解三角形章末检测题及答案

合集下载

第五章：三角函数章末测试(解析版)

第五章：三角函数章末测试一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）下列与角23π的终边一定相同的角是（）A ．53πB ．2360(3k k π+∈Z ) C ．22(3k k ππ+∈Z ) D ．2(21)(3k k ππ++∈Z ) 【答案】C【解析】与角23π终边相同角可以表示为2{|2,3k k πααπ=+∈Z } 对A ，由2{|2,3k k πααπ=+∈Z }找不到整数k 让53πα=，所以A 错误对B ，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B 错误，对D 项，当0k =时，角为53π，当1k =-时，角为3π-，得不到角23π，故D 错误，故选：C.2．（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为（） A ．32 B ．24 C ．62D ．82【答案】D【解析】圆心角2α=，扇形面积212S r α=，即21822r =⨯⨯，得半径22r =所以弧长42l r α==故扇形AOB 的周长24222282L l r =+=⨯=故选：D3．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知()cos305sin305,P ，则点P 在第（）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】因为270305360<<，所以305为第四象限角，所以0cos305>，0sin305<，所以点()cos305sin305,P 位于第四象限；故选：D4．（2022·全国·高一课时练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα︒<<︒，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（）A 47-B 47+C 47+D 47-【答案】A【解析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为()cos sin a αα-，故()222cos sin 14a a αα-=，故112sin c 4os αα-=，即2223sin cos 3tan 3sin cos 8sin cos 8tan 18αααααααα=⇒=⇒=++23tan 8tan 30αα⇒-+=，解得47tan α-=47tan α+= 因为045α︒<<︒，则0tan 1α<<，故47tan 3α=.故选：A 5．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习）函数()sin (0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A ．22sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．=2sin 23x y π-⎛⎫⎪⎝⎭ D ．=2sin 23y x π-⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可得2A =，因为5212122T πππ=+=，所以T π=，所以222T ππωπ===，由函数过点,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得2sin 2+=212π-ϕ⎡⎤⎛⎫⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以262k ππϕπ-+=+，Z k ∈，即223k πϕπ=+，Z k ∈，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=，所以22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选：A 6．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 2+3α⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．79- B ．23-C ．23D ．79【答案】D【解析】因为π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππcos 212sin 36171299αα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯ ⎪ ⎭⎝⎭=⎪⎝.故选：D. 7．（2022·天津南开·高一期末）为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，可以将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（）A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向右平移π12个单位【答案】D【解析】因为ππsin 2sin 236y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππsin 2sin 261y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且πππ61212-=，所以由πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像转化为πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭需要向右平移π12个单位.故选：D.8．（2020·安徽亳州·高一期末）已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（） A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ2,2666x m ⎛⎤+∈+⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2,633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022·全国·高一课时练习）已知直线π8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴 C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值【答案】AC【解析】因为直线π8x =是函数()sin(2)(0f x x ϕϕ=+<π)<图象的一条对称轴，所以ππ2π82k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，又0πϕ<<，所以π4ϕ=，所以()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．ππsin 2cos 282f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是偶函数，故A 正确；令ππ2π()42x k k +=+∈Z ，解得:ππ()28k x k =+∈Z ，所以()f x 图象的对称轴方程为ππ()28k x k =+∈Z ，而3π8x =不能满足上式，故B 错误；当ππ,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时函数()f x 单调递减，故C 正确；显然函数()f x 的最小值为1-，当π2x =时，π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ2sin 2242⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AC ．10．（2022·全国·高一课时练习）在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则下列等式中正确的是（） A ．tan tan 2tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= C ．tan()2tan tan +=B C B C D ．tan tan tan 1=A B C【答案】AB【解析】由sin 2sin sin A B C =，得sin()B C +=sin cos sin cos 2sin sin B C C B B C +=等式两边同时除以cos cos B C ，所以tan tan B C +=2tan tan B C ，故选项A正确；由tan tan tan()1tan tan ++==-A BA B A Btan()tan π-=-C C ，得tan tan A B +=tan tan tan A B C tan C -，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故选项B 正确．假设tan()2tan tan +=B C B C ，由选项A 得tan()tan tan ,B C B C +=+tan tan tan 0A B C ∴++=,因为ABC 是锐角三角形，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>tan tan tan 0A B C ∴++>，与tan tan tan 0A B C ++=矛盾，所以选项C 错误；假设tan tan tan 1=A B C ，所以1tan tan tan B C A=，由选项A 得tan tan B C +=222(1tan tan )tan tan()(tan tan )B C A B C B C -==-+-+，化简得22tan tan 2B C +=-显然不成立，所以选项D 错误.故选：AB11．（2022·浙江·高一期中）函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，则（）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D ．7π12x =是函数()f x 的一条对称轴【答案】AB【解析】因为π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，所以1A =，又函数()f x 的图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()10sin 2f ϕ==-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，则()π()sin 6f x x ω=-，πππsin 1336f ω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ2π,Z 362k k ω-=+∈，所以26,Z k k ω=+∈，由图可知ππ23T ω=>，所以03ω<<，所以2ω=，所以()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，因为πsin 0012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故C 错误；对于D ，7π7ππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是最值，所以7π12x =不是函数()f x 的一条对称轴，故D 错误.故选：AB.12．（2022·江苏·吴县中学高一期中）已知m 为整数，若函数()sin cos 1sin 22m f x x x x =++--在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则满足题意的m 可以是下列哪些数（） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】ABC【解析】因为3π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,设sin cos 22,04t x x x π⎛⎫⎡⎤=+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，21sin cos 2t x x -=，则()2112m t t =+--，即221922,2224m t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，亦即22,4m ⎡⎤∈-⎣⎦．故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·天津南开·高一期末）cos66cos84sin66sin84︒︒︒︒-的值是_____. 【答案】3【解析】()cos66cos84sin66sin8cos 6684co 104s 5︒︒︒︒=︒+︒=-︒()3cos 18030cos30=︒-︒=-︒= 14．（2022·上海师大附中高一期末）设α是第三象限的角，则2α的终边在第_________ 象限. 【答案】二或四【解析】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，所以3224k k παπππ+<<+，Z k ∈，当k 为偶数时，2α为第二象限角，当k 为奇数时，2α为第四象限角.15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是______．【答案】(]0,1 【解析】因为ππ23a a >-，所以0a >，所以0ππ32ππ22a a a ⎧⎪>⎪⎪-≥-⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得01a <≤，即(]0,1a ∈．16．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数()()()33sin 3f x x x θθ=--- [],0θπ∈-是奇函数，则θ=______；【答案】3π-【解析】()()()3133sin 32[)sin(3)]2f x x x x x θθθθ---=--- 2[coscos(3)sin sin(3)]2cos(3)666x x x πππθθθ=---=-+，它是奇函数，则,Z 62k k ππθπ-+=+∈，3k πθπ=--，Z k ∈，又[,0]θπ∈-，所以3πθ=-．四、解答题：本小题共6小题，共70分。

人教版八年级上册第11章《三角形》章末达标检测卷

人教版八年级上册第11章《三角形》章末达标检测卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列图形具有稳定性的是（）A．正方形B．长方形C．五边形D．直角三角形2．下列四组长度的小木棒中，按首尾顺次连结能组成一个三角形的是（）A．1，2，3B．4，5，6C．3，4，12D．4，8，43．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（）A．B．C．D．4．若△ABC的三个内角的比为3：5：2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形5．下列说法中错误的是（）A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段B．任意三角形的内角和都是180°C．三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形D．三角形的一个外角大于任何一个内角6．如图，已知△ABC，点D在BC的延长线上，∠ACD＝140°，∠ABC＝50°，则∠A的大小为（）A．50°B．140°C．120°D．90°7．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝7，BC＝4，△ABD和△BCD的周长的差是（）A．2B．3C．4D．不能确定8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠ACB ＝34°，则∠D的度数为（）A．30°B．28°C．26°D．34°9．游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（）A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B．每段直路要短C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D．每段直路要长10．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（）A．14或15B．13或14C．13或14或15D．14或15或16二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．在门框钉一根木条能固定住门框，不易变形，这里利用的数学原理是．12．三角形的三边长分别为3、8、x，则x的取值范围是．13．正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝．14．在正六边形ABCDEF中，对角线BD、AC交于点M，则∠CMD的度数为．15．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A＝25°，∠BDA'＝120°，则∠A'EC＝．16．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④，其中正确的结论有．三．解答题（共7小题，满分46分）17．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝3∠A，求∠B的度数．18．（5分）如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝50°，求∠BDC的度数．19．（6分）如图为一机器零件，∠A＝36°的时候是合格的，小明测得∠BDC＝98°，∠C ＝38°，∠B＝23°．请问该机器零件是否合格并说明你的理由．20．（6分）三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图1，点D为BC延长线上一点，则∠ACD为△ABC的一个外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B证明：过点C作CE∥AB（过直线外一点）∴∠B＝∠A＝∵∠ACD＝∠1+∠2∴∠ACD＝∠+∠B（等量代换）应用：如图2是一个五角星，请利用上述结论求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值为21．（7分）已知：如图，点D是直线AB上一动点，连接CD．（1）如图1，当点D在线段AB上时，若∠ABC＝105°，∠BCD＝30°，求∠ADC度数；（2）当点D在直线AB上时，请写出∠ADC、∠ABC、∠BCD的数量关系，并证明．22．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E．（1）若AD⊥BC于D，∠C＝40°，求∠DAE的度数；（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC．23．（9分）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．（1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．（2）若∠C＝70°，求∠BOE的度数．（3）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），则∠DAE＝．（用含α、β的式子表示）参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：具有稳定性的图形是三角形．故选：D．2．解：A、1+2＝3，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意；B、4+5＞6，满足三边关系定理，故正确，符合题意；C、3+4＜12．不满足三边关系定理，故错误，不符合题意；D、4+4＝8．不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意．故选：B．3．解：线段BE是△ABC的高的图是选项A．故选：A．4．解：∵△ABC的三个内角的比为3：5：2可设此三角形的三个内角分别为2x°，3x°，5x°，∴2x°+3x°+5x°＝180°，解得x＝18°，∴5x°＝5×18°＝90°．∴此三角形是直角三角形．故选：C．5．解：A、正确，符合线段的定义；B、正确，符合三角形内角和定理；C、正确；D、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，错误．故选：D．6．解：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∵∠ACD＝140°，∠ABC＝50°，∴∠A＝140°﹣50°＝90°故选：D．7．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC＝7﹣4＝3．故选：B．8．解：∵∠BAC＝90°，∠ACB＝34°，∴∠ABC＝180°﹣90°﹣34°＝56°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝28°，∵CD∥AB，∴∠D＝∠ABD＝28°，故选：B．9．解：∵从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，∴＝72°，∴每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走．故选：A．10．解：如图，n边形，A1A2A3…A n，若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的四边形为13或14或15，故选：C．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．解：利用的数学原理是三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．12．解：∵三角形的三边长分别为3，x，8，∴8﹣3＜x＜3+8，即5＜x＜11，故答案为：5＜x＜11．13．解：正六边形的一个内角为：，∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，∴正n边形一个外角为：120°÷4＝30°，∴n＝360°÷30°＝12．故答案为：12．14．解：根据题意得∠ABC＝，∵AB＝BC，∴∠ACB＝，∴∠CMD＝2∠ACB＝60°．故答案为：60°．15．解：如图，∵∠BDA'＝120°，∴∠ADA'＝60°，∵△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，∴∠ADE＝∠A′DE＝30°，∠AED＝∠A′ED，∵∠CED＝∠A+∠ADE＝25°+30°＝55°，∴∠AED＝125°，∴∠A′ED＝125°，∴∠A′EC＝∠A′ED﹣∠CED＝125°﹣55°＝70°．故答案为70°．16．解：①∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；②∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误；③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确；④∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DBC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠DCF＝90°﹣∠ABC＝∠DBC+∠BDC，∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，∴∠DBC＝45°﹣∠BDC，故④正确；故答案是：①③④．三．解答题（共7小题，满分46分）17．解：∵∠B＝3∠A，∴∠A＝∠B，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠B+∠B＝90°，解得∠B＝67.5°．18．解：∵∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝50°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣20°﹣25°﹣50°＝85°，在△BCD中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣85°＝95°．19．解：作直线AD，∴∠3＝∠B+∠1﹣﹣﹣（1）∴∠4＝∠C+∠2﹣﹣﹣（2）由（1）、（2）得：∠3+∠4＝∠B+∠C+∠1+∠2，即∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC，∵∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°∴∠BAC＝98°﹣38°﹣23°＝37°≠36°，∴该机器零件不合格．20．证明：过点C作CE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）∴∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等），∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），∵∠ACD＝∠1+∠2，∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）应用：对于△BDN，∠MNA＝∠B+∠D，对于△CEM，∠NMA＝∠C+∠E，对于△ANM，∠A+∠MNA+∠NMA＝180°，∴∠A+∠B+∠D+∠C+∠E＝180．故答案为：有且只有一条直线与已知直线平行；∠2（两直线平行，同位角相等）；∠1（两直线平行，内错角相等）；A；180°21．解：（1）如图1中，∵∠ADC＝∠ABC+∠BCD，∠ABC＝105°，∠BCD＝30°，∴∠ADC＝135°．（2）如图1中，当点D在线段AB上时，∠ADC＝∠ABC+∠BCD．如图2中，当点D在线段AB的延长线上时，∠ABC＝∠ADC+∠BCD．如图3中，当点D在线段BA的延长线上时，∠ADC+∠ABC+∠BCD＝180°．22．（1）解：∵∠C＝40°，∠B＝2∠C，∴∠B＝80°，∴∠BAC＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝30°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝50°，∴∠DAE＝50°﹣30°＝20°；（2）证明：∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AED+∠FEC＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠FEC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝（180°﹣3∠C）＝90°﹣∠C，∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°﹣∠C）＝90°﹣∠C﹣90°+∠C＝∠C，∴∠FEC＝C，∴∠C＝2∠FEC．23．解：（1）∠ABC＝60°，∠C＝70°∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°，∵AE是角平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝×50°＝25°，∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°；（2）∵AE，BF是角平分线，∴∠OAB＝∠BAC，∠OBA＝∠ABC，∴∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠C）＝×（180°﹣70°）＝55°；（3）∠ABC＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣α﹣β，∵AE是角平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝（180°﹣α﹣β），∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣β，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD═（180°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）＝（β﹣α）．故答案为（β﹣α）．。

人教版八年级数学第11章三角形章末复习 (含答案)

人教版八年级数学第11章三角形章末复习（含答案）一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，在△ABC中，AC边上的高是()图A．线段DA B．线段BAC．线段BC D．线段BD2. 人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是()A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两直线平行，内错角相等D．三角形具有稳定性3. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为()A．7 B．8 C．9 D．104. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为()A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°5. 如图，为估计池塘岸边A，B两地之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝10米，OB＝8米，那么A，B两地之间的距离可能是()A．2米B．15米C．18米D．28米6. 若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则它是()A．正九边形B．正十边形C．正十一边形D．正十二边形7. 将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能()A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形8. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为()A．7 B．7或8C．8或9 D．7或8或99. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有()A．1种B．2种C．3种D．4种10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为()A．70°B．108°C．110°D．125°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图所示是一幅电动伸缩门的图片，则电动门能伸缩的几何原理是__________________________．12. (2019•怀化)若等腰三角形的一个底角为72 ，则这个等腰三角形的顶角为___ _______．13. 有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到A 处行走的路程是.14. 如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝________°.15. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B＝________°.16. 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD 的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2019BC和∠A2019CD的平分线交于点A2020，则∠A2020＝________°.三、解答题（本大题共5道小题）17. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．18. 等面积法如图，BE，CF均是△ABC的中线，且BE＝CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE于点N.求证：AM＝AN.19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求∠CBE的度数；(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．20. 如图11－Z－11，点B在点A的南偏西45°方向，点C在点A的南偏东30°方向，点C在点B的北偏东60°方向，求∠C的度数．21. 已知：如图11－Z－12，在△ABC中，∠ABC＝∠C，D是AC边上一点，∠A ＝∠ADB，∠DBC＝30°.求∠BDC的度数．人教版八年级数学第11章三角形章末复习-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D2. 【答案】D3. 【答案】C[解析] 设第三边的长为x，由三角形三边关系可得，4－1＜x＜4＋1，即3＜x＜5.由于第三边长为整数，因此x＝4，所以该三角形的周长为9.4. 【答案】A【解析】由AE∥BD，可得∠DBC＝∠E＝35°，由BD平分∠ABC 可得∠ABC＝2∠DBC＝70°，由AB＝AC可得∠ABC＝∠C＝70°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°－70°－70°＝40°.5. 【答案】B[解析] 设A，B两地之间的距离为x米．依据题意，得10－8＜x ＜10＋8，即2＜x＜18，所以A，B两地之间的距离可能是15米．6. 【答案】A [解析] 由于正多边形的外角和为360°，且每一个外角都相等，因此边数＝360°40°＝9.7. 【答案】C[解析] 如图①，沿虚线剪开即可得到两个直角三角形．如图②，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．如图③，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．8. 【答案】D[解析] 设内角和为1080°的多边形的边数为n ，则(n －2)×180°＝1080°，解得n ＝8.则原多边形的边数为7或8或9.故选D.9. 【答案】C10. 【答案】C[解析] ∵在△ABC 中，∠ACB ＝70°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠BCP ＝∠1＋∠BCP ＝∠ACB ＝70°. ∴∠BPC ＝180°－∠2－∠BCP ＝180°－70°＝110°.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】四边形具有不稳定性12. 【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒，故答案为：36︒．13. 【答案】30米 [解析] 360°÷24°=15，利用多边形的外角和等于360°，可知机器人回到A 处时，恰好沿着正十五边形的边走了一圈，即可求得路程为15×2=30(米).14. 【答案】75【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.15. 【答案】114[解析] 因为AB ∥CD ，所以∠BAB′＝∠1＝44°.由折叠的性质知∠BAC ＝12∠BAB′＝22°.在△ABC 中，∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠2)＝114°.16. 【答案】(m22020)三、解答题（本大题共5道小题）17. 【答案】解：设这个多边形的边数是n.依题意，得(n －2)×180°＝3×360°－180°，解得n ＝7.∴这个多边形的边数是7.18. 【答案】证明：∵BE ，CF 均是△ABC 的中线， ∴S △ABE ＝S △ACF ＝12S △ABC .∵BE ＝CF ，AM ⊥CF 于点M ，AN ⊥BE 于点N ， ∴12AM·CF ＝12AN·BE. ∴AM ＝AN.19. 【答案】解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝90°－∠A ＝50°. ∴∠CBD ＝130°.∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE ＝12∠CBD ＝65°. (2)∵∠ACB ＝90°，∠CBE ＝65°， ∴∠CEB ＝90°－65°＝25°.∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°.20. 【答案】解：∵∠NBC＝60°，∠NBA＝∠BAS＝45°，∴∠ABC＝∠NBC－∠NBA＝60°－45°＝15°.又∵∠BAC＝∠BAS＋∠SAC＝45°＋30°＝75°，∴在△ABC中，∠C＝180°－(75°＋15°)＝90°.21. 【答案】解：设∠C＝x°，则∠ABC＝x°，∠ABD＝x°－30°.∵∠ADB是△DBC的外角，∴∠ADB＝30°＋x°，于是∠A＝30°＋x°.在△ABD中，2(30＋x)＋(x－30)＝180，解得x＝50.故∠BDC＝180°－(30°＋50°)＝100°.。

专题01 三角形章末重难点题型(解析版)

