直线、平面平行与垂直的综合问题
2020高考数学解答题核心素养题型《专题07 立体几何综合问题》+答题指导)(解析版)
专题07 立体几何综合问题【题型解读】▶▶题型一 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算(1)空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解．(2)利用向量求空间角的步骤：第一步：建立空间直角坐标系；第二步：确定点的坐标；第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第四步：计算向量的夹角(或函数值)；第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2019·河南郑州高三联考)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD . (1)求证：平面BDEF ⊥平面ADE ；(2)若ED ＝BD ，求直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABD 中，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD ，由余弦定理，得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，所以△ABD 为直角三角形且∠ADB ＝90°，故BD ⊥AD .因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BD .又AD ∩DE ＝D ，所以BD ⊥平面ADE .因为BD ⊂平面BDEF ，所以平面BDEF ⊥平面ADE .(2)由(1)可得，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝π3，BD ＝3AD ， 又由ED ＝BD ，设AD ＝1，则BD ＝ED ＝ 3.因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊥AD ，所以可以点D 为坐标原点，DA ，DB ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A (1,0,0)，C (－1，3，0)，E (0,0，3)，F (0，3，3)．所以AE →＝(－1,0，3)，AC →＝(－2，3，0)．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A E →＝0，n ·A C →＝0，即⎩⎨⎧ －x ＋3z ＝0，－2x ＋3y ＝0，令z ＝1，得n ＝(3，2,1)为平面AEC 的一个法向量．因为A F →＝(－1，3，3)， 所以cos 〈n ，A F →〉＝n ·A F →|n |·|A F →|＝4214， 所以直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值为4214. 【素养解读】本例问题(1)证明两平面垂直，考查了逻辑推理的核心素养；问题(2)计算线面所成的角时，考查了直观想象和数学运算的核心素养．【突破训练1】 (2018·北京卷)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为AA 1，AC ，A 1C 1，BB 1的中点，AB ＝BC ＝ 5 ，AC ＝AA 1＝2.(1)求证：AC ⊥平面BEF ；(2)求二面角B －CD －C 1的余弦值；(3)证明：直线FG 与平面BCD 相交．【答案】见解析【解析】(1)证明：在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，因为CC 1⊥平面ABC ，所以四边形A 1ACC 1为矩形．又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点，所以AC ⊥EF .因为AB ＝BC .所以AC ⊥BE ，所以AC ⊥平面BEF .(2)由(1)知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1.又CC 1⊥平面ABC ，所以EF ⊥平面ABC .因为BE ⊂平面ABC ，所以EF ⊥BE .如图建立空间直角坐称系Exyz .由题意得B (0,2,0)，C (－1,0,0)，D (1,0,1)，F (0,0,2)，G (0,2,1)．所以CD →＝(2,0,1)，C B →＝(1,2,0)，设平面BCD 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·C D →＝0，n ·C B →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋c ＝0，a ＋2b ＝0.令a ＝2，则b ＝－1，c ＝－4，所以平面BCD 的法向量n ＝(2，－1，－4)，又因为平面CDC 1的法向量为E B →＝(0,2,0)，所以cos 〈n ，E B →〉＝n ·E B→|n ||EB →|＝－2121. 由图可得二面角B －CD －C 1为钝二面角，所以二面角B －CD －C 1的余弦值为－2121. (3)证明：平面BCD 的法向量为n ＝(2，－1，－4)，因为G (0,2,1)，F (0，0,2)，所以G F →＝(0，－2,1)，所以n ·G F →＝－2，所以n 与G F →不垂直，所以GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，所以GF 与平面BCD 相交． ▶▶题型二 平面图形折叠成空间几何体的问题1．先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向．2．(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．(3)解决翻折问题的答题步骤第一步：确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；第三步：利用判定定理或性质定理进行证明．【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .(2)作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|B F →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz .由(1)可得，DE ⊥PE .又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，故PE ⊥PF .可得PH ＝32，EH ＝32. 则H (0,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，0，D P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，32，H P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面ABFD 的法向量．设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪H P →·D P →|H P →|·|DP →|＝ 34 3＝34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34. 【素养解读】本例在证明或计算过程中都要考虑图形翻折前后的变化，因此综合考查了逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模的核心素养．【突破训练2】 如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：在题图1中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC .又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC .所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2. 如图，以O 为原点，OB →，OC →，OA 1→分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0， 得BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－22， CD →＝BE →＝(－2，0,0)．设平面A 1BC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1,1,1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0,1,1)， 从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63， 即平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值为63. ▶▶题型三 线、面位置关系中的探索性问题是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，解决这类问题的基本思路类似于反证法，即“在假设存在的前提下通过推理论证，如果能找到符合要求的点(或其他的问题)，就肯定这个结论，如果在推理论证中出现矛盾，就说明假设不成立，从而否定这个结论”．【例3】 (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝2 2 ，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ； (2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －PA －C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC .(2)如图，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0，－2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,23)，A P →＝(0,2,23)，取平面PAC 的一个法向量O B →＝(2,0,0)．设M (a,2－a,0)(0<a ≤2)，则A M →＝(a,4－a,0)．设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由A P →·n ＝0，A M →·n ＝0得⎩⎨⎧ 2y ＋23z ＝0，ax ＋(4－a)y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a )， 所以cos 〈O B →，n 〉＝23(a －4)23(a －4)2＋3a 2＋a2.由已知得|cos 〈O B →，n 〉|＝32. 所以23|a －4|23(a －4)2＋3a 2＋a2＝32.解得a ＝－4(舍去)，a ＝43. 所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，433，－43.又P C →＝(0,2，－23)， 所以cos 〈P C →，n 〉＝34.所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34. 【素养解读】本例问题(1)中证明线面垂直直接考查了逻辑推理的核心素养；问题(2)中要探求点M 的位置，要求较高，它既考查了直观想象的核心素养，又考查了数学建模的核心素养．【突破训练3】 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面ABB 1A 1，且AA 1＝AB ＝2. (1)求证：AB ⊥BC ；(2)若直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6，请问在线段A 1C 上是否存在点E ，使得二面角A －BE －C 的大小为2π3，请说明理由．【答案】见解析【解析】(1)证明：连接AB 1交A 1B 于点D ，因为AA 1＝AB ，所以AD ⊥A 1B ，又平面A 1BC ⊥侧面ABB 1A 1，平面A 1BC ⊂平面ABB 1A 1＝A 1B ，所以AD ⊥平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AD ⊥BC .因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BC ，又AA 1∩AD ＝A ，所以BC ⊥侧面ABB 1A 1，所以BC ⊥AB . (2)由(1)得AD ⊥平面A 1BC ，所以∠ACD 是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，即∠ACD ＝π6，又AD ＝2，所以AC ＝22，假设存在适合条件的点E ，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，设A 1E →＝λA 1C →(0≤λ≤1)，则B (2，2，0)，B 1(2，2，2)，由A 1(0,0,2)，C (0,22，0)，得E (0,22λ，2－2λ)，设平面EAB 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AB →＝0，得⎩⎨⎧ 22λy ＋(2－2λ)z ＝0，2x ＋2y ＝0， 所以可取m ＝(1－λ，λ－1，2λ)， 由(1)知AB 1⊥平面A 1BC ，所以平面CEB 的一个法向量n ＝(1,1，2)， 所以12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 2π3＝cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝2λ22(λ－1)2＋2λ2，解得λ＝12，故点E 为线段A 1C 中点时，二面角A －BE －C 的大小为2π3.。
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
高一数学(人教B版)-空间中的平行和垂直的综合应用(一)
同类练习1：直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ABC 90, AB BC BB1, M为 A1B1 的中点，N是 A1C 与 AC1 的交点. (2) 求证：MN 平面ABC1
先证：B1C 平面ABC1
证明：
（1) 连接 B1C，因为M，N分别为 A1B1 , A1C 的中点
(1) PA∥平面BDE
先证：OE∥AP
【典型例题】
例2：如图所示，O是正方形ABCD的中 心，PO 底面ABCD， E是PC的中点， 求证：
(2) 平面PAC 平面BDE
先证：BD 平面ACP
证明： （1)连接OE，在正方形ABCD中，点O是AC的中点
又 E是PC的中点, OE是 ACP 的中位线， OE∥AP ,又 OE 平面BDE ，PA 平面BDE PA∥平面BDE
MN 平面PCD
(3) 若
求证：
同类练习2：如图，PA 矩形ABCD所
在的平面，M，N分别是AB，PC的中
点
MN∥平面PAD
(1)面求面证平行： 线面平行
平行四边形 中位线
线线平行 线线平行
线面平行 线面平行
证明： （1）取CD的中点R，连接MR，NR 因为R，N分别是CD，PC的中点 所以 NR∥PD ，又可证 MR∥AD 因为NR与MR相交 可证 平面MNR∥平面PAD
思路三：通过构造面面平行，生成线线平行关系
（1)证法三：取CD的中点Q，连接FQ，AQ， 点F是PD的中点，
QF∥CP.
点Q是CD的中点，
点E是AB的中点， AE＝12 AB ，
CQ＝
1 2
CD,
在平行四边形ABCD中，
AB∥ CD, AB=CD, CQ∥AE,CQ=AE ,
专题20立体几何中的平行与垂直问题(解析版)
专题20 立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一、线面平行与垂直知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。
直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、（2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点.已知侧面PAD丄底面ABCD,底面ABCD是矩形，DA=DP.求证：（1）MN〃平面PBC；MD丄平面PAB.【证明】（1）在四棱锥P-ABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点，所以MN〃AD.（2分）又底面ABCD是矩形，所以BC〃AD.所以MN〃BC.（4分）又BC U平面PBC，MN Q平面PBC，所以MN〃平面PBC. （6分）（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB丄AD.又侧面PAD丄底面ABCD，侧面PAD n底面ABCD=AD, AB U底面ABCD，所以AB丄侧面PAD.（8分）又MD U侧面PAD，所以AB丄MD.（10分）因为DA=DP,又M为AP的中点，从而MD丄PA. （12分）又PA，AB在平面PAB内，PA n AB=A，所以MD丄平面PAB.（14分）例2、（2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B丄平面ABC,点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点.（1）求证：EF〃平面ABC；（2）求证：BB］丄AC.规范解答（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B,四边形BB1C1C均为平行四边形，E, F分别是侧面AA1B1B, BB1C1C对角线的交点，所以E, F分别是AB1，CB1的中点，所以EF〃AC.（4分）因为EF Q平面ABC, AC U平面ABC，所以EF〃平面ABC.（8分）（2）因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1丄AB.因为平面AA1B1B丄平面ABC,且平面AA1B1B n平面ABC=AB, BB1U平面AA1B1B, 所以BB1丄平面ABC.（12分）因为AC U平面ABC，所以BB1丄AC.（14分）例3、（2019南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC, A1C丄BC］, AB］丄BC1，D, E 分别是AB1和BC的中点.求证：（1）DE〃平面ACC1A1；（2）AE丄平面BCC1B1.A _________ c,规范解答⑴连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1#BB1且AA1=BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形．又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点.（2分）在厶BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE〃A］C.又因为DE G平面ACC1A1，A1C U平面ACC1A1，所以DE〃平面ACC1A1.（6分）（2）由（1）知DE〃A］C，因为A1C丄BC” 所以BC］丄DE.（8 分）又因为BC］丄AB1，AB1H DE=D，AB1，DE U平面ADE，所以BC1丄平面ADE.又因为AE U平在ADE,所以AE丄BC1.（10分）在厶ABC中，AB=AC，E是BC的中点，所以AE丄BC.（12分）因为AE丄BC1，AE丄BC，BC1H BC=B，BC1，BC U平面BCC1B1，所以AE丄平面BCC1B1. （14 分）例4、（2019苏锡常镇调研）如图，三棱锥DABC中，已知AC丄BC，AC丄DC，BC=DC，E，F 分别为BD，CD 的中点．求证：（1）EF〃平面ABC；（2）BD丄平面ACE.所以EF 〃平面ABC.（6分）（2）因为AC丄BC，AC丄DC，BC H DC = C，BC，DC U平面BCD所以AC丄平面BCD，（8分）因为BD U平面BCD，所以AC丄BD，（10分）因为DC=BC，E为BD的中点，所以CE丄BD，（12分）因为AC n CE = C, AC，CE U平面ACE，所以BD丄平面ACE.（14分）例5、（2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1 丄B1C1•设A1C与AC1交于点D, B1C与BC1交于点E.求证：（1） DE〃平面ABB1A1；（2） BC］丄平面A1B1C.规范解答（1）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C 与AC1 交于点D,所以D为AC]的中点，同理，E为BC]的中点•所以DE〃AB.（3分）又AB U平面ABB]A], DE G平面ABB]A], 所以DE〃平面ABB]A].（6分）（2）因为三棱柱ABCA]B]C]为直三棱柱，所以BB]丄平面A]B]C]. 又因为A]B]U平面A]B]C],所以BB]丄A]B i.（8分）又A]B]丄B]C], BB], B]C] U 平面BCC]B], BB]n B]C1=B1，所以A]B]丄平面BCC]B].（10 分）又因为BC]U平面BCC]B1，所以A]B丄BC].（12分）又因为侧面BCC]B1为正方形，所以BC]丄BQ.又A1B1n B1C=B1，A1B1，B1C U平面A1B1C, 所以BC1丄平面A1B1C.（14分）例6、（2017苏北四市一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D, E分别为BC, B1C1的中点，点F 在棱CC1上，且EF丄CD.求证：（1）直线A1E〃平面ADC1；⑴证法1连结ED,因为D, E分别为BC, B1C1的中点，所以B&/BD且B1E=BD, 所以四边形BBDE是平行四边形，（2分）所以BB/DE且BB1=DE. 又BB]〃AA]且BB]=AA], 所以AA/DE且AA1=DE, 所以四边形AA]ED是平行四边形，所以A]E〃AD.（4分）又因为AE G平面ADC, AD U平面ADC，所以直线AE〃平面ADC.（7分）1 1 1畀 ------ 1B证法2连结ED,连结A1C, EC分别交AC” DC1于点M, N,连结MM,则因为D, E分别为BC,B1C1的中点，所以C1E^CD且C、E=CD,所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点.（2分）因为A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，（4分）所以MN//A\E.又因为A]E G平面ADC，MN U平面ADC，，所以直线Af〃平面ADC、.（7分）（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB]丄平面ABC.又AD U平面ABC，所以AD丄BB、.又A ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD丄BC.（9分）又BB，，BC U 平面BBCC，，BB1A BC=B，所以AD丄平面B,BCC,，又EF U平面BBCC，所以AD丄EF.（11分）又EF丄CD，CD，AD U平面ADC,，C,D A AD=D，所以直线EF丄平面ADC,.（14分）题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
