选修2-2第二章教案

第二章 推理与证明
第一课时 2.1.1 合情推理（一）
教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入：. 二、讲授新课： 1. 教学概念：
① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ②归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上 归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。

归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？
(ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形角和180度，能归纳出什么结论？
(iii )观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定） 2. 教学例题：
① 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n
n n
a a n a +=
=+，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）
3. 小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳. 三、巩固练习：
22221.:5124,7148,111120,131168,...24,,?
-=-=-=-=观察所得的结果都是的倍数继续试验你能得到什么猜想
1122.{},1,(*),2.n
n n n
a a a a n N a +==
∈+在数列中试猜想这个数列的通项公式
123.,2(1).n n n -+对于任意正整数猜想与的大小关系
教学反思：
第二课时 2.1.1 合情推理（二）
教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、复习准备：
二、讲授新课： 1. 教学概念：
① 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.
2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能
2. 教学例题：
① 出示例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）
思维：直角三角形中，090C ∠=，3条边的长度,,a b c ，2条直角边,a b 和1条斜边c ； →3个面两两垂直的四面体中，090PDF PDE EDF ∠=∠=∠=，4个面的面积123,,S S S 和S 3个“直角面”123,,S S S 和1个“斜面”S . → 拓展：三角形到四面体的类比. 3. 小结：类比推理的一般步骤:
1. 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征
2. 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想
3. 检测猜想
教学反思：
第三课时 2.1.2 演绎推理
教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。

.
教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式. 教学过程： 一、复习准备：
复习:合情推理
归纳推理的一般步骤：类比推理的一般步骤：
二、讲授新课：
观察与思考
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
2.一切奇数都不能被2整除因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数, 因为tan 三角函数, 所以是tan 周期函数
1. 教学概念：
①概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

要点：由一般到特殊的推理。

②讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？
合情推理⎧
⎨
⎩
归纳推理：由特殊到一般
类比推理：由特殊到特殊
；演绎推理：由一般到特殊.
“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所研究的特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
②举例：举出一些用“三段论”推理的例子.
2. 教学例题：
练习
:(0){},.
n n n a cq cq a =≠1.证明通项公式为的数列是等比数列并分析证明过程中的三段论
,,,,:ABC AC BC CD AB ACD BCD ∆>∠>∠2.如图在中是边上的高求证,,ABC CD AB AC BC AD BD ACD BCD
∆⊥>>∠>∠证明：在中因为 所以于是指出上面证明过程中的错误。

3. 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）
• ①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是
由一般到特殊的推理.
• 从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正
确.
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程. 教学反思：
第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
D B
C
A
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备： 二、讲授新课： 1. 教学例题：
① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a(b 2
+c 2
)+b(c 2
+a 2
)≥4abc
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示：
要点：顺推证法；由因导果.
④ 出示例3：在△ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、
b 、
c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.
2. 练习：、
1.已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证
3b c a a c b a b c
a b c
+-+-+-++> 2,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B +=求证：60A B +=. （提示：算tan()A B +） 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P44 练习 1题）
2. ABC ∆的三个角,,A B C 成等差数列，求证：113
a b b c a b c
+=
++++. 3. 作业：教材P 46 A 组 1题. 教学反思：
第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：基本不等式的形式？
2.
讨论：如何证明基本不等式
(0,0)2
a b
a b +>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件） 二、讲授新课： 1. 教学例题：
22
()()0,:.828a b a b a b a b a b
-+->><<例2.已知求证
22222
4.,(),sin cos 2sin ,
(1)
2
sin cos sin ,
(2)
1tan 1tan :.1tan 2(1tan )
k k Z π
αβπθθαθθβαβαβ≠+
∈+=⋅=--=++已知且求证
③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：112
23
33
2
()()x y x y +>+. 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
④ 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求） 2. 练习：
>+1.求证
21
,,,2,(),22a b c S ab S a b c S a ==++<2.设为一个三角形的三边且试证
222tan sin ,tan sin ,()16a b a b ab αααα+=-=-=3.已知求证
3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意） 三、巩固练习：
1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S
是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥.
略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C ab C -+≥，
即证：2cos 23sin C C -≥，即：3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16
C π
+≤（成立）.
2. 作业：教材P 46练习 2、3题. 教学反思：
第三课时 2.2.2 反证法
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备：
A 、
B 、
C 三个人，A 说B 撒谎，B 说C 撒谎，C 说A 、B 都撒谎。

则C 必定是在撒谎，为什么？
分析：假设C 没有撒谎，则C 真. ——那么A 假且B 假; 由A 假，知B 真. 这与
B 假矛盾. 那么假设
C 没有撒谎不成立; 则C 必定是在撒谎.
二、讲授新课：
1. 教学反证法概念及步骤：
提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 2. 教学例题：
332,:2p q p q +=+≤例1.已知求证
例2 已知a ≠0，证明x 的方程ax=b 有且只有一个根。

例3：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？ 与教材不同的证法：反设AB 、CD 被P 平分，∵P 不是圆心，连结O P ， 则由垂径定理：O P AB ，O P CD ，则过P 有两条直线与OP 垂直（矛盾），∴不被P 平分.
③ 练习：
1..求证
3.,,,.2
ABC a b c B π
∆<
的三边的倒数成等差数列求证
3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题） 三、巩固练习： 1. 练习：教材P 45 1、2题 2. 作业：教材P 46 A 组3题. 教学反思：
第一课时 数学归纳法（1）
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点：数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程： 一、复习准备：
1、已知数列{a n }中，a 1=1,a n+1=a n /(a n +1),试求出a 2,a 3,a 4并猜想{a n }的通项公式
2、费马猜想
1
2234
2222*21 5 2117 21257 2165537
21()n
n N +=+=+=+=+∈都是质数，于是他用归纳推理提出猜想任何形如的数都是质数
225522142949672976416700417n
n =+==⨯时，是一个合数：
3、思考
• 从一个袋子里第一次摸出的是一个白球,接着,如果我们有这样一个保证:“当你这一次
摸出的白球,则下一次摸出的一定也是白球.”
能判断这个袋子里装的全是白球吗? 4、多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一牌倒则后一牌也必定倒. 二、讲授新课：
1、数学归纳法的定义
对于某些与正整数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：
先证明当n 取第一个值n 0
时命题成立；
然后假设当n=k(k ÎN*，k ≥n 0
)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设
n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以
断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立 2. 教学数学归纳法的应用：
例1、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n 2
（n ∈N ）. 练习：
求证: 11
(11)(1)(1)321
n ++⋅⋅⋅+
>-n ∈N *）. 3. 小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等. 三、巩固练习： 1. 练习：教材96 1 教学反思：
第二课时 数学归纳法（2）
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式. 教学难点：理解经典不等式的证明思路. 教学过程： 一、复习准备： 二、讲授新课： 1. 教学例题： ①例1:已知数列
1111
,,,,,1×44×77×10(3n -2)(3n +1)
计算1234S ,S ,S ,S ,根据计算的结
果,猜想 n S 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
例2:是否存在常数a 、b,使得等式:222212n an +n ++…+=1335(2n -1)(2n +1)bn +2
对一切正整数n 都成立,并证明你的结论.
例3:用数学归纳法证明2131()352n n f n ++=⨯+对任意的自然数n,f(n)都能被17整除
例4:平面有n 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.
教学反思：。