广东省肇庆市2021届高中毕业班第一次统一检测数学试题
广东省肇庆市会城中学2021年高一数学理联考试题含解析
广东省肇庆市会城中学2021年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等差数列{a n}，，，则的值为（）A．15 B．17 C．22 D．64参考答案：A等差数列中，.2. 函数与函数的图像（）A. 关于原点对称B. 关于x轴对称C.关于y轴对称D. 关于直线y=x对称参考答案：D3. 直线在平面外是指（）A．直线与平面没有公共点B．直线与平面相交C．直线与平面平行D．直线与平面最多只有一个公共点参考答案：D4. 设a=（），b=（），c=（），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c参考答案：D【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】利用幂函数y=x，单调递增，指数函数y=（）x，单调递减，即可得出结论．【解答】解：考查幂函数y=x，单调递增，∵，∴a＞b，考查指数函数y=（）x，单调递减，∵，∴c＞a，故选D．【点评】本题考查幂函数、指数函数的单调性，考查学生的计算能力，比较基础．5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．2B．2C．4D．4参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为4的正方体中的四面体，画出图形，求出它最长的棱长即可．【解答】解：依据多面体的三视图，画出它的直观图，如图所示；在棱长为4的正方体中，四面体ABCD就是满足图中三视图的多面体，其中A、B点为所在棱的中点，所以，四面体ABCD最长的棱长为|AB|==4．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．6. 某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为( )A．B． C. D．参考答案：A7. 如图所示，阴影部分的面积是的函数．则该函数的图象是（）参考答案：A8. 设函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．3 C．D．参考答案：D【考点】函数的值．【分析】由条件求出f（3）=，结合函数解析式求出 f（f（3））=f（）=+1，计算求得结果．【解答】解：函数f（x）=，则f（3）=，∴f（f（3））=f（）=+1=，故选D．9. 如图的曲线是幂函数y=x n在第一象限内的图象．已知n分别取±2，四个值，与曲线c1、c2、c3、c4相应的n依次为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】幂函数图象及其与指数的关系．【分析】由题中条件：“n取±2，±四个值”，依据幂函数y=x n的性质，在第一象限内的图象特征可得．【解答】解：根据幂函数y=x n的性质，在第一象限内的图象，当n＞0时，n越大，递增速度越快，故曲线c1的n=2，曲线c2的n=，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n=，曲线c4的﹣2，故依次填2，，﹣，﹣2．故选A．10. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等参考答案：D【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由线面垂直证得两线垂直判断A；由线面平行的定义证得线面平行判断B；由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断C；由B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，可得△AEF的面积与△BEF的面积不相等判断D．【解答】解：对于A，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，故A正确；对于B，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，故B正确；对于C，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；对于D，由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D错误．∴错误命题是D．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下列命题中：①若，则的最大值为2；②当时，；③的最小值为5；④当且仅当a，b均为正数时，恒成立. 其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)参考答案：①②【分析】根据均值不等式依次判断每个选项的正误，得到答案.【详解】①若，则的最大值为，正确②当时，，时等号成立，正确③最小值为，取错误④当且仅当均为正数时，恒成立均为负数时也成立.故答案为①②【点睛】本题考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键.12. （5分）已知函数f（x）满足下面关系：（1）f（x+）=f（x﹣）；（2）当x∈（0，π]时，f（x）=﹣cosx，则下列说法中，正确说法的序号是（把你认为正确的序号都填上）①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）是奇函数；③函数f（x）的图象关于y轴对称；④方程f（x）=lg|x|解的个数是8．参考答案：①④考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用已知条件可得函数f（x）是正确为π的函数，先画出当x∈（0，π]时 f（x）=﹣cosx 的图象，进而据周期再画出定义域内的图象；根据偶函数的性质可画出函数f（x）=lg|x|，即可得出答案．解答：由f（x+）=f（x﹣）可知：f（x+π）=f=f=f（x），即函数f（x）是周期为π的周期函数，再根据条件：当x∈（0，π]时 f（x）=﹣cosx，画出图象：∵f（0）=f（π）=1≠0，∴函数f（x）不是奇函数；根据图象可知：函数f（x）的图象关于y轴不对称；方程f（x）=lg|x|的解的个数是8．综上可知：只有①④正确．故答案为：①④．点评：本题综合考查了函数的周期性、单调性及函数的交点，利用数形结合并据已知条件正确画出图象是解题的关键．13. 函数的定义域是▲．参考答案：14. 已知函数，给出下列命题：①的图象可以看作是由y=sin2x的图象向左平移个单位而得；②的图象可以看作是由y=sin(x+)的图象保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的而得；③函数y=||的最小正周期为；④ 函数y=||是偶函数．其中正确的结论是：．（写出你认为正确的所有结论的序号）参考答案：1.315. 对任意的，不等式恒成立，则实数x 的取值范围是__________．参考答案：[－4,5]，所以点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16. 已知全集中有m 个元素，中有n 个元素．若非空，则的元素个数为________________ 参考答案：略17. 给出下列关系：①； ②；③；④.其中正确的有 个参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省肇庆市怀集中学2021年高一数学理联考试题含解析
广东省肇庆市怀集中学2021年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】由题意得方程有三个不同的实数根，令，，然后画出函数的大致图象，由函数的图象以及余弦图象的对称轴求出的值，判断出的范围，即可求出的取值范围．【详解】由题意得方程有三个不同的实数根，令，，画出函数的大致图象，如图所示．由图象得，当时，方程恰好有三个根．令，得，当时，；当时，．不妨设，由题意得点关于直线对称，所以．又结合图象可得，所以，即的取值范围为．故选A．【点睛】解答本题的关键是借助函数的图象利用数形结合求解，解题时注意余弦型函数图象对称性的应用，转化为只判断零点所在的范围的问题求解，考查画图、用图以及转化思想的应用，属于基础题．2. 如果函数的图象经过点，那么可以是（）A． B． C． D．参考答案：D函数的图象经过点，则,代入选项可得选D.3. 在空间直角坐标系中，已知，，则（）A．B．2 C．D．参考答案：B4. 某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（）A．30 B．25C．20 D．15参考答案：C略5. 已知f(x)是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，则不等式f(x)cosx<0的解集是（）A．B．C．D．参考答案：B略6. 已知屏幕上三点满足，则的形状是（）A．等腰三角形 B．对边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形参考答案：A 7. 给出下列三个函数：①，②，③，其中在区间上递增的函数有：A．0个 B．1个 C．2 个 D．3个参考答案：C8. 圆关于直线对称的圆的方程为（）A．B．C. D．参考答案：A由题意得，圆心坐标为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以对称圆方程为．9. 双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.参考答案：C10. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某工厂（共有一、二、三车间）在12月份共生产3600个某种产品，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为__________.参考答案：1200略12. 若把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象关于原点对称，则的最小正值是参考答案：13. （3分）已知全集U=R，A={x|x≥2}，则?U A= ．参考答案：{x|x＜2}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：由全集U=R，以及A，求出A的补集即可．解答：∵全集U=R，A={x|x≥2}，∴?U A={x|x＜2}，故答案为：{x|x＜2}点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．14. .已知圆C1：与圆C2：相外切，则ab的最大值为_______.参考答案：【分析】根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab的最大值．【详解】由已知，圆C1：（x-a）2+（y+2）2=4的圆心为C1（a，-2），半径r1=2．圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1的圆心为C2（-b，-2），半径r2=1．∵圆C1：（x-a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，∴|C1C2|==r1+r2=3要使ab取得最大值，则a，b同号，不妨取a＞0，b＞0，则a+b=3，由基本不等式，得．故答案为．【点睛】本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题．15. .已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列四个论断中正确的是__________．（把你认为是正确论断的序号都写上）①若，则；②若，，，则满足条件的三角形共有两个；③若a，b，c成等差数列，sin A，sin B，sin C成等比数列，则△ABC为正三角形；④若，，△ABC的面积，则.参考答案：①③①由正弦定理可得，又，所以，正确。
广东省肇庆市2021届新高考数学第一次调研试卷含解析
广东省肇庆市2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,抛物线C 与圆22:(3)3C x y +-='交于M,N 两点,若||6MN =,则MNF V 的面积为( ) A ．28 B ．38 C ．328 D ．324【答案】B【解析】【分析】由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由3C M C N ''==，6MN =，得C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积．【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图，由于3C M C N ''==，6MN =，∴C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=， ∴点N 坐标为(3,3)，代入抛物线方程得2(3)23p =⨯，32p =， ∴3(,0)4F ，113332248FMN N S MF y ∆=⨯=⨯⨯=． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．2．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（ ）①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a <<A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】【分析】a ，b 可看成是y t =与()23=+x f x x 和()32x g x x =+交点的横坐标，画出图象，数形结合处理.【详解】令()23=+x f x x ，()32xg x x =+，作出图象如图，由()23=+x f x x ，()32xg x x =+的图象可知， ()()001f g ==，()()115f g ==，②正确；(,0)x ∈-∞，()()f x g x <，有0b a <<，①正确；(0,1)x ∈，())(f x g x >，有01a b <<<，③正确；(1,)x ∈+∞，()()f x g x <，有1b a <<，④正确.故选：D.本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.3．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-r r ，则（ ）A ．a r ∥b rB ．a r ⊥b rC ．a r ∥(a b -r r )D ．a r ⊥( a b -r r ) 【答案】D【解析】【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论.【详解】∵向量a =r （1，﹣2），b =r （3，﹣1），∴a r 和b r 的坐标对应不成比例，故a r 、b r 不平行，故排除A ； 显然，a r •b =r 3+2≠0，故a r 、b r不垂直，故排除B ； ∴a b -=r r （﹣2，﹣1），显然，a r 和a b -r r 的坐标对应不成比例，故a r 和a b -r r 不平行，故排除C ；∴a r •（a b -r r ）＝﹣2+2＝0，故 a r ⊥（a b -r r ），故D 正确，故选：D.【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.4．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．15【答案】A【解析】【分析】 根据题意可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数.输入的a ，b 分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数，按流程图计算320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,易得176和320的最大公约数为16，故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.5．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米B ．480米C ．520米D ．600米【答案】B【解析】【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002x x+=，解得()10021x =； 且满足2100y x =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米. 故选：B【点睛】 本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.6．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）AB C D 【答案】C【解析】【分析】设过点1F 作圆222x y b += 的切线的切点为T ，根据切线的性质可得1OT PF ⊥，且||OT a =，再由212PF PF =和双曲线的定义可得12||2,||4PF a PF a ==，得出T 为1F P 中点，则有2//OT PF ，得到21PF PF ⊥，即可求解.【详解】设过点1F 作圆222x y b += 的切线的切点为T ，11,||OT PF FT a ∴⊥== 2121212,2,4,2PF PF PF PF a PF a PF a =-===，所以T 是1F P 中点，212//,OT PF PF PF ∴∴⊥，22221212||||20||4PF PF a F F c ∴+===，225,c e a=∴=故选:C.【点睛】本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.7．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ） A ．724-B ．524-C ．524D ．724【答案】D【解析】【分析】进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果.【详解】 1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-， ()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈， 4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=， ()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯， 故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）A 213B ．413C ．277D ．47【答案】D【解析】【分析】设AF a '=，则2A F a ''=，小正六边形的边长为2A F a ''=，利用余弦定理可得大正六边形的边长为7AB a =，再利用面积之比可得结论.【详解】由题意，设AF a '=，则2A F a ''=，即小正六边形的边长为2A F a ''=，所以，3FF a '=，3AF F π'∠=，在AF F '∆中，由余弦定理得2222cos AF AF FF AF FF AF F '''''=+-⋅⋅∠，即()222323cos 3AF a a a a π=+-⋅⋅，解得AF =，所以，大正六边形的边长为AF =，所以，小正六边形的面积为21122222S a a a =⨯⨯+⨯=，大正六边形的面积为22122S =+=， 所以，此点取自小正六边形的概率1247S P S ==. 