马踏棋盘贪心算法
常用算法与程序设计第五章贪心算法
➢ 对给定的n位高精度正整数,去掉其中k(k<n)个数 字后，按原左右次序将组成一个新的正整数，使 得剩下的数字组成的新数最大。
➢ 操作对象是一个可以超过有效数字位数的n位高 精度数,存储在数组a中。
➢ 每次删除一个数字,选择一个使剩下的数最大的数 字作为删除对象。之所以选择这样“贪心”的操 作,是因为删k个数字的全局最优解包含了删一个 数字的子问题的最优解。
作业： 一个数列由n个正整数组成，对该数列进行
一次操作：去除其中两项a、b，添加一项 a*b+1。经过n-1次操作后该数列剩一个数a， 试求a的最大值。
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5.5 覆盖问题
二分图是一个无向图，它的n 个顶点可二分为集 合A和集合B，且同一集合中的任意两个顶点在图中 无边相连（即任何一条边都是一个顶点在集合A中， 另一个在集合B中）。当且仅当B中的每个顶点至少 与A中一个顶点相连时，A的一个子集A‘ 覆盖集合B （或简单地说，A’ 是一个覆盖）。覆盖A‘ 的大小即 为A’ 中的顶点数目。当且仅当A‘ 是覆盖B的子集中最 小的时，A’ 为最小覆盖。
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物品可拆背包问题C程序设计代码如下：
➢ for(i=1;i<=n-1;i++) 大到小排序 */
/* 对n件物品按单位重量的效益从
➢ for(j=i+1;j<=n;j++)
➢ if(p[i]/w[i]<p[j]/w[j])
➢ { h=p[i];p[i]=p[j]; p[j]=h;
5.1 贪心算法概述
5.1.1 贪心算法
有一艘大船准备用来装载货物。所有待装货物都装在 货箱中且所有货箱的大小都一样，但货箱的重量都各不相 同。设第i个货箱的重量为wi（1≤i≤n），而货船的最大载 重量为c，我们的目的是在货船上装入最多箱的货物。
贪心算法是指,在对问题求解时,总是做出在当前
贪心算法是指，在对问题求解时，总是做出在当前各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢贪心算法。
贪心算法是指。
在对问题求解时。
总是做出在当前看来是最好的选择。
也就是说。
不从整体最优上加以考虑。
他所做出的是在某种意义上的局部最优解。
贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解。
关键是贪心策略的选择。
选择的贪心策略必须具备无后效性。
即某个状态以前的过程不会影响以后的状态。
只与当前状态有关。
中文名,贪心算法。
别称,贪婪算法。
性质,一种改进了的分级处理方法。
核心,根据题意选取一种量度标准。
基本要素。
贪心选择是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择。
即贪心选择来达到。
这是贪心算法可行的第一个基本要素。
也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。
贪心选择是采用从顶向下。
以迭代的方法做出相继选择。
每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规模更小的子问题。
对于一个具体问题。
要确定它是否具有贪心选择的性质。
我们必须证明每一步所作的贪心选择最终能得到问题的最优解。
通常可以首先证明问题的一个整体最优解。
是从贪心选择开始的。
而且作了贪心选择后。
原问题简化为一个规模更小的类似子问题。
然后。
用数学归纳法证明。
通过每一步贪心选择。
最终可得到问题的一个整体最优解。
当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时。
称此问题具有最优子结构性质。
运用贪心策略在每一次转化时都取得了最优解。
问题的最优子结构性质是该问题可用贪心算法或动态规划算法求解的关键特征。
贪心算法的每一次操作都对结果产生直接影响。
而动态规划则不是。
贪心算法对每个子问题的解决方案都做出选择。
不能回退；动态规划则会根据以前的选择结果对当前进行选择。
有回退功能。
动态规划主要运用于二维或三维问题。
而贪心一般是一维问题。
基本思路。
贪心算法的基本思路是从问题的某一个初始解出发一步一步地进行。
根据某个优化测度。
每一步都要确保能获得局部最优解。
每一步只考虑一个数据。
他的选取应该满足局部优化的条件。
马踏棋盘
马踏棋盘学院专业学号学生姓名指导教师年月日摘要：国际象棋想必大家都玩过，但你有没有想过，让一个“马”遍历国际象棋8*8的棋盘，有没有可能？如果有可能，在给定起点的情况下，有多少种可能？下面，我们将用计算机来模拟“马”对棋盘的遍历.关键字：回溯算法贪心算法遍历正文：已知国际象棋为8×8棋盘，共64个格，规则中，马按照如图所示规则移动。
将马放在任意方格中，令马遍历每个方格一次且仅一次，编制非递归程序，将数字1，2， (64)照马的行走路线依次填入一个8×8的方阵，并输出结果。
通过结合图示，我们不难发现，当马的起始位置（i,j）确定的时候，可以走到下列8个位置之一：(i-2,j+1)、(i-1,j+2)、(i+1,j+2)、(i+2,j+1)、(i+2,j-1)、(i+1,j-2)、(i-1,j-2)、(i-2,j-1)但是，如果（i，j）靠近棋盘的边缘，上述有些位置可能超出棋盘范围，成为不可达的位置。
8个可能位置可以用一维数组Htry1[0…7]和HTry2[0..7]来表示：Htry1：0 1 2 3 4 5 6 7-2 -1 1 2 2 1 -1 -2 Htry2：0 1 2 3 4 5 6 71 2 2 1 -1 -2 -2 -1所以位于（i,j）的马可以走到新位置是在棋盘范围内的（i+ Htry1[h],j+Htry2[h]）,其中h的取值是0~7.整个问题，我们可以用两种算法来解决，既“回溯算法”与“贪心算法”我们先来看回溯算法：搜索空间是整个棋盘上的8*8个点.约束条件是不出边界且每个点只能经过一次.搜索过程是从一点(i，j)出发，按深度有限的原则，从8个方向中尝试一个可以走的点，直到走过棋盘上所有的点.当没有点可达且没有遍历完棋盘时，就要撤销该点，从该点上一点开始找出另外的一个可达点，直到遍历完整个棋盘我们接着看程序的需求分析：1．输入的形式和输入值的范围；分开输入马的初始行坐标X和列坐标Y，X和Y的范围都是［0,7］。
贪心算法求解五连珠问题
贪心算法求解五连珠问题本文讨论了利用贪心算法求解五连珠问题，建立无限棋盘模型并从局部最优解逐渐过渡到全局最优解。
并讨论了模型的优点和局限性。
模型能较好地解决五连珠这一数学问题。
标签：五子连珠问题；单位元棋盘模型；贪心算法引言所谓五连珠问题，即在二维平面，有一个大小为m×n的棋盘，如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。
称五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连为五连珠。
