复变函数-柯西积分定理
复变函数_柯西积分公式
lim
z 0
f
'( z0
z) z
f
'(z0 )
2!
f (z)
2 i
C (z z0 )3 dz.
依次类推，用数学归纳法可得
f
(n)(z0 )
n!
2 i
f (z) C (z z0 )n1 dz.
18
例6 计算I
C
1 z3(z
1)
dz, 其中C为
|
16
f (z)在C上解析， f (z)在C上连续,
则M ,使得
f
(z)
M,d
min zC
z
z0
11
z z0
d, z z0
. d
取 z 1 d ,则有 2
d
1
2
z z0 z
I z
z z0
ML
d 3
z , 2 z z0 z
( L — C的 长 度 ）
d
.
显 然 ，lim I 0,从 而 有 z 0
f '(z0 )
lim
z 0
f (z0
z) z
f (z0 )
1
2
i
f (z) C (z z0 )2 dz.
（*）
17
再利用()式及推导()的方法可证n 2的情形.
f
''(z0 )
f (z) dz 将接近于 f (z0 ) dz. ( 减小)
C z z0
C z z0
f (z0 ) dz
C z z0
复变函数第3章
z 1 2 所以
z 1 2 2 2 f ( z) 2, z 1 2 由估值不等式有
z 1 C z 1 dz 8 .
3.1.3 复变函数的积分的计算问题
定理3.1 设C为光滑曲线， 若 f z ux, y ivx, y
沿曲线C连续,则 f ( z )沿C可积,且
1 1 f ( z) ＝ 1. Re z 1＋3t
而L之长为3，故
dz L Re z 3.
例4
计算积分
其中积分路径为
C
z dz
2
(1) 连接0到1+i的直线段 (2) 连接0到1的直线段及连接1到1+i的直 线段所成的折线. 解 方程为 (1) 连接0到1+i的直线段的参数
z (1 i)t (0 t 1).
y
B
那么B到A就是曲线L的负向,
记为 L .
o
A
x
关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作 为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向. 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线L的正向是 P 指当曲线上的点P顺此方向 前进时, 邻近P点的曲线的 o 内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.
0 0 1 1
1
1
1 tdt i dt i. 0 0 2
(此例说明:积分路径不同, 积分结果可能不 同)
作业:P45.T1;T3.
1. 柯西积分定理 2. 复合闭路定理 3. 解析函数的原函数
由定理3.1,复积分可转化为实二元函数 的第二型曲线积分.那么,复积分在什么情况 下与路径无关? 1 2 比较 f ( z ) z , f ( z ) Re z , f ( z ) za 可能与被积函数的解析性及解析区域有关
第三章 复变函数的积分 第一节、柯西定理
第三章复变函数的积分(Integration of function of thecomplex variable)第一讲授课题目：§3.1复积分的概念§3.2柯西积分定理教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理.学时安排：2学时教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念教学重点：复变函数积分的计算问题教学难点：柯西积分定理教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题三：1-10作业布置：7576板书设计：一、复变函数积分的计算问题二、柯西积分定理三、举例参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方法掌握不理想3、利用课余时间多和学生交流教学过程：§3.1 复积分的概念(The conception of complex integration)一、复变函数的积分的定义（Complex function of theintegral definition ）定义（Definition ）3.1设在复平面上有一条连接A 及B 两点的光滑简单曲线C 设),(),()(y x iv y x u z f +=是在C 上的连续函数.其中),(y x u 及),(y x v 是)(z f 的实部及虚部.把曲线C 用分点B z z z z z A n n ==-,...,,,1210分成n 个小弧段，其中),...,2,1,0(n k y x z k k k =+=在每个狐段上任取一点k k k ηξς+=，作和式))((11-=-∑k n k k k z z f ς（1） 令|}{|max 11-≤≤-=k k n k z z λ，当0→λ时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于k k k ηξς+=的选择，也不依赖于曲线C 的分法，则就称此极限值为)(z f 沿曲线C 的积分.记作=⎰C z z f d )())((lim 110-=→-∑k nk k k z z f ςλ当)(z f 沿曲线C 的负方向（从B 到A ）积分，记作⎰-C z z f d )(当)(z f 沿闭曲线C 的积分，记作()dz z f C⎰ 定理(Theorem)3.1 若),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，则)(z f 沿C 可积，且,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C ++-=⎰⎰⎰（2） 证明：))((11-=-∑k n k k k z z f ς)]())][(,(),([111k k nk k k k k k k y y i x x iv u -+-+=+=+∑ηξηξ],))(,())(,([))(,())(,(1111111111∑∑∑∑-=+=+-=+=+-+-+---=n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k y y u x x v i y y v x x u ηξηξηξηξ由),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，可知),(),,(y x v y x u 沿光滑简单曲线C 也连续，当0→λ时，有0|}{|max 11→--≤≤k k n k x x 0|}{|max 11→--≤≤k k nk y y 于是上式右端的极限存在，且有,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C ++-=⎰⎰⎰ 二、复变函数积分的计算(Complex integration of computational problems) 设有光滑曲线C : ()()()t iy t x t z z +== ()βα≤≤t ,即()t z '在[]βα,上连续且有不为零的导数()()()t y i t x t z '+'='.又设()z f 沿C 连续.由公式(2)我们有[()()()()()()()()]dtt y t y t x v t x t y t x u y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f CC C '-'=++-=⎰⎰⎰⎰βα,,),(),(),(),()(d d d d d [()()()()()()()()]dt t y t y t x u t x t y t x v i '+'+⎰βα,,即()()[](),dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰βα (3) 或 ()Re βα⎰=⎰dz z f c ()[]{()}()[]{()}dt t z t z f i dt t z t z f '⎰+'Im βα (4)用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径C 的参数方程着手,称为参数方程法.注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论. 例1 计算dz z C⎰，其中C 是 （1） 从点1到i 的直线段1C ；（2） 从点1到0的直线段2C ，再从点0到i 得直线段3C 所连接成的折线段32C C C +=.解：（1）)()(;1011≤≤+-==t it t t z C C ，有：⎰⎰⎰⎰=+-=+---=101010)12()1)(1(i dt i dt t dt i it t dz z c （2）).10()(:),10(1)(:2312≤≤=≤≤-=t it t z C t t t z C ，有：⎰⎰⎰⎰⎰=+--=+=10100)1(32tdt dt t dz z dz z dz z c c c例2 计算dz z ii I ⎰-=其中C 是 (1)连接i i 到-的直线段；(2)连接i i 到-的单位圆的左半圆(3)连接i i 到-的单位圆的右半圆解： i t i tdt i idt it dz z i i I t it z i =⋅==-=-=≤≤-=-⎰⎰⎰1221201211,11,)1( 于是程为：到i的直线段的参数方 ie de idt e e dz z i i I ，t e z it it it it it 2232232223,)2(223===⋅=-==⎰⎰⎰ππππππππ于是到从方程为单位圆的左半圆的参数 i e e d e dz z I ，t e z it it it i i it 2)(20,)3(2222=====---⎰⎰πππππ到从方程为单位圆的右半圆的参数上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关例3()0n Cdz z z -⎰，其中n 为任意整数，C 为以0z 为中心，r 为半径的圆周.解 C 的参数方程为0,02i z z re θθπ=+≤≤，由公式得()22(1)1000221100cos(1)sin(1)2,1,0, 1.i i n n n in n Cn n dz ire i d e d r e r z z i i n d n d r ri n n θππθθππθθθθθθπ-----==-=-+-=⎧=⎨≠⎩⎰⎰⎰⎰⎰ 此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周的中心和半径没有关系，应记住这一特点.