故选：D.【点睛】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 9．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）AB ．1 C．2 D ．12【答案】A【解析】【分析】 根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果.【详解】 由题可知：()()()22212221111i i i i i z i i i i --===++-- 由21i =-，所以1z i =+所以z ==故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ）【答案】C【解析】【分析】设出等差数列{}n a 的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得10a ．【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则313127339a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,4a d =-=，∴45n a n =-，即有10410535a =⨯-=． 故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前n 项和公式的应用，属于容易题． 11．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ） A．34+ B．34+ C．36+ D．36+ 【答案】A【解析】【分析】 所求211a b +-的分母特征，利用5a b +＝变形构造(1)4a b +-=，再等价变形121()[(1)]41a b a b ++--，利用基本不等式求最值.【详解】解：因为0,1a b >>满足5a b +＝， 则()21211()1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦-- ()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当()211b a a b -=-时取等号， 故选：A ．【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 12．下列命题为真命题的个数是（）（其中π，e为无理数）32>；②2ln3π<；③3ln3e<.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数()2ln,03f x x x=->，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到()()f f eπ>，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数()ln,0f x e x x x=->，利用导数求得函数的最大值为()0f e=，进而得到()30f<，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于①中，由239,() 2.2524e===，可得 2.25e>，根据不等式的性质，32>成立，所以是正确的；对于②中，设函数()2ln,03f x x x=->，则()10f xx'=>，所以函数为单调递增函数，因为eπ>，则()()f f eπ>又由()221ln10333f e e=-=-=>，所以()0fπ>，即2ln3π>，所以②不正确；对于③中，设函数()ln,0f x e x x x=->，则()1e e xf xx x-'=-=，当(0,)x e∈时，()0f x'>，函数()f x单调递增，当(,)x e∈+∞时，()0f x'<，函数()f x单调递减，所以当x e=时，函数取得最大值，最大值为()ln0f e e e e=-=，所以()3ln330f e=-<，即ln33e<，即3ln3e<，所以是正确的.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省肇庆市高中毕业班第一次统一检测数学(理)试题(扫描版)
数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题9．-2 10．1 11．240 12．[-2，3] 13． 14．1 三、解答题15．（本小题满分12分）证明：（1）小李这5天的平均投篮命中率为5.054.06.06.05.04.0=++++=y . （4分）（2）小李这5天打篮球的平均时间3554321=++++=x （小时） （5分）01.0210)1()2()1.0(21.011.000)1()1.0()2()())((ˆ22222121=+++-+--⨯+⨯+⨯+⨯-+-⨯-=---=∑∑==ni ini i ix xy y x xb（7分）47.0301.05.0ˆˆ=⨯-=-=x b y a（9分） 所以47.001.0ˆˆˆ+=+=x a x b y（10分） 当x =6时，，故预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53. （12分）16．（本小题满分12分）证明：（1）在∆PBC 中，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点，所以EF //BC . （1分） 又BC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以EF //平面ABC . （3分） （2）因为AB 是⊙O 的直径，所以BC ⊥AC . （4分） 在Rt ∆ABC 中，AB =2，AC =BC ，所以. （5分） 因为在∆PCB 中，，，，所以，所以BC ⊥PC . （6分）又PC ∩AC =C ，所以BC ⊥平面P AC . （7分） 由（1）知EF //BC ，所以EF ⊥平面P AC .（8分）PAB（3）解：由（2）知BC ⊥平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，所以P A ⊥BC . （9分） 因为在∆P AC 中，，，，所以，所以P A ⊥AC . （10分） 又AC ∩BC =C ，所以P A ⊥平面ABC .所以∠PCA 为PC 与平面ABC 所成角. （11分） 在Rt P AC 中，3tan ==∠ACPAPAC ，所以∠PCA =，即PC 与平面ABC 所成角的大小为. （12分）17．（本小题满分14分）解：（1）依据日销售量的频率分布直方图可得众数为. （3分）（2）记事件A 1：“日销售量不低于100个”， 事件A 2：“日销售量低于50个”，事件B ：“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”. 则6.050)002.0004.0006.0()(1=⨯++=A P ， （4分）15.050003.0)(2=⨯=A P ， （5分）108.0215.06.06.0)(=⨯⨯⨯=B P . （7分）（3）X 的可能取值为0，1，2，3.064.0)6.01()0(303=-==C X P ， （8分） 288.0)6.01(6.0)1(213=-⨯⨯==C X P ， （9分）432.0)6.01(6.0)2(223=-⨯⨯==C X P ， （10分）216.06.0)3(333=⨯==C X P ， （11分）分布列为X 0 1 2 3 P0.0640.2880.4320.216因为X ~B （3，0.6），所以期望， （12分）方差72.0)6.01(6.03)(=-⨯⨯=X D . （14分） 18．（本小题满分14分）解：设每周生产空调器x 台、彩电y 台，则生产冰箱台，产值为z 千元， 则依题意得2402)120(234++=--++=y x y x y x z ， （4分）且x ，y 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥--≤--++.0,0,20120,40)120(413121y x y x y x y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,100,1203y x y x y x（8分）可行域如图所示. （10分） 解方程组得即M （10，90）.（11分） 让目标函数表示的直线在可行域上平移， 可得在M （10，90）处取得最大值，且35024090102max =++⨯=z （千元）. （13分）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元. （14分）19．（本小题满分14分） （1）证明：因为，， ，所以. （1分） 因为，，，所以. （2分） 又，，，所以1//ADA BCE 平面平面. （3分）又EC BCE DCE A =平面平面 1，D A AD A DCE A 111=平面平面 ， 所以EC //. （4分） （2）解：因为，BC //AD ，AD =2BC ，所以23121===∆∆ABCD ACD ABC S S S 梯形. （6分） 所以38243131111=⨯⨯===∆--ABC ABC A AB A C AS A V V . （8分）（3）解法一：如图，在中，作于F ，连接. （9因为⊥底面ABCD ，， 所以. 又，所以.又，所以. （10分） 所以为二面角的平面角. （11分） 由（2）得432==∆ABCD ACD S S 梯形，所以. （12分） 所以， （13分） 所以，即二面角的大小为. （14分）解法二：如图，以D 为坐标原点，分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系. （9分）设，BC =a ，则AD =2a . 因为6sin 222=⋅+=θaa S ABCD 梯形，所以.（10分） 所以，，所以)0,sin 2,cos 2(θθ=DC ，. （11分） 设平面的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0sin 2cos 204sin 41θθθy x x DA ，得，所以.（12分）又平面ABCD 的一个法向量， （13分） 所以22||||,cos =>=<m n m n ，所以二面角的大小为. （14分） 20．（本小题满分14分）解：（1）令，解得，. （1分） ①当时，解原不等式，得，即其解集为；（2分） ②当时，解原不等式，得无解，即其解集为φ ； （3分） ③当时，解原不等式，得，即其解集为.（4分） （2）依06)1(322>++-a x a x （*），令06)1(322=++-a x a x （**），可得)3)(13(348)1(92--=-+=∆a a a a . （5分）①当时，，此时方程（**）无解，解不等式（*），得，故原不等式组的解集为； （6分）②当时，， 此时方程（**）有两个相等的实根，解不等式（*），得，故原不等式组的解集为； （7分）③当时，，此时方程（**）有两个不等的实根4)3)(13(3333---+=a a a x ，4)3)(13(3334--++=a a a x ，且，解不等式（*），得或.（8分）1431334)248()31(334)3)(13(33324=-++>-+-++=--++=a a a a a a a a x ，（9分）14334)3)(13(3333<+<---+=aa a a x ， （10分）且a a a a a a a a a x 24)53(33416)53(334)3)(13(333223=--+≥---+=---+=，（11分） 所以当，可得；又当，可得，故，（12分） 所以ⅰ）当时，原不等式组的解集为}4)3)(13(3330|{---+<≤a a a x x ；（13分） ⅱ）当时，原不等式组的解集为φ . （14分） 综上，当时，原不等式组的解集为φ ；当时，原不等式组的解集为}4)3)(13(3330|{---+<≤a a a x x ；当时，原不等式组的解集为；当时，原不等式组的解集为.。
广东省肇庆市2022届高三上学期第一次统一检测数学试题
一、单选题二、多选题1. 平面向量与的夹角为，，，则（ ）A．B．C．D．2. 若，则的虚部为（ ）A．B．C．D．3. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．4. 命题“”的否定是A．B．C．D．5. 设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（ ）A．B．C．D．6. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 已知定义在R 上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( )A．B．C．D．8.复数的实部和虚部分别为，，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49. 已知函数，，则（ ）A．B．在区间上只有1个零点C ．的最小正周期为D ．为图象的一条对称轴10.要得到函数的图象，可将函数的图象（ ）A ．向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍B ．向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的C．纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度D ．纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度广东省肇庆市2022届高三上学期第一次统一检测数学试题广东省肇庆市2022届高三上学期第一次统一检测数学试题三、填空题四、解答题11. 18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（ ）A ．若，则或B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+i C ．若点的坐标为，则对应的点在第三象限D ．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A．是周期函数B ．是奇函数C．的图象关于直线对称D ．在处取得最大值13. 已知向量、，若，，向量在方向上的投影数量的取值范围为____________．14. 在的展开式中，含项的系数为______（结果用数字表示）．15. 盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取2个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后再放回，此时盒中黑球的个数为，则___________，___________．16. 已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若对，恒成立．求实数的取值范围．17. 红铃虫（Pectinophora gossypiella ）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y （个）和温度x （℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.根据收集到的数据，计算得到如下值：252.8964616842268848.4870308表中；；；；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y 的预报值.（参考数据：，，，）附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合．（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过点F作互相垂直的直线，，设与抛物线的交点为A，B，与抛物线的交点为D，E，求的最小值．19. 在平面直角坐标系xOy中，点P到点的距离比到y轴的距离大l，记点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点F且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，交曲线C于M、N两点，若为定值，则实数应满足什么关系？20. 已知函数．(1)若函数在区间上存在极值，求正实数的取值范围；(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．21. 过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线.(1)求抛物线的标准方程；(2)设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为.（i）求直线的斜率；（ii）设面积为，求的最大值.。
2024-2025学年广东省肇庆市高三(上)第一次模拟数学试卷(含答案)
2024-2025学年广东省肇庆市高三（上）第一次模拟数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.log 318−log 32=( )A. 4B. 2log 32C. log 32D. 22.已知集合A ={x ∈N|(x−1)(x−4)≤0}，B ={x|0<x <3}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. (1,3)C. {2,3}D. [1,3)3.曲线y =x(x 2−1)在x =1处的切线方程为( )A. x =1B. y =1C. y =2x +1D. y =2x−24.已知函数f(x)={lnx,x ≥1e x +1,x <1，则不等式f(x)>1的解集为( )A. (−1,+∞)B. (−1,3)C. (1,+∞)D. (−1,1)∪(e,+∞)5.已知复数z 1，z 2，则“z 1=z 2”是“|z 1+i|=|z 2+i|”的( )A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知定义在R 上的函数g(x)=e x −e −x +f(x)，其中g(x)是奇函数且在R 上单调递减，f(log 12x)<f(2)的解集为( )A. (−∞,14)B. (0,14)C. (14,+∞)D. (4,+∞)7.已知cos (x +π4)=35，5π12<x <7π4，则sinx +cosx cosx−sinx =( )A. −43B. −43或43C. −34D. −34或348.在△ABC 中，cosC +cosB(cosA−sinA)=0且BC =2，若BM =BC +xBA(x ∈R)，则BM 的最小值为( )A. 22 B. 1 C. 2 D. 2二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设正实数m ，n 满足m >n ，且m +2n =4，则下列说法正确的是( )A. |m−4|+2|n−4|=8B. n +2m +2<nm C. mn 的最大值为2 D. m 2+n 2的最小值是410.将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是( )A. 37B. 58C. 67D. 7911.已知f(x)=2cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)在(π12,5π12)上是单调函数，对于任意的x ∈R 满足f(x +π6)=−f(π6−x)，且f(x)≥f(5π12)，则下列说法正确的是( )A. φ=π3B. 若函数y =f(λx)(λ>0)在[0,π]上单调递减，则λ∈(0,512]C. 若f(x 1)−f(x 2)=4，则|x 1−x 2|的最小值为π2D. 若函数f(x)在(π2,a)上存在两个极值点，则17π12<a ≤23π12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
