硬币滚动中的数学

六年级上册数学第四单元《圆的周长》教学反思

六年级上册数学第四单元《圆的周长》教学反思六年级上册数学第四单元《圆的周长》教学反思「篇一」[案例]师：用自己的话说一说什么是圆的周长。

（同桌间利用圆形物体互相指一指）师：对呀，圆是一个曲线图形。

你们有办法测量它的周长吗？生1：“滚动”——把实物圆（如硬币）放在直尺上滚动一周，所经过的长度即为这个圆的周长。

生2：“缠绕”——用棉线绕圆一周并打开，然后将棉线拉直，测量出它的长度就是这个圆的周长。

生3：我同意刚才两人的观点。

我还有一个建议：将一个圆纸片对折后再滚一滚或是用棉线绕一绕，把测量得出的数据再乘2就行了。

这样测量比较快。

生4：“剪圆”——沿着这个圆的边缘剪下一圈，越细越好，可以将这一圈近似地看成是一条线段，然后测出纸条的长度，即为圆的周长。

（学生根据自己的经验测量圆的周长，并进行演示。

）师：看来大家都有一个共同的愿望，把圆的周长曲线段转化成直的线段。

（板书：曲转化直）[点评]：在学生意犹未尽的时候，及时带领学生进行过程整理。

因为学生的体验一方面来自教师有意识的引导，另一方面是对经历过程所带来的情绪回味。

师：在显示生活中有许许多多大小不同的圆，如果每次测量圆周长都用大家提出的这些方法，你觉得怎样？有什么好主意吗？生：我觉得可以像其他平面图形长方形、正方形那样，研究出圆周长的计算的一般方法，这样就好办了。

[点评]：在矛盾冲突中，使学生感到“滚动”、“缠绕”等方法测量圆周长有一定的局限性。

甚至根本做不到。

从而有效地激发学生对圆周长计算公式的探究欲望，可以说是“水到渠成”。

师：你们认为圆周长与它的什么有关呢？生：我认为圆周长与它的直径有关。

通过观察，我们不难发现，直径越大的圆，它的周长也越长。

师：对呀，正方形的周长总是边长的4倍。

（出示图）猜猜看：圆周长会是直径的几倍呢？图示：生1：在这幅图中，正方形的边长与圆的直径相等，而圆正好套在正方形内，所以，我认为圆的周长小于直径的4倍。

生2：我还可以观察得出：因为圆周长的一半是打援直径的，所以我认为圆周长大于直径的2倍。

r
r
B
O3
90 r 5 2 r r 180 2
第四关
如图：若AB长为2πr，点C为AB上任一点，如图所示，这时这枚半径为r的硬币从点A到点B圆心经过的距离 ?
r O
O1
A
C
(180 ) r 2 r 180
B
第五关：硬币在多边形上滚动
如图，如果是一任意一个周长为2πr多边形呢，动圆圆心经过的距离？
结论：当硬币在多边形的外侧
上滚动时，圆心经过的距离 =
360 r 2 r 4 r 180
闯关拓展
如图，若线段AB=
4 r，则这枚半径为r的硬币
O1
从点A无滑动地滚动到点B需转 2 圈；
r
O
A
4 r
B
结论：当硬币在直线上滚动时，圆心经过的路径长硬币滚动的圈数圆周长
闯关拓展
r r
第9题图
能力提高

2、（2015年恩施）如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于 5π .
A
能力提高

3、有2016个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这 2016个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为
60 2r 1 120 2r 2 2014 2 2 r 1345 180 3 180
综合应用
4、一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示：AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm， CD=40cm，BC=40cm，圆盘从A点滚动到D点，圆心所经过的路线的长度为多少？ C 40cm D

关于滚圆问题的若干思考

度恒为１０．８。
１３滚动和纯滚动．
圆沿着另外一个圆的内表面滚动，比较典型的例子是１９年山西省的一道竞赛试题：９０例２如图２圆的半径为ｒ圆（的半径，，二）
为４，从图中所示位置出发绕圆（作无滑动ｒ圆）滚动．要使圆的圆心返回到原来位圆滚置，
（）；Ａ３
（）；Ｂ４
（）；Ｃ５
（）．Ｄ６
点评：这两道题目在用词上各有特点：ｉ例用
不能算作是尘埃落定，其原因主要有两个方面：（）１一些概念在表述的时候仍显得相当模糊；
（）圆问题的本质还没被大家所知晓．２滚鉴于这种状况，笔者结合物理学知识谈谈自己对滚圆问题的一些认识，供读者参考．Ｉ有关概念的界定．
２１年第１期０１０
数学数学
１ｌｏ三
关于滚圆问题的若干思考
３５０浙江省慈溪市育才中学初中部童浩军１０３
一
个圆沿着其他物体的表面滚动，它的转数
动的圈数为 ……… … … … … … … … … … （）
问题在初中数学中已被讨论了二十余年（以下简称“ 圆问题”．于这场讨论笔者认为至今尚滚）关
现在来具体讨论滚圆（以下没特别说明，滚
动均指纯滚动）自转转数问题．的２沿折线型表面滚动．２１沿直线型表面滚动．如图３圆沿直线ｆ，由ｏ《位置滚动到ｏ（二）＝）位置（半径ＯＡ相应地移到《的位置）由于滚二），动时没有打滑，所以（０：Ａ二Ｂ＝Ｊ『）Ｅ的长，｝Ｃ显然

