直线、平面平行与垂直的综合问题

第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题 考点一 立体几何中的探索性问题

[典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．

(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC .

(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．

[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，

所以BC ⊥平面CMD ，所以BC ⊥DM .

因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM .

又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .

因为DM ⊂平面AMD ，所以平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下： 连接AC 交BD 于O . 因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为AC 的中点．

连接OP ，因为P 为AM 的中点， 所以MC ∥OP .

又MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ， 所以MC ∥平面PBD . [题组训练]

1.如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.

(1)求三棱锥P -ABC 的体积；

(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PM

MC 的值．

解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝3

2

.

由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高， 又P A ＝1，

所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝3

6

.

(2)在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，证明如下：

如图，在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .

由P A ⊥平面ABC ，知P A ⊥AC ， 所以MN ⊥AC .

因为BN ∩MN ＝N ，所以AC ⊥平面MBN ， 又BM ⊂平面MBN ， 所以AC ⊥BM .

在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝1

2，

从而NC ＝AC －AN ＝3

2，

由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝1

3

.

2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .

(1)求证：PC ⊥BC ；

(2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．

解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥BC .

因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD . 又PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD .

因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC .

(2)连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，GO ，

延长GO 交AD 于点M ，连接EM ，则P A ∥平面MEG . 证明如下：因为E 为PC 的中点，O 是AC 的中点， 所以EO ∥P A .

因为EO ⊂平面MEG ，P A ⊄平面MEG ，所以P A ∥平面MEG . 因为△OCG ≌△OAM ，所以AM ＝CG ＝2

3，

所以AM 的长为2

3

.

考点二 平面图形的翻折问题

[典例] (2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .

(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝D Q ＝2

3DA ，求三棱锥Q -ABP

的体积．

解：(1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又因为BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD . 因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .

(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝D Q ＝2

3

DA ，所以BP ＝2 2.

如图，过点Q 作Q E ⊥AC ，垂足为E ，则Q E 綊1

3DC .

由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以Q E ⊥平面ABC ，Q E ＝1.

因此，三棱锥Q -ABP 的体积为V Q -ABP ＝13×S △ABP ×Q E ＝13×1

2×3×22sin 45°×1＝1. [题组训练]

1．(2019·湖北五校联考)如图1所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1

2AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面

ABC 垂直，得到如图2所示的几何体D -ABC .

(1)求证：BC ⊥平面ACD ；

(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F -BCE 的体积． 解：(1)证明：∵AC ＝AD 2＋CD 2＝22， ∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，

∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos 45°＝8， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16，∴AC ⊥BC .

∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ACD .

(2)∵AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ，∴AD ∥EF ， ∵E 为AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，

由(1)知，几何体F -BCE 的体积V F -BCE ＝V B -CEF

＝1

3×S △CEF ×BC ， S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝1

2，

∴V F -BCE ＝13×12×22＝2

3

. 2．(2018·合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60°，CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝5

7.将△CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，

得到如图2所示的四棱锥P -ABCE .

(1)求证：AP ⊥平面ABCE ；

(2)记平面P AB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l . 证明：(1)在△CDE 中，∵CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝5

7，

由余弦定理得CE ＝ (7)2＋(7)2－2×7×7×5

7

＝2.

连接AC ，

∵AE ＝2，∠AEC ＝60°，