相应地，在三维空间中，有一个大小为m×n×p的立方体阵列，如果两个棋子所在的立方体共棱、共面或共顶点，那么称这两个棋子相连。
据此，提出以下问题：二维情况下，针对任意规模m×n 的棋盘，去掉一些棋子使剩下棋子不构成五连珠。
1 定义与符号说明1.四面子：在二维平面若所取棋子满足横、竖、斜（包含主对角线、次对角线两个方向）共四个方向达到最优取法，称之为“四面子”；相应地，若满足三个方向达到要求，我们称之为“三面子”，同理可得“二面子”、“一面子”。
2.单位元棋盘：满足要求的二维或三维棋盘中去掉棋子的分布是一种有规律的循环排列，最小的循环排列元称之为“单位元棋盘”。
3.初值棋子：在单位元棋盘中需要去掉棋子使棋盘达到要求，而每选取下一个棋子均是由上一个棋子根据一定的方法递推过去的，因此称选取的第一个去掉棋子为“初值棋子”。
4.必去棋子：初值棋子选取好之后，递推出的满足最优解的必定要去掉的棋子称之为“必去棋子”。
5.必不去棋子：必去棋子选取好之后，可以推算出满足最优解的必定不去掉的棋子称之为“必不去棋子”。
6.非必去棋子：必去棋子及非必去棋子确定好之后，剩下的棋子称之为非必去棋子。
2 二维问题的建模与求解2.1贪心算法贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。
也就是说，不从整体最优上加以考虑，每次循环所做出的是在某种意义上的局部最优解。
在使用贪心算法时，我们先把求解的问题分成若干个子问题。
图论探索之挑战奥数中的图论问题
图论探索之挑战奥数中的图论问题图论探索之挑战奥数中的图论问题图论是数学的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在奥数竞赛中，图论问题常常被用来考察学生的逻辑推理和问题解决能力。
本文将介绍一些挑战奥数中常见的图论问题，并通过具体案例来解析。
1. 马踏棋盘问题马踏棋盘问题是一个经典的图论问题，要求马在棋盘上按照规定的移动方式遍历所有格子，且每个格子仅经过一次。
这个问题可以使用图的深度优先搜索来解决。
以8×8的棋盘为例，我们可以将每个格子看作图中的一个顶点，把马的移动看作图中的边。
通过搜索算法，可以找到一条路径，使得马可以遍历所有的格子。
2. 平面图的染色问题染色问题是图论中一个经典的问题，常被用来考察学生对图的颜色分配和连通性的理解。
平面图的染色问题要求给定的平面图在没有相邻顶点之间有相同颜色的情况下，尽可能使用最少的颜色进行染色。
通过贪心算法，可以解决平面图的染色问题。
贪心算法的基本思想是从一个初始解开始，每次选择可行的局部最优解，最终得到全局最优解。
对于平面图的染色问题，我们可以从一个顶点开始，按顺序给相邻的顶点染色，直到所有的顶点都被染色。
3. 电厂选址问题电厂选址问题是一个实际的应用问题，也可以用图论的方法来解决。
在电厂选址问题中，需要确定电厂的位置，使得电厂到各个需求点的距离和最短。
将电厂和需求点看作图中的顶点，电厂和需求点之间的距离看作边的权重。
通过最短路径算法，可以求解电厂选址问题。
常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，它们可以帮助我们找到电厂的最佳位置，以实现最优的供电方案。
4. 旅行商问题旅行商问题是图论中的一个经典问题，要求寻找一条路径，使得旅行商可以经过每个城市一次，并返回起点城市，且总路径长度最短。
旅行商问题是一个NP难问题，目前还没有高效的解法。
常用的解决方法是使用近似算法，例如最邻近算法和最小生成树算法。
这些算法可以找到一个接近最优解的解决方案。
C++贪心算法实现马踏棋盘
C++贪⼼算法实现马踏棋盘本⽂实例为⼤家分享了C++贪⼼算法实现马踏棋盘的具体代码，供⼤家参考，具体内容如下算法实现流程：步骤1：初始化马的位置（结构体horse {x, y}）步骤2：确定马从当前点出发，可跳跃的附近8个点，以结构体Jump数组给出，但需判断当前给出的附近8个点是否曾经访问过，或者是否这8个点超出棋盘尺⼨。
步骤3：跟据步骤2确定跳跃的点，分别计算可跳跃点的下下⼀步，可跳跃点的个数。
并选出下下步可跳跃点数最少的点作为马下⼀步跳跃的点。
（举例说明：马当前所在点坐标（4，4），下⼀步可跳跃点有（5，2），（6，3），且（5，2）下⼀步可跳跃点有3个，（6，3）下⼀步可跳跃点2个；3 > 2这个时候，选择下下⼀跳⼩的点进⾏跳跃，则马下⼀跳为（6，3））流程图：#pragma once#include <iostream>#include <math.h>using namespace std;#define SAFE_DELETE(x) if (x != NULL) {delete(x); x = NULL;}#define SAFE_DELETE_ARR(x) if (x != NULL) {delete[](x); x = NULL;}#define PRING_ARR(title, arr, n) {cout << title << " "; for (int i=0; i<n; i++) {cout << arr[i] << " ";} cout << endl;}#define INF 9999999typedef struct{int x;int y;}Location;typedef struct{int delx;int dely;}Jump;class HorseRun{private:int** altas;int N; //棋盘的宽Location horse; //马当前的位置public:HorseRun(){N = 8;altas = new int* [N]();for (int j = 0; j < N; j++){altas[j] = new int[N]();memset(altas[j], 0, sizeof(int) * N);}//随机⽣成马的初始位置horse = { rand() % N, rand() % N };altas[horse.x][horse.y] = 1;cout << "马初始位置:" << "(" << horse.x << "," << horse.y << ")" << endl;Visit();}~HorseRun(){for (int i = 0; i < N; i++)SAFE_DELETE_ARR(altas[i]);SAFE_DELETE_ARR(altas);}inline void Visit(){Jump jump[8] = { {1,-2}, {2, -1}, {2, 1}, {1, 2}, {-1, 2}, {-2, 1}, {-2, -1}, {-1, -2} };int max_visit = 63;int forward_x, forward_y, forward_xx, forward_yy, w_cnt, min_cnt, tmp_run_x, tmp_run_y;while (max_visit-- > 0){min_cnt = INF;//棋⼦可跳⼋个⽅位for (int i = 0; i < 8; i++){forward_x = horse.x + jump[i].delx;forward_y = horse.y + jump[i].dely;//判断这两个坐标是否有效if (forward_x < 0 || forward_x >= N || forward_y < 0 || forward_y >= N || altas[forward_x][forward_y] == 1)continue;w_cnt = 0;for (int j = 0; j < 8; j++){forward_xx = forward_x + jump[j].delx;forward_yy = forward_y + jump[j].dely;if (forward_xx < 0 || forward_xx >= N || forward_yy < 0 || forward_yy >= N || altas[forward_xx][forward_yy] == 1)continue;w_cnt++;}if (min_cnt > w_cnt){min_cnt = w_cnt;tmp_run_x = forward_x;tmp_run_y = forward_y;}}//棋⼦移动判断if (min_cnt == INF){cout << "没有找到可以移动的地⽅" << endl;break;}else{horse.x = tmp_run_x;horse.y = tmp_run_y;altas[tmp_run_x][tmp_run_y] = 1;cout <<"第"<< 63 - max_visit << "步," << "棋⼦当前移动到:" << "(" << tmp_run_x << ", " << tmp_run_y << ")" << endl; }}}};#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS true#include "HorseRun.h"int main(){HorseRun app;return 0;}运⾏结果输出1-63步马⾏驶的具体路径信息：中间还有很多输出省略。
马踏棋盘贪心算法
【问题描述】马的遍历问题。
在８×８方格的棋盘上，从任意指定方格出发，为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的一条路径。
【初步设计】首先这是一个搜索问题，运用深度优先搜索进行求解。
算法如下：１、输入初始位置坐标x,y；２、步骤c:如果c>64输出一个解，返回上一步骤c--(x,y) ← c计算(x,y)的八个方位的子结点，选出那此可行的子结点循环遍历所有可行子结点，步骤c++重复2显然（２）是一个递归调用的过程，大致如下：void dfs(int x,int y,int count){int i,tx,ty;if(count>N*N){output_solution();//输入一个解return;}for(I=0;i<8;++i){tx=hn[i].x;//hn[]保存八个方位子结点ty=hn[i].y;s[tx][ty]=count;dfs(tx,ty,count+1);//递归调用s[tx][ty]=0;}}这样做是完全可行的，它输入的是全部解，但是马遍历当８×８时解是非常之多的，用天文数字形容也不为过，这样一来求解的过程就非常慢，并且出一个解也非常慢。
怎么才能快速地得到部分解呢？【贪心算法】其实马踏棋盘的问题很早就有人提出，且早在1823年，J.C.Warnsdorff就提出了一个有名的算法。
在每个结点对其子结点进行选取时，优先选择‘出口’最小的进行搜索，‘出口’的意思是在这些子结点中它们的可行子结点的个数，也就是‘孙子’结点越少的越优先跳，为什么要这样选取，这是一种局部调整最优的做法，如果优先选择出口多的子结点，那出口少的子结点就会越来越多，很可能出现‘死’结点（顾名思义就是没有出口又没有跳过的结点），这样对下面的搜索纯粹是徒劳，这样会浪费很多无用的时间，反过来如果每次都优先选择出口少的结点跳，那出口少的结点就会越来越少，这样跳成功的机会就更大一些。
03-8.3 贪心法解马踏棋盘
程序设计与问题求解——马踏棋盘(贪心法)主讲教师：仇国巍国际象棋棋盘是8*8的方格，现将“马”放在任意指定的方格中，按照走棋规则移动该棋子。
要求每个方格只能进入一次，最终走遍棋盘64个方格xy棋盘可用一个矩阵表示，当“马”位于棋盘上某一位置时，它就有一个唯一的坐标。
根据规则，如果当前坐标是(x,y)，那么它的下一跳可能有8个位置，分别是(x+2,y-1)、(x+2,y+1)、(x+1,y+2)、(x-1,y+2)、(x-2,y+1)、(x-2,y-1)、(x-1,y-2)、(x+1,y-2)。
当然坐标不能越界马最初的位置标为1，它的下一跳的位置标为2，再下一跳的位置标为3，依次类推，如果马走完棋盘，那么最后在棋盘上标的位置是64要求编程解决马踏棋盘问题，最后输出一个8*8的矩阵，并用数字1-64来标注“马”的移动基本解法：深度优先搜索从某位置出发，先试探下一个可能位置；进入一个新位置后就从该位置进一步试探下一位置，若遇到不可行位置则回退一步，然后再试探其他可能位置bool Dfs(int chess[][8], int x, int y, int j){}马踏棋盘——深度优先搜索求解可以用8*8数组chess[][] 存储棋子周游状态，未走过位置赋0，走过的位置依次为1、2、3、……。
设(x,y)为当前位置，j 为当前走到第几步// 深度优先搜索求解核心代码chess[x][y] = j; //将新的一步标注到矩阵中if (j == 64) return true; //成功！依次回退结束程序计算下一可能位置(nextX, nextY);//不考虑是否可行while ( (nextX, nextY)位置是否可行) {if (Dfs(chess, nextX, nextY, j+1)) //递归调用，将进入新位置return true;计算下一可能位置(nextX, nextY); }chess[x][y] = 0; //这一步不可走，回退return false;马踏棋盘——深度优先搜索………………再下一步…a1a4…b1b3…c1c5…下一步L1L2L8位置(x, y)至此已不满足约束条件深度优先搜索求解，相当于在类似下面的树中查询………………再下一步…a1a4…b1b3…c1c5…下一步L1L2L8位置(x, y)◆从(x,y)开始，深度优先搜索会依次查询L1、L2、……、L8一共8个可能位置◆如何加入贪心策略？???先试探哪一个位置，更可能得到答案呢？◆事实上，先选择L1~L8中哪个位置试探，可利用L1~L8位置的子结点个数确定贪心策略：在选择下一跳的位置时，总是先选择出口少的那个位置………………再下一次决策…a1a4…b1b3…c1c5…下次决策位置1位置2位置8位置(x, y)如果优先选择出口多的子结点，那么出口少的子结点就会越来越多，很可能出现走不通的‘死’结点。
马踏棋盘算法