综合与实践硬币滚动中的数学

学习二次函数时，由抛物线1平移得到抛物线2，研究平移的方向和距离，可考查的两抛物线的特殊点——顶点。硬币在平面上滚动，要研究它滚动情况，观察什么点最理想？
圆心。
变式问题2：如图3，线段AB=4πr ，则这枚半径为r的硬
币从点A滚动到点B需滚动几圈？ 2圈
通过问题1和问题2, 当硬币在直线段上滚动时，
①圆心经过的路径的长度与圆滚动过的长度有什么关系？
②滚动的圈数、滚动的路径与圆的周长三者之间有什么规律?
圆经过的路径长圆心经过的路径长
硬币滚动的圈数=
圆周长

圆周长
问题3：若将图3的线段AB从中点C处折成一个直角形状，
如图4（1）.这时两折线段的总长仍为4πr，这枚半径为r的
硬币从点A滚动到点B是否还是滚动2圈？
折线
4r
120 度
4r 2r 120 (4r 2r 120) 2r
360
360
③ α度
折线
4r
180-α
度
44rr22rr1(80 ) [4r
360
2r
180 ] 2r 360
④ α度
折线
a
180-α
度
a 2r21r8(0
小李说对了吗？
r
先猜一猜，再动手做一做。动手实验时，请
N
在硬币⊙M上作好记号.
实验的结果是，⊙M沿着⊙N的边缘滚动，要
图1
滚动二圈.
为什么⊙M沿着⊙N的边缘滚动，会滚动二圈，而不是一
圈呢？这里面隐含着怎样的数学知识呢？这节课我们一起来
学习“硬币滚动中的数学”.
要研究⊙M沿着⊙N的边缘滚动二圈的原因，先研究最简单的情形，即⊙O在线段AB上滚动的情形图2。

专题22 几何三大变换问题之旋转问题(压轴题)

《中考压轴题》专题22：几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题一、选择题1.如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为A ．22-B ．32C ．31-D ．12.如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为（2，5），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B ，点A 的对应点A'在x 轴上，则点O'的坐标为A ．（203，103）B ．（163，453）C ．（203，453）D ．（163，43）3.在平面直角坐标系中，函数y=x 2﹣2x （x≥0）的图象为C 1，C 1关于原点对称的图象为C 2，则直线y=a （a 为常数）与C 1、C 2的交点共有A.1个B.1个或2个C.个或2个或3个D.1个或2个或3个或4个4.如图，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O 1为矩形的中心，⊙O 2的半径为1，O 1O 2⊥AB 于点P ，O 1O 2=6．若⊙O 2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为A．30°B．60°C．90°D．150°6.如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为A．122π+B．12π+C．1π+D．3-7.如图，直线y=2x与双曲线2yx=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为A．（1.0）B．（1.0）或（﹣1.0）C．（2.0）或（0，﹣2）D．（﹣2.1）或（2，﹣1）8.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是A．45°B．60°C．90°D．120°9.如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1 C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3二、填空题1.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A'B'C'，若∠BAC=90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于.2.如图，在在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2014OB2014，则点A2014的坐标为．3.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为．5.如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是．6.如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依次作法，则∠AA n A n+1等于度．（用含n的代数式表示，n为正整数）7.如图（1），有两个全等的正三角形ABC和ODE，点O、C分别为△ABC、△DEO的重心；固定点O，将△ODE顺时针旋转，使得OD经过点C，如图（2），则图（2）中四边形OGCF与△OCH面积的比为．8.如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为．9.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（53，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为．10.通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为．11．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是．=上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点12.如图，平面直角坐标系中，已知直线y xP顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴。

