2019-2020学年福建师大附中高三(上)期中数学试卷2 (含答案解析)

2019-2020学年福建师大附中高三（上）期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x ∈R|x ≤3}，B ={x ∈R|x 2−x −2>0}，则A ∩B =( )A. {x|2<x ≤3}B. {x|x <−1或2<x ≤3}C. {x|−1<x ≤3}D. {x|x <−1}2. 已知|a ⃗ |=1，b ⃗ =(0,2)，且a ⃗ ⋅b ⃗ =1，则向量a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为( )A. π6B. π4C. π3D. π23. 已知a =30.5，b =(12)1.1，c =log 2√2，则a 、b 、c 大小关系正确的是( )A. c <a <bB. a <b <cC. c <b <aD. b <c <a4. 已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=10，a 2为整数，且S n 中S 4最大，则a 10=( ) A. −17 B. −14 C. −11 D. −95. 已知正项等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“q >1”是“S 10+S 12>2S 11”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知sin(π6−α)=13，则cos(π3−2α)= ( )A. −79B. 4√29C. 79D. −4√297. 图中的图象所表示的函数的解析式为( )A. y =32|x −1|(0≤x ≤2) B. y =32−32|x −1|(0≤x ≤2) C. y =32−|x −1|(0≤x ≤2)D. y =1−|x −1|(0≤x ≤2)8. 定义：∣∣∣ab cd ∣∣∣=ad −bc ，如∣∣∣1234∣∣∣=1×4−2×3=−2，则∣∣∣cos45°sin75°sin135°cos105°∣∣∣=( ) A. 0B. √32C. −√32D. 19. 已知x ，y 满足约束条件{x ≥1x −y ≤0x +2y ≤9，若目标函数z =ax +y 可在点(3,3)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A. [12,+∞) B. (12,+∞) C. (−1,12] D. (−1,12)10.已知|a⃗|=|b⃗ |=2，且a⃗⋅b⃗ =0，c⃗=12(a⃗+b⃗ )，|d⃗−c⃗|=√2，则|d⃗|的取值范围是()A. [0,2√2]B. [0,2]C. [0,√2]D. [0,1]11.函数f(x)=sinπ2x−1x+1在区间(0,4)内的零点个数为()A. 1B. 2C. 3D. 412.若函数f(x)=13x3+ax2+(2a+3)x−1仅有两个极值点，则实数a的取值范围是()．A. (−1,3)B. (−∞,−1)∪(3,+∞)C. (−3,1)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.由曲线y=√x，直线y=x−2及y轴所围成的图形的面积为____________．14.十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即，现在已知，，则4a______，a+b=______.(用最简结果作答)15.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，BD=√5，AB⊥AC，AC=2AB，则CD的最小值为_____________．16.在数列{a n}中，a1=2，a n+1−a n=12，n∈N，则a2015的值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=2√3sinxcosx−3sin2x−cos2x+3．(1)当x∈[0,π2]时，求f(x)的值域；(2)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ba=√3，，求f(B)的值．18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=1，S n+1=S n +2a n +5．(1)证明：{a n +5}是等比数列；(2)若S n +5n >128，求n 的最小值．19. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2，且2bcosB =acosC +ccosA ．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)求△ABC 面积的最大值．20. 已知数列{a n }满足递推关系(3−a n+1)(6+a n )=18，且a 1=1．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：∑a i n i=1<3．21. 已知函数f(x)=lnx +ax 2+(a +2)x ，a ∈R ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a <0，证明：f(x)≤−2a −2．22. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，直线l 的参数方程为{x =−2+√22ty =−4+√22t(t 为参数)，两曲线相交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若P(−2,−4)，求|PM|+|PN|的值．23. 已知函数f(x)=|2x +a|+|2x −b|+2的最小值为3．