由。
（1）
( x , y ) (1, 0 )
lim ( x y )
n m m
f 1 (G ) {x R n | f ( x) G} 是 R n 中的开集。
证明: 由于 f : R R 是一个连续映射，由定义，有 a R ， 0, 0 ，当
n m
n
d n ( x, a ) 时，有 d m ( f ( x), f (a )) 。

2014-2015学年高中数学选修2-3 第1章计数原理第一章习题课二项式定理

研一研·题型解法、解题更高效
1 (2)|x|＋|x|－23 的展开式中的常数项为________ －20 ．
解析
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1 3 ∵|x|＋|x|－2 ＝
1 6 |x|－， |x|
∴所求展开式中的常数项是－C3 6＝－20.
∴常数项为 T7＝C6 10＝210.
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题型一例1
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求二项展开式的项或系数
(1)求(x－1Байду номын сангаас－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5 的展开 3
式中 x2 的系数． (2)求( 3x＋ 2)100 的展开式中，系数为有理数的项的个数．
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【学习要求】 1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念． 2．会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．
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本 0 n 1 n－1 2 n－2 2 r n－r r n n 课 n C a ＋ C a b ＋ C a b ＋…＋ C a b ＋…＋ C n n n n nb 时 1．(a＋b) ＝栏 (n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，其中 Cr n(r＝0, 目开 1,2，…，n)叫做二项式系数，通项是指展开式的第 r＋1 项，关 r n－r r C b . 即 na
取得最大值，即
0 1 2 r n n C ＋ C ＋ C ＋…＋ C ＋…＋ C ＝ 2 n n n n n (4)二项式系数之和，所用方法
是赋值法．
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3 2 x － 1.

2014-2015学年高中数学选修2-3 第1章计数原理第一章习题课

解析先涂三棱锥 P－ABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有 3×2×1×2＝12(种) 不同的涂法．
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题型三种植问题
例 3 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．
法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行． ②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
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有 4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有 3×2×1＝6(种)，故共有不同种植方法 24－6＝18(种)．
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按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基
本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一Βιβλιοθήκη ．研一研·题型解法、解题更高效
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(1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻
的区域可以同色．因此一般以不相邻区域同色，不同色为分类依据，相邻区域可用分步涂色的办法涂色． (2)涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色．
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分类还有以下几种情况：(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)， (4,5)；共 10 类，每一类都有 6 种方法．根据分类加法计数原理得：共有方法数 N ＝ 6 ＋ 6 ＋ „ ＋ 6 ＝