专题01 三角形章末重难点题型汇编【举一反三】【考点1 三角形的稳定性】【方法点拨】理解稳定性：“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.【例1】（2019春•永泰县期中）如图小方做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案（）A．B．C．D．【思路点拨】根据三角形的稳定性进行解答．【答案】解：根据三角形的稳定性可得C是最好的加固方案．故选：C．【方法总结】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．【变式1-1】（2019秋•西陵区校级期中）将几根木条用钉子钉成如图的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据三角形具有稳定性进行解答．【答案】解：根据三角形具有稳定性可得A、B、D都具有稳定性，C未曾构成三角形，因此不稳定，故选：C．【方法总结】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要识记的内容．【变式1-2】（2018秋•桐梓县校级期中）图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．【答案】解：如图：A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边．故选：A．【方法总结】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．【变式1-3】（2019秋•安陆市期中）我们都有这样的生活经验，要想使多边形（三角形除外）木架不变形至少再钉上若干根木条，如图所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上三根；…，按照此规律，十二边形至少再钉上（）A．11根B．10根C．9根D．8根【思路点拨】根据分成三角形个数与边数的关系，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数，由此得出答案即可．【答案】解：过n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，把多边形分成（n﹣2）个三角形，所以，要使一个十二边形木架不变形，至少需要12﹣3＝9根木条固定．故选：C．【方法总结】此题考查了图形的变化规律，考虑把多边形分成三角形是解题的关键．【考点2 判断三角形的高】【方法点拨】三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．【例2】（2019春•海州区期中）如图，△ABC中的边BC上的高是（）A．AF B．DB C．CF D．BE【思路点拨】根据三角形高的定义即可解答．【答案】解：△ABC中的边BC上的高是AF，故选：A．【方法总结】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高．【变式2-1】（2019春•大丰区期中）要求画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（）A．B．C．D．【思路点拨】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或者条边的延长线作垂线即可．【答案】解：过点C作AB边的垂线，正确的是C．故选：C．【方法总结】本题是一道作图题，考查了三角形的角平分线、高、中线，是基础知识要熟练掌握．【变式2-2】（2019春•苏州期中）如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【思路点拨】根据直角三角形的性质即可直接得出结论．【答案】解：∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；故选：B．【方法总结】本题考查的是三角形高的性质，熟知直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点是解答此题的关键．【变式2-3】（2018春•南岗区校级期中）如图，BD是△ABC的高，EF∥AC，EF交BD于G，下列说法正确的有（）①BG是△EBF的高；②CD是△BGC的高；③DG是△AGC的高；④AD是△ABG的高．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据三角形的高的定义以及平行线的性质，即可解答．【答案】解：∵BD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵EF∥AC，∴∠EGB＝∠ADB＝90°，∴BG是△EBF的高，①正确；∵∠CDB＝90°，∴CD是△BGC的高，②正确；∵∠ADG＝∠CDG＝90°，∴DG是△AGC的高，③正确；∵∠ADB＝90°，∴AD是△ABG的高，④正确．故选：D．【方法总结】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，理解定义是关键．也考查了平行线的性质．【考点3 三角形边角关系的应用】【方法点拨】掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键.【例3】（2019春•福州期末）用一根长为10cm的绳子围成一个三角形，若所围成的三角形中一边的长为2cm，且另外两边长的值均为整数，则这样的围法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【思路点拨】根据三角形的两边之和大于第三边，根据周长是10厘米，可知最长的边要小于5厘米，进而得出三条边的情况．【答案】解：∵三角形中一边的长为2cm，且另外两边长的值均为整数，∴三条边分别是2cm、4cm、4cm．故选：A．【方法总结】本题主要考查了学生根据三角形三条边之间的关系解决问题的能力．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【变式3-1】（2019秋•银海区期末）a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【思路点拨】首先根据：三角形两边之和大于第三边，去掉绝对值号，然后根据整式的加减法的运算方法，求出结果是多少即可．【答案】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝（a+b+c）﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c）＝a+b+c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c＝0故选：A．【方法总结】此题主要考查了三角形的三边的关系，以及整式加减法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形两边之和大于第三边．【变式3-2】（2019春•秦淮区期末）已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长L的取值范围是（）A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b）C．a+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b【思路点拨】先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再确定这个三角形的周长l的取值范围即可．【答案】解：设第三边长x．根据三角形的三边关系，得a﹣b＜x＜a+b．∴这个三角形的周长L的取值范围是a﹣b+a+b＜L＜a+b+a+b，即2a＜L＜2a+2b．故选：B．【方法总结】考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式3-3】（2019•孝感模拟）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【思路点拨】两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．【答案】解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7；①选3+4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为7；②选5+4、7、3作为三角形，则三边长为9、7、3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9；③选5+7、3、4作为三角形，则三边长为12、4、3；4+3＜12，不能构成三角形，此种情况不成立；④选7+3、5、4作为三角形，则三边长为10、5、4；而5+4＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为9．故选：D．【方法总结】本题考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．【考点4 多边形的相关概念】【方法点拨】了解凸多边形的定义，掌握多边形对角线与所分成三角形个数之间的关系：从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个三角形.【例4】（2019春•道里区期末）下列选项中的图形，不是凸多边形的是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形．【答案】解：图形不是凸多边形的是A．故选：A．【方法总结】本题主要考查了凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键．【变式4-1】（2019秋•德州校级月考）要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线．A．1B．2C．3D．4【思路点拨】根据三角形具有稳定性，过一个顶点作出所有对角线即可得解．【答案】解：如图需至少添加2条对角线．故选：B．【方法总结】本题考查了三角形具有稳定性的应用，作出图形更形象直观．【变式4-2】（2018秋•南城县期末）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．A．6B．5C．8D．7【思路点拨】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个四边形分割成（n﹣2）个三角形．【答案】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2＝5个三角形．故选：B．【方法总结】本题考查的知识点为：从n边形的一个顶点出发，可把n边形分成（n﹣2）个三角形．【变式4-3】（2018秋•绵阳期中）一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（）A．8或9B．7或8C．7或8或9D．8或9或10【思路点拨】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．【答案】解：∵截去一个角后边数可以增加1，不变，减少1，∴原多边形的边数是7或8或9．故选：C．【方法总结】本题考查了多边形，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．【考点5 多边形内角和与外角和的应用】【方法点拨】（1）掌握多边形内角和计算公式：(n-2) ×180 °(n ≥3的整数），多边形的外角和等于360°特别注意：与边数无关.【例5】（2019春•吴江区期中）一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1：3，则这个多边形为（）A．三角形B．四边形C．六边形D．八边形【思路点拨】此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．【答案】解：设这个多边形的边数为n，依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°，解得n＝8，∴这个多边形为八边形，故选：D．【方法总结】此题考查多边形的内角与外角的关系、方程的思想．关键是记住多边形一个内角与外角互补和外角和的特征．【变式5-1】（2018秋•桐梓县校级期中）如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（）米．A．100B．120C．140D．60【思路点拨】根据多边形的外角和为360°，由题意得到小明运动的轨迹为正10边形的周长，求出即可．【答案】解：由题意得：360°÷36°＝10，则他第一次回到出发地A点时，一共走了12×10＝120（米）．故选：B．【方法总结】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和定理是解本题的关键．【变式5-2】（2019春•江都区期中）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）A．180°B．90°C．210°D．270°【思路点拨】根据两直线平行，同旁内角互补得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．【答案】解：延长AB，DC，∵AB∥CD，∴∠4+∠5＝180°，根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．故选：A．【方法总结】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．【变式5-3】（2019春•江阴市期中）如图，在六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠E+∠F＝α，CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，则∠P的度数是（）A．α﹣180°B．180°﹣αC．αD．360°﹣α【思路点拨】由多边形内角和定理求出∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD＝720°①，由角平分线定义得出∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，根据三角形内角和定理得出∠P+∠PCD+∠PDE＝180°，得出2∠P+∠BCD+∠CDE＝360°②，由和②即可求出结果．【答案】解：在六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD＝（6﹣2）×180°＝720°①，∵CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，∴∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，∵∠P+∠PCD+∠PDE＝180°，∴2（∠P+∠PCD+∠PDE）＝360°，即2∠P+∠BCD+∠CDE＝360°②，①﹣②得：∠A+∠B+∠E+∠F﹣2∠P＝360°，即α﹣2∠P＝360°，∴∠P＝α﹣180°；故选：A．【方法总结】本题考查了多边形内角和定理、角平分线定义以及三角形内角和定理；熟记多边形内角和定理和三角形内角和定理是解题关键．【考点6 三角形内角和定理的应用】【方法点拨】三角形内角和等于180°.【例6】（2019春•石景山区期末）如图，BD平分∠ABC．∠ABD＝∠ADB．（1）求证：AD∥BC；（2）若BD⊥CD，∠BAD＝α，求∠DCB的度数（用含α的代数式表示）．【思路点拨】（1）想办法证明∠ADB＝∠DBC即可．（2）利用平行线的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD∵∠ABD＝∠ADB，∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC．（2）解：∵AD∥BC，且∠BAD＝α，∴∠ABC＝180°﹣α，∴∠DBC＝∠ABC＝90°﹣α，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°∴∠C＝90°﹣（90°﹣α）＝α．【方法总结】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式6-1】（2018秋•包河区期末）如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度数；（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，试用含α、β的式子表示∠EAD，则∠EAD＝．（直接写出结论即可）【思路点拨】（1）根据垂直的定义得到∠D＝90°，根据邻补角的定义得到∠ACD＝180°﹣100°＝80°，根据三角形的内角和得到∠BAC＝50°，根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAC＝25°，于是得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，得到∠ACD＝180°﹣β，求得∠BAC＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β，根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAC＝90°﹣（α+β），根据角的和差即可得到结论．【答案】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠D＝90°，∵∠ACB＝100°，∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，∴∠CAD＝90°﹣80°＝10°，∵∠B＝30°，∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝25°，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝35°；（2）∵AD⊥BC，∴∠D＝90°，∵∠ACB＝β，∴∠ACD＝180°﹣β，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝β﹣90°，∵∠B＝α，∴∠BAD＝90°﹣α，∴∠BAC＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝90°﹣（α+β），∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝90°﹣（α+β）+β﹣90°＝β﹣α．故答案为：β﹣α．【方法总结】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．【变式6-2】（2019春•福州期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D．作∠BDE＝∠ABD 交AB于点E．（1）求证：ED∥BC；（2）点M为射线AC上一点（不与点A重合）连接BM，∠ABM的平分线交射线ED于点N．若∠MBC ＝∠NBC，∠BED＝105°，求∠ENB的度数．【思路点拨】（1）利用角平分线的定义，进行等量代换，得出内错角相等，从而两直线平行；（2）分两种情况分别进行解答，根据每一种情况画出相应的图形，依据图形中，角之间的相互关系，转化到一个三角形中，利用三角形的内角和定理，设未知数，列方程求解即可．【答案】解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，又∵∠BDE＝∠ABD，∴∠BDE＝∠DBC，∴ED∥BC；（2）∵BN平分∠ABM，∴∠ABN＝∠NBM，①当点M在线段AC上时，如图1所示：∵DE∥BC，∴∠ENB＝∠NBC，∵∠MBC＝∠NBC，∴∠NBM＝∠MBC＝∠NBC，设∠MBC＝x°，则∠EBN＝∠NBM＝x°，∠ENB＝∠NBC＝2x°，在△ENB中，由内角和定理得：x+2x+105°＝180°，解得：x＝25，∴∠ENB＝2x＝50°，②当点M在AC的延长线上时，如图2所示：∵DE∥BC，∴∠ENB＝∠NBC，∵∠MBC＝∠NBC，∴∠NBM＝3∠MBC，设∠MBC＝x°，则∠EBN＝∠NBM＝3x°，∠ENB＝∠NBC＝2x°，在△EMB中，由内角和定理得：3x+2x+105°＝180°，解得：x＝15，∴∠ENB＝2x＝30°，答：∠ENB的度数为50°或30°．【方法总结】综合考查角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，分类讨论，分别画出相应的图形，利用等量代换和图形中角之间的关系布列方程是解决问题常用的方法．【变式6-3】（2018秋•丰城市期末）已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．（1）∠DBC+∠DCB＝度；（2）过点A作直线直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小．【思路点拨】（1）在△DBC中，根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，然后把∠D＝90°代入计算即可；（2）在Rt△ABC中，根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即，∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°，整体代入即可得出结论．【答案】解：（1）在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，而∠D＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°；故答案为90；（2）在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC＝180°，而∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠BAC，∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°．又∵MN∥DE，∴∠ABD＝∠BAN．而∠BAN+∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠ABD+∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠CAM＝180°﹣（∠ABD+∠BAC）＝110°．【方法总结】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解本题的关键是求出∠ABD+∠BAC＝70°．【考点7 三角形外角性质的应用】【方法点拨】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.【例7】（2019春•宝应县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC的外角∠CBD 的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．【思路点拨】（1）根据三角形的外角的性质求出∠CBD，根据角平分线的定义计算，得到答案；（2）根据平行线的性质解答即可．【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝34°，∴∠CBD＝124°，∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝62°；（2）∵∠ECB＝90°，∠CBE＝62°，∴∠CEB＝28°，∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝28°．【方法总结】本题考查的是三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【变式7-17】（2018春•岱岳区期中）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB，CD⊥AB 于D，DF⊥CE于F，求∠ACE和∠CDF的度数．【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义求出∠ACE；根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠CDF．【答案】解：∵∠A＝30°，∠B＝62°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣62°＝88°；∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝44°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝28°，∴∠ECD＝∠ECB﹣∠BCD＝16°，∵DF⊥CE，∴∠CDF＝90°﹣∠DCF＝74°．【方法总结】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的外角的性质以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．【变式7-2】（2018春•商水县期末）如图，∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠FDE＝64°，∠DEF＝43°，求△ABC各内角的度数．【思路点拨】根据三角形外角性质得到∠FDE＝∠BAD+∠ABD，而∠BAD＝∠CBE，则∠FDE＝∠BAD+∠CBE＝∠ABC＝64°；同理可得∠DEF＝∠ACB＝43°，然后根据三角形内角定理计算∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB即可．∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠FDE＝48°，∠DEF＝64°，【答案】解：∵∠FDE＝∠BAD+∠ABD，∠BAD＝∠CBE∴∠FDE＝∠BAD+∠CBE＝∠ABC，∴∠ABC＝64°；同理∠DEF＝∠FCB+∠CBE＝∠FCB+∠ACF＝∠ACB，∴∠ACB＝43°；∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣64°﹣43°＝73°，∴△ABC各内角的度数分别为64°、43°、73°．【方法总结】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形外角的性质，熟记：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．【变式7-3】（2019春•南开区校级月考）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．【思路点拨】根据直角三角形的性质求出∠BAD的度数，得到∠BAC的度数，根据邻补角的性质求出∠CAM的度数，根据角平分线的定义求出∠MAE的度数，根据三角形的外角的性质计算即可．【答案】解：∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝44°，又∠DAC＝10°，∴∠BAC＝54°，∴∠MAC＝126°，∵AE是∠BAC外角的平分线，∴∠MAE＝∠MAC＝63°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝23°，∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．【方法总结】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【考点8 利用互余关系倒角】【方法点拨】直角三角形两锐角互余，通常利用这一结论进行倒角.【例8】（2019春•莲湖区期中）如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．【思路点拨】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CF A＝90°﹣∠CAF，∠AED＝90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF＝∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF＝∠CFE．【答案】证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CF A＝90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．【方法总结】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．【变式8-1】（2011春•越城区校级期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CBE的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC的度数，然后利用直角三角形的两锐角互余列式计算即可得解．【答案】解：∵AD是BC边上的高线，∠EPD＝125°，∴∠CBE＝∠EPD﹣∠ADB＝125°﹣90°＝35°，∵BE是一条角平分线，∴∠ABD＝2∠CBE＝2×35°＝70°，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20°．【方法总结】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，准确识图，根据图形找出图中各角之间的关系是解题的关键．【变式8-2】在△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC边上的一点，过C作CF⊥AE，垂足为F，过点B作BD ⊥BC，交CF的延长线于点D，若∠D＝65°，求∠EAC的度数．【思路点拨】根据直角三角形的两个锐角互余进行解答即可．【答案】解：在RT△DBC中，∠D＝65°，可得：∠DCB＝25°，在RT△ACE中，∠DCB＝25°，可得：∠ACF＝65°，在RT△ACF中，∠ACF＝65°，可得：∠EAC＝25°．【方法总结】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的两个锐角互余进行解答．【变式8-3】（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？【思路点拨】（1）根据直角三角形的性质得出∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，再解答即可；（2）根据直角三角形的性质得出∠ADE+∠A＝∠A+∠B＝90°，再解答即可；（3）根据直角三角形的性质得出∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，再解答即可．【答案】解：（1）∠ACD＝∠B，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）△ADE是直角三角形．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，∠A为公共角，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴△ADE是直角三角新；（3）∠A+∠D＝90°．∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，∴∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，∴∠A+∠D＝90°．【方法总结】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出两锐角互余．。

专题12.12 全等三角形章末测试卷(拔尖卷)(举一反三)(人教版)(解析版)