“滚动的硬币”实验方案

“滚动的硬币”实验方案作者：王磊来源：《初中生世界·九年级》2014年第10期【实验课题】滚动的硬币.【实验背景】通过本次实验活动，帮助大家系统地理解《圆》这章的知识，感受生活问题数学化的过程.学会用系统思维思考动态几何的特点.经历对硬币滚动的轨迹和硬币移动的距离规律的研究，发展动手操作能力，提高数学思维水平与解决问题的能力.【实验目的】探究硬币滚动过程中的规律.【实验难点】探索硬币在两折线交汇处的运动轨迹及在不同轨道上运动的轨迹.【实验准备】一元硬币（半径为r，以下相同）若干，实验活动单，常用数学作图工具.【实验过程】活动一：熟悉硬币的滚动规律1. 将一枚硬币沿着直线l滚动一周，观察它滚动时圆心的运动的轨迹和移动的距离.思考：（1）硬币滚动时圆心的运动的轨迹是什么？硬币移动了多长路程？如果将这条直线变为线段，那么这条线段至少需要多长？_______________________________（2）研究硬币移动的路程时，有怎样的观测技巧？_______________________________【活动说明】从最简单的规律开始研究，为之后的实验活动打下基础.要弄清硬币滚动时圆心运动的轨迹和自身的移动路程之间的关系.活动二：探究简单的硬币滚动规律1. 围绕一条折线滚动如图1，一枚硬币（设为☉O）在折线AB-BC上滚动，观察它滚动时圆心运动的轨迹和圆心经过的路径的长度.【思考】（1）圆与AB、BC是什么关系？_______________________________（2）☉O的圆心移动的路程等于线段AB与线段BC的长度之和吗？_______________________________（3）若∠O1BO2=n°，则该角度会对硬币圆心移动的路程有什么影响？_______________________________【活动说明】把直线改为折线，逐步增加探究的深度，通过观察、思考、探究、交流和总结的过程，锻炼自主学习和语言表达能力，为下一环节的学习做铺垫.2. 围绕一个三角形滚动如图2，若硬币围绕一个三角形滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？_______________________________3. 围绕一个多边形滚动如图3，若硬币围绕一个多边形（设周长为C）滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？_______________________________【活动说明】由折线改为多边形，从而使情况由简单到复杂，由特殊到一般，遵循了人的认知规律.4. 将两枚同样大小的硬币放在桌子上，固定其中一个，而另一个则沿着其边缘滚动一周，观察它滚动时圆心运动的轨迹和路径长度，你有何发现？_______________________________【活动说明】轨道改变为圆形时，也可以看成是当多边形的边数n趋近于无穷大时的图形，如下图5所示.活动三：拓展延伸，开阔视野问题：☉O围绕的轨道改为下列情形，你能发现其中的数学奥秘吗？（1）若半径为r的☉O沿着半径为2r的☉A滚动一周（如图6所示），这时圆心运动的路径长度是多少？_______________________________（2）若半径为r的☉O沿着7个半径均为r的圆连贯而成图形的边缘滚动一周，这时圆心沿着怎样的轨迹运动？路径长度是多少？_______________________________（3）若半径为r的☉O沿着由6 个半径均为r的圆拼成图形的边缘滚动一周，这时，圆心沿着什么样的轨迹运动？路径长度是多少？_______________________________【活动说明】“活动三”主要探索硬币在不同轨道中滚动的情况，是对“活动一”和“活动二”的总结和提高.运用前面的探究结论，结合等边三角形的知识，“活动三”的问题可迎刃而解.通过三个难度逐步加大的实验，进一步锻炼了同学们的动手能力和思维能力，加强了小组成员间的合作意识.（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）。

玩转硬币——大班数学教案

玩转硬币——大班数学教案硬币是我们生活中不可或缺的物品，它不仅用来购买商品，还可以成为数学学习的好工具。

本教案面向大班学生，通过玩硬币来巩固他们对数学的理解，提高数学思维能力。

本教案的教学目标是让学生在玩的过程中，更好地掌握加减法和概率的概念和基本方法。

一、教学内容1.硬币的基本知识介绍硬币是什么，有哪些面值，有哪些图案和文字等。

2.硬币的加减法应用通过教师引导，学生可以完成一些基础的加减法练习。

3.硬币的概率介绍什么是概率，如何计算硬币正面和反面的概率等。

二、教学步骤1.硬币的基本知识教师可以展示一些硬币，让学生熟悉不同的面值、图案和文字。

“中国人民银行”、“中华人民共和国”等字样，可以让学生更好地了解自己的国家。

2.硬币的加减法应用教师可以通过举例子的方式，让学生掌握加减法。

例如，抛硬币的场景，让学生预测抛出正面或反面的概率，然后根据实际情况，让学生进行加减法的运算。

还可以设计多层楼梯的问题，让学生计算需要多少个硬币才能到达目标高度等。

3.硬币的概率教师可以提供一些实例，例如抛一枚硬币，问正面向上的概率是多少。

让学生自己发挥想象力，在班级组成小组，根据自己的猜测和实验结果，计算出正面和反面的概率；最终得到的结果可以通过校验，再进行讨论和总结，从而得出硬币正面和反面的概率。

