高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式
数值分析第五版李庆扬王能超课件第3章(2)
复化求积公式
h2 h2 6 上例中若要求 | I Tn | 10 ，则 | Rn [ f ] | | f (1) f (0) | 10 12 6
6
h 0.00244949 即：取 n = 409
通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 可用来判断迭代 上例中2k 409 k = 9 时，T512 = 3.14159202 是否停止。 2 1 h 1 注意到区间再次对分时 R2 n [ f ] [ f (b) f (a )] Rn [ f ]
Romberg
T1 = T0( 0 )
<?
算法： T4 = T0( 2 )
T8 = T0
(3)
T2 = T0( 1 )
S1 = T1( 0 )
S2 = T1 S4 = T1
(1) (2)
<?
C1 = T2 C2 = T2
(0) (1)
<?
………………
R1 = T3
第二讲
§1. 复化求积公式
§2. 龙贝格求积公式
高次插值有Runge 现象，故采用分段低 次插值
分段低次合成的 Newton-Cotes 复 合求积公式。
§ 1. 复化求积公式 § 1.拉格朗日插值
2.1 复化梯形公式 1.1 拉格朗日插值
1.2 复化辛普森公式
1.1 复化梯形公式
ba 复合梯形公式： h , xk a k h n
4T2 n Tn 4 1 T2 n Tn 来计算 I 效果是否好些？ 4 1 3 3 Romberg 序列
4 1 T8 T4 = 3.141592502 = S 4 3 3 4T2 n Tn 42 S2n Sn Sn 一般有： Cn 2 41 4 1
数值分析学习公式总结
数值分析学习公式总结数值分析是数学的一个分支，研究如何利用计算机求解数学问题。
数值分析学习过程中会遇到许多公式，下面对其中一些重要的公式进行总结。
1.插值公式：-拉格朗日插值公式：设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。
则对于任意x∈[a,b]，可使用拉格朗日插值公式来估计f(x)，公式如下：-牛顿插值公式：牛顿插值公式是通过差商的方法来构造插值多项式的公式。
设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为 x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。
则对于任意x∈[a,b]，可使用牛顿插值公式来估计f(x)，公式如下：2.数值积分公式：-矩形公式：矩形公式是用矩形面积来估计曲线下的面积，主要有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。
以左矩形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间左端点的函数值作为矩形的高，子区间长度作为矩形的宽，则曲线下的面积可以近似为各个矩形面积的和，公式如下：-梯形公式：梯形公式是用梯形面积来估计曲线下的面积，主要有梯形公式和复合梯形公式。
以梯形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间两个端点对应的函数值作为梯形的底边的两个边长，子区间长度作为梯形的高，则曲线下的面积可以近似为各个梯形面积的和，公式如下：-辛普森公式：辛普森公式是用抛物线面积来估计曲线下的面积，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间三个端点对应的函数值作为抛物线的三个顶点，则曲线下的面积可以近似为各个抛物线面积的和，公式如下：3.线性方程组求解公式：- Cramer法则：Cramer法则适用于 n 个线性方程、n 个未知数的线性方程组。
数值分析常用公式及示例
数值分析常用公式及示例数值分析是用数值方法研究数学问题的一种方法。
在数值分析中，我们经常会用到一些常用的公式和方法，下面是一些常用的公式和示例。
1.插值公式：插值是用已知数据点来估计未知数据点的一种方法。
常用的插值公式有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
拉格朗日插值公式：对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1,y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为P(x) = y0·l0(x) + y1·l1(x) + ... + yn·ln(x)其中li(x) = Π(j≠ i)((x - xj) / (xi - xj))。
2.数值积分公式：数值积分是用数值方法计算函数积分的一种方法。
常用的数值积分公式有梯形公式、辛普森公式和高斯公式等。