专题06五种直线、平面平行与垂直的判定与性质解题方法(解析版)
专题06五种直线、平面平行与垂直的判定与性质解题方法 题型一：求异面直线所成角题型二：证明线线、线面平行的方法题型三：证明面面平行的方法题型四：证明线线、线面垂直的方法题型五：证明面面垂直的方法题型一：求异面直线所成角一、单选题1．（2019·江苏苏州·高一期末）正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AA 与BC 所成角的大小为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【分析】利用异面直线1AA 与BC 所成角的的定义，平移直线BC ，即可得答案．【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，易得190A AD ∠=︒．//AD BC ∴异面直线1AA 与BC 垂直，即所成的角为90︒.故选：D ．【点睛】本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题.2．（2020·宁夏银川·高一期末）下图的正方体ABCD A B C D ''''-中，异面直线AA '与BC '所成的角是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】B 【解析】只需将异面直线AA '与BC '平移至同一个平面内，转化为两条相交直线，即可求出它们所成的角．【详解】在正方体ABCD A B C D ''''-中，因为//AA BB ''，所以B BC ''∠即为异面直线AA '与BC '所成的角，因为45B BC ''∠=，所以异面直线AA '与BC '所成的角为45.故选：B.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决，根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．3．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，在正三棱锥D ABC -中，AD DC ⊥，点F 为棱AC 的中点，则异面直线DF 与AB 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C 【分析】取BC 的中点E ，∠DFE 即为所求，结合条件即求.【详解】如图取BC 的中点E ，连接EF ，DE ，则EF ∠AB ，∠DFE 即为所求，设DF a =，在正三棱锥D ABC -中，AD DC ⊥，故2,AB AC BC a DA DB DC ======，∠EF DE DF a ===，∠60DFE ∠=，即异面直线DF 与AB 所成角的大小为60.故选：C.4．（2021·湖北孝感·高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 和11B D 的交点，则异面直线BM 与1AD 所成的角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】A 【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即得结果.【详解】如图，连接1,BC MB ，因为1AD ∠1BC ，所以MBC 1∠或其补角为直线MB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB MC ⊥，又111MC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，111,BB B D ⊂平面1MBB ，所以MC 1⊥平面1MBB ，所以1MC PB ⊥，设正方体棱长为2，则111112BC MC AC ===1111sin 2MC MBC BC ∠===，而直角三角形中MBC 1∠是锐角， 所以16MBC π∠=，即异面直线BM 与1AD 所成的角是6π. 故选：A. 5．（2021·贵州毕节·高一期末）在空间四边形ABCD 中，AB CD =，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，若AB 与CD 所成的角为40°，则EF 与AB 所成角的大小为（ ）A ．20°B ．70°C ．20°或70°D ．40°或140°【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义转化为相交直线所成角，利用几何图形求EF 与AB 所成角的大小.【详解】取AC 的中点M ，BD 的中点N ，连接,,,,ME EN NF FM EF ，,,,M E N F 分别是,,,AC BC BD AD 的中点，//,//ME AB NF AB ∴，∴//ME NF ，同理//EN MF ，∴四边形MENF 是平行四边形，又AB CD =，∴=ME EN ，四边形MENF 是菱形，AB 与CD 所成的角为40，40MEN ∴∠=或140，∴EF 与AB 所成角是1202MEF MEN ∠=∠=或70. 故选：C二、多选题6．（2021·江苏常州·高一期末）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）A ．//BF CDB ．DG BH ⊥C ．CH 与BG 成60°角D ．BE 与平面ABCD 所成角为45°【答案】BCD 【分析】由正方体的平面展开图还原原正方体，再由正方体的结构特征结合空间角的概念逐个分析判断即可【详解】由正方体的平面展开图还原原正方体如图所示，由正方体的结构特征可知，BF 与CD 异面垂直，所以A 错误，DG CH ⊥，而CH 为BH 在平面DCGH 上的射影，所以DG BH ⊥，所以B 正确，连接AH ，由AB ∠GH ，AB GH =，可得四边形ABGH 为平行四边形，则AH ∠BG ，所以AHC ∠或其补角为异面直线CH 与BG 所成的角，连接AC ，可得AHC 为等边三角形，得CH 与BG 成60°角，所以C 正确，因为AE ⊥平面ABCD ，所以EBA ∠为BE 与平面ABCD 所成角为45︒，所以D 正确，故选：BCD三、填空题7．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_________. 【答案】3π 【分析】连接1A D 、BD ，证明11//A D B C ，可得1DA B ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成角，在1DA B △求1DA B ∠即可求解.【详解】如图，连接1A D 、BD ， 因为11A B DC ，所以四边形11A B CD 是平行四边形，所以11//A D B C ，所以1DA B ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，在1DA B △中，11DA A B BD ===，所以1DA B △是等边三角形，所以13DA B π∠=，即异面直线1A B 与1B C 所成角为3π， 故答案为：3π 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，具体步骤如下（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．（2022·陕西西安·高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，则异面直线1AB 与1BC 的夹角为_________． 【答案】3π 【解析】先证明11//AD BC ，可得11D AB ∠或其补角即为异面直线1AB 与1BC 所成的角，连接11D B ，在11AB D 中求11D AB ∠即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//,AB DC AB CD =， 1111//,,D C DC D C DC =所以1111//,AB D C AB D C =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC ，所以11D AB ∠或其补角即为异面直线1AB 与1BC 所成的角，连接11D B ，由1111ABCD A B C D -为正方体可得11AB D 是等边三角形， 所以113D AB π∠=.故答案为：3π 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．9．（2020·湖北湖北·高一期末）已知M 是长方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 的中点，底面ABCD 为正方形且12AA AB =，则AM 与11B D 所成角的大小用弧度制可以表示为______. 【答案】3π 【分析】取1AA 中点N ，连接11,B N D N ，可判断11D B N 即为AM 与11B D 所成角，求出即可.【详解】如图，取1AA 中点N ，连接11,B N D N ，设12=2AA AB =，,M N 是中点，可知1//AN B M 且1AN B M ，∴四边形1AMB N 是平行四边形，1//AM B N ∴,则11D B N 即为AM 与11B D 所成角， 可知11112,2,2B N B D D N ，113D B N，即AM 与11B D 所成角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，属于基础题.10．（2021·吉林·长春市第二十中学高一期末）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 依次是A 1D 1和B 1C 1的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为_____.【答案】35【解析】先推导出BF ∠AE ，从而∠BFC 是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值.【详解】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠E ，F 依次是A 1D 1和B 1C 1的中点，∠BF ∠AE ，∠∠BFC 是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则BF ＝CF ==∠cos ∠BFC 35==. ∠异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为35. 故答案为：35.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.11．（2021·山西吕梁·高一期末）已知正三棱柱中111ABC A B C -中，2AB =，14BB =，D ，E 分别是棱11A C ，1BB 的中点，则异面直线1B D 与AE 所成角的正切值为______.【分析】作出辅助线，证得1DB F ∠或其补角为异面直线1B D 与AE 所成角，然后求出相关线段的长度，进而在1B DF 中，利用余弦定理求出余弦值，进而可以求出结果.【详解】取1A A 的中点F ，连接1,B F DF ,因为E 分别是棱1BB 的中点，所以1AF B E =且1//AF B E ，所以四边形1AFB E 为平行四边形，故1//FB EA ，所以1DB F ∠或其补角为异面直线1B D 与AE 所成角，因为111A B C △为等边三角形，D 分别是棱11A C 的中点，所以111B DA C ，所以1B D ，在1Rt A DF 中，DF在Rt ABE △中，AE =1B F =在1B DF 中，2221cos DB F +-∠==0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1DB F ∠为异面直线1B D 与AE 所成角，而1tan DB F ∠=题型二：证明线线、线面平行的方法一、单选题1．（2020·湖南师大附中高一期末）设a 是直线，α是平面，则能推出//a α的条件是（ ）A ．存在一条直线b ，//a b ，b α⊂B ．存在一条直线b ，a b ⊥，b α⊥C ．存在一个平面β，a β⊂，//αβD ．存在一个平面β，a β⊥，αβ⊥【答案】C【分析】利用a α⊂可得到ABD 的反例，利用面面平行性质知C 正确.【详解】对于A ，若a α⊂，可满足//a b ，b α⊂，但无法得到//a α，A 错误；对于B ，若a α⊂，可满足a b ⊥，b α⊥，但无法得到//a α，B 错误；对于C ，由面面平行的性质知：若//αβ，a β⊂，则//a α，C 正确；对于D ，若a α⊂，可满足a β⊥，αβ⊥，但无法得到//a α，D 错误.故选：C.2．（2019·天津市红桥区教师发展中心高一期末）下列正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点， M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出直线AB ∠平面MNP 的图形的序号是（ ）A．①③B．①②C．①④D．②③【答案】A【分析】运用线面平行的判定、面面平行及线面相交、面面平行的性质，并结合图形即可判断结论在各图中是否正确NC PC，得平面MCPN【详解】图①，如图，作MC//NP，连接,AB NC，NC⊂平面MCPN∠AB//平面MCPN//即AB//平面MNP，故①项正确；AC AD CD图②，如图，连结,,由已知可得平面MNP//平面ACD；∠AB和平面ACD相交，∠AB不平行于平面MNP，故②项错误；图③，如图，连接CD由已知可得AB//CD，而MP//CD，可得AB//MP，∠平面AB⊄/平面MNP，又∠MP⊂平面MNP∠AB //平面MNP ，故③项正确；③④项，如图，由DB //MN ，MN ⊂平面MNP ，若AB //平面MNP ，又ABDB B = 则平面ACBD //平面MNP而由图可知，平面ACBD 不可能平行平面MNP∠AB 不平行于平面MNP ，故④项错误.综上，①③符合题意.故选：A二、填空题3．（2021·天津河东·高一期末）如图，CD αβ=，EF αγ=，AB βγ=，AB//α，则CD 与EF 的位置关系为___________．【答案】//CD EF【分析】由线面平行的性质有//AB CD ，根据线面平行的判定可得//CD γ，最后再由线面平行的性质即可得//CD EF .【详解】∠AB//α，AB β⊂，CD αβ=，∠//AB CD ，又AB γ⊂，CD γ⊄，∠//CD γ，又CD α⊂，EF αγ=， ∠//CD EF .故答案为：//CD EF4．（2021·浙江·高一期末）空间四边形ABCD 中，,E F 分别在边,AD CD 上，且满足DE DF EA FC =，则直线EF 与平面ABC 的位置关系是_________．【答案】平行【分析】由已知得//EF AC ，由此能证明//EF 平面ABC ．【详解】空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 上的点，且DE DF EA FC= //EF AC ∴，EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ．故答案为：平行．5．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）如图，平面////αβγ，直线,l m 分别与α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若13AB BC =，20DF =，则EF =_______.【答案】15【分析】分两种情况：（1）直线l 和m 在同一平面内（2）直线l 和m 不在同一平面内，即l 和m 异面然后利用面面平行的性质定理得到线线平行，进一步利用平行线分线段成比例定理得到结果．【详解】分两种情况：（1）直线l 和m 在同一平面内，设该平面为τ，连结,,AD BE CF因为平面////αβγ，==,=,AD BE CF αβγτττ，所以////AD BE CF ， 所以13AB DE BC EF ==，又20DF = ，所以15EF = ； （2）直线l 和m 不在同一平面内，即l 和m 异面，过D 作//DH AC ，平面////αβγ，∠,AB DG BC GH ==，设直线DH 与AC 所确定的平面为ξ，又,GE HF ξβξγ==，又//βγ，所以//GE HF ， 利用平行线分线段成比例，可得13AB DG DE BC GH EF ===，又20DF =，所以15EF =. 综上，15EF =.故答案为：15．三、解答题6．（2021·新疆·伊宁市第四中学高一期末）已知E F G H 、、、为空间四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、上的中点，求证：//EH FG .【分析】根据中位线定理与平行公理证明即可.【详解】证明：∠ 在ABD △中，E H 、为边AB DA 、的中点，∠ //EH BD ，∠在BCD △中，F G 、为边BC CD 、上的中点，∠//FG BD ，∠//EH FG .7．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱11,BB DD 的中点．求证：(1)//BD 平面AEF ；(2)EF ⊥平面11ACC A ．【分析】（1）易证得四边形BDFE 为平行四边形，可知//BD EF ，由线面平行的判定可得结论； （2）由正方形性质和线面垂直性质可证得BD AC ⊥，1AA BD ⊥，由线面垂直的判定可得BD ⊥平面11ACC A ，由//EF BD 可得结论.(1),E F 分别为11,BB DD 的中点，11BB DD =，11//BB DD ，//BE DF ∴且BE DF =，∴四边形BDFE 为平行四边形，//BD EF ∴，又EF ⊂平面AEF ，BD ⊄平面AEF ，//BD ∴平面AEF .(2)四边形ABCD 为正方形，//BD AC EF BD BD EF ∴⊥∴⊥；1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，11//AA BDEF BD AA EF ∴⊥∴⊥， 又1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，11EF ACC A ∴⊥平面8．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱1DD ，BC 的中点.(1)证明：1A D ⊥平面11ABC D ；(2)证明：//EF 平面11ABC D .【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即证；（2）设11A D AD G ⋂=，由题可得EF ∠GB ，再利用线面平行的判定定理可证.(1)由正方体1111ABCD A B C D -的性质，可得11A D AD ⊥，AB ⊥平面11ADD A ，∴1AB A D ⊥，又1AD AB A ⋂=，∠1A D ⊥平面11ABC D ；(2)设11A D AD G ⋂=，连接,EG BG ，则11//,,//,,22EG AD EG AD BF AD BF AD == ∠//,EG BF EG BF =，∠四边形BFEG 为平行四边形，∠EF ∠GB ，又EF ⊄平面11ABC D ，GB ⊂平面11ABC D ，∠//EF 平面11ABC D9．（2022·陕西渭南·高一期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、1CC 的中点，AC 与BD 交于点O .求证：(1)1//CE FD ；(2)平面//AEC 平面1BFD .【分析】（1）证明出四边形1CED F 为平行四边形，可证得结论成立；（2）证明出//OE 平面1BFD ，//CE 平面1BFD ，利用面面平行的判定定理可证得结论成立.(1)证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CC DD 且11CC DD =，因为E 、F 分别为1DD 、1CC 的中点，则1//CF D E 且1CF D E =，所以，四边形1CED F 为平行四边形，则1//CE FD .