三、教学特色1.激发学生兴趣我们运用教师所提供的场景和问题，在玩的过程中让学生掌握基础的加减法运算方法，引导学生来感受数学的魅力，让学生在学习中享受到快乐和竞争的乐趣。

2.开拓思维领域我们教师提供了一些场景和问题，在学生玩的同时，培养他们对各种情境的观察和思考能力；同时，我们让学生尝试寻找概率的规律和模式，让他们进一步探索和发现数学的智慧。

3.活动形式多样我们在教学中采用了包括课前预习、课上演示、小组讨论、游戏竞赛等形式，让学生有必要使用不同的技巧和方法，培养学生的多元思维能力，有针对性地提高他们在数学指标上的综合素质。

四、教学效果在本次教学活动中，学生遵循教师的引导，在玩的过程中良好的兴趣与专注力，对所学知识有了进一步的掌握和理解，同时培养了自己的创造性思维能力与实践动手操作技巧，提高了他们的数学素质，增加了对知识的记忆和掌握，激发了他们学习的激情，使选择数学成为一项喜爱的学科。

硬币滚动中的数学

10 πr 8 πr 18 πr + = = 6 π． 3 3 3 硬币运动的路程均为几段弧的长度之
和．解决问题的关键在于确定弧所在圆的圆心角的度数及哪几段弧．点评学生通过做实验，画图，观察发现硬币滚动
的过程中始终要与轨道相切，所以当硬币要由一个圆形到另一个圆形时，会与这两个圆形轨道同时外切．因此就能自己发现这三个圆形圆心的连线是等边三角形，而得到 ∠BCD = 60 ° ，所以 ∠ OAB = 120 ° ，即硬币在两侧的弧所对的圆心角是 120 ° ，在中间所经过弧所对的圆心角都是 60 °．（ 3 ）由 6 个半径均为 r 的圆形相拼而成的图形
（ 180 ° － ∠ BCD） πR + CD 180 ° + （ 180 ° － ∠CDE） πR +… 180 ° α1 π R α2 π R α3 π R + BC + + CD + +… 180 ° 180 ° 180 ° 360 ° πR 180 °
)
生4 ：多了 DE，还要加DE 的长度．生5 ：运动距离为两部分的和，即线段的长度加弧长DE．老师请画图的学生说明原因．生6 ： ⊙ O 在线段 AC 和 BC 上滚动时，都和直线 AC OA 始终和直线垂直，和 BC 相切，在运动过程中，所以当圆心 O 从 D 到 E 时，多走了一段 DE，圆心 O 在线段 AC 上移动的距离等于 AC 的长度，在线段 BC 运动的距离等点评
硬币运动的轨迹就是一条与运动轨道平行的线段．滚动的距离实际是圆心 O 移动的距离、线段的长度．（ 2 ）由两条直线段组成，其夹角为 α．师：当圆沿着直线 AC 和 BC 滚动时，圆与直线是什么位置关系？生：仍然相切，此时过切点的半径与切线垂直．师：（ 1 ）这时⊙O 滚动的距离还是等于折线段 AB 的长度吗？（ 2 ）角度对滚动的距离有什么影响？老师示意小组合作，动手实验．

用硬币玩出数学天地——大班数学教案

用硬币玩出数学天地——大班数学教案硬币作为人们日常生活中不可缺少的物品之一，早在古代，就已有制作。

除了具有交易和储藏价值，硬币还可以用于游戏和进行各种数学操作。

本篇文章着眼于幼儿园大班学生的数学课，介绍了一些与硬币相关的教学活动，旨在培养幼儿的观察能力，分析能力和解决问题能力。

第一节：硬币的形状和属性教学目标学习硬币的形状，属性和分类，通过认识硬币分布区域的特征，提高孩子们的观察能力和归纳总结能力。

教学准备硬币（小学生常用的1元硬币或5角硬币）教学过程1.老师将硬币指给孩子们观察，引导他们发现硬币的形状，边缘和大小等特征，如：“大家瞧，这是一枚硬币，它的形状是圆的，边缘是有齿的，直径大约为2.5cm，硬币的正面印着人物像，反面印着国家标志。

”2.老师将其余的硬币给孩子们自由观察，然后将硬币混在一起，并放在桌面上，让孩子们来分别找出不同的硬币。

3.老师引领孩子们讨论不同硬币的名字，如：“这个硬币叫什么？那个硬币叫什么？”4.老师安排孩子们对不同硬币进行分类，并讨论他们的共同特点，如：“孩子们，我们把这些硬币分成两类：一元硬币和五角硬币，请大家分别把它们放在不同的盒子里。

