3．已知△ABC 周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 边长为( ) A ．5 B ．6 C ．7
D ．8
解析：选C.由题设a ＋b ＋c ＝20，1
2bc sin 60°＝103，
所以bc ＝40.
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－120. 所以a ＝7.即BC 边长为7.
4．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )
A. 3 B ．5 3 C ．6 3
D ．7 3
解析：选B.连接BD ，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC ＝180°－120°
2＝30°，所以
∠ABD ＝90°.在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，知BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以BD ＝23，所以S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23＋12×
2×2×sin 120°＝5 3.
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝2，C ＝π
3，且a ＋b ＝3，
则△ABC 的面积为( )
A.13312
B.534
C.512
D.5312
解析：选D.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 所以22
＝a 2
＋b 2
－2ab ×cos π
3
，
即4＝(a ＋b )2－3ab ， 又a ＋b ＝3，所以ab ＝5
3
，
所以S △ABC ＝1
2ab sin π3＝5312
，故选D.
6．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1
3，S △ABC ＝43，则b ＝________．
解析：因为cos C ＝13，C ∈(0，π)，所以sin C ＝22
3，
所以1
2ab sin C ＝43，所以b ＝2 3.
答案：2 3
7．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为________． 解析：因为S ＝12bc sin A ，所以3＝12×2c sin 120°，所以c ＝2，所以a ＝
b 2＋
c 2－2bc cos A
＝
4＋4－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，所以2R ＝a sin A ＝23
3
2
＝4，所以R ＝2.
答案：2
8．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．
解析：由2B ＝A ＋C ，及A ＋B ＋C ＝π知， B ＝π3
.
在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝
BC
2
＝2， 所以AD 2
＝AB 2
＋BD 2
－2AB ·BD cos π
3
＝3.
因此AD ＝ 3. 答案： 3
9．(2018·枣庄八中期末检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A .
(1)求角A 的大小；
(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．
解：(1)由3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2 A ，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝1
2或cos A ＝－2(舍去)．
因为03
.
(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝3
4bc ＝53，得bc ＝20.
又b ＝5，所以c ＝4.
由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 所以sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2A ＝2021×34＝5
7
.
10．(2018·佛山一中期中)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝1
2CD ，∠ADB ＝120°，
AD ＝2，且△ADC 的面积为3－ 3.
(1)求边BC 的长； (2)求∠BAC 的度数．
解：(1)因为∠ADC ＝180°－120°＝60°，AD ＝2，