广东省肇庆市2022届高三上学期第一次统一检测数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 已知命题，“为真”是“为假”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 已知，则满足（ ）A．B．C．D．3. 现在需要制作一个长和宽分别为和的矩形大裱框，要求其长和宽使用不同的材质，长和宽材质的单价分别为元和元，在总制作费用不超过元的条件下，可裱框相片的最大面积为（ ）A．B．C．D．4. 已知抛物线：的焦点为，定点，若射线与抛物线交于点，与抛物线的准线交于点，则的值是A．B．C．D．5. 下列命题是真命题的是（ ）A ．若平面，，，满足，，则；B ．命题：，，则：，；C ．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；D ．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.6. 已知i 为虚数单位，复数z 满足：z (1-i)=4-3i ，则z =（ ）A．B．C．D．7. 若函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）A．B．C．D．8. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）A．B．C．D．9. 已知复数，，则下列结论正确的有（ ）A．B．C．D．10. 已知函数，则（ ）A ．是偶函数B ．的最小正周期为C ．在上为增函数D．的最大值为11. 若双曲线的实轴长为4，离心率为，则下列结论中正确的是（ ）A ．双曲线的虚轴长为B．双曲线的渐近线方程为C．双曲线的渐近线与抛物线相切D ．双曲线的渐近线被圆所截得的弦长为12.若，x ，y ，．，则以下说法正确的有（ ）广东省肇庆市2022届高三上学期第一次统一检测数学试题(高频考点版)广东省肇庆市2022届高三上学期第一次统一检测数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A ．的最大值为B ．的最大值为C ．的最大值为0D ．恒小于013.若函数，则的解集为___________.14. 17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何．我们知道，方程在一维空间中，表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线，那么在三维空间中，它表示______，过点且法向量为的平面的方程是______．15. 已知，，若，则的取值范围是_______．16. 已知为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于，两点，.(1)求抛物线的方程；(2)已知圆以为圆心，1为半径，过作圆的两条切线，与轴分别交于点，且，位于轴两侧，求面积的最小值.17. 已知函数.(1)求的单调区间；(2)若，且，证明：.18. 已知，数列的首项，（）（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求使的最小正整数.19.如图，矩形和菱形所在平面互相垂直，已知，点是线段的中点.（1）求证：；（2）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由.20. 已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间（Ⅱ）若在上有且仅有一个极小值点，求的取值范围.21.设，，.(1)求函数，的单调区间和极值；(2)若关于x 不等式在区间上恒成立，求实数a 的值；(3)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，（），求证：成等比数列.。
肇庆市21届高中毕业班第一次统一检测各校平均分
地理 78.28 68.96 67.77 64.44 67.01 72.17 69.05
68 65 73.95 71.96 64.11 56.89 0 0 62 74.02 61.5 55.71 75.23 75.87 73 0 71.12 86 57.31 66.5 73.55 62.87 0 76.49 75.31 59.71 59.44 0 68.7 75.52 73.54 79.69 83.2 71.91
75 58.67 77.48 71.32 61.39 72.4 74.61 75.56 58.29
0 73.68 64.57 76.49 78.71 80.08 82.6 72.18
政治 77.74
政治 79.76 73.88 59.9
59 63.09 72.64 65.32
68 59 74.91 70.12 58.08 59.26 0 56.5 0 71.07 61.22 58.33 83 72.47 0 0 71.02 75.05 0 0 69.82 61.03 0 75.78 73.52 0 58.9 0 63.88 74.39 64.5 78.07 80.01 70.36
总分 494.36 386.07 393.82 325.53 425.05 423.59 381.41 262.76 379.94 439.3 433.68 326.93 284.55 377.25 418.42 438.79 434.85 302.17 277.28 437.03 436.56 285.2 465.76 419.38 431.4 235.92 472.05 431.84 323.66 430.51 447.52 441.66 271.84 297.18 433.29 352.5 469.92 474.96 504.91 553.17 422.54
广东省肇庆市2021-2021学年高一上学期期末数学试题
绝密★启用前肇庆市2020—2021学年第学期末高一年级教学质量检测数学2021.1注意事项：1．本试卷共4页，22题．全卷满分150分，考试用时120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{310},{1}A x x B x x =-<<=>||，则A B ⋂=（ ） A ．(3,1)- B ．(1,10) C ．(3,10)- D ．(1,3)- 2．tan210sin300︒+︒=（ ） A．6-B．6 C．6 D．6- 3．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号（Chang'e5）探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，在11月28日20时58分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，11月29日20时23分，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转2π弧度，飞过的长度约为( 3.14)π≈（ ） A ．1069千米 B ．6713.32千米 C ．628千米 D ．3356.66千米 4．已知1221515,log ,log 25a b c -===，则这三个数的大小顺序为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>5．“x y <”是“1122log log x y >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知点(1,2)P -是角α终边上一点，则sin cos αα+=（ ）A B C ． D ．-7．sigmoid 函数()()1g t Kf t e=+是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型．某研究所根据试验数据建立了一种病毒的sigmoid 函数模型0.2(63)()1t K f t e--=+，当()*0.9f tK =时，病毒增长达到最大，则*t 约为(ln9 2.2)≈（ ） A ．90 B ．83 C ．74 D ．638．已知,αβ均为锐角，2cos )23ααβ=+=-，则sin β=（ ）A ．6 B ．6或6 C ．6 D ．26-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列函数为奇函数的是（ ）A ．()x x x xe ef x e e---=+ B ．(()ln f x x =C ．11()212xf x =+- D ．()f x =10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0,0||2A πωϕ>><<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象可以由2sin 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向右平移6π个单位长度得到 B ．函数()f x 的图象可以由2sin 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向右平移12π个单位长度得到 C ．函数()f x 的图象可以由2sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到 D ．函数()f x 的图象可以由2sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象纵标不变横坐标变为原来的12得到 11．下列不等式中一定成立的是（ ） A ．sin470sin115︒>︒ B ．1617coscos 78ππ> C ．cos226sin224︒>︒ D ．tan1600tan1415︒>︒ 12．下列说法中正确的是（ ） A ．函数2()ln(1)f x x x=+-只有一个零点，且该零点在区间(0,1)上 B ．若()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)(1)f x f x -=+，且当(1,0)x ∈-时，22()log f x x =，则322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．已知()f x 的定义域为R ，且(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，则(7)f x +一定是奇函数D ．实数(1,0)a ∈-是命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题的充分不必要条件三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()tan2xf x =的最小正周期为___________．14．求值：tan 72tan 4872tan 48︒+︒-︒︒=_________．15．已知2a b +=，且,,a b a b +∈>R ，则112a b b+-的最小值为________． 16．已知函数22log (1),13,()817,3,x x f x x x x +-<⎧=⎨-+>⎩若函数()y f x t =+有四个不同的零点1234,,,x x x x ，则实数t 的取值范围是____________，设1234x x x x <<<，则()341211x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭______．（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 已知全集U=R ，集合{}|1264x A x =，{|211}B x m x m =-<<+．（1）当1m =-时，求()UA B ⋃；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）小明有100万元的闲置资金，计划进行投资．现有两种投资方案可供选择，这两种方案的回报如下： 方案一：每月回报投资额的2%；方案二：第一个月回报投资额的0.25%，以后每月的回报比前一个月翻一番． 小明计划投资6个月．（1）分别写出两种方案中，第x 月与第x 月所得回报y （万元）的函数关系式； （2）小明选择哪种方案总收益最多？请说明理由． 19．（本小题满分12分）已知函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f =．（1）若()0f x <的解集为{|28}x x <<，求函数()f x y x=的值域； （2）当0a >时，解不等式()0f x <． 20．（本小题满分12分）已知函数()cos sin )0)2f x x x x ωωωω=+->，且()f x 的最小正周期为π．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若2()f x ，求x 的取值范围． 21．（本小题满分12分） 已知函数()xxf x e ae -=+是偶函数，其中e 是自然对数的底数．（1）求a 的值；（2）若关于x 的不等式()10xf x me m -+--在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分12分）广东省清远市美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮，该摩天轮直径为84米，摩天轮的最高点距地面101米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t 分钟，若小明从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小明登上摩天轮的时刻开始计时．（1）求小明与地面的距离y （米）与时间x （分钟）的函数关系式；（2）在摩天轮转动一圈过程中，小明的高度在距地面80米以上的时间不少于5分钟，求t 的最小值．肇庆市2020-2021学年第一学期末髙一年级教学质量检测数学参考答案及评分标准2021.1一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．B2．A 解析：()()tan 210sin 300tan 18030sin 36060tan 30sin 6032︒+︒=︒+︒+︒-︒=︒-︒=-=6-，故选A ．3．D 解析：由弧长公式，得(4001738)3356.662l π=+≈（千米），故选D ．4．B解析：1222155150,log log 52,log 2log 2155a b c -==>==-<-==->-且5log 20-<，故a c b >>，故选B ．5．B 解析：若0x y <<，则1122log log x y >不成立，故不具有充分性，因为12log y x =单调递减，所以x y <，故有必要性，故选B ．6．D 解析：因为点(1,2)P -是角α终边上一点，所以sin 55αα-==，所以sin cos αα+=D ． 7．C 解析：由()()**0.2630.91t K f tK e--==+，得()*0.26310.91t e--=+，故()*0.26319t e--=，即()*0.263ln9 2.2t --=-≈-，所以*7t =，故选C ．8．A解析：由2cos )3ααβ=+=-，得sin )ααβ=+=，所以2sin sin[()]sin()cos cos()sin 3βαβααβααβα⎛⎫=+-=+-+=--= ⎪⎝⎭．故选A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．ABC 解析：对于A 选项，()()x xxxe ef x f x e e----==-+，故A 是奇函数； 对于B选项，(()ln f x x -=-+，((()()ln ln 0f x f x x x -+=-+++=，故B 是奇函数；对于C 选项，1121()212122x x x f x --=+=+--，2111()()0122212x x xf x f x -+=+++=--，故C 是奇函数；对于D 选项，10111xx x-⇒-<+，定义域不关于原点对称，故D 不是奇函数，故选ABC ．10．BD 解析：由图象可得，函数()2sin 22sin 2612f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以BD 正确．故选BD ．11．AD 解析：sin470sin110sin115︒=︒>︒，故A 正确； 因为16217coscos ,cos cos 7788ππππ==，又78ππ>，所以2cos cos 78ππ<，故B 错误； 因为()()cos226cos 18046cos46cos 9044sin44︒=︒+︒=-︒=-︒-︒=-︒， 又()sin224sin 18044sin44︒=︒+︒=-︒， 故cos226sin224︒=︒，所以C 错误；因为()()tan1600tan 4360160tan160tan 18020tan20︒=⨯︒+︒=︒=︒-︒=-︒，()tan1415tan 436025tan25︒=⨯︒-︒=-︒，又tan25tan20︒>︒，所以tan25tan20-︒<-︒，故D 正确，故选AD ． 12．BCD 解析：函数2()ln(1)f x x x=+-单调递增，又(1)ln220,(2)ln310f f =-<=->， 所以该零点在区间(1,2)上，故A 错误；由(1)(1)f x f x -=+得，1113112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(1,0)x ∈-时，22()log f x x =，所以211log 224f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，故11222f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确； 由(1)f x -为奇函数，得(1)(1)()(2)f x f x f x f x -=---⇒=---，由(1)f x +为偶函数，得(1)(1)()(2)f x f x f x f x +=-+⇒=-+，所以(2)(2)()(4)f x f x f x f x ---=-+⇒-=+()(8)f x f x ⇒=+，所以函数()f x 的周期为8，故(1)(7)f x f x -=+，所以(7)f x +一定是奇函数，故C 正确；命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题，则“2,210x ax ax ∀∈+-<R ”为真命题，当0a =时，“,10x ∀∈-<R ”为真命题，当0a >时，“2,210x ax ax ∀∈+-<R ”为假命题，当0a <时，10a -<<时，2(2)40a a ∆=+<，这时“2,210x ax ax ∀∈+-<R ”为真命题，1a -时，2(2)40a a ∆=+，这时“2,210x ax ax ∀∈+-<R ”为假命题，故实数(1,0)a ∈-是命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题的充分不必要条件，故D 正确．