数学建模椅子平衡问题 蜗牛爬行问题 船渡河问题

1 椅子能在不平的地面上放稳得问题的拓展.

模型假设对椅子和地面应该作一些必要的假设:

1.椅子的四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。四脚的连线呈长方

形。

2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上

连续曲面。

3.对于脚的间距和椅腿的长度而言，地面时相对平坦的，使椅子在任何位置至

少有三个脚同时着地。

模型构成中心问题是用数学语言把椅子的四只脚同时着地的条件和结论表示出来。

首先要用变量把椅子的位置，注意到椅脚连线呈长方形。以中心为对称点，长方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是因此可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。在图中椅

线B’D’与X轴重合，椅子绕中

心点O轴旋转角度θ后。长方形

A’B’C’D’转至ABCD位置。用

θ(对角线与x 轴的夹角)表示

椅子位置，椅脚与地面距离为θ

的函数.A,C 两脚与地面距离之

和 ~ f (θ,),B,D 两脚与地面距

离之和 ~ g (θ)

地面为连续曲面 F (θ) , g (θ)

是连续数.椅子在任意位置至少

三只脚着地.对任意θ, f (θ ),

g (θ )至少一个为0.

已知： f (θ ) , g (θ )是连

续函数 ;

对任意θ， f (θ)

• g (θ )=0 ;

且g (0)=0， f

(0) > 0.

证明：存在θ0，使 f (θ0) = g (θ0) = 0.

模型求解

证明；设长方形的长为a ,宽为b。

将椅子旋转θ=2arctanb/a，对角线AC取代BD的位置。

由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0.或,g

（2arctanb/a )=0

（1）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )=0

,桌子能放平衡。

（2）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0

令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(2arctanb/a)<0.

由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在θ0 , 使

h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) .

因为f(θ) • g(θ)=0, 所以f(θ0) = g(θ0) = 0.

第一题

一根1米长的水平弹性绳子，存在A端和B端。A端固定，B端每秒钟10cm的速度水平向前延伸。假设绳子永远不会断。一只蜗牛从绳的A端开始向B端爬，蜗牛相对绳子的速度为每秒钟1cm。

假设蜗牛不知疲倦，生命永恒；现在，蜗牛爬的同时，绳子开始变长，请问：

1）蜗牛是否可以爬到B端，要多久？

2）是否蜗牛只要速度大于0，不论绳子多快，都可以爬到头？

① B点的位置随时间变化的函数

S

B

= 100 + 10t

②虫子的速度v

w 与其初始速度v

,自身的位置S

w

以及时间t的关系函数

③对②式两边依时间t从0到∞积分即

化简得

其中，初始条件为：

S w (0) = 0

即虫子在一开始的时候位

置为0

用Matlab 求解上式的一阶微分方程。 Dsolve('DS-S/(10+t)-v=0','S(0)=0') ans =

10*v*log(10+t)+v*log(10+t)*t-10*v*log(2)-10*v*log(5)+(-v*log(2)-v*log(5))*t 所以，虫子的位置S w 关于时间t 和初速度v 0的关系函数为：S w =10* v 0*log(10+t)+ v 0*log(10+t)*t-10*

v 0*log(2)-10*v 0*log(5)+(- v 0*log(2)- v 0*log(5))*t

④ 由1)式可知，要让虫子到达B 点，则有S w = S B ，即有对数方程

10* v 0*log(10+t)+ v 0*log(10+t)*t-10* v 0*log(2)-10*v 0*log(5)+(- v 0*log(2)- v 0*log(5))*t=100+10t

⑤ 再次使用Matlab 脚本求解上式的对数方程：

Solve('10*v*log(10+t)+v*log(10+t)*t-10*v*log(2)-10*v*log(5)+(-v*log(2)-v*log(5))*t =100+10*t','t')

ans = exp((10+v*log(10))/v)-10

⑥所以，虫子到达B 点的时间t 与其自身的初速度v 0之间的关系函数为： t==exp((10+ v 0*log(10))/ v 0)-10

⑦由此可见，只要虫子的初速度v 0>0，它总有一天能到达B 点的，再次使用Matlab 脚本体现t 与v 0的关系图： v = 0:100;

t=exp((10+v.*log(10))./v)-10; plot(v,t);

digits(10);t=vpa(exp(10+log(10))-10)

t =220254.6579

220254.6579/3600/24

ans = 2.5492

所以，虫子在两天半之后到达B点

第二题

两艘轮船在同一时刻驶离河的两岸，一艘从A驶往B，另一艘从

B开往A，其中一艘开得比另一艘快些，因此它们在距离较近的岸500

公里处相遇。到达预定地点后，每艘船要停留15分钟，以便让乘客

上下船，然后它们又返航。这两艘渡轮在距另一岸100公里处重新相遇。试问河有多宽？

模型假设：自然界的外界因素都不影响船的行驶速度。

模型构成：设快船的速度为V，慢船的速度为V’.船两次相遇的距离为X。

快船从A岸出发，慢船从B岸出发。则第一次相遇时，慢船距离B岸的距离为500公里，第二次相遇时，距离A岸的距离为100公里。求两岸的距离h。

模型求解：

②

由①②得

x=800,-600负根舍去

得 x=800

h=800+500+100=1400

即两岸的距离为1400公里。

x