(2)证明：因为四边形ABCD 为正方形，ACBD O =，则O 为BD 的中点，因为E 为1DD 的中点，则1//OE BD ， OE ⊄平面1BFD ，1BD ⊂平面1BFD ，所以，//OE 平面1BFD ，因为1//CE FD ，CE ⊄平面1BFD ，1FD ⊂平面1BFD ，所以，//CE 平面1BFD ，因为OE CE E ⋂=，因此，平面//ACE 平面1BFD .题型三：证明面面平行的方法一、单选题1．（2021·贵州铜仁·高一期末）已知a ，b ，c 表示直线，α表示平面，给出下列命题：①若//a α，//b α，那么//a b ；②若b α⊂，//a α，那么//a b ；③若a c ⊥，b c ⊥，则a b ⊥；④若a α⊥，b α⊥，那么//a b ．其中正确的命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】对于①②③可以判断出直线a b 、可能平行，可能相交，也可能异面；对于②直线a b 、可能平行，也可能异面；对于④利用线面垂直的性质定理直接证明即可.【详解】对于①若//a α，//b α，那么直线a b 、可能平行，可能相交，也可能异面；故①错误； 对于②若b α⊂，//a α，那么直线a b 、可能平行，也可能异面；故②错误；对于③若a c ⊥，b c ⊥，那么直线a b 、可能平行，可能相交，也可能异面；故③错误；对于④若a α⊥，b α⊥，按照线面垂直的性质定理可得: //a b .故④正确.故选:B2．（2021·贵州·黔西南州同源中学高一期末）已知两条不重合的直线m n ，和两个不重合的平面αβ，，有下列命题：①若m α⊂，n β⊥，//αβ，则//m n ；②若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ；③若m n ⊥，m α⊥，则//n α；④若//m α，//n α，则//m n ．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】利用空间线面、线线，面面的位置关系一一判定各选项即可.【详解】①当m α⊂，n β⊥，//αβ，则m n ⊥，所以①错误；②因为m α⊥，//m n n α⇒⊥，又n β⊥则//αβ，所以②正确；③若m n ⊥，m α⊥，则//n α或n a ⊂，所以③错误；④若//m α，//n α，则//m n 或,m n 相交或,m n 异面，所以④错误.故选：A.二、多选题3．（2021·江苏·金陵中学高一期末）已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）A ．若,//m n n α⊥，则m α⊥B ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥C ．若,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n β⊥D ．若,m n αα⊂⊂，且m 与n 不平行，//,//,m n ββ则//αβ【答案】BD【解析】结合空间线面位置关系及平行垂直的判定与性质定理对选项进行分别判断.【详解】A ：若,//m n n α⊥，则m 与α平行或相交或m α⊂，A 选项错误；B ：因为,ααβ⊥⊥m ，所以//m β或m β⊂，又n β⊥，所以m n ⊥，B 选项正确；C ：若,,,m n m αβαβ⊥⋂=⊥则n 与β相交或平行或n β⊂，C 选项错误；D ：若一个平面内两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行，D 选项正确；故选：BD.三、填空题4．（2019·湖南·临澧县第一中学高一期末）平面几何中我们有“垂直于同一条直线的两条直线平行”，试将该命题中的直线（部分或全部）换成平面，写出一个在空间中成立的命题：_________.【答案】“垂直于同一直线的两个平面平行”或“垂直于同一平面的两直线平行”【分析】从直线到平面，从平面到空间进行类比得解.【详解】从直线到平面，从平面到空间进行类比得到一个在空间中成立的命题：“垂直于同一直线的两个平面平行”或“垂直于同一平面的两直线平行”.故答案为：“垂直于同一直线的两个平面平行”或“垂直于同一平面的两直线平行”【点睛】本题主要考查空间位置关系，考查类比推理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题5．（2021·贵州黔东南·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =， ,,E F G 分别是,,PC PD BC 的中点．(1)求证：PC AD ⊥；(2)求证：平面//PAB 平面EFG ．【分析】（1）由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥，再根据线面垂直的判定定理和性质定理得证（2）由//EF AB 证明//EF 平面PAB ，由//EG PB 证明//EG 平面PAB ，再由面面平行的判定定理证明即可.(1)由PD ⊥平面ABCD ，得AD PD ⊥，又AD CD ⊥(ABCD 是正方形)，PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PDC ，所以AD PC ⊥.(2)由,E F 分别是线段,PC PD 的中点，所以//EF CD ，又ABCD 为正方形，//AB CD ，所以//EF AB ，又EF ⊄平面PAB ，所以//EF 平面PAB .因为,E G 分别是线段,PC BC 的中点，所以//EG PB ，又EG ⊄平面PAB ，所以//EG 平面PAB .因为,,EF EG E EF EG =⊂平面EFG ，所以平面//EFG 平面PAB . 6．（2021·广东江门·高一期末）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点.（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）设Q 为PA 的中点，G 为AOC △的重心，求证：面//OQG 平面PBC .【分析】（1）根据圆直径的性质，得BC AC ⊥，由PA ⊥平面ABC 得BC PA ⊥，利用线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面PAC ；（2）延长OG ，交AC 于M ，连结GM 、QM ，证出QM 是PAC △的中位线，得//QM PC .利用线面平行的判定定理证出//QM 平面PBC ，同理可得//QO 平面PBC ，根据面面平行的判定定理，可得平面//OQG 平面PBC .【详解】解：（1）∠AB 是圆O 的直径，∠BC AC ⊥，又∠PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∠BC PA ⊥.∠PA AC A =，∠BC ⊥平面PAC ；（2）延长OG ，交AC 于M ，连结GM 、QM ，∠G 为AOC △的重心，∠OM 是AOC △的中线，∠Q 为PA 的中点，M 为AC 的中点，∠//QM PC ，∠QM ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，∠//QM 平面PBC ，同理可得//QO 平面PBC ，∠QM 、QO 是平面OQG 内的相交直线，∠平面//OQG 平面PBC .7．（2021·贵州毕节·高一期末）如图甲，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（1）若:::PM MA BN ND PQ QD ==，求证：平面//MNQ 平面PBC ；（2）如图乙所示，若Q 满足:2PQ QD =，PM tPA =，当t 为何值时，//BM 平面AQC ．【答案】（1）证胆见解析，（2）12t = 【分析】（1）由已知比例式结合平行线截线段成比例证明线线平行，进一步得到线面平行，再由面面平行的判定定理可证得结论；（2）连接AC 交BD 于O ，连接OQ ，取PQ 的中点G ，连接BG ，则可得BG ∠OQ ，可得BG ∠平面AQC ，取PA 的中点M ,连接GM ，则GM ∠AQ ，可得GM ∠平面AQC ，则平面BGM ∠平面AQC ，则BM ∠平面AQC ，可得M 为PA 的中点.【详解】（1）证明：因为::PM MA PQ QD =，所以QM ∠AD ，因为AD ∠BC ，所以QM ∠BC ，因为QM ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以QM ∠平面PBC ，因为::BN ND PQ QD =，所以QN ∠PB ，因为QN ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，，所以QN ∠平面PBC ，因为QM QN Q =,QM ⊂平面MNQ ,QN ⊂平面MNQ ，所以平面//MNQ 平面PBC ；（2）连接AC 交BD 于O ，连接OQ ，取PQ 的中点G ，连接BG ，则BG ∠OQ ，因为QO ⊂平面AQC ,BG ⊄平面AQC ，所以BG ∠平面AQC ，取PA 的中点M ,连接GM ，则GM ∠AQ ， 因为AQ ⊂平面AQC ，GM ⊄平面AQC ，， 所以GM ∠平面AQC ，因为BG GM G ⋂=，所以平面BGM ∠平面AQC ， 因为BM ⊂平面BGM ， 所以BM ∠平面AQC ， 此时M 为PA 的中点， 所以12PM PA =， 因为PM tPA =，所以12t =题型四：证明线线、线面垂直的方法 一、单选题1．（2021·辽宁·辽河油田第一高级中学高一期末）设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则下列条件一定能得到m β⊥的是（ ） A ．m αγ=，αγ⊥，βγ⊥ B ．αβ⊥，l αβ=，m l ⊥C ．n α⊥，n β⊥，m α⊥D ．αγ⊥，βγ⊥，m α⊥【答案】C【解析】根据排除法，结合线面垂直的判定，可得结果. 【详解】在A 中，因为m αγ=，所以,m m αγ⊂⊂， 而,m βγ⊥并不垂直于β内的所有直线， 所以β和m 可能不垂直，故A 错误； 在B 中，m 只垂直β内的一条直线， 所以不能推出m β⊥，故B 错误；在C 中，因为,n n αβ⊥⊥，所以α//β， 又m α⊥，所以m β⊥，故C 正确； 在D 中，由,αγβγ⊥⊥，不能推出α//β， 所以由m α⊥不能推出m β⊥，故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要是线面垂直的判定，属基础题.2．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）已知α，β，γ是三个不同的平面，l 是一条直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若αβ⊥，αγ⊥，l βγ=，则l α⊥B ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C ．若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥D ．若αβ⊥，l αβ=，l γ∥，则βγ⊥【答案】A【分析】利用面面垂直的性质，线面的位置关系，面面的位置关系，结合几何模型即可判断.【详解】对于A ，在平面α内取一点P ，在平面α内过P 分别作平面α与β，α与γ的交线的垂线a ,b ，则由面面垂直的性质定理可得,a b βγ⊥⊥，又l βγ=，∠,l a l b ⊥⊥，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故A 正确；对于B ，若αβ⊥，l α⊂，则l 与β位置关系不确定，可能l 与β平行、相交或l 在β内，故B 错误； 对于C ，若αβ⊥，βγ⊥，则α与γ相交或平行，故C 错误； 对于D ，如图平面,αβγ，且αβ⊥，l αβ=，l γ∥，显然β与γ不垂直，故D 错误. 故选：A.3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角的大小关系为（ ） A ．相等 B ．互补 C ．相等或互补 D ．不确定【答案】D【分析】EDF ∠的边DE 垂直平面EOF ，所以DE OE ⊥ ，作EF OF ⊥ 则DF OF ⊥.【详解】如下图所示，EOF ∠确定一个平面，EDF ∠的边DE 垂直平面EOF ，所以DE OE ⊥ ， 作EF OF ⊥，因为DE ⊥平面EOF ，而OF ⊂平面EOF ，故DE OF ⊥， 而EF DE E ⋂=，故OF ⊥平面EDF ，又DF ⊂平面EDF 中，则DF OF ⊥，对于给定的EOF ∠，当D 变化时，EDF ∠的取值范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故EOF ∠的大小跟EDF ∠无关.故选：D 二、填空题4．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面ABCD 满足条件___________时，有111AC B D ⊥.（只需填写一种正确条件即可）【答案】AC BD ⊥(答案不唯一)【分析】直四棱柱1111ABCD A B C D -，11A C 是1A C 在上底面1111D C B A 的投影，当1111AC B D ⊥时，可得111AC B D ⊥，当然底面ABCD 满足的条件也就能写出来了. 【详解】根据直四棱柱1111ABCD A B C D -可得：1BB ∠1DD ，且11BB DD =，所以四边形11BB D D 是矩形，所以BD ∠11B D ，同理可证：AC ∠11A C ，当AC BD ⊥时，可得：1111AC B D ⊥，且1CC ⊥底面1111D C B A ，而11B D ⊂底面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥，而1111AC CC C =，从而11B D ⊥平面11A CC ，因为1AC ⊂平面11A CC ，所以111AC B D ⊥，所以当AC BD ⊥满足题意. 故答案为：AC BD ⊥. 三、解答题5．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）已知直线//m 平面α，直线l ⊥平面α.求证：l m ⊥. 【分析】过m 作平面β交平面α于直线m '，根据线面平行的性质易知//m m '，再由线面垂直的性质有l ⊥m '，由平行线的性质即可证结论.【详解】证明：如下图，过m 作平面β交平面α于直线m '， ∠//m α，m βα'⋂=， ∠//m m '，∠l ⊥α，而m α'⊂， ∠l ⊥m '，综上，l m ⊥，得证.6．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，90ADB PDC ∠=∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，M 是棱PC 上的点.(1)证明：PD ⊥底面ABCD ；(2)若三棱锥A BDM -的体积是四棱锥P ABCD -体积的14，设PM tMC =，试确定t 的值.【答案】(1)详见解析；(2)1t =.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，可得BD ⊥平面PAD ，然后利用线面垂直的判定定理即证； （2）由题可得14A BDM M ABD P ABCD V V V ---==，进而可得12MC PC =，即得.(1)∠90ADB ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，∠AD BD ⊥，平面PAD 底面ABCD =AD ，BD ⊂底面ABCD ， ∠BD ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∠BD ⊥PD ，又90PDC ∠=︒， ∠PD DC ⊥，BD DC D =， ∠PD ⊥底面ABCD ；(2)设PD h =，M 到底面ABCD 的距离为h '，∠三棱锥A BDM -的体积是四棱锥P ABCD -体积的14，∠14A BDM M ABD P ABCD V V V ---==，又11,33M ABD ABDP ABCD ABCDV Sh V Sh --'=⋅=⋅，12ABDABCDSS =，∠12h h '=，故12MC PC =， 又PM tMC =， 所以1t =.题型五：证明面面垂直的方法 一、多选题1．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知,a b 是两条不重合的直线，αβ，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若//αβ，a 与α所成的角和b 与β所成的角相等，则//a bB ．若a α⊥，a β⊥，则//αβC ．若//a b ，a α⊥，//b β，则αβ⊥D ．若//a α，//αβ，则//a β 【答案】BC【分析】判断命题真假可以直接对各选项逐个判断.对于A 可通过直观想象判断其存在平行或异面或相交几种情况；对于B 可通过直线与平面垂直的性质得到；对于C 通过直线与平面垂直性质和平面与平面垂直的判定定理判断；对于D 可直观想象知存在//a β或a β⊂两种情况.【详解】对于A ，若//αβ，a 与α所成的角和b 与β所成的角相等，则//a b 或a 与b 相交或a 与b 异面，故A 错误；对于B ，若a α⊥，a β⊥，由线面垂直的性质可知//αβ，故B 正确； 对于C ，若//a b ，a α⊥，则b α⊥，又因为//b β，则αβ⊥，故C 正确； 对于D ，若//a α，//αβ，则//a β或a β⊂，故D 错误. 故选:BC 二、解答题2．（2021·江苏南通·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点．（1）求证：//EF 平面P AB（2）若AP AD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，证明：平面PAD ⊥平面PCD【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合矩形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可. 【详解】（1）证明：因为点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点，所以//EF CD 又在矩形ABCD 中，//AB CD ，所以//EF AB 又AB平面P AB ，EF ⊄平面P AB所以//EF 平面.PAB（2）证明：在矩形ABCD 中，AD CD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面P AD ，又AF ⊂平面P AD所以.CD AF ⊥①因为PA AD =且F 是PD 的中点，所以AF PD ⊥，②由①②及PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD CD D ⋂=所以AF ⊥平面PCD ．又AF ⊂平面P AD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ．3．（2021·广东·封开县渔涝中学高一期末）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的正方形，AP =PD =APD ∠平面ABCD ，E 为AP 的中点，F 为CD 的中点．（1）求证：EF ∠平面PBC ； （2）求证：平面APB ∠平面PCD ．【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可. 【详解】（1）设PB 的中点为G ，连接,EG FG ，因为E 为AP 的中点，所以//EG AB 且12EG AB =， 因为F 为CD 的中点，底面ABCD 是正方形， 所以//FC AB 且12FC AB =，因此//FC EG 且FC EG =， 所以四边形EGCF 是平行四边形，因此//EF GC ，因为EF ⊄平面PBC ，GC ⊂平面PBC ，所以EF ∠平面PBC ；（2）因为底面ABCD 是边长为3的正方形，所以3AD =，因为AP =PD = 所以有222AD PA PD =+，因此PD PA ⊥，因为底面ABCD 是正方形，所以BA DA ⊥，因为平面APD ∠平面ABCD ， 平面APD平面ABCD AD =，所以AB ⊥平面APD ，因为PD ⊂平面APD ，所以AB PD ⊥， 因为AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面APB ， 所以PD ⊥平面APB ，因为PD ⊂平面APD ， 所以平面APB ∠平面PCD .4．（2021·江苏扬州·高一期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 中点.（1）求证：1//BD 平面AEC ； （2）求证：平面1⊥B AC 平面11B BDD .【分析】（1）由线面平行的判定定理可证得结果；（2）证得AC ⊥平面11BDD B ，进而由面面垂直的判定定理可证得结果.【详解】（1）设AC 与BD 交于点O ，连结OE .因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以ABCD 为正方形，O 为BD 中点.又因为E 为1DD 中点，所以1//OE BD .又因为OE ⊂平面1,AEC BD ⊄平面AEC ，所以1//BD 平面AEC .（2）因为1111ABCD A B C D -是正方体，1BB ⊥平面ABCD .又AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥.又ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥.因为11,,AC BD AC BB BB ⊥⊥⊂平面11,BDD B BD ⊂平面111,BDD B BB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面11BDD B .又因为AC ⊂平面1B AC ，所以平面1⊥B AC 平面11B BDD .5．（2021·山东枣庄·高一期末）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是线段PA ，PC 的中点．（1）证明：平面BEF ⊥平面PBC ；（2）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线EF 与直线l 的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）//EF l ，理由见解析.【分析】（1）推导出AC PC ⊥，AC BC ⊥，AC ⊥平面PBC ，从而//EF AC ，进而EF ⊥平面PBC ，由此能证明平面BEF ⊥平面PBC ．（2）推导出//EF AC ，//EF 平面ABC ，根据线面平行的性质，即能证明//EF l ． 【详解】解：（1）因为PC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以AC PC ⊥.因为C 是以AB 为直径的圆O 上的点， 所以AC BC ⊥． 又PC BC C ⋂=， 所以AC ⊥平面PBC ．因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点， 所以//EF AC ． 所以EF ⊥平面PBC ．又EF ⊂平面BEF ，故平面BEF ⊥平面PBC ．。