第12章全等三角形章末测试卷（拔尖卷）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2021春•榆阳区期末）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解题思路】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．【解答过程】解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD （HL）；②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；③当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；故选：D．2．（3分）（2021春•城固县期末）如图，已知△OAB≌△OCD，若OA＝4，∠AOB＝35°，∠OCA＝62°，则下列结论不一定正确的是（）A．∠BDO＝62°B．∠BOC＝21°C．OC＝4D．CD∥OA【解题思路】根据全等三角形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，∠COD＝∠AOB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，判断即可．【解答过程】解：A、∵△OAB≌△OCD，∴OA＝OC，OB＝OD，∠COD＝∠AOB，∴∠OAC＝∠OCA＝62°，∠OBD＝∠ODB，∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝56°，∴∠BOD＝∠AOC＝56°，∴∠BDO=12×（180°﹣56°）＝62°，故本选项说法正确，不符合题意；B、∵∠AOC＝56°，∠AOB＝35°，∴∠BOC＝56°﹣35°＝21°，故本选项说法正确，不符合题意；C、∵△OAB≌△OCD，OA＝4，∴OC＝OA＝4，故本选项说法正确，不符合题意；D、∵∠AOC＝56°，∠OCD不一定是56°，∴CD与OA不一定平行，故本选项说法错误，符合题意；故选：D．3．（3分）（2021春•莱阳市期末）如图，若AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠B的度数是（）A．28°B．38°C．45°D．48°【解题思路】根据全等三角形的性质得到AC＝AE，∠DAE＝∠BAC＝28°，∠B＝∠D，根据三角形的外角性质求出∠D，得到答案．【解答过程】解：∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，∴AC＝AE，∠DAE＝∠BAC＝28°，∠B＝∠D，∴∠AEC＝∠ACE=12×（180°﹣28°）＝76°，∵∠AEC是△ADE的一个外角，∴∠D＝∠AEC﹣∠DAE＝76°﹣28°＝48°，∴∠B＝∠D＝48°，故选：D．4．（3分）（2021春•宝安区期末）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定△ABC≌△DEF 的理由可以是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA【解题思路】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答过程】解：士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；得∠A＝∠D，∵AC＝DF，∴∠ACB＝∠DFE＝90°，∴判定△ABC≌△DFE的理由是ASA．故选：C．5．（3分）（2021春•盐湖区校级期末）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，则与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【解题思路】根据全等三角形的判定分别求出以AB为公共边的三角形，以CB为公共边的三角形，以AC为公共边的三角形的个数，相加即可．【解答过程】解：如图所示，以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等．以AB为公共边可画出△ABG，△ABM，△ABH三个三角形和原三角形全等．以AC为公共边不可以画出一个三角形和原三角形全等，所以可画出6个．故选：B．6．（3分）（2020秋•罗湖区校级期末）如图，已知AB+AC＝18，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝3，则四边形ABOC的面积是（）A．27B．36C．18D．20【解题思路】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD＝3，利用三角形面积公式，四边形ABOC的面积＝S△ABO+S△ACO=12×3×（AB+AC）．【解答过程】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，∴OE＝OF＝OD＝3，∴四边形ABOC的面积＝S△ABO+S△ACO=12•AB•OE+12•AC•OF=12×3×（AB+AC）=12×3×18＝27．故选：A ．7．（3分）（2021春•浦东新区月考）在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，AD 是BC 边上的中线，则AD 的取值范围是（）A ．0＜AD ＜12B ．1＜AD ＜6C ．0＜AD ＜6 D ．2＜AD ＜12【解题思路】作出图形，延长中线AD 到E ，使DE ＝AD ，利用“边角边”证明△ACD 和△EBD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AC ＝BE ，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE 的范围，再除以2即可得解．【解答过程】解：如图，延长中线AD 到E ，使DE ＝AD ，∵AD 是三角形的中线，∴BD ＝CD ，在△ACD 和△EBD 中，{CD =BD ∠ADC =∠BDE AD =DE ，∴△ACD ≌△EBD （SAS ），∴AC ＝BE ，∵AB ＝5，BE ＝AC ＝7，∴7﹣5＜AE ＜7+5，即7﹣5＜2AD ＜7+5，∴1＜AD ＜6．故选：B ．8．（3分）（2021春•宁波期末）如图，正方形ABCD 被分割成2个长方形和1个正方形，要求图中阴影部分的面积，只要知道下列图形的面积是（）A ．长方形AEFDB ．长方形BEGHC ．正方形CFGHD ．长方形BCFE 【解题思路】根据矩形的性质得到S △GDF ＝S △BGE ，所以S 阴影=12S 矩形BCFE ．【解答过程】解：如图所示：在△GDF 与△BGE 中，{GF =BE ∠GFD =∠GEB =90°DF =GE，∴△GDF ≌△BGE （SAS ）．∴S △GDF ＝S △BEG ，则S 阴影＝S △EFB =12S 矩形BCFE ．所以只要知道长方形BCFE 的面积即可求得答案．故选：D ．9．（3分）（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，锐角△ABC 中，F 、G 分别是AB 、AC 边上的点，△ACF ≌△ADF ，△ABG ≌△AEG ，且DF ∥BC ∥GE ，BG 、CF 交于点H ，若∠BAC ＝40°，则∠BHC 的大小是（）A．95°B．100°C．105°D．110°【解题思路】延长EG交AB于Q，交AD于P，利用全等三角形的性质得到∠DAF＝∠BAC＝40°，∠EAG＝∠BAC＝40°，∠D＝∠ACF，∠E＝∠ABG，根据平行线的性质，三角形的外角的性质计算即可．【解答过程】解：延长EG交AB于Q，交AD于P，∵△ACF≌△ADF，△ABG≌△AEG，∠BAC＝40°，∴∠DAF＝∠BAC＝40°，∠EAG＝∠BAC＝40°，∠D＝∠ACF，∠E＝∠ABG，∴∠P AE＝120°，∴∠APE+∠E＝60°，∵DF∥EP，∴∠APE＝∠D，∴∠APE＝∠ACF，∴∠ABG+∠ACF＝60°，∵∠BFH＝∠BAC+∠ACF，∴∠BHC＝∠ABG+∠BFH＝∠ABG+∠BAC+∠ACF＝60°+40°＝100°，故选：B．10．（3分）（2021春•渝中区校级期末）如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，且AC＝AB，∠ACD ＝∠ABD，AE⊥BD于点E，若BD＝6.4，CD＝5.2．则DE的长度为（）A ．1.2B ．0.6C ．0.8D ．1【解题思路】过点A 作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ，根据AAS 证明△AFC ≌△AEB ，得到AF ＝AE ，CF ＝BE ，再根据HL 证明Rt △AFD ≌Rt △AED ，得到DF ＝DE ，最后根据线段的和差即可求解．【解答过程】解：过点A 作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ，∴∠AFC ＝90°，∵AE ⊥BD ，∴∠AFC ＝∠AED ＝∠AEB ＝90°，在△AFC 和△AEB 中，{∠AFC =∠AEB ∠ACF =∠ABE AC =AB ，∴△AFC ≌△AEB （AAS ），∴AF ＝AE ，CF ＝BE ，在Rt △AFD 和Rt △AED 中，{AF =AE AD =AD ，∴Rt △AFD ≌Rt △AED （HL ），∴DF ＝DE ，∵CF ＝CD +DF ，BE ＝BD ﹣DE ，CF ＝BE ，∴CD +DF ＝BD ﹣DE ，∴2DE ＝BD ﹣CD ，∵BD ＝6.4，CD ＝5.2，∴2DE ＝1.2，∴DE＝0.6，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2021春•宁德期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于7．【解题思路】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度．【解答过程】解：分割方案如图所示：由图可得，最长分割线的长度等于7．故答案为：7．12．（3分）（2021春•长安区期末）如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥OB于点C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有4对．【解题思路】先根据角平分线的性质得到ED＝EC，则可利用“HL”判断Rt△OED≌Rt△OEC，则OD ＝OC；再利用“ASA”判断△AED≌△BEC，则AD＝BC，然后根据“SAS”判断△OAE≌△OBE，△OAC ≌△OBD．【解答过程】解：∵OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥OB，∴ED＝EC，在Rt△OED和△OEC中，{OE=OEED=EC，∴Rt △OED ≌Rt △OEC （HL ）；∴OD ＝OC ，在△AED 和△BEC 中，{∠EDA =∠ECB ED =EC ∠AED =∠BEC ，∴△AED ≌△BEC （ASA ）；∴AD ＝BC ，∴OD +AD ＝OC +BC ，即OA ＝OB ，在△OAE 和△OBE 中，{OA =OB ∠AOB =∠BOC OE =OE ，∴△OAE ≌△OBE （SAS ），在△OAC 和△OBD 中，{OA =OB ∠AOC =∠BOD OC =OD ，∴△OAC ≌△OBD （SAS ）．故答案为4．13．（3分）（2021春•莱州市期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 180° ．【解题思路】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．【解答过程】解：如图所示：由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，∵三个三角形全等，∴∠4+∠9+∠6＝180°，又∵∠5+∠7+∠8＝180°，∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．故答案为：180°．14．（3分）（2021春•锦江区校级期中）如图，已知△ABC，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为30°．【解题思路】过E点作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如图，利用角平分线的性质得到EF＝EP，∠ABE=12∠ABC=12×40°＝40°，EH＝EP，则EF＝EH，再根据角平分线的性质定理的逆定理可判断AE平分∠F AC，则可计算出∠F AE＝50°，然后根据三角形外角性质可计算出∠AEB的度数．【解答过程】解：过E点作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如图，∵BE平分∠ABC，∴EF＝EP，∠ABE=12∠ABC=12×40°＝40°，∵CE平分外角∠ACD，∴EH＝EP，∴EF＝EH，∴AE平分∠F AC，∵∠BAC ＝80°，∴∠F AC ＝180°﹣80°＝100°，∴∠F AE =12∠F AC ＝50°，∵∠F AC ＝∠ABE +∠AEB ，∴∠AEB ＝50°﹣20°＝30°．故答案为30°．15．（3分）（2021春•渠县期末）如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°，AC ＝6，AD ＝8，AB ∥CD ，E 是CD 上一点，BE 交AD 于点F ，当AB +CE ＝CD 时，则图中阴影部分的面积为 24 ．【解题思路】证明△BAF ≌△EDF （AAS ），则S △BAF ＝S △EDF ，利用割补法可得阴影部分面积．【解答过程】解：∵AB ∥CD ，∴∠BAD ＝∠D ， ∵AB +CE ＝CD ，CE +DE ＝CD ，∴AB ＝DE ，在△BAF 和△EDF 中，{∠BFA =∠EFD ∠BAD =∠D AB =DE，∴△BAF ≌△EDF （AAS ），∴S △BAF ＝S △EDF ，∵AC ＝6，AD ＝8，∴图中阴影部分面积＝S 四边形ACEF +S △BAF＝S △ACD=12•AC •AD=12×6×8 ＝24，故答案为：24．16．（3分）（2021春•高新区期末）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．点P 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点运动，终点为B 点；点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点运动，终点为A 点．点P 和Q 分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE ⊥l 于E 、作QF ⊥l 于F ，当点P 运动 1或72或12 秒时，以P 、E 、C 为顶点的三角形和以Q 、F 、C 为顶点的三角形全等．【解题思路】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出CP ＝CQ ，代入得出关于t 的方程，解方程即可．【解答过程】解：分为五种情况：①如图1，P 在AC 上，Q 在BC 上，则PC ＝6﹣t ，QC ＝8﹣3t ， ∵PE ⊥l ，QF ⊥l ，∴∠PEC ＝∠QFC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠EPC +∠PCE ＝90°，∠PCE +∠QCF ＝90°，∴∠EPC ＝∠QCF ，∵△PCE ≌△CQF ，∴PC ＝CQ ，即6﹣t ＝8﹣3t ，t ＝1；②如图2，P 在BC 上，Q 在AC 上，则PC ＝t ﹣6，QC ＝3t ﹣8，∵由①知：PC ＝CQ ，∴t ﹣6＝3t ﹣8，t ＝1；t ﹣6＜0，即此种情况不符合题意；③当P 、Q 都在AC 上时，如图3，CP ＝6﹣t ＝3t ﹣8，t =72；④当Q 到A 点停止，P 在BC 上时，AC ＝PC ，t ﹣6＝6时，解得t ＝12．⑤P 和Q 都在BC 上的情况不存在，因为P 的速度是每秒1cm ，Q 的速度是每秒3cm ；答：点P 运动1或72或12秒时，以P 、E 、C 为顶点的三角形上以O 、F 、C 为顶点的三角形全等．故答案为：1或72或12．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2020秋•连江县期中）如图，△ABC ≌△ADE ，分别延长BC ，ED 交于点F ，∠BAC ＝50°，∠CAD ＝60°，求∠F 的度数．【解题思路】根据全等三角形的性质和四边形的内角和定理即可得到结论．【解答过程】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠EAD＝∠BAC＝50°，∠ACB＝∠E，∴∠B+∠E＝∠B+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝130°，∵∠CAD＝60°，∴∠BAE＝160°，∴∠F＝360°﹣∠B﹣∠E﹣∠BAE＝70°．18．（6分）（2020秋•魏县期中）如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE．（1）求证：BD＝DE+CE；（2）请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE．【解题思路】（1）利用全等三角形的性质可得AD＝CE，BD＝AE，然后再等量代换即可；（2）利用平行线的性质和全等三角形的性质进行推理即可．【解答过程】（1）证明：∵△BAD≌△ACE，∴AD＝CE，BD＝AE，∵A，D，E三点在同一直线上，∴AE＝AD+DE，∴BD＝CE+DE；（2）解：假如BD∥CE，则∠BDE＝∠E，∵△BAD≌△ACE，∴∠ADB ＝∠E ，∴∠ADB ＝∠BDE ，又∵∠ADB +∠BDE ＝180°，∴∠ADB ＝∠BDE ＝90°，∴当∠ADB ＝∠E ＝90°时，BD ∥CE ．19．（6分）（2021春•铁西区期末）如图，在△ABC 中，点M ，N 分别是AB 和AC 上的点，MN ∥BC ，且BC ＝4MN ，点E 是CN 的中点，连接ME 并延长交BC 的延长线于点D ．若CD ＝4，求BC 的长．【解题思路】先根据平行线的性质得到∠NME ＝∠D ，则利用点E 是CN 的中点得到EN ＝EC ，于是可根据“AAS ”判断△EMN ≌△EDC ，所以MN ＝CD ＝4，从而可计算BC 的长．【解答过程】解：∵MN ∥BC ，∴∠NME ＝∠D ，∵点E 是CN 的中点，∴EN ＝EC ，在△EMN 和△EDC 中，{∠NME =∠D ∠MEN =∠DEC EN =EC ，∴△EMN ≌△EDC （AAS ），∴MN ＝CD ＝4，∵BC ＝4MN ＝4×4＝16．20．（8分）（2020秋•常熟市期中）如图，△ABC 中，点D 在BC 边上，∠BAD ＝100°，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，且∠AEF ＝50°，连接DE ．（1）求∠CAD 的度数；（2）求证：DE 平分∠ADC ；（3）若AB ＝7，AD ＝4，CD ＝8，且S △ACD ＝15，求△ABE 的面积．【解题思路】（1）根据直角三角形的性质求出∠F AE ，根据补角的定义计算，得到答案；（2）过点E 作EG ⊥AD 于G ，EH ⊥BC 于H ，根据角平分线的性质得到EF ＝EG ，EF ＝EH ，等量代换得到EG ＝EH ，根据角平分线的判定定理证明结论；（3）根据三角形的面积公式求出EG ，再根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答过程】（1）解：∵EF ⊥AB ，∠AEF ＝50°，∴∠F AE ＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD ＝100°，∴∠CAD ＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）证明：过点E 作EG ⊥AD 于G ，EH ⊥BC 于H ，∵∠F AE ＝∠DAE ＝40°，EF ⊥BF ，EG ⊥AD ，∴EF ＝EG ，∵BE 平分∠ABC ，EF ⊥BF ，EH ⊥BC ，∴EF ＝EH ，∴EG ＝EH ，∵EG ⊥AD ，EH ⊥BC ，∴DE 平分∠ADC ；（3）解：∵S △ACD ＝15， ∴12×AD ×EG +12×CD ×EH ＝15，即12×4×EG +12×8×EG ＝15，解得，EG ＝EH =52，∴EF ＝EH =52，∴△ABE 的面积=12×AB ×EF =12×7×52=354．21．（8分）（2020秋•东海县期末）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A 处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m 高的B 处接住他后用力一推，爸爸在C 处接住他，若妈妈与爸爸到OA 的水平距离BD 、CE 分别为1.6m 和2m ，∠BOC ＝90°．（1）△OBD 与△COE 全等吗？请说明理由；（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？【解题思路】（1）由直角三角形的性质得出∠COE ＝∠OBD ，根据AAS 可证明△COE ≌△OBD ；（2）由全等三角形的性质得出CE ＝OD ，OE ＝BD ，求出DE 的长则可得出答案．【解答过程】解：（1）△OBD 与△COE 全等．理由如下：由题意可知∠CEO ＝∠BDO ＝90°，OB ＝OC ，∵∠BOC ＝90°，∴∠COE +∠BOD ＝∠BOD +∠OBD ＝90°．∴∠COE ＝∠OBD ，在△COE 和△OBD 中，{∠COE =∠OBD ∠CEO =∠ODB OC =OB ，∴△COE ≌△OBD （AAS ）；（2）∵△COE ≌△OBD ，∴CE ＝OD ，OE ＝BD ，∵BD 、CE 分别为1.6m 和2m ，∴DE ＝OD ﹣OE ＝CE ﹣BD ＝2﹣1.6＝0.4（m ），∵AD ＝1.2m ，∴AE ＝AD +DE ＝1.6（m ），答：爸爸是在距离地面1.6m 的地方接住小明的．22．（8分）（2021春•碑林区校级月考）如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN 于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s 的速度沿射线AM上运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．（1）试求∠ACB的度数；（2）若S△ABD：S△BEC＝2：3，试求动点D，E的运动时间t的值；（3）试问当动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．【解题思路】（1）易求∠BAC＝45°，根据BC⊥BA可得∠ABC＝90°，即可解题；（2）作BF⊥AM，BG⊥AC，则BF＝BG，根据S△ABD：S△BEC的值可得AD：CE的值，分别用t表示AD，CE即可求得t的值，即可解题；（3）易得AD＝CE时，△ADB≌△BEC，分别用t表示AD，CE即可求得t的值，即可解题．【解答过程】解：（1）∵AM⊥AN，AB平分∠MAN，∴∠BAC＝45°，∵BC⊥BA，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°；（2）作BF⊥AM，BG⊥AC，则BF＝BG，∵S△ABD：S△BEC＝2：3，∴AD：CE＝2：3，∵AD＝t，CE＝6﹣2t，∴3t＝2（6﹣2t），解得：t=127s；当E点在C点右侧时，CE＝2t﹣6，∴3t＝2（2t﹣6），解得t＝12．（3）∵AB＝BC，∠BAM＝∠BCA＝45°，∴当AD＝CE时，△ADB≌△BEC（SAS），即6﹣2t＝t，或2t﹣6＝t，解得：t＝2或6（舍弃），答：t＝2，△ADB≌△BEC．23．（10分）（2021春•简阳市期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D 为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【解题思路】（1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（2）延长CB 到E ，使BE ＝AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE ＝∠MDA ，DM ＝DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN ＝NE 即可；（3）在CB 截取BE ＝AM ，连接DE ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE ＝∠MDA ，DM ＝DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN ＝NE 即可．【解答过程】（1）AM +BN ＝MN ，证明：延长CB 到E ，使BE ＝AM ，∵∠A ＝∠CBD ＝90°，∴∠A ＝∠EBD ＝90°，在△DAM 和△DBE 中{AM =BE ∠A =∠DBE AD =BD ，∴△DAM ≌△DBE ，∴∠BDE ＝∠MDA ，DM ＝DE ，∵∠MDN ＝∠ADC ＝60°，∴∠ADM ＝∠NDC ，∴∠BDE ＝∠NDC ，∴∠MDN ＝∠NDE ，在△MDN 和△EDN 中{DM =DE ∠MDN =∠NDE DN =DN ，∴△MDN ≌△EDN ，∴MN ＝NE ，∵NE ＝BE +BN ＝AM +BN ，∴AM +BN ＝MN ．（2）AM +BN ＝MN ，证明：延长CB 到E ，使BE ＝AM ，连接DE ， ∵∠A ＝∠CBD ＝90°，∴∠A ＝∠DBE ＝90°，∵∠CDA +∠ACD ＝90°，∠MDN +∠ACD ＝90°， ∴∠MDN ＝∠CDA ，∵∠MDN ＝∠BDC ，∴∠MDA ＝∠CDN ，∠CDM ＝∠NDB ，在△DAM 和△DBE 中{AM =BE ∠A =∠DBE AD =BD ，∴△DAM ≌△DBE ，∴∠BDE ＝∠MDA ＝∠CDN ，DM ＝DE ，∵∠MDN +∠ACD ＝90°，∠ACD +∠ADC ＝90°， ∴∠NDM ＝∠ADC ＝∠CDB ，∴∠ADM ＝∠CDN ＝∠BDE ，∵∠CDM ＝∠NDB∴∠MDN ＝∠NDE ，在△MDN 和△EDN 中{DM =DE ∠MDN =∠NDE DN =DN ，∴△MDN ≌△EDN ，∴MN ＝NE ，∵NE ＝BE +BN ＝AM +BN ，∴AM +BN ＝MN ．（3）BN ﹣AM ＝MN ，证明：在CB 截取BE ＝AM ，连接DE ，∵∠CDA +∠ACD ＝90°，∠MDN +∠ACD ＝90°， ∴∠MDN ＝∠CDA ，∵∠ADN ＝∠ADN ，∴∠MDA ＝∠CDN ，∵∠B ＝∠CAD ＝90°，∴∠B ＝∠DAM ＝90°，在△DAM 和△DBE 中{AM =BE ∠DAM =∠DBE AD =BD ，∴△DAM ≌△DBE ，∴∠BDE ＝∠ADM ＝∠CDN ，DM ＝DE ， ∵∠ADC ＝∠BDC ＝∠MDN ，∴∠MDN ＝∠EDN ，在△MDN 和△EDN 中{DM =DE ∠MDN =∠NDE DN =DN ，∴△MDN ≌△EDN ，∴MN ＝NE ，∵NE ＝BN ﹣BE ＝BN ﹣AM ，∴BN ﹣AM ＝MN ．。

天津市塘沽区紫云中学高中数学(人教A版,必修5)第一章解三角形配套练习：章末检测(A)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.53 B.54 C.55 D.56 答案 B解析由正弦定理得a b ＝sin Asin B，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52.又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= 10，则BA ·AC →等于( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32答案 A解析由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－1012＝14.∴AB ·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝3×2×14＝32.∴BA ·AC →＝－AB →·AC →＝－32.3．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B. 5C ．25或 5D ．以上都不对答案 C解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴5＝15＋c 2－215×c ×32. 化简得：c 2－35c ＋10＝0，即(c －25)(c －5)＝0，∴c ＝25或c ＝ 5.4．依据下列状况，推断三角形解的状况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解答案 D解析 A 中，因a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B 中，sinC ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；C 中， ∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解，故A 、B 、C 都不正确．5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A.922B.924C.928 D ．9 2答案 C解析设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924，R ＝928.6．在△ABC 中，cos 2 A 2＝b ＋c2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的外形为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形答案 A 解析由cos 2A 2＝b ＋c 2c ⇒cos A ＝b c，又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A.7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 等于( ) A ．2 B.6－ 2 C ．4－2 3 D ．4＋2 3 答案 A解析 sin A ＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝6＋24，由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°.sin B ＝12.由正弦定理：b sin B ＝asin A ＝6＋26＋24＝4.∴b ＝4sin B ＝2.8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B.15C.8155 D ．6 3答案 A解析由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0.∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即6＝4c 2＋c 2－4c 2·78.∴c ＝2，从而b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－⎝⎛⎭⎫782＝152. 9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 答案 B解析设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形答案 C解析 ∵sin A a ＝cos Bb ，∴a cos B ＝b sin A ，∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0.∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°.同理C ＝45°，故A ＝90°.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 答案 D 解析∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.12．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＋3 B ．43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋3 C ．6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＋3 D ．6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋3 答案 D解析 A ＝π3，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知BC sin A ＝AC sin B ＝ABsin C ＝2R ，由合分比定理知BCsin A ＝AB ＋BC ＋AC sin A ＋sin B ＋sin C，即332＝x 32＋sin B ＋sin C. ∴23⎣⎡⎦⎤32＋sin B ＋sin (A ＋B )＝x ，即x ＝3＋23⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 ＝3＋23⎝⎛⎭⎫sin B ＋sin B cos π3＋cos B sin π3 ＝3＋23⎝⎛⎭⎫sin B ＋12sin B ＋32cos B＝3＋23⎝⎛⎭⎫32sin B ＋32cos B＝3＋6⎝⎛⎭⎫32 sin B ＋12cos B＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C＝________.答案 014．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．答案 π6解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π6.15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________. 答案 1解析在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B .∴B ＝π3.由正弦定理知，sin A ＝a sin B b ＝12.又a <b .∴A ＝π6，C ＝π2.∴sin C ＝1.16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．答案 32≤a <3解析由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋(a ＋1)>a ＋2a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)2<0a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)≥－12.解得32≤a <3.三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(10分)如图所示，我艇在A 处发觉一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃跑，我艇马上以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．解设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则 BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，依据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°， ∴t ＝2.答我艇追上走私船所需的时间为2小时．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45.(1)求sin 2 B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a .解 (1)sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2 A －1＝5950.(2)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35.由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2c ×35，解得c ＝5.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a ＝13.19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得AE sin ∠ABE ＝ABsin ∠AEB ，即AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－ 2.20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.21．(12分)(2010·辽宁)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试推断△ABC 的外形．解 (1)由已知，依据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)方法一由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又A ＝120°，∴sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34，∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B . ∴sin 2B ＋(1－sin B )2＋sin B (1－sin B )＝34，即sin 2B －sin B ＋14＝0.解得sin B ＝12.故sin C ＝12.∴B ＝C ＝30°.所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二由(1)A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ，∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B ) ＝sin B ＋32cos B －12sin B ＝12sin B ＋32cos B ＝sin(B ＋60°) ＝1，∴B ＝30°，C ＝30°.∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．(14分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )， n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形． (2)解由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0.∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.。

新人教A版必修5高中数学第一章解三角形章末检测(B)

第一章解三角形章末检测（B ）新人教A 版必修5(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π32．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π33.在△ABC 中，已知||＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →²AC →等于( )A ．－2B ．2C ．±4D ．±24．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 25．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )A.85B.58C.53D.356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <2 57．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A ．－223 B.223C ．－63 D.638．下列判断中正确的是( )A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解 9．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是( )A.34B.32C.3或32D.32或3410．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C为( )A. 3 B ．1 C.33 D.3211．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 12．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( ) A ．60° B ．45°或135°13．在△ABC 中，若sin A a＝cos Bb，则B ＝________.14．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________．15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，H 、G 、B 三点在同一条直线上，在G 、H 两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sin A.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19．(12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．20．(12分)为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．21．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．22．(12分) 如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．第一章解三角形章末检测答案 (B)1．B [∵a >b >c ，∴C 最小．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋32－122³2³3＝32，又∵0<C <π，∴C ＝π6.]2．B [∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0. ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝12，又∵0<C <π，∴C ＝π3.]∴||²|AC →|²sin A ＝12³4³1³sin A ＝ 3. ∴sin A ＝32.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°或120°.²AC →＝|AB →|²|AC →|cos A＝4³1³cos A ＝±2.] 4．D [由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin C ＝c ²sin B b ＝2sin 120°6＝12，∵c <b ，∴C 为锐角．∴C ＝30°，∴A ＝180°－120°－30°＝30°. ∴a ＝c ＝ 2.]5．D [由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC ²cos A ，即72＝52＋AC 2－10AC ²cos 120°，∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.]6．D [由题意，x 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧22＋42－x 2>022＋x 2－42>0解得：23<x <2 5.]7．D [由正弦定理得15sin 60°＝10sin B.∴sin B ＝10²sin 60°15＝33.∵a >b ，A ＝60°，∴B <60°. ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－332＝63.]8．B [A ：a ＝b sin A ，有一解； B ：A >90°，a >b ，有一解； C ：a <b sin A ，无解；D ：c >b >c sin B ，有两解．]9．D [由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos B ，∴12＝(3)2＋BC 2－2³3³BC ³32.整理得：BC 2－3BC ＋2＝0. ∴BC ＝1或2.当BC ＝1时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B ＝12³3³1³12＝34.当BC ＝2时，S △ABC ＝12AB ²BC sin B ＝12³3³2³12＝32.]10．C [由S △ABC ＝12BC ²BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ²BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.]11．C [由已知，得cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2，又|cos(A －B )|≤1，|sin(A ＋B )|≤1，故cos(A －B )＝1且sin(A ＋B )＝1，即A ＝B 且A ＋B ＝90°，故选C.] 12．B [由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2a 2＋2b 2c 2，得cos 2C ＝a 2＋b 2－c 22ab2＝a 4＋b 4＋c 4＋2a 2b 2－2c 2a 2－2b 2c 24a 2b 2＝12⇒cos C ＝±22.∴角C 为45°或135°.]13．45°解析由正弦定理，sin A a ＝sin Bb.∴sin B b ＝cos Bb.∴sin B ＝cos B .∴B ＝45°.14．10 3解析设AC ＝x ，则由余弦定理得： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ²AC cos A ，∴49＝25＋x 2－5x ，∴x 2－5x －24＝0. ∴x ＝8或x ＝－3(舍去)．∴S △ABC ＝12³5³8³sin 60°＝10 3.15．8 6解析如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝64³32＝326，∴v ＝MN4＝86(海里/小时)．16.33解析由(3b －c )cos A ＝a cos C ，得(3b －c )²b 2＋c 2－a 22bc＝a ²a 2＋b 2－c 22ab，即b 2＋c 2－a 22bc ＝33，由余弦定理得cos A ＝33.17．解在△ACD 中，∠DAC ＝α－β，由正弦定理，得AC sin β＝DCα－β，∴AC ＝a sin βα－β∴AB ＝AE ＋EB ＝AC sin α＋h ＝a sin βsin αα－β＋h .18．解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ²sin A ，∴sin B ＝12.∵0<B <π2，∴B ＝30°.(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(33)2＋52－2³33³5³cos 30°＝7. ∴b ＝7.19．解 (1)在△POC 中，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ²OC ²cos θ ＝5－4cos θ，所以y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12³1³2sin θ＋34³(5－4cos θ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534.(2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.答四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.20．解 ①需要测量的数据有：A 点到M 、N 点的俯角α1、β1；B 点到M 、N 点的俯角α2、β2；A 、B 的距离d (如图所示)．②第一步：计算AM ，由正弦定理AM ＝d sin α2α1＋α2；第二步：计算AN .由正弦定理AN ＝d sin β2β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ³AN α1－β1. 21．解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，由此得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.22．解 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ， ∠OCP ＝120°.在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CPsin θ，∴2sin 120°＝CP sin θ，∴CP ＝43sin θ.又OC －θ＝2sin 120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为S (θ)＝12CP ²OC sin 120°＝12²43sin θ²43sin(60°－θ)³32 ＝43sin θsin(60°－θ)＝43sin θ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32cos θ－12sin θ ＝2sin θ²cos θ－23sin 2θ＝sin 2θ＋33cos 2θ－33＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－33∴θ＝π6时，S (θ)取得最大值为33.。

