恒等证明-第十二讲恒等变形2乘法公式学生版

第十二讲 恒等变形（2）乘法公式

一、 基础知识 （一）乘法公式

1. 除了上一讲的几个基本公式外，乘法公式还有如下几条：

①) 2

2

2

2

()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++

②) 2

2

2

3

3

3

()()3a b c a b c ab ac bc a b c abc ++++---=++- ③) 1

23221()().n n n n n n n a b a

a b a b ab b a b ------+++++=-

④) 2222221

[()()()]2

a b c ab ac bc a b a c b c ++±±±=

±+±+±

（二）配方法

配方法是乘法公式应用的拓展，在恒等变形中应用十分广泛。在配方时，还常用到拆项或补项的技巧。 在配方法中要熟悉两组关系：

1. x+y 、xy ，与x 2+y 2、x 3+y 3、x 4+y 4、x 7+y 7的关系。

2. x+x -、x-x -，与x 2+x -2、x 2-x -2、x 4+x -4、x 4-x -4的关系。

二、名校真题回放

例1．（2005～2006首师大附中初一期中测试）x 2+2ax+l6是一个完全平方式，则a 的值是______.

例2．（2005～2006首师大附中初一期中测试）与()()

2a 1a a 1-++的积等于a 6-1的多项式是______.

例3．（2005～2006首师大附中初一期中测试）若(

)()2

222

3a b +c

a b c +=++，则a ，b ，c 三者的关系为

_________.

例4．（2005～2006首师大附中初一期中测试）求证： ()()()()

2

2

x x 1x 2x 3x 3x 11+++=++-

三、活题巧解 （一）乘法公式

例1．(2000年重庆市初中竞赛题)已知(2000-a)·(1998-a)=1999，那么，(2000-a)2+(1998-a)2=__________．

例2．（2001年武汉市中考题） 观察下列各式

（x －1）(x+1)=x 2

－1； （x －1）(x 2

+x+1)=x 3－1； （x －1）(x 3

+x 2

+x+1)=x 4

－1. 根据前面的规律可得（x －1）(x n

+x

n －1

+…+x+1)=._____

例3．(2002年全国初中数学竞赛题) 设a 、b 、c 、x 、y 、z 满足下列等式

2222,2,2,3

6

2

x a b y b c z c a π

π

π

=-+

=-+

=-+

则z ，y ，z 中，至少有一个值( )·

(A)大于0 (B)等于0 (c)不大于0 (D)小于0

例4．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上二数之和

都相等，如果13、9、3的对面的数分别为a 、b 、c ，

则222a b c ab bc ac ++---的值为_____．

例5．（希望杯训练题）已知a+a 1

=5，则2

241a

a a ++=._____

例6．（2000年重庆市竞赛题） 乘积（1－221）（1－231）…（1－219991）（1－2

2000

1

）等于（ ）。 A 、

20001999 B 、20002001 C 、4000

1999 D 、40002001

例7. 已知a 3+b 3+c 3=a 2+b 2+c 2= a+b+c=1，求证：abc=0．

例8. (北京市竞赛题)若x+y=a+b，且x2+y2= a2+b2．证明：x1997+y1997=a1997+b 1997

例9．（2001年黄冈市竞赛题）

观察：1⨯2⨯3⨯4+1=52

2⨯3⨯4⨯5+1=112

3⨯4⨯5⨯6+1=192

…

（1）请写出一个具有普通性的结论，并给出证明；

（2）根据（1），计算2000⨯2001⨯2002⨯2003+1 的结果（有一个最简式子表示）. （二）配方法

例10. （希望杯竞赛题）已知x、y满足x2+y2+5

4

=2x+y,则代数式

xy

x y

+

的值为（）

A.1

3

B.

2

3

C.1

D.

4

3

例11.(太原市竞赛题)已知a、b满足等式x=a2+b2+20，y=4(2b-a)，则x、y的大小关系是( )．A．x≤y B．x≥y C．xy

例12. （希望杯训练题）已知12x x +=，求221x x + 和 331

x x

+ 的值。

例13．（北京市竞赛题）已知a+b=p ，ab=q ，求55a b +的值．

例14. (西安市竞赛题)设a+b=1,a 2+b 2=2,则a 7

+b 7

的值为_____________.

四、练习

1.(第13届希望杯全国数学邀请赛试题)已知a+

1a =-2,则441a a +=_________，441

a a

-=______．

2. (2002年全国初中竞赛题)已知a=1999x+2000，b=1999x+2001，c=1999x+2002,则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值为（ ）

** B.1 C.2 D.2

3．（2003年重庆市初中数学竞赛试题)若1

3x x

+=，则242

1x x x ++的值为 ( ) ** B ．8 C ． D ．

4．（2002年全国初中竞赛题）设a ＜b ＜0 , a 2+b 2=2.5ab,则

a b

a b

+- 的值为（ ） A.1.5 B.3.5 C.2 D.3