它们有什么共同点呢？”第二节：硬币计数教学目标通过使用硬币，学习数数方法和方法，张口唱歌，并建立数字概念。

教学准备硬币（一元硬币和五角硬币），数学卡片或写有数字的卡片。

教学过程1.老师张贴数字卡片在黑板上，并让孩子数出该数字对应的硬币个数。

例如：“1”->一个一元硬币“5”->一个五角硬币2.老师给孩子们数学卡片或写有数字的卡片，并让孩子们使用硬币计数。

例如：“请你给我5个一元硬币。

”3.老师和孩子们合作找一些多种硬币的组合方法，以实现某个特定数字。

例如：“我们要买一个糖果，糖果的价格是1元，请问你能用哪些硬币组成1元呢？”4.孩子们在计算完成后，重新搜集硬币，自行组成所有数字。

第三节：硬币交换教学目标通过使用硬币，学习交换价值和理解数目。

硬币滚动中的数学

硬币滚动中的数学
硬币滚动是一种简单的游戏，它可以让人们在室内娱乐。

它要求玩家将一枚硬币滚动到一个封闭的目的地，通常是桌子的另一边。

游戏的目的是让硬币朝着一个指定的方向滚动，尽可能收集50分以上的得分。

尽管这看起来很简单，但是游戏的数学原理却是相当复杂的。

硬币有不同的形状和重量，根据不同的参数会产生不同的滚动行为。

角度，表面粗糙度和重力都会影响硬币的滚动方式，而这些参数又会随着时间而改变，所以不可能静态预测结果。

此外，硬币滚动还可以利用动力学原理。

如果硬币滚动的速度和力量足够强烈，那么它就可以穿过凸起的空间和完美地移动到目的地，而这正是硬币滚动的挑战所在。

此外，根据桌面的形状，这两个参数可能会变化，因此玩家必须根据实际情况做出改变。

总而言之，硬币滚动是一个相当有趣的游戏，在数学上仍然有很多未知的空间，因此作为一个解谜的游戏，硬币滚动仍然具有很大的吸引力。

发现日常生活中的滚动现象——有趣的滚动教学实践

作为一名教育工作者，我深知教育需要与时俱进，尤其是在数字化时代，我们教师需要把学生与数字技术联系起来，让他们更好地掌握使用数字技术的能力。

而滚动现象是一个非常有趣的教学话题，可以帮助学生更好地理解物理和数学概念。

在本文中，我们将探讨如何发现日常生活中的滚动现象，并且引入一些有趣的滚动教学实践。

一、日常生活中的滚动现象滚动是物理学家经常研究的一种动态现象。

我们在生活中也能很常见地看到它，如何制造旋转，如何使物体开始移动以及如何保持它们在运动中。

我们可以看到，当我们尝试将一些小球从一端推向另一端时，它们会沿着地面滚动。

这个过程中有许多可以探索的因素，例如小球的大小、形状，地面的摩擦力等等。

此外，许多机器和设备也是于滚动的。

如，苹果手机上的电话图标是可以滚动的，让用户可以访问更多的联系人。

二、滚动教学实践1.手掌滚动实验在这个实验中，我们可以使用一些小的球形物品来测试它们是如何滚动的。

我们需要使用手掌把它们推到地面上，看看它们会在什么样的情况下滚动，如何控制它们的方向以及速度。

学生们可以通过实践来深入了解滚动的物理原理。

2.纸卷滚动实验这个实验可以使用一张纸卷，把纸卷放在桌子上，接着放上一个小球，然后扶起纸板的一端，看看小球是如何沿着卷曲的纸板滚动的以及它的滚动速度和方向。

老师可以通过这个实验来向学生们展示如何利用滚动物体的原理来设计简单的机器和设备。

3.模拟滚动运动通过模拟滚动运动，让学生更好地理解滚动的物理原理。

首先放置一个硬币或其他圆形物体在桌面上，然后轻轻地向它推动。

当硬币开始转动时，让学生观察它的速度、方向和其他特征。

然后让学生自己尝试控制硬币的滚动速度和方向。

这个实践可以让学生更加深入地理解滚动的物理原理，以及使用滚动运动设计机器和设备的原理。

在滚动教学实践中，老师不仅可以帮助学生更好地理解滚动的物理和数学概念，更重要的是可以激发他们的探索欲望，让学生在实践中发现问题，提出解决方案，培养他们的创新和解决问题的能力。

“深藏不露”的硬币体会(一)