人教版八年级数学上册第11章三角形章末复习测试题(一)及答案

人教版八年级数学上册第十一章三角形单元测试题一．选择题1．在如图中，正确画出AC边上高的是（）A．B．C．D．2．多边形的边数每增加一条，它的内角和增加（）A．120°B．180°C．270°D．360°3．如图，∠A＝70°，∠2＝130°，则∠1＝（）A．130°B．120°C．140°D．110°4．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，BE、CF相交于D，则∠CDE的度数是（）A．110°B．70°C．80°D．75°5．如图，△ABC中，∠C＝80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（）A．360°B．260°C．180°D．140°6．△ABC的三边长是a、b、c，且a＞b＞c，若b＝8，c＝3，则a的取值范围是（）A．3＜a＜8 B．5＜a＜11 C．8＜a＜11 D．6＜a＜107．点P是△ABC内任意一点，则∠BPC与∠A的大小关系是（）A．∠BPC＜∠A B．∠BPC＞∠A C．∠BPC＝∠A D．无法确定8．如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE的度数为（）A．40°B．20°C．18°D．38°9．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A、B 间的距离不可能是（）米．A．20 B．10 C．15 D．510．如图，在△ABC中，∠B＝48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∠AEC等于（）A．56°B．66°C．76°D．无法确定11．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4等于（）A．180°B．360°C．240°D．540°12．如图，∠MAN＝100°，点B、C是射线AM、AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小（）A．40°B．50°C．80°D．随点B、C的移动而变化二．填空题13．若一个三角形的三个内角比为2：3：5，则此三角形为角三角形．14．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的性．15．如图，在△ABC中，∠A＝40°，有一块直角三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，若直角顶点D在三角形外部，则∠ABD+∠ACD的度数是度．16．在△ABC中，AB＝14，AC＝12，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为．17．如图所示，已知四边形ABCD，∠a、∠β分别是∠BAD、∠BCD的邻补角，且∠B+∠ADC＝140°，则∠a+∠β＝．18．如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，则∠A3＝．三．解答题19．如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，AE⊥BC于E，若∠ADE＝80°，∠EAC＝20°，求∠B的度数．20．已知△ABC，（1）如图1，若D点是△ABC内任一点、求证：∠D＝∠A+∠ABD+∠ACD．（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式．（不需要证明）（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论．21．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．22．如图，已知△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E是线段AD（除去端点A、D）上一动点，EF⊥BC于点F．（1）若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C的度数．（2）当E在AD上移动时，∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系：并说明理由．23．如图，在△ABC中，内角平分线BP和外角平分线CP相交于点P，根据下列条件求∠P的度数．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠P＝，若∠ABC+∠ACB＝110°，则∠P＝；（2）若∠BAC＝90°，则∠P＝；（3）从以上的计算中，你能发现∠P与∠BAC的关系是；（4）证明第（3）题中你所猜想的结论．参考答案一．选择题1．解：画出AC边上高就是过B作AC的垂线，故选：C．2．解：n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，可以得到增加一条边时，边数变为n+1，则内角和是（n﹣1）•180°，因而内角和增加：（n﹣1）•180°﹣（n﹣2）•180°＝180°．故选：B．3．解：如图，∵∠2＝130°，∵∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣130°＝50°，∴∠1＝∠A+∠3＝70°+50°＝120°．故选：B．4．解：∵BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，∴∠CBE＝∠ABC＝40°，∠FCB＝∠ACB＝30°，∴∠CDE＝∠CBE+∠FCB＝70°．故选：B．5．解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝80°+180°＝260°．故选：B．6．解：∵a＞b＞c，b＝8，c＝3，∴根据三角形的三边关系，得8＜a＜11．故选：C．7．解：连接BP并延长交AC于D，连接CP，∠BPC＞∠BDC，∠BDC＞∠A，因而∠BPC＞∠A．故∠BPC与∠A的大小关系是∠BPC＞∠A．故选：B．8．解：∵△ABC中已知∠B＝36°，∠C＝76，∴∠BAC＝68°．∴∠BAD＝∠DAC＝34°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°，∴∠DAE＝20°．故选：B．9．解：根据三角形的三边关系定理得：15﹣10＜AB＜15+10，即：5＜AB＜25，∴AB的值在5和25之间，A、B间的距离不可能是5米．故选：D．10．解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠ACF，∵∠DAC＝∠B+∠2，∠ACF＝∠B+∠1∴∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠2）+（∠B+∠1）＝（∠B+∠B+∠1+∠2），∵∠B＝48°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF＝114°∴∠AEC＝180°﹣（∠DAC+∠ACF）＝66°．故选：B．11．解：∵∠1+∠2+∠5＝360°，∠3+∠6+∠4＝360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°，又∵∠5+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝720°﹣180°＝540°．故选：D．12．解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，∴∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，∵∠MBC＝2∠CBE＝∠A+∠ACB，∠CBE＝∠D+∠DCB，∴2∠CBE＝∠D+∠DCB，∴∠MBC＝2∠D+∠ACB，∴2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，∴∠A＝2∠D，∵∠A＝100°，∴∠D＝50°．故选：B．二．填空题（共6小题）13．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B：∠C：∠A＝2：3：5，∴∠A＝×180°＝90°，∴△ABC是直角三角形，故答案为：直．14．解：三角形的支架很牢固，这是利用了三角形的稳定性，故答案为：稳定．15．解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°在△BCD中，∠D+∠BCD+∠CBD＝180°∴∠BCD+∠CBD＝180°﹣∠D在△DEF中，∠D+∠E+∠F＝180°∴∠E+∠F＝180°﹣∠D∴∠CBD+∠BCD＝∠E+∠F＝90°∴∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD＝140°+90°＝230°．故答案为：230．16．解：∵AD为中线，∴BD＝DC，∴（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB+BD+AD﹣AC﹣AD﹣CD＝AB﹣AC＝2，故答案为：2．17．解：∵∠B+∠D+∠DAB+∠BCD＝360°，∠B+∠ADC＝140°，∴∠DAB+∠BCD＝360°﹣140°＝220°，∵∠a+∠β+∠DAB+∠BCD＝360°，∴∠a+∠β＝360°﹣220°＝140°．故答案为：140°．18．解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A，∴∠A1＝×64°＝32°，∵∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，∴∠A3＝∠A2＝∠A＝×64°＝8°．故答案为：8°．三．解答题（共5小题）19．解：∵AE⊥BC，∠EAC＝20°，∴∠C＝70°，∴∠BAC+∠B＝110°．∵∠ADE＝∠B+∠BAD＝（∠BAC+∠B）+∠B，∴∠B＝50°．20．解：（1）证明：延长BD交AC于点E．∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC＝∠2+∠CED，∵∠CED是△ABE的外角，∴∠CED＝∠A+∠1．∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2．即∠D＝∠A+∠ABD+∠ACD．（2）∵∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+∠DCB，即∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝180°+180°＝360°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，∴∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝360°．（3）证明：令BD、AC交于点E，∵∠AED是△ABE的外角，∴∠AED＝∠1+∠A，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED＝∠D+∠2．∴∠A+∠1＝∠D+∠2即∠D+∠ACD＝∠A+∠ABD．21．证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．22．解：（1）∵EF⊥BC，∠DEF＝10°，∴∠EDF＝80°，∵∠B＝40°∴∠BAD＝∠EDF﹣∠B＝80°﹣40°＝40，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝80°，∴∠C＝180°﹣40°﹣80°＝60°；（2）∵EF⊥BC，∴∠EDF＝90°﹣∠DEF，∵∠EDF＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠DEF﹣∠B，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝180°﹣2∠DEF﹣2∠B，∴∠B+180°﹣2∠DEF﹣2∠B+∠C＝180°，∴∠C﹣∠B＝2∠DEF．23．（1）解：∵∠ACB＝80°，∴∠ACD＝180°﹣80°＝100°，∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，∴∠PBC＝∠ABC＝×50°＝25°，∠PCD＝∠ACD＝×100°＝50°，在△PCD中，∠PBC+∠P＝∠PCD，即25°+∠P＝50°，解得∠P＝25°；∵∠ABC+∠ACB＝110°，∴∠A＝180°﹣110°＝70°，∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，根据三角形的外角性质，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，∴∠A+∠ABC＝2（∠PBC+∠P）＝2∠PBC+2∠P，∴∠A＝2∠P，∠P＝∠A＝×70°＝35°；（2）解：∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，根据三角形的外角性质，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，∴∠BAC+∠ABC＝2（∠PBC+∠P）＝2∠PBC+2∠P，∴∠BAC＝2∠P，∠P＝∠BAC，∵∠BAC＝90°，∴∠P＝45°；（3）由计算可知，∠P＝∠A；（4）证明：∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，根据三角形的外角性质，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，∴∠BAC+∠ABC＝2（∠PBC+∠P）＝2∠PBC+2∠P，∴∠BAC＝2∠P，∠P＝∠BAC．故答案为：（1）25°，35°；（2）45°；（3）∠P＝∠A．。

华师大九年级上期末专题《第24章解直角三角形》单元试卷含解析

华师大版九年级数学上册期末专题：第24章解直角三角形单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（）A. B. C. D.2.一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（）A. 15B. 16C. 18D. 193.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A. 120mB. 67.5mC. 40mD. 30m4.等腰三角形的周长为20cm，腰长为x cm，底边长为y cm，则底边长与腰长之间的函数关系式为（）A. y=20﹣x（0＜x＜10）B. y=20﹣x（10＜x＜20）C. y=20﹣2x（10＜x＜20）D. y=20﹣2x（5＜x＜10）5.一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i=1：，坝高BC=6m，则坡面AB的长度（）A. 12mB. 18mC. 6D. 126.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如图）则A，B两个村庄间的距离是（）米．A. 300B. 900C. 300D. 3007.如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（）A. 4.5米B. 6米C. 7.2米D. 8米8.一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（）A. 10B. 12C. 14D. 169.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A. 5米B. 6米C. 8米D. （3+ ）米10.如图，在□ABCD中，AB∶AD=3∶2，∠ADB=60°，那么cosＡ的值等于（）A. B. C. D.二、填空题（共10题；共33分）11.小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降________米．12.已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是________．13.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________．14.如图,在直角坐标系中,P是第二象限的点,其坐标是(x,8),且OP与x轴的负半轴的夹角α的正切值是 ,则x=________,cosα=________.15.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=________16.高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影长24 m，则该建筑物的高是________m.17.tan________ °=0.7667．18.如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于________．19.如图，将两块直角三角形的一条直角边重合叠放，已知AC=BC= +1，∠D=60°，则两条斜边的交点E到直角边BC的距离是________．20.已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y= x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是________．三、解答题（共8题；共57分）21.如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？22.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B 两点的距离．23.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 米的点D（点D与楼底C在同一水平上）出发，沿斜面坡度为i=l：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53 °，求楼房AC的高度（参考数据：sin53 °= , cos53 °= , tan53 °= ，≈1.732，结果精确到0.1米）24.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD 的高度（=1.7）．25.“蘑菇石”是我国著名的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）26.在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角∠CFE=21°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角∠CGE=37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（参考数据：sin37°≈ ，tan37°≈ ，sin21°≈ ，tan21°≈ ）27.在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．28.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∵AC=4，BC=3，∴AB= =5．∴sinA= ，故答案为：B．【分析】先根据勾股定理算出AB，再根据正切定义得出结论。

2019-2020人教A版数学必修5章末综合测评1 解三角形

章末综合测评(一) 解三角形满分：150分时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k >0)，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个A [由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝62>1，即sin B >1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．]2．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°B [设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝12，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.]3．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( ) A ．π4或3π4 B ．3π4 C ．π4D ．π6C [由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22. ∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.]4．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( )A ．±53 B ．23 C ．－53D ．53A [因为a sin A ＝b sinB ，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53.]5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6B [∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6＝k (k >0)，则⎩⎨⎧b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.]6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A ．1＋32B ．1＋ 3C ．2＋22D ．2 3B [∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos 30°＝4b 2－12－63， ∴b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3.]7．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D [由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk ，(m >0)， ∵⎩⎨⎧a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎨⎧m （2k ＋1）>2mk ，3mk >m （k ＋1）， ∴k >12.]8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形B [由已知可得1－cos A 2＝12－b 2c ，即cos A ＝bc ，b ＝c cos A .法一：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形．法二：由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A . 在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )，从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ，即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．]9．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2C ． 2D ．22C [∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.]10．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A ．154B ．1534C ．2134D ．3534B [∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a ＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，故a ＝5，故三边长为3，5，7，S △ABC ＝12×3×5×sin 120°＝1534.]11．如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为( )A ．12小时 B ．1小时 C ．32小时D ．2小时B [在△OBC 中，由余弦定理，得CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB ＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B 处需要的时间为1小时．]12．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为()A ．33B ．36C ．63D ．66D [设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a 22×32a ·32a ＝13.又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝ABsin C . ∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a 2a ·223＝66.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知△ABC 为钝角三角形，且C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________．a 2＋b 2<c 2[∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，且C 为钝角，∴cos C <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故a 2＋b 2<c 2.]14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．2π3 [由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.]15．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于________，AC 的取值范围为________．2 (2，3) [设A ＝θ⇒B ＝2θ. 由正弦定理得AC sin 2θ＝BCsin θ， ∴AC 2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32， ∴AC ＝2cos θ∈(2，3)．]16．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B ＝________．4 [∵b a ＋ab ＝6cos C ， ∴a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ， ∴2a 2＋2b 2－2c 2＝c 2，又tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos A sin A cos C ＋sin C cos B sin B cos C ＝sin C （sin B cos A ＋cos B sin A ）sin A sin B cos C ＝sin C sin （B ＋A ）sin A sin B cos C ＝sin 2C sin A sin B cos C ＝c 2ab cos C ＝c 2ab a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[解](1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝（1＋3）a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B>0，故cos B＝22，所以B＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝3 5.(1)若b＝4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．[解](1)∵cos B＝35>0，且0<B<π，∴sin B＝1－cos2B＝4 5.由正弦定理得asin A＝bsin B，sin A＝a sin Bb＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 19．(本小题满分12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． [解] (1)∵cos A ＝2cos 2A2－1， ∴2cos 2A2＝cos A ＋1.又2cos 2A2＋cos A ＝0，∴2cos A ＋1＝0， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a ＝23，b ＝2，cos A ＝－12， ∴(23)2＝22＋c 2－2×2×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，化简，得c 2＋2c －8＝0，解得c ＝2或c ＝－4(舍去)．20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ?[解] 如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β. 在△CBD 中，由余弦定理得 cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314.在△ACD 中，21sin 60°＝ADsin α，∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值． [解] (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0， ∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，即(2cos C ＋1)2＝0， ∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ，∴absin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1. 22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足sin A ＋3cos A ＝2.(1)求角A 的大小；(2)现给出三个条件：①a ＝2；②B ＝π4；③c ＝3b .试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC 的面积．(写出一种方案即可)[解] (1)依题意得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝1，∵0<A <π，∴π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝π2， ∴A ＝π6.(2)参考方案：选择①②.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝2 2. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×22×2＋64＝3＋1.。

天津市双菱中学数学三角形解答题章末训练(Word版含解析)

天津市双菱中学数学三角形解答题章末训练（Word版含解析）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）∠ABC＋∠ADC＝°；（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝14∠CDN，∠CBE＝14∠CBM），试求∠E的度数．【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450【解析】【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．【详解】（1）解：∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；故答案为180°；（2）解：延长DE交BF于G，∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，∴∠CDE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBM，又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，∴∠BGE=∠C=90°，∴DG ⊥BF ，即DE ⊥BF ；（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，∵BE 、DE 分别四等分∠ABC 、∠ADC 的外角，∴∠CDE+∠CBE=14×180°=45°，延长DC 交BE 于H ，由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E ，∠BCD=∠BHD+∠CBE ，∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E ，∴∠E=90°-45°=45°【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．2．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．【答案】（1）15°；（2）DCE 2αβ-∠=；（3）75°．【解析】【分析】（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数；（2）∠DCE ＝2αβ- ．（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+12∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数．【详解】解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，又因为CE 是∠ACB 的平分线，所以1352ACE ACB ∠=∠=︒．因为CD 是高线，所以∠ADC ＝90°，所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°，所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°．（2）DCE 2αβ-∠=．（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′，则152DCE αβ-'==︒∠．因为CE 是∠ACB 的外角平分线，所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝1(+)2ACB ACF ∠∠＝90°，所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°．即∠DCE 的度数为75°．【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．3．如图，在△ABC 中，已知AD BC ⊥于点D ，AE 平分()BAC C B ∠∠>∠（1）试探究EAD ∠与C B ∠∠、的关系；（2）若F 是AE 上一动点，当F 移动到AE 之间的位置时，FD BD ⊥,如图2所示，此时EFD C B ∠∠∠与、的关系如何？（3）若F 是AE 上一动点，当F 继续移动到AE 的延长线上时，如图3，FD BC ⊥，①中的结论是否还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.【答案】（1）∠EAD=12（∠C-∠B），理由见解析；（2）∠EFD=12（∠C-∠B），理由见解析；（3）∠AFD=12（∠C-∠B）成立，理由见解析.【解析】【分析】（1）由图不难发现∠EAD=∠EAC-∠DAC，再根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义分别用结论中出现的角替换∠EAC和∠DAC；（2）作AG BC⊥于G转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决；（3）作AH BC于H转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决．【详解】解：（1）∠EAD=12（∠C-∠B）.理由如下：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）∴∠EAC=12[180°-（∠B+∠C）]∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，∵∠EAD=∠EAC-∠DAC∴∠EAD=12 [180°-（∠B+∠C ）]-（90°-∠C ）=12（∠C-∠B ）．（2）∠EFD=12（∠C-∠B ）.理由如下：作AG BC ⊥于G由（1）可知∠EAG=12（∠C-∠B ） ∵FD BD ⊥，AG BC ⊥∴FD ∥AG∴∠EAG=∠EFD ∴∠EFD=12（∠C-∠B ）（3）∠AFD=12（∠C-∠B ）．理由如下：作AH BC ⊥于H由（1）可知∠EAH=12（∠C-∠B ） ∵FD BD ⊥，AH BC ⊥∴FD ∥AH∴∠EAH=∠AFD ∴∠AFD=12（∠C-∠B ）【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的定义和三角形内角和定理是解答此题的关键．4．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．【答案】（1）120°；（2）β﹣α=60° 理由见解析；（3）平行，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用四边形的内角和求出∠ABC与∠ADC的和，利用角平分线的定义以及α+β=120°推导即可；（2）由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBG+∠CDG=12(α+β)，在△BCD中利用三角形的内角和定理得∠BDC+∠CDB =180°﹣β，在△BDG中利用三角形的内角和定理得出关于α、β的等式整理即可得出结论；（3）延长BC交DF于H，由（1）得∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得∠CBE+∠CDH=12(α+β)，利用三角形的外角的性质得∠CDH=β﹣∠DHB，然后代入∠CBE+∠CDH=12(α+β)计算即可得出一组内错角相等．【详解】（1）解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，∵α+β=120°，∴∠MBC+∠NDC=120°；（2）β﹣α=60°理由：如图1，连接BD，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠NDC，∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，∴12(α+β)+180°﹣β+30°=180°，∴β﹣α=60°，(3)平行，理由：如图2，延长BC交DF于H，由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE=12∠MBC，∠CDH=12∠NDC，∴∠CBE+∠CDH=12∠MBC+12∠NDC=12(∠MBC+∠NDC)=12(α+β)，∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB=12(α+β)，∵α=β，∴∠CBE +β﹣∠DHB =12(β+β)=β， ∴∠CBE =∠DHB ，∴BE ∥DF ．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了平角的意义，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的意义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．5．（1）在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，CF AB ⊥，16BC =，3AD =，4BE =，6CF =，则ABC ∆的周长为______.（2）如图①，在ABC ∆中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，BD ，CD 的中点，且4ABC S ∆=2cm ，则AEF S ∆等于______2cm .① ②（3）如②图，三角形ABC 的面积为1，点E 是AC 的中点，点O 是BE 的中点，连接AO 并延长交BC 于点D ，连接CO 并延长交AB 于点F ，则四边形BDOF 的面积为______. 【答案】（1）36（2）2（3）16【解析】【分析】(1)利用三角形面积公式，求出AB 、AC 的长，再计算三角形的周长即可；(2)设ABC ∆在BC 边上的高为h ，则12ABC S BC h ∆=⋅，根据线段中点的定义以及线段的和差得出12EF BC =，继而再根据三角形面积公式进行求解即可； (3)设BOF S x ∆=，BOD S y ∆=，根据三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得14AOE COE AOB COB S S S S ∆∆∆∆====，从而得14AOF S x ∆=-，34ACF S x ∆=-，14BCF S x ∆=+，14COD S y ∆=-，34ACD S y ∆=-，14ABD S y ∆=+，利用等高的两三角形面积之比等于底边之比分别列出关于x 、y 的方程，求出x 、y 的值即可求得答案.【详解】(1)111222ABC S BC AD AC BE AB CF ∆=⋅=⋅=⋅， ∴BC AD AC BE AB CF ⋅=⋅=⋅，即16346AC AB ⨯=⋅=⋅，∴12AC =，8AB =，∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=36；(2)设ABC ∆在BC 边上的高为h ，则12ABC S BC h ∆=⋅， ∵E 为BD 中点，∴12ED BD =， ∵F 为DC 中点，∴12DF DC =， ∴111222EF BD DC BC =+=， ∴211112cm 2222AEF ABC S EF h BC h S ∆∆=⋅=⋅⋅==； (3)设BOF S x ∆=，BOD S y ∆=，∵点E ，O 分别是AC ，BE 的中点，1ABC S ∆=， ∴14AOE COE AOB COB S S S S ∆∆∆∆====， ∴14AOF S x ∆=-，34ACF S x ∆=-，14BCF S x ∆=+， ∴134414x x x x --=+，即2213164x x x -=-，解得112x =，又14COD S y ∆=-，34ACD S y ∆=-，14ABD S y ∆=+， ∴141344y y y y +=--，得112y =，故11112126BDOF S x y =+=+=四边形. 【点睛】本题考查了三角形面积的应用，三角形的周长，解题关键在于找出等高的两三角形面积与底边的对应关系．6．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【解析】试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°，故答案为140；（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，设DP与BE的交点为M，∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.（4）如图④，设PE与AC的交点为F，∵∠PFD＝∠EFC，∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α.故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.7．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=，∠BQC=；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数．【答案】(1) 70°，125°；(2)∠BAC=60° (3) 45°【解析】分析：（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC=12∠PBC，∠QCB=12∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC 的度数.详解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，∴∠CBP+∠BCP=12（∠DBC+∠BCE）=110°，∴∠BPC=180°﹣110°=70°，∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，∴∠QBC=12∠PBC，∠QCB=12∠PCB，∴∠QBC+∠QCB=55°，∴∠BQC=180°﹣55°=125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB=180°，∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∴34（∠DBC+∠BCE）=180°，即34（180°+∠BAC）=180°，解得∠BAC=60°；（3）∵∠BAC=120°，∴∠MBC+∠NCB=34（∠DBC+∠BCE）=34（180°+α）=225°，∴∠BOC=225°﹣180°=45°．点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．8．如图，将一块三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边PQ上，直尺的另一边MN与三角板的两边AC、BC分别交于两点Ｅ、Ｄ，且AD为∠BAC的平分线，∠B=300，∠ADE=150.（1）求∠BDN的度数；（2）求证：CD=CE.【答案】（1）∠BDN=∠CDE=450（2）CD=CE 【解析】试题分析：（1）根据直角三角形的性质，求出∠BAC=60°，然后根据角平分线的性质求出∠CAD=30°，进而根据三角形的内角和求出∠CDA=60°，最后根据角的和差求解即可；（2）结合（1）的关系，由“等角对等边”得出结论.试题解析：（1）在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，∠B=300,∴∠BAC=600,又AD 平分∠BAC ，∴∠CAD=300,又∠ACD=900,∴∠CDA=600又∠ADE=150，∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=600-150=450∴∠BDN=∠CDE=450（2）在△CED 中，∠ECD=900，∠CDE=450∴∠CED=450∴ CD=CE点睛：此题主要考查了直角三角形、角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题关键是利用三角形的外角和内角求解角之间的和差关系即可.9．如图 (1)所示，AB ，CD 是两条线段，M 是AB 的中点，连接AD ，MD ，BC ，BD ， MC ，AC ，S △DMC ，S △DAC 和S △DBC 分别表示△DMC ，△DAC ，△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC ＝2DAC DBC S S+.(1)如图 (2)所示，当图6-9(1)中AB 与CD 不平行时，S △DMC =2DBC DAC S S +是否仍然成立?请说明理由； (2)如图 (3)所示，当图6-9(1)中AB 与CD 相交于点O 时，S △DMC 与S △DAC ，S △DBC 有什么样的数量关系?试说明你的结论．【答案】(1) S △DMC =2DAC DBC S S +仍成立，理由见解析； (2)S △DMC =2DBC DAC S S -，理由见解析.【解析】【分析】（1）先看题中给出的条件为何成立，由于三角形ADC ，DMC ，DBC 都是同底，而由于AB ∥DC ，因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A ，M ，B 分别作BC 的垂线AE ，MN ，BF ，AE ∥MN ∥BF ，由于M 是AB 中点，因此MN 是梯形AEFB 的中位线，因此MN=12（AE+BF ），三个三角形同底因此结论①是成立的．（2）本题可以利用AM=MB ，让这两条边作底边来求解，三角形ADB 中，小三角形的AB 边上的高都相等，那么三角形ADM 和DBM 的面积就相等（等底同高），因此三角形OAD ，OMD 的和就等于三角形BMD 的面积，同理三角形AOC 和OMC 的面积和等于三角形CMB 的面积．根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系．【详解】(1)当AB 与CD 不平行时，S △DMC =2DAC DBC S S+仍成立．分别过点A ，M ，B 作CD 的垂线AE ，MN ，BF ，垂足分别为E ，N ，F.∵M 为AB 的中点，∴MN ＝12(AE+BF)，∴S △DAC +S △DBC =12DC·AE+12DC·BF ＝12DC·(AE+BF)= 12DC·2MN=DC·MN=2S △DMC .∴S △DMC =2DAC DBC S S +； (2)S △DMC =2DBC DAC S S-.理由：∵M 是AB 的中点，∴S △ADM ＝S △BDM ，S △ACM =S △BCM ,而S △DBC =S △BDM +S △BCM +S △DMC ,① S △DAC =S △ADM +S △ACM -S △DMC ,②∴①-②得S △DBC -S △DAC =2S △DMC ,故S △DMC =2DBC DAC S S-.【点睛】本题考查了三角形中位线和梯形，解题的关键是掌握三角形中位线定理和梯形的概念.10．已知:如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ，试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系:_____________________；(2)在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P 的度数(写出解答过程)；(3)如果图2中，∠D 和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠D 、∠B 之间的数量关系(直接写出结论即可).【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）35°；（3）2∠P=∠B+∠D【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C；（2）仔细观察图2，得到两个关系式∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，再由角平分线的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，两式相减，即可得结论．（3）参照（2）的解题思路.【详解】解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1-∠3=∠P-∠D，∠2-∠4=∠B-∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P-∠D=∠B-∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）由（2）的解题步骤可知，∠P与∠D、∠B之间的数量关系为：2∠P=∠B+∠D．【点睛】考查三角形内角和定理, 角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.。