例4 计算Czdz ⎰，其中C 为从原点到点34i +的直线段. 解： 此直线方程可写作3,4,01x t y t t ==≤≤ 或 34,01z t i t t =+≤≤. 在C 上，(34),(34)z i t dz i dt =+=+，于是()()()112220013434342C zdz i tdt i tdt i =+=+=+⎰⎰⎰. 因()()C CC C zdz x iy dx idy xdx ydy i ydx xdy =++=-++⎰⎰⎰⎰易验证，右边两个线积分都与路线C 无关，所以C zdz ⎰的值，不论是对怎样的连接原点到34i +的曲线，都等于()21342i +. 例5 设C 是圆ρα=-||z ，其中α是一个复数，ρ是一个正数，则按逆时针方向所取的积分i z dz C πα2=-⎰ 证明：令 θραi e z =-，于是 θρθd d i ie z =，从而 i id z dz Cπθαπ220⎰⎰==- 三、复变函数积分的基本性质(Complex integration of the basic nature)设)(z f 及)(z g 在简单曲线C 上连续，则有（1）是一个复常数其中k z z f k z z kf C C,d )(d )(⎰⎰= （2）;d )(d )(d )]()([⎰⎰⎰±=±C C C z z g z z f z z g z f（3）⎰⎰⎰⎰+++=n C C C C z z f z z f z z f z z f d )(...d )(d )(d )(21其中曲线C 是有光滑的曲线n C C C ,...,,21连接而成；（4）⎰⎰-=-C C z z f z z f d )(d )( 定理3.2（积分估值） 如果在曲线C 上，()M z f ≤，而L 是曲线C 的长度，其中M 及L 都是有限的正数，那么有()ML dz z f z z f CC ≤≤⎰⎰|d )(|， （5） 证明：因为ML z z M z z f k n k k k n k k k ≤-≤-∑∑-=+-=+|||))((|111111ζ两边取极限即可得：()ML dz z f z z f CC ≤≤⎰⎰|d )(| 例6 试证：⎰=→=+r z r dz z z 01lim 230 证:不妨设1<r ，我们用估值不等式（5）式估计积分的模，因为在r z =上，⎰⎰==-≤+≤+r z r z r r dz z z dz z z 24232312||1|1π上式右端当0→r 时极限为0，故左端极限也为0，所以⎰=→=+r z r dz z z 01lim 230 本节重点掌握： （1）复变函数积分的计算；（2）复变函数积分的基本性质§3.2 柯西积分定理（Cauchy integral theorem)下面讨论复变函数积分与路径无关问题定理(Theorem)3.3设)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，则)(z f 在D 内沿任意一条闭曲线C 的积分0d )(=⎰C z z f ,在这里沿C 的积分是按反时针方向取的.此定理是1825年Cauchy 给出的.1851年Riemann 在)(z f '连续的假设下给出了简单证明如下 证明：已知)(z f 在单连通区域D 内解析，所以)(z f '存在，设)(z f '在区域D 内连续，可知u 、v 的一阶偏导数在区域D 内连续，有0d )(=⎰Cz z f ⎰⎰⎰++-=⊂∀C C c udyvdx i vdy udx dz )z (f D C ,，又⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=+=--=-Dy x c D y x c dxdy v u udy vdx dxdy u v vdy udx Green 0)(,0)(公式由注1: 此定理证明假设“)(z f '在区域D 内连续”，失去定理的真实性，法国数学家古萨（E.Goursat ）在1900年给出了真实证明，但比较麻烦.注2: 若C 是区域D 的边界，)(z f 在单连通区域D 内解析，在D 上连续，则定理仍成立.定理(Theorem)3.4若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，1C 、1C 是在D 内连接0z 及z 两点的任意两条简单曲线，则=⎰1)(C dz z f ⎰2)(C dz z f证明：由柯西积分定理-⎰1)(C dz z f ⎰2)(C dz z f ()021==⎰+dz z f C C将柯西积分定理推广到多连通区域上定理(Theorem)3.5（复合围线积分定理）设有n +1条简单闭曲线,,...,,n C C C 1曲线n C C ,...,1中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的C 内区域，n C C C ,...,,1围成一个有界多连通区域D ，D 及其边界构成一个闭区域D .设f (z )在D 上解析，那么令Γ表示D 的全部边界，我们有0=⎰Γdz z f )(其中积分是沿Γ按关于区域D 的正向取的.即沿C 按逆时针方向，沿n C C ,...,1按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C 按所选定取积分的方向一同运动时，区域D 总在它的左侧.因此0 1=+++=⎰⎰⎰⎰--ΓnC C Cdz z f dz z f dz z f dz z f )()()()(即 ⎰⎰⎰++=nC C Cdz z f dz z f dz z f )(...)()(1例7 计算dz z z e zz ⎰-=)1(23,其中C 是包含0与1、-1的简单闭曲线.解：作互不相交的互不包含的三个小圆周321,,c c c 分别包含0，1，-1，且都在3=z 内，应用复合围线积分定理，有)2()22(21)1(1)1(11)1()1()1()1(111222223321321-+=++=+⋅-+-⋅++⋅-=-+-+-=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e i e e e i z dzz z e z dz z z e z dz z dz z z e dz z z e dz z z e dz z z e z cz c c zc z c z c z z ππ由柯西积分定理可知：若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，则沿着区域D 内的简单闭曲线C 的积分⎰Cd f ςς)(与路径无关，只与起点0z 及终点z 有关，此时也可写成⎰zz d f 0)(ζζ在单连通区域D 内固定0z ，当z 在区域D 内变动时，⎰zz d f 0)(ζζ确定了上限z 的一个函数，记作⎰=z z d f z F 0)()(ζζ定理(Theorem)3.6 设)(z f 是单连通区域D 的解析函数，则⎰=zz d f z F 0)()(ζζ也是区域D 内的解析函数，且)()('z f z F =证明： D z z ∈∆+∀，得⎰zz d f 0)(ζζ与路径无关，则⎰⎰-=-∆+∆+z z zz z d f d f z F z z F 0)()()()(ζζζζ=⎰∆+zz zd f ζζ)(其中积分路径取z 到z z ∆+得直线段，有()()()zz f z z F z z F ∆=-∆-∆+1(())⎰∆+-zz zd x f f ζζ)(因)(z f 在D 内连续，δδε<∆>∃>∀z ,0,0，有()()()ε<-∆-∆+z f zz F z z F即)()('z f z F =定义(Definition)3.2设在是单连通区域D 内，有)()('z f z F =，则称()z F 是)(z f 的原函数.定理(Theorem)3.7若)(z f 是在单连通区域D 内的解析函数，()z F 是)(z f 的一个原函数.则⎰=zz dz z f 0)(()z F -()0z F其中D z D z ∈∈,0注3: 此定理说明，如果某一个区域内的连续函数有原函数，那么它沿这个区域内曲线的积分可以用原函数来计算，这是数学分析中牛顿-莱布尼茨公式的推广. 例8 ( 重要积分)) 试证明:⎩⎨⎧Z ∈≠==-⎰n n n i a z dzc n ,1012)(π 这里 C 表示绕行a 一周的简单闭曲线.证明: 作圆周 1C : |z-a | = ρ, 使得 C 在 1C 的内区域中. 则有=-⎰c n a z dz )(⎰-1)(c n a z dz由例5结果即得证.例9 计算⎰+cdz z )1ln(，其中C 是从-i 到i 的直线段解 因为)1ln(z +是在全平面除去负实轴上一段1-≤x 的区域D 内为（单值）解析，又因为区域D 是单连通的，在D 内有[]ii i i i i i i z z i i i i dzzi i i i dzzzz z dz z iii i ii ii c )22ln 2()1ln()1ln(2)1ln()1ln()1ln()1ln()1ln()111()1ln()1ln(1|)1ln()1ln(π++-=--++--++=+---++=+---++=+-+=+----⎰⎰⎰本节重点掌握：1、柯西积分定理 2、柯西积分定理的推广 内容小结：1、复变函数的积分的定义2、复变函数积分的计算问题()()[](),dt t z t z f dz z f c '⎰=⎰βα3、复变函数积分的基本性质4、柯西积分定理5、柯西积分定理的推广2 1§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理柯西积分公式解析函数的无穷可微性讲授法多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题三：11-157576一、柯西积分公式二、解析函数的无穷可微性三、举例[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008.1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、解析函数的无穷可微性理解很好3、利用课余时间对学生进行答疑第二讲授课题目：§3.3柯西积分公式§3.4解析函数的高阶导数教学内容：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、莫勒拉定理.