(1)求a +b 的值；(2)若a >0，b >0，求证：a +b ≥3−log 3(4a +1b )．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A ={x ∈R|x ≤3}，B ={x ∈R|x 2−x −2>0}={x|x <−1或x >2}， ∴A ∩B ={x|x <−1或2<x ≤3}． 故选：B ．先分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.答案：C解析：解：∵|a ⃗ |=1，b ⃗ =(0,2)，且a ⃗ ⋅b ⃗ =1， ∴cos <a ⃗ ,b⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ | |b⃗ |=1×√0+22=12． ∴向量a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为π3． 故选：C ．利用向量的夹角公式即可得出．本题考查了向量的夹角公式，属于基础题． 3.答案：D解析： 【分析】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵a =30.5>1，b =(12)1.1<(12)1=12，c =log 2√2=12， ∴b <c <a ， 故选：D ． 4.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式及其应用． 【解答】解：设公差为d ，则d ≠0， 所以a 2=a 1+d =10+d ∈Z ， 因为S n 中S 4最大， 所以{S 4≥S 5S 4≥S 3，即{4a 1+4×32d ≥5a 1+4×52d4a 1+4×32d ≥3a 1+2×32d ，所以{4a 1+6d ≥5a 1+10d 4a 1+6d ≥3a 1+3d ，即{a 1+4d ≤0a 1+3d ≥0，即{10+4d ≤010+3d ≥0， 解得−103≤d ≤−52，又因为a 2=a 1+d =10+d ∈Z ， 所以d =−3，所以a 10=a 1+9d =10−27=−17． 故选A ． 5.答案：C解析： 【分析】本题考查等比数列的概念、充要条件的判定，属于基础题． 根据等比数列的概念对条件进行等价转化是解题的关键． 【解答】解：因为a 1>0，所以a 11=a 1q 10>0， 由S 10+S 12>2S 11,得S 12−S 11>S 11−S 10， 即a 12>a 11，即a 11q >a 11⇔q >1，所以“q >1”是“S 10+S 12>2S 11”的充分必要条件． 故选C ． 6.答案：C解析： 【分析】本题考查二倍角公式的应用，属于简单题．依题意，cos(π3−2α)=1−2sin 2(π6−α)，即可求得结果． 【解答】解：因为sin(π6−α)=13，所以cos(π3−2α)=1−2sin 2(π6−α)=79， 故选C ． 7.答案：B解析：由题意，函数为分段函数，且均为一次函数，当x ∈[0,1]时设f(x)=kx ，将(1,32)代入解析式得k =32；当x ∈[1,2]时设f(x)=ax +b ，将(1,32)，(2,0)代入解析式得{32=a +b0=2a +b，解得a =−32，b =3.∴函数的解析式f(x)={32x(0≤x ≤1)−32x +3(1≤x ≤2)=32−32|x −1|(0≤x ≤2)．8.答案：C解析：解：由题意，∣∣∣cos45°sin75°sin135°cos105°∣∣∣=cos45°cos105°−sin75°sin135° =−cos45°cos75°−sin75°sin45°=−cos(75°−45°)=−cos30°=−√32． 故选：C ．由已知结合三角函数的诱导公式及两角差的余弦求解．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查诱导公式及两角差的余弦，是基础题． 9.答案：A解析：解：x ，y 满足约束条件{x ≥1x −y ≤0x +2y ≤9的可行域如图：由目标函数z =ax +y 可得y =−ax +z ，由{x −y =0x +2y =9解得C(3,3)，可得−a ≤−12，即a ≥12．故选：A ．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义转化求解即可． 本题考查线性规划的简单应用，数形结合，考查计算能力． 10.答案：A解析： 【分析】本题考查向量的模的求法，以及向量的模的几何意义，向量的坐标表示，属于一般题． 由题意，由于两向量垂直，所以可以将两向量放到坐标系内，如图可令a ⃗ =(2,0),b ⃗ =(0,2)，从而转化为坐标情况下向量问题的研究，问题易解． 【解答】 解：由题意|a ⃗ |=|b ⃗ |=2且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，所以可将两向量放到坐标系内，如图a ⃗ =(2,0),b⃗ =(0,2)，可令c⃗=(1,1)，d⃗=(x,y)，所以向量d⃗的终点在以(1,1)为圆心，以√2为半径的圆上，又圆心到原点的距离是√2，所以|d⃗|的取值范围是[√2−√2,√2+√2]，即为[0,2√2]，故选A．11.答案：C解析：【分析】本题考查函数零点个数的判断和数形结合思想的应用，在判断函数零点个数时，常转化为两个函数的图象的交点问题，利用两个函数的图象的交点个数来判断函数的零点个数，属于中档题．函数的零点个数就是对应两个函数的图象的交点个数，在同一坐标系内画出函数y=sinπ2x与y=1x−1的图象，数形结合可得结论．【解答】解：函数的零点个数就是对应两个函数的图象的交点个数，在同一坐标系内画出函数y=sinπ2x与y=1x−1的图象，如图由图得区间(0,4)内的交点3个，故函数f(x)=sinπ2x−1x+1在区间(0,4)内的零点个数为3个；故选：C ． 12.答案：B解析： 【分析】本题考查导数知识的运用，属于基础题．