梯形公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，梯形公式的积分近似值为∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 2 · (f(a) + f(b))。
辛普森公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，辛普森公式的积分近似值为∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 6 · (f(a) + 4f((a + b) / 2) + f(b))。
3.数值解方程公式：数值解方程是通过数值计算方法找到方程的根的一种方法。
常用的数值解方程公式有二分法和牛顿法等。
二分法：对于一个在区间[a,b]上连续的函数f(x)，如果f(a)·f(b)<0，则函数在该区间内存在一个根。
二分法的基本思想是将区间不断二分，直到找到根。
具体步骤为：1)如果f(a)·f(b)>0，则输出“区间[f(a),f(b)]上不存在根”；2)否则，计算c=(a+b)/2；3)如果f(c)≈0，则输出c为方程的一个根；4)否则，如果f(a)·f(c)<0，则更新b=c，并返回第2步进行下一次迭代；5)否则，更新a=c，并返回第2步进行下一次迭代。
现代数值计算方法公式总结
现代数值计算方法公式总结现代数值计算方法公式一、插值法1.拉格朗日（Lagrange）插值法a)两点一次：b)三点二次：2.牛顿（Newton）插值a)n次牛顿法多项式：其中一阶差二阶差商三阶差商四阶差商商b)向前差分：下减上c)向后差分：上减下3.三次埃米尔特（Hermite）插值二、拟合曲线（最小二乘）三、数值积分1.牛顿-柯特思（Newton-Cotes）公式梯形求积公式（2节点）复化梯形求积公式辛普生求积公式（3节点）复化辛普生求积公式2.高斯（Gauss）公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解x i2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将x i带入求A i3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。
普通积分化标准形式：积分区间[a,b]变换3.代数精度若求积公式对f(x)=1,x,x2,…x m时精确成立，而对f(x)=x m+1时不成立，则称此求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解，先将A分解为，则原式变为，那么问题就变为了求解五、解线性代数方程的迭代法1.范数向量范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||x||=0当且仅当x=0成立2）其次行3）三角不等式称为域上的一个向量范数常见范数：矩阵范数定义：设其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数满足条件1）非负性，||A||=0当且仅当A=0成立2）其次行3）三角不等式4）乘积性质称为域上的一个矩阵范数常见范数：行范数列范数为的最大按模特征值2.谱半径3.雅可比迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
其中4.高斯-塞德尔迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，并将上式得到的带入下边的公式，分量通式如下：矩阵：对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L，再减去上三角矩阵U。
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式数值积分的插值求积公式是一种常见的数值计算方法，它通过建立一个插值多项式来逼近被积函数，在一定的积分区间内进行积分近似计算。
插值多项式通过给定的数据点来拟合函数曲线，从而实现对被积函数的逼近。
下面将介绍几种常用的数值积分的插值求积公式。
1. 拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是最简单的插值方法之一，它通过已知的数据点构造一个一维Lagrange插值多项式，从而得到近似积分值。
对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + ... + yn * Ln(x)其中Li(x)是关于x的n次多项式，满足Li(xj) = δij，即在第i 个点处取值为1，其它点处取值为0。
对于有限积分问题，可以通过计算插值多项式的积分来近似求解。
2. 牛顿插值公式牛顿插值公式是一种高效的插值方法，其基本思想是通过差商来递推计算插值多项式。