学时安排：2学时教学目标：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、理解刘维尔定理与莫勒拉定理教学重点：柯西积分公式教学难点：解析函数的无穷可微性教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：习题三：11-15板书设计：一、柯西积分公式二、解析函数的无穷可微性三、举例参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）.4、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社.课后记事：1、掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分的方法2、解析函数的无穷可微性理解很好3、利用课余时间对学生进行答疑教学过程：§3.3 柯西积分公式 （Cauchy integral formula ）柯西积分公式（Cauchy integral formula ）设)(z f 在以圆)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界的闭圆盘上连续，C 的内部D 上解析，由柯西积分定理0d )(=⎰Cz z f 考虑⎰-C d z f ζζζ)(设D z ∈，显然函数在zf -ζζ)(满足z D ≠∈ζζ,的点ζ处解析. 以z 为心，作一个包含在D 内的圆盘，设其半径为ρ，边界为圆ρC .在D 上，挖去以ρC 为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域ρD .在ρD 上，函数)(ζf 以及zf -ζζ)(解析，所以有 ⎰⎰-=-ρζζζζζζC C d z f d z f )()(于是又如下定理定理(Theorem)3.8设)(z f 在在简单闭曲线C 所围成的区域D 内解析在C D D ⋃=上连续，0z 是区域D 内任一点，则有dzz z z f i z f C ⎰-=0)(21)(π （1）其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的，（1）式就是柯西积分公式.它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具. 说明：1、有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来.2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质.推论1（平均值公式）设)(z f 在)(z f R z z C <-|:|0内解析，在R z z C =-|:|0上连续，则π21)(0=z f ⎰+πθθ200)Re (d z f i推论 2 设)(z f 在由简单闭曲线1C 、2C 围成的二连通区域D 内解析，并在曲线1C 、2C 上连续，2C 在1C 的内部，0z 为区域D 内一点，则⎰-=100)(21)(C dz z z z f i z f π⎰--20)(21C dz z z z f i π例1 求下列积分的值（1）()⎰⎰==+-222.))(9(2;sin z z dz i z z zdz zz 解：(1)0|sin 2sin 02====⎰z z z i dz zzπ (2)⎰⎰=-===-=---=+-2122225|92)(9))(9(z z z z z i dz i z z z dz i z z z ππ 由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质，即解析函数的最大模原理.解析函数的最大模原理，是解析函数的一个非常兆耀的原理，它说明了一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数.定理(Theorem)3.9(最大模原理) 设)(z f 在区域D 内解析，)(z f 不是常数，则在区域D 内()z f 没有最大值. 推论1在区域D 内的解析函数，若其模在区域D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数推论2设)(z f 在有界区域D 内解析，在D 上连续，则()z f 必在区域D 的边界上达到最大值.证明：若)(z f 在区域D 内为常数，显然成立，若)(z f 在区域D 内不恒为常数，有连续函数的性质及本定理即可得证. 本节重点掌握：柯西积分公式§3.4 解析函数的高阶导数(The higher order derivative of analytic function) 一、解析函数的无穷可微性(Analytic functions ofinfinitely differentiable)定理(Theorem)3.10 设函数)(z f 在简单闭曲线C 所围成的区域D 内解析，在D 上连续，则)(z f 的各阶导数均在区域D 内解析，对区域D 内任一点z ，有,...)3,2,1( )()(2!)(1)(=-=⎰+n d z f i n z f C n n ζζζπ,证明：先证明1=n 时的情形.对区域D 内任一点z ，设D h z ∈+.⎰---=Cd z h z f ih ζζζζπ2))(()(2 现在估计上式右边的积分.设以z 为心，以δ2为半径的圆盘完全在D 内，并且在这个圆盘内取h z +，使得δ<<h 0，那么当D ∈ζ时，,||,||δζδζ>-->-h z z设()z f 在C 上的最大值是M ，并且设C 的长度是L ，于是由积分估值定理有,2|||))(()(2|22δπζζζζπMLh d z h z f i hC ⋅≤---⎰ ])()(2)(21)(21[1)()(21)()(22⎰⎰⎰⎰------=---+C C C C d z f i h d z f i d h z f i h d z f i h z f h z f ζζζπζζζπζζζπζζζπ这就证明了当h 趋近于0时，积分⎰---Cd z h z f i hζζζζπ2))(()(2趋于0.即当1=n 时定理成立.设k n =时定理成立.当1+=k n 时，对区域D 内任一点z ，设D h z ∈+.仿1=n 时的证明方法，可推得定理成立.证毕例2 计算下列各积分)())()()⎰⎰⎰>==>=-+-1223221511121cos 1r z z zr z dzz z dzze dzz zπ解：)()()()()⎰>=-==-=-1545121cos !1521cos 1r z i z z i dz z zππππ)()()()()()⎰⎰⎰+-+-+=+>=12222212212CCzzr z zdz i z i z e dz i z i z e dz z e()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41sin 2222πππi i z i z e i z i z e i z z3）被积函数22)1(1-z z 有两个奇点：01=z 和12=z ，都在2=z 内，2)1(1-z 在31=z 内解析，21z在311=-z 内解析，作圆周3113121=-=z c z c ：，：，利用复合围线积分定理， ⎰⎰⎰⎰⎰=-==-==-+--=-+-=-311233132311233123223)1(1)0()1(1)1()1()1(z z z z z dz z z dz z z z z dz z z dz z z dz由高阶导数公式，得()0661!1211!22)1(1302223=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-===⎰i i z i z i z z dzz z z ππππ应用上述定理可得出解析函数的无穷可微性定理(Theorem)3.11 设函数)(z f 在区域D 内解析，那么)(z f 在D 内有任意阶导数.并且它们也在区域D 内解析注3: 任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；二、柯西不等式与刘维尔定理(Cauchy inequality and Liouville's theorem)柯西不等式（Cauchy inequality ） 设函数)(z f 在以R z z <-||0内解析，在以R z z <-||0内()M z f ≤,则,...)2,1,0(!!|)(|0)(=≤n RMn n z fn n 证明：令1R C 是圆)0(||110R R R z z <<=-，)(z f 在以10||R z z ≤-上解析，由高阶导数公式，有,2,1,0!22|)()(2!||)(|1111100)(1==⋅⋅≤-=++⎰n R M n R R M n!dz z z z f in z fnn C n n R πππ令R R →1,得 ,2,1,0!|)(|10)(=≤n R Mn z fn n上述的不等式称为柯西不等式.如果函数)(z f 在整个复平面上解析，那么就称)(z f 为一个整函数，例如z e z z ,cos ,sin 都是整函数.关于整函数，我们有下面的刘维尔定理：定理3.12（刘维尔Liouvlle 定理） 有界整函数一定恒等常数.证明：设)(z f 是有界整函数，即存在),0(+∞∈M ，使得M z f z <∈∀|)(|C,.),0(,C 0+∞∈∀∈∀R z ，)(z f 在R z z <-||0内解析.由柯西公式，有RM z f ≤|)('|0， 令+∞→R ， 0)(',C 00=∈∀z f z ，由此可知)(z f 在C 上恒等于常数.三、莫勒拉定理(Mole La Theorem)：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，称为莫勒拉定理.定理(Theorem)3.13如果函数)(z f 在区域D 内连续，并且对于D 内的任一条简单闭曲线C ，我们有0)(=⎰Cdz z f那么)(z f 在区域D 内解析.本节重点掌握：（1） 解析函数的无穷可微性；（2）柯西不等式 内容小结： 1、柯西积分公式 2、解析函数的无穷可微性3、柯西不等式与刘维尔定理4、莫勒拉定理5、柯西定理的逆定理。
复变函数的积分 柯西定理