平行、垂直的综合问题
平面图形折叠成空间几何体问题
[典例引领] (2016· 高考全国卷Ⅱ ) 如图，菱 形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别在 AD，CD 上，AE ＝CF， EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置． (1)证明：AC⊥HD′； 5 (2)若 AB＝5，AC＝6，AE＝ ，OD′＝2 2，求五棱锥 4 D′ABCFE 的体积．
从而 P PABCD 的侧面积为 1 1 1 1 2 PA· PD＋ PA· AB＋ PD· DC＋ BC sin 60°＝6＋2 3. 2 2 2 2
(1)几何体的体积 柱体的体积 V＝S 底·h. 1 锥体的体积 V＝ S 底·h. 3 (2)几何体的表面积 直棱柱的侧面积 S 侧＝C 底· l， 其他几何体一般要对各个侧面、 底面逐个分析求解面积，最后求和．
由(1)知，AC⊥HD′， 又 AC⊥BD，BD∩HD′＝H， 所以 AC⊥平面 BHD′， 于是 AC⊥OD′. 又由 OD′⊥OH，AC∩OH＝O， 所以 OD′⊥平面 ABC.
EF DH 9 又由 ＝ 得 EF＝ . AC DO 2 1 1 9 69 五边形 ABCFE 的面积 S＝ ×6×8－ × ×3＝ . 2 2 2 4 1 69 23 2 所以五棱锥 D′ABCFE 的体积 V＝ × ×2 2＝ . 3 4 2
立体几何中的探索性问题
[典例引领] 如图， 直三棱柱 ABCA1B1C1 中， D， E 分别是棱 BC，AB 的中点，点 F 在棱 CC1 上，已知 AB＝AC，AA1＝3，BC＝ CF＝2. (1)求证：C1E∥平面 ADF. (2)设点 M 在棱 BB1 上，当 BM 为何值时，平面 CAM⊥平面 ADF.
平行与垂直综合问题
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垂线的证明题例
总结词
垂线的证明是平面几何中较为基础的问题，需要掌握垂直的定义和判定方法。
详细描述
垂线的证明问题通常涉及到垂直的定义和判定，常用的判定方法包括：利用勾股定理证明三角形为直 角三角形，或者利用垂直的定义，即在平面内，过一点作一条已知直线的垂线。同时，还要注意垂直 的性质，如垂线段最短，垂线之间的角度为直角等。
平行与垂直综合问题
2023-11-07
目录
• 平行综合问题 • 垂直综合问题 • 平行与垂直综合问题 • 平行与垂直的综合题例 • 总结与反思
01
平行综合问题
平行线的性质
平行线的定义：在同一平面内，不相交 的两条直线称为平行线。
两直线平行，同旁内角互补。 两直线平行，内错角相等。
平行线的性质 两直线平行，同位角相等。
垂线的性质
垂线具有垂直、正直、交汇和交汇点等性质。
垂线的表示
垂线可以用符号“⊥”来表示。
垂线的判定
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 两条直线相交成90度，则它们互为垂线。
两条直线相交，若其中一个角为90度，则另一角也是90度，则它们互为垂线。
垂线的应用
在几何学中，垂线 是解决许多几何问 题的重要工具。
平行与垂直在几何学中的应用
平行四边形的判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
垂直定理
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线上 的所有点都在这个平面上。
平行与垂直的应用
在几何学中，平行和垂直是解决许多问题的重要 工具。
平行与垂直在实际问题中的应用
建筑学
在建筑设计中，平行和垂直的应用非常重要。例如，建 筑物的立面图和剖面图通常会涉及到平行和垂直的概念 。
高中数学知识点总结(第八章 立体几何 第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题) -
第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题考点一 立体几何中的探索性问题[典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC .(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，所以BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .因为DM ⊂平面AMD ，所以平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下： 连接AC 交BD 于O . 因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为AC 的中点．连接OP ，因为P 为AM 的中点， 所以MC ∥OP .又MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ， 所以MC ∥平面PBD . [题组训练]1.如图，三棱锥P ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PMMC 的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P ABC 的高，又P A ＝1，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，证明如下：如图，在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC ，知P A ⊥AC ， 所以MN ⊥AC .因为BN ∩MN ＝N ，所以AC ⊥平面MBN ， 又BM ⊂平面MBN ， 所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.2.如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .(1)求证：PC ⊥BC ；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD . 又PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC .(2)连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，GO ，延长GO 交AD 于点M ，连接EM ，则P A ∥平面MEG . 证明如下：因为E 为PC 的中点，O 是AC 的中点， 所以EO ∥P A .因为EO ⊂平面MEG ，P A ⊄平面MEG ，所以P A ∥平面MEG . 因为△OCG ≌△OAM ，所以AM ＝CG ＝23，所以AM 的长为23.考点二 平面图形的翻折问题[典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝D Q ＝23DA ，求三棱锥QABP 的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又因为BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD . 因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝D Q ＝23DA ，所以BP ＝2 2.如图，过点Q 作Q E ⊥AC ，垂足为E ，则Q E 平行且等于13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以Q E ⊥平面ABC ，Q E ＝1.因此，三棱锥QABP 的体积为V QABP ＝13×S △ABP ×Q E ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.[题组训练]1．(2019·湖北五校联考)如图1所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，得到如图2所示的几何体D ABC .(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F BCE 的体积． 解：(1)证明：∵AC ＝AD 2＋CD 2＝22， ∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos 45°＝8， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16，∴AC ⊥BC .∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)∵AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ，∴AD ∥EF ， ∵E 为AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，由(1)知，几何体F BCE 的体积V F BCE ＝V B CEF ＝13×S △CEF ×BC ，S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，∴V F BCE ＝13×12×22＝23.2．(2018·合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60°，CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57.将△CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，得到如图2所示的四棱锥P ABCE .(1)求证：AP ⊥平面ABCE ；(2)记平面P AB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l . 证明：(1)在△CDE 中，∵CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57，由余弦定理得CE ＝ 72＋72－2×7×7×57＝2.连接AC ，∵AE ＝2，∠AEC ＝60°， ∴AC ＝2. 又AP ＝3，∴在△P AE 中，AP 2＋AE 2＝PE 2， 即AP ⊥AE . 同理，AP ⊥AC .∵AC ∩AE ＝A ，AC ⊂平面ABCE ，AE ⊂平面ABCE ， ∴AP ⊥平面ABCE .(2)∵AB ∥CE ，且CE ⊂平面PCE ，AB ⊄平面PCE ， ∴AB ∥平面PCE .又平面P AB ∩平面PCE ＝l ，∴AB ∥l .[课时跟踪检测]1.如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形(记此圆为W )，且P A ⊥平面ABCD .(1)当BD 是圆W 的直径时，P A ＝BD ＝2，AD ＝CD ＝3，求四棱锥P ABCD 的体积．(2)在(1)的条件下，判断在棱P A 上是否存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ？若存在，求出A Q 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)因为BD 是圆W 的直径，所以BA ⊥AD ， 因为BD ＝2，AD ＝3，所以AB ＝1. 同理BC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝AB ·AD ＝ 3. 因为P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，所以四棱锥P ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝233.(2)存在，A Q ＝23.理由如下．延长AB ，DC 交于点E ，连接PE ，则平面P AB 与平面PCD 的交线是PE . 假设在棱P A 上存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ， 则B Q ∥PE ，所以A Q P A ＝ABAE.经计算可得BE ＝2，所以AE ＝AB ＋BE ＝3，所以A Q ＝23.故存在这样的点Q ，使B Q ∥平面PCD ，且A Q ＝23.2.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AA 1＝4，DC ＝2AB ，AB ＝AD ＝3，点M 在棱A 1B 1上，且A 1M ＝13A 1B 1.已知点E 是直线CD 上的一点，AM ∥平面BC 1E .(1)试确定点E 的位置，并说明理由； (2)求三棱锥M BC 1E 的体积．解：(1)点E 在线段CD 上且EC ＝1，理由如下：在棱C 1D 1上取点N ，使得D 1N ＝A 1M ＝1，连接MN ，DN ， 因为D 1N ∥A 1M ，所以四边形D 1NMA 1为平行四边形， 所以MN 平行且等于A 1D 1平行且等于AD .所以四边形AMND 为平行四边形，所以AM ∥DN . 因为CE ＝1，所以易知DN ∥EC 1，所以AM ∥EC 1， 又AM ⊄平面BC 1E ，EC 1⊂平面BC 1E ，所以AM ∥平面BC 1E . 故点E 在线段CD 上且EC ＝1. (2)由(1)知，AM ∥平面BC 1E ，所以V M BC 1E ＝V A BC 1E ＝V C 1ABE ＝13×⎝⎛⎭⎫12×3×3×4＝6. 3．(2019·湖北武汉部分学校调研)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AMAB的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2， ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ，又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ， ∴BE ⊥平面D 1AE . (2)当AM AB ＝14时，MF ∥平面D 1AE ，理由如下： 取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ， ∴FL ∥EC ，又EC ∥AB ， ∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ，∴M ，F ，L ，A 四点共面， 又MF ∥平面AD 1E ，∴MF ∥AL . ∴四边形AMFL 为平行四边形， ∴AM ＝FL ＝14AB ，AM AB ＝14.4．如图1所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1BCD ，如图2所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由．解：(1)证明：∵D，M分别为AC，FC的中点，∴DM∥EF，又∵EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，∴DM∥平面A1EF.(2)证明：∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，A1E⊂平面A1EF，EF⊂平面A1EF，∴BD⊥平面A1EF，又A1F⊂平面A1EF，∴BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD，平面BCD∩平面A1BD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，∴EF⊥平面A1BD，又∵A1B⊂平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面BCD，∴A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．5．(2019·河南名校联考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.(2)当EM ＝33a 时，AM ∥平面BDF ，理由如下： 如图，在梯形ABCD 中，设AC ∩BD ＝N ，连接FN .由(1)知四边形ABCD 为等腰梯形，且∠ABC ＝60°，所以AB ＝2DC ，则CN ∶NA ＝1∶2.易知EF ＝AC ＝3a ，所以AN ＝233a .因为EM ＝33a ， 所以MF ＝23EF ＝233a ，所以MF 平行且等于AN ， 所以四边形ANFM 是平行四边形， 所以AM ∥NF ，又NF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ， 所以AM ∥平面BDF .6.如图所示的五面体ABEDFC 中，四边形ACFD 是等腰梯形，AD ∥FC ，∠DAC ＝60°，BC ⊥平面ACFD ，CA ＝CB ＝CF ＝1，AD ＝2CF ，点G 为AC 的中点．(1)在AD 上是否存在一点H ，使GH ∥平面BCD ？若存在，指出点H 的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥G ECD 的体积．解：(1)存在点H 使GH ∥平面BCD ，此时H 为AD 的中点．证明如下． 取点H 为AD 的中点，连接GH ， 因为点G 为AC 的中点，所以在△ACD 中，由三角形中位线定理可知GH ∥CD ， 又GH ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以GH ∥平面BCD .(2)因为AD ∥CF ，AD ⊂平面ADEB ，CF ⊄平面ADEB ， 所以CF ∥平面ADEB ，因为CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面ADEB ＝BE ， 所以CF ∥BE ，又CF ⊂平面ACFD ，BE ⊄平面ACFD ， 所以BE ∥平面ACFD ， 所以V G ECD ＝V E GCD ＝V B GCD .因为四边形ACFD 是等腰梯形，∠DAC ＝60°，AD ＝2CF ＝2AC ，所以∠ACD ＝90°，又CA ＝CB ＝CF ＝1，所以CD ＝3，CG ＝12，又BC ⊥平面ACFD ，所以V B GCD ＝13×12CG ×CD ×BC ＝13×12×12×3×1＝312.所以三棱锥G ECD 的体积为312.。
直线和平面平行、垂直的判定及性质(单清春老师)
在日常生活中，为了确保家具的平稳性，常常需要确保家具的腿与地面平行。
02
直线和平面垂直的判定及性 质
判定条件
直线与平面内两条相交直线都垂直， 则直线与平面垂直。
直线与平面垂直的判定定理：如果一 条直线与平面内的两条相交直线都垂 直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线和平面平行、垂直的判 定及性质
目录
• 直线和平面平行的判定及性质 • 直线和平面垂直的判定及性质 • 直线和平面平行与垂直的综合应
用 • 直线和平面平行、垂直在几何图
形中的应用
01
直线和平面平行的判定及性 质
判定条件
直线与平面平行，则 直线与平面内任意一 条直线平行。
若直线与平面内的无 数条直线平行，则该 直线与该平面平行。
立体几何图形中的平行与垂直
总结词
在立体几何图形中，平行和垂直关系是 描述三维空间中物体位形中，平行和垂直关系是描 述三维空间中物体位置关系的重要方式。 例如，在长方体中，对面平行且相等，体 对角线互相平分且垂直；在正方体中，六 面相等且平行，体对角线互相平分且相等 。这些性质在解决立体几何问题中具有重 要的作用，如计算体积、表面积等。
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判定定理
如果一条直线与平面内的两条 相交直线都垂直，那么这条直
线与这个平面垂直。
证明方法
利用直线与平面的交点，通过 反证法或直接证明法进行证明
。
解题技巧
利用几何图形中的平行线、垂线 等性质，结合判定定理进行推理。
注意利用已知条件，通过反证法 或直接证明法进行证明。
注意利用几何图形中的对称性、 中点等性质，简化证明过程。
直线、平面垂直的性质基础知识+典型例题答案解析