马踏棋盘算法介绍1.马踏棋盘算法，也称骑⼠周游问题2.规则：将马随机放在国际象棋的 8×8 棋盘[0～7][0～7]的某个⽅格中，马按⾛棋规则（马⾛⽇字）进⾏移动，要求每个⽅格只进⼊⼀次，⾛遍棋盘上全部 64 个⽅格3.基本思想：图的深度优先搜索 + 贪⼼算法（优化）步骤1.创建⼀个⼆维数组代表棋盘2.将当前位置设置为已经访问，把当前马在棋盘的位置标记为第⼏步（step），然后根据当前位置，计算马还能⾛哪些位置，并放⼊ArrayList，最多有8个位置3.获取到ArrayList后，⽤贪⼼算法优化4.遍历ArrayList中存放的所有位置，判断哪个位置可以⾛通，如果⾛通，就继续，⾛不通，就回溯5.判断是否⾛完整个棋盘，使⽤step和应该⾛的步数⽐较，如果没有达到数量，则表⽰没有完成任务，并将整个棋盘置0贪⼼算法优化ArrayList1.基本思想：根据当前这个⼀步的所有的下⼀步的选择位置，进⾏⾮递减（即不严格递增）排序，减少回溯的次数步骤（1）传⼊Comparotor，重写ArrayList的sort⽅法（2）获取ArrayList所有位置的通路个数，按⾮递减排序（3）即当前位置的下⼀步的下⼀步通路最少，就优先选择代码实现import java.awt.*;import java.util.ArrayList;import java.util.Arrays;import parator;public class KnightTravel {//骑⼠周游问题public int row;//棋盘的⾏数public int column;//棋盘的列数public int[][] chessboard;//棋盘public boolean[][] visited;//标记棋盘的各个位置是否被访问过，true：已访问public boolean finished;//标记是否棋盘的所有位置都被访问，若为true，表⽰算法计算成功public int step = 1;//初始为第⼀步public static void main(String[] args) {KnightTravel knight = new KnightTravel(8, 8);long start = System.currentTimeMillis();knight.travel(knight.chessboard, 0, 0, knight.step);long end = System.currentTimeMillis();System.out.println("共耗时: " + (end - start) + " 毫秒");knight.result();}public KnightTravel(int row, int column) {this.row = row;this.column = column;this.chessboard = new int[row][column];this.visited = new boolean[row][column];}public void result() {//打印算法结果for (int[] row : chessboard) {System.out.println(Arrays.toString(row));}}//马踏棋盘算法//chessboard：棋盘，row：马⼉当前的位置的⾏，从0开始，column：马⼉当前的位置的列，从0开始，step：第⼏步，初始位置是第1步 public void travel(int[][] chessboard, int row, int column, int step) {chessboard[row][column] = step;visited[row][column] = true; //标记该位置已经访问//获取当前位置可以⾛的下⼀个位置的集合ArrayList<Point> access = next(new Point(column, row));sort(access);//对access进⾏⾮递减排序while (!access.isEmpty()) {Point next = access.remove(0);//取出下⼀个可以⾛的位置if (!visited[next.y][next.x]) {//判断该点是否已经访问过travel(chessboard, next.y, next.x, step + 1);}}if (step < this.row * this.column && !finished) {//⽆路可⾛且未⾛完，就回溯到上⼀位置chessboard[row][column] = 0;visited[row][column] = false;} else {//成功⾛完时，finished是防⽌回溯时将最优解覆盖掉finished = true;}}//根据当前位置(curPoint)，计算马还能⾛哪些位置(point)，并放⼊⼀个集合中(ArrayList), 最多有8个位置public ArrayList<Point> next(Point curPoint) {//储存马在当前位置的通路ArrayList<Point> access = new ArrayList<>();//Point对象中，属性x代表列，属性y代表⾏Point point = new Point();//以下操作，判断马的8个⽅向是否可⾏，并记录通路位置，但不记录该位置是否已访问if ((point.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (point.y = curPoint.y - 1) >= 0) {access.add(new Point(point));}if ((point.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (point.y = curPoint.y - 2) >= 0) {access.add(new Point(point));}if ((point.x = curPoint.x + 1) < column && (point.y = curPoint.y - 2) >= 0) {access.add(new Point(point));}if ((point.x = curPoint.x + 2) < column && (point.y = curPoint.y - 1) >= 0) {access.add(new Point(point));}if ((point.x = curPoint.x + 2) < column && (point.y = curPoint.y + 1) < row) {access.add(new Point(point));}if ((point.x = curPoint.x + 1) < column && (point.y = curPoint.y + 2) < row) {access.add(new Point(point));}if ((point.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (point.y = curPoint.y + 2) < row) {access.add(new Point(point));}if ((point.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (point.y = curPoint.y + 1) < row) {access.add(new Point(point));}return access;}//根据当前这个⼀步的所有的下⼀步的选择位置，进⾏⾮递减（不严格递增）排序, 减少回溯的次数public void sort(ArrayList<Point> access) {access.sort(new Comparator<Point>() {@Overridepublic int compare(Point o1, Point o2) {int count1 = next(o1).size();int count2 = next(o2).size();if (count1 < count2) {return -1;} else if (count1 == count2) {return 0;} else {return 1;}}});}}。