第三章 复变函数的积分§3-1复变函数的积分【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】复变函数积分的定义：设C 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -]上任取一点k ξ作和数：()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑, 其中1k k k z z z -∆=-如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -∆=-）趋于零时， 和式()1nk kk f z ξ=∆∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿路径C 由0z 到z 的积分:()()1limlim nn k k Cn n k fz dz S f z ξ→∞→∞===∆∑⎰，C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。
若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()Cf z dz ⎰. (围道积分)几点说明：1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。
(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。
)2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是()()()(),,CCf z dz u x y iv x y dx idy =++⎡⎤⎣⎦⎰⎰()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎰⎰，所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。
3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质：（1）0C dz z z =-⎰，z 、0z 分别为C 之起点、终点。
柯西重复积分公式
柯西重复积分公式柯西重复积分公式，也称柯西积分公式，是微积分中的重要定理之一。
它是将两个函数的积分与一个函数的积分的乘积进行比较的方法。
柯西重复积分公式是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在19世纪提出的。
这个公式在复变函数论中有着广泛的应用。
它不仅可以用来计算一维函数的积分，还可以推广到多维情况下。
柯西重复积分公式的一般形式可以表示为：∮C f(z)dz = 2πi∑(res(f, zi))其中，∮C f(z)dz表示沿着曲线C的积分，f(z)表示被积函数，res(f, zi)表示f(z)在zi处的留数。
这个公式的推导过程比较复杂，需要用到复变函数的一些基本性质和定理。
但是，我们可以通过一个简单的例子来理解柯西重复积分公式的应用。
假设我们要计算函数f(z) = z/(z - 1)在单位圆内的积分。
根据柯西重复积分公式，我们可以将这个积分转化为计算函数f(z)的留数。
我们找出函数f(z)的奇点。
由于分母(z - 1)在z = 1处为零，所以z = 1是函数f(z)的一个奇点。
然后，我们计算函数f(z)在z = 1处的留数。
根据留数定理，留数等于函数在奇点处的极限值。
在这个例子中，留数等于lim(z→1) (z - 1)f(z)。
将函数f(z)代入计算，我们可以得到留数等于1。
根据柯西重复积分公式，我们可以得到∮C f(z)dz = 2πi乘以函数f(z)在z = 1处的留数。
由于留数等于1，所以积分的结果为2πi。
这个例子说明了柯西重复积分公式在计算积分时的重要性。
通过将积分转化为计算留数，我们可以简化计算过程，并得到准确的结果。
总结一下，柯西重复积分公式是微积分中的一个重要定理，它可以将两个函数的积分与一个函数的积分的乘积进行比较。
这个公式在复变函数论中有广泛的应用，可以简化积分的计算过程。
通过计算留数，我们可以得到准确的积分结果。
复变函数积分中柯西定理的推广
复变函数积分中柯西定理的推广姓名：刘亚宁学号： 20161102541专业：物理学班级： 16级物理学院系：物理与电子信息学院内容摘要数学物理方法作为物理学专业普通物理与理论物理的纽带，其重要性不言而喻。
复变函数理论的相关知识是基础并且重要的。
其中，对于复变函数的积分，有一个重要的定理——单、复通区域的柯西定理，包括单、复通区域柯西定理的使用条件和最后结论。
并且，柯西定理还可以进行推广，将使用条件进一步简化，减少局限性，使得柯西定理的应用更加广泛。
本篇将阐述柯西定理的推广过程及结论。
关键词：连续解析柯西定理积分路径复变函数积分中柯西定理的推广单、复通区域的柯西定理的证明过程，在众多教材中已经给出。
而对于柯西定理的推广，只给出了相关结论。
现结合现有知识以及相关文献，以单通区域为例，对柯西定理的推广进行证明。
1.相关知识（1）单通区域柯西定理：如果函数f (z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l（也可以是B的边界），有⎰f(z)dz=0l（2）单通区域柯西定理的推广：如果函数f (z)在单连通区域B上解析，在闭单连通区域B上连续，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l（也可以是B的边界），有⎰f(z)dz=0l2.具体证明首先，我们可以将柯西定理的推广整理成以下形式:假如D是一个可求长度的曲线C的内部区域，函数f(z)是D内的解析函数，并且f(z)在闭区域B上连续，则⎰f(z)dz=0C假定c是一个无论怎样小的正数。
按照假设的条件，f(z)在D上一致连续。
因此存在这样一个数δ（0<δ<1）使得对于区域D上满足条件|z1-z2| < 2δ的任意两点z1与z2，不等式|f (z1)-f(z2)|<c都成立。
即|z1-z2|< 2δ⇒|f (z1)-f(z2)|<c①如图，可求长度的曲线C在复平面内，其内部区域为D。
选取常数α与相应的常数β，使得在每一条直线x=α+mδ与y=β+mδ(m=0,±1,±2,……)上都有曲线的有限多个点。
复变函数-柯西积分定理
显然, F(z)
z
f ( )d
是 f (z)的一个原函数。
z0
利用原函数的概念, 可以得出复积分的牛顿— 莱布 尼兹公式 :
定理 设 f (z) 在单连通区域D 内解析, F (z) 是 f (z) 的 一个原函数, 则对 a, b D, 有
b a
f
( z )dz
F(z)
b a
F(b)
F (a)
注:
(1) 本公式只用于计算与积分路径无关的积分;
(2) 在求原函数时, 实函数的换元积分法和分步 积分法仍成立。
例 计算积分 24i z 2dz 1 i
解:
z2
在 整 个 复 平 面 上 解 析, 且
1
z3
z2
3
24i z2dz 1 z3 24i 1 (86 18i)
1 i
3 1i
§3.2 柯西积分定理
问题 : f (z) 在什么条件下, C f (z)dz 仅与积分路径的起点
和终点有关, 而与积分路径无关呢?
定理(柯西积分定理) 若 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 那么 函数 f (z) 沿 D 内任意一条闭曲线C 的积分为零, 即
C f (z)dz 0
推论 如果 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 则 C f (z)dz
f (z0 ) 2i
dz or C z z0
1 f ( )
f (z)
d
2 i C z
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
复变函数-柯西定理
数学物理方法（I）高飞2014-2015年秋季大连理工大学物理与光电工程学院sxwlff_gf@Password：sxwlff2014§1.4 解析函数解析函数的定义解析函数与函数可导、C-R条件之间的关系；以及解析函数的充分必要条件调和函数-满足二维拉普拉斯方程已知解析函数的实部（或虚部）求解析函数；§1.5 几种简单的解析函数幂函数 指数函数 三角函数()nf z z=()zf z e= 双曲函数§1.6 多值函数第二章复变函数的积分§2.1 复变函数的积分§2.2 柯西定理§2.3 柯西公式§2.4 泊松积分公式一般：曲线C 的正方向总是指从起点到终点的方向。
那么终点到起点的方向就是曲线C 的负向，写为C -曲线方向的说明闭曲线：正方向和边界线的正方向一致——左侧A(起点)B(终点)CC1.定义设l 为复平面上的一条分段光滑的曲线c （A →B ），复变函数f(z)在该曲线上有定义。
()111()()nnkkk k kk k f zz f z ττ-==-=∆∑∑a)任意分割n 段b) 求和曲线积分012111,,,...,,,...,k k k n nz z z z z z z z -+-τkAB1lim ()()nk k cn k S f z f z dzτ→∞==∆≡∑⎰由于[][]()(,)(,)(,)(,)cccS f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ==-++⎰⎰⎰c) 取极限,0n z →∞∆→,()(,)(,)dz dx idy f z u x y iv x y =+=+极限值S 为函数f(z)沿曲线c 的积分1lim ()nk kn k S f z τ→∞==∆∑则τkAB被积函数积分路径()CS f z dz=⎰复变积分存在的条件： c 是分段光滑曲线 若曲线C 是闭曲线，记为 如果存在，一般不能写成。
柯西积分逆定理
柯西积分逆定理
柯西积分逆定理是复变函数中的一个基本定理，它指出如果一个函数在一个区域内的柯西积分都为零，则该函数在该区域内是全纯函数。
换句话说，只有全纯函数的柯西积分才能为零。
这个定理的逆定理同样成立，即如果一个函数在一个区域内是全纯函数，则该函数在该区域内的柯西积分都为零。
这个定理的证明需要用到格林公式和柯西—黎曼方程等一系列工具和技巧。
柯西积分逆定理在复变函数的研究中具有重要的应用价值，它为我们研究全纯函数提供了一个非常有力的工具。
同时，它也是复变函数理论中的一个重要定理，是我们学习和掌握复变函数知识的基础之一。
- 1 -。
复变函数柯西定理
复变函数柯西定理
柯西定理(Cauchy's Theorem)是复变函数论里极为重要的定理，其联系的柯西积分(Cauchy's Integral)应用于复平面单连通和复连通区域分别导致复变函数在某点附近的泰勒展开(Taylor Expansion)和洛朗展开(Laurent Expansion)。
柯西定理说：解析函数在复平面解析区域里的积分是路径独立的。