直线、平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且cαβ=，求证：AB∥c．【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB ∥c．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b＇．∵a∥α，b∥α，∴a∥a＇，b∥b＇．又∵AB⊥α，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥α．（2）如图，过B作BB＇⊥α，则AB⊥BB＇．又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．∵b⊥β，∴b⊥c，∵BB＇⊥α，∴BB＇⊥c．∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．故c∥AB．【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．高清：空间的线面垂直398999 例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB ⊥PD 可得 PD⊥面ABE。
高中数学直线、平面平行与垂直的综合问题训练题
直线、平面平行与垂直的综合问题训练题1.如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形(记此圆为W )，且PA ⊥平面ABCD .(1)当BD 是圆W 的直径时，PA ＝BD ＝2，AD ＝CD ＝3，求四棱锥P ABCD 的体积．(2)在(1)的条件下，判断在棱PA 上是否存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ？若存在，求出A Q 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)因为BD 是圆W 的直径，所以BA ⊥AD ，因为BD ＝2，AD ＝3，所以AB ＝1.同理BC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝AB ·AD ＝ 3.因为PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2，所以四棱锥P ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·PA ＝233. (2)存在，A Q ＝23.理由如下． 延长AB ，DC 交于点E ，连接PE ，则平面PAB 与平面PCD 的交线是PE . 假设在棱PA 上存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ，则B Q ∥PE ，所以A Q PA ＝AB AE. 经计算可得BE ＝2，所以AE ＝AB ＋BE ＝3，所以A Q ＝23. 故存在这样的点Q ，使B Q ∥平面PCD ，且A Q ＝23. 2.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB∥CD ，AB ⊥AD ，AA 1＝4，DC ＝2AB ，AB ＝AD ＝3，点M 在棱A 1B 1上，且A 1M ＝13A 1B 1.已知点E 是直线CD 上的一点，AM ∥平面BC 1E . (1)试确定点E 的位置，并说明理由；(2)求三棱锥M BC 1E 的体积．解：(1)点E 在线段CD 上且EC ＝1，理由如下：在棱C 1D 1上取点N ，使得D 1N ＝A 1M ＝1，连接MN ，DN ，因为D 1N ∥A 1M ，所以四边形D 1NMA 1为平行四边形，所以MN 綊A 1D 1綊AD .所以四边形AMND 为平行四边形，所以AM ∥DN .因为CE ＝1，所以易知DN ∥EC 1，所以AM ∥EC 1，又AM ⊄平面BC 1E ，EC 1⊂平面BC 1E ，所以AM ∥平面BC 1E .故点E 在线段CD 上且EC ＝1.(2)由(1)知，AM ∥平面BC 1E ，所以V M BC 1E ＝V A BC 1E ＝V C 1ABE ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3×3×4＝6. 3．(2019·湖北武汉部分学校调研)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AM AB的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2，∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ，又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ，∴BE ⊥平面D 1AE . (2)当AM AB ＝14时，MF ∥平面D 1AE ，理由如下： 取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ，∴FL ∥EC ，又EC ∥AB ，∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ， ∴M ，F ，L ，A 四点共面，又MF ∥平面AD 1E ，∴MF ∥AL .∴四边形AMFL 为平行四边形，∴AM ＝FL ＝14AB ，AM AB ＝14.4．如图1所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1BCD ，如图2所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由．解：(1)证明：∵D，M分别为AC，FC的中点，∴DM∥EF，又∵EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，∴DM∥平面A1EF.(2)证明：∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，A1E⊂平面A1EF，EF⊂平面A1EF，∴BD⊥平面A1EF，又A1F⊂平面A1EF，∴BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD，平面BCD∩平面A1BD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，∴EF⊥平面A1BD，又∵A1B⊂平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面BCD，∴A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．5．(2019·河南名校联考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.(2)当EM ＝33a 时，AM ∥平面BDF ，理由如下：如图，在梯形ABCD 中，设AC ∩BD ＝N ，连接FN .由(1)知四边形ABCD 为等腰梯形，且∠ABC ＝60°，所以AB ＝2DC ，则CN ∶NA ＝1∶2.易知EF ＝AC ＝3a ，所以AN ＝233a . 因为EM ＝33a ， 所以MF ＝23EF ＝233a ， 所以MF 綊AN ，所以四边形ANFM 是平行四边形，所以AM ∥NF ，又NF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ，所以AM ∥平面BDF .6.如图所示的五面体ABEDFC 中，四边形ACFD 是等腰梯形，AD ∥FC ，∠DAC ＝60°，BC ⊥平面ACFD ，CA ＝CB ＝CF ＝1，AD ＝2CF ，点G为AC 的中点．(1)在AD 上是否存在一点H ，使GH ∥平面BCD ？若存在，指出点H的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥G ECD 的体积．解：(1)存在点H 使GH ∥平面BCD ，此时H 为AD 的中点．证明如下．取点H 为AD 的中点，连接GH ，因为点G 为AC 的中点，所以在△ACD 中，由三角形中位线定理可知GH ∥CD ，又GH ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以GH ∥平面BCD .(2)因为AD ∥CF ，AD ⊂平面ADEB ，CF ⊄平面ADEB ，所以CF ∥平面ADEB ，因为CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面ADEB ＝BE ，所以CF ∥BE ，又CF ⊂平面ACFD ，BE ⊄平面ACFD ， 所以BE ∥平面ACFD ，所以V G ECD ＝V E GCD ＝V B GCD .因为四边形ACFD 是等腰梯形，∠DAC ＝60°，AD ＝2CF ＝2AC ，所以∠ACD ＝90°，又CA ＝CB ＝CF ＝1，所以CD ＝3，CG ＝12， 又BC ⊥平面ACFD ，所以V B GCD ＝13×12CG ×CD ×BC ＝13×12×12×3×1＝312. 所以三棱锥G ECD 的体积为312.。
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点在几何学中，我们经常会遇到直线和平面之间的关系。
其中，直线与平面可以有平行关系或垂直关系。
本文将介绍直线和平面平行、垂直的判定方法，并讨论它们的性质。
一、直线和平面的基本概念回顾在论述直线和平面的平行、垂直关系之前，我们需要先回顾一些基本概念。
1. 直线直线是由无限多个点按一定方向排列而成的，没有始点和终点。
直线可由一个点和一个方向确定。
在数学中，直线通常用两个点A和B表示，记作AB。
2. 平面平面是二维几何体，具有无限多个点，且任意两点之间可以连成一条直线。
平面由三个非共线的点决定。
在数学中，我们通常用大写字母P、Q、R等表示平面上的点。
二、直线和平面的平行判定1. 平行直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线平行，那么它也与这个平面平行。
同样地，如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它也与这个平面垂直。
2. 平行直线的判定方法直线之间的平行关系有多种判定方法。
下面介绍两种常见的方法：(1) 借助平面间的平行关系进行判定两条直线平行的充要条件是，它们在同一个平面内，且与该平面的一条直线平行。
(2) 借助直线的倾斜角进行判定两条直线平行的充要条件是，它们的倾斜角相等或互补。
三、直线和平面的垂直判定1. 垂直直线与平面的关系如果一条直线与一个平面内的直线垂直，那么它与这个平面垂直。
2. 垂直直线的判定方法直线与平面垂直的判定方法有多种。
下面介绍两种常见的方法：(1) 借助直线和平面的夹角进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线与平面内的两条相交直线成对应的垂直角。
(2) 借助直线的方向向量进行判定直线与平面垂直的充要条件是，直线的方向向量与平面的法向量垂直。
四、直线平面平行、垂直关系的性质1. 性质1：平行或垂直关系具有传递性若直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，那么直线a与直线c也平行。
同样的，若直线m与直线n垂直，直线n与直线p垂直，那么直线m与直线p也垂直。
平行与垂直综合问题
平行与垂直综合问题xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•引言•平行的基本性质•垂直的定义与判定方法•平行与垂直的综合应用•平行的辅助线添加方法•垂直的辅助线添加方法•练习题和解析01引言1课程背景23平行与垂直综合问题在计算机视觉、物理、数学等领域的应用广泛。
平行与垂直综合问题在解决现实世界中的优化问题时具有重要意义。
针对平行与垂直综合问题的研究具有重要的理论和应用价值。
平行四边形定理平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。
定义和定理介绍垂直的定义两条直线相交成直角，则两条直线互相垂直。
平行与垂直的性质平行线与垂直线的交点为直角点；垂直线段的长度等于平行线段长度的乘积；两个平行平面同时垂直于第三个平面，则它们相互平行。
课程目标和意义掌握平行与垂直的基本概念、性质和定理；掌握平行与垂直问题的求解方法和技术；学习平行与垂直在计算机视觉、物理、数学等领域的应用；学习如何利用平行与垂直解决现实世界中的优化问题。
02平行的基本性质两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
平行的定义平行公理，三角形内角和定理，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
平行的判定平行的定义和判定平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质对边平行，对边相等，对角线互相平分。
平行四边形的基本性质等腰梯形的定义两底平行且相等的梯形是等腰梯形。
等腰梯形的性质上底和下底平行，两腰相等，对角线互相平分。
等腰梯形的基本性质03垂直的定义与判定方法两条直线或线段相交成直角，则称它们互相垂直(perpendicular)，记作$a \perp b$，或$\angle 1 \perp \angle 2$。
垂直定义在平面几何中，垂直通常用符号"$ \perp $"表示，其中一条直线或线段为$a$，另一条直线或线段为$b$。
符号表示垂直的定义及符号表示定义法根据垂直的定义，通过判断两条直线或线段是否相交成直角来判定垂直关系。
高一 平行与垂直的综合应用知识点+例题+练习 含答案
1.证明方法(1)证明平行关系的方法：①证明线线平行的常用方法a.利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；b.利用平行四边形进行转换；c.利用三角形中位线定理证明；d.利用线面平行、面面平行的性质定理证明.②证明线面平行的常用方法a.利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；b.利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行.③证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行.(2)证明空间中垂直关系的方法：①证明线线垂直的常用方法a.利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；b.利用勾股定理逆定理；c.利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.②证明线面垂直的常用方法a.利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；b.利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；c.利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.③证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决. 2.应特别注意的几个易错点定理图形语言易错点等角定理⎭⎪⎬⎪⎫∠AOB 和∠A ′O ′B ′中OA ∥O ′A ′，OB ∥O ′B ′且方向相同⇒∠AOB＝∠A ′O ′B ′易忽略“方向相同” 线面平行的判定定理 ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄α，b ⊂αa ∥b ⇒a ∥α易丢掉“a ⊄α”或“b⊂α” 线面平行的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α，a ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b易忽略“α∩β＝b ”直线和平面垂直的判定定理 ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a ，l ⊥b a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O⇒l ⊥α易忽略“a ∩b ＝O ”两个平面垂直的性质定理 ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝c a ⊂α，a ⊥c ⇒a ⊥β易忽略“a ⊂α”面面平行的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α，b ∥αa ⊂β，b ⊂βa ∩b ＝O ⇒α∥β易忽略“a ∩b ＝O ”面面平行的判定定理的推论 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝Oc ⊂β，d ⊂βc ∩d ＝O ′a ∥c ，b ∥d ⇒α∥β易忽略“a ∩b ＝O ”或“c ∩d ＝O ′”【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行.( × )(2)若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条.(×)(3)若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(×)(4)α，β，γ为三个不同平面，α∥β，β∥γ⇒α∥γ.(√)(5)若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ.(√)(6)α⊥β，a⊥β，b⊥α⇒a∥b.(×)1.(教材改编)如图，已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，垂足为C，PD⊥β，垂足为D，则直线AB与CD的位置关系是________.答案AB⊥CD解析∵PC⊥α，∴PC⊥AB，又∵PD⊥β，∴PD⊥AB，∴AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD.2.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G分别为B1C1，A1D1，A1B1的中点，则平面EBD 与平面FGA的位置关系为________.答案平行3.如图所示，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED 绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中错误的是________.①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②恒有平面A′GF⊥平面BCED；③三棱锥A′—FED的体积有最大值；④异面直线A′E与BD不可能互相垂直.答案④解析由题意知，DE⊥平面A′FG，又DE⊂平面ABC，所以平面A′FG⊥平面ABC，且它们的交线是AF ，过A ′作A ′H ⊥AF ，则A ′H ⊥平面ABC ，所以A ′在平面ABC 上的射影一定在线段AF 上，且平面A ′GF ⊥平面BCED ，故①②均正确；三棱锥A ′—EFD 的体积可以表示为V ＝13S △EFD ·A ′H ，当平面A ′DE ⊥平面ABC 时，A ′H 最大，故三棱锥A ′—EFD 的体积有最大值，故③正确；连结CD ，EH ，当CD ∥EH 时，BD ⊥EH ，又知EH 是A ′E 在平面ABC 内的射影，所以BD ⊥A ′E ，因此异面直线A ′E 与BD 可能垂直，故④错误.4.已知点P 是等腰三角形ABC 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，在△ABC 中，底边BC ＝6，AB ＝5，则P 到BC 的距离为________. 答案 4 5解析 取BC 的中点D ，连结AD ，PD .∵AD ⊥BC ，P A ⊥BC ，且AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AD ，∴BC ⊥PD ， ∴在Rt △P AD 中，PD ＝82＋42＝4 5.5.(教材改编)如图，在三棱锥V —ABC 中，∠VAB ＝∠VAC ＝∠ABC ＝90°，则平面VBA 与平面VBC 的位置关系为_____________________________________________________.答案 垂直解析 ∵∠VAB ＝∠VAC ＝∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，VA ⊥AC ，VA ⊥AB ， 由⎭⎪⎬⎪⎫VA ⊥AB VA ⊥AC ⇒VA ⊥平面ABC ， ∴VA ⊥BC ，由⎭⎪⎬⎪⎫VA ⊥BC AB ⊥BC ⇒BC ⊥平面VAB ∴BC ⊥AB ，又BC ⊂平面VBC ， ∴平面VBC ⊥平面VBA.题型一 线、面平行垂直关系的判定例1 (1)如图所示，在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若D 是AB 的中点，则AC 1与平面CDB 1的关系为________.①AC 1∥平面CDB 1； ②AC 1在平面CDB 1中； ③AC 1与平面CDB 1相交； ④无法判断关系.(2)已知m ，n 为直线，α，β为平面，给出下列命题：①⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α；②⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥β，n ⊥β⇒m ∥n ； ③⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥α，m ⊥β⇒α∥β；④⎩⎪⎨⎪⎧m ⊂α，n ⊂β，α∥β⇒m ∥n .其中正确的命题是________. 答案 (1)① (2)②③解析 (1)连结BC 1，BC 1与CB 1交于E 点，(如图)连结DE ，则DE ∥AC 1，又DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.(2)对于①，n 可能在α内；对于④，m 与n 可能异面.易知②，③是真命题. 