第2章习题解a

第二章 动量守衡 质点动力学

2-1 一个原来静止的原子核，经放射性衰变，放出一个动量为9.22×10-16g ⋅cm/s 的电子，同

时该核在垂直方向上又放出一个动量为5.33×10-16g ⋅cm/s 的中微子，问蜕变后原子核的动量的大小和方向。 解: 衰变过程是: e v e B A ++→-，由动量守衡得 .0=++v e B P P P 大小：

e B P P =-==s cm g s cm g /1065.10/1033.522.9161622⋅⨯=⋅⨯+=--.

方向

: 3022

.933.51

1

===--tg tg

θ； 15030180=-=ϕ, 1203090=+=φ.

2-2 质量为M 的木块静止在光滑的水平桌面上。质量为m ，速率为v 0的子弹水平地入射到

木块内(见本题图)并与它一起运动。求 (1)子弹相对于木块静止后，木块的速率和动量，以及子弹的动量；(2)在此过程中子弹施于木块的冲量。 解:(1)设木块的速率为v , 由动量守衡: v m M mv )(0+=；

得0v m M m v +=， 木块的动量0v m M Mm mv p +==木，子弹的动量02

v m

M m mv p +==子.

(2)子弹施予木块的冲量为 00v m

M Mm

P I +=-=木木.

2-3 如本题图，已知绳的最大强度T 0 = 1.00 kg ，m = 500g , l = 30.0cm ，开始时m 静止。水

平冲量I 等于多大才能把绳子打断？

解: 要求向心力mg T e v m F ->=02

，即要求l m mg T v ->0，l m

mg T m mv I ->-=00.

故 l mg T m I )(0-=

s m kg /86.0]

100.30)8.9105008.91(10500[2

1233⋅=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=---

2-4 一子弹水平地穿过两个前后并排在光滑水平桌面上的静止木块。木块的质量分别为m 1

和m 2；设子弹透过两木块的时间间隔为t 1和t 2，子弹在木块中所受阻力为恒力f ，求子弹穿过时两木块各以多大的速度运动.

解: 当子弹穿出m 1时, m 1与 m 2一起运动, 故 1211)(v m m ft +=; 2

11

1m m ft v +=

.

当子弹穿出m 2时, 12222v m v m ft -=，解得 2

22112212m ft

m m ft m ft v v ++=+=.

2-5 质量70kg 的渔人站在小船上，设船和渔人的总质量为200kg ．若渔人在船上向船头走

4.0m 后停止。试问：以岸为参考系，渔人走了多远？

解: 设人向右走,对岸速度为v 人 , 相对船的速度为u 人 , 船向左行,对岸的速度为v 船 ;

则v 人 = -v 船+u 人 .

水平方向动量守恒 : ｍ船v 船 - ｍ人(-v 船 + u 人) = (ｍ船 +ｍ人)v 船-ｍ人u 人 = 0.

两边积分得:人对船人船人船人人船人船S m S m m dt u m dt v m m t

t

=+⇒=+⎰

⎰

)()(0

.

由此可得 m S m m m S 4.14200

70

=⨯=+=人对船人船人船 (对岸)

m S S dt u dt v dt v S t

t

t

6.244.10

=+-=+-=+==

⎰

⎰⎰人对船船人船人人 (对岸).

2-6 两艘船依惯性在静止湖面上以匀速相向运动，它们的速率皆为6.0m/s ．当两船擦肩相遇

时，将甲船上的货物都搬上乙船，甲船的速率未变，而乙船的速率变为4.0m/s ．设甲船空载质量为50kg ，货物质量为60kg ，求乙船质量。

解: 已知 m 甲=500 kg , m 货= 60 kg , v 甲0= v 乙0= v 0 = 6.0 m/s , v 乙= 4.0 m/s ；待求：m 乙 。 忽略水中阻力,两船作为一个系统,其 动量守衡. 即: (m 甲+ m 货)v 0 - m 乙v 0 = m 甲v 0 - ( m 乙+m 货) v ；

kg m v v v v m 300604

64

600=⨯-+=-+=

∴货乙乙乙.

2-7 三只质量均为M 的小船鱼贯而行，速率均为v ．由中间那只船上同时以水平速率M (相

对于船)把两质量均为m 的物体分别抛到前后两只船上。求此后三只船的速率。

解: 设前v 、中v

、后v 分别为前、中、后三船的待求速度. u 与v 同向时为正, 反之为负. 由水平方向的动量守衡定律,有:

前: 前中v m M u v m v M

)()(+=++,

中: ）中中中u v m u v m v m M v M ++-+-+()()2(,

后: 后中v m M u v m v M

)()(+=-+;

可推出: 前v = u m M m v ++

, 中v

= v , 后v = u m

M m v +-. ∵u 的正方向与v

同向,∴三船的速率分别为:

u m M m v v ++

=前, v v =中, u m

M m v v +-=后.

2-8 一质量为M 的有轨板车上有n 个人，各人质量均为m ．开始时板车静止。(1) 若所有人

一起跑到车的一端跳离车子，设离车前它们相对于车子的速度为u ，求跳离后车子的速度；(2) 若n 个人一个接一个地跳离车子，每人跳离前相对于车子的速度皆为u ，求车子最后速度的表达式；(3)在上述两种情况中，何者车子获得的速度较大？ 解: (1) 人跳离后车子的速度为v ，由水平方向的动量守恒得:

0)(=++u v Nm Mv , 即 u Nm

M Nm v

+-

= (1)

(2) 第一人跳:0)(])1([11=++-+u v m v m N M ，得 u Nm

M m

v +-

=1 (2) 第二人跳: 122])1([)(])2([v m N M u v m v m N M

-+=++-+

得 ()u m

N M Nm M m u m N M m v v ])1(1

1[112-+++-=-+-

= (3)

最后一个人跳: 1)()(-+=++n n n v m M u v m v M

,由此可得 u m

M m m M m m N M Nm M m u m M m v v n n ]2)1(11[1+++++-+++-=+-=- (4)

这是车子最后速度的表达式.

(3) 比较(1)式和(4)式, 显然有v v n

>. 即一个接一个地跳(第二种情况)比集体跳,能使车子最后获得更大的动能.