全等三角形章末练习卷(Word版含解析)

全等三角形章末练习卷（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD，再证明CAI≅BAJ，求出°7830∠=∠=，然后求出12IF FJ AF==，，通过设FJ x=求出x，即可求出AF的长.【详解】解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J在CAE和BAD中AC ABCAE BADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAE≅BAD∴ICA ABJ∠=∠∴BFE CAB∠=∠（8字形）∴°120CFD∠=在CAI和BAJ中°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴CAI ≅BAJ,AI AJ CI BJ ==∴°60CFA AFJ ∠=∠=∴°30FAI FAE ∠=∠=在RtAIF 和RtAJF 中°30FAI FAE ∠=∠=∴12IF FJ AF ==设FJ x = 7,4CF BF ==则47x x +=-32x ∴=2AF FJ =AF ∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.2．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】【分析】连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD ，易证∆ACE ≅∆BCD ，设∠AEC=∠BDC=x ，得则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，BDE 中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE ，∵线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，∴CA=CB ，CE=CD ，∵72ABC EDC ∠=∠=︒=∠DEC ，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD ，在∆ACE 与∆BCD 中，∵CA CB ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE ≅∆BCD （SAS ）， ∴∠AEC=∠BDC ，设∠AEC=∠BDC=x ，则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x ）=x-20°，∴在∆BDE 中，∠EBD=180°-（72°-x ）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．3．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm ，则三角形的面积为__________【答案】4【解析】如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm ，可求得BD=12AB =4×12=2，因此此三角形的面积为：S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4（cm 2）．故答案是：4．4．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，点E 为AD 边上一点，连接BD .CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE AB ∥，若8AB =，6CE =，则BC 的长为_______________.【答案】27【解析】【分析】由AB AD =，BC DC =知点A,C 都在BD 的垂直平分线上，因此，可连接AC 交BD 于点O ，易证ABD △是等边三角形，EDF 是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC 的长度，应用勾股定理可求解.【详解】解：如图，连接AC 交BD 于点O∵AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，∴AC 垂直平分BD ，ABD △是等边三角形∴30BAO DAO ∠=∠=︒，8AB AD BD ===，4BO OD ==∵CE AB ∥∴30BAO ACE ∠=∠=︒，60CED BAD ∠=∠=︒∴30DAO ACE ∠=∠=︒∴6AE CE ==∴2DE AD AE =-=∵60CED ADB ∠=∠=︒∴EDF 是等边三角形∴2DE EF DF ===∴4CF CE EF =-=，2OF OD DF =-=∴2223OC CF OF =-=∴2227BC BO OC +=【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，D 为BC 上一点，DA ⊥AC ，AD=24 cm ，则BC的长________cm．【答案】72【解析】【分析】按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵DA⊥AC，AD=24 cm∴DC=2AD=48cm，∵∠BAC=120°，DA⊥AC∴∠BAD=∠BAC-90°=30°∴∠B=∠BAD∴BD=AD=24cm∴BC=BD+DC=72cm故答案为72.【点睛】本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质，其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.6．在△ABC 中，∠ACB＝90º，D、E 分别在 AC、AB 边上，把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形，则∠BAC 的度数为_________．【答案】45°或60°【解析】【分析】根据题意画出图形，设∠BAC的度数为x，则∠B=90°-x，∠EFB =135°-x，∠BEF=2x-45°，当△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论，即可求解.【详解】∵∠ACB＝90º，△CFD是等腰三角形，∴∠CDF=∠CFD=45°，设∠BAC的度数为x，∴∠B=90°-x，∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，∴∠DFE=∠BAC=x，∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x，∵∠ADE=∠FDE，∴∠ADE=（180°-45°）÷2=67.5°，∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x，∴∠DEF=∠AED=112.5°-x，∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x）-（112.5°-x）=2x-45°，∵△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论：①当FE=FB时，如图1，则∠BEF=∠B，∴90-x=2x-45，解得：x=45；②当BF=BE时，则∠EFB=∠BEF，∴135-x=2x-45，解得：x=60，③当EB=EF时，如图2，则∠B=∠EFB，∴135-x=90-x，无解，∴这种情况不存在.综上所述：∠BAC 的度数为：45°或60°.故答案是：45°或60°.图1 图2【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理，用代数式表示角度，并进行分类讨论，是解题的关键.7．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..8．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝8，AO ＝BO ，点M 是射线CO 上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为______．【答案】7或34【解析】【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．【详解】如图1，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OB=4，又∵∠AOC=∠BOM=60°，∴△BOM是等边三角形，∴BM=BO=4，∴Rt△ABM中，AM22-3AB BM如图2，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OA=4，又∵∠AOC=60°，∴△AOM是等边三角形，∴AM=AO=4；如图3，当∠ABM=90°时，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×4=8，∴Rt△BOM中，BM22-=43MO OB∴Rt△ABM中，AM22AB BM+47综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为3474．故答案为43 7或4．9．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB －2∠ACD ，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ，∴∠ECB=∠ACB －∠ACE=∠ACB －2∠ACD ，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB －2∠ACD=100°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB－2∠ACD=100°，∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.10．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD ＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．【答案】12【解析】【分析】延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解．【详解】延长BM至G，使MG＝BM＝4，连接FG、DG，如图所示：∵M为EF中点，∴ME＝MF，在△BME和△GMF中，BM MG BME GMFME MF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BME ≌△GMF （SAS ），∴FG ＝BE ，∠MBE ＝∠MGF ，S △BEM ＝S △GFM ，∴FG ∥BE ，∴∠C ＝∠GFC ，∵∠A +∠C ＝180°，∠DFG +∠GFC ＝180°，∴∠A ＝∠DFG ，∵AB ＝BE ，∴AB ＝FG ，在△DAB 和△DFG 中，AB FG A DFGAD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DAB ≌△DFG （SAS ），∴DB ＝DG ，S △DAB ＝S △DFG ，∵MG ＝BM ，∴DM ⊥BM ，∴五边形ABEFD 的面积＝△DBG 的面积＝12×BG ×DM ＝12×8×3＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知点M(2,2)，且，在坐标轴上求作一点P ，使△OMP 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（）A ．B ．(0,4)C ．(4,0)D ．)【答案】D【解析】【分析】分类讨论：OM=OP ；MO=MP ；PM=PO ，分别计算出相应的P 点，从而得出答案．【详解】∵M(2,2),且,且点P 在坐标轴上当22OM OP == 时P 点坐标为：()()22,0,0,22±± ，A 满足；当22MO MP ==时：P 点坐标为：()()4,0,0,4，B 满足；当PM PO =时：P 点坐标为：()()2,0,0,2，C 满足故答案选：D【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．12．如图，ABC ，分别以AB 、AC 为边作等边三角形ABD 与等边三角形ACE ，连接BE 、CD ，BE 的延长线与CD 交于点F ，连接AF ，有以下四个结论：①BE CD =；②FA 平分EFC ∠；③FE FD =；④FE FC FA +=．其中一定正确的结论有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质证出△BAE ≌△DAC ，可得BE =CD ，从而得出①正确；过A 作AM ⊥BF 于M ，过A 作AN ⊥DC 于N ，由△BAE ≌△DAC 得出∠BEA =∠ACD ，由等角的补角相等得出∠AEM =∠CAN ，由AAS 可证△AME ≌△ANC ，得到AM =AN ，由角平分线的判定定理得到FA 平分∠EFC ，从而得出②正确；在FA 上截取FG ，使FG =FE ，根据全等三角形的判定与性质得出△AGE ≌△CFE ，可得AG =CF ，即可求得AF =CF +EF ，从而得出④正确；根据CF +EF =AF ，CF +DF =CD ，得出CD ≠AF ，从而得出FE ≠FD ，即可得出③错误．【详解】∵△ABD 和△ACE 是等边三角形，∴∠BAD =∠EAC =60°，AE =AC =EC ．∵∠BAE +∠DAE =60°，∠CAD +∠DAE =60°，∴∠BAE =∠DAC ，在△BAE 和△DAC 中，∵AB ADBAE DACAE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE=CD，①正确；过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，如图1．∵△BAE≌△DAC，∴∠BEA=∠ACD，∴∠AEM=∠ACN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，∴∠AME=∠ANC．在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，∴△AME≌△ANC，∴AM=AN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正确；在FA上截取FG，使FG=FE，如图2．∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠ACD=180°，∴∠EAC+∠EFC=180°．∵∠EAC=60°，∴∠EFC=120°．∵FA平分∠EFC，∴∠EFA=∠CFA=60°．∵EF=FG，∠EFA=60°，∴△EFG是等边三角形，∴EF=EG．∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，∴∠AEG=∠CEF，在△AGE和△CFE中，∵AE ACAEG CEFEG EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE≌△CFE（SAS），∴AG=CF．∵AF=AG+FG，∴AF=CF+EF，④正确；∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，∴FE≠FD，③错误，∴正确的结论有3个．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键．13．如图，已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②连结AC、BC；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB＝a；以上画法正确的顺序是（）A．①②③④B．①④③②C．①④②③D．②①④③【答案】B【解析】【分析】根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.【详解】解：已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②在射线AM上截取AB＝a；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④连结AC、BC．△ABC即为所求作的三角形．故选答案为B．本题考查了尺规作图和等边三角形的性质，解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.的正方形网格中，A，B是如图所示的两个格点，如果C也是格点，且14．在一个33ABC是等腰三角形，则符合条件的C点的个数是（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】【分析】根据题意、结合图形，画出图形即可确定答案.【详解】解：根据题意，画出图形如图：共8个.故答案为C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，根据题意、画出符合实际条件的图形是解答本题的关键.15．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG∥BC【答案】B试题解析：A.ABC 和CDE △均为等边三角形，60AC BC EC DC ACB ECD ∴==∠=∠=︒，，，在ACD 与BCE 中，{AC BCACD BCE CD CF =∠=∠=，ACD BCE ∴≌，AD BE ∴=，正确.B .据已知不能推出F 是AC 中点，即AC 和BF 不垂直，所以AC BE ⊥错误，故本选项符合题意.C.CFG 是等边三角形，理由如下：180606060ACG BCA ∠=︒-︒-︒=︒=∠，ACD BCE ≌，CBE CAD ∴∠=∠，在ACG 和BCF 中，{CAG CBFAC BCBCF ACG ∠=∠=∠=∠，ACG BCF ∴≌，CG CH ∴=，又∵∠ACG=60° CFG ∴是等边三角形，正确.D.CFG 是等边三角形，60CFG ACB ∴∠︒=∠﹦，.FG BC ∴ 正确.故选B.16．如图，已知AD 为ABC ∆的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE ∆，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED ∆为等腰三角形；⑤BDE ACE S S ∆∆=，其中正确的有( )A ．①③B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤【答案】D【解析】【分析】 ①根据等腰直角三角形的性质即可证明∠CBE ＝∠DAE ，再得到△ADE ≌△BCE ； ②根据①结论可得∠AEC ＝∠DEB ，即可求得∠AED ＝∠BEG ，即可解题；③证明△AEF ≌△BED 即可；④根据△AEF ≌△BED 得到DE=EF, 又DE ⊥CF ，故可判断；⑤易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE ＝EF ，S △AEF ＝S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE ＝S △ACE ，所以S △BDE ＝S △ACE ．【详解】①∵AD 为△ABC 的高线，∴CBE ＋∠ABE ＋∠BAD ＝90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE ＝∠BAE ＝∠BAD ＋∠DAE ＝45°，AE ＝BE ，∴∠CBE ＋∠BAD ＝45°，∴∠DAE ＝∠CBE ，故①正确；在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；②∵△ADE ≌△BCE ，∴∠EDA ＝∠ECB ，∵∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∴∠EDC ＋∠ECB ＝90°，∴∠DEC ＝90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE ＝∠ADB ＋∠ADE ，∠AFE ＝∠ADC ＋∠ECD ，∴∠BDE ＝∠AFE ，∵∠BED ＋∠BEF ＝∠AEF ＋∠BEF ＝90°，∴∠BED ＝∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD＝AF故③正确；∵△AEF≌△BED∴DE=EF, 又DE⊥CF，∴△DEF为等腰直角三角形，故④错误；④∵AD＝BC，BD＝AF，∴CD＝DF，∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形，∵DE⊥CE，∴EF＝CE，∴S△AEF＝S△ACE，∵△AEF≌△BED，∴S△AEF＝S△BED，∴S△BDE＝S△ACE．故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．17．如图，已知等边△ABC的边长为4，面积为43，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（）A．3 B．2C．3D．3【答案】C【解析】【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，∴BD⊥AC，EC＝2，连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，∵点E是边BC的中点，∴AE⊥BC，∴PE+PC的最小值是22-=．4223-＝22AC E C故选C．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．18．如图所示，在四边ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，若在BC和CD上分别找一点M，使得△AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数为（）A．110°B．120°C．140°D．150°【答案】B【解析】【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【详解】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB=120°，∴∠AA′M+∠A″=180°-120°=60°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，故选B．【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用，根据轴对称的性质，得出M，N的位置是解题的关键．19．如图，O是正三角形ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+33；⑤S△AOC+S△AOB=6+934．其中正确的结论是（）A．①②③⑤B．①③④C．②③④⑤D．①②⑤【答案】A【解析】试题解析：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③正确； S 四边形AOBO ′=S △AOO′+S △OBO′=12×3×4+3×42=6+43，故结论④错误；如图②所示，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，则S △AOC +S △AOB =S 四边形AOCO″=S △COO″+S △AOO″=123293，故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．故选A ．20．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（）．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．详解：∵60BAC ∠=︒，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴12EBC ABC ∠=∠，12ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022EBC ECB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故①正确．如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴AD 为BAC ∠的平分线，∴DF DG =，∴36090260120FDG ∠=︒-︒⨯-︒=︒，又∵120BDC ∠=︒，∴120BDF CDF ∠+∠=︒，120CDG CDF ∠+∠=︒．∴BDF CDG ∠=∠，∵在BDF 和CDG △中，90BFD CGD DF DGBDF CDG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDF ≌()CDG ASA ，∴DB CD =， ∴1(180120)302DBC ∠=︒-︒=︒， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠，∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，1302BAE BAC ∠=∠=︒，根据三角形的外角性质， 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒，∴DEB DBE ∠=∠，∴DB DE =，故②正确．∵DB DE DC ==，∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，综上所述，正确结论有①②③，故选：D ．点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．。

人教版八年级上册数学第十二章全等三角形章末综合测试(含解析)

第十二章全等三角形章末综合测试一．选择题1．如图，已知两个三角形全等，那么∠1的度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°3．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和一条斜边分别对应相等4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD相交于点O，如果已知∠ABC＝∠ACB，那么还不能判定△ABE≌△ACD，补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．BE＝CD C．OB＝OC D．∠BDC＝∠CEB 5．如图，AD＝AE，BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝100°，∠BAE＝70°，下列结论错误的是（）A．△ABE≌△ACD B．△ABD≌△ACE C．∠DAE＝40°D．∠C＝30°6．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，补充条件后，仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′，这个补充条件是（）A．BC＝B′C′B．∠A＝∠A′C．AC＝A′C′D．∠C＝∠C′7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，过D作DE⊥AB交AC 于E，如果AC＝5cm，则AD+DE为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，则OM的长为（）A．1B．2C．3D．49．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长为（）A．3B．4C．5D．610．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°．则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．如果△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，△DEF的周长为偶数，则EF的长为．12．如图，△ABC≌△DCB，若AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝5cm，则DC＝cm．13．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB．14．如图，已知∠CAE＝∠DAB，AC＝AD．给出下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件为．（注：把你认为正确的答案序号都填上）15．如图，在正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点在格点上，现以△ABC的一边再作一个三角形，使所得的三角形与△ABC全等，且其顶点也在格点上，则这样的三角形有个．16．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店．17．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于．18．△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，如果点O到BC边的距离为5，则点O到AB 边的距离为．19．如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝6，则PD＝．20．如图已知，∠BAC＝30°，D为∠BAC平分线上一点，DF∥AC交AB于F，DE⊥AC 于E，若DE＝2，则DF＝．三．解答题21．已知：如图，AB＝CD，AC＝BD，AC、BD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F．求证：BF＝CF．22．如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF，连接AF；（1）∠B与∠C相等吗？请说明理由．（2）若∠B＝40°，∠DFC＝20°，若AF平分∠BAE时，求∠BAF的度数．23．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．24．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．参考答案1．解：∵两个三角形全等，∴∠2＝∠1＝180°﹣58°﹣72°＝50°，故选：D．2．解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC∴∠A＝∠BED＝∠CED，∠ABD＝∠EBD＝∠C∵∠BED+∠CED＝180°∴∠A＝∠BED＝∠CED＝90°在△ABC中，∠C+2∠C+90°＝180°∴∠C＝30°故选：D．3．解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；C、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意；D、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．故选：A．4．解：添加A选项中条件可用SAS判定两个三角形全等；添加B选项以后是SSA，无法证明三角形全等；添加C选项中条件首先根据等边对等角得到∠OBC＝∠OCB，再由等式的性质得到∠ABE ＝∠ACD，最后运用ASA判定两个三角形全等；添加D选项中条件首先根据等角的补角相等可得∠ADC＝∠AEB，再由AAS判定两个三角形全等；故选：B．5．解：A、正确．∵AD＝AE∴∠ADE＝∠AED∵BD＝CE∴BD+DE＝CE+DE，即BE＝CD∴△ABE≌△ACD（SAS）B、正确．∵△ABE≌△ACD∴AB＝AC，∠B＝∠C∵BD＝CE∴△ABD≌△ACE（SAS）C、错误．∵∠ADB＝∠AEC＝100°∴∠ADE＝∠AED＝80°∴∠DAE＝20°D、正确．∵∠BAE＝70°∴∠BAD＝50°∵∠ADB＝∠AEC＝100°∴∠B＝∠C＝30°故选：C．6．解：A中两边夹一角，满足条件；B中两角夹一边，也可证全等；C中∠B并不是两条边的夹角，C不对；D中两角及其中一角的对边对应相等，所以D也正确，故选：C．7．解：∵DE⊥AB，AC⊥BC，BE＝BC，BD＝BD ∴△DEB≌△DCB∴DE＝DC∴AD+DE＝AD+DC＝AC∵AC＝5cm∴AD+DE＝5cm故选：C．8．解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，∵AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，∴OD＝OE＝OM，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴S△ABC＝AC•BC＝×AB•OE+AC•OD+BC•OM，∴＝+•OM+，∴OM＝2，故选：B．9．解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝2，∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴×2×4+×2×AC＝7，∴AC＝3．故选：A．10．解：AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝104°，∴∠BAE＝∠CAE＝52°，∴①正确；∵∠C＝40°，AD⊥BC，∴∠CAD＝50°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝52°﹣50°＝2°，∴②正确；∵△AEF是斜三角形，△AED是直角三角形，∴△AEF和△AED不全等，∴EF≠ED，∴③错误；∵点F为BC的中点，∴BF＝BC，∴S△ABF＝S△ABC，∴④正确；故选：C．11．解：4﹣2＜BC＜4+22＜BC＜6．若周长为偶数，BC也要取偶数所以为4．又因为△ABC≌△DEF，所以BC＝EF．所以EF的长也是4．故答案是：4．12．解：∵△ABC≌△DCB，∴AB＝DC＝4cm．故填4．13．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°﹣∠AHE，又∵∠EAH＝∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD＝∠AHE，∴∠EAH＝∠DCH，∴∠EAH＝90°﹣∠CHD＝∠BCE，所以根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE．可证△AEH≌△CEB．故填空答案：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE．14．解：∵∠CAE＝∠DAB，∴∠CAE+∠EAB＝∠DAB+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE；又AC＝AD；所以要判定△ABC≌△AED，需添加的条件为：①AB＝AE（SAS）；③∠C＝∠D（ASA）；④∠B＝∠E（AAS）．故填①、③、④．15．解：如图所示：以AB为边的有3个，以BC为边的有1个，以AC为边的有1个，共有5个，故答案为：5．16．解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故答案为：③．17．解：过E作EF⊥BC于点F，∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，∴BE＝DE＝5，∴S△BCE＝BC•EF＝×5×1＝5，故答案为：5．18．解：∵△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，∴点O到AB边的距离＝点O到BC边的距离＝5，故答案为：519．解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA∴PE＝PD，∵OP是∠AOB的角平分线，∠AOB＝60°，∴∠AOP＝∠BOP＝30°，∵PC∥OA，∴∠OPC＝∠AOP，∴∠BOP＝∠OPC＝30°，∴PC＝OC＝6，∠PCE＝60°．∴PE＝OC•sin60°＝3．∴PE＝PD＝3故答案为：3．20．解：如图，过点D作DG⊥AB于G，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC∴DG＝DE，∵DF∥AC，∴∠DFG＝∠BAC＝30°，在Rt△DFG中，DF＝2DG＝2×2＝4．故答案为：4．21．证明：在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ACB＝∠DBC，∴EB＝EC，∵EF⊥BC，∴BF＝CF．22．解：（1）∠B＝∠C，理由如下：∵CE＝BF，∴BE＝CF，在△AEB和△DFC中，，∴△AEB≌△DFC（SSS），∴∠B＝∠C；（2）∵△AEB≌△DFC，∴∠AEB＝∠DFC＝20°，∴∠EAB＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝120°，∵AF平分∠BAE，∴∠BAF＝∠BAE＝60°．23．解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°∴∠OBC＝30°，∠OCB＝20°，∴∠COB＝180°﹣（30°+20°）＝130°；（2）过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，∵∠ABC＝60°，OB＝4∴∠OBD＝30°，∴OD＝OB＝2，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴OE＝OF＝2，∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝×2×AB+×2×AC+×2×BC ＝AB+BC+AC，又∵△ABC的周长为16，∴S△ABC＝16．24．证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠DOC＝∠BOC，又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，∴△DCO≌△BCO（ASA）∴CB＝CD，∴OB＝OD，∴CE是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，∴EC平分∠BED，∴点O到EB与ED的距离相等．。

专题2.6 三角形章末达标检测卷(北师大版)(解析版)