神秘的硬币南阳市油田第三小学602班李世豪指导老师：王青伟一、提出问题：硬币在我们的日常生活中非常常见，它的用处也很广，无时无刻都能见到它。

但你们真正的了解它吗？知道他它们本身的数据吗？下面我就给你们一一解答。

二、测量数据：我们测量1角、5角和1元硬币的周长、直径和厚度如下表：硬币上一个数字“1”做标记，对准直尺的“0”刻度，再用手指轻轻滚动硬币（注意：滚动的时候不能跑偏，一但跑偏就得重新滚动，我们就因为这样滚动了无数次），一直滚动到数字“1”这个标记就是硬币的周长。

第二种方法是使用细绳绕硬币一圈，在绳子上用钢笔做个标记，再量出绳子从头到做标记的长度，也是硬币的周长（在绕的时候绳子会伸长，一定要把握好长度）。

测量直径的方法也有两种，较为简便的方法是，用两个三角板来夹紧硬币，然后用直尺在下面量两个三角板之间的距离，这就是那个硬币的直径。

另一个较为麻烦的方法，用直尺“0”刻度，对齐硬币边沿，直尺另一边上下移动，找到最长的线段就是直径。

这个方法不适合直接来量直径，用来验证比较好。

测量硬币厚度的方法：由于1个硬币的厚度太薄，所以只好用10个硬币叠在一起来测量。

测量时，10个硬币叠放在桌子边缘，用直尺“0”刻度对齐底部，测出高度就知识一个硬币的厚度了。

三、进行计算：1、验证圆周率。

计算三枚硬币周长与直径的比值如下表：能精确的将圆周率推算到7位数小数，真不容易！2、计算三枚硬币上的圆面积如下表：四、我的收获：通过这次实验活动，我的收获还真不少，知道了小组合作协作重要性，团结就是力量；了解了各个硬币本身的数据，同样的面积，圆形比较省材料，占的空间比较小；这次测量数据，让我增长了做事情要有耐心和细心。

我爱人民币——硬币南阳市油田第三小学602班田亚楠指导老师王青伟硬币在我们生活中经常用到，提供了许多便利。

银行、商店、做公交车都使用它。

学完圆的认识后，我们小组对人民币——硬币进行测量和计算。

我们小组共有有七个人，分别是：陈杨、王黎明、李政鼎，李晓东、李世豪、程彦吉和我。

综合与实践硬币滚动中的数学-华东师大版九年级数学下册教案

综合与实践硬币滚动中的数学-华东师大版九年级数学下册教案一、教学目标1.了解硬币滚动的基本规律2.理解角动量守恒定理，学习如何根据定理解决问题3.思维灵活，有创造性，能够运用所学的数学知识解决实际问题。

二、教学内容1.硬币滚动的基本规律2.角动量守恒定理3.实战演练三、教学重点1.规律的了解和理解2.角动量守恒定理的原理和应用四、教学难点1.角动量守恒定理的原理和应用2.同学们需要能够掌握一定数学思维并运用灵活。

五、教学过程(1)导入环节通过一则小视频来完成本节课的导入，视频中展示了两个硬币在台阶上滚动，其中一个硬币滚动的距离明显比另一个长，询问同学们为什么呢？(2) 活动1-硬币滚动的探究1.分组进行学习：同学们按照自己的小组进行研究。