数学建模经典问题
数学建模经典问题
数学建模是一种将现实问题转化为数学问题，并通过数学方法求解的过程。
经典的数学建模问题有很多，以下列举几个典型的例子。
1. 集装箱装载问题：如何在给定的集装箱内，最大化货物的装
载量？这个问题可以转化为一个优化问题，通过线性规划等方法求解。
2. 旅行商问题：如何在给定的一组城市中，找到一条遍历所有
城市且总路程最短的路径？这个问题可以通过遗传算法等方法求解。
3. 贪心算法：贪心算法是一种基于贪心策略的算法，它通常用
于优化问题。
比如，假设有一组活动，每个活动都有一个开始时间和结束时间，如何在不发生冲突的情况下，安排尽可能多的活动？这个问题可以通过贪心算法求解。
4. 马踏棋盘问题：如何让一匹马在棋盘上走遍所有格子，且每
个格子只走一次？这个问题可以通过回溯算法求解。
5. 神经网络：神经网络是一种模仿人脑神经元结构和功能的计
算模型。
它可以用于分类、回归、聚类等问题。
这些经典的数学建模问题都有着广泛的应用价值，它们不仅给我们提供了解决实际问题的方法，也为我们深入理解数学方法的应用提供了宝贵的经验和启示。
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算法总结---最常用的五大算法（算法题思路）
算法总结---最常⽤的五⼤算法（算法题思路）算法总结---最常⽤的五⼤算法（算法题思路）⼀、总结⼀句话总结：> 【明确所求：dijkstra是求点到点的距离，辅助数组就是源点到⽬标点的数组】> 【最简实例分析：⽐如思考dijkstra：假设先只有三个点】1、贪⼼算法是什么？> 当前看来最好的选择> 局部最优解> 可能得到整体最优解或是最优解的近似解贪⼼算法（⼜称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。
也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。
贪⼼算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当⼴泛的许多问题他能产⽣整体最优解或者是整体最优解的近似解。
2、贪⼼算法实例？> 求最⼩⽣成树的Prim算法：【边集中依次选取那些权值最⼩的边】> 求最⼩⽣成树的Kruskal算法：【和求最短路径有点相似：不过这⾥是求两个集合之间的距离】：【⼀维中间数组记录到当前已经选择顶点的最短距离】：【⼆维表记录每个点到每个点的最短距离】> 计算强连通⼦图的Dijkstra算法：【和最⼩⽣成树Kruskal类似】【⼆维表记录每个点到每个点的最短距离】【明确所求：dijkstra是求点到点的距离，辅助数组就是源点到⽬标点的数组】【每次从辅助数组中选择最⼩的，⽤选出的点来更新辅助数组】【最简实例分析：⽐如思考dijkstra：假设先只有三个点】> 构造huffman树的算法：【每次都选取权值⼩的两个点合成⼆叉树】Kruskal算法简述在带权连通图中，不断地在边集合中找到最⼩的边，如果该边满⾜得到最⼩⽣成树的条件，就将其构造，直到最后得到⼀颗最⼩⽣成树。
假设 WN=(V,{E}) 是⼀个含有 n 个顶点的连通⽹，则按照克鲁斯卡尔算法构造的过程为：先构造⼀个只含 n 个顶点，⽽边集为空的⼦图，若将该⼦图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是⼀个含有 n 棵树的⼀个森林。
java学习笔记之马踏棋盘算法
java学习笔记之马踏棋盘算法马踏棋盘或骑⼠周游问题1、马踏棋盘算法也被称为骑⼠周游问题2、将马随机放在国际象棋的 8×8 棋盘 Board[0～7][0～7]的某个⽅格中，马按⾛棋规则(马⾛⽇字)进⾏移动。
要求每个⽅格只进⼊⼀次，⾛遍棋盘上全部 64 个⽅格思路会使⽤到深度优先思想和类似迷宫问题的寻路策略问题，和⼋皇后问题也有相似。
1、⽤⼀个⼆维数组建⽴整张棋盘。
⽤另外⼀个⼆维数组保存棋盘的每⼀个位置是否⾛过2、马在棋盘上有⼀个初始位置，将这个位置设为已⾛过，并将步数设为1.3、获得在这个位置上，马下⼀步能⾛的位置集合。
4、遍历集合⾥的所有位置，如果那个位置没⾛过，下⼀步（步数+1）就⾛它（递归）5、设置递归结束的标志.⽤⼀个布尔变量标志游戏是否成功。
当游戏成功时，步数应该等于棋盘格⼦数。
假如某⼀次，马⾛完了所有能⾛的下⼀步位置，步数还⼩于棋盘格⼦数并且还没成功，说明这个位置不能成功的完成游戏，就把这个位置恢复原样（棋盘设为0，设为未⾛过），接下来的递归会重新去寻找合适的路。
如果步数等于棋盘总格⼦数，说明游戏成功，把标志的布尔变量设为true，这样在层层返回时就不会再进⼊上⾯的条件，递归就会逐渐结束⽽不会深⼊下去。
涉及到的⽅法：根据此时的位置，判断马接下来能⾛的位置集合。
x的值代表列⽽y的值代表⾏马是按照⽇字⾛的，所有当它在中间时最多有8种位置可以⾛，⼀⼀判断那个位置是否超过棋盘边界。
每种可能都是if，⽽不是if-else if，因为要获得所有的可能性，⽽不是找出⼀个假如list时⼀定要新建⼀个坐标，不能使⽤同⼀个，不然值就会互相影响/*** 根据现在的坐标返回可以⾛的坐标 x列y⾏** @param current* @return*/public static ArrayList<Point> findWay(Point current) {ArrayList<Point> res = new ArrayList<>();//可以⾛的坐标Point p = new Point();//5if ((p.x = current.x - 2) >= 0 && (p.y = current.y - 1) >= 0) {res.add(new Point(p));}//6if ((p.x = current.x - 1) >= 0 && (p.y = current.y - 2) >= 0) {res.add(new Point(p));}//7if ((p.x = current.x + 1) < X && (p.y = current.y - 2) >= 0) {res.add(new Point(p));}//0if ((p.x = current.x + 2) < X && (p.y = current.y - 1) >= 0) {res.add(new Point(p));}//1if ((p.x = current.x + 2) < X && (p.y = current.y + 1) < Y) {res.add(new Point(p));}//2if ((p.x = current.x + 1) < X && (p.y = current.y + 2) < Y) {res.add(new Point(p));}//3if ((p.x = current.x - 1) >= 0 && (p.y = current.y + 2) < Y) {res.add(new Point(p));}//4if ((p.x = current.x - 2) >= 0 && (p.y = current.y + 1) < Y) {res.add(new Point(p));}return res;}马塔棋盘不能单纯以step < X * Y来判断是否完成游戏，因为递归回溯时步数也会回溯，所以要设置⼀个变量/*** 马踏棋盘算法** @param chess 棋盘* @param row 坐标⾏* @param col 坐标列* @param step 步数*/public static void traversalChessboard(int[][] chess, int row, int col, int step) {//先⾛⼀步chess[row][col] = step;visit[row][col] = true;//下⼀步能⾛的地ArrayList<Point> way = findWay(new Point(col, row));while (!way.isEmpty()) {//取出⼀个能⾛的地⽅Point point = way.remove(0);//⾛下⼀步if (!visit[point.y][point.x]) {traversalChessboard(chess, point.y, point.x, step + 1);}}//判断是否完成游戏，如果没完成就要回溯if (step < X * Y && !finshed) {chess[row][col] = 0;visit[row][col] = false;}else {finshed=true;}}优化这样计算效率⽐较低，算法⽐较慢。
贪心算法的概念
贪心算法的概念贪心算法的概念概述贪心算法（Greedy Algorithm）是一种基于贪心策略的算法，它在每个阶段选择局部最优解，并以此来达到全局最优解的目标。
贪心算法通常用于求解最优化问题，如最小生成树、哈夫曼编码、背包问题等。
特点1. 贪心算法是一种简单而高效的算法，其时间复杂度通常较低。
2. 贪心算法只考虑当前状态下的最优解，不考虑未来可能出现的情况。
3. 贪心算法需要满足“无后效性”，即某个状态下的选择不会影响到之后状态的选择。
4. 贪心算法需要满足“局部最优性”，即每次选择都是当前状态下的最优解。
5. 贪心算法不能保证一定能得到全局最优解，但在某些情况下可以得到近似最优解。
应用1. 最小生成树：Kruskal和Prim两种方法都是基于贪心策略实现的。
2. 哈夫曼编码：通过构造一棵哈夫曼树来实现编码，其中每个字符对应一个叶子节点，权值为出现频率，通过合并权值较小的节点得到每个字符的编码。
3. 背包问题：贪心算法可以通过计算每个物品的单位价值（即价值与重量的比值）来选择最优解，但该方法只适用于部分背包问题。
4. 最短路径问题：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法都是基于贪心策略实现的。
5. 调度问题：如任务调度、机器调度等，可以通过贪心算法得到近似最优解。
缺点1. 贪心算法不能保证一定能得到全局最优解，只能得到近似最优解。
2. 贪心算法需要满足“无后效性”和“局部最优性”，但这两个条件不一定容易满足，有时需要进行特殊处理。
3. 贪心算法可能会受到数据规模和数据分布等因素的影响，导致结果不准确或者无法得出结果。
总结贪心算法是一种简单而高效的算法，其时间复杂度通常较低。
它在求解最优化问题时具有一定的应用价值。
但贪心算法不能保证一定能得到全局最优解，只能得到近似最优解。
在实际应用中需要注意选择合适的贪心策略，并对特殊情况进行特殊处理。
贪心算法求解马踏棋盘及POJ1011木棒问题解析
SticksTime Limit: 1000MS Memory Limit: 10000KTotal Submissions: 58000 Accepted: 12785DescriptionGeorge took sticks of the same length and cut them randomly until all parts became at most 50 units long. Now he wants to return sticks to the original state, but he forgot how many sticks he had originally and how long they were originally. Please help him and design a program which computes the smallest possible original length of those sticks. All lengths expressed in units are integers greater than zero.InputThe input contains blocks of 2 lines. The first line contains the number of sticks parts after cutting, there are at most 64 sticks. The second line contains the lengths of those parts separated by the space. The last line of the file contains zero.OutputThe output should contains the smallest possible length of original sticks, one per line.Sample Input95 2 1 5 2 1 5 2 141 2 3 4Sample Output65SourceCentral Europe 1995【原题链接】/JudgeOnline/problem?id=1011【题意描述】给出N根小木棒（以下称小棒）的长度Li，已知这N根小木棒原本由若干根长度相同的长木棒（以下称原棒）分解而来。
java实现马踏棋盘的完整版
java实现马踏棋盘的完整版本⽂实例为⼤家分享了java实现马踏棋盘的具体代码，供⼤家参考，具体内容如下马踏棋盘很好实现，但有时运⾏起来特别慢，还可能出不来结果，在这⾥要⽤到贪⼼算法来优化，即找出最难⾛的路径，也就是下下步可下棋的位置最少。