第4章三角形章末达标检测卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019秋•潮安区期末）图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．【答案】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角．故选：D．【点睛】此题考查了三角形的分类．2．（3分）（2019秋•海沧区校级期中）以下是四位同学在钝角三角形△ABC中画AC边上的高，其中正确的是（）A．B．C．D．【分析】找到经过顶点B且与AC垂直的BD所在的图形即可．【答案】解：A、高BD交AC的延长线于点D处，符合题意；B、没有经过顶点B，不符合题意；C、做的是BC边上的高线AD，不符合题意；D、没有经过顶点B，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的高线，过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做高．3．（3分）（2019•泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（）A．点D B．点E C．点F D．点G【分析】根据三角形三条中线相交于一点，这一点叫做它的重心，据此解答即可．【答案】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，∴点D是△ABC重心．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的重心的定义，属于基础题意，比较简单．4．（3分）（2019春•稷山县期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，得到三角形全等，由全等得到角相等，是用的全等的性质，全等三角形的对应角相等．【答案】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'（SSS），则△COD≌△C'O'D'，即∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．5．（3分）（2019秋•南昌县期中）若△ABC的边长都是整数，周长为12，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为（）A．7B．6C．5D．8【分析】根据已知条件可以得到三角形的另外两边之和，再根据三角形的三边关系可以得到另外两边之差应小于4，则最大的差应是3，从而求得最大边．【答案】解：设这个三角形的最大边长为a，最小边是b．根据已知，得a+b＝8．根据三角形的三边关系，得：a﹣b＜4，当a﹣b＝3时，解得a＝5，b＝2；故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．6．（3分）（2019秋•涡阳县期中）如图，在△ABC中，E、F分别是AD、CE边的中点，且S△BEF＝2cm2，则S△ABC为（）A．4 cm2B．6 cm2C．8 cm2D．10 cm2【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【答案】解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC，∴S△BCE＝S△ABC，∵点F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE．∴S△ABC＝8cm2故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．7．（3分）（2019•路南区期末）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（）A．B．C．D．【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．【答案】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．8．（3分）（2019秋•柳林县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝9cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm【分析】由垂直的定义，三角形的内角和定理和角的和差求∠FBD＝∠F AE，直角三角形中两锐角互余和等腰三角形的判定与性质求得BD＝AD，用角角边证明△FBD≌△CAD，由其性质得BF＝AC，求出BF的长是9cm．【答案】解：如图所示：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BEA＝90°，又∵∠FBD+∠BDF+∠BFD＝180°，∠F AE+∠FEA+∠AFE＝180°，∠BFD＝∠AFE，∴∠FBD＝∠F AE，又∵∠ABC＝45°，∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD，在△FBD和△CAD中，，∴△FBD≌△CAD（AAS），∴BF＝AC，又∵AC＝9cm，∴BF＝9cm．故选：D．【点睛】本题综合了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差，垂直定义和等腰三角形的判定与性质，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点用角角边证明的三角形全等问题，也可以用角边角证明三角形全等．9．（3分）（2019春•高新区期中）如图，大树AB与大树CD相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两颗大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA＝ED，已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为1m/s，小华行走到点E的时间是（）A．13B．8C．6D．5【分析】首先证明∠A＝∠DEC，然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD，进而可得EC＝AB＝5m，再求出BE的长，然后利用路程除以速度可得时间．【答案】解：∵∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∵ABE＝90°，∴∠A+∠AEB＝90°，∴∠A＝∠DEC，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴EC＝AB＝5m，∵BC＝13m，∴BE＝8m，∴小华走的时间是8÷1＝8（s），故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，路程，速度时间的关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．（3分）（2019秋•义安区期末）如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数为（）A．49°B．50°C．51°D．52°【分析】先根据折叠性质得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，根据三角形内角和为180°和周角360°求出结论．【答案】解：由折叠得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°，∵∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝131°，∴∠2＝180°﹣131°＝49°，故选：A．【点睛】本题是折叠问题，考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后的两个角相等，结合三角形的内角和求出角的度数．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2019秋•射阳县期中）要想使一个六边形活动支架ABCDEF稳固且不变形，至少需要增加3根木条才能固定．【分析】首先根据三角形的稳定性，把六边形活动支架ABCDEF分成三角形，然后根据从同一个顶点出发可以作出的对角线的条数解答即可．【答案】解：如图，，要想使一个六边形活动支架ABCDEF稳固且不变形，至少需要增加3根木条才能固定．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，要熟练掌握，解答此题的关键是熟记三角形具有稳定性．12．（3分）（2019春•郓城县期末）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE＝20米，则AB＝20米．【分析】根据题目中的条件可证明△ACB≌△DCE，再根据全等三角形的性质可得AB＝DE，进而得到答案．【答案】解：∵点C是AD的中点，也是BE的中点，∴AC＝DC，BC＝EC，∵在△ACB和△DCE中，，∴△ACB≌△DCE（SAS），∴DE＝AB，∵DE＝20米，∴AB＝20米，故答案为：20米．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键掌握全等三角形的判定定理和性质定理．13．（3分）（2019春•江阴市期中）如图，在△ABC中，∠C＝40°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于220°．【分析】首先根据三角形内角和可以计算出∠A+∠B的度数，再根据四边形内角和为360°可算出∠1+∠2的结果．【答案】解：∵△ABC中，∠C＝40°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝140°，∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣140°＝220°，故答案为：220°．【点睛】此题主要考查了三角形内角和以及多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）．180°（n≥3）且n为整数）．14．（3分）（2019秋•常德期末）根据下列条件：①AB＝3，AC＝4，AC＝8；②∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4；③AB＝5，BC＝3，∠A＝30°；④AB＝3，BC＝4，AC＝5，其中能画出唯一三角形是②④（填序号）．【分析】根据三角形的三边关系定理，先看看能否组成三角形，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【答案】解：①∵3+4＜8，∴根据AB＝3，BC＝4，AB＝8不能画出三角形，故本选项错误；②根据∠A＝60°，∠B＝30°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，即能画出唯一三角形，故本选项正确；③根据AB＝5，BC＝3，∠A＝30°不能画出唯一三角形，故本选项错误；④根据AB＝3，BC＝4，AC＝5，符合全等三角形的判定定理SSS，即能画出唯一三角形，故本选项正确；故答案为：②④．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．15．（3分）（2019春•靖远县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝50°．【分析】由AE平分∠BAC，可得角相等，由∠1＝30°，∠2＝20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案．【答案】解：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠EAD+∠2，∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°，Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣30°﹣10°＝50°．故答案为50°．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD＝10°是正确解答本题的关键．16．（3分）（2019秋•庐阳区期末）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过0，4，12，16秒时，△DEB与△BCA全等．【分析】设点E经过t秒时，△DEB≌△BCA；由斜边ED＝CB，分类讨论BE＝AC或BE＝AB或AE＝0时的情况，求出t的值即可．【答案】解：设点E经过t秒时，△DEB≌△BCA；此时AE＝3t分情况讨论：（1）当点E在点B的左侧时，BE＝24﹣3t＝12，∴t＝4；（2）当点E在点B的右侧时，①BE＝AC时，3t＝24+12，∴t＝12；②BE＝AB时，3t＝24+24，∴t＝16．（3）当点E与A重合时，AE＝0，t＝0；综上所述，故答案为：0，4，12，16．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键．三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）（2019春•福鼎市期中）如图，已知∠ACD＝75°，点E在AB上．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不必写作法）以E为顶点，EB为一边作∠FEB＝∠A，EF交CD于F．（2）在（1）的条件下，求∠CFE的度数．【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法作∠FEB＝∠A即可；（2）先根据题意得出AC∥EF，再由平行线的性质即可得出结论．【答案】解：（1）如图，∠FEB即为所求；（2）∵∠FEB＝∠A，∴AC∥EF，∴∠C+∠CFE＝180°．∵∠C＝75°，∴∠CFE＝180°﹣75°＝105°．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知作一个角等于已知角的作法是解答此题的关键．18．（8分）（2019秋•莆田期末）如图，△ABC的高为AD．△A'B'C'的高为A'D'，且A'D'＝AD．现有①②③三个条件：①∠B＝∠B'，∠C＝∠C'；②∠B＝∠B'，AB＝A'B'；③BC＝B'C'，AB＝A'B'．分别添加以上三个条件中的一个，如果能判定△ABC≌△A'B'C'，写出序号，并画图证明；如果不能判定△ABC≌△A'B'C'，写出序号，并画出相应的反例图形．【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【答案】解：①能判定△ABC≌△A'B'C'，证明如下：如图1，∵AD＝A'D'，∠B＝∠B'，∠ADB＝∠A'D'B'，∴△ABD≌△A'B'D'（AAS），∴AB＝A'B'，又∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）；②不能判定△ABC≌△A'B'C'，对应的反例如图2所示．（只要C'在射线B'D'上，且B'C'≠BC均可）③不能判定△ABC≌△A'B'C'，对应的反例如图3所示．【点睛】本题考查了前段时间的判定，正确的作出图形是解题的关键．19．（8分）（2019秋•织金县期末）如图，在△ABC中，∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；（2）当点P在线段AD上运动时，求证：．【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．【答案】（1）解：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°．∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝30°．∴∠ADC＝65°．又∵∠DPE＝90°，∴∠E＝25°（2）证明：∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝90°﹣（∠B+∠ACB）．∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°﹣（∠ACB﹣∠B）．∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°．∴∠ADC+∠E＝90°．∴∠E＝90°﹣∠ADC，即∠E＝（∠ACB﹣∠B）．【点睛】此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解决问题的关键．20．（8分）（2019春•胶州市期末）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM于点D，BE⊥CM于点E．（1）如图①，试写出AD，BE，DE之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，试写出AD，BE，DE之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）如图①根据余角的性质得到∠DAC＝∠ECB，根据全等三角形的性质得到AD＝CE，DC＝EB，等量代换得到结论；（2）如图②，根据余角的性质得到∠DAC＝∠ECB，根据全等三角形的性质得到AD＝CE，DC＝EB，等量代换得到结论．【答案】解：（1）如图①DE＝AD+BE，∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴AD＝CE，DC＝EB，∵DE＝DC+CE，∴DE＝AD+BE；（2）如图2，DE＝AD﹣BE，理由是：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵AD⊥MN，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠BCD＝∠CAD，在△ACD和△CBE中，∵，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∵DE＝CE﹣CD，∴DE＝AD﹣BE．【点睛】本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS、SAS、AAS、ASA；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．21．（10分）（2019秋•金乡县期中）某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案：方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长AC至点D，连接BC 并延长至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长．方案2：如图（2），过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB间的距离问：（1）方案1是否可行？并说明理由；（2）方案2是否可行？并说明理由；（3）小明说：“在方案2中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，将“BF⊥AB，DE⊥BF”换成条件AB ∥DE也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上．【分析】（1）利用SAS定理证明△ABC≌△DEC可得AB＝DE；（2）利用ASA定理证明△ABC≌△DEC可得AB＝DE；（3）AB∥DE，可得∠B＝∠BDE，利用ASA定理证明△ABC≌△DEC可得AB＝DE．【答案】解：（1）在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB＝DE；（2）∵BF⊥AB，DE⊥BF，∴∠B＝∠BDE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（ASA），∴AB＝DE；（3）只需AB∥DE即可，∵AB∥DE，∴∠B＝∠BDE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（ASA），∴AB＝DE，故答案为：AB∥DE．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定与性质．22．（10分）（2019秋•新抚区期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝90度；如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝120度；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β，如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠B，得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠B＝60°，计算即可；（3）根据三角形内角和定理得到∠B＝∠ACB＝（180°﹣α），根据（1）的结论得到∠ACE＝∠B，即可得出结论．【答案】解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠ACB＝45°，∠ADE＝∠AED＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案为：90；（2）∵∠BAC＝60°，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠ACB＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，由（1）得，∠ACE＝∠B＝60°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝120°，故答案为：120；（3）α+β＝180°，理由如下：∵∠BAC＝α，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣α），由（1）得，∠ACE＝∠B＝（180°﹣α），∴β＝∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝180°﹣α，∴α+β＝180°．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

2020高中数学第二章解三角形章末综合检测(二)(含解析)5

章末综合检测（二）(时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a,则a的取值范围是( ) A．（8，10) B．（2错误!,错误!)C．（2错误!,10）D．(错误!，8）解析:选B.依题意，三角形为锐角三角形，则错误!,解得2错误!<a〈错误!，故选B.2．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B sin C,则A的取值范围是( )A。

错误!B．错误!C.错误!D．错误!解析：选C。

根据题意，由正弦定理得，a2≤b2＋c2－bc,即b2＋c2－a2≥bc,由余弦定理得，cos A＝错误!≥错误!＝错误!。

又0<A<π，所以0〈A≤错误!.3．在△ABC中，若错误!＝错误!＝错误!，则△ABC是（)A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析：选B.由正弦定理,原式可化为错误!＝错误!＝错误!，所以tan A ＝tan B ＝tan C 。

又因为A ,B ，C ∈（0,π），所以A ＝B ＝C .所以△ABC 是等边三角形．4．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝错误!，b ＝4，那么满足条件的△ABC( )A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定解析：选C.由正弦定理得a sin B ＝b sin A ＝4×sin 60°＝4×错误!＝2错误!.又a ＝错误!,且错误!〈2错误!，故△ABC 无解．5．将村庄甲、乙、丙看成三点A 、B 、C ，正好构成△ABC ,角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,tan C ＝3错误!。

若错误!·错误!＝错误!，且甲到丙的距离与乙到丙的距离之和为9，则甲、乙之间的距离为（ )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：选C.因为tan C ＝3错误!，所以错误!＝3错误!，又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1得cos C ＝±错误!.因为tan C 〉0,所以C 是锐角．所以cos C ＝18.因为错误!·错误!＝错误!,所以ab cos C ＝错误!，所以ab ＝20.又因为a＋b＝9，所以a2＋2ab＋b2＝81,所以a2＋b2＝41，所以c2＝a2＋b2－2ab cos C＝36,所以c＝6，故选C。

专题11.11 三角形章末测试卷(拔尖卷)(举一反三)(人教版)(解析版)