另一种表达是解析函数在其解析区域里的环路积分为零。
(I) 柯西定理的证明一般是结合联系面积分与线积分的格林定理(Green's Theorem):
[注：格林定理可以直接证明，亦可由联系面-线积分的旋度(Curl)公式给出。
]
以及解析函数的柯西-黎曼方程(Cauchy-Riemann Equation):
具体而言：
现在：1. 利用(1),对于实部和虚部分别取(P,Q)=(u,-v)和(P,Q)=(v,u); 2. 利用（2），环路积分为零得证。
(II) 另一个角度，可证明如下：
对于解析函数，由柯西-黎曼方程可知：(3)中的实部：udx-vdy 和虚部：vdx+udy 分别是全微分形式，可写作某实函数的全微分:
而实函数全微分的环路积分为零。
复变函数-柯西积分定理
z
1
i
dz
C
1 z
dz
1 2
C
zБайду номын сангаас
1
i
dz
1 2
C
z
1
dz i
2i 0 0 2i
(2)
I
C
1 z
dz
1 2
C
z
1
i
dz
1 2
C
z
1
i
dz
0 0 2 i
2
i
| z | 1 2
| z i | 1 2
例 不经计算, 验证下列积分值为零, 其中, C 为| z | 1。
1
1
(1) C z2 5z 6 dz (2) C (z2 2)( z3 3) dz
i(12z
2 0
2)
2(6z
2 0
1)i
Morera 定理 : 若函数 f (z) 在单连通域 D 内连续，且对 D 内任意封闭
曲线 C 有 ÑC f (z)dz 0，则 f (z) 在区域 D 内解析。
Liouville 定理 : 若 f (z) 在复平面上解析且有界，则 f (z) 恒为常数。
当 f (z) 有奇点时，不能直接应用该定理。
例 计算
1 C z(z2 1) dz
(1) C 为| z | 1 ; (2) C 为| z i | 1
2
2
解
:
由于
1 z(z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
所以
| z | 1 2
| z i | 1 2
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结经营教育乐享选取日期复变函数积分方法总结数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法;就复变函数：z=x+iy i2=-1 ,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Rez,y=Imz; arg z=θ θ称为主值 -π＜θ≤π,Arg=argz+2kπ;利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ ,y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ;z=re iθ;1.定义法求积分：定义：设函数w=fz定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线,把曲线C 任意分成n 个弧段,设分点为A=z 0 ,z 1,…,z k-1,z k ,…,z n =B,在每个弧段z k-1 z k k=1,2…n 上任取一点k 并作和式S n =∑f (k )nk −1z k -z k-1= ∑f (k )nk −1z k 记z k = z k - z k-1,弧段z k-1 z k 的长度δ=max 1≤k ≤n {S k}k=1,2…,n,当 δ→0时,不论对c 的分发即k 的取法如何,S n 有唯一的极限,则称该极限值为函数fz 沿曲线C 的积分为： ∫f (z )dz c=lim δ 0∑f (k )n k −1z k设C 负方向即B 到A 的积分记作 ∫f (z )dz c −.当C 为闭曲线时,fz 的积分记作∮f (z )dz cC 圆周正方向为逆时针方向 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线; 1 解：当C 为闭合曲线时,∫dz c=0. ∵fz=1 S n =∑f (k )n k −1z k -z k-1=b-a∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.2当C 为闭曲线时,∫dz c =0. fz=2z;沿C 连续,则积分∫zdz c 存在,设k =z k-1,则∑1= ∑Z n k −1（k −1）z k -z k-1 有可设k =z k ,则∑2= ∑Z n k −1（k −1）z k -z k-1因为S n 的极限存在,且应与∑1及∑2极限相等;所以S n = ∑1+∑2= ∑k −1n z k (z k2−z k −12)=b 2-a 2∴ ∫2zdz c=b 2-a 2定义衍生1：参数法：fz=ux,y+ivx,y, z=x+iy 带入∫f (z )dz c得： ∫f (z )dz c = ∫udx c - vdy + i ∫vdx c + udy 再设zt=xt+iyt α≤t ≤β∫f (z )dz c =∫f (z (t ))z (t )́dt βα参数方程书写：z=z 0+z 1-z 0t0≤t ≤1；z=z 0+re i θ,0≤θ≤2π 例题1： ∫z 2dz 3+i 0积分路线是原点到3+i 的直线段解：参数方程 z=3+it ∫z 2dz 3+i 0=∫[(3+i )t ]2[(3+i )t ]′dt 1=3+i3∫t 2dt 10=6+263i例题2： 沿曲线y=x 2计算∫（x 2+iy）dz 1+i解： 参数方程 {x =t y =t2 或z=t+it 20≤t ≤1 ∫(x2+iy )dz 1+i 0=∫（t 2+it 2）(1+2it )dt 1=1+i [∫(t 2dt )dt 10 + 2i ∫t 3dt 1=-16+56i定义衍生2 重要积分结果： z=z 0+ re i θ ,0≤θ≤2π 由参数法可得：∮dz(z −z 0)n +1c =∫ire iθe i（n +1）θr n +12π0d θ=i rn ∫e −inθ1+i 0d θ∮dz(z −z 0)n +1c={2πi n =00 n ≠0例题1：∮dz z −2|z |=1 例题2：∮dzz −12|z |=1解： =0 解 =2πi2.柯西积分定理法：柯西-古萨特定理：若fzdz 在单连通区域B 内解析,则对B 内的任意一条封闭曲线有：∮f (z )dz c=0 定理2：当f 为单连通B 内的解析函数是积分与路线无关,仅由积分路线的起点z 0与终点z 1来确定;闭路复合定理：设函数fz 在单连通区域D 内解析,C 与C 1是D 内两条正向简单闭曲线,C 1在C 的内部,且以复合闭路Γ=C+C 1所围成的多连通区域G 全含于D 则有：∮f (z )dz Γ=∮f (z )dz c +∮f (z )dz c1=0 即∮f (z )dz c =∮f (z )dz c1推论： ∮f (z )dz c=∑∮f (z )dz ckn k =1 例题：∮2z −1z 2−zdz cC 为包含0和1的正向简单曲线;解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C 内互不相交,互不包含的正向曲线c 1和c 2;∮2z −1z 2−zdz c=∮2z −1z (1−z )dz c1+∮2z −1z (1−z )dz c2=∮1z −1+1z dz c1+∮1z −1+1zdz c2=∮1z −1dz c1+∮1zdz c1+∮1z −1dz c2+∮1zdz c2=0+2πi+2πi+0=4πi原函数法牛顿-莱布尼茨公式：定理可知,解析函数在单连通域B 内沿简单曲线C 的积分只与起点z 0与终点z 1有关,即∫f ()c d = ∫f ()z1zd 这里的z 1和z 0积分的上下限;当下限z 0固定,让上限z 1在B 内变动,则积分∫f ()z1zd在B 内确定了一个单值函数Fz,即Fz= ∫f ()z1z 0d 所以有 若fz 在单连通区域B 内解析,则函数Fz 必为B 内的解析函数,且F (z) ́=fz.根据定理和可得∫f (k )z 1z 0d k = Fz 1 - Fz 0. 例题：求∫zcosz 1d k 解： 函数zcosz 在全平面内解析∴∫zcosz 10d k =zsinz |0i -∫sinz 1d k = isin i+cosz |0i =isin i+cos i-1 =ie −1−12i+e −1+12i-1=e -1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法,但是要注意复变适合此方法的条件; 柯西积分公式法：设B 为以单连通区域,z 0位B 中一点,如fz 在B 内解析,则函数f (z )z −z 0在z 0不解析,所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分∫f(z)z−z0dzc一般不为零; 取z0位中心,以δ>0为半径的正向圆周|z−z0|=δ位积分曲线cδ,由于fz的连续性,所以∫f(z)z−z0dzc =∫f(z)z−z0dzcδ=2πifz0：若fz在区域D内解析,C为D内任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,有：fz0=12πi ∮f(z)z−z0dz例题：1∮|z|=2∮z(9−z2)(z+i)dz |z|=2解：=2π isin z|z=0=0 解： =∮z9−z2z−(−i)dz|z|=2=2πi z9−z2|z=-i=π5解析函数的高阶导数：解析函数的导数仍是解析函数,它的n阶导数为f n z0=n!2πi ∮f(z)(z−z0)n+1dzn=1,2…其中C为fz的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线,而它的内部全含于D.例题：∮e zz5dzcC:|Z|=1解：由高阶导数的柯西积分公式：原式=2πi14!e z4|z=π2=πi123.解析函数与调和函数：定义：1调和函数：如果二元实函数φx,y在区域D内具有二阶连续函数,且满足拉普拉斯方程：2φx 2+2φy 2=0,则称φx,y 为区域D 内的调和函数;若fz=u+iv 为解析函数,则u和v 都是调和函数,反之不一定正确2共轭调和函数:ux,y 为区域内给定的调和函数,我们把是 u+iv 在D 内构成解析函数的调和函数vx,y 称为ux,y 的共轭调和函数;若v 是u 的共轭调和函数,则-u 是v 的共轭调和函数关系：任何在区域D 内解析的函数,它的实部和虚部都是D 内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数;求解方法：1偏积分法：若已知实部u=ux,y,利用C-R 方程先求得v 的偏导数u x =v y ,两边对y 积分得v=∫u x dy +g (x ).