下⾯给出该算法完整代码：/** 马踏棋盘问题：(贪婪法求解)* 棋盘有64个位置，“⽇”字⾛法，刚好⾛满整个棋盘*///下⼀个⾛法的⽅向类class Direction{int x;int y;int wayOutNum;}public class Hores_chessboard_1 {static final int[] dx = { -2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2 }; // x⽅向的增量static final int[] dy = { 1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1 }; // y⽅向的增量static final int N = 8;static int[][] chessboard = new int[N][N]; // 棋盘/**** @param nami* @param x,y为棋⼦的位置* @return 如果棋⼦的位置不合法，则返回⼀个⼤于8的数。
* 否则返回棋⼦的下个出路的个数*/static int wayOut(int x, int y){int count = 0;int tx, ty, i;//判断是否超出棋盘边界，该位置是否已经下过if(x<0 || x>7 || y<0 || y>7 || chessboard[x][y]!=0){return 9;}for(i=0; i<N; i++){tx = x+dx[i];ty = y+dy[i];//如果棋⼦的下个出路可⾏，则出路数⾃加⼀次if(tx>-1 && tx<8 && ty>-1 && ty<8 && chessboard[tx][ty]==0)count++;}return count;}/*** 按照棋⼦的下个出路的个数从低到⾼排序* @param next 棋⼦的⼋个位置的数组*/static void sort(Direction[] next){int i, j, index;Direction temp = null;//这⾥⽤的选择排序for(i=0; i<N; i++){index = i;for(j=i+1; j<N; j++){if(next[index].wayOutNum > next[j].wayOutNum)index = j;}if(i != index){temp = next[i];next[i] = next[index];next[index] = temp;}}}static void Move(int x, int y, int step){int i, j;int tx, ty;//如果step==64，则说明每个棋格都⾛到了，现在只需要打印结果就完了if(step == N*N){for(i=0; i<N; i++){for(j=0; j<N; j++){System.out.printf("%3d", chessboard[i][j]);}System.out.println();}System.exit(0);}//下⼀个棋⼦的N个位置的数组Direction[] next = new Direction[N];for(i=0; i<N; i++){Direction temp = new Direction();temp.x = x+dx[i];temp.y = y+dy[i];next[i] = temp;//循环得到下个棋⼦N处位置的下个出路的个数next[i].wayOutNum = wayOut(temp.x, temp.y);}//配合贪婪算法，按下个棋⼦的下个出路数排序后，next[0]就是下个出路数最少的那个sort(next);for(i=0; i<N; i++){tx = next[i].x;ty = next[i].y;chessboard[tx][ty] = step;Move(tx, ty, step+1);/*如果上⾯Move()往下⼀步⾛不通，则回溯到这⾥重置chessboard[tx][ty]为0，接着i++,⼜循环...... */chessboard[tx][ty] = 0;}}public static void main(String[] args) {int i, j;//初始化棋盘for(i=0; i<8; i++){for(j=0; j<8; j++){chessboard[i][j] = 0;}}System.out.println("请输⼊棋⼦开始位置（0-7）：");Scanner sc = new Scanner(System.in);int x = sc.nextInt();int y = sc.nextInt();//第⼀步不⽤⽐较，赋值第⼀步chessboard[x][y] = 1;Move(x, y, 2);}}这⾥给出运算结果：以上就是本⽂的全部内容，希望对⼤家的学习有所帮助，也希望⼤家多多⽀持。
数据结构课程设计 马踏棋盘求全部解及演示程序
安徽工程大学信息10 课程设计马踏棋盘的求解及演示设计摘要数据结构是计算机科学与技术专业的一门核心专业基础课程，是一门理论性强、思维抽象、难度较大的课程。
我认为学习数据结构的最终目的是为了获得求解问题的能力。
对于现实世界中的问题，我们应该能从中抽象出一个适当的数学模型，该数学模型在计算机内部用相应的数据结构来表示，然后设计一个解此数学模型的算法，再进行编程调试，最后获得问题的解答。
《数据结构》课程设计是计算机科学技术专业集中实践性环节之一，是学习完《数据结构》课程后进行的一次全面的综合练习。
开设本课程设计实践的主要目的就是要达到理论与实际应用相结合，提高学生的动手能力，完成计算机应用能力的培养；本课程设计主要解决马踏棋盘的问题，找出踏遍棋盘的多种路径，并实现动态要是过程。
马踏棋盘问题，实际上是图论中的哈密顿通路问题，是典型的NP问题,求解的问题与算法设计有很大关系，如果采取穷举搜索的话，很容易陷入海量搜索的状态，耗费巨大的时间，使问题几乎不可解，因此马在棋盘上遍历采用算法当中的深度优先算法和启发式贪心算法，用栈来存储遍历过程，通过对栈的使用实现对所有路径的搜索。
在调试过程发现，启发式贪心算法，针对于马踏棋盘问题有着极大的好处，就是无论从棋盘上哪个点开始，找到一条遍历完棋盘的通路是不需要回溯的，也就节省了大量的时间，而试探性的操作对于每个点都也只有168步，所以求出所有路径在不到一秒的时间内完成。
关键词：马踏棋盘；骑士周游；哈密顿通路;NP-完全问题；贪心算法；回溯法；目录马踏棋盘的求解及演示设计 (1)目录 (2)第一章引言 (3)第二章需求分析 (4)2.1问题描述 (4)2.2基本要求 (4)2.3具体需求 (4)2.4开发环境 (4)第三章概要设计 (5)3.1 系统概述 (5)3.2 系统描述 (6)3.3逻辑设计 (6)第四章详细设计 (7)4.1 功能模块设计 (7)4.2 数据结构设计 (7)4.3算法设计 (9)第五章调试与分析 (13)5.1 调试分析 (13)第六章系统试用说明 (14)6.1 系统试用说明 (14)第七章总结与体会 (14)参考文献 (15)第一章引言本课程设计主要研究马踏棋盘的问题，即骑士周游问题，是将马随机放在国际象棋的8×8棋盘的某个方格中,“马”按照走棋规则进行移动，要求每个方格只进入一次,走遍棋盘上全部64个方格。