对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1,y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值多项式N(x)可以表示为：N(x) = y0 + (x - x0) * f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1) * f[x0, x1, x2] + ... + (x - x0)(x - x1)...(x - xn-1) * f[x0, x1, ..., xn]其中f[xi, xj, ..., xk]表示差商的计算，它可以递归地定义为：f[xi, xj] = (f[xj] - f[xi]) / (xj - xi)f[xi, xj, ..., xk] = (f[xj, ..., xk] - f[xi, ..., xj-1]) / (xk - xi)通过计算牛顿插值多项式的积分，可以得到数值积分的近似解。
3. 辛普森插值公式辛普森插值公式是一种基于二次多项式拟合的插值方法，在区间[a, b]上将被积函数近似表示为三个节点上的二次多项式。
数值计算考题五——复合梯形求积公式与复合辛普森求积公式求积分
数值计算考题五1. 分别用复合梯形求积公式与复合辛普森求积公式求积分I=⎰102x e sinx dx 的近似值，要求误差不超过ε=0.5⨯10-5.解：方法一： 复合梯形求积公式复合梯形求积公式是将积分区间划分为n 个很小的区间，然后将各个小区间的面积相加而得到在整个积分区间上的积分，当分成的小区间数n →∞时，求得的面积就等于积分的精确值。
由复合梯形求积公式的余项R n T 可得满足精度要求≤ε0.5⨯10-5时区间()b a ,被分成的区间数n 的最小值为700，所以在编程时循环次数应大于等于这个值，方可满足精度要求。
以下是编写的C 语言程序：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){int n=700,i;double x,f=0.0,t,h,T=0.0,c=2.0,a=0.0,b=1.0;h=(b-a)/n;for(i=0;i<n;i++){x=a+i*h;f=f+exp(pow(x,c))*sin(x);}t=(h/2)*(2*f+sin(1)*exp(1));printf("T=%f\n",t);}输出结果为T=0.778746.方法二：复合辛普森求积公式：复合辛普森求积法是将积分区间分割之后，在每个小区间[x i ,x i+1]上运用辛普森求积公式。
以下是编写的c 语言程序：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){int n=700,i;double x1,x2,f1=0.0,f2=0.0,t,h,T=0.0,c=2.0,a=0.0,b=1.0;h=(b-a)/n;for(i=0;i<n;i++){x1=a+i*h;x2=a+(i+0.5)*h;f1=f1+exp(pow(x1,c))*sin(x1);f2=f2+exp(pow(x2,c))*sin(x2); }t=(h/6)*(2*f1+sin(1)*exp(1)+4*f2); printf("T=%f\n",t);}程序输出结果为0.778745.2. 用高斯求积法求上述积分的近似值。
数值分析公式大全
数值分析，第一章2，相对误差和绝对误差e*=x*-x;屮少-玖估计值(対_说・2, 误差限和相对误差限「纠h-x|3, 有效数字官方定义：若近似值丫的误差限是某一位的半个单位，该位到X 的第一位非零有效数字 共有n 位，就说x ■有n 位有效数字。
表示为:x*=± 10mX (ai+a ：X 10~l +a>X 10-2+•••+a B X IO 」")=±ax. a,a$・・・a»。
其中型为0至9中之一,a,不为0, m, n 都是整数。
公式：z =|x-x B |^ix io m ~n+1 相对误差限公式，具有n 为有效数字，一W 舟Xl (m若£讥藹％ IO' “T,则，•至少具有n 为有效数字。
4, 病态问题的条件数，相对误差比值呻扰动“"・误差为字函数值f Z)的相对误差二号泸 相对误差比值为：f 卑-f/㈣刽字斗二Cp (也称为条件数)f (X >| X || /(X )第二章：插值法1. 多项式插值P (x)为 n 阶多项式,P (x) =a 0+a a x+a 2x 2+•••+a n x n ,街为实数。