第11章三角形章末测试卷（拔尖卷）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2021春•玄武区校级月考）如图，∠BAD＝∠ADC＝90°，以AD为一条高线的三角形个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解题思路】由于AB⊥AD，AD⊥CD，根据三角形的高的定义，可确定以AD为一条高线的三角形的个数．【解答过程】解：以AD为一条高线的三角形有△ADE、△ADC、△AEC、△DAB这4个，故选：C．2．（3分）（2020秋•巩义市月考）随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（）A．三角形两边之和大于第三边B．三角形具有稳定性C．三角形的内角和是180°D．直角三角形两个锐角互余【解题思路】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．【解答过程】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性，故选：B．3．（3分）（2021春•莲湖区期末）在△ABC中，AB＝10，BC＝1，并且AC的长为偶数，则△ABC的周长为（）A．20B．21C．22D．23【解题思路】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值，从而求得三角形的周长．【解答过程】解：根据三角形的三边关系得：10﹣1＜AC＜10+1，即9＜AC＜11，∵AC为偶数，∴AC＝10，∴△ABC的周长为：10+10+1＝21，故选：B．4．（3分）（2020春•晋江市期末）在△ABC中，若∠A＞∠B+∠C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形【解题思路】根据在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°,∠A＞∠B+∠C可求出∠A的取值范围，进而得出结论．【解答过程】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＞∠B+∠C，∴2∠A＞180°，解得∠A＞90°，∴△ABC是钝角三角形．故选：A．5．（3分）（2021春•周村区月考）如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．80°【解题思路】根据两直线平行同位角相等，将∠A转化为∠ECF，再利用三角形内角和定理求出度数．【解答过程】解：连接AC并延长交EF于点G．∵AB∥CF，∴∠BAC＝∠FCG，∵AD∥CE，∴∠DAC＝∠ECG，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝∠FCG+∠ECG＝∠ECF，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣55°＝45°，∴∠BAD＝∠ECF＝45°．故选：A．6．（3分）（2021春•汉阳区期末）将每一个内角都是108o的五边形按如图所示方式放置，若直线m∥n，则∠1和∠2的数量关系是（）A．∠1+∠2＝90°B．∠1＝∠2+72oC．∠1＝∠2+36o D．2∠1+∠2＝180°【解题思路】如图，延长DC交直线n于2点H．由m∥n，得∠2＝∠CHG．由四边形内角和等于360°，得∠4+∠5+∠A+∠B＝360°，故∠1+∠A+∠B+∠5＝360°，那么∠5＝144°﹣∠1．由∠3+∠GCH+∠CGH＝180°，得∠CGH＝108°﹣∠2，故108°﹣∠2＝144°﹣∠1．进而推断出∠1＝36°﹣∠2．【解答过程】解：如图，延长DC交直线n于2点H．由题意得：∠A＝∠B＝∠DCB＝108°．∴∠GCH＝180°﹣∠DCB＝180°﹣108°＝72°．∵∠1和∠4是对顶角，∴∠1＝∠4．∵∠4+∠5+∠A+∠B＝360°，∴∠4+∠5＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣（108°+108°）＝144°．∴∠1+∠5＝144°．∴∠5＝144°﹣∠1．∵∠5与∠CGH是对顶角，∴∠5＝∠CGH．∵m∥n，∴∠2＝∠CHG．又∵∠GCH+∠3+∠CGH＝180°，∴72°+∠2+∠5＝180°．∴∠5＝108°﹣∠2．∴108°﹣∠2＝144°﹣∠1．∴∠1＝∠2+36°．故选：C．7．（3分）（2021春•长安区期末）如图，已知点P是射线ON上一动点（不与点O重合），∠O＝30°，若△AOP为钝角三角形，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜60°B．90°＜∠A＜180°C．0°＜∠A＜30°或90°＜∠A＜130°D．0°＜∠A＜60°或90°＜∠A＜150°【解题思路】由∠O＝30°可分两种情况：若∠A为钝角，则90°＜∠A＜180°﹣30°，可直接求解∠A 的范围；若∠A为锐角，则90°＜∠A＜180°﹣30°，再根据三角形外角的性质可求解．【解答过程】解：∵∠O＝30°，若∠A为钝角，则90°＜∠A＜180°﹣30°，即90°＜∠A＜150°，若∠A为锐角，则0°＜∠APN＜90°，∵∠APN＝∠O+∠A，∴∠A+30°＜90°，∴0°＜∠A＜60°，综上，∠A的取值范围为0°＜∠A＜60°或90°＜∠A＜150°，故选：D．8．（3分）（2020秋•台江区校级月考）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．270°【解题思路】根据直角三角形的性质得到∠COP+∠CPO＝90°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答过程】解：如图，∵∠C＝90°，∴∠COP+∠CPO＝90°，∵∠1＝∠D+∠DOA，∠2＝∠E+∠EPB，∠DOA＝∠COP，∠EPB＝∠CPO，∴∠1+∠2＝∠D+∠E+∠COP+∠CPO＝30°+90°+90°＝210°，故选：C．9．（3分）（2021春•丹阳市期末）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿DE 折叠，使得点B 落在AC 边上的点F 处，若∠CFD ＝60°且△AEF 中有两个内角相等，则∠A 的度数为（）A ．30°或40°B ．40°或50°C ．50°或60°D ．30°或60°【解题思路】分三种情形：①当AE ＝AF 时，②当AF ＝EF 时，③当AE ＝EF 时，分别求解即可．【解答过程】解：①当AE ＝AF 时，则∠AFE ＝∠AEF =12（180°﹣∠A ），∵∠B ＝∠EFD ＝90°﹣∠A ，∠CFD ＝60°，∴∠AFD ＝120°，∴12（180°﹣∠A ）+90°﹣∠A ＝120°， ∴∠A ＝40°．②当AF ＝EF 时，∠AFE ＝180°﹣2∠A ，同法可得180°﹣2∠A +90°﹣∠A ＝120°，∴∠A ＝50°．③当AE ＝EF 时，点F 与C 重合，不符合题意．综上所述，∠A ＝40°或50°，故选：B ．10．（3分）（2021春•衡阳期末）如图，∠ABC ＝∠ACB ，BD 、CD 分别平分△ABC 的内角∠ABC 、外角∠ACP ，BE 平分外角∠MBC 交DC 的延长线于点E ．以下结论：①∠BDE =12∠BAC ；②DB ⊥BE ；③∠BDC +∠ABC ＝90°；④∠BAC +2∠BEC ＝180°．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解题思路】根据三角形的内角和定理、三角形的外角的性质判断即可．【解答过程】解：①∵∠DCP ＝∠BDC +∠CBD ，2∠DCP ＝∠BAC +2∠DBC ，∴2（∠BDC +∠CBD ）＝∠BAC +2∠DBC ，∴∠BDE =12∠BAC ，故①正确．②∵BD 、BE 分别平分△ABC 的内角∠ABC 、外角∠MBC ，∴∠DBE ＝∠DBC +∠EBC =12∠ABC +12∠MBC =12×180°＝90°， ∴EB ⊥DB ，故②正确，③∵∠DCP ＝∠BDC +∠CBD ，2∠DCP ＝∠BAC +2∠DBC ，∴2（∠BDC +∠CBD ）＝∠BAC +2∠DBC ，∴∠BDC =12∠BAC ，∵∠BAC +2∠ABC ＝180°，∴12∠BAC +∠ABC ＝90°， ∴∠BDC +∠ABC ＝90°，故③正确，④∵∠BEC ＝180°−12（∠MBC +∠NCB ）＝180°−12（∠BAC +∠ACB +∠BAC +∠ABC ）＝180°−12（180°+∠BAC ），∴∠BEC ＝90°−12∠BAC ，∴∠BAC +2∠BEC ＝180°，故④正确，故选：D ．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2020春•翼城县期末）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上3根木条．【解题思路】从一个多边形的一个顶点出发，能做（n﹣3）条对角线，把多边形分成（n﹣2）个三角形．【解答过程】解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；故答案为：3．12．（3分）（2021春•曲阳县期末）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为7或8或9．【解题思路】根据多边形的内角和公式列方程求出切下一个三角形后多边形的边数，再分新多边形的边数比原多边形的边数增加1，减少1，不变三种情况求解．【解答过程】解：设切下一个三角形后多边形的边数x，由题意得，（x﹣2）•180°＝1080°，解得x＝8，所以，n＝8﹣1＝7，n＝8+1＝9，或n＝x＝8．故答案为：7或8或9．13．（3分）（2021春•南京月考）现有长为100cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每小段的长度为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，则n的最大值为9．【解题思路】根据三角形的三边关系；三角形两边之和大于第三边，由于每段的长为不小于1的整数，所以设最小的是1，又由于其中任意三段都不能拼成三角形，所以每段长是；1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，然后依此类推，最后每段的总和要不大于100即可．【解答过程】解：因为n段之和为定值100cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小．又由于每段的长度不小于1cm，且任意3段都不能拼成三角形，因此这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，但1+1+2+3+5+8+13+21+34＝88＜100，1+1+2+3+5+8+13+21+34+55＝143＞100，所以n 的最大值为9．故答案为9．14．（3分）（2021春•道里区期末）在△ABC 中，AE 是中线，AD 是高，AD ＝6，CD ＝1，若△ABC 的面积为12，则线段DE 的长度为 1或3 ．【解题思路】根据题意分AD 在△ABC 内部和AD 在△ABC 外部两种情况进行讨论，先根据三角形的面积公式求得BC ＝4，再根据三角形中线的性质及边之间的和差关系求解即可．【解答过程】解：当AD 在△ABC 内部时，如图1，根据题意可知S △ABC ＝12，即12×BC ×AD ＝12，解得BC ＝4，∵AE 是△ABC 的中线，∴BE ＝EC =12BC ＝2，∴DE ＝EC ﹣DC ＝2﹣1＝1；当AD 在△ABC 外部时，如图2，根据题意可知S △ABC ＝12，即12×BC ×AD ＝12，解得BC＝4，∵AE是△ABC的中线，∴BE＝EC=12BC＝2，∴DE＝EC+DC＝2+1＝3，综上所述，DE长为1或3．故答案为：1或3．15．（3分）（2021春•新都区期末）如图，将△ABC沿DE、DF翻折，使顶点B、C都落于点G处，且线段BD、CD翻折后重合于DG，若∠AEG+∠AFG＝54°，则∠A＝63度．【解题思路】连接BG、CG，由折叠的性质得BD＝CD＝GD，则∠BGC＝90°，∠GBC+∠GCB＝90°，又由折叠的性质得EG＝EB，FG＝FC，得出∠EBG＝∠EGB，∠FGC＝∠FCG，由三角形外角性质得出2∠EBG+2∠FCG＝54°，得出∠EBG+∠FCG＝27°，则∠ABC+∠ACB＝∠EBG+∠FCG+∠GBC+∠GCB ＝117°，即可得出结果．【解答过程】解：连接BG、CG，如图所示：由折叠的性质得：BD＝CD＝GD，∴∠BGC＝90°，∠GBC+∠GCB＝90°，又由折叠的性质得：EG＝EB，FG＝FC，∴∠EBG＝∠EGB，∠FGC＝∠FCG，∵∠AEG＝2∠EBG，∠AFG＝2∠FCG，∠AEG+∠AFG＝54°，∴2∠EBG+2∠FCG＝54°，∴∠EBG+∠FCG＝27°，∴∠ABC+∠ACB＝∠EBG+∠FCG+∠GBC+∠GCB＝27°+90°＝117°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣117°＝63°，故答案为：63．16．（3分）（2021春•迁安市期末）某工人加工一个机器零件（数据如图），经过测量不符合标准．标准要求是：∠EFD＝120°，且∠A、∠B、∠C保持不变．为了达到标准，工人在保持∠E不变情况下，应将图中∠D减小（填“增大”或“减小”）15度．【解题思路】延长EF交CD于点M，利用外角解决角度变化问题．【解答过程】解：如图延长EF交CD于点M，由图可知∠EMD是△NEC的外角，∠EFD是△DMF的外角，∴∠EMD＝∠E+∠MCE，∠EFD＝∠EMD+∠D，∵∠A＝70°，∠B＝50°，∴∠ACB＝60°，∴∠MCE＝∠ACB＝60°，∵∠E＝40°，∴∠EMD＝∠E+∠MCE＝40°+60°＝100°，∵要求∠EFD＝120°，∴∠D＝∠EFD﹣∠EMD＝20°，由图可知∠D原来是35°，∴∠D要减少15°．故答案为：∠D减少15°．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2020秋•洪山区期中）如图，AD、CE是正五边形ABCDE的对角线，交点为F，试求∠CFD 的度数．【解题思路】利用正五边形的性质可得CD＝DE＝AE，∠AED＝∠CDE，易得∠ADE，∠CDE的度数，由外角的性质可得结果．【解答过程】解：∵正五边形ABCDE，∴CD＝DE＝AE，∠AED＝∠CDE=(5−2)×1805=108°，∴∠ADE=180°−108°2=36°＝∠CED，∴∠CFD＝∠ADE+∠CED＝36°+36°＝72°．18．（6分）（2019秋•瑶海区期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．【解题思路】（1）直接根据非负数的性质即可得出结论；（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．【解答过程】解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形；（2）∵a＝5，b＝2，且c为整数，∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，∴c＝4，5，6，∴当c＝4时，△ABC周长的最小值＝5+2+4＝11；当c＝6时，△ABC周长的最大值＝5+2+6＝13．19．（8分）（2021春•衡阳期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．（1）∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∠BAD＝55°，求∠BED的度数；（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD．【解题思路】（1）由所给的条件不难求出∠ABE的度数，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而可求∠BED的度数；（2）由AD，BE是三角形的中线，可得到S△ABD=12S△ABC，S△BDE=12S△ABD，再由S△BDF=12BD•EF，可求得BD的长度，从而可求CD的长度．【解答过程】解：（1）∵∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∴∠ABE＝35°﹣18°＝17°，∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝17°+55°＝72°；（2）∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD=12S△ABC，又∵S△ABC＝30，∴S△ABD=12×30＝15，又∵BE为△ABD的中线，∴S△BDE=12S△ABD，∴S△BDE=12×15=152，∵EF⊥BC，且EF＝5，∴S △BDE =12•BD •EF ，∴12•BD ×5=152， ∴BD ＝3，∴CD ＝BD ＝3．20．（8分）（2021春•通许县期末）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90゜，CD ⊥AB 于D ．（1）求证：∠ACD ＝∠B ；（2）若AF 平分∠CAB 分别交CD 、BC 于E 、F ，求证：∠CEF ＝∠CFE ．【解题思路】（1）由于∠ACD 与∠B 都是∠BCD 的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CF A ＝90°﹣∠CAF ，∠AED ＝90°﹣∠DAE ，再根据角平分线的定义得出∠CAF ＝∠DAE ，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF ＝∠CFE ．【解答过程】证明：（1）∵∠ACB ＝90゜，CD ⊥AB 于D ， ∴∠ACD +∠BCD ＝90°，∠B +∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ；（2）在Rt △AFC 中，∠CF A ＝90°﹣∠CAF ，同理在Rt △AED 中，∠AED ＝90°﹣∠DAE ．又∵AF 平分∠CAB ，∴∠CAF ＝∠DAE ，∴∠AED ＝∠CFE ，又∵∠CEF ＝∠AED ，∴∠CEF ＝∠CFE ．21．（8分）（2021春•高邮市期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合），连接CP ．（1）当∠B＝72°时；①若∠CPB＝54°，则△ACP是“倍角三角形”（填“是”或“否”）；②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．【解题思路】（1）①求出△APC中各个内角的度数，即可判断．②由∠B＝72°，△BPC是“倍角三角形”，推出△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，由此即可解决问题．（2）首先确定△ABC是“倍角三角形”时，有两种情形，45°的直角三角形，30°的直角三角形，再分类讨论解决问题即可．【解答过程】解：（1）①∵∠ACB＝90°，∠B＝72°，∴∠C＝90°﹣72°＝18°，∵∠CPB＝54°，∴∠A+∠ACP＝54°，∴∠ACP＝36°，∴∠ACP＝2∠A，∴△ACP是“倍角三角形”，故答案为：是．②∵∠B＝72°，△BPC是“倍角三角形”，∴△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，∴∠BCP＝36°或72°，∴∠ACP＝54°或18°．（2）如图2﹣1中，当△ABC是等腰直角三角形，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP＝45°．如图2﹣2中，当∠A＝60°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP＝60°．如图2﹣3中，当∠A＝60°，∠BPC＝100°时，满足条件，此时∠BCP＝50°．如图2﹣4中，当∠B＝60°，∠APC＝100°时，满足条件，此时∠BCP＝40°．如图2﹣5中，当∠B＝60°，∠APC＝90°时，满足条件，此时∠BCP＝30°．综上所述，满足条件的∠BC的值为30°或40°或45°或50°或60°．22．（8分）（2021春•侯马市期末）（1）如图1，四边形ABCD沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABCD内的点C'D'处，探索∠AMD′、∠BNC'与∠A+∠B之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，将四边形ABCD沿着直线MN翻折，使得点D落在四边形ABCD外部的D′处，点C落在四边形ABCD内部的C'处，直接写出∠AMD'、∠BNC'与∠A+∠B之间的关系．【解题思路】（1）根据四边形的内角和可知∠DMN+∠CNM＝∠A+∠B，再根据翻折可找到∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的数量关系．（2）同理可得∠DMN+∠CNM＝∠A+∠B，再根据翻折可找到∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的数量关系．【解答过程】解：（1）∠AMD′+∠BNC′＝360°﹣2（∠A+∠B），理由如下：根据四边形的内角和为360°可知，∠D+∠C＝360°﹣（∠A+∠B），∠DMN+∠CNM＝360°﹣（∠C+∠D）＝∠A+∠B，根据折叠的性质得，∠DMN＝∠D′MN，∠CNM＝∠C′NM，∴∠DMD′+∠CNC′＝2（∠A+∠B），∵∠DMD′+∠AMD′＝180°，∠CNC′+∠BNC′＝180°，∴∠AMD′+∠BNC′＝360°﹣2（∠A+∠B）．（2）∠BNC′﹣∠AMD′＝360°﹣2（∠A+∠B），理由如下：由（1）知，∠DMN+∠CNM＝∠A+∠B，根据折叠的性质得，∠DMN＝∠D′MN，∠CNM＝∠C′NM，∴∠D′MN+∠C′NM＝∠A+∠B，由四边形的内角和为360°得，∠D′MN﹣∠AMD′+∠BNC′+∠C′NM＝360°﹣（∠A+∠B）∴∠BNC′﹣∠AMD′＝360°﹣2（∠A+∠B）．23．（8分）（2021春•海口期末）如图1，直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B 在直线n上运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．（1）∠ACB＝135°；（2）如图2，若BD是△AOB的外角∠OBE的角平分线，BD与AC相交于点D，点A、B在运动的过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（3）如图3，过C作直线与AB交于F，且满足∠AGO﹣∠BCF＝45°，求证：CF∥OB．【解题思路】（1）根据直角三角形的性质得到∠BAO+∠ABO＝90°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案；（2）根据三角形的外角性质得到∠OBE﹣∠OAB＝90°，再根据三角形的外角性质计算即可；（3）根据邻补角的概念得到∠BCG＝45°，根据三角形的外角性质得到∠CBG＝∠BCF，根据平行线的判定定理证明结论．【解答过程】（1）解：∵∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CAB=12∠BAO，∠CBA=12∠ABO，∴∠CAB+∠CBA=12（∠BAO+∠ABO）＝45°，∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°，故答案为：135°；（2）解：∠ADB的大小不发生变化，∵∠OBE是△AOB的外角，∴∠OBE＝∠OAB+∠AOB，∵∠AOB＝90°，∴∠OBE﹣∠OAB＝90°，∵BD平分∠OBE，∴∠EBD=12∠OBE，∵∠EBD是△ADB的外角，∴∠EBD＝∠BAG+∠ADB，∴∠ADB＝∠EBD﹣∠BAG=12∠OBE−12∠OAB＝45°；（3）证明：∵∠ACB＝135°，∠ACB+∠BCG＝180°，∴∠BCG＝180°﹣∠ACB＝180°﹣135°＝45°，∵∠AGO是△BCG的外角，∴∠AGO＝∠BCG+∠CBG＝45°+∠CBG，∵∠AGO﹣∠BCF＝45°，∴45°+∠CBG﹣∠BCF＝45°，∴∠CBG＝∠BCF，∴CF∥OB．。

三角形解答题章末训练(Word版含解析)

三角形解答题章末训练（Word 版含解析）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．（问题探究）将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处.（1）如图，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出A ∠与1∠之间的数量关系；（2）如图，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：122A ∠+∠=∠；（3）如图，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，探索1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，并加以证明；（拓展延伸）（4）如图，若把四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、D 落在四边形BCFE 的内部点A '、D 的位置，请你探索此时1∠，2∠，A ∠，D ∠之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由.【答案】【问题探究】（1）∠1=2∠A ；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒.【解析】【分析】（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题，（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题，（3）运用三角形的外角性质即可解决问题，（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）如图，∠1=2∠A ．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A ； ∵∠1=∠A+∠EA′D ，∴∠1=2∠A ．（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°， ∴∠A′+∠A=∠1+∠2，由折叠知识可得∠A=∠A′， ∴2∠A=∠1+∠2．（3）如图，∠1=2∠A+∠2理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A ，∠EFA=∠A′+∠2， ∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，（4）如图，根据翻折的性质，()3181201∠=-∠，()4181202∠=-∠， ∵34360A D ∠+∠+∠+∠=︒，∴()()180118023601122A D ∠+∠+-∠+-∠=︒，整理得，()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．2．（1）如图1．在△ABC 中，∠B =60°，∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，则∠O = °，（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小；（3）如图3，若∠B =α，11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠，则∠P = （用含α的代数式表示）．【答案】（1）∠O =60°；（2）90°－12α；（3）11(1)180P n nα∠=-⨯- 【解析】【分析】（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O 的大小；（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=111-18022α︒⨯-（），再将2替换成n 即可分析求解. 【详解】解：（1）因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，且∠B=60°，所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=，有∠O=180120οο-=60°.（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180° ∵∠ACE 是△ABC 的外角， ∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β ∵CO 平分∠ACE11()22ACO ACE αβ∴∠=∠=+ 同理可得：1()2CAO αγ∠=+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，∴11180180()()22O ACO CAO αβαγ︒︒∠=-∠-∠=-+-+ 1180()2αβαγ︒=-+++111180()1809090222αβααα︒︒︒︒=-++=--=-；（3）∵∠B=α，11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠，由（2）可知n=2时，有∠P=1180902α︒︒--=111-18022α︒⨯-（），将2替换成n 即可， ∴11(1)180P n nα∠=-⨯-. 【点睛】本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.3．如图，△ABC 的三条角平分线相交于点I ，过点I 作DI ⊥IC ，交AC 于点D ． (1)如图①，求证：∠AIB ＝∠ADI ；(2)如图②，延长BI ，交外角∠ACE 的平分线于点F. ①判断DI 与CF 的位置关系，并说明理由； ②若∠BAC ＝70°，求∠F 的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)解：①结论：DI ∥CF ，②35°. 【解析】分析：（1）只要证明∠AIB=90°+12∠ACB ，∠ADI=90°+12∠ACB 即可；（2）①只要证明∠IDC=∠DCF 即可；②首先求出∠ACE-∠ABC=∠BAC=70°，再证明∠F=12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC ）即可解决问题；详解：(1)证明：∵AI ，BI 分别平分∠BAC ，∠ABC ， ∴∠BAI ＝12∠BAC ，∠ABI ＝12∠ABC ， ∴∠BAI ＋∠ABI ＝12 (∠BAC ＋∠ABC)＝12 (180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB. 在△ABI 中，∠AIB ＝180°－(∠BAI ＋∠ABI)＝180°－(90°－12∠ACB)＝90°＋12∠ACB.∵CI平分∠ACB，∴∠DCI＝12∠ACB.∵DI⊥IC，∴∠DIC＝90°，∴∠ADI＝∠DIC＋∠DCI＝90°＋12∠ACB.∴∠AIB＝∠ADI. (2)解：①结论：DI∥CF.理由：∵∠IDC＝90°－∠DCI＝90°－12∠ACB，CF平分∠ACE，∴∠ACF=12∠ACE＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB，∴∠IDC＝∠ACF，∴DI∥CF.②∵∠ACE＝∠ABC＋∠BAC，∴∠ACE－∠ABC＝∠BAC＝70°.∵∠FCE＝∠FBC＋∠F，∴∠F＝∠FCE－∠FBC.∵∠FCE＝12∠ACE，∠FBC＝12∠ABC，∴∠F＝12∠ACE－12∠ABC＝12(∠ACE－∠ABC)＝35°.点睛：本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和，三角形内角和定理：三角形的内角和为180°，难度适中，此类题型的关键在于结合题目条件与三角形的外角性质，三角形内角和定理.4．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．（1）∠E= °；（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形；②求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，根据已知可推导得出x﹣y=45，再根据三角形外角的性质即可求得答案；（2）①根据角平分线的尺规作图的方法作出图形即可；②如图2，由CF平分∠ECB可得∠ECF=12y，再根据∠E+∠EAF=∠F+∠ECF以及∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，可推导得出45°+452y+=∠F+12y，由此即可求得答案；（3）如图3，设∠FAH=α，根据AF平分∠EAB可得∠FAH=∠EAF=α，根据已知可推导得出∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH②，由此可得∠FPH=22.53α+，再根据∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，即可求得答案.【详解】（1）如图1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，∴∠CAF=12∠DAC，∠ACE=12∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，∵∠B=90°，∴∠ACB+∠BAC=90°，∴2y+180﹣2x=90，x﹣y=45，∵∠CAF=∠E+∠ACE，∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，故答案为：45；（2）①如图2所示，②如图2，∵CF平分∠ECB，∴∠ECF=12 y，∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，∴45°+∠EAF=∠F+12y ①，同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+y，∴∠EAF=452y+②，把②代入①得：45°+452y+=∠F+12y，∴∠F=67.5°，即∠AFC=67.5°；（3）如图3，设∠FAH=α，∵AF平分∠EAB，∴∠FAH=∠EAF=α，∵∠AFM=13∠AFC=13×67.5°=22.5°，∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，∴45+α=67.5+∠FCH，∴∠FCH=α﹣22.5①，∵∠AHN=13∠AHC=13（∠B+∠BCH）=13（90+2∠FCH）=30+23∠FCH，∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，∴α+22.5=30+23∠FCH+∠FPH，②把①代入②得：∠FPH=22.53α+，∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，α﹣22.5=mα+n22.5·3α+，解得：m=2，n=﹣3．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、基本作图——角平分线等，熟练掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质、结合图形进行求解是关键.5．如图①，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(4，1)，C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．(1)求证：∠OAC＝∠OCA；(2)如图②，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC＝13∠AOC，∠PCE＝13∠ACE，求∠P的大小；(3)如图③，在(2)中，若射线OP、CP满足∠POC＝1n∠AOC，∠PCE＝1n∠ACE，猜想∠OPC的大小，并证明你的结论(用含n的式子表示)．【答案】（1）证明见解析（2）15°（3）45 n【解析】试题分析：（1）根据AB坐标可以求得∠OAB大小，根据角平分线性质可求得∠OAC大小，即可解题；（2）根据题干中给出的∠POC=13∠AOC、∠PCE=13∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；（3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=1n∠AOC、∠PCE=1n∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．试题解析：(1)证明：∵A(0，1)，B(4，1)，∴AB∥CO，∴∠OAB＝180°－∠AOC＝90°.∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝45°，∴∠OCA＝90°－45°＝45°，∴∠OAC＝∠OCA.(2)解：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝30°.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝(180°－45°)＝45°.∵∠P＋∠POC＝∠PCE，∴∠P＝∠PCE－∠POC＝15°.(3)解：∠OPC＝.证明如下：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝(180°－45°)＝.∵∠OPC＋∠POC＝∠PCE，∴∠OPC＝∠PCE－∠POC＝.点睛：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE和∠POC的大小是解题的关键．6．我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：．（填“能“或“不能”）（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．则θ=度；活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．数学思考：（3）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．【答案】（1）能．(2)θ=22.5；(3) 15°≤θ＜18°．【解析】【分析】（1）根据已知条件：小棒两端能分别落在两射线上进行判断即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即得结果；（3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得关于θ的不等式组，解不等式组即得结果.【详解】(1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒两端能分别落在两射线上，∴小棒能继续摆下去；(2)∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，∴∠A2A1A3=45°，∴∠AA2A1+∠θ=45°，∵∠AA2A1=∠θ，∴∠θ=22.5°；(3)如图乙，∵A2A1=A2A3，∴∠A2A3A1=∠A2A1A3=2θ°，∵A2A3=A4A3，∴∠A3A2A4=∠A3A2A4=3θ°，∵A4A3=A4A5，∴∠A4A3A5=∠A4A5A3=4θ°，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可得6θ⩾90°，5θ<90°，∴15°⩽θ<18°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，根据题意找出规律并结合等腰三角形的性质是解题的关键.7．已知△ABC，（1）如图1，若D点是△ABC内任一点、求证：∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式．（不需要证明）（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°；（3）∠D+∠ACD=∠A+∠ABD，证明见解析.【解析】试题分析：（1）由∠BDC=∠2+∠CED，∠CED=∠A+∠1，可以得出∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）由∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+DCB=180°，可以得出∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．（3）根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知∠AED=∠1+∠A，∠AED=∠D+∠2，所以可知∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．试题解析：（1）证明：延长BD交AC于点E．∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC=∠2+∠CED，∵∠CED是△ABE的外角，∴∠CED=∠A+∠1．∴∠BDC=∠A+∠1+∠2．即∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）∵∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+∠DCB=180°，∴∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．（3）证明：令BD、AC交于点E，∵∠AED是△ABE的外角，∴∠AED=∠1+∠A，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED=∠D+∠2．∴∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．点睛：本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．8．学习几何的一个重要方法就是要学会抓住基本图形，让我们来做一次研究性学习．（1）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们常把这样的图形叫做“规形图”．请你观察“规形图”，试探究∠BOC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由：（2）如图②，若△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且它们相交于点O，试探究∠BOC与∠A的关系；（3）如图③，若△ABC中，∠ABO=13∠ABC，∠ACO=13∠ACB，且BO、CO相交于点O，请直接写出∠BOC与∠A的关系式为_．【答案】（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．理由见解析；（2）∠BOC=90°+12∠A．理由见解析；（3）∠BOC=60°+23∠A．理由见解析.【解析】【分析】（1）如图1，连接AO，延长AO到H．由三角形的外角的性质证明即可得到结论：∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；（2）利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明可得到结论：∠BOC=90°+12∠A；（3）类似（2）可证明结论：∠BOC=60°+23∠A．【详解】解：（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．理由：如图1，连接AO，延长AO到H．∵∠BOH=∠B+∠BAH，∠CAH=∠C+∠CAH，∴∠BOC=∠B+∠BAH+∠CAH+∠C=∠BAC+∠B+∠C，∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；（2）∠BOC=90°+12∠A．理由：如图2，∵OB，OC是△ABC的角平分线，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC=180°-12（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+12∠A，∴∠BOC=90°+12∠A；（3）∠BOC=60°+23∠A．理由：∵∠ABO=13∠ABC，∠ACO=13∠ACB，∴∠BOC=180°-23（∠ABC+∠ACB）=180°-23（180°-∠A）=60°+23∠A．故答案为：∠BOC=60°+23∠A．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的角的基本知识．9．已知，如图甲，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC 于D．（1）试说明：∠EFD=（∠C﹣∠B）；（2）当F在AE的延长线上时，如图乙，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．【答案】（1）见详解；（2）成立，证明见详解.【解析】【分析】(1) 根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣12（∠B+∠C），然后根据三角形的外角的性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求得结论；(2)根据(1)可以得到∠AEC=90°+12（∠B﹣∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解.【详解】解：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∠B ﹣∠C ） =90°﹣12（∠B+∠C ）， ∵∠FEC=∠B+∠BAE ，则∠FEC=∠B+90°﹣12（∠B+∠C ） =90°+12（∠B ﹣∠C ）， ∵FD ⊥EC ，∴∠EFD=90°﹣∠FEC ，则∠EFD=90°﹣[90°+12（∠B ﹣∠C ）] =12（∠C ﹣∠B ）；（2）成立．证明：同（1）可证：∠AEC=90°+12（∠B ﹣∠C ）， ∴∠DEF=∠AEC=90°+12（∠B ﹣∠C ）， ∴∠EFD=90°﹣[90°+12（∠B ﹣∠C ）] =12（∠C ﹣∠B ）．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．10．如图，90CDE CED ∠+∠=︒，EM 平分CED ∠，并与CD 边交于点M ．DN 平分CDE ∠，并与EM 交于点N ．（1）依题意补全图形，并猜想EDN NED ∠+∠的度数等于；（2）证明以上结论．证明：∵ DN 平分CDE ∠，EM 平分CED ∠，∴ 12EDN CDE ∠=∠，NED ∠＝．（理由：）∵ 90CDE CED ∠+∠=︒，∴EDN NED ∠+∠＝ ×（∠ ＋∠ ）＝ ×90°＝ °．【答案】（1）45度；（2）1,2CED ∠ 角平分线的定义， 12 ，CDE,CED, 12, 45．【解析】试题分析：（1）按要求画∠CDE 的角平分线交ME 于点N ，根据题意易得∠EDN+∠NED=45°；（2）根据已有的证明过程添上相应空缺的部分即可；试题解析：（1）补充画图如下：猜想：∠EDN+∠NED 的度数=45°；（2）将证明过程补充完整如下：证明：∵ DN 平分CDE ∠，EM 平分CED ∠，∴ 12EDN CDE ∠=∠，NED ∠＝12∠CED ．（理由：角平分线的定义） ∵ 90CDE CED ∠+∠=︒， ∴EDN NED ∠+∠＝12×（∠CDE+∠CED ）＝ 12×90°＝45°．故原空格处依次应填上：12∠CED 、角平分线的定义、CDE 、CED 、12和45.。