故选BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2π 解析：212T ππ==．14．解析：因为()tan72tan 48tan120tan 72481tan72tan 48︒+︒=︒=︒+︒=-︒︒，所以tan 72tan 4872tan 48︒+︒=︒︒．故tan 72tan 4872tan 48︒+︒-︒︒= 15．2 解析：由2a b +=，得2a b =-， 所以111111(222)1222112222222222222b b b b a b b b b b b b b -+-⎛⎫⎛⎫+=+=+=+++ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 且仅当222222b b b b -=-，即13,22b a ==时等号成立．16．(2,1)8--- 解析：()y f x t =+有四个不同的零点1234,,,x x x x ，即方程()f x t =-有四个不同的解，函数()f x 的图象如下图．由图可知21t -<<-，由二次函数的对称性，可得348x x +=，又()()()()2122212log 1log 1log 110x x x x -+=+⇔++=，即()()12111x x ++=，得12120x x x x ++=，所以12111x x +=-，故()3412118x x x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭． 四、解答题：本题共6小题，共70分．17．（10分）解：（1）当1m =-时，B {|30}B x x =-<<． 1分 又∵{|06}A x x =， 3分 ∴{|36}A B x x ⋃=-<， 4分 ∴(){|3UA B x x ⋃=-或6}x >． 5分（2）当B =∅时，211m m -+，即2m ，这时B A ⊆． 7分当B ≠∅时，有211,021,16,m m m m -<+⎧⎪-⎨⎪+⎩解得122m <． 9分 综上，m 的取值范围为1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭． 10分 18．（12分）解：（1）设第x 月所得回报为y 万元，则方案一可以用1002%2y =⨯=（x *∈N 且6x ）描述； 2分方案二可以用11000.25%2x y -=⨯⨯（x *∈N 且6x ）描述． 4分（2）两个方案每月的回报额列表如下：7分若选择方案一，则总回报为2612⨯=（万元）， 9分若选择方案二，则总回报为0.250.5124815.75+++++=（万元）． 11分 故选择方案二总收益最多． 12分 19．（12分）解：由题意可得，(0)2f c ==， 1分（1）因为()0f x <的解集为{|28}x x <<，所以228c a a ⨯==，所以18a =， 2分 故()12584f x y x x x ==+-． 3分 当0x >时，1251251284844x x x x +-⨯=-，当且仅当4x =时等号成立； 4分 当0x <时，12512515928484844x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛+-=--+-----=- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎣⎦，当且仅当4x =-时等号成立． 5分 故函数()f x y x =的值域城为91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 6分（2）2()(21)2(1)(2)f x ax a x ax x =-++=--． 当0a >时，分三种情况讨论： ①当12a <，即12a >时，1()02f x x a <⇒<<； 8分 ②当12a =，即12a =时，无解； 9分 当12a >，即102a <<时，1()02f x x a<⇒<<． 10分 综上所述，当12a >时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当12a =时，不等式()0f x <的解集为∅；当102a <<时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 12分20．（12分）解：2()cos sin )sin cos 22f x x x x x x x ωωωωωω=+-=+- 1分1cos2sin 2222xxωω+=+- 2分1cos2sin 2sin 2223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． 3分又函数()f x 的最小正周期为x ，所以22ππω=，故1ω=， 4分 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 5分（1）由题意，得3222,232k x k k πππππ+++∈Z ， 6分解得7,1212k x k k ππππ++∈Z ， 7分所以()f x 的单调递减区间是7,()1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ． 8分（2）因为2()sin 232f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以39222()434k x k k πππππ+++∈Z ， 10分解得523()2424k x k k ππππ++∈Z ， 11分所以523,()2424x k k k ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ． 12分21．（12分）解：（1）∵函数()x x f x e ae -=+是偶函数，∴()()f x f x -=，即x x x x e ae e ae --+=+，∴1a =． 2分（2）由题意，知10x x x e e me m --++--在(0,)+∞上恒成立， 4分则()11x x x e e m e --+--，即()211x x x m e e e --+， 6分 ∴211xx x e e n e -+-． 8分令1(0)x e t t -=>，则1x e t =+．∴22(1)(1)1111t t t t m t t t t +-++++==++． 10分∴3m ． 12分22．（12分）解：（1）如图，以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x 轴建立直角坐标系．由题意可设sin()(0,0,0)y A x b A b ωϕω=++>>∵摩天轮的最高点距地面101m ，最低点距地面1018417(m)-=， 1分∴101,17,A b A b +=⎧⎨-+=⎩解得42,59A b==． 3分又函数周期为t ，∴2t πω=，∴242sin 59(0)y x x t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 4分又0x =时，17y =， 5分∴21742sin059tπϕ⎛⎫=⨯++⎪⎝⎭，即sin1,ϕϕ=-可取2π-，6分∴2242sin5942cos592y x xt tπππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（0x，t为参数）．7分（2）依题意，可知242cos5980y xtπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，8分即21cos2xtπ⎛⎫-⎪⎝⎭，9分不妨取第一圈，可得2242,3333t tx xtπππ，11分∴持续时间为2533t t-，即15t，∴t的最小值为15．12分。
2021年中考数学试题及解析：广东肇庆-解析版
广东省肇庆市2021年中考数学试卷一、选择题(本大题共l0小题，每小题3分，共30分)1、(2021•肇庆)的倒数是()A、2B、﹣2C、﹣D、考点:倒数。
专题:计算题。
分析:根据倒数的定义即可解答．解答:解:的倒数是2．故选A．点评:本题主要考查了倒数的定义，正确理解定义是解题的关键．2、(2021•肇庆)我国第六欢人口普查的结果表明，目前肇庆市的人口约为4050000人，这个数用科学记教法表示为()A、405×104B、40.5×105C、4.05×106D、4.05×107考点:科学记数法—表示较大的数。
分析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答:解:4 050 000=4.05×106，故选:C．点评:此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3、(2021•肇庆)如图是一个几何体的实物图，则其主视图是()A、B、C、D、考点:简单组合体的三视图。
分析:找到从正面看所得到的图形即可．解答:解:从正面看可得到一个矩形和一个下底和矩形相邻的梯形的组合图，故选C．点评:本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4、(2021•肇庆)方程组的解是()A、B、C、D、考点:解二元一次方程组。
专题:计算题。
分析:此题运用加减消元法解方程组，由①+②先求出x，再代入求出y．解答:解:，①+②得:3x=6，x=2，把x=2代入①得:y=0，∴，故选:D．点评:此题考查的知识点是接二元一次方程组，关键是先用加减消元法求出x．5、(2021•肇庆)如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=()A、7B、7.5C、8D、8.5考点:平行线分线段成比例。
广东省肇庆市2021-2022学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷(含解析)
2021-2022学年广东省肇庆市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合，集合，则A. B. C. D.2.命题“，”的否定是A.， B. ，C.， D. ，3.下列函数中．是奇函数的为A. B. C. D.4.函数的定义域为A. B. C. D.5.已知，则A. B. C. D.6.设，，则B. C. D.A.7.函数在区间上的简图是A. B.C. D.8.水车如图是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械．根据文献记载，水车大约出现于东汉时期．水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证．图是一个水车的示意图，它的半径为，其中心即圆心距水面如果水车每逆时针转圈，在水车轮边缘上取一点，我们知道在水车匀速转动时，点距水面的高度单位：是一个变量，它是关于时间单位：的函数．为了方便，不妨从点位于水车与水面交点时开始计时，则我们可以建立函数关系式其中，，来反映随变化的周期规律．下面说法中正确的是A. 函数的最小正周期为B.C.当时，水车点离水面最高D.当时，水车点距水面二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列说法中正确的有A. “”是“”的必要条件B. “”是“”的充分不必要条件C. “或”是“”的充要条件D. “”是“”的必要不充分条件10.已知，则下列命题正确的有A.B. C. D.11.已知函数，则下列结论中正确的有A. 的最小正周期为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于点对称D. 把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象12.设，，则下列说法中正确的有A.B. C. D.三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算：______．14.已知函数，则______．15.若函数在区间上有零点，则实数的取值范围______．16.已知函数为奇函数，为偶函数，当时，，则______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知角的终边经过点．求的值；求的值．18.已知集合，．若，求；是否存在实数，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．19.已知函数．求函数的单调递增区间；当时，求函数的值域．20.已知函数为定义在上的奇函数．若当时，，求在上的解析式；若在上单调递增，，且，求实数的取值范围．．21.年月日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时，他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山．”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向，某新能源公司投资万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．设到第且年年底，该项目的纯利润纯利润累计收入累计维修保养费一投资成本为万元．已知到第年年底，该项目的纯利润为万元．求实数的值，并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到万元；到第几年年底，该项目年平均利润平均利润纯利润年数最大？并求出最大值． 22. 已知函数为上的奇函数，且．若不等式有解，求实数的取值范围；若对于，，使得成立，求实数的取值范围．答案和解析1.【答案】【解析】解：集合，集合，，故选：．利用交集的定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，”，故选：．根据含有量词的命题的否定方法，即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．3.【答案】【解析】解：，为非奇非偶函数，为偶函数，为奇函数，故选：．根据函数奇偶性的定义和性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性的判断，利用奇函数的性质和定义是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】【解析】解：由题意，得，解得，所以的定义域为故选：．根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，再求出解集即可．本题考查了求函数定义域及其求法，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，属于基础题．5.【答案】【解析】解：，故选：．由题意，利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，可得结果．本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．6.【答案】【解析】解：，，，，故选：．根据条件，得到，再由完全平方和公式求出的值．本题考查对数的运算，考查指数式和对数式的互化、完全平方和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】【解析】解：因为，，所以排除；由，，得，，所以可知函数在上单调递增．在上单调递减，所以排除．故选：．根据三角函数的性质判断各个选项即可得到结论．本题主要考查三角函数图象的判断，根据三角函数的单调性是解决本题的关键．8.【答案】【解析】解：由题意可知最大值为，最小值为，，；，，，，，，，，，故选：．利用题中的条件，最大值为，最小值为，即可解出，的值，周期为，即可解出，即可做出判断．本题考查了函数模型的实际应用，三角函数，学生的数学运算能力，属于基础题．9.【答案】【解析】解：对于：“”是“”的充分条件，故A错误；对于：或，即“”是“”充分不必要条件，故B正确；对于：“或”是“”的充要条件，故C正确；对于：“”是“”既不充分又不必要条件，例如，，，但，反之当，时，但，故D错误，故选：．根据充分必要条件之间的关系逐一进行判断即可．本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了不等式的性质．属于基础题．10.【答案】【解析】解：对于，，，故A正确，对于，令，则，故B错误，对于，函数在上单调递增，又，，故C正确，对于，函数在上单调递增，又，，故D错误．故选：．根据已知条件，结合特殊值法，以及函数的单调性，即可求解．本题主要考查不等式的性质，掌握特殊值法和函数的单调性是解本题的关键，属于基础题．11.【答案】【解析】解：对于：函数的最小正周期为，故A正确；对于：当时，，故B正确；对于：当时，，故C错误；对于：函数的图象上所有点向左平移个单位长度，的图象，故D正确．故选：．直接利用余弦函数的性质的应用和函数的关系式的变换及函数的图象的平移变换的应用判断、、、的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数的图象和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：，故A正确；，，，，故B错误；对于，，，，故C正确；对于，，，，故D正确．故选：．利用对数性质、运算法则推导出，，由此能求出结果．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】【解析】解：，故答案为：．由题意，利用利用诱导公式求函数的值．本题主要考查利用诱导公式求函数的值，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由，得，所以，故答案为：．由题意，根据函数的解析式，直接求函数的值即可．本题主要考查分段函数的应用，求函数的值，属于基础题．15.【答案】【解析】解：因为函数在区间上为增函数，所以若函数在区间上有零点，则，，所以，，所以．故答案为：．判断函数的单调性，结合函数的零点，列出不等式求解的范围即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力，是基础题．16.【答案】【解析】解：由的图象关于原点对称，得的图象关于点对称．由的图象关于轴对称，得的图象关于直线对称，的周期为，．故答案为：．根据函数的奇偶性和对称性，求出函数的周期，利用周期性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性求出函数的周期是解决本题的关键，是中档题．17.【答案】解：．．【解析】根据三角函数的定义，即可求解．根据已知条件，结合弦化切的方法，即可求解．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．18.【答案】解：，或．又当时，，，．当时，，．当时，，．由，可得．存在，使得成立．【解析】由已知结合补集及交集运算性质，即可求解；结合，对进行分类讨论，即可求解．本题主要考查了交、并、补集的混合运算及包含关系的应用，体现了分类讨论思想，属于基础题．19.【答案】解：对于函数，令，求得．的单调递增区间为．当时，，，当时，函数的值域为．【解析】由题意利用正弦函数的单调性，得出结论．由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得结果．本题主要考查正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．20.【答案】解：当时，，当时，，则，，为奇函数，，，为偶函数，且在上为增函数，，，的取值范围为．【解析】结合奇函数性质可求，然后设时，，结合已知奇函数部分区间函数解析式可求；由已知先判断的奇偶性和单调性，结合奇偶性及单调性即可求解不等式．本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数解析式，还考查了奇偶性及单调性在求解不等式中的应用，属于中档题．21.【答案】解：由题意可知，，，．，，，或；答：该项目到第年年底纯利润第一次能达到万元；年平均利润为：，当且仅当，即时取等号，又因为为正整数，所以当时，取得最大值为．故当时年平均利润最大，此时最大值为．【解析】利用题中的条件列出纯利润的代数式，即可解出的值，再将的值代入，即可解出；列出平均利润，利用基本不等式，即可解出．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．22.【答案】解：函数为上的奇函数，可得，即，由，可得，解得，，则，，为奇函数．不等式，即为，即有有解．设，则，由，可得，即的值域为，所以，即的取值范围是；由在递增，可得的最大值为，，设，由，可得，则，，由题意可得在成立，显然时，上式不成立；所以在成立，由，当时，取得最大值，所以，解得，即的取值范围是．【解析】由题意可得，，解不等式可得，的值，再由参数分离和指数函数、二次函数的值域求法可得所求范围；由指数函数的单调性可得在上的最大值，再由换元法，结合正弦函数的图象和性质，可得化为，，由题意可得在成立，再由参数分离和基本不等式可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立和有解问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