1 %0…琦•a （yy解法：a 解方程组：Aa=y.其中A=1 %1 …xf ♦ 8 = ■ ■ ■ > y= yi • •• • • • 1耳…昭•%2, 拉格朗口插值[1]线性插值Ll=yJk +yk*Jk*l插值基函数^上沁，iM=q- 班一斗十1x k+1-x k【2】抛物线插值L2=y k l k +y M .1l k ^i+y k ^2lk*2【3】N 次插值多项式(通解)Ln=yol 0+yili+y 2l2+插值基函数叭鳥:::;工鳥,lk*l+丄一4+2)（X-斗）（X-X|c+J他+2 - 耳）他+2 -m+J(X-Xo )・・・(x_x/c-十J・・・(x-X n )(x k^x o)tut(x k^x k-l)(x k^x k^l)9,,(x k^x n)设U) «H(X)=(x —X0) ...(X — %k_i)(X — Xfc+1) ... (x — x n)有U) *(») =(x fc一%o) ••• g一x" (x k一X fc+1) ... (%k 一%n)wn+1 <x)(x-Xfc)w n+1 <xjc)余项公式N次插值多项式的余项形式R n=f (x) -Ln (x)』一_ (x) =K(x) 0)刊(x) , ( 6 (a, b)(H+A)'§的位宜耒知，但冇截断误差限：l^nWl < ^)j|wn+i(x)|, »U=max aSxSI,|f(n+1)(x)|3, 均差(差商)一阶均差;二阶均差：f[x0/，xl高阶均差：f[x“ xl.…，xj」®小••…机-d-g・・・・• 朴] x k~x k-l性质：1, k阶均差可表示为函数值f (x0), f(X]),…，f (x n)的线性组合2, 对称性，与节点次序无关3, 【前后项】f[x。
利用数值积分公式求解积分方程 分别用复化求积公式和高斯型求积公式
利用数值积分公式求解积分方程分别用复化求积公式和高斯
型求积公式
数值积分方法通常用于求解无法解析求解的定积分问题，其中复化求积公式和高斯型求积公式是两种常见的数值积分方法。
1. 复化求积公式：
复化求积公式是通过将积分区间等分成多个小区间，并在每个小区间上采用简单的数值积分公式来逼近原积分问题。
常见的复化求积公式包括梯形法则和Simpson法则。
梯形法则：将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间
用梯形面积的方法求解，然后将各个小区间的积分结果相加得到最终的积分近似值。
Simpson法则：将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区
间用Simpson公式求解，然后将各个小区间的积分结果相加得到最终的积分近似值。
2. 高斯型求积公式：
高斯型求积公式是通过将积分区间映射为[-1, 1]上的积分问题，然后通过选取合适的节点和权重，将原积分问题转化为有限个加权节点的求和问题。
常见的高斯型求积公式包括Gauss-Legendre公式和Gauss-Hermite公式。
Gauss-Legendre公式：适用于求解定义在[-1, 1]区间上的定积
分问题，根据节点个数的不同，可以得到不同阶数的Gauss-Legendre公式。
Gauss-Hermite公式：适用于求解定义在整个实数轴上的定积分问题，通过选取合适的节点和权重，将原积分问题转化为有限个加权节点的求和问题。
总结：复化求积公式适用于一般的定积分问题，可以通过合理选择划分区间和数值积分公式来提高数值积分的精度。
而高斯型求积公式通常适用于具有特殊形式或定义域的定积分问题，可以通过选取合适的节点和权重来获得较高的数值积分精度。
(完整word版)《数值分析》matlab实验报告-梯形、辛普森求积公式
东莞理工学院《数值分析》实验报告实验名称：牛顿插值法系别：计算机学院专业：2013级信息与计算科学班级：1班姓名：学号：实验日期：1、实验内容用不同数值方法计算积分104ln 9x xdx =-⎰。
2、算法说明 梯形求积公式算法：将积分区间[,]a b 划分为n 等份，步长b ah n-=分点为 ,1,2,...,k x a kh k n =+=。
积分10()2nk k k h I x x +==+∑。
辛普森求积公式算法：5(4)012()(4)()390xx h h f x dx y y y f c =++-⎰其中h 为步长。
3、Matlab 软件程序清单梯形求积公式TiXing_quad(a,b,h)：function t = TiXing_quad(a,b,h) %a 为积分下界，b 为积分上界，h 为步长。
format long x = a:h:b;y = sqrt(x).*log(x); y(1) = 0;t = 0;for k=1:(b-a)/h,t=t+y(k)+y(k+1);endt=t*h/2;辛普森求积公式Sinpson_quad(a,b,h)：function s=Sinpson_quad(a,b,h)format longx=a:h:b;y=sqrt(x).*log(x);z=sqrt(x+h/2).*log(x+h/2);y(1)=0;s=0;for k=1:(b-a)/h,s=s+y(k)+y(k+1)+4*z(k);ends=s*h./6;4、运行结果真值I=-4/9=-0.444444444444444次数I（梯形公式）I（辛普森公式）50 -0.441090226387332 -0.443793798301150100 -0.443117905322695 -0.444194********* 200 -0.443925359444891 -0.4443490454521025、分析与思考“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式拉格朗日插值公式和牛顿插值公式是数值分析中常用的插值方法，用于通过已知数据点推导出未知数据点的近似值。