思维升华 对线面平行、垂直关系的判定：(1)易忽视判定定理与性质定理的条件，如易忽视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条件；(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；(3)可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确.(1)在正方形SG1G2G3中，E，F分别为G1G2，G2G3的中点.现在沿SE，SF及EF 把这个正方形折成一个四面体，使点G1，G2，G3重合，记为点G，则SG与平面EFG的位置关系为________.答案垂直解析翻折后SG⊥EG，SG⊥FG，从而SG⊥平面EFG.(2)已知三个平面α，β，γ.若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且直线c⊂β，c∥b.①判断c与α的位置关系，并说明理由；②判断c与a的位置关系，并说明理由.解①c∥α，∵α∥β，∴α与β没有公共点.又∵c⊂β，∴c与α无公共点，故c∥α.②c∥a.∵α∥β，∴α与β没有公共点.又α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，∴a∥b.又c∥b，∴a∥c.题型二平行与垂直关系的证明命题点1线面平行的证明例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BB1D1D. 证明如图所示，连结AC交BD于点O，连结OE，则OE∥DC，OE＝12DC.∵DC∥D1C1，DC＝D1C1，F为D1C1的中点，∴OE∥D1F，OE＝D1F，∴四边形D1FEO为平行四边形，∴EF∥D1O.又∵EF ⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.命题点2面面平行的证明例3如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1.(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C.(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.证明(1)∵B1B∥DD1，B1B＝D1D，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD⊂平面A1BD，B1D1⊂平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C，又∵A1D∩BD＝D，A1D，BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.如图所示，取BB1的中点G，连结AG，GF，易得AE∥B1G，又∵AE＝B1G，∴四边形AEB1G是平行四边形，∴B1E∥AG.同理GF ∥AD .又∵GF ＝AD ， ∴四边形ADFG 是平行四边形，∴AG ∥DF ，∴B 1E ∥DF ，∴DF ∥平面EB 1D 1. 又∵BD ∩DF ＝D ， ∴平面EB 1D 1∥平面FBD . 命题点3 直线与平面垂直的证明例4 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 相交于点O ，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF ＝CF ，点G 为BC 的中点.(1)求证：OG ∥平面EFCD ； (2)求证：AC ⊥平面ODE .证明 (1)∵四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ， ∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点，∴OG ∥CD ， 又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ， ∴OG ∥平面EFCD .(2)∵BF ＝CF ，点G 为BC 的中点，∴FG ⊥BC . ∵平面BCF ⊥平面ABCD ， 平面BCF ∩平面ABCD ＝BC ， FG ⊂平面BCF ，FG ⊥BC ， ∴FG ⊥平面ABCD .∵AC ⊂平面ABCD ，∴FG ⊥AC ，∵OG ∥AB ，OG ＝12AB ，EF ∥AB ，EF ＝12AB ，∴OG ∥EF ，OG ＝EF ，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO.∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵EO∩DO＝O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE.命题点4面面垂直的证明例5如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连结FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝12AA1.因为BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，所以△A1B1E≌△CBE，所以A1E＝CE.因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.又FG∥AA1∥BE，GF＝12AA1＝BE，且BE⊥BG，所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.因为A1C∩FG＝F，所以EF ⊥侧面ACC 1A 1. 又因为EF ⊂平面A 1CE ， 所以截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1. 命题点5 平行、垂直的综合证明例6 如图，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD .(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)若AF ∥DE ，DE ＝3AF ，点M 在线段BD 上，且BM ＝13BD ，求证：AM ∥平面BEF .证明 (1)因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC .因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .又BD ∩DE ＝D ，从而AC ⊥平面BDE .(2)如图，延长EF ，DA 交于点G .因为AF ∥DE ，DE ＝3AF ，所以GA GD ＝AF DE ＝13.因为BM ＝13BD ，所以BM BD ＝13，所以BM BD ＝GA GD ＝13，所以AM ∥GB .又AM ⊄平面BEF ，GB ⊂平面BEF ， 所以AM ∥平面BEF .思维升华 (1)空间线面的位置关系的判定方法①证明直线与平面平行，设法在平面内找到一条直线与已知直线平行，解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质，或构造平行四边形，寻求比例关系确定两直线平行.②证明直线与平面垂直，主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.解题时注意分析观察几何图形，寻求隐含条件.(2)空间面面的位置关系的判定方法①证明面面平行，需要证明线面平行，要证明线面平行需证明线线平行，将“面面平行”问题转化为“线线平行”问题.②证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分别为边A1B1，C1C的中点.求证：(1)BC1⊥平面AB1C；(2)DE∥平面AB1C.证明(1)∵四边形AA1C1C为矩形，∴AC⊥C1C.又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1，∴AC⊥平面CC1B1B.∵BC1⊂平面CC1B1B，∴AC⊥BC1.又四边形CC1B1B为菱形，∴B1C⊥BC1.∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面AB1C.(2)取AA1的中点F，连结DF，EF.∵四边形AA1C1C为矩形，E，F分别为C1C，AA1的中点，∴EF∥AC.∵EF⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴EF ∥平面AB 1C .∵D ，F 分别为边A 1B 1，AA 1的中点，∴DF ∥AB 1. ∵DF ⊄平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ， ∴DF ∥平面AB 1C .∵EF ∩DF ＝F ，EF ⊂平面DEF ，DF ⊂平面DEF ， ∴平面DEF ∥平面AB 1C .∵DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面AB 1C .题型三 平行与垂直的应用例7 (2015·安徽)如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值.(1)解 由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高，又P A ＝1. 所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)证明 在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连结BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ，又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝ANNC＝13.思维升华(1)利用平行关系可以转移点到面的距离，从而求几何体体积或解决关于距离的最值问题.(2)对于存在性问题的证明与探索有三种途径：途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.途径三：将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD ＝1，AB＝3，点F是PD的中点，点E是边DC上的任意一点.(1)当点E为DC边的中点时，判断EF与平面P AC的位置关系，并加以证明；(2)证明：无论点E在边DC的何处，都有AF⊥EF；(3)求三棱锥B—AFE的体积.(1)解当点E为DC边的中点时，EF与平面P AC平行.证明如下：在△PDC中，E，F分别为DC，PD的中点，∴EF∥PC，又EF⊄平面P AC，而PC⊂平面P AC，∴EF∥平面P AC.(2)证明∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD.∵AD∩AP＝A，∴CD⊥平面P AD.又AF⊂平面P AD，∴AF⊥CD.∵P A＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD.又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PCD.∵EF⊂平面PCD，∴AF⊥EF.即无论点E 在边DC 的何处，都有AF ⊥EF .(3)解 作FG ∥P A 交AD 于G ，则FG ⊥平面ABCD ，且FG ＝12，又S △ABE ＝32，∴V B —AEF ＝V F —AEB ＝13S △ABE ·FG ＝312.∴三棱锥B —AFE 的体积为312.6.立体几何平行、垂直的证明问题典例 (14分)(2014·北京)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点.(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积. 规范解答(1)证明 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ， 所以BB 1⊥AB .[1分] 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1，[2分] 又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.[3分](2)证明 取AB 的中点G ，连结EG ，FG .[4分]因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .[6分]因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形. 所以C 1F ∥EG .[8分]又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .[10分](3)解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.[12分]所以三棱锥E －ABC 的体积 V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.[14分]证明线面平行问题(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线. 第二步：证明线线平行.第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行. 第四步：反思回顾.检测关键点及答题规范. 证明线面平行问题(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面.第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行； 第三步：证明所作平面与所证平面平行. 第四步：转化为线面平行. 第五步：反思回顾，检查答题规范. 证明面面垂直问题第一步：根据已知条件确定一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的一条直线. 第二步：结合已知条件证明确定的这条直线垂直于另一平面内的两条相交直线.第三步：得出确定的这条直线垂直于另一平面.第四步：转化为面面垂直.第五步：反思回顾，检查答题规范.温馨提醒(1)证线面平行的方法：①利用判定定理，关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.②若要借助于面面平行来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线.(2)证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.[方法与技巧]1.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.2.空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.[失误与防范]1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.3.在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意.口诀：线不在多，重在相交.4.面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理，这个定理的主要作用是作一个平面的垂线，在一些垂直关系的证明中，很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线.注意定理使用的条件，在推理论证时要把定理所需要的条件列举完整，同时要注意推理论证的层次性，确定先证明什么、后证明什么.A组专项基础训练(时间：45分钟)1.设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若m，n是异面直线，m∥α，n∥α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α.其中真命题的序号是________.答案①③④解析①由α∥β，l⊂α知，l与β无公共点，故l∥β.②当m⊂α，n⊂α，m与n相交，m∥β，n∥β时，α∥β.③由l∥α知，α内存在l′，使得l′∥l.因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β.④易知α内存在m′，n′，使得m′∥m，n′∥n，且m′，n′相交，由l⊥m，l⊥n知，l⊥m′且l⊥n′，故l⊥α.2.已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.其中是真命题的是________.(填写所有真命题的序号)答案③④解析对于①，平面α与β可能相交，故①错；对于②，若α∥β，m∥α，n∥β，则直线m 与n可能平行，可能相交，也可能异面，故②错；对于③，由面面垂直的判定可知③正确；对于④，由面面垂直的性质可知m⊥n，故④正确.因此真命题的序号为③④.3.在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上一动点，当M满足是________时，平面MBD⊥平面ABCD.答案PC的中点解析 当M 是PC 中点时，连结AC ，BD 交于O ，由题意知，O 是AC 的中点，连结MO ，则MO ∥P A .∵P A ⊥平面ABCD ，∴MO ⊥平面ABCD ，MO ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面ABCD . 4.如图，ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，且它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.答案m n解析 设AE ＝a ，EB ＝b ，由题意知，EF ∥AC ， 得EF ＝bm a ＋b ，同理EH ＝ana ＋b.因为EF ＝EH ，所以bm a ＋b ＝an a ＋b，所以a b ＝mn .5.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .答案 a 或2a解析 由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1， 所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可. 令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 易知Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ，得AC AF ＝A 1F A 1D ，即2a x ＝3a －x a ， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0， 解得x ＝a 或x ＝2a .6.如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，PB ＝PD ，P A ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM .求证：(1)OM ∥平面P AD ； (2)OM ⊥平面PCD .证明 (1)连结AC .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 的中点.在△P AC 中，因为O ，M 分别是AC ，PC 的中点，所以OM ∥P A . 因为OM ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以OM ∥平面P AD .(2)连结PO .因为O 是BD 的中点，PB ＝PD ， 所以PO ⊥BD .因为平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，从而PO ⊥CD . 因为CD ⊥PC ，PC ∩PO ＝P ， PC ⊂平面P AC ，PO ⊂平面P AC ， 所以CD ⊥平面P AC .因为OM ⊂平面P AC ，所以CD ⊥OM .因为P A⊥PC，OM∥P A，所以OM⊥PC.因为CD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，CD∩PC＝C，所以OM⊥平面PCD.7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.(1)证明如图，因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以B1C1⊥面ABB1A1.因为A1B⊂面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥面ADC1B1.因为A1B⊂面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)解当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE.证明如下：易知：EF∥C1D，且EF＝12C1D.设AB1∩A1B＝O，则B1O∥C1D且B1O＝12C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四边形B1OEF为平行四边形.所以B1F∥OE.又因为B1F⊄面A1BE，OE⊂面A1BE.8.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)证明：B1F∥平面A1BE；(3)若正方体棱长为1，求四面体A1—B1BE的体积.(1)证明如图，连结AB1.因为ABCD—A1B1C1D1为正方体，所以B1C1⊥平面ABB1A1.因为A1B ⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥平面ADC1B1.因为A1B⊂平面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)证明如图，连结EF，DC1，OE，B1F.