2.观察探究：观察硬币在台阶上滚动时的规律，并进行总结。

3.交流讨论：小组之间进行分享和交流。

(3) 活动2-角动量守恒定理的应用1.角动量守恒定理的介绍和讲解2.实战演练：同学们根据所学知识，自己设计实验并进行演练。

(4) 活动3-总结延伸1.学习总结：总结观察到的规律和角动量守恒定理，并进行总结。

2.延伸拓展：探究极限情况和不同形状的物体在同等条件下的滚动规律。

(5) 板书设计勾勒出关键点，强化各个重点概念，让同学们学以致用。

六、教学评价1.观察同学们的小组交流、分享合作情况。

2.通过实战演练考核同学们能否应用所学角动量守恒定理解决问题。

3.掌握角动量守恒定理的本质以及规律的掌握与推广的能力。

七、思考和总结1.通过描述硬币的滚动规律和相关物理学概念，让学生对物理学的基本知识有更深刻的认识。

2.通过实验演示、讨论和总结，让学生成为能够独立思考、观察、实验和总结的全面人才。

八、延伸阅读教师可在本节课之后为同学们推荐一些有关角动量守恒定理相关的科普故事、书籍和视频。

同时也应该让同学们意识到在生活中学习不仅仅是为了考试，还是为了让生活变得更好，能够学以致用。

小学奥数-求硬币旋转圈数问题

“求硬币旋转圈数问题”的另一种方法2004年《小学数学教师》第5期77页上有这样一个著名的经典问题：甲乙两枚大小相等的硬币。

现将硬币甲固定，让硬币乙沿硬币甲的周围滚动，当硬币乙滚动一周，回到原来位置时，硬币乙旋转了几圈？这题的答案是2圈，对于文中的答案书上给出了两种解释。

对于这两种方法，虽然都说明了为什么会转2圈的道理，但都显得比较抽象、难懂。

而且用这两种方法去解答后面的题目都给人太复杂的感觉。

我认为还有更直观易懂的方法去解释它。

一、预备定理：“一个圆滚动前进，这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。

”二、证明：“如右图，圆和这条直线相切于A 点，这个圆从A 点开始沿着直线滚动一周后再和这条直线相切于A 点，这时圆心所经过路径长度为线段OO 的长度，圆周所滚过的路径长度为线段AA 的长度，这两个长度是一样的。

事实上因为“圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹”，滚动时圆上的点前进多少，圆心也会前进多少。

因此，不管圆怎样滚动，圆心所经过轨迹的长度一定会等于圆周所滚动过的长度。

利用以上的结论，对于开头的问题，我是这样去理解的：甲硬币固定不动，乙硬币沿甲硬币的周围自我滚动，当乙把甲的圆周滚完后又回到起始点时，乙硬币的圆心所经过的轨迹就是一个以甲硬币的圆心为中心的圆，如右图，设这个大圆的半径为R ，这个大圆的周长=乙硬币的圆心所经过轨迹的长度=2πR 。

利用预备定理：这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。

所以当硬币乙沿硬币乙甲甲的周围滚动一周后再回到起始点时，硬币乙一共滚动过的距离也等2πR，而硬币乙自己滚动一周的长度为为2πr（本圆的周长）。

这儿R=2r，所以2πR是2πr的2倍，2πR÷2πr=2，即硬币乙一共旋转了2圈。

用这个方法去考虑这类问题的优点在于：只要看出这个滚动物体的圆心所经过的路径（轨迹），并求出这个路径（轨迹）的长度，再用这个长度去除以这个物体自身滚动一周所经过的长度，答案即为自己所旋转的圈数。

九年级数学下册第27章综合实践硬币滚动中的数学课件

则圆心O经过的路径弧O1O2的长为
60π∙1 180
=
π 3
3、如图③，∠ABC=90°，AB=BC=π，半径为1的⊙O从⊙O1的位
置程出中发，，圆心⊙OO在经∠过A的B路C外径部长沿为A-B-C滚动π到+π⊙+ O9401的π8∙0位1 置=，52在π 这个过 4、如图④，△ABC的周长为4π，半径为1的⊙O从与AB相切于
6、将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时硬币自身滚动了（ C） A．1圈 B．1.5圈 C．2圈 D．2.5圈
7、在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，有一个半径为1的
硬币与边AB、AD相切，硬币从如图所示的位置开始，
在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置
点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，
又回到与AB相切于点D的位置，在这个过程中，圆心O经过的
路径长为
4π+2π∙1=6π
5、如图⑤，多边形的周长为l，半径为r的⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，在这个过程中，圆心O经过的路径长为 1+2πr
思考：在问题2的基础上，请试着画出滚动的轨迹，
求出滚动的距离.
问题3：将一个半径为r的硬币在一个周长为2πr 的多边形上滚动
αn α4
α1 α1
α2 α3
滚动的距离？
α2
=2πr+
360πr 180
=4πr
α1 + α2 + α3 +……+ αn =3600
问题4：将一个半径为r的硬币在一个周长为2πr 的

初中数学《硬币滚动中的数学》教案

初中数学《硬币滚动中的数学》教案一、教学目标：1.知识与能力目标（1）了解硬币滚动的基本知识，包括硬币的直径、厚度、重量等。

（2）掌握硬币滚动的基本公式，能够运用公式解决硬币滚动过程中的数学问题。

2.过程与方法目标（1）通过多种形式的示例、练习和实践活动，引导学生深入理解硬币滚动中的数学原理。

（2）培养学生合作与交流的精神，激发学生对数学的兴趣和学习积极性。

二、教学内容：1.硬币滚动的概念和基本知识（1）介绍硬币滚动的定义和特点，引导学生观察并描述硬币滚动的现象。

（2）了解硬币的基本参数，如直径、厚度、重量等。

2.硬币滚动的基本公式（1）引导学生思考硬币滚动的数学原理，通过实例引导学生推导出硬币滚动的基本公式。

（2）讲解硬币滚动的基本公式，并通过实例演示公式的应用。

3.硬币滚动中的数学问题解决（1）引导学生通过练习，掌握运用硬币滚动的基本公式解决数学问题的方法和步骤。

（2）以实际问题为背景，设计相关的数学问题，引导学生独立思考并解决问题。

4.实践活动（1）组织学生进行实践活动，通过实际操作模拟硬币滚动的过程，加深对数学原理的理解。

（2）引导学生根据实际操作获得的数据，应用硬币滚动的公式进行计算和分析。

三、教学过程：1.导入新知识教师向学生展示一枚硬币，并引导学生观察硬币滚动的现象，提问：“硬币滚动的时候，你们觉得有什么特点？”学生回答后教师指出滚动时硬币的形状不变，并引导学生进一步思考和讨论。