解题的关键是将函数f(x)=13x 3+ax 2+(2a +3)x −1有两个极值点，转化为方程x 2+2ax +(2a +3)=0在R 上有两个不等的根． 【解答】解：求导函数，可得f′(x)=x 2+2ax +(2a +3)， ∵函数f(x)=13x 3+ax 2+(2a +3)x −1仅有两个极值点， ∴方程x 2+2ax +(2a +3)=0在R 上有两个不等的根， ∴Δ=4a 2−4(2a +3)>0，解得a >3或a <−1． 故选：B13.答案：163解析：解：如图所示：联立{y =x −2y =√x解得{x =4y =2,∴M(4,2)． 由曲线y =√x ，直线y =x −2及y 轴所围成的图形的面积S =∫[40√x−(x −2)]dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故答案为163．14.答案：8 72解析：解：a =log 48，b =log 24， 则4a =4log 48=8，a +b =log 28log 24+2=32+2=72．故答案为：8，72．利用对数恒等式、换底公式即可得出．本题考查了对数恒等式、换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：√5解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查三角函数基本公式的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题先设∠ADB=θ，在△ABD中正弦定理和余弦定理结合求出AB2=6−2√5cosθ，再在△ACD中结合余弦定理以及辅助角公式即可求解【解答】解：设∠ADB=θ，在△ABD中，由正弦定理得ABsinθ=BDsin∠BAD，即ABsinθ=√5sin∠BAD，即AB⋅sin∠BAD=√5sinθ，由余弦定理得AB2=6−2√5cosθ，∵AB⊥AC，∴∠BAD=π2+∠DAC，在△ACD中，由余弦定理得：CD2=AD2+AC2−2AD⋅ACcos∠DAC=1+4AB2−4ABsin∠BAD =25−8√5cosθ−4√5sinθ=25−20sin(θ+φ)，∴当sin(θ+φ)=1时，CD min=√5．故答案为√516.答案：1009解析：解：依题意，数列{a n}是以2为首项、12为公差的等差数列，则a n=2+12(n−1)=n+32，∴a2015=2015+32=1009，故答案为：1009．利用等差数列的通项公式计算即得结论．本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．17.答案：解：=√3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1，∵x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，则2sin(2x +π6)+1∈[0,3]，即函数f(x)=2sin(2x +π6)+1的值域是[0,3]；，∴sin(2A +C)=2sinA +2sinAcos(A +C)，∴sinAcos(A +C)+cosAsin(A +C) =2sinA +2sinAcos(A +C)，∴−sinAcos(A +C)+cosAsin(A +C)=2sinA ，即sinC =2sinA ，由正弦定理可得c =2a ，又由b a =√3可得b =√3a ，由余弦定理可得： cosA =b 2+c 2−a 22bc =2222⋅√3a⋅2a=√32， 又0<A <π，∴A =π6，则sinC =2sinA =1，即C =π2，∴B =π−A −C =π3， ∴f(B)=f(π3) =2sin(2π3+π6)+1=2．解析：本题考查正弦定理、余弦定理，二倍角公式以及变形、两角和差的正弦公式，考查化简、变形能力．(1)由二倍角公式以及变形、两角和的正弦公式化简解析式，由x 的范围求出2x +π6的范围，由正弦函数的性质求出f(x)的值域；(2)由两角和与差的正弦公式、正弦定理化简已知的式子，由条件和余弦定理求出cos A 的值，由A 的范围和特殊角的三角函数值求出A ，由三角形的内角和定理求出B ，代入可得f(B)的值． 18.答案：解：(1)因为S n+1=S n +2a n +5，所以a n+1=2a n +5，则a n+1+5=2(a n +5)，所以a n+1+5a n +5=2a n +10a n +5=2，而a 1+5=6，所以{a n +5}是以6为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得a n +5=6×2n−1=3×2n ，a n =3×2n −5，∴S n=3×(2+22+23+⋯+2n)−5n=3×2×(1−2n)1−2−5n=6×2n−6−5n，由S n+5n=6×2n−6>128，得2n>673，因为25>673>24，所以S n+5n>128时，n的最小值为5．解析：本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用已知条件推出a n+1=2a n+5，然后证明{a n+5}是等比数列；(2)求出数列的通项公式和数列的前n项和，然后化简不等式求解即可．19.答案：(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵2bcosB=acosC+ccosA，∴可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=12，由B∈(0,π)，可得：B=π3．(Ⅱ)∵b=2，B=π3，∴由余弦定理可得ac=a2+c2−4，∴由基本不等式可得ac=a2+c2−4≥2ac−4，可得：ac≤4，当且仅当a=c时，“=”成立，∴从而S△ABC=12acsinB≤12×4×√32=√3．故△ABC面积的最大值为√3．