由已知条件得EF∥C1D，且EF＝12C1D.设AB1∩A1B＝O，则B1O∥C1D且B1O＝12C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四边形B1OEF为平行四边形，所以B1F∥OE.因为B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE，(3)解 VA 1—B 1BE ＝VE —A 1B 1B ＝13S △A 1B 1B ·B 1C 1＝16. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)9.在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，给出下面三个结论： ①BC ∥平面PDF ；②DF ⊥平面P AE ；③平面PDF ⊥平面ABC .其中不成立．．．的结论是________.(填写所有不成立的结论的序号) 答案 ③解析如图，由题知BC ∥DF ，∴BC ∥平面PDF .∵四面体P —ABC 为正四面体，∴BC ⊥P A ，AE ⊥BC ，BC ⊥平面P AE ，∴DF ⊥平面P AE ，∴平面P AE ⊥平面ABC ，∴①和②成立.设此正四面体的棱长为1，则P A ＝1，AM ＝34，PM 2＝PD 2－DM 2＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫142＝1116，∴P A 2≠AM 2＋PM 2，故③不成立.10.如图，过四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .(1)请在木块的上表面作出过点P 的锯线EF ，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB1D1D是矩形，试证明：平面BDEF⊥平面ACC1A1.(1)解在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1，A1B1于E，F两点，则EF为所作的锯线.在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱B1B∥D1D，B1B＝D1D，所以四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1∥BD.又EF∥B1D1，所以EF∥BD，故EF为截面BDEF与平面A1B1C1D1的交线，故EF为所作锯线.如图所示.(2)证明由于四边形BB1D1D是矩形，所以BD⊥B1B.又A1A∥B1B，所以BD⊥A1A.又四棱柱的底面为菱形，所以BD⊥AC.因为AC∩A1A＝A，所以BD⊥平面A1C1CA.因为BD⊂平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面A1C1CA.11.如图，P A垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝P A＝2，CD＝22，E，F分别是AB，PD 的中点.(1)求证：AF∥平面PCE；(2)求证：平面PCE⊥平面PCD；(3)求四面体PECF的体积.(1)证明设G为PC的中点，连结FG，EG.∵F 为PD 的中点，E 为AB 的中点，∴FG 綊12CD ，AE 綊12CD ，∴FG 綊AE ， ∴四边形AEGF 为平行四边形，∴AF ∥GE . ∵GE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， ∴AF ∥平面PCE .(2)证明 ∵P A ＝AD ＝2，∴AF ⊥PD .又∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD .∵AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .∵AF ⊂平面P AD ，∴AF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD ，∴GE ⊥平面PCD .∵GE ⊂平面PEC ，∴平面PCE ⊥平面PCD .(3)解 由(2)知GE ⊥平面PCD ， 所以EG 为四面体PEFC 的高，又EG ＝AF ＝2，CD ＝22，S △PCF ＝12PF ·CD ＝2， 所以四面体PEFC 的体积V ＝13S △PCF ·EG ＝223.。
高中数学直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质精选题目(附答案)
高中数学直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质精选题目（附答案）1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b . (4)作用：①线面垂直⇒线线平行；②作平行线．2．平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂αa ⊥l ⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线．一、线面垂直性质定理的应用1.如图，已知正方体A 1C .(1)求证：A 1C ⊥B 1D 1.(2)M ，N 分别为B 1D 1与C 1D 上的点，且MN ⊥B 1D 1，MN ⊥C 1D ，求证：MN ∥A 1C .[证明] (1)如图，连接A 1C 1.∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴CC 1⊥B 1D 1.∵四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵CC 1∩A 1C 1＝C 1，∴B1D1⊥平面A1C1C.又∵A1C⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.(2)如图，连接B1A，AD1.∵B1C∥AD，∴四边形ADC1B1为平行四边形，∴C1D∥AB1.∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1.又∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，∴MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又∵AB1∩B1D1＝B1，∴A1C⊥平面AB1D1.∴A1C∥MN.注：(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．(2)直线与平面垂直的其他性质：①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直．②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α.④垂直于同一条直线的两个平面平行．⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵四边形ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC .又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，∴ON=12CD=12AB .∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形．∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB .∴M 是AB 的中点.二、面面垂直性质定理的应用3.已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .[证明] 如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ，∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .注： 若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．4.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°.侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面P AD.(2)如图，连接PG.∵△P AD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.三、垂直关系的综合应用4.如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?[解](1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC⊂平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，∴AB＝2tan 60°＝6，∴AC＝AB2＋BC2＝7.由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝67，∴λ＝AEAC＝67.故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD.注：(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：线线垂直判定定理线面垂直定义线面垂直判定定理性质定理面面垂直(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．5.如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为362，求a的值．解：(1)证明：在图(1)中，因为AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC.即在图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE. 即A1O是四棱锥A1-BCDE的高．由图(1)知，A1O＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1-BCDE的体积为V＝13S·A1O＝13×a2×22a＝26a3.由26a3＝362，得a＝6.巩固练习：1．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β2．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．41.解析：选B对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．2.解析：选D选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全条件．3.解析：选C如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.4.解析：选B因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.5.解析：选B根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.6.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD 共6个．答案：67.如图，直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC，∵二角面α-l-β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，∴AC⊥β.又BC⊂β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝BC2－BD2＝ 2.答案： 28．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．答案：②④9.如图：三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△P AC是直角三角形，∠P AC＝90°，∠ACP＝30°，平面P AC⊥平面ABC.求证：平面P AB⊥平面PBC.证明：∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，P A⊥AC，∴P A ⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩P A＝A，AB⊂平面P AB，P A⊂平面P AB，∴BC⊥平面P AB.又BC⊂平面PBC，∴平面P AB⊥平面PBC.10.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角正弦值．解：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.(2)取AB的中点F，连接CF，EF.∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.又AC＝BC，∴CF⊥AB.∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝2，FE＝6，tan∠CEF＝26＝33.11．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．相交或平行12．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D．若m，n不平行．．．，则m与n不可能．．．垂直于同一平面13．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β14．在三棱锥P-ABC中，平面P AC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为() A．2 3 B．27C．4 3 D．47参考答案：11.解析：选B∵圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．12.解析：选D A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．13.解析：选D A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．14.解析：选B连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.15.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________.解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,25，所以cos α＝525＋4＝529，cos β＝2529，所以cos α∶cos β＝5∶2.答案：5∶216．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.答案：1或无数17.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为P A的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO⊂平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.18.如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．解：(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴AD⊥平面BB1C1C.又CC1⊂平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.∵A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C1，∴C1N⊥侧面BB1C1C.∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)结论正确．证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，连接DE. ∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，∴ME⊥侧面BB1C1C.又AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面．∵MA∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE.∴四边形AMED是平方四边形，又AM∥CC1，∴DE∥CC1.∵BD＝CD，∴DE＝12CC1，∴AM＝12CC1＝12AA1.∴AM＝MA1.。
直线平面平行垂直的判定及其性质知识点
直线平面平行垂直的判定及其性质知识点直线和平面的平行与垂直是几何学中的重要概念，它们在解决几何问题中往往起着关键性的作用。
判定直线与平面的平行与垂直关系的方法有很多，下面将逐一介绍。
1.直线与平面平行的判定及性质：直线与平面平行的判定方法有以下三种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行。
（2）截距判定法：如果直线与平面的两个不同点的坐标满足平面方程，则直线与平面平行。
（3）斜率判定法：如果直线的斜率与平面的法向量的斜率相同或不存在，则直线与平面平行。
直线与平面平行的性质有：（1）两个平行直线与同一个平面的交点之连线垂直于这两个直线。
（2）两个平行直线的斜率相同。
（3）两个平行直线的方向向量相同。
（4）两个平行直线的距离在平行直线之间是相等的。
2.直线与平面垂直的判定及性质：直线与平面垂直的判定方法有以下两种：（1）法向量判定法：如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为零，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直。
（2）斜率判定法：如果直线的斜率乘以平面的法向量的斜率为-1或直线的斜率不存在且平面的法向量的斜率存在，则直线与平面垂直。
直线与平面垂直的性质有：（1）直线与平面垂直，则直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面。
（2）直线与平面垂直，则与直线垂直的平面必过直线上的一点。
（3）两个平行的直线与同一个平面的交线垂直于这两个直线。
（4）两个平行直线的方向向量的点积为零。
（5）两个垂直直线的斜率乘积为-1（6）两个平行直线的斜率乘积为1总结起来，判定直线与平面平行与垂直的方法有法向量判定法和斜率判定法。
关于性质，平行直线之间的距离相等，垂直直线的斜率乘积为-1，直线上的每个点到平面上的任意一点的连线垂直于平面等等。
这些性质在解决几何问题时都有非常重要的应用价值。
两条直线的位置关系综合练习题及答案