再由u y =−v x 又得x ∫v x dy +g (x )́=- uy从而g (x )=∫[−u y−x∫ux dy ]dx + Cv=∫ux dy + ∫[−uy −x ∫uxdy ]dx + C 同理可由vx,y 求ux,y.不定积分法：因为f (z )́=U x +i V x = U x -iU y = V y +iV X 所以fz=∫U (z )dz +c fz=∫V (z )dz +c线积分法：若已知实部u=ux,y,利用C-R 方程可得的dv=vx dx+vy dy=-uy dx+∫ux dy 故虚部为 v=∫−u ydx +（x，y）（x0，y 0，）u xdy +C该积分与路径无关,可自选路径,同理已知vx,y 也可求ux,y.例题：设u=x 2-y 2+xy 为调和函数,试求其共轭函数vx,y 级解析函数fz=ux,y+ivx,y 解：利用C-R 条件 u x=2x+y uy=-2y+x2ux 2=22uy 2=-2所以满足拉普拉斯方程,有v x=−u y=2y-x v y=ux=2x+y所以v=∫(2y −x )dx +φ(y )=2xy- x 22+φ(y )v y=2x+φ(y )́=2x+y φ(y )́=y φ(y )=y 22+c vx,y=2xy- x 22+y 22+cfz=ux,y+ivx,y=122-i z 2+iC4.留数求积分：留数定义：设z 0为函数fz 的一个孤立奇点,即fz 在去心邻域、0<|z −z 0|<δ ,我们把fz 在z 0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c -1称为fz 在z 0处的留数,记为Resfz,z 0即Resfz,z 0=c -1 或者Resfz,z 0=12πi∮f (z )dz c C 为0<|z −z 0|<δ 留数定理：设函数fz 在区域D 内除有限个孤立奇点z 1z 2…z n,其中z k 表示函数f (z )的孤立奇点孤立奇点：定义：如果函数k (k )在z 0不解析,但在z 0某个去心邻域0<|z −z 0|<δ内解析,则称z 0为f (z )的孤立奇点; 例如1z 、e 1z都是以z=0为孤立奇点函数1(z +1)（z +2）以z=-1、z=2为孤立奇点..........在孤立奇点z=z 0的去心邻域内,函数f (z )可展开为洛朗级数 k (k )=∑c n ∞n =−∞（z−z 0）n洛朗级数中负幂项是否存在,若存在是有限项还是无限项,这对fz 在z 0处的奇异性将起着决定性的作用;讨论孤立奇点z 0的类型：：若函数fz 在孤立奇点z 0的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幂项,即对一切n<0有c n =0,则称z 0是fz 的可去奇点因为没有负幂项,即c -n =0,n=1,2.....故c -1=0;遇到函数fz 的奇点类型是可去奇点 ,一般对函数k (k )求积分一般为零判断可去奇点方法：⑴函数k (k )在某个去心邻域0<|z −z 0|<δ内解析,则z 0是f (z )的可去奇点的充要条件是存在极限lim z →z 0f（z）=c 0,其中c 0是一复常数; ⑵在⑴的假设下,z 0是fz 可去奇点的充要条件是：存在r ≤δ,使得fz 在0<|z −z 0|<r 内有界若函数fz 在孤立奇点z 0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负幂项,即有正整数m,c -m ≠0,而当n<-m 时c -n =0 则称z 0是fz 的m 级极点; 其洛朗展开式是：fz=c −m （z −z 0）m +c −m +1（z −z 0）m +1+…+c −1z −z 0+c 0+c 1z-z 0n+m +…+c 0z-z 0n +…这里c -m ≠0,于是在 0<|z −z 0|<δ有fz=c −m （z −z 0）m+c −m +1（z −z 0）m +1+…+c −1z −z 0+c 0+c 1z-z 0n+m +…+c 0z-z 0n +…=1(z −z 0)mφ(z ).φ(z )一个在0<|z −z 0|<δ解析,同时φ(z )≠0,则z 0是fz 的m 级极点; 判断定理：1fz 在z 0的去心邻域0<|z −z 0|<δ解析,z 0是fz 的m 级极点的充要条件是可以表示成的形式;2z 0是fz 的m 级极点的充要条件是lim z →z 0f (z )=∞.：若函数fz 在孤立奇点z 0的去心邻域内洛朗级数展开式中只有无限个负幂项,则称z 0是fz 的本性奇点判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极限lim z →z 0f (z );函数在极点的留数：准则一：若z 0为一级极点,则 Resfz,z 0= lim z →z 0f (z )(z −z 0)准则二：做z 0为m 级极点,则 Resfz,z 0=1(m −1)!limz →z 0d m −1dzm −1{z-z 0mfz} 准则三：设fz=P (Z )Q (Z ),Pz 以及Qz 都在z 0解析,如果Pz 0=0,Qz 0≠0,则z 0是fz 的一级极点,而且：Resfz,z 0=P (Z 0)Q (Z 0)́无穷远处的留数：定义：扩充z 平面上设z=∞为fz 上的孤立奇点,即fz 在R<|z |<+∞内解析,C 为圆环绕原点z=0的任一条正向简单闭曲线,则积分值12πi ∮f (z )c −1dz 称为fz 在z=∞处的留数,记作 Resfz, ∞=12πi∮f (z )c −1dz 如果fz,在R<|z |<+∞内的洛朗展开式为fz,=∑c n z n∞n =−∞ 则有Resfz, ∞=-c -1如果fz 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点包括无穷远处在内设为z 1,z 2,…,z n ，∞则fz 在各奇点的留数总和为零,即∑Res [f (z )dz ]n k =1+Resfz, ∞=0;Resfz, ∞=-Resf 1z 1z 2,0例题：求下列Resfz, ∞的值 1fz=e z z 2−12fz=1z (z +1)4(z −4)解：1在扩充复平面上有奇点：±1,∞ ,而±1为fz 的一级极点且Resfz,1=lim z →1(z −1)f (z )=limz →1e zz +1=12eResfz,-1= lim z →−1(z −1)f (z )=limz →1e zz −1=-12e −1∵Resfz, ∞ + Resfz,1 + Resfz,-1=0得∴Resfz, ∞=-{ Resfz,1+ Resfz,-1}= 12e −1+e =-sh12 由公式Resfz, ∞=-Resf 1z 1z2,0,而1z2f 1z=1z (z +1)4(z −4)以z=0为可去奇点,所以 Resfz, ∞= -Resf 1z 1z 2,0=0用留数定理计算积分：形如∫R (cosθ,sinθ)2πd θ的定积分计算；其中R (cosθ,sinθ)为cos θ与sinθ的有理函数;故解这类题是就会联想到复变函数与三角变换的相关知识--欧拉公式,令z=e iθ,dz=izd θ=i e iθ d θ d θ=dz izsin θ=12i eiθ−e −iθ=z 2−12izcos θ(eiθ+e−iθ)=z 2+12iz则∫R (cosθ,sinθ)2π0d θ=∮R [z 2+12iz,z 2−12iz]|z |dz iz=∮f (z )dz |z |其中fz= R [z 2+12iz,z 2−12iz 1iz然后又留数定理求的积分值为2πi ∑Res [f (z ),z k ]n k =1 其中z k k=1,2, …n 为fz 在单位圆周内的所有孤立奇点;形如∫R (x )dx +∞−∞的积分计算;其中Rx 为x 的有理函数,且分母的次数至少比分子的高二次,Rx 在实轴上无孤立奇点;则∫R (x )dx +∞−∞=2πi ∑Res Rz,z k ,z k 为上半平面的所有奇点形如∫R (x )e iax dx +∞−∞=2πi ∑Res R (x )e iax ，z k 其中k 为上半平面的所有奇点 5.总结：以上只是粗略的列举了计算复变积分的方法,还有许多细节性的问题没有一一列举;复变积分的算法对比实函数积分的计算方法,有很多相似的地方,较实函数积分要复杂些;复变的积分变换多是理解性的问题,多做题目可以提高思维的多样性,但容易造成思维定势;理解才是主要解题之道。
复变函数第3节：柯西积分公式及高阶导数公式
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2
第二章 柯西定理公式
§2.1 柯西定理 一、单连通区域上的柯西定理：
1、单连通区域：闭曲线可在其内收缩为一点的区域。 2、柯西定理：
证明：
一、单连通区域上的柯西定理：
一、单连通区域上的柯西定理：
推论： 在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有 关，与积分路径的形状无关。
一、单连通区域上的柯西定理：
证 明：
二、柯西公式的推论：
∵ 被积函数在封闭曲线|z|=5内有两个极点：z=0和z=i
∴ 根据复连通区域上的柯西定理，有：
二、柯西公式的推论：
作 业：
二、柯西公式的推论：
2、无界区域上的柯西公式：
证明：
二、柯西公式的推论：
3、刘维尔(Liouville)定理：
二、柯西公式的推论：
证 明：
二、柯西公式的推论：
§2.2 柯西公式及其推柯西公式：
注意：柯西公式把复变函数的积分问题简化为解 析函数在奇点处的值的问题
一、柯西公式：
例 题：
解：
一、柯西公式：
作业：试计算下列积分的值，其中C是正向单位圆周 |z|=1。
二、柯西公式的推论：
1、解析函数的高阶导数：
思考：
二、复连通区域上的柯西定理：
1、复连通区域：闭曲线不能在其内收缩为一点的区域。 割线 复连通区域 2、柯西定理： 单连通区域
二、复连通区域上的柯西定理：
~ 在复连通区域上，解析函数沿外境界线逆时针方向的线积 分等于沿所有内境界线的逆时针方向的线积分之和。
例 题：
解 ：
二、复连通区域上的柯西定理：
复变函数 柯西-古萨积分定理
C1
f ( z )dz f ( z )dz 0
l
C
D
f ( z )dz 0
f ( z )dz f ( z )dz .