广东省肇庆市2021届高三上学期第一次(11月)统一检测数学试题
肇庆市2021届高中毕业班第一次统一检测数学满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}15M x x =<≤，{}26N x x =≤<，则M N =（ ）A. {}56x x <≤B. {}12xx <≤∣ C. {}25x x ≤≤∣ D. {}16xx <<∣ C根据交集运算的法则，即可求得答案.因为{}15M x x =<≤，{}26N x x =≤<，所以{}25M N x x ⋂=≤≤，故选：C 2. 已知复数1122z i =+，其中i 为虚数单位，则i z ⋅=（ ） A. 1122-+iB. 1122i +C. 1122i -- D.1122i - A利用复数的乘法运算即可求解.2111111222222i z i i i i i ⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭++=-+，故选：A3. 设x ∈R ，则“3x >”是“29x >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件A直接利用充分条件和必要条件的定义判断. 若3x >，则29x >，故充分；若29x >，则3x >或3x <-，故不必要；所以“3x >”是“29x >”的充分不必要条件，故选：A4. 已知函数21log (),0()2,0x x x f x x +-<⎧=⎨>⎩，则(1)(1)f f -+=（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5B根据分段函数分别求出()1f 和()1f -的值，即可求解.因为21log (),0()2,0x x x f x x +-<⎧=⎨>⎩所以()1122f ==，()()211log 1101f -=+--=+=⎡⎤⎣⎦，所以()()11123f f -+=+=，故选：B5. 已知函数1()e ln x f x x x -=+，则()1f '=（ ） A. 0 B. 1C. eD. 2D【分析】对1()e ln x f x x x -=+求导后，将1x =代入即可求解.因为1()e ln x f x x x -=+，所以111()e ln e 1ln x x f x x x x x--'=++⨯=++， 所以11(1)e 1ln12f -'=++=，故选：D 6. 函数()44422()x x f x x x---=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.B根据函数为奇函数排除A 、C ，再计算(1)32f =>，排除排除选项D ，可得到正确答案.()44422()x x f x x x---=+的定义域为：{}|0x x ≠关于原点对称，因为()()()()4444422422()()x x x x f x f x x x x x --------===-+-+-，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除AC ， 由()1422(1)3112f -+-==>，排除选项D ，所以选项B 正确，故选：B(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 的中点，AF AB AC λ=+．若2AE AF ⋅=，则λ=（ ） A. 12B. 1C.32D. 2A 【分析】建平面直角坐标系，分别求得,AE AF 的坐标，再由2AE AF ⋅=求解. 建立如图所示平面直角坐标系：则()()()()10,0,1,0,1,1,0,1,1,2A B C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为AF AB AC λ=+， 所以()1,1AF λ=+，所以322AE AF λ⋅=+=， 解得12λ=，故选：A8. 某公园有一个边长为2m 的等边三角形花圃，现要在花圃中修一条篱笆，将花圃分成面积相等的两部分，则篱笆的最短长度为（ ） A .3m B.3m C. 1mD. 2mD设等边三角形花圃为ABC ，篱笆DE 的长度为y ，AD 的长为x ，先求出ABC 的面积，再利用面积公式求出ADE 的面积让其等于ABC 的面积的一半，即可求出2AE x=，在ADE 中，由余弦定理可得：222222214222y x x x x x x ⎛⎫=+-⨯⨯=+- ⎪⎝⎭，再利用基本不等式即可求2y 的最值，进而可得篱笆长的最小值.设等边三角形花圃为ABC ，因为边长为2，所以122sin 6032ABCS=⨯⨯⨯= 设篱笆DE 的长度为y ，AD 的长为x ，则13sin 602ADESAD AE x AE =⨯⨯⨯=⨯， 因为12ADEABCS S =,3132AE ⨯=，即2x AE ⨯=，所以2AE x =，在ADE 中，由余弦定理可得：2222cos60DE AD AE AD AE =+-⨯，即222222214222y x x x x x x ⎛⎫=+-⨯⨯=+- ⎪⎝⎭由基本不等式可得222422422y x x =+-≥=-=，当且仅当224x x=即x =时，篱笆长y ， 故答案为：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9. 设a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若//a α，//b α，则//a b B. 若a α⊥，b α⊥，则//a b C. 若a α⊥，a β⊥，则//αβ D. 若a α⊥，//b α，则a b ⊥BCD根据空间中线面的关系，逐一分析选项，即可得答案.对于A ：若//a α，//b α，则,a b 可平行，可相交，也可异面，故A 错误； 对于B ：若a α⊥，b α⊥，则//a b ，故B 正确； 对于C ：若a α⊥，a β⊥，则//αβ，故C 正确； 对于D ：a α⊥，//b α，则a b ⊥，故D 正确.故选：BCD10. 等差数列{}n a 中，511a =，1210a =-，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ） A. 1161a a +=B. 6S 是{}n S 中的最大项C. 9S 是{}n S 中的最小项D. 89a a <A根据511a =，1210a =-，求得数列的通项公式，然后再逐项判断. 在等差数列{}n a 中，511a =，1210a =-， 所以12537a a d -==-，5(5)326n a a n d n =+-=-+， A.因为 5121161a a a a +=+=，故正确；B. 因为6780,50a a =>=>，所以6S 不是{}n S 中的最大项，故错误；C.因为 0d <，所以9S 不是{}n S 中的最小项，故错误；D.因为 8920,1a a =>=，所以89a a >，故错误；故选：A11. 如图是函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，下列选项正确的是（ ）A. ()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. ()sin 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. 06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 213f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭AC 先由()302f =-可求得3πϕ=-，再sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()233k k Z ππωππ--=+∈，解得()46k k Z ω=--∈，再利用23T ππω=>，可得03ω<<，所以2ω=，()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即可知A 正确，B 不正确，计算即可判断C 、D ，进而可得正确答案.由图知()30sin f ϕ==||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()233k k Z ππωππ--=+∈，解得：()46k k Z ω=--∈，因为23T ππω=>，所以03ω<<，所以1k =-时2ω=，可得()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选项A 正确，选项B 不正确，sin 2sin 00663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项C 正确；24sin sin 33332f ππππ⎛⎫⎛⎫-=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 不正确，故选：AC 12. 下列大小关系正确的有（ ） A. 2.122 2.1> B. 3.922 3.9< C. 1ln 2ln 22< D. 58log 3log 5<BD结合指数函数2x y =和幂函数2yx 的性质可判断选项A 、B ，利用作差法可判断选项C ，利用作商法可判断选项D ，进而可得正确答案. 由指数函数2x y =和幂函数2yx 可知，当()2,4x ∈时22x x <，因为2 2.14<<，所以 2.122 2.1<，选项A 不正确； 因为2 3.94<<，所以 3.922 3.9<，故选项B 正确； 因为ln1ln 2ln e <<，所以0ln 21<<，即()201ln 2<<所以()22ln 21ln 20ln 222ln 2--=>，所以1ln 2ln 22>，故选项C 不正确； 因为5log 30>，8log 50>，所以()()2285222lg 3lg8log lg 3lg8lg 3lg8lg 3lg8lg 2421log 5lg 5lg 52lg 5lg 25lg 5lg 53+⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⨯+⎝⎭=⨯=≤==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以58log 3log 5<，故选项D 正确，故选：BD 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知1sin 3x =，则cos x =________．3根据同角三角函数的关系22sin cos 1x x +=，可得2cos x 的值，即可得答案.因为22sin cos 1x x +=，所以228cos 1sin 9x x =-=，所以cos 3x =，故答案为：22314. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()(4)f x f x =-．若()22f =，则()6f =________． -2根据()(4)f x f x =-，令6x =，可得(6)(2)f f =-，利用奇函数的定义，即可求得答案. 由()(4)f x f x =-，令6x =，可得(6)(2)f f =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以(2)(2)2f f -=-=-，所以(6)2f =-， 故答案为：-215. 已知等比数列{}n a 中，21S =，232a a +=，则6S =________． 21设公比为(0)q q >，根据条件，可解得1,q a 的值，代入等比数列求和公式，即可求得答案. 因为{}n a 为等比数列，设公比为(0)q q >，所以212111S a a a a q =+=+=①，又223112a a a q a q +=+=②②①得2q ，所以113a =，所以661(12)32112S -==-，故答案为：2116. 鳖臑（biē nào ）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两重堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称．如图，三棱锥A BCD -是一个鳖臑，其中AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC CD ⊥，且4AB BC DC ===，过点B 向AC 引垂线，垂足为E ，过E 作CD 的平行线，交AD 于点F ，连接BF ．设三棱锥A BCD -的外接球的表面积为1S ，三棱锥A BEF -的外接球的表面积为2S ，则12S S =________．125． 证明CD AC ⊥后可得AD 为四面体ABCD 的外接球直径，在A BEF -中证得,,EA EF EB 两两垂直后可得A BEF -的直径的平方等于,,EA EB EF 的平方和，从而可得球的表面积12,S S ，从而可得结论．AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC BD B =，则AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB CD ⊥，又CD BC ⊥，BC AB B =，∴CD ⊥平面ACB ，,BE AC ⊂平面ACB ，∴CD AC ⊥，CD BE ⊥．又//CD EF ，∴EF BE ⊥，AC EF ⊥，又BE AC ⊥，∴三棱锥E ABF -可补形成以,,EA EF EB 为棱的一个长方体，其外接球的直径的平方等于,,EA EF EB 的平方和，而由,AB BD AC DC ⊥⊥，则AD 是三棱锥A BCD -外接球的直径． ∵4AB BC DC ===，∴42AC =2EF =，22EB =22EA ，42BD =224(42)43AD =+= ∴22220EA EB EF ++=，2148444824AD S πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，22204202S ππ⎛=⨯= ⎝⎭， ∴124812205S S ππ==． 故答案为：125． 三棱锥外接球球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．有时可利用直角三角形去寻找外接球球心．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17. 在①ABC S =△，②sin A C =，③sin 2C =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求出a 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b =sin A A +=0，_________？注：如果选择多个条件分别解签．按第一个解答计分．问题中的三角形都存在，选①a =；选②3a =；选③2a =先求得23A π=，选①：由三角形的面积公式可得c =，再由余弦定理即可求得a 的值，选②：由正弦定理可得a =，再利用余弦定理可求a 的值，选③：由sin 2C =求得4C π，12B π=，再利用正弦定理得即可求得a 的值.由sin A A +=0得tan A =，因为0A π<< ，所以23A π=，选①:由题意得：11sin 22ABC S bc A ===△，解得：c =，由余弦定理可得：22212cos 3122212a b c bc A ⎛⎫=+-⋅=+--= ⎪⎝⎭,所以a =，所以问题中的三角形存在，且a =， 选②：因为sin A C =， 由正弦定理可得a =，由余弦定理得：222212cos 322a b c bc A ⎛⎫=+-⋅=+-- ⎪⎝⎭， 即22303a a --=，解得：3a =或32a =-（舍） 所以存在问题中的三角形，且3a = 选③：由sin C =得：4C π，故12B π=，由正弦定理得：sin sin a b A B =即2sinsin 312a π=32sin 12a π=，因为sinsin sin cos cos sin 12343434πππππππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以322sin12a π===，所以问题中的三角形存在，且2a =18. 已知函数321()(1)3f x x ax a x =-+-．（1）当1a =时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）设()f x '是函数()f x 的导函数，求()f x '零点之间距离最小时a 的值． （1）3310x y +-=；（2）12（1）当1a =时，321()3f x x x =-，求出切点21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，求导得2()2f x x x =-'，()1121k f ==-=-'，点斜式即可写出切线方程；（2）2()21f x x ax a '=-+-，2()21f x x ax a '=-+-有两个零点，分别设为12,x x ， 利用根与系数的关系可得122x x a +=，121x x a =-，代入12x x -=即可求解.（1）当1a =时，321()3f x x x =-，可得1(1)1323f =-=-，所以切点为21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为2()2f x x x =-'，所以()1121k f ==-=-'， 所以()f x 在()()1,1f 处的切线方程为：()213y x +=--， 即3310x y +-=，（2）2()21f x x ax a '=-+-，因为()()222134********a a a a a ⎡⎤⎛⎫∆=--=-+=-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以函数2()21f x x ax a '=-+-有两个零点，分别设为12,x x ， 则122x x a +=，121x x a =-， 所以()()()222212121212134441224x x x x x x x x a a a ⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭，所以当12a =时，函数()f x '零点之间距离最小为3. 19. 如图，棱长为2的正四面体ABCD （所有棱长均相等的三棱锥）中，E ，F 为AB 和DC 的中点．