2021-2022学年新教材高中数学第九章解三角形章末质量检测(含解析)新人教B版必修第四册

第九章章末质量检测(一) 解三角形本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B＝( )A.53B.54C.55D.563．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A.6B ．2 C.3D.24．在△ABC 中，∠C ＝π4，AB ＝2，AC ＝6，则cos B 的值为( )A.12 B ．－32 C.12或－32 D.12或－125.△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“△ABC 为锐角三角形”是“a 2＋b 2>c 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1) mB ．180(2－1) mC ．120(3－1) mD ．30(3＋1) m7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A8．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且a ＝4，b ＋c ＝5, tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则△ABC 的面积为( )A.32B ．33C.332D.39．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为( )A ．3B.932C.332D ．3310．将一根长为12m 的铁管AB 折成一个60°的角∠ACB ，然后将A 、B 两端用木条封上，从而构成三角形ACB ，在不同的折法中，△ACB 面积S 的最大值为( )A ．9B ．93C ．18D ．18311．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的外接圆的面积为3π，且cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋sin A sin C ，则△ABC 的最大边长为( )A ．2B ．3C.3D ．2312．如图，有四座城市A ，B ，C ，D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360km/h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有( )A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．603km第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________.14．如图，在离地面高200m的热气球M上，观察到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为________m.15．如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．16．在△ABC中，∠ACB＝60°，BC>2，AC＝AB＋1，当△ABC的周长最短时，BC的长是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－1 2 .(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．18. (本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A ＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求角A和边长c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos A a＋cos Bb＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tan B.20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a sin B ＝3b cos A.(1)求角A；(2)若△ABC的面积为23，a＝5，求△ABC的周长．21．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且3⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin C －c cos B tan C ＝a .(1)求角A ；(2)若△ABC 的内切圆面积为4π，求△ABC 面积S 的最小值．22．(本小题满分12分)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？第九章章末质量检测(一) 解三角形1．解析：余弦定理AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C将各值代入得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)，故选A.答案：A2．解析：∵在△ABC中a＝52b，∴由正弦定理可得sin A＝52sin B①，又∵A＝2B，∴sin A＝sin2B＝2sin B cos B②，由①②可得52sin B＝2sin B cos B，可得cos B＝54，故选B.答案：B3．解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，则6＝a2＋2＋2a，即a2＋2a－4＝0，解得a＝2或a＝－22(舍)．故选D.答案：D4．答案：D5．解析：当△ABC为锐角三角形时，C一定为锐角，此时a2＋b2>c2成立，当a2＋b2>c2成立时，由余弦定理可得cos C＞0，即C为锐角，但此时△ABC形状不能确定，故△ABC 为锐角三角形”是“a2＋b2>c2”的充分不必要条件，故选A.答案：A6．解析：AC＝120，AB＝60sin75°，ABsin30°＝BCsin45°，所以BC＝AB sin45°sin30°＝60×2sin30°＋45°＝120(3－1)．故选C.答案：C7．解析：sin(A＋C)＋2sin B cos C＝2sin A cos C＋cos A sin C 所以2sin B cos C＝sin A cos C⇒2sin B＝sin A⇒2b＝a，故选A.答案：A8．解析：因为tan A＋tan B＋3＝3tan A·tan B，所以tan A＋tan B＝－3(1－tan A·tan B)，即tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A·tan B＝－3，所以A＋B＝2π3，C＝π3，又因为a＝4，b＋c＝5.所以(5－b )2＝42＋b 2－2×4b ×12.解得b ＝32，则△ABC 的面积为S ＝12×4×32×32＝332.故选C.答案：C9．解析：因为c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，所以由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即－2ab ＋6＝－ab ，ab ＝6，因此△ABC 的面积为12ab sin C ＝3×32＝332，故选C.答案：C10．解析：设AC ＝x,0<x <12，则BC ＝12－x ，S ＝12x (12－x )sin60°＝34x (12－x )≤34×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－x 22＝93，当且仅当x ＝12－x ，即x ＝6时取等号．∴S 的最大值为9 3.故选B. 答案：B11．解析：△ABC 的外接圆的面积为πR 2＝3π，∴R ＝ 3.cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋sin A sin C 则1－sin 2A －1＋sin 2B ＋1－sin 2C ＝1＋sin A sin C ，sin 2A －sin 2B ＋sin 2C ＋sin A sin C ＝0，根据正弦定理：a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0根据余弦定理：a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ＝－ac ，∴cos B ＝－12，∴∠B ＝120°故b 为最长边：b ＝2R sin B ＝3 故选B. 答案：B12．答案：D解析：取AB 的中点E ，连DE ，设飞机飞行了15分钟到达F 点，连BF ，如图所示：则BF 即为所求．因为E 为AB 的中点，且AB ＝120km ，所以AE ＝60km ，又∠DAE ＝60°，AD ＝60km ，所以三角形DAE 为等边三角形，所以DE ＝60km ，∠ADE ＝60°，在等腰三角形EDB 中，∠DEB ＝120°，所以∠EDB ＝∠EBD ＝30°，所以∠ADB ＝90°，由勾股定理得BD 2＝AB 2－AD 2＝1202－602＝10800，因为∠CBE ＝90°＋30°＝120°，∠EBD ＝30°，所以∠CBD ＝90°，所以CD ＝BD 2＋BC 2＝10800＋602×13＝240km ，所以cos∠BDC ＝BD CD ＝603240＝34，因为DF ＝360×14＝90km ，所以在三角形BDF 中，BF 2＝BD 2＋DF 2－2BD ·DF ·cos∠BDF＝(603)2＋902－2×603×90×34＝10800，所以BF ＝603km.故一架飞机从城市D 出发以360km/h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km.故选D. 答案：D13．解析：由正弦定理，得sin B sin A ＋sin A cos B ＝0.∵A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，∴sin A ≠0，得sin B ＋cos B ＝0，即tan B ＝－1，∴B ＝3π4.答案：3π414．解析：在Rt△DAM 中DM ＝200，∠MAD ＝45° ∴AM ＝2002，∵△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠AMC ＝60°，∴∠ACM ＝45°∵AM sin45°＝ACsin60°，∴AC ＝2003，∴BC ＝300.答案：300 15.解析：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B ＝∠C ＝75°，∠E ＝30°，BC ＝2，由正弦定理可得BC sin∠E ＝BEsin∠C，即2＝BE ，解得BE ＝6＋2；平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B ＝∠BFC ＝75°，∠FCB ＝30°，由正弦定理知，BFsin∠FCB＝BC sin∠BFC ，即BF sin30°＝2sin75°，解得BF ＝6－2，所以AB 的取值范围为(6－2，6＋2)．答案：(6－2，6＋2)16．解析：设A ，B ，C 所对的边a ，b ，c ，根据余弦定理可得a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ＝12，所以a 2＋b 2－c 2＝ab将b ＝c ＋1代入上式，可得a 2＋2c ＋1＝ac ＋a,化简可得c ＝a 2－a ＋1a －2，所以△ABC 的周长L ＝a ＋b ＋c ＝a ＋2c ＋1＝a ＋1＋2a 2－a ＋1a －2.设a －2＝t (t >0)，则a ＝t ＋2，可得L ＝t ＋3＋2t ＋22－t ＋2＋1t ＝3t ＋6t ＋9≥23t ·6t＋9＝9＋62，当且仅当3t ＝6t，即t ＝2此时a ＝2＋2，可得周长的最小值为9＋62，BC 的长是2＋ 2. 故答案为2＋ 2. 答案：2＋217．解析：(1)由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因为a ＝3，所以c 2－b 2＋3c ＋9＝0，因为b －c ＝2，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝7c ＝5.(2)由(1)知a ＝3，b ＝7，c ＝5，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1314；因为A 为△ABC 的内角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝3314.因为sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ＝3314.18．解析：(1)∵sin A ＋3cos A ＝0，∴tan A ＝－3，∵0<A <π，∴A ＝2π3，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即28＝4＋c 2－2×2c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4，故c ＝4.(2)∵c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ，∴16＝28＋4－2×27×2×cos C ，∴cos C ＝27，∴CD ＝AC cos C ＝227＝7，∴CD ＝12BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin∠BAC ＝12×4×2×32＝23，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝ 3. 19．解析：(1)根据正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35. 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45. 由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4. 20．解析：(1)由题意，在△ABC 中，因为a sin B ＝3b cos A ，由正弦定理，可得sin A sin B ＝3sin B cos A ，又因为B ∈(0，π)，可得sin B ≠0，所以sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3； (2)由(1)可知A ＝π3，且a ＝5，又由△ABC 的面积23＝12bc sin A ＝34bc ，解得bc ＝8，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得25＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(b ＋c )2－24，整理得(b ＋c )2＝49，解得b ＋c ＝7，所以△ABC 的周长a ＋b ＋c ＝5＋7＝12.21．解析：(1)因为3⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin C －c cos B tan C ＝a 所以3(sin B sin C －cos B cos C )＝sin A即－3cos(B ＋C )＝sin A ，所以3cos A ＝sin A ，即tan A ＝3，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3； (2)由题意知△ABC 内切圆的半径为2，如图，内切圆的圆心为I ，M ，N 为切点，则AI ＝4，AM ＝AN ＝23，从而a ＝b ＋c －43，由余弦定理得(b ＋c －43)2＝b 2＋c 2－bc ，整理得3bc ＋48＝83(b ＋c )≥163bc ，解得bc ≥48或bc ≤163(舍去)，从而S ＝12bc sin A ≥12×48×32＝123，即△ABC 面积S 的最小值为12 3.22．解析：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝12606365×45＝1040(m)．所以索道AB 的长为1040m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)＝200⎣⎢⎡⎦⎥⎤37⎝⎛⎭⎪⎫t －35372＋62537，由于0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤125043，62514(单位：m/min)范围内．。

2022_2022学年高中数学章末综合测评2解三角形北师大版必修5

章末综合测评(二) 解三角形(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，下列关系式①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C ，一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [由正弦定理知①正确，由余弦定理知③正确；②中由正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，显然成立；④中由正弦定理得sin B ＝2sin A sin C ，未必成立．]2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a 2－b 2＝3bc 且sin A ＋B sin B ＝23，则A 等于( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6A [由sin A ＋B sin B ＝23，得sinC sin B ＝23，∴c b＝23，即c ＝23b ，把c ＝23b 代入a 2－b 2＝3bc ，得a ＝7b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b2＝32．又A ∈(0，π)，则A ＝π6．] 3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞)C ．(0,10)D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，403D [由正弦定理可知c ＝a sin C sin A ＝403sin C ，因为0＜sin C ≤1，所以0＜c ≤403，即c ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，403，故选D ．]4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( ) A ．－78B ．78C ．－87D ．87B [设等腰三角形的底边长为a ，顶角为θ，则腰长为2a ，由余弦定理得，cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78．] 5．已知△ABC 的外接圆的半径是3，a ＝3，则A 等于( ) A ．30°或150° B ．30°或60° C ．60°或120° D ．60°或150°A [由正弦定理得sin A ＝a 2R ＝32×3＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝30°或150°．] 6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( ) A ．322B ．332C ．32D ．3 3B [由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12，∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332．]7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3A [由a sin A －b sinB ＝4c sinC ，得a 2－b 2＝4c 2，∵cos A ＝－14，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A＝－14，∴－3c 22bc ＝－14，∴bc＝6．]8．在△ABC 中，A ＝π3，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ( )A ．不存在B ．有一个C ．有两个D ．不确定A [由正弦定理a sin A ＝bsin B，∴sin B ＝b sin Aa ＝4·326＝2>1，∴ B 不存在．]9．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点D 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点D 向北偏东30°前进100 m 到达点C ，在C 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 mA [如图，AB 为水柱，高度设为h ，D 在A 的正西方向，C 在D 的北偏东30°方向．且CD ＝100 m ，∠ACB ＝30°，∠ADB ＝45°．在△ABD 中，AD ＝h ，在△ABC 中，AC ＝3h ．在△ACD 中，∠ADC ＝60°，由余弦定理得cos 60°＝1002＋h 2－3h22·100·h ＝12， ∴h ＝50或－100(舍)．]10．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5D [由倍角公式得23cos 2 A ＋cos 2A ＝25cos 2A －1＝0，cos 2A ＝125，△ABC 为锐角三角形cos A ＝15，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2－125b －13＝0．即5b 2－12b －65＝0，解方程得b ＝5．]11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若2b ＝a ＋c ，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( )A ．1＋ 3B ．1＋32C ．2＋32D ．2＋ 3A [由已知12ac sin 30°＝32，2b ＝a ＋c ，∴ac ＝6，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30° ＝(a ＋c )2－2ac －3ac ＝4b 2－12－63， ∴b ＝3＋1．]12．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形B [∵2a cos B ＝c ，∴2sin A cos B ＝sinC ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0．∴A ＝B ．又∵sin A sin B (2－cos C ) ＝sin 2C 2＋12， ∴sin A sin B ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2C 2＝sin 2C 2＋12，∴2sin A sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2C 2＋12＝sin 2C 2＋12，∴2sin A sin B ＝1，即sin 2A ＝12，∵0<A <π2，∴sin A ＝22．∴A ＝π4＝B ，∴C ＝π－π4－π4＝π2．]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上) 13．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝．4 [∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b ．又a ＝2，∴b ＝3．由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16．∴c ＝4．]14．在△ABC 中，M 是线段BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，AB →·AC →＝．－16 [法一 AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →＋MC →) ＝|AM →|2－|MB →|2＝9－5×5＝－16．法二特例法，假设△ABC 是以AB ，AC 为腰的等腰三角形，如图所示，AM ＝3，BC ＝10，则AB ＝AC ＝34，cos∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos∠BAC ＝－16．]15．在△ABC 中，已知BC ＝3，AB ＝10，AB 边上的中线为7，则△ABC 的面积为． 1523 [如图，设△ABC 中AB 边上的中线为CD ．则在△BCD 中，BC ＝3，BD ＝5，CD ＝7， ∴cos B ＝32＋52－722×3×5＝－12，又∵B ∈(0°，180°)， ∴B ＝120°， ∴sin B ＝32， ∴S △BCD ＝12BC ·BD ·sin B ＝12×3×5×32＝1543，∴S △ABC ＝2S △BCD ＝1523．]16．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10米到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为．10米 [画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°，∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，BO ＝3x ，在△BCO 中，由余弦定理，得(3x )2＝x 2＋100－2x ×10×cos(80°＋40°)，整理得x 2－5x －50＝0，解得x ＝10，x ＝－5(舍去)，故塔高为10米．]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状．[解] 结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2， ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2， ∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b ．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cosB ＝35．(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b 、c 的值． [解] (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45．由正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以sin A ＝a b sin B ＝25．(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝45c ＝4，∴c ＝5．由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A ． (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．[解] (1)在△ABC 中，由正弦定理，得asin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A＝ 262sin A cos A ，∴cos A ＝63． (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63，则c 2－8c ＋15＝0． ∴c ＝5或c ＝3．当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C ．由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去．故c 的值为5．20．(本小题满分12分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．[解] 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，且我艇在C 处追上走私船，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，AB ＝12，根据余弦定理得(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴t ＝2小时(t ＝－34舍去)．所以我艇追上走私船所需要的时间为2小时．21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos2A －B2·cosB －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35．(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求BA →在BC →方向上的射影． [解] (1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )·sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )·sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35．(2)由cos A ＝－35，π2＜A ＜π，得sin A ＝45．由正弦定理有a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22．由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4．根据余弦定理有(42)2＝52＋c 2－2×5×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．又∵cos B ＝cos π4＝22，故BA →在BC →方向上的射影为|BA →|cos B ＝22．22．(本小题满分12分)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A sinB ＋sin 2A ＝sin 2C ．(1)求证：sin C 2cos A＝sin A ；(2)若B 为钝角，且△ABC 的面积S 满足S ＝(b sin A )2，求A ． [解] (1)证明：由sin A sin B ＋sin 2A ＝sin 2C ，得ab ＋a 2＝c 2， ∴c 2＝a (a ＋b )， ∴c a ＝a ＋bc，如图，在△ABC 中，延长BC 到D ，使CD ＝AC ＝b ，连接AD ，则△ABC ∽△DBA ． ∴∠D ＝∠BAC ，又∠ACB ＝2∠D ，则∠ACB ＝2∠BAC ，∴sin∠ACB ＝2sin ∠BAC cos∠BAC ， ∴sin∠ACB2cos∠BAC＝sin ∠BAC ．因此，结论成立． (2)由S ＝(b sin A )2，得12bc sin A ＝(b sin A )2， ∴c ＝2b sin A ， ∴sin C ＝2sin B sin A ，由(1)知，sin C ＝2sin A cos A ， ∴cos A ＝sin B ，∴cos A ＝cos π2－B ＝cos B －π2．又A ，B －π2∈0，π2，则A ＝B －π2，又C ＝2A ，∴A ＋A ＋π2＋2A ＝π，∴A ＝π8．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

解三角形章末检测题及答案
[A 基础达标]
1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π
3，
则△ABC 的面积是( )
A ．3 B.932 C.332
D ．3 3
解析：选C.c 2＝(a －b )2＋6＝a 2＋b 2－2ab ＋6，根据余弦定理得2ab cos C ＝2ab －6，即ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝33
2
，故选C.
2．在△ABC 中，三边a ，b ，c 与面积S 的关系式为a 2＋4S ＝b 2＋c 2，则A 等于( ) A ．45° B ．60° C ．120°
D ．150°
解析：选A.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 且a 2＋4S ＝b 2＋c 2，所以S ＝12bc cos A ＝1
2bc sin A ，
即sin A ＝cos A ，则tan A ＝1，又0°<A <180°，所以A ＝45°.
3．已知△ABC 周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 边长为( ) A ．5 B ．6 C ．7
D ．8
解析：选C.由题设a ＋b ＋c ＝20，1
2bc sin 60°＝103，
所以bc ＝40.
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－120. 所以a ＝7.即BC 边长为7.
4．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )
A. 3 B ．5 3 C ．6 3
D ．7 3
解析：选B.连接BD ，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC ＝180°－120°
2＝30°，所以
∠ABD ＝90°.在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，知BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以BD ＝23，所以S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23＋12×
2×2×sin 120°＝5 3.
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝2，C ＝π
3，且a ＋b ＝3，
则△ABC 的面积为( )
A.13312
B.534
C.512
D.5312
解析：选D.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以22
＝a 2
＋b 2
－2ab ×cos π
3
，
即4＝(a ＋b )2－3ab ，又a ＋b ＝3，所以ab ＝5
3
，
所以S △ABC ＝1
2ab sin π3＝5312
，故选D.
6．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1
3，S △ABC ＝43，则b ＝________．
解析：因为cos C ＝13，C ∈(0，π)，所以sin C ＝22
3，
所以1
2ab sin C ＝43，所以b ＝2 3.
答案：2 3
7．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为________．解析：因为S ＝12bc sin A ，所以3＝12×2c sin 120°，所以c ＝2，所以a ＝
b 2＋
c 2－2bc cos A
＝
4＋4－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，所以2R ＝a sin A ＝23
3
2
＝4，所以R ＝2.
答案：2
8．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．
解析：由2B ＝A ＋C ，及A ＋B ＋C ＝π知， B ＝π3
.
在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝
BC
2
＝2，所以AD 2
＝AB 2
＋BD 2
－2AB ·BD cos π
3
＝3.
因此AD ＝ 3. 答案： 3
9．(2018·枣庄八中期末检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A .
(1)求角A 的大小；
(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．
解：(1)由3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2 A ，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝1
2或cos A ＝－2(舍去)．
因为0<A <π，所以A ＝π
3
.
(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝3
4bc ＝53，得bc ＝20.
又b ＝5，所以c ＝4.
由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 所以sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2A ＝2021×34＝5
7
.
10．(2018·佛山一中期中)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝1
2CD ，∠ADB ＝120°，
AD ＝2，且△ADC 的面积为3－ 3.
(1)求边BC 的长； (2)求∠BAC 的度数．
解：(1)因为∠ADC ＝180°－120°＝60°，AD ＝2，
所以S △ADC ＝12AD ·DC sin 60°＝3－3，即12×2×DC ×3
2＝3－3，解得DC ＝2(3－1)．
因为BD ＝1
2DC ，所以BD ＝3－1，BC ＝33－3.
(2)在△ABD 中，根据余弦定理，得 AB ＝
AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos 120°＝ 6.
同理，可得AC ＝6(3－1)．在△ABC 中，根据余弦定理，得
cos ∠BAC ＝6＋6（3－1）2－（33－3）22×6×6（3－1）＝1
2，
所以∠BAC ＝60°.
[B 能力提升]
11．平行四边形ABCD 中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形的面积是( ) A ．16 B ．17.5 C ．18
D ．18.5
解析：选A.设平行四边形的两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，则 a ＋b ＝9，a 2＋b 2－2ab cos α＝17， a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65，解得a ＝5，b ＝4，cos α＝3
5，
或a ＝4，b ＝5，cos α＝3
5，
所以S 平行四边形ABCD ＝ab sin α＝16.
12. (2018·株洲二中期末)如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的点，且AB ＝AD ＝
3
2
BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值是________．解析：设AB ＝x ，则AD ＝x ，BD ＝233x ，BC ＝43
3x .在△ABD 中，由余弦定理，得cos
A ＝x 2＋x 2－43x 22x 2＝13，则sin
A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理，得x sin C ＝BC
sin A ＝43
3x
22
3
，解得
sin C＝
6 6.
答案：
6 6
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足
S＝
3
4(a
2＋b2－c2)．
(1)求角C的大小；
(2)求sin A＋sin B的最大值．
解：(1)由题意可知
1
2ab sin C＝
3
4×2ab cos C.所以tan C＝3，
因为0<C<π，
所以C＝
π
3.
(2)由已知sin A＋sin B＝sin A＋sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π－A－
π
3
＝sin A＋sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2π
3－A
＝sin A＋
3
2cos A＋
1
2sin A
＝3sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
A＋
π
6
≤3
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
0<A<
2π
3
.
当A＝
π
3，即△ABC为等边三角形时取等号．所以sin A＋sin B的最大值为 3.。

解三角形章末检测题及答案

第五章：三角函数 章末测试(解析版)

人教版八年级上册第11章《三角形》章末达标检测卷

人教版 八年级数学 第11章 三角形 章末复习 (含答案)

专题01 三角形章末重难点题型(解析版)

专题12.12 全等三角形章末测试卷(拔尖卷)(举一反三)(人教版)(解析版)

天津市塘沽区紫云中学高中数学(人教A版,必修5)第一章 解三角形 配套练习：章末检测(A)

新人教A版必修5高中数学第一章解三角形章末检测(B)

人教版八年级数学上册第11章 三角形 章末复习测试题(一)及答案