解析：(Ⅰ)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosB=sinB，结合sinB≠0，可求cos B的值，进而可求B的值．(Ⅱ)由余弦定理，基本不等式可得：ac≤4，进而利用三角形面积公式即可得解△ABC面积的最大值．本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．20.答案：(1)解：∵数列{a n}满足递推关系(3−a n+1)(6+a n)=18，且a1=1，∴a n+1a n=3a n−6a n+1，∴1a n+1=2a n+13，∴1a n+1+13=2(1a n+13)，令b n=1an +13，得b1=11+13=43，b n=2b n−1，∴b n=43×2n−1=23×2n∴1a n =2n+1−13，∴a n=32n+1−1．(2)证明：∵a n =32n+1−1<32n ，∴∑a i n i=1=∑32n+1−1n i=1<∑32n n i=1=3×12(1−12n )1−12=3(1−12n )<3．∴∑a i n i=1<3．解析：(1)由已知条件推导出1a n+1=2a n +13，由此利用构造法能求出数列{a n }的通项公式． (2)由a n =32n+1−1<32n ，利用放缩法能证明∑a i n i=1<3．本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，及等比数列的求和公式的应用，解题时要注意放缩法的合理运用．21.答案：解：(1)f(x)=lnx +ax 2+(a +2)x ，f ′(x)=1x +2ax +a +2 =2ax 2+(a+2)x+1x =(2x+1)(ax+1)x (x >0)．当a ≥0时，f ′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上是单调增函数；当a <0时，当x ∈(0,−1a )时，f ′(x)>0，当x ∈(−1a ,+∞)时，f ′(x)<0，∴f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a ,+∞)上单调递减．综上，当a ≥0时，f(x)在(0,+∞)上是单调增函数;当a <0时，f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a ,+∞)上单调递减．(2)证明：由(1)可得，当a <0时，f(x)max =f(−1)=ln(−1)+1−a +2 =ln(−1a )−1a −1． 要证f(x)≤−2a −2，即证ln(−1a )+1a +1≤0恒成立，令t =−1a ，g(t)=lnt −t +1(t >0)，则g ′(t)=1t −1=1−t t ，当t ∈(0,1)时，g′(t)>0，g(t)单调递增，当t ∈(1,+∞)时，g′(t)<0，g(t)单调递减．∴g(t)的最大值为g(1)=0，∴g(t)=lnt −t +1≤g(1)=0恒成立，∴当a <0，f(x)≤−2a −2．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，属于中档题．(1)求出原函数的导函数，可得当a ≥0时，f ′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上是单调增函数；当a <0时，求出导函数的零点，把定义域分段，由导函数在各区间段的符号确定原函数的单调区间；(2)由(1)可得，当a <0时，求出函数的最大值f(−1a )，问题转化为证明ln(−1a )+1a +1≤0在a <0时恒成立，换元后利用导数求最值即可证得．22.答案：解：(1)根据x =ρcosθ、y =ρsinθ，求得曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ， 用代入法消去参数求得直线l 的普通方程x −y −2=0；(2)直线l 的参数方程为：{x =−2+√22t y =−4+√22t(t 为参数)，P(−2,−4)在直线l 上， 代入y 2=4x ，得到t 2−12√2t +48=0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=12√2，t 1⋅t 2=48>0，所以t 1>0,t 2>0，∴|PM|+|PN|=|t 1+t 2|=12√2．解析：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法、韦达定理的应用及参数的几何意义，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．(1)根据x =ρcosθ、y =ρsinθ，写出曲线C 的直角坐标方程；用代入法消去参数求得直线l 的普通方程；(2)把直线l 的参数方程代入y 2=4x ，得到t 2−12√2t +48=0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，利用韦达定理以及|PM|+|PN|=|t 1+t 2|，计算求得结果．23.答案：(1)解：∵f(x)=|2x +a|+|2x −b|+2≥|2x +a −(2x −b)|+2=|a +b|+2，当且仅当(2x +a)(2x −b)≤0时，“=”成立，∴f(x)的最小值为|a +b|+2=3，∴|a +b|=1，∴a +b =±1．(2)证明：a >0，b >0，由(1)得：a +b =1，∴4a +1b =(4a +1b )(a +b) =5+4b a +a b≥5+2×2=9， 当且仅当4b a =a b ,且a +b =1即a =23,b =13时取“=”，∴3−log 3(4a +1b )≤3−log 39=1=a +b ，故命题得证．解析：本题考查了绝对值三角不等式，基本不等式的应用与不等式证明．属于中档题．(1)利用绝对值三角不等式求出f(x)的最小值，即得a +b 的值；(2)利用基本不等式证明．。