两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（1）平行的判断：①当l i」2有斜截式（或点斜式）方程h : y = ：y = k?x • b2，则1l//* 二 _k i =k2,b i =6丄②当h, l2有一般式方程：l1: A1x B1y G = 0,12: A2x B2y C2= 0，则h // 丨2 = _ AB2「民 3 = 0,C1B2「C2B^- 0 .（2）垂直的判断：①当丨1,丨2有斜截式（或点斜式）方程丨 1 : y二«x • 4,丨 2 : y二k?x • b2，贝V h _ 丨2 = — 11: y = k1x d,丨2: y = k2x b2_•②当丨1,丨2有一般式方程：丨1 ： Ax B』C = 0,丨 2 : A?x B?y C2 = 0 ,则h _ 丨2二_ AA B1B2=0丄2、两条直线的交点：右丨 1 : A1X ' B1 y ' C1 —0, 1 2 : A2X ' B2 y ' C2 —0l A,x B1y C^ 0 sr则11,12的交点为方程2 1的解.Ax B?y C2 =03、点到直线的距离：（1）点到直线的距离公式：点P（x°,y°）到直线Ax + By+C=0的距离为^l Ax^By^C J _.JA2十B2（2）两平行直线间的距离求法：一|c2-C」两平行直线：11: Ax By C^0,12: Ax By C^0，则距离d = d 2.VA2+ B2（二）例题讲解：考点1 :直线的平行与垂直关系例1、（1）已知直线丨的方程为3x 4y -1^0，求与丨平行且过点-1,3的直线方程；（2）已知直线h :2x-3y • 10 =0,丨 2 ：3x • 4y-2 =0，求过直线11和丨2的交点，且与直线l3：3x-2y ' 4 = 0 垂直的直线I方程•易错笔记：解：（1 ）设与直线I平行的直线h的方程为3x・4y・C=0，则点-1,3在直线3x 4y ^0上，将点-1,3代入直线3x 4y C =0的方程即可得：3 -1 4 3^0，C - -9，所求直线方程为：3x 4y -9 =0.（2）设与直线|3:3x -2y 4=0垂直的直线I方程为：2x 3y ^0，方程2x-3y 10-0的解为：x=—2 彳，3x +4y-2 =0 “2.直线h：2x-3y 10=0」2：3x 4y-2=0 的交点是-2,2 ，.直线I 过直线h :2x-3y 10 =0,l2 ：3x 4y-2 =0的交点-2,2，2 -23 2 C =0，C - -2，直线I 方程为：2x 3y-2=0.考点2:直线的交点问题例2、已知直线方程为2 • m x • 1 - 2m y • 4 - 3m = 0，（1）求证：无论m取何值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程解：（1）设直线方程为2A B 二-4 2 m x 亠〔1 -2m y 4 -3m = 0过定点A, B ，A= -1A -2B =3 8 = -2-直线方程为2 m x ^2m y • 4 - 3m = 0过定点-1, -2 .⑵由题意知，直线I在x轴上的截距a = 0，在y轴上的截距b = 0，■设直线I的方程为：- —=1，-直线1在x轴上的交点坐标为M a,0，直线I在y轴上的交点坐标为a bN 0,b，直线I夹在两坐标轴间的线段被点-1, -2平分, •点-1, -2是线段MN的中点,口「120 b22直线I的方程为：易错笔记：——=1，即2x y 4=0. -2 -4(三) 练习巩固:、选择题1、直线3x y ^0和直线6x 2y ^0的位置关系是；直线3x ，4y -3 =0与直线6x 8y 1^0的距离等于直线 3x ，4y -3 =0与直线3x 4y 0之间的距A .重合B.平行C2、点21到直线3x -4y • 2 =0的距离是A. 4B. 554.相交但不垂直± D 2525 4 3、如果直线x - 2ay =0与直线(3a -1)x - ay -1 =0平行,则a 等于 .0或丄61解：1 人—a ；-2a 3a -1 = 0①，且 2a 1i • a 0 ②，由①得：a =0或 a,由②得：a = 0 , a = 0.6A. 0C. 0 或 1 D4、若三条直线2x 3y • 8 = 0, x 「y 「1 = 0和x ky =0相交于一点，则k 二A. -2解：；方程2x 3y ^0的解为:_y _1 =0x =—1y 一2■直线 2x • 3y • 8 = 0,x - y -1 = 0 的交点是 -1, -2 ,三条直线 2x 3y 8=0,x -y 「1=0 和 x ky = 0 相交于一点 -1,-2 , •直线 x k^ 0过点 -1,-2 , ■ -1k -2 =0,，故选 B.5、已知点M 4,2与M 2,4关于直线I 对称，则直线I 的方程为A. x y 6=0 B . x y_6=0 C . x y=0 D . X-y=06、已知直线3x 4y -3 =0与直线6x my 1^=0平行，贝U 它们间的距离是A17 厂17 厂cA.B.C . 810 5解：：直线3x • 4y -3 =0与直线6x my 1^0平行，3m-4 6=0二 2，二 m =8，二直线 6x + my+14=0 的方程为 6x +8y + 14 = 0 ,即 3x+4y+74 14 -i —3 m = 0直线3x Vy-3=0与直线3x 4y ^0之间的距离C 2 _C 1 7一 一3 =2. A 2 B 2. 32 ' 4210、设直线 h :3x+4y —2=0,l 2 ：2x+y+2=0,l 3：3x —4y+2=0，则直线 l 1 与 l 2的交点到 l 3 的距离为―125解：；方程3x '4y-2=0的解为:(2x + y+2 = 0x = _2 y =2直线2x 3y •8=0,x -y-1=0的交点是 -2,2，•点-2,2至煩线I 3的距离为:x |Ay +By 。
27 直线、平面平行及垂直的判定与性质(原卷版)-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练
清单27 直线、平面平行及垂直的判定与性质一、知识与方法清单1．空间中直线与平面之间的位置关系(1)直线在平面内，则它们有无数个公共点．(2)直线与平面相交，则它们有1个公共点．(3)直线与平面平行，则它们没有公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．【对点训练1】给出以下命题(其中a，b表示不同的直线，α表示平面)：①若a∥α，b∥α，则a∥b ；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b⊂α，则a∥b ；④若α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⊂线面平行”)l∥α，a⊂β，α∩β＝b⊂l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⊂线线平行”)l∥α，l⊂β，α∩β＝b⊂l∥b【对点训练2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面P AD.3．平面与平面之间的位置关系(1)两个平面平行，则它们没有公共点．(2)两个平面相交，则它们有一条公共直线，两个平面垂直是相交的一种特殊情况．【对点训练3】如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A ．垂直B ．相交不垂直C ．平行D ．重合4．平面与平面平行的判定和性质文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b【对点训练4】如图所示的四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是____________．(写出所有符合要求的图形序号)① ②③④5.证明平行时常用的其他性质(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【对点训练5】已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是()A.若m⊥α，m⊥β，则α∥βB.若α∥γ，β∥γ，则α∥βC.若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βD.若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β6.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊂/α，b⊂α，a∥b⊂a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⊂a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂/α，a⊂/β，a∥α⊂a∥β)．【对点训练6】在如图所示的空间几何体中，AC⊥BC，四边形DCBE为矩形，点F，M分别为AB，CD的中点．求证：(1)FM∥平面ADE；(2)平面ACD⊥平面ADE.7.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．【对点训练7】已知四棱锥SABCD的各条棱长都相等，且点E、F分别是SB、SD的中点．(1)求证：AC⊥SB；(2)在SC上是否存在点M，使平面MBD∥平面AEF？若存在，求出SMMC的值；若不存在，说明理由．8.证明线面或面面平行时要转化为证明线性平行，在几何体中证明线性平行常要用到平面几何知识，如三角形的中位线与第3边平行，若四边形的一组对边平行且相等，则另一组对边平行等。
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第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题 考点一 立体几何中的探索性问题[典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC .(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，所以BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .因为DM ⊂平面AMD ，所以平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下： 连接AC 交BD 于O . 因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为AC 的中点．连接OP ，因为P 为AM 的中点， 所以MC ∥OP .又MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ， 所以MC ∥平面PBD . [题组训练]1.如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PMMC 的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高， 又P A ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，证明如下：如图，在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC ，知P A ⊥AC ， 所以MN ⊥AC .因为BN ∩MN ＝N ，所以AC ⊥平面MBN ， 又BM ⊂平面MBN ， 所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .(1)求证：PC ⊥BC ；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD . 又PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC .(2)连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，GO ，延长GO 交AD 于点M ，连接EM ，则P A ∥平面MEG . 证明如下：因为E 为PC 的中点，O 是AC 的中点， 所以EO ∥P A .因为EO ⊂平面MEG ，P A ⊄平面MEG ，所以P A ∥平面MEG . 因为△OCG ≌△OAM ，所以AM ＝CG ＝23，所以AM 的长为23.考点二 平面图形的翻折问题[典例] (2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝D Q ＝23DA ，求三棱锥Q -ABP的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又因为BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD . 因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝D Q ＝23DA ，所以BP ＝2 2.如图，过点Q 作Q E ⊥AC ，垂足为E ，则Q E 綊13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以Q E ⊥平面ABC ，Q E ＝1.因此，三棱锥Q -ABP 的体积为V Q -ABP ＝13×S △ABP ×Q E ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1. [题组训练]1．(2019·湖北五校联考)如图1所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，得到如图2所示的几何体D -ABC .(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F -BCE 的体积． 解：(1)证明：∵AC ＝AD 2＋CD 2＝22， ∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos 45°＝8， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16，∴AC ⊥BC .∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)∵AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ，∴AD ∥EF ， ∵E 为AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，由(1)知，几何体F -BCE 的体积V F -BCE ＝V B -CEF＝13×S △CEF ×BC ， S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，∴V F -BCE ＝13×12×22＝23. 2．(2018·合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60°，CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57.将△CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，得到如图2所示的四棱锥P -ABCE .(1)求证：AP ⊥平面ABCE ；(2)记平面P AB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l . 证明：(1)在△CDE 中，∵CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57，由余弦定理得CE ＝ (7)2＋(7)2－2×7×7×57＝2.连接AC ，∵AE ＝2，∠AEC ＝60°，∴AC＝2.又AP＝3，∴在△P AE中，AP2＋AE2＝PE2，即AP⊥AE.同理，AP⊥AC.∵AC∩AE＝A，AC⊂平面ABCE，AE⊂平面ABCE，∴AP⊥平面ABCE.(2)∵AB∥CE，且CE⊂平面PCE，AB⊄平面PCE，∴AB∥平面PCE.又平面P AB∩平面PCE＝l，∴AB∥l.[课时跟踪检测] 1.如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形(记此圆为W )，且P A ⊥平面ABCD .(1)当BD 是圆W 的直径时，P A ＝BD ＝2，AD ＝CD ＝3，求四棱锥P -ABCD 的体积． (2)在(1)的条件下，判断在棱P A 上是否存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ？若存在，求出A Q 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)因为BD 是圆W 的直径，所以BA ⊥AD ， 因为BD ＝2，AD ＝3，所以AB ＝1. 同理BC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝AB ·AD ＝ 3. 因为P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝233.(2)存在，A Q ＝23.理由如下．延长AB ，DC 交于点E ，连接PE ，则平面P AB 与平面PCD 的交线是PE . 假设在棱P A 上存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ， 则B Q ∥PE ，所以A Q P A ＝ABAE.经计算可得BE ＝2，所以AE ＝AB ＋BE ＝3，所以A Q ＝23.故存在这样的点Q ，使B Q ∥平面PCD ，且A Q ＝23.2.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AA 1＝4，DC ＝2AB ，AB ＝AD ＝3，点M 在棱A 1B 1上，且A 1M ＝13A 1B 1.已知点E 是直线CD 上的一点，AM ∥平面BC 1E .(1)试确定点E 的位置，并说明理由； (2)求三棱锥M -BC 1E 的体积．解：(1)点E 在线段CD 上且EC ＝1，理由如下：在棱C 1D 1上取点N ，使得D 1N ＝A 1M ＝1，连接MN ，DN ， 因为D 1N ∥A 1M ，所以四边形D 1NMA 1为平行四边形， 所以MN 綊A 1D 1綊AD .所以四边形AMND 为平行四边形，所以AM ∥DN . 因为CE ＝1，所以易知DN ∥EC 1，所以AM ∥EC 1， 又AM ⊄平面BC 1E ，EC 1⊂平面BC 1E ， 所以AM ∥平面BC 1E .故点E 在线段CD 上且EC ＝1. (2)由(1)知，AM ∥平面BC 1E ，所以V M -BC 1E ＝V A -BC 1E ＝V C 1-ABE＝13×⎝⎛⎭⎫12×3×3×4＝6. 3．(2019·湖北武汉部分学校调研)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1-ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AMAB的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2，∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ， 又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ，∴BE ⊥平面D 1AE .(2)当AM AB ＝14时，MF ∥平面D 1AE ，理由如下：取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ， ∴FL ∥EC ，又EC ∥AB ， ∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ，∴M ，F ，L ，A 四点共面， 又MF ∥平面AD 1E ，∴MF ∥AL . ∴四边形AMFL 为平行四边形， ∴AM ＝FL ＝14AB ，AM AB ＝14.4．如图1所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1-BCD ，如图2所示．(1)若M 是FC 的中点，求证：直线DM ∥平面A 1EF . (2)求证：BD ⊥A 1F .(3)若平面A 1BD ⊥平面BCD ，试判断直线A 1B 与直线CD 能否垂直？请说明理由． 解：(1)证明：∵D ，M 分别为AC ，FC 的中点， ∴DM ∥EF ，又∵EF ⊂平面A 1EF ，DM ⊄平面A 1EF ， ∴DM ∥平面A 1EF .(2)证明：∵EF ⊥BD ，A 1E ⊥BD ，A 1E ∩EF ＝E ， A 1E ⊂平面A 1EF ，EF ⊂平面A 1EF ， ∴BD ⊥平面A 1EF ，又A 1F ⊂平面A 1EF ，∴BD ⊥A 1F .(3)直线A 1B 与直线CD 不能垂直．理由如下：∵平面BCD ⊥平面A 1BD ，平面BCD ∩平面A 1BD ＝BD ，EF ⊥BD ，EF ⊂平面BCD ， ∴EF ⊥平面A 1BD ，又∵A 1B ⊂平面A 1BD ，∴A 1B ⊥EF ， 又∵DM ∥EF ，∴A 1B ⊥DM . 假设A 1B ⊥CD ，∵DM ∩CD ＝D ， ∴A 1B ⊥平面BCD ，∴A 1B ⊥BD ，与∠A 1BD 为锐角矛盾， ∴直线A 1B 与直线CD 不能垂直．5．(2019·河南名校联考)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝a ，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 是矩形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ，点M 在线段EF 上．(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)当EM 为何值时，AM ∥平面BDF ？证明你的结论．解：(1)证明：在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝a ，∠ABC ＝60°，所以四边形ABCD 是等腰梯形，且∠DCA ＝∠DAC ＝30°，∠DCB ＝120°， 所以∠ACB ＝∠DCB －∠DCA ＝90°，所以AC ⊥BC .又平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面ACFE . (2)当EM ＝33a 时，AM ∥平面BDF ，理由如下： 如图，在梯形ABCD 中，设AC ∩BD ＝N ，连接FN .由(1)知四边形ABCD 为等腰梯形，且∠ABC ＝60°，所以AB ＝2DC ，则CN ∶NA ＝1∶2.易知EF ＝AC ＝3a ，所以AN ＝233a .因为EM ＝33a ，所以MF ＝23EF ＝233a ，所以MF 綊AN ，所以四边形ANFM 是平行四边形，所以AM ∥NF ，又NF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ， 所以AM ∥平面BDF .6.如图所示的五面体ABEDFC 中，四边形ACFD 是等腰梯形，AD ∥FC ，∠DAC ＝60°，BC ⊥平面ACFD ，CA ＝CB ＝CF ＝1，AD ＝2CF ，点G 为AC 的中点．(1)在AD 上是否存在一点H ，使GH ∥平面BCD ？若存在，指出点H 的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥G -ECD 的体积．解：(1)存在点H 使GH ∥平面BCD ，此时H 为AD 的中点．证明如下． 取点H 为AD 的中点，连接GH ， 因为点G 为AC 的中点，所以在△ACD 中，由三角形中位线定理可知GH ∥CD ， 又GH ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以GH ∥平面BCD .(2)因为AD ∥CF ，AD ⊂平面ADEB ，CF ⊄平面ADEB ， 所以CF ∥平面ADEB ，因为CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面ADEB ＝BE ， 所以CF ∥BE ，又CF ⊂平面ACFD ，BE ⊄平面ACFD ， 所以BE ∥平面ACFD ， 所以V G -ECD ＝V E -GCD ＝V B -GCD .因为四边形ACFD 是等腰梯形，∠DAC ＝60°，AD ＝2CF ＝2AC ，所以∠ACD ＝90°， 又CA ＝CB ＝CF ＝1，所以CD ＝3，CG ＝12，又BC ⊥平面ACFD ，所以V B -GCD ＝13×12CG ×CD ×BC ＝13×12×12×3×1＝312. 所以三棱锥G -ECD 的体积为312.。