（1）证明：AB CD ⊥； （2）求三棱锥D EFB -的体积． （1）证明见解析；（2）26． （1）证明AB ⊥平面CDE 后可得线线垂直；（2）利用体积公式可得111224D EFB E DBF E DBC D EBC D ABC V V V V V -----====，再求出正四面体ABCD的体积即可得．（1）连接CE ，∵E 是AB 中点，∴,AB DE AB CE ⊥⊥，DE CE E ⋂=又，∴AB ⊥平面CDE ，又CD ⊂平面CDE ，∴AB CD ⊥．（2）∵正四面体棱长为2，由（1）可得3DE CE ==F 是CD 中点，∴EF CD ⊥，∴222EF DE DF =-=，1122222CDE S CD EF =⋅=⨯=△ ∴11222233ABCD CDE V S AB =⋅==△，由E ，F 为AB 和DC 的中点，可得1111222224436D EFBE DBF E DBC D EBC D ABC V V V V V -----=====⨯=．20. 已知函数22()324cos 33f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间2,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域． （1）π；（2）123⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）利用两角和与差的正弦公式，二倍角公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得最小正周期；（2）用整体思想结合正弦函数性质可得值域． （1）22()324cos 33f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭223sin cos 2cos sin 22(1cos 2)333x x x ππ⎫=--++⎪⎭sin(2)16x π=-+，所以最小正周期为22T ππ==； （2）2,123x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，72,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以3sin 262x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的值域为123⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*112n n a S n =+∈N ． （1）求n S ；（2）若21log 2n n n nb a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ． （1）122n +-； （2）1(1)22n n n +-⋅++.（1）由()*112n n a S n =+∈N ，递推化简得到12n n a a -=，根据等比数列的通项公式，求得2n n a =，再利用等比数列的求和公式，即可求解；（2）由（1）求得21nn b n =⋅+，结合“乘公比错位相减法”和“等差数列的求和公式”，即可求解.（1）由题意，数列{}n a 满足()*112n n a S n =+∈N ， 当2n ≥时，可得11112n n a S --=+， 两式相减，可得1111()22n n n n n a S S a a --==--，整理得12n n a a -=，即12n n a a -=， 当1n =时，可得111111122a S a =+=+，解得12a =， 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2nn a =，所以12(12)2212n n n S +-==--. （2）由（1）知2nn a =，则211log 2()212()2n n n n n n n b a a n n =+=+=⋅+ 设2,1nn n k n p =⋅=，数列{}{},n n k p 的前n 项和分别为,n n K P ， 则1231122232(1)22n n n K n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 23412122232(1)22n n n K n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减得23111223222222n n n n n K n n +++-=++⨯++-⨯=--⨯，所以1(1)22n n K n +=-⋅+，又由111n P n =+++=，所以数列{}n b 的前n 项和1(1)22n n n n T n n K P +-⋅=+++=.22. 已知函数1()ln 2f x x ax =--．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()() g x x x f =的极值点，求证：函数()g x 存在唯一的极大值点0x ，且()0102g x -<<．（参考数据：ln 20.693≈，ln7 1.946≈） （1）当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上是增函数，0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是递减；（2）证明见解析．（1）求出导函数()'f x ，然后分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）求出()'g x ，由(1)0g '=求得a ，再设()()h x g x '=，求出()h x '，由()h x '确定出()g x 的单调性，极值，得()g x 存在两个零点1和0x ，其中0x 是极大值点．1是极小值点．并确定07,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用00()g x '=可化0()g x 为20001()4g x x x =-，从而可得证01()02g x -<<．（1）函数定义域是(0,)+∞，1()f x a x'=-， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数；0a >时，10x a <<时，()0f x '>，x a >时，()0f x '<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是递减．（2）()()g x xf x =，111()()()ln ()ln 222g x f x xf x x ax x a x ax x ''=+=--+-=-+，1(1)202g a '=-+=，14a =，11()ln 22g x x x '=-+，设11()ln 22h x x x =-+，则112()22xh x x x -'=-=，当02x <<时，()0h x '>，()h x 递增，2x >时，()0h x '<，()h x 递减，(2)h 是()h x 的极大值也是最大值，1(2)ln 202h =->，(1)0h =，2211()2022h e e =-+<， ∴()h x 在(0,2)和(2,)+∞都有一个零点，设2(2,)x ∈+∞且0()0h x =， 则()h x 在(0,1)和0(,)x +∞均小于0，在0(1,)x 上大于0，即()'g x 在(0,1)和0(,)x +∞均小于0，在0(1,)x 上大于0，775()ln ln 7ln 2 1.25 1.9460.693 1.250.0030224h =-=--≈--=>， 3(4)ln 402h =-<上，∴07,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()g x 在(0,1)和0(,)x +∞均递减，在0(1,)x 上递增，∴()g x 只有一个极大值点0x ．00011()ln 022g x x x '=-+=，0011ln 22x x =-，2200000000011111()(ln )1(2)142444g x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-=-=-- ⎪⎝⎭， ∵0(3,4)x ∈，∴220011()(2)1(42)1044g x x =--<--=， 且0()g x >2177********⎛⎫--=->- ⎪⎝⎭综上，01()02g x -<<．。
肇庆市2021届高中毕业班第一次统一检测试题
试卷类型：A肇庆市2021届高中毕业班第一次统一检测数 学注意事项：1．本试卷共4页，22题．全卷满分150分，考试用时120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 4．考试结束．监考人员将试卷、答题卷一并收回．一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1{5|M x x =<≤，}2{6|N x x =<≤，则MN =A ．{|}56x x <≤B ．{|}12x x <≤C ．{|}25x x ≤≤D ．{}6|1x x <<2．已知复数1122z i =+，其中i 为虚数单位，则i z ⋅= A ．1122i -+B ．1122i +C ．1122i --D ．1122i -3．设x ∈R ，则“3x >”是“29x ≥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数21log (),0,()2,0,x x x f x x ⎧+-<⎪=⎨>⎪⎩则()()11f f -+=A ．2B ．3C ．4D ．55．已知函数1()ln x f x e x x -=+，则()1f '=A ．0B ．1C ．eD ．26．函数()44422()x x f x x x ---=+的图象大致为7．正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 的中点，AF AB AC λ=+．若2AE AF ⋅=，则λ=A ．12B ．1C ．32D ．28．某公园有一个边长为2 m 的等边三角形花圃，现要在花圃中修一条篱笆，将花圃分成面积相等的两部分，则篱笆的最短长度为A ．3mB ．32m C ．1 m D ．2m二、多项选择题：本题共4小题．每小题5分．共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9．设,a b 是两条不重合的直线，,αβ是两个不同的平面．下列四个命题中，正确的是A ．若aα，b α，则a b B ．若a α⊥，b α⊥，则a bC ．若a α⊥，a β⊥，则αβD ．若a α⊥，bα，则a b ⊥10．等差数列{}n a 中，511a =,1210a =-，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则A ．1161a a +=B ．8S 是{}n S 中的最大项 C ．9S 是{}n S 中的最小项D ．89a a <11．如图是函数()()sin 0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，下列选项正确的是A ．()sin(2)3f x x π=-B ．()sin(4)3f x x π=-C ．()06f π=D ．2()13f π-=12．下列大小关系正确的有A ． 2.122 2.1>B ． 3.922 3.9<C ．1ln2ln22<D ．58log 3log 5<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省肇庆市2023届高三上学期第一次教学质量检测数学试题含答案
肇庆市2023届高中毕业班第一次教学质量检测数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，已知全集{}4,ZU x x x =<∈，集合{}3,1,0,1A =--，{}2,1,0,1B =--，{}1,1,2,3C =-，图中阴影部分表示集合M ，则M =（）A.{}1,0,1- B.{}3,2,0,2,3--C.{}3,2,2,3,4-- D.{}1,1-2.同时满足以下三个条件的一个复数是（）①复数在复平面内对应的点位于第三象限；②复数的模为5；③复数的实部大于虚部.A.43i- B.2i -- C.34i-- D.43i--3.设sin 22a =，2log sin 2b =，sin 22c =，则下列关系正确的是（）A.a c b>> B.c a b>> C.b a c>> D.a b c>>4.已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，且6710220a a a ++=，则78a a ⋅的最大值为（）A.10B.20C.25D.505.下列选项正确的是（）A.A B A = 是A B ⊆的必要不充分条件B.在ABC 中，sin sin A B =是A B =的充要条件C.ln ln a b >是22a b >的充要条件D.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是：“x ∀∈R ，210x x ++≤”6.已知函数()()y f x x =∈R ，满足导函数()()f x f x '<恒成立，则下列选项正确的是（）A.()()e 20212022f f =B.()()e 20212022f f <C.()()e 20212022f f > D.()()2e 20212022f f >7.22sin 1252cos15cos5512sin 50︒︒-︒-︒的值为（）A.12-B.12C.1D.28.《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图2（1）的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2（2）.在图2（2）中，若6AF =，BF =，G ，F 两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（）A.9B.4C.3D.8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数a ，b ，c 满足a b c >>且0abc >，则下列选项正确的是（）A.a ab c< B.()()sin sin ab ac >C.()2lg lg a bc > D.()()11bca a +>+10.把函数()()cos 0πf x x x ωωω=+<<的图象向左平移π6个单位长度，得到的函数图象恰好关于y 轴对称，则下列说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 关于点5π,212⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()f x 在ππ126⎛⎫- ⎪⎝⎭,上单调递增D.若()f x 在区间π,12a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上存在最大值，则实数a 的取值范围为π,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11.已知函数()2e xf x x =-⋅，则下列选项正确的是（）A.函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增B.函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增C.关于x 的方程()f x a =恰有两个根，则ea =D.函数()f x 在[]3,3-上的最大值与最小值之和为33e 5e -+12.定义两个非零平面向量的一种新运算：sin ,a b a b a b ⊗= ，其中,a b 表示a ，b的夹角，则对于两个非零平面向量a ，b，下列结论一定成立的是（）A.a b b a ⊗=⊗B.()a b c a c b c+⊗=⊗+⊗ C.()()a b a b λλ⊗=⊗ D.若0a b ⊗= ，则a 与b 平行三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且37S =，663S =，则7a =_________.14.已知直线()1y k x =-与曲线1e x y -=相切，则k =_________.15.已知函数()()122,1,log ,1,x x f x x a x +⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩若关于x 的方程()4f x =有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是_________.16.在ABC 中，点,D E 分别在,BC AC 上，且满足2DC BD = ，2EC AE =，点F 在AD 上，且满足2AF FD =.若=60B ∠︒，E F AB x =，BC y =，则3x y +的最大值为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，2b =，sin sin 2sin A C B +=.（1）若3B π=，求S 的值；（2）若D 是AC 的中点，且2BD =，求a c ⋅的值.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.19.已知函数()()ln 1f x ax x =-+.（1）是否存在实数a ，使得()f x 在0x =处取得极小值，并说明理由；（2）证明：对任意*n ∈N 都有()111ln 2ln 2231n n ++⋅⋅⋅+>+-+成立.20.已知各项均不为零的数列{}n a 满足()1212320n n n n n a a a a a ++++-+=，且11a =，213a =，设111n n nb a a +=-.（1）证明：{}n b 为等比数列；（2）求1n n a ⎧⎫⎨+⎩⎭的前n 项和n T .21.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠.（1）若2π3BAC ∠=，4AB =，2AC =，求AD 的值；（2）若ABC 为锐角三角形，请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求BDDC的取值范围.条件①：)2224b c a S +-=；条件②：224sin 8sin102BB --=；条件③：222sin cos cos sin B C A A B +-=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.已知函数()()2e 2xx f x x a x a =--∈R .（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，不等式()31sin 2f x x x x x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.肇庆市2023届高中毕业班第一次教学质量检测数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BC 【12题答案】【答案】AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】64【14题答案】【答案】e 【15题答案】【答案】[)1,15-【16题答案】【答案】18四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1；（2）154.【18题答案】【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析.【19题答案】【答案】（1）存在，1a =（2）证明见解析【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）()12222n nn n n T ++=+-【21题答案】【答案】（1）43AD =（2）答案见解析【22题答案】【答案】（1）单调递减区间为[]1,ln 2-，单调递增区间为(),1-∞-，()ln 2,+∞；（2）(],2-∞.。