2.探究硬币滚动的数学原理教师给出一枚硬币的直径、厚度和重量等参数，通过实例引导学生思考硬币滚动的数学原理和公式，并帮助学生推导出硬币滚动的基本公式。

3.讲解硬币滚动的基本公式教师讲解硬币滚动的基本公式，并通过实例演示公式的应用和计算步骤。

4.练习与巩固教师组织学生进行练习，使用硬币滚动的基本公式解决相关的数学问题，加深学生对公式的理解和掌握程度。

5.引导学生独立思考和解决问题教师以实际问题为背景，设计相关的数学问题，引导学生独立思考和解决问题，并鼓励学生在小组内讨论和交流。

课题图形的滚动

课题:图形的滚动执教：射阳二中胡仁界教学目标:经历对图形滚动类问题的探究过程，寻求解决滚动类数学问题的途径，培养学生用动态思维去分析问题和解决问题的能力，感受数学知识的趣味，体验到数学的魅力。

教学过程：一. 导入二. 探究活动一:圆的滚动1. 课前小实验:两枚如图同样大的硬币，其中一个固定，另一个沿其周围滚动。

滚动时两枚硬币总保持有一点相接触（外切），当滚动的硬币沿固定的硬币作无滑动滚动一圈回到原来的位置时，滚动的那个硬币自转了几周?2. 探讨:车轮的滚动在平地上,自行车车轮(设半径为R)滚动一周,前进了多少路程?由此你发现了什么规律？[即学即用]小明从家到学校的路程为1km,他骑的自行车的半径为30cm,那么,小明从家里骑车到学校,车轮大约转了多少圈?(π取3.14,精确到1圈.)3.你能说出硬币转动周数的计算方法吗?4.拓展:(1)有两个大小不等的圆,定圆⊙O 的半径为6cm,动圆⊙P 的半径为2cm,若⊙P 紧贴⊙O 外侧滚动一周,则 ⊙P 自转了多少圈?(2)若(1)中的⊙P 紧贴⊙O 内侧滚动一周,则 ⊙P 自转了多少圈?方法小结:如何计算滚动的圆自转的圈数?5.中考链接:[例1]将半径为2cm 的圆形纸板,沿着边长分别为16cm 和12cm 的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?.O .P ..变化:如果圆开纸板贴着矩形内侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?[例2]一位小朋友在粗糙不打滑的“Z ”形平面轨道上滚动一个半径为10cm 的圆盘，如图所示，AB 与CD 是水平的，BC 与水平面的夹角为60°，其中，AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你画出圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。

三.探究活动二：多边形的滚动[例3]如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置上，设BC ＝1，AC，则顶点A 运动到A 2的位置时，点A 经过的路线有多长？点A 经过的路线与直线l 所围成的图形的面积有多大？[例4] 如图,小正六边形沿着大正六边形的边,按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半,如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在这个过程中线段OA 围绕着点O 旋转了多少度?四.课堂小结五.作业.A604040BA C DO A A B B C CA A .O O.《滚动的图形》探究练习班级_____学号______姓名________1. 如图一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）圈.2.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束走过的路径长度是____________。

旋转硬币悖论

旋转硬币悖论
旋转硬币悖论是一个有趣的数学现象，也被称为“硬币悖论”或“滚动硬币悖论”。

具体来说，这个悖论涉及到两个大小相同的硬币，一个硬币固定不动，另一个硬币沿着固定不动的硬币边缘滚动一周。

按照常规的思维，我们可能会认为滚动的硬币只转动了一周，但实际上，滚动的硬币却转动了两周才回到起始位置。

这个悖论的本质在于硬币在滚动时，其圆心的运动轨迹并非圆形，而是一个腰子形状的路径，也称为肾形线。

因此，在硬币滚动的过程中，圆心所经过的路程实际上是硬币周长的两倍，这导致硬币需要转动两周才能回到起始位置。

这个现象在数学上被称为“旋转悖论”或“滚动悖论”，它挑战了我们对旋转和滚动的直观理解。

类似的现象也可以在其他形状的物体上观察到，例如一个圆绕着与其周长相等的正五边形滚动时，也会出现类似的悖论现象。

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