c1
l
C1
c
9
此式说明一个解析函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它
D
f ( z )dz
c
c1
f ( z )dz
当z在区域D内变化时，积分值也变化，并且该 积分在D内确定了一个单值函数（变上限的单值函 数），记作
F ( z ) f ( z )dz f ( )d .
z0 z0 z z
4
定理2 设f (z)在单连通区域D内解析，则F(z)在 D内解析，且 F ' ( z ) f ( z ). 分析： 只须证 即 而
的积分值，只要在变
形过程中曲线不经过
CC 11
C1
C
f(z)的不解析点.
—闭路变形原理.
10
2z 1 例 计算 2 dz : 包含圆周z 1在内的 z z 任意正向简单闭曲线 .
1 1 解 原 式 ( z 1 z )dz 1 1 dz dz C1 C 2 z 1 C1 C 2 z
1
2、 柯西积分定理
定 理1 若f ( z )在 单 连 通 区 域 D内 解 析 ， 则 对 于
c
D内 任 一 条 闭 曲 线 C， 都 有 f ( z )dz 0.
人们对此定理的评价是很高的，有人称之为 积分的基本定理或函数论的基本定理。还有人 认为它是研究复变函数论的一单连通区域D内解析，则在D内f (z)的积分与路径无关.
复变函数第7讲柯西积分公式
K z − z0
K | z − z0 |
<
ε R
∫
d
s
=
2π
ε
K
这表明不等式右端积分的模可以任意小, 只要 R足够小就行了, 根据闭路变形原理, 该积分 的值与R无关, 所以只有在对所有的R积分为
值为零才有可能, 因此, (3.17)式成立.
7
书本的描述(第46页，定理3.6)
定理3.6(柯西积分公式) 设D是由有限条简单 闭曲线C为边界的有界区域, f(z)在D内处处解 析,,则对D内任意一点z0有
i
O −i
x
C2
24
y
C C1
i
O −i
x
C2
根据复合闭路定理,
∫ ∫ ∫ ez d z =
ez d z +
ez d z
C (z2 +1)2
C1 (z 2 +1)2
C2 (z2 +1)2
25
由求导公式有
ez
∫ ∫ e z d z = ( z + i )2 d z =
C1 (z 2 + 1)2
C1 (z − i)2
1 f (z)
∫ f (z0 ) = 2 π i C z − z0 d z.
(3.21)
8
1 f (z)
∫ f
(z0 )
=
2πi
C
z
−
z 0
d
z.
(3.21)
(3.21)式称为柯西积分公式.
特别,如果C是圆周z=z0+Reiθ, 则(3.21)式成为
∫ 1
f (z0 ) = 2 π
2π
0 f (z0 + Reiθ )dθ .
复变函数(3.2.2)--柯西-古萨定理及其推广
定义 3.2 如果函数在区域内导数等于，即，且在内连续，那么称为在区域内的一个 原
函数。
F (z) = f D(z zf)( )d z0
定理 3.4 表明，是在单连域内的一个原函数。
5
FFf (z)
易得，的任何两个原函数之间只相差一个复常数。事实上，设和是的任意两个原函数 ， 那么
▎ 注记:在上式的证明中,因为复变函数本身不能比较大小,所以高等数学中拉格朗日中值 定理在复变函数积分不成立. 易见，定理 3.4 非常类似于实变函数中的变上限积分的求导定理（微积分第一基本定 理）。由此，我们还可以进一步得到类似实变函数中的另一个微积分基本定理和牛顿-莱布 尼茨公式。为此，先引入原函数的概念。
C
因此，为了研究复变函数延闭路经的积分，只要研究相应的两个线积分
ﾮ vuddxx+-uv d y = 0
C
与
1
u, v, ux ,CDuy , vx , vy
因此，若在复平面上由简单闭曲线围城的单连域内连续，并且上述两个线积分沿内任一闭曲线积分等于零,即由格林公式得
�u
C
d
x
-
v
d
y
=
��(-
D
ﾮv ﾮx
-
ﾮu ﾮy
)dxdy
=
0
,
�v
C
d
x
+
u
d
y
=
�D�( ﾮﾮux
-
ﾮv ﾮy
)dxdy
=
0
.
f
(z)
=
u
B x
+fff (D(izzv))xd=z
第三章 复变函数的积分
连接.设想将D沿割线割破,于是D就被分成两个单连
通区域(图3.10是 n 2的情形),其边界各是一条围线, 分别记为1和 2 .而由定理3.9,我们有
1
f
zdz
0, 2
f
zdz
0,
将这两个等式相加,并注意到沿着 L0 , L1, , Ln 的积分, 各从相反的两个方向取了一次,在相加的过程中互相 抵消.于是,由复积分的基本性质(3)就得到
下,我们称区域D的边界是一条复围线
C C0 C1 C2 Cn
它包括取正方向的C0 ,以及取负方向的 C1,C2 , ,Cn .换句话 说,假如观察者沿复围线C的正方向绕行时,区域D的点总 在它的左手边(图3.10是 n 2的情形).
D
C2
C1
C0
L2
D
L1
L0
C1
C2
C0
图3.10
定理3.10 设D是由复围线
适合 C. R. 条件 ，
由格林定理, C udx vdy 0, C vdx udy 0,
故得
f (z)dz 0.
C
由柯西积分定理，可以得到
定理3.4 设f (z) 在 z 平面上的单连通区域 D 内解析,C 为D
内任一闭曲线(不必是简单的),则
C f (z)dz 0.
证 因为D总可以看成区域 C 内有限多条围线衔接而
f (z) 1 za
只以z a 为奇点,即在“z 平面除去一点a ”的非单连通区域内处处解
析，但是积分
C
dz za
2i
0,
其中 C 表圆周 z a 0 ，即在此区域内积分与路径有关；
复变函数与积分变换3.2柯西积分定理
C
1 dz dz dz 2 C z C z 1 z z
（由闭路变形原理） dz dz C2 z 1 C1 z 2 i 2 i 0
C
C1
0
1
C2
(2) (由复合闭路定理)
C
1 dz dz dz 2 2 C2 z 2 z C1 z z z z
问题:复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)满足什么条件在单连 通区域D内沿闭路径的积分为零?
要使 只要
f ( z) d z 0.
C
C
udx vdy 0且 vdx udy 0.
C
这只须u与v具有一阶连续偏导数且ux=vy, uy=-vx. Cauchy： 若f(z)在单连通区域D内解析,且f'(z)连续, 则对D内任意闭曲线C有
c
z0 z1 。 其中C：
固定z0,z1=z在D内变化,于是 C 于z的单值函数:
z C C z0
f ( z )dz
在D内确定了关
f z dz f d f d : F ( z )
F z f d
z0 z
变上限积分。
解析函数的原函数仍为解析函数
1 例题1 求 C 2 dz , C 如图所示： z 解：存在 f (z)的解析单连通域D包含
i
i
3 i
曲线 C ，故积分与路径无关，仅与起
点和终点有关。
0,i 0,i
从而
C
1 1 4 1 1 1 dz d i 2 z z 0,3i i 3i 3 0, 3i z
复变函数第6讲柯西-古萨基本定理-不定积分
∫ = 2π i,
C z − z0 所以, 根据闭路变形原理 , 对于包含 z0的 任何一条正向简单曲线 Γ都有 :
∫ d z = 2π i
Γ z − z0
10
∫ 例
计算
Γ
2z z2
− −
1 z
d
z
的值, Γ为包含圆周
|z|=1在内的任何正向简单闭曲线.