2020-2021学年广东省肇庆市某校高三(上)9月第一次统考数学(理)试卷有答案
2020-2021学年广东省肇庆市某校高三（上）9月第一次统考数学（理）试卷一、选择题1. 设i 为虚数单位，则复数1−i i=( )A.1+iB.1−iC.−1+iD.−1−i2. 在(√x −2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A.−5 B.5 C.−10 D.103. 已知x ∈R ，则“x 2<1”是“x <1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知集合A ={x|log 3(2x −1)≤0}，B ={x|y =√3x 2−2x}，全集U =R ，则A ∩(∁U B )等于（ ） A.(12,1] B.(0,23)C.(23,1]D.(12,23)5. 已知函数f (x )是R 上的增函数， A (0,−3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式−3<f (x +1)<1的解集是( ) A.(−1,2)B.(1,4)C.(−∞,−1)∪[4,+∞)D.(−∞,−1]∪[2,+∞)6. 下列不等式一定成立的是( ) A.x +1x ≥2(x ≠0)B.x 2+1x 2+1≥1(x ∈R )C.x 2+1≤2x(x ∈R )D.x 2+5x +6≥0(x ∈R )7. 已知f (x )={log 3x,x >0,a x +b,x ≤0 (0<a <1)，且f (−2)=5，f (−1)=3，则f(f(−3))=( ) A.−2B.2C.3D.−38. 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f(x 2)−f(x 1)](x 2−x 1)<0恒成立，设a =f(−12)，b =f(2)，c =f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c >a >b B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c二、多选题有以下命题中，真命题是( ) A.“若xy =1，则x ，y 互为倒数”的逆命题 B.“面积相等的两个三角形全等”的否命题C.“若m ≤1，则x 2−2x +m =0有实数解”的逆否命题D.“若A ∩B =B ，则A ⊆B ”的逆否命题下列命题中正确的是( ) A.∃x ∈(0,+∞)，2x >3x B.∃x ∈(0,1)，log 2x <log 3x C.∀x ∈(0,+∞)， (12)x>log 13xD.∀x ∈(0,13)， (12)x<log 13x已知随机变量X 服从正态分布 N(100,102) ，则下列选项正确的是( ) （参考数值:随机变量ξ服从正态分布 N(μ,σ2) ，则 P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826， P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544 ，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974) A.E(X)=100B.D(X)=100C.P(X ≥90)=0.8413D.P(X ≤120)=0.9987已知数列{a n }前n 项和为S n ，且a 1=p ，2S n −S n−1=2p(n ≥2)(p 为非零常数)则下列结论中正确的是( ) A.数列{a n }为等比数列 B.p =1时， S 4=1516C.当p =12时， a m ⋅a n =a m+n (m ，n ∈N ∗) D.|a 3|+|a 8|=|a 5|+|a 6| 三、填空题某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是________．已知f(x)是二次函数，且f(0)=0，f(x+1)=f(x)+x+1，则f(x)=________．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x−2)．若当x∈[−3,0]时，f(x)= 6−x，则f(919)=________．已知函数f(x)=x2+mx−1，若对于任意x∈[m, m+1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．四、解答题在等差数列{a n}中，已知a6=12，a18=36．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若________，求数列{b n}的前n项和S n．这三个条件中任选一个补充在在①b n=2a n⋅a n，②b n=(−1)n⋅a n，③b n=4a n a n+1第(2)问中，并对其求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知在正项数列{a n}中，a1=2，点A n(√a n,√a n+1)在双曲线y2−x2=1上．在数列{b n}中，点(b n,T n)在直线y=−1x+1上，其中T n是数列{b n}的前n项和．2(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：数列{b n}是等比数列．)ax，a为常数，且函数的图象过点(−1, 2)．已知函数f(x)=(12(1)求a的值；(2)若g(x)=4−x−2，且g(x)=f(x)，求满足条件的x的值．某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现．故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为13 (1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．(a>0，a≠1)是定义在R上的奇函数．已知函数f(x)=2a x−4+a2a x+a(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x∈[1, 2]时，2+mf(x)−2x>0恒成立，求实数m的取值范围．已知函数g(x)=ln x+ax2+bx，其中g(x)的函数图象在点(1,g(1))处的切线平行于x 轴．(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．参考答案与试题解析2020-2021学年广东省肇庆市某校高三（上）9月第一次统考数学（理）试卷一、选择题1.【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】无【解答】解：1−ii =(1−i)i−1=−i−1=−1−i．故选D．2.【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数. 【解答】解：T r+1=C5r(√x)5−r(−2)r=C5r(−2)r x5−r2，令5−r2=2，解得r=1，T2=C51(−2)1x2=−10x2.故选C.3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】无【解答】解：若x2<1，则−1<x<1，∵(−∞,1)⊇(−1,1)，∴ “x2<1”是“x<1”的充分不必要条件．故选A．4.【答案】 D【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】 无【解答】解：因为A ={x|0<2x −1≤1}，B ={x|3x 2−2x ≥0}， 即A ={x|12<x ≤1}，B ={x|x ≤0或x ≥23}，所以∁U B ={x|0<x <23}，则A ∩(∁U B )={x|12<x <23}. 故选D ． 5.【答案】 A【考点】函数单调性的性质 【解析】 无【解答】解：由函数f (x )是R 上的增函数，A (0,−3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式−3<f (x +1)<1即为f (0)<f (x +1)<f (3)， 所以0<x +1<3， 所以−1<x <2，故不等式−3<f (x +1)<1的解集是(−1,2)． 故选A ． 6. 【答案】 B【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】A ．x <0时不成立；B ．x 2+1x 2+1=x 2+1+1x 2+1−1，利用基本不等式的性质即可判断出正误； C ．由(x −1)2≥0，可得x 2+1≥2x ，即可判断出真正误 D ．x 2+5x +6=(x +52)2−14≥−14，即可判断出正误． 【解答】解：A ，当x <0时不成立；B ，x 2+1x 2+1=x 2+1+1x 2+1−1≥2√(x 2+1)⋅1x 2+1−1=1，当且仅当x =0时取等号，因此正确；C ，由(x −1)2≥0，可得x 2+1≥2x ，因此不正确；D ，x 2+5x +6=(x +52)2−14≥−14，当且仅当x =−52时取等号，因此不正确． 故选B . 7.【答案】 B【考点】分段函数的应用 函数的求值【解析】 无【解答】解：由题意得， f (−2)=a −2+b =5，① f (−1)=a −1+b =3，②联立①②，结合0<a <1，得a =12，b =1，所以f (x )={log 3x ，x >0，(12)x +1，x ≤0，则f (−3)=(12)−3+1=9，f(f (−3))=f (9)=log 39=2． 故选B ． 8. 【答案】 D【考点】函数恒成立问题 函数单调性的性质【解析】根据函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，可得函数f(x)关于x =1对称；由当x 2>x 1>1时，[f(x 2)−f(x 1)]（ x 2−x 1）<0恒成立，可得函数f(x)在(1, +∞)上为单调减函数，利用单调性即可判定出a 、b 、c 的大小． 【解答】解：∵ 函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称， ∴ 函数f(x)关于x =1对称, ∴ a =f(−12)=f(52)，∵ 当x 2>x 1>1时，[f(x 2)−f(x 1)](x 2−x 1)<0恒成立， ∴ f(x 2)−f(x 1)<0 ，即f(x 2)<f(x 1) ， ∴ 函数f(x)在(1, +∞)上为单调减函数, ∵ 1<2<52<3,∴ f(2)>f(52)>f(3)，即b >a >c . 故选D ．二、多选题【答案】 A,B,C 【考点】四种命题的真假关系 【解析】 无【解答】解：A ，原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy =1”，是真命题； B ，原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题； C ，若m ≤1， Δ=4−4m ≥0，所以原命题是真命题， 故其逆否命题也是真命题；D ，由A ∩B =B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题， 故其逆否命题也是假命题. 故选ABC ． 【答案】 B,D【考点】指数式、对数式的综合比较 命题的真假判断与应用 对数函数的单调性与特殊点 指数函数的单调性与特殊点 【解析】 无【解答】解：对于A ，当x >0时， 2x3x =(23)x<1， 即∀x ∈(0,+∞)，2x <3x 恒成立，故选项A 错误； 对于B ，∵log 2x log 3x=lg x lg 2×lg 3lg x=lg 3lg 2>1，∴ log 2x <log 3x ，故选项B 正确；对于C ，当x =13时，(12)13<(12)0=1=log 1313，则当x =13时，log 13x >(12)x，故选项C 错误；对于D ，当x =13时，log 1313=1，当x =0时，(12)0=1，则根据对数函数与指数函数的单调性可知，当x ∈(0,13)时，(12)x<1<log 13x 恒成立，故选项D 正确．故选BD ．【答案】 A,B,C 【考点】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N(100,102)，∴μ=100，σ=10，对称轴为μ=100，∴E(X)=100，D(X)=100，故A，B正确；∵P(90<X<110)=0.6826，∴P(X≥90)=12P(90<X<110)+P(X≥100)=12×0.6826+0.5=0.8413，故C正确；∵P(80<X<120)=0.9544，∴P(x≤120)=P(X<100)+12P(80<X<120)=0.5+12×0.9544=0.9772，故D错误.故选ABC.【答案】A,C【考点】数列递推式【解析】【解答】解：由2S n−S n−1=2p(n≥2)，得2S2−S1=2p，整理得a2=p2.当n≥3时，2S n−1−S n−2=2p，相减可得2a n−a n−1=0.又a2a1=12，所以数列{a n}为首项为p，公比为12的等比数列，故A正确；由A可得p=1时，S4=1−1 241−12=158，故B错误；由A可得a m⋅a n=a m+n，等价为p2⋅12m+n−2=p⋅12m+n−1，可得p=12，故C正确；|a3|+|a8|=|p|(122+127)=|p|⋅33128，|a5|+|a6|=|p|(124+125)=|p|⋅12128，则|a3|+|a8|>|a5|+|a6|，故D错误. 故选AC．三、填空题【答案】739【考点】条件概率与独立事件 排列、组合的应用【解析】 暂无 【解答】解：设事件A ：数学不排第一节，物理不排最后一节．设事件B ：化学排第四节． P (A )=A 44+C 31C 31A 33A 55=78A 55，P (AB )=A 33+C 21C 21A 22A 55=14A 55，故满足条件的概率是P (AB )P (A )=739．故答案为：739. 【答案】12x 2+12x(x ∈R) 【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)， 由f(0)=0，知c =0， f(x)=ax 2+bx .又由f(x +1)=f(x)+x +1，得a(x +1)2+b(x +1)=ax 2+bx +x +1，即ax 2+(2a +b)x +a +b =ax 2+(b +1)x +1， 所以{2a +b =b +1,a +b =1,解得a =b =12，所以f(x)=12x 2+12x(x ∈R)． 故答案为：12x 2+12x(x ∈R).【答案】 6【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ f(x +4)=f(x −2)， ∴ f(x +6)=f(x)，∴ f(x)为周期为6的周期函数， ∴ f(919)=f(153×6+1)=f(1). ∵ f(x)是定义在R 上的偶函数， ∴ f(1)=f(−1).又当x ∈[−3,0]时，f(x)=6−x ， ∴ f(−1)=6−(−1)=6， ∴ f(919)=6. 故答案为：6． 【答案】 (−√22, 0) 【考点】二次函数的性质 【解析】 由条件利用二次函数的性质可得{f(m)=2m 2−1<0f(m +1)=(m +1)2+m(m +1)−1<0，由此求得m 的范围． 【解答】解：∵ 二次函数f(x)=x 2+mx −1的图象开口向上， 对于任意x ∈[m, m +1]，都有f(x)<0成立， ∴ {f(m)=2m 2−1<0，f(m +1)=(m +1)2+m(m +1)−1<0，即{−√22<m <√22，m(2m +3)<0，解得−√22<m <0.故答案为：(−√22, 0)． 四、解答题【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则 {a 1+5d =12,a 1+17d =36, 解得{a 1=2,d =2,∴ a n =2+(n −1)×2=2n ．(2)选条件①：∵ a n =2n ，b n =2a n ⋅a n ， ∴ b n =22n ⋅2n =2n ⋅4n ，∴ S n =2×41+4×42+6×43+⋯+2n ×4n ，①4S n =2×42+4×43+6×44+⋯+2(n −1)×4n +2n ×4n+1，② 由①−②得，−3S n =2×41+2×42+2×43+⋯+2×4n −2n ×4n+1 =8(1−4n )1−4−2n ×4n+1=8(1−4n )−3−2n ×4n+1，∴ S n =89(1−4n )+2n 3⋅4n+1.选条件②：∵ a n =2n ，b n =(−1)n ⋅a n ， ∴ S n =−2+4−6+8−⋯+(−1)n ⋅2n ，当n 为偶数时，S n =(−2+4)+(−6+8)+⋯+[−2(n −1)+2n ]=n2×2=n ；当n 为奇数时，n −1为偶数，S n =(n −1)−2n =−n −1， ∴ S n ={n,n 为偶数，−n −1,n 为奇数.选条件③：b n =42n⋅2(n+1)=1n (n+1)=1n−1n+1,∴ S n =11×2+12×3+⋯+1n(n+1)=(11−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1) =1−1n +1=nn+1.【考点】 数列的求和等差数列的通项公式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则 {a 1+5d =12,a 1+17d =36, 解得{a 1=2,d =2,∴ a n =2+(n −1)×2=2n ．(2)选条件①：∵ a n =2n ，b n =2a n ⋅a n ， ∴ b n =22n ⋅2n =2n ⋅4n ，∴ S n =2×41+4×42+6×43+⋯+2n ×4n ，①4S n =2×42+4×43+6×44+⋯+2(n −1)×4n +2n ×4n+1，② 由①−②得，−3S n =2×41+2×42+2×43+⋯+2×4n −2n ×4n+1 =8(1−4n )1−4−2n ×4n+1=8(1−4n )−3−2n ×4n+1，∴ S n =89(1−4n )+2n 3⋅4n+1.选条件②：∵ a n =2n ，b n =(−1)n ⋅a n ， ∴ S n =−2+4−6+8−⋯+(−1)n ⋅2n ，当n 为偶数时，S n =(−2+4)+(−6+8)+⋯+[−2(n −1)+2n ]=n2×2=n ； 当n 为奇数时，n −1为偶数，S n =(n −1)−2n =−n −1， ∴ S n ={n,n 为偶数，−n −1,n 为奇数.选条件③：b n =42n⋅2(n+1)=1n (n+1)=1n−1n+1,∴ S n =11×2+12×3+⋯+1n(n+1)=(11−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1) =1−1n +1=n n+1.【答案】(1)解：由已知点A n 在y 2−x 2=1上知， a n+1−a n =1，∴ 数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列， ∴ a n =a 1+(n −1)d =2+n −1=n +1． (2)证明：∵ 点(b n ,T n )在直线y =−12x +1上， ∴ T n =−12b n +1①，∴ T n−1=−12b n−1+1(n ≥2)②.