田忌赛马贪心算法_贪心算法--田忌赛马问题
⽥忌赛马贪⼼算法_贪⼼算法--⽥忌赛马问题题⽬描述：你⼀定听过⽥忌赛马的故事吧？如果3匹马变成1000匹，齐王仍然让他的马按从优到劣的顺序出赛，⽥忌可以按任意顺序选择他的赛马出赛。
赢⼀局，⽥忌可以得到200两银⼦，输⼀局，⽥忌就要输掉200两银⼦，平局的话不输不赢。
请问⽥忌最多能赢多少银⼦?关于输⼊输⼊包含多组测试数据.每组测试数据的第⼀⾏是⼀个整数n(1<=n<=1000),表⽰⽥忌和齐王都拥有n匹马。
接下来⼀⾏是n个整数，表⽰⽥忌的马的速度，下⼀⾏也是n个整数，表⽰齐王的马的速度。
输⼊的最后以⼀个0表⽰结束。
关于输出对每组数据，输出⼀个整数，表⽰⽥忌⾄多可以赢多少银⼦，如果⽥忌赢不了，就输出⼀个负数，表⽰⽥忌最少要输多少银⼦。
解题思路：算法可以⽤DP，或者给每匹马连线赋权变为⼆分图最佳匹配，还有就是贪⼼了。
1.当⽥忌最慢的马⽐齐王最慢的马快，赢⼀场先2.当⽥忌最慢的马⽐齐王最慢的马慢，和齐王最快的马⽐，输⼀场3.当⽥忌最快的马⽐齐王最快的马快时，赢⼀场先。
4.当⽥忌最快的马⽐齐王最快的马慢时，拿最慢的马和齐王最快的马⽐，输⼀场。
5.当⽥忌最快的马和齐王最快的马相等时，拿最慢的马来和齐王最快的马⽐.⽥忌赛马贪⼼的正确性证明。
先说简单状况下的证明：1.当⽥忌最慢的马⽐齐王最慢的马快，赢⼀场先。
因为始终要赢齐王最慢的马，不如⽤最没⽤的马来赢它。
2.当⽥忌最慢的马⽐齐王最慢的马慢，和齐王最快的马⽐，输⼀场。
因为⽥忌最慢的马始终要输的，不如⽤它来消耗齐王最有⽤的马。
3.当⽥忌最慢的和齐王最慢的马慢相等时，分4和5讨论。
4.当⽥忌最快的马⽐齐王最快的马快时，赢⼀场先。
因为最快的马的⽤途就是来赢别⼈快的马，别⼈慢的马什么马都能赢。
5.当⽥忌最快的马⽐齐王最快的马慢时，拿最慢的马和齐王最快的马⽐，输⼀场，因为反正要输⼀场，不如拿最没⽤的马输。
6.当⽥忌最快的马和齐王最快的马相等时，这就要展开讨论了,贪⼼⽅法是，拿最慢的马来和齐王最快的马⽐.前⾯的证明像公理样的，⼤家⼀看都能认同的，没有异议的，就不细说了。
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马踏棋盘的贪心算法实现
问题描述：
将马放到国际象棋8*8棋盘的某个方格上，马按照“马走日”的规则移动。
为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的路径，并将数字1、2、3、、、、64依次填入到8*8
的方格中。
问题分析：
国际象棋中 "马"的移动规则叫做"马走日"。
它下一步可移动的位置有8个，但是如果"马"位于棋盘的边界附近，它下一步可移动到的位置就不一定有8个了，因为要保证"马"每一步都走在棋盘中。
马踏棋盘的问题其实就是要将1，2，…，64填入到一个8*8的矩阵中，要求相邻的两个数按照"马"的移动规则放置在矩阵中。
将矩阵填满并输出。
这样在矩阵中从1，2…遍历到64就得到了马踏棋盘的行走路线。
因此本题的最终目的是输出一个8*8的矩阵，在该矩阵中填有1，2…64这64个数字，相邻数字之间遵照"马走日"的规则。
假设最开始"马"位于棋盘的(0,0)的位置，接下来"马"有两处位置可走，即(1,2)和(2,1)。
这时"马"是无法确定走2的位置最终是正确的，还是走3的位置最终是正确的。
因此"马"只能任意先从一个路径走下去（例如从2的位置）。
如果这条路是正确的，那当然是幸运的，如果不正确，则"马"要退回到第一步，继续从3的位置走下去。
以后"马"走的每一步行走都遵循这个规则。
这个过程就是一种深度搜索的过程，同时也是一种具有重复性操作的递归过程。
"马"的行走过程实际上就是一个深度探索的过程。
"探索树"的根结点为"马"在棋盘中的初始位置（这里用4*4的棋盘示意）。
接下来"马"有两种行走方式，于是根结点派生出两个分支。
而再往下一步行走，根结点的两个孩子又能够分别派生出其他不同的"行走路线"分支，如此派生下去，就得到了"马"的所有可能的走步状态。
探索树的叶子结点只可能有两种状态：一是该结点不能再派生出其他的"走步"分支了，也就是"马"走不通了；二是棋盘中的每个方格都被走到，即"马"踏遍棋盘。
于是从该探索树的根结点到第二种情况的叶结点构成的路径就是马踏棋盘的行走过程。
贪心算法描述：
在此对上述方法进行改进。
在每个结点对其子结点进行选取时，优先选择‘出口’最小的进行搜索，‘出口’的意思是在这些子结点中它们的可行子结点的个数，也就是‘孙子’结点越少的越优先跳，为什么要这样选取，这是一种局部调整最优的做法，如果优先选择出口多的子结点，那出口少的子结点就会越来越多，很可能出现‘死’结点（顾名思义就是没有出口又没有跳过的结点），这样对下面的搜索纯粹是徒劳，这样会浪费很多无用的时间，反过来如果每次都优先选择出口少的结点跳，那出口少的结点就会越来越少，这样跳成功的机会就更大一些。
这种算法就是贪心算法，它对整个求解过程的局部做最优调整，它只适用于求较优解或者部分解，而不能求最优解。
主要代码：
void Horse::sort(Node * node,int len)
{
for(int i=0;i<len-1;i++)
for(int j=i+1;j<len;j++)
{
if(node[i].value>node[j].value)
{
Node temp=node[i];
node[i]=node[j];
node[j]=temp;
}
}
}
//计算节点的出口数(估值)
void Horse::ways_out(Node & node)
{
int m,n;
for(int i=0;i<8;++i)
{
m=node.x+nx[i];
n=node.y+ny[i];
if(m<0||n<0||m>=width||n>=height)
continue;
if(borad[m][n]==0)
node.value++;
}
}
bool Horse::dfs(int m,int n,int step)
{
if(borad[m][n]!=0) return false;
borad[m][n]=step;
if(step==size)
throw 1;
int newx,newy;
Node node[8];
int len=0;
for(int i=0;i<8;++i)
{
newx=m+nx[i];
newy=n+ny[i];
if(newx<0||newy<0||newx>=width||newy>=height)
continue;
node[len].x=newx;
node[len].y=newy;
node[len].value=0;
ways_out(node[len]);
len++;
//dfs(newx,newy,step+1);
}
sort(node,len);
for(int i=0;i<len;++i)
dfs(node[i].x,node[i].y,step+1); borad[m][n]=0;
backcount++;//回塑次数
return false;。