2z −1 解: 函数 z2 − z 在复平面内除z=0和z=1两
F' E'
E
∫ f (z)d z = 0
AEBB'E 'A' A
C
B'
B
C1
∫ f (z)d z = 0
AA'F 'B'BFA
4
将上面两等式相加, 得
∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z
C
C1−
AA'
+ ∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z = 0
它的一个原函数为1 ln2(z + 1),所以 2
26
∫ | i ln(z +1) d z = 1 ln2(z +1) i
1 z +1
2
1
= 1 [ln2(1+ i) − ln2(2)] 2
=
1 2
⎡⎛ ⎢⎜ ⎢⎣⎝
1 2
ln
2
+
π 4
i
2
⎞ ⎟ ⎠
−
ln2
⎤ 2⎥ ⎥⎦
= − π2 − 3 ln2 2+ πln2 i
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C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2
3z 1 3z 1 dz dz C（ C 1 2 ( z 1)( z 3) z 1)(z 3)
3z 1 3z 1 z 3 dz z 1 dz C2 z 3 z 1
C1 : | z | r1 C2 : | z 1 | r2
由复合闭路定理 , 得到:
C
1 1 1 dz 2 dz 2 dz 2 C C 1 z 2 z z z z z
C
1 1 1 1 由于 2 z z ( z 1) z z 1 z
于是, 得到
C
f ( z )dz 0
C
推论 如果 f ( z ) 在单连通域 D 内处处解析, 则 f ( z )dz 与路线 C 无关，仅由路线 C 的起点及终点来确定。
说明: (1) 曲线C D ;
(2) 若 C D, f ( z) 在 D 及 C 解析, 则
C
f ( z )dz 0
§3.2 柯西积分定理
问 题: f ( z ) 在 什 么 条 件 下 , f ( z )dz 仅 与 积 分 路 径 的 起 点
C
和终点有关 , 而与积分路径无关呢 ?
定理(柯西积分定理) 若 f ( z ) 在单连通域 D 内处处解析, 那么 函数 f ( z ) 沿 D 内任意一条闭曲线C 的积分为零, 即
解 :由柯西积分公式知 , 当 z 在 C 内时,
f ( z ) 2i ( 3 2 7 1) z 2i ( 3 z 2 7 z 1）
f ( z ) 2i (6z 7)
而 z 1 i 在 C 内 所以 f (1 i ) 2 (6 13i )
C1
C2
1 1 1 1 1 dz C1 dz C1 dz C 2 dz C 2 dz C 2 z 1 z z 1 z z z
0 2i 2i 0 0
§3.4 柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f ( z ) 在区域 D 内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线 , 对z0 D , 则有 1 f (z) 1 f ( z0 ) dz or f ( z ) 2i C z z0 2 i
(1) 本公式只用于计算与积 分路径无关的积分 ;
( 2) 在 求 原 函 数 时 , 实 函 数 的 换 元 积 分 法分 和步 积分法仍成立。
例 计算积分
2 4 i
1 i
z 2dz
1 解 : z2 在 整 个 复 平 面 上 解 析 , 且 z3 z2 3
C
z sin zdz z sin zdz z cos z 0 cos zdz
i 0 0
i
i
i (cosi i sini ) ie 1
§3.3 复合闭路定理
复合闭路定理 : 多连通域 D 由简单闭曲线 C 的内部以及 C1 , C2 ,..., Cn 的外部围成，C1 , C2 ,..., Cn 全包含在 C 的内部， 并且它们互不包含互不相交.f ( z ) 在D 内解析，在其边界 连续，则
说明: (1) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向 闭曲线 ;
(2) 上述公式不在于通过积分来求导数, 而在于通过 通过求导数来求积分, 即
f (z) 2i ( n ) C ( z z0 )n1 dz n! f ( z0 )
例 求下列积分值 :
sinz (1) dz, C 为 任 一 包 含 i 的简单正向闭曲线 C ( z i )3
二、 高阶求导公式
定理 设 f ( z ) 在 D 内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f ( z ) 的各阶导函数在 D 内仍解析, 且
f
( n)
n! f (z) ( z0 ) dz, z0 D, n 1,2,... n 1 C 2i ( z z0 )
( 2)
由于 f ( z ) 在 | z | 1 所包围的区域解析 , 所以积分为 0。
二. 变上限积分与原函数
F ( z ) f ( )d
z0 z
( z0 , z D, z0 固定)
称为变上限积分。
定理 若 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析
则函数F ( z ) fz ) 解 : cosz 解析 C ( z 1)5 4!
5i
12
ez (3) 2 dz, C :| z | r 1 C ( z 1) 2 ez 解 : z i 为 2 的奇点 2 ( z 1)
i
i
2 4 i
1 i
1 1 z 2dz z 3 (86 18i ) 3 1 i 3
2 4 i
例 计算积分
C
z sin zdz, 其中 C 是由原点
i 1 沿 | z | 右半圆周到点 i 的曲线。 2 2
解 :由于 z sinz 在复平面内处处解析 , 因而积分与 路径无关。 于是用分部积分法 , 可得
所以 , 由柯西积分公式得到 :
上式 2i 2 2i 6i
1
3 4
3z 1 解 法 二: f ( z ) 在 C 内有两个奇点 z 1,3 ( z 1)(z 3)
以 z 1, z 3 作两个互不相交的圆 C1、C2 {| z | 4}
由复合闭路定理 , 得到
C
f ( z )dz
C1
f ( z )dz
C2
C2
f ( z )dz
C1
C
Cn
f ( z )dz
例 设 C 是复平面包含 z0 的任一简单闭曲线 , 证明
1, n 0 1 1 dz n 1 2i C ( z z0 ) 0, n 0
证 : 在 C 内部作一个以 z0 为圆心 , r 为半径的正向圆周 Cr
围 成, 则
例 计算下列积分 ( 沿圆周正向 ) 值:
(1) 1 cos z 3z 1 dz ( 2 ) dz | z| 4 ( z 1)(z 3) 2i |z|4 z
解 : (1) f ( z ) cos z 在 | z | 4 内解析
1 cos z 1 cos z dz dz | z | 4 | z | 4 2i z 2i z0
以 z i 和 i 分别为圆心作两个互不 相交互不包含的圆周 C1、C2
ez 则 2 在 C C1 C 2 所围区域解析 2 ( z 1)
特别地 , 若定理中区域 D 为 圆 周C : z z0 re i
1 f (z) 1 2 f ( z0 re i ) i f ( z0 ) dz re id i C 0 2i z z0 2i re 1 2 i f ( z re )d 0 0 2 ------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
cos z z 0 1
( 2)
3z 1 1 2 ( z 1)(z 3) z 1 z 3
3z 1 1 2 |z|4 ( z 1)(z 3) dz |z|4 z 1 dz |z|4 z 3 dz
由于 z 1, z 3 包含在| z | 4 内
1 1 1 1 1 C dz C dz C dz z 2 zi 2 zi
2i 0 0 2i
| z |
1 2
| z i |
1 2
1 1 1 1 1 ( 2) I dz dz dz C z 2 C zi 2 C zi
2 0 0 i i 2
f ( ) C z d
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式 , 可以把函数在 C 内部任 一点 z 的值用它在边界 C 上的值通过积分来表示 ;
(2) 给出了解析函数的一个 积分表达式 : f (z) C z z0 dz 2if ( z0 )
(3) 积分曲线 C 可以是解析区域 D 内部的包含 z0 的任意正向简单闭曲线
1 dz, C 为 包 含 圆 盘 | z | 1 在 其 内 部 2 C z z 的 任 何 正 向 简 单 闭 曲。 线 例 计算
1 在复平面内除 z 0、z 1 两 个 奇 点 外 2 z z 处处解析。 解 : f (z)
C1 C2
C
以 z 0, z 1 为圆心作两个互不相交 的圆周 :
由于
2i , n 0 1 Cr ( z z0 )n1 dz 0, n 0
由复合闭路定理 ,得
1 1 1 1 1, n 0 dz dz C C r n 1 n 1 2i ( z z 0 ) 2i ( z z 0 ) 0, n 0
C1
C1
1
C2
3 4
3z 1 3z 1 2i 2i z 3 z 1 z 1 z 3
2i 4i 6i
3 2 7 1 例 设 f (z) d , C 为 正 向 圆 周 x2 y2 3 C z 求 f (1 i )
(3) 若 C D, f ( z) 在 D 内解析, 在 C上 连续, 则
C
f ( z )dz 0
注意: 应用柯西定理时 , 一定要注意定理的条件 :
f ( z ) 解析, D 单连通
当 f ( z ) 有奇点时， 不能直接应用该定理。
例 计算