①②两式相减，得b n =−12b n +12b n−1(n ≥2)，∴ 32b n =12b n−1， ∴ b n =13b n−1．由①，令n =1，得b 1=−12b 1+1， ∴ b 1=23，∴ 数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列． 【考点】 等比数列等差数列的通项公式【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)解：由已知点A n 在y 2−x 2=1上知，a n+1−a n =1，∴ 数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列， ∴ a n =a 1+(n −1)d =2+n −1=n +1．(2)证明：∵ 点(b n ,T n )在直线y =−12x +1上，∴ T n =−12b n +1①，∴ T n−1=−12b n−1+1(n ≥2)②.①②两式相减，得b n =−12b n +12b n−1(n ≥2)， ∴ 32b n =12b n−1， ∴ b n =13b n−1．由①，令n =1，得b 1=−12b 1+1，∴ b 1=23，∴ 数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列． 【答案】解：(1)由已知得(12)−a =2，解得a =1． (2)由(1)知f(x)=(12)x ，又g(x)=f(x)，则4−x −2=(12)x ，即(14)x −(12)x −2=0，即[(12)x ]2−(12)x −2=0， 令(12)x =t ，则t 2−t −2=0，即(t −2)(t +1)=0，又t >0，故t =2，即(12)x =2，解得x =−1， 满足条件的x 的值为−1． 【考点】函数的零点与方程根的关系 指数函数的单调性与特殊点【解析】（1）代入点的坐标，即得a 的值；（2）根据条件得到关于x 的方程，解之即可． 【解答】解：(1)由已知得(12)−a =2，解得a =1． (2)由(1)知f(x)=(12)x ，又g(x)=f(x)，则4−x −2=(12)x ，即(14)x −(12)x −2=0，即[(12)x ]2−(12)x −2=0， 令(12)x =t ，则t 2−t −2=0，即(t −2)(t +1)=0，又t >0，故t =2，即(12)x =2，解得x =−1， 满足条件的x 的值为−1．【答案】解：(1)一台机器是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13；该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验， 可设出现故障的机器台数为X ，则X ∼B(4,13)，P(X =0)=C 40(23)4=1681， P(X =1)=C 41×13×(23)3=3281， P(X =2)=C 42×(13)2×(23)2=827， P(X =3)=C 43×(13)3×23=881， P(X =4)=C 44(13)4=181，则X 的分布列为：设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X ≤n ， 则X =0，X =1，X =2，…，X =n ，这n +1个互斥事件的和事件，则∵ 89<90%<8081，∴ 至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.(2)设该厂每月可获利为Y 万元，则Y 的所有可能取值为：18，13，8， P(Y =18)=P(X =0)+P(X =1)+P(X =2)=89， P(Y =13)=P(X =3)=881，P(Y =8)=P(X =4)=181，则Y 的分布列为：则E(Y)=18×89+13×881+8×181=140881，故该厂每月获利的均值为140881万元．【考点】n 次独立重复试验的结果相互独立事件的概率乘法公式 离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）一台机器运行是否出现故障看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障的概率为13；4台机器相当于4次独立重复试验，设出现故障的机器台数为X ，XB(4,13)，求出对应概率值，写出分布列，计算“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”的概率不少于90%的对应工人数；（2）设该厂获利为Y 万元，Y 的所有可能取值为18，13，8，计算对应的概率值，求出分布列与数学期望值． 【解答】解：(1)一台机器是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13； 该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验， 可设出现故障的机器台数为X ，则X ∼B(4,13)，P(X =0)=C 40(23)4=1681， P(X =1)=C 41×13×(23)3=3281，P(X =2)=C 42×(13)2×(23)2=827，P(X =3)=C 43×(13)3×23=881， P(X =4)=C 44(13)4=181，则X 的分布列为：设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n，则X=0，X=1，X=2，…，X=n，这n+1个互斥事件的和事件，则∵89<90%<8081，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.(2)设该厂每月可获利为Y万元，则Y的所有可能取值为：18，13，8，P(Y=18)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=89，P(Y=13)=P(X=3)=881，P(Y=8)=P(X=4)=181，则Y的分布列为：则E(Y)=18×89+13×881+8×181=140881，故该厂每月获利的均值为140881万元．【答案】解：(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)，即有：2a −x−4+a2a−x+a =−2a x−4+a2a x+a,即2+(−4+a)⋅a x2+a⋅a x =−2a x+4−a2a x+a整理可得，a=2.(2)f(x)=2x−12x+1=1−22x+1在R上递增，∵2x+1>1，∴−2<−22x+1<0，∴−1<1−22x+1<1，∴函数f(x)的值域为(−1, 1).(3)当x∈[1, 2]时，2+mf(x)−2x>0恒成立，即为2+m ⋅2x −12x +1−2x >0， 即m >(2x +1)(2x −2)2x −1，令t =2x −1∈[1, 3]，可得 m >(t+2)(t−1)t=t −2t +1,∵ 函数y =t −2t +1在[1, 3]上为增函数， 可得y 的最大值为3−23+1=103，∴ m >103，即实数m 的取值范围为(103,+∞). 【考点】不等式恒成立问题 函数奇偶性的性质 函数的值域及其求法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ f(x)是R 上的奇函数， ∴ f(−x)=−f(x)， 即有：2a −x −4+a 2a −x +a=−2a x −4+a 2a x +a,即2+(−4+a)⋅a x2+a⋅a x=−2a x +4−a 2a x +a整理可得，a =2.(2)f(x)=2x −12x +1=1−22x +1在R 上递增， ∵ 2x +1>1， ∴ −2<−22x +1<0，∴ −1<1−22x +1<1， ∴ 函数f(x)的值域为(−1, 1).(3)当x ∈[1, 2]时，2+mf(x)−2x >0恒成立， 即为2+m ⋅2x −12x +1−2x >0， 即m >(2x +1)(2x −2)2x −1，令t =2x −1∈[1, 3]，可得 m >(t+2)(t−1)t=t −2t +1,∵ 函数y =t −2t +1在[1, 3]上为增函数，可得y 的最大值为3−23+1=103，∴ m >103，即实数m 的取值范围为(103,+∞). 【答案】解：(1)g ′(x )=1x +2ax +b (x >0)．由函数g (x )的图象在点(1,g (1))处的切线平行于x 轴，得g ′(1)=1+2a +b =0， 所以b =−2a −1． (2)由(1)得g ′(x )=2ax 2−(2a+1)x+1x=(2ax−1)(x−1)x．因为函数g (x )的定义域为(0,+∞)， 所以当a =0时，g ′(x )=−x−1x．由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1,即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减． 当a >0时，令g ′(x)=0,得x =1或x =12a ， 若12a<1，即a >12，由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a，由g ′(x )<0，得12a <x <1， 即函数g(x)在(0,12a )， (1,+∞)上单调递增，在(12a ,1)上单调递减； 若12a>1，即0<a <12，由g ′(x )>0，得x >12a或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a ，即函数g (x )在(0,1)，(12a,+∞)上单调递增，在(1,12a)上单调递减；若12a =1，即a =12，在(0,+∞)上恒有g ′(x)≥0，即函数g (x )在(0,+∞)上单调递增． 综上可得，当a =0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减； 当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)，(12a,+∞)上单调递增，在(1,12a)上单调递减；当a =12时，函数g (x )在(0,+∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在(0,12a )，(1,+∞)上单调递增，在(12a ,1)上单调递减． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性 【解析】 无 无 【解答】解：(1)g ′(x )=1x +2ax +b (x >0)．由函数g (x )的图象在点(1,g (1))处的切线平行于x 轴， 得g ′(1)=1+2a +b =0， 所以b =−2a −1． (2)由(1)得g ′(x )=2ax 2−(2a+1)x+1x=(2ax−1)(x−1)x．因为函数g (x )的定义域为(0,+∞)， 所以当a =0时，g ′(x )=−x−1x．由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1,即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减． 当a >0时，令g ′(x)=0,得x =1或x =12a ，若12a <1，即a >12，由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a ，由g ′(x )<0，得12a <x <1， 即函数g(x)在(0,12a)， (1,+∞)上单调递增，在(12a ,1)上单调递减； 若12a >1，即0<a <12，由g ′(x )>0，得x >12a或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a ，即函数g (x )在(0,1)，(12a ,+∞)上单调递增，在(1,12a )上单调递减； 若12a=1，即a =12，在(0,+∞)上恒有g ′(x)≥0，即函数g (x )在(0,+∞)上单调递增．综上可得，当a =0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减； 当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)，(12a,+∞)上单调递增，在(1,12a)上单调递减；当a =12时，函数g (x )在(0,+∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在(0,12a )，(1,+∞)上单调递增，在(12a ,1)上单调递减．。
肇庆市2024届高三毕业班第一次教学质量检测 数学参考答案
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试卷类型：A
肇庆市2021届高中毕业班第一次统一检测
数学
注意事项：
1．本试卷共4页，22题．全卷满分150分，考试用时120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
4．考试结束．监考人员将试卷、答题卷一并收回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合}1{5|M x x =<≤，}2{6|N x x =<≤，则M N =
I A ．{|}
56x x <≤B ．{|}12x x <≤C ．{|}
25x x ≤≤D ．{}
6|1x x <<2．已知复数1122z i =+，其中i 为虚数单位，则i z ⋅=A ．1122i -+B ．1122i +C ．1122i --D ．
1122i -3．设x ∈R ，则“3x >”是“29x ≥”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知函数21l og (),0,()2,0,x x x f x x ⎧+-<⎪=⎨>⎪⎩则()()
11f f -+=A ．2B ．3C ．4D ．5
5．已知函数1()l n x f x e x x -=+，则()
1f '=
A ．0
B ．1
C ．e
D ．2
6．函数()44422()x x f x x x ---=+的图象大致为
7．正方形A B C D 的边长为1，E 为B C 的中点，A F A B A C λ=+uuu r uuu r uuu r
．若2A E A F ⋅=uuu r uuu r ，则λ=A ．1
2B ．1C ．3
2D ．2
8．某公园有一个边长为2 m 的等边三角形花圃，现要在花圃中修一条篱笆，将花圃分成面积相等的两部分，则篱笆的最短长度为
A ．3m
B ．3m
C ．1 m
D ．2m
二、多项选择题：本题共4小题．每小题5分．共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．设,a b 是两条不重合的直线，,αβ是两个不同的平面．下列四个命题中，正确的是
A ．若a αP ，b αP ，则a b
P B ．若a α⊥，b α⊥，则a b P C ．若a α⊥，a β⊥，则αβP D ．若a α⊥，b αP ，则a b
⊥10．等差数列{}n a 中，511a =,1210a =-，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则
A ．1161
a a +=B ．8S 是{}n S 中的最大项C ．9S 是{}
n S 中的最小项D ．89a a <11．如图是函数()()
si n 0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，下列选项正确的是
A ．()si n(2)3
f x x π=-B ．
()si n(4)3f x x π=-C ．()06f π=D ．2()13f π-=
12．下列大小关系正确的有
A ． 2.122 2.1>
B ． 3.922 3.9<
C ．1l n 2l n 22<
D ．58l
og 3l og 5<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知1si n 3x =，则cos x =▲．
14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x =-．若()22f =，则()6f =▲．15．已知等比数列{}n a 中，21S =，232a a +=，则6S =▲．
16．鳖臑（biēnào ）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵．斜
解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。
”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形
的三棱锥的古称．如图，三棱锥A B C D -是一个鳖臑，其中A B B C ⊥，
A B B D ⊥，B C C D ⊥，且4A B B C D C ===，过点B 向A C 引垂线，
垂足为E ，过E 作C D 的平行线，交A D 于点F ，连接B F ．设三棱锥A B C D -的外接球的表面积为1S ，三棱锥A B E F -的外接球的表面积为2S ，则12S S =▲．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在①2A B C S ∆=
，②si n n A C =
，③si n 2
C =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求出a 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在A B C ∆，它的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，且b =
si n 0A A +=，▲？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）
已知函数()321(1)3
f x x ax a x =-+-．（1）当1a =时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；
（2）设()f x '是函数()f x 的导函数，求()
f x '零点之间距离最小时a
的值．
19．（本小题满分12分）
如图，棱长为2的正四面体A B C D （所有棱长均相等的三棱锥）中，E ，F 为A B 和D C
的中点．
（1）证明：A B C D ⊥；
（2）求三棱锥D E F B -的体积．
20．（本小题满分12分）
已知函数()
22n(2)4cos 33f x x x π=--+．（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求函数()
f x 在区间2,123ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的值域．
21．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()
*112n n a S n =+∈N ．（1）求n S ；
（2）若21l og 2n n n n b a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}
n b 的前n 项和n T ．22．（本小题满分12分）
已知函数()1l n 2
f x x ax =--．（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若1x =是函数()()g x xf x =的极值点，求证：函数()g x 存在唯一的极大值点0x ，且()
0102g x -<<．（参考数据：l n 20.693≈）。