本文将分别介绍这两个插值方法的原理和应用，并比较它们的特点和优劣。
一、拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，它通过构造一个多项式来逼近给定的数据点集合。
具体而言，拉格朗日插值多项式的形式为：P(x) = Σ(yi * Li(x))其中，P(x)表示待求的多项式，yi表示已知数据点的函数值，Li(x)称为拉格朗日基函数，它代表了每个数据点的贡献度。
拉格朗日插值公式的优点在于其简单易懂，计算过程相对简单快速。
但是，该方法的缺点是对于较大规模的数据集合，计算量会变得很大，同时当数据点之间的间距不均匀时，插值结果可能出现较大误差。
二、牛顿插值公式牛顿插值公式是由英国数学家牛顿于17世纪提出的，它采用了多项式的差商形式进行插值。
具体而言，牛顿插值多项式的形式为：P(x) = f[x0] + (x - x0)f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1)f[x0, x1,x2] + ...其中，f[x0]表示已知数据点的函数值，f[x0, x1]表示x0和x1两个点之间的差商，以此类推。
牛顿插值公式的优点在于可以通过递推的方式计算差商，避免了重复计算，因此对于较大规模的数据集合，计算效率较高。
此外，牛顿插值公式对于不均匀间距的数据点也能够较好地逼近。
然而，牛顿插值公式的缺点在于其计算过程较为繁琐，需要额外计算差商。
三、比较与应用拉格朗日插值公式和牛顿插值公式都是常见的插值方法，它们在实际应用中各有优劣。
下面将对它们进行比较和应用分析。
1. 计算复杂度从计算复杂度的角度来看，牛顿插值公式在计算差商时需要递推计算，每次计算需要O(n)的复杂度，因此总的计算复杂度为O(n^2)。
而拉格朗日插值公式直接计算每个基函数，每次计算都需要O(n)的复杂度，因此总的计算复杂度也为O(n^2)。
数值分析8-高斯型求积公式
1 −1
f ( 2 n+ 2) (η ) f ( x ) dx − ∑ ωi f ( xi ) = (2n + 2)! i =0
n
∫
1
−1
( x − xi ) 2 dx ∏
i =0
n
证明：以 x0 … xn 为节点，构造 f (x) 的 2n+1 次Hermite插值
多项式 H(x)，满足
1 d n+1 ( x 2 − 1) n+1 Pn+1 ( x ) = n+1 2 ( n + 1)! dx n+1
取其 n+1 个零点作为 Gauss 点，即可得 Gauss-Legendre 求积公式。
G-L 公式的余项
定理 设 f (x) ∈C 2n+2[-1, 1] ，则 G-L求积公式的余项为
i =0
n
注：(1)Gauss求积公式仍然是插值型求积公式； (2)Gauss系数可通过Gauss点和Lagrange基函 数得到；
高斯点的确定
定理 节点 xi (i = 0, 1, … , n) 是求积公式(2-30)的Gauss
点的充要条件是：多项式 w( x) = ∏ ( x − xi ) 与任意次数不超 过 n 的多项式 p(x) 正交，即
∫
1
−1
f ( x ) dx ≈ ∑ Ai f ( x i ) = f ( −1 / 3 ) + f (1 / 3 )
i =0
n
n = 2: Pn+1(x) =
(5x3 -
3x)/2,
两点G-L公式
∫
1
−1
f ( x ) dx ≈ 5 f − 15 5 + 8 f ( 0 ) + 5 f 9 9 9
辛普森公式及应用
辛普森公式及应用辛普森公式是一种计算数值积分的方法，它利用多项式的插值来逼近被积函数。
这个公式的推导基于对被积函数进行多项式插值拟合，然后再对插值多项式进行积分。
辛普森公式的优点是在一定条件下可以通过较少的函数值计算得到较高的积分精度，从而在科学计算、数值模拟以及数值积分领域得到广泛应用。
辛普森公式的原理是将被积函数在积分区间上进行分段，每一段用一个二次多项式来表示。
具体而言，对于给定的区间[a, b]，将其等分成n个子区间，每个子区间的长度为h=(b-a)/n。
然后，在每个子区间上应用二次插值方法，用二次多项式来拟合被积函数。
使用拉格朗日插值多项式可以得到：S(x) = f(x_0) * L_0(x) + f(x_1) * L_1(x) + f(x_2) * L_2(x)其中，S(x)是插值函数，f(x_i)为被积函数在插值节点x_i处的函数值，L_i(x)为三个节点插值多项式。
将插值函数S(x)积分后，得到每个子区间的积分结果，再将所有子区间的积分结果相加即可得到整个区间[a, b]上的数值积分近似值。
在实际应用中，辛普森公式常用于计算复杂函数的数值积分，尤其是当被积函数在插值节点处的函数值已知时。
其优点在于，相比于传统的数值积分方法，如矩形法或梯形法，辛普森公式的积分精度更高。
此外，辛普森公式适用于不规则区间长度的情况，并且具有较好的数值稳定性。
除了在一维积分中的应用，辛普森公式也可以推广到高维积分问题。
通过在每个维度上使用辛普森公式进行数值积分，可以计算多维函数的数值积分结果。
对于高维积分问题，辛普森公式同样可以提供较高的积分精度。
总而言之，辛普森公式是一种常用的数值积分方法，通过采用多项式插值来逼近被积函数，从而得到积分近似值。
它在科学计算和数值模拟中广泛应用，能够提供较高的积分精度和数值稳定性。
在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的插值节点和积分区间，以达到更准确的数值积分结果。
注：本文根据题目要求，采用文章格式进行撰写，以便更好地呈现辛普森公式及其应用。
数值分析重点公式
数值分析重点公式数值分析是数学和计算机科学的交叉学科，研究如何在实际问题中获取精确或近似数值解的方法。
在数值分析中，有许多重要的公式和方法用于解决各种数学和科学问题。
下面是一些数值分析中的重点公式：1.泰勒展开公式：泰勒展开公式可以将一个函数表示为无限级数。
对于一个无穷可微的函数f(x)，其泰勒展开可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...2. 拉格朗日插值公式：拉格朗日插值公式是一种用于通过已知数据点构造一个多项式函数的方法。
对于n个已知点(xi, yi)，拉格朗日插值多项式可以表示为：L(x) = Σ yi * l(i)(x)其中l(i)(x)是拉格朗日基函数，定义为：l(i)(x) = Π (x-xj)/(xi-xj) for j ≠ i3.数值微分公式：数值微分公式用于计算函数的导数。
常用的数值微分公式包括前向差分、后向差分和中心差分。
前向差分公式如下：fd'(x) = (f(x+h) - f(x))/h后向差分公式如下：bd'(x) = (f(x) - f(x-h))/h中心差分公式如下：cd'(x) = (f(x+h) - f(x-h))/(2h)其中h是一个小的非零常数，用于控制近似的精度。
4.数值积分公式：数值积分公式用于计算函数的定积分。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法则。
梯形法则可以表示为：T(f) = h/2 * [f(x0) + 2Σf(xi) + f(xn)]其中h是区间宽度，n是等分的子区间数，xi是区间的分点。
5.龙格-库塔法：龙格-库塔法是解常微分方程组的一种常用方法。
常见的龙格-库塔法有四阶和五阶，其中四阶龙格-库塔法可表示为：yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6其中：k1 = hf(xn, yn)k2 = hf(xn + h/2, yn + k1/2)k3 = hf(xn + h/2, yn + k2/2)k4 = hf(xn + h, yn + k3)以上只是数值分析中的一些重点公式，这些公式是解决各种数学和科学问题的基础。
复合辛普森公式计算
复合辛普森公式计算复合辛普森公式是数值分析中用于计算定积分近似值的一种重要方法。
对于咱们从小学到高中的学习阶段来说，可能接触得不多，但在大学的数学课程里，那可是个“常客”。
咱先来说说这个复合辛普森公式到底是咋回事。
简单来讲，它就是把一个积分区间分成好多小段，然后在每个小段上用二次函数去近似原来的函数，最后把这些小段的积分值加起来，就得到了整个区间的近似积分值。
比如说，有个函数 f(x) = x^2 + 3x + 2 ，要计算它在区间 [0, 5] 上的定积分。
咱就可以用复合辛普森公式来搞一搞。
那这个公式到底有啥用呢？我给您讲个事儿。
之前我有个学生，叫小李，特别喜欢钻研数学。
有一次，老师布置了一道用数值方法计算定积分的作业，别的同学都觉得太难，随便糊弄一下就交差了。
可小李不一样，他就盯上了这复合辛普森公式。
他先是认真地把教材翻了好几遍，把公式的原理和推导过程弄得明明白白。
然后呢，就开始动手算那道作业题。
算的过程中，一会儿抓耳挠腮，一会儿又眉开眼笑。
我在旁边观察着，心里挺好奇他到底能不能算出来。
只见他一会儿在纸上写满了密密麻麻的式子，一会儿又擦掉重新来过。
终于，经过几个小时的奋战，他算出了结果，而且和标准答案几乎一模一样！他那兴奋的劲儿啊，就别提了，感觉像是发现了新大陆。
从那以后，小李对数学的兴趣更浓了，成绩也越来越好。
这复合辛普森公式啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开数学世界里一些复杂问题的大门。
在实际应用中，比如在物理学中计算曲线下的面积，工程学中计算不规则图形的面积等等，都能派上用场。
要想熟练掌握复合辛普森公式，可得下一番功夫。
首先，得把公式记牢，这是基础。
然后，多做几道练习题，找找感觉。
总之，复合辛普森公式虽然有点复杂，但只要咱有耐心，有决心，就一定能把它拿下！希望同学们在学习数学的道路上，遇到像复合辛普森公式这样的难题时，不要害怕，勇敢地去探索，说不定会有意外的收获呢！。
Lagrange插值多项式和辛普森
Lagrange插值多项式和辛普森2013-2014学年第一学期计算机科学与技术班数值分析上机考试1.写出Lagrange插值多项式程序代码，并用该代码计算P48例1；3.写出复合Simpson数值求积公式，并用该代码计算p108例3；解：1．源代码：function [C,L]=lagran(x,y)w=length(x);n=w-1;L=zeros(w,w);for k=1:n+1V=1;for j=1:n+1if k~=jV=conv(V,poly(x(j)))/(x(k)-x(j));endendL(k,:)=V;endC=y*LP48：题目：当x=1，-1，2时，f（x）=0，-3，4，求f（x）的二次插值多项式；用拉格朗日插值基底。
运行清单：>> x=[1,-1,2];>> y=[0,-3,4];>> [C,L]=lagran(x,y)C =0.8333 1.5000 -2.3333L =-0.5000 0.5000 1.00000.1667 -0.5000 0.33330.3333 0 -0.3333根据运行结果可写出f（x）的二次插值多项式：f（x）=0.8333*x^2+1.5000*x-2.3333;3.源代码：function y=f(x)y=sin(x)./x;function S_n=S_P_S(a,b,n)h=(b-a)/n;for k=0:nx(k+1)=a+k*h;x_k(k+1)=x(k+1)+1/2*h;if (x(k+1)==0)|(x_k(k+1)==0)x(k+1)=10^(-10);x_k(k+1)=10^(-10);endendS_1=h/6*(f(x(1))+f(x(n+1)));for i=2:nF_1(i)=h/3*f(x(i));endfor j=1:nF_2(j)=2*h/3*f(x_k(j));endS_2=sum(F_1)+sum(F_2);S_n=S_1+S_2;P108题目：对于函数f（x）=sin（x）/x，给出n=8时的函数表，试用复合辛普森公式计算积分I= 1 )(sindxxx。
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高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式
解答：
1.拉格朗日插值函数：
function y=lagrange (a,b,x)
y=0;
if length(a)==length(b)
n=length(a);
else disp('ERROR!length(a)!=length(b)')
return;
end
for i=1:n
k=1;
for j=1:n
if j~=i
k=k.*(x-a(j))/(a(i)-a(j));
end
end
y=y+k*b(i);
end
2.问题（a）：
function Q_a
m=100;
n=10;
x=-1:2/n:1;
y=1./(1+9*x.^2);
x0=-1:2/m:1;
y0=lagrange(x,y,x0);
y1=1./(1+9*x0.^2);
plot(x0,y0,'--r');
hold on;
plot(x0,y1,'-b');
end
3.问题（b）：
function Q_b
m=100;
n=10;
x=zeros(1,n+1);
for i=1:n+1
x(i)=cos((2*i-1)*pi/(2*n+2)); end
y=1./(1+9*x.^2);
x0=-1:2/m:1;
y0=lagrange(x,y,x0);
y1=1./(1+9*x0.^2);
plot(x0,y0,'--r');
hold on;
plot(x0,y1,'-b');
end
4.问题（c）：
main.m（m文件）
figure(1)
Q_a()
figure(2)
Q_b()
syms x
y=1/(1+9*x^2);
I0=int(y,-1,1);%准确值
n=10;
x=-1:2/n:1;
y=1./(1+9*x.^2);
I1=trapz(x,y);%复合梯形
x0=zeros(1,n);
for i=1:n
x0(i)=(x(i)+x(i+1))/2;
end
y0=2/n*1./(1+9*x0.^2);
I2=I1/3+2*sum(y0)/3;%复合辛普森
x1=[-0.5384693101 0.5384693101 -0.9061798459 0.9061798459 0];
y1=1./(1+9*x1.^2);
A=[0.4786286705 0.4786286705 0.2369268851 0.2369268851 0.5688888889]; I3=y1*A'; %高斯
5总结：
(1).使用等距节点构造的高次拉格朗日插值多项式在正负1附件，插值值与真实值偏差非常大，存在较大的震荡。
(2).使用切比雪夫多项式插值节点构造的高次拉格朗日插值多项式，可以改善这种情况，提高插值精度。
(3).复合梯形求积公式和复合辛普森求积公式可以比较有效的求函数的积分，相同节点的复合辛普森求积公式要比复合梯形求积公式精度要高。
(4).高斯求积公式可以用较少的节点达到较高的精度。