第11讲齐次线性方程组解的结构
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构
线性方程组的解的结构是线性空间。
线性方程组是数学中一个很重要
的概念，它是由多个线性方程组成的方程组。
线性方程组是指所有未知量
的各个线性方程组成的一个方程组。
线性方程组的解的结构本质上是线性
空间的结构。
线性空间是指一个能进行线性运算的集合。
线性空间具有加法运算和
数乘运算，而且满足线性运算的性质。
线性方程组的解符合线性空间的定义，因此可以将线性方程组的解看作是线性空间中的向量。
首先，线性方程组的解是一个向量空间。
向量空间是线性空间的一种
特殊情况，它是一个向量的集合，可以进行线性运算。
在线性方程组中，
解是通过求解方程组得到的向量。
其次，线性方程组的解是一个子空间。
子空间是线性空间的一个子集，同时也是一个线性空间。
线性方程组的解是通过线性运算得到的，所以它
也是线性空间中的子空间。
1.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
唯一解。
2.如果矩阵的秩小于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
无穷多解。
3.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，但是矩阵的秩小于
矩阵的列数，那么线性方程组有无解。
总之，线性方程组的解的结构是线性空间，它满足线性空间的定义和
性质。
线性方程组的解是线性空间中的向量，该向量可以通过矩阵运算来
求解。
线性方程组的解的结构与矩阵的秩有密切的关系，矩阵的秩决定了线性方程组的解的结构。
线性方程组的解的结构是线性空间及其应用的一个重要领域，它在数学和工程中都有广泛的应用。
线性代数 齐次线性方程组解的结构(1)
齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的结构⏹非齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构⏹齐次线性方程组解的性质⏹应用举例齐次线性方程组解的结构设齐次线性方程组为00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 即 齐次线性方程组解的性质Ax齐次线性方程组解的结构性质1的和仍是解向量.齐次线性方程组的两个解向量0 Ax 齐次线性方程组解的性质设X 1,X 2为齐次线性方程组AX =0的两个解向量,则有AX 1=0,AX 2=0,证因为A (X 1+X 2)即X 1+X 2为方程组AX =0的解向量.=AX 1+AX 2=0，齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.因为性质1和性质2可知, 所以齐次线性方程组解向量的任意线性组合仍为其解向量.齐次线性方程组解的结构性质2以常数k 仍为解向量.齐次线性方程组的一个解向量乘0 Ax 注：解向量的任意线性组合仍为解向量.齐次线性方程组解的结构1. α1, α2, …, αk 是线性无关的;2.方程组Ax =0的任意一个解向量均可由α1,定义Ax =0的一组解向量,α2, …, αk 线性表出,则称α1, α2, …, αk 是齐次方程组Ax =0的一个基础解系.设α1, α2, …, αk 是齐次线性方程组并且齐次线性方程组解的结构2.基础解系中含有多少个解向量?与R(A)有何关系?1.方程组是否总有基础解系?0 Ax齐次线性方程组解的结构定理1齐次线性方程组的系数0 Ax 并且基础解系含有n -r 个解向量.方程组有基础解系, n r A R )(矩阵A 的秩时, 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(用定义构造法找出一个基础解系即可)证n r A R )(1.因为所以A 中至少有一个r 阶子式不为零,按照上节定理2的分析,并且可以化为:不妨设A 中位于左上角的r 阶子式不为零,0 Ax 方程组有无穷多解,齐次线性方程组解的结构nn r r n rn r r ,r rn n r r ,n n r r ,x x x x x c x c xx c x c x x c x c x11112112211111齐次线性方程组解的结构写成向量形式nrn n n r r ,r r ,r ,r r ,r r ,r ,n r r r x c c c x c c c x c c c x x x x x x100010001212222211112112121 说明方程组任意解均可由α1, α2,…, αn-r 线性表出.齐次线性方程组解的结构， 0,,0,0,1 ， 0,,0,1,01,,0,0,0 ， 2.代入得到方程的n-r 个解向量:0 Ax 逐次令自由变量为n r r x x x ,,,21齐次线性方程组解的结构100,,010,001212,2,22,121,1,21,11 rn n n r n r r r r r r r r c c c c c c c c c齐次线性方程组解的结构由1. 2. 说明:它可以看成是在n -r 个n -r 维基本单位向量：0 Ax 的一个基础解系.中的每个向量上添加r 个分量而得到的,所以线性无关.α1, α2,…, αn -r 就是方程组(1,0,…,0)T ,(0,1,…,0)T ,…,(0,0,…,1)T齐次线性方程组解的结构推论设齐次方程组m ,,,i x a n j j ij 2101 (2)（因秩为n-r ,所以任n-r 个线性无关的解向量必为基）的系数矩阵的秩为r <n ，则任意的n -r 个线性无关的解向量都是它的基础解系. 证齐次线性方程组解的结构利用此推论证明一组解向量是否是基础解系时,个即可.)(A R n 并且它们的个数是只要证明它们是线性无关的,注。
线性方程组的解的结构
例：求线性方程组
x1 2 x1
+ +
2 x2 3 x2
+
x3 2x4 3 x4 5 的通解．
x1 x2 5 x3 + 7 x4 0
1
解：容易看出
*
1
是方程组的一个特解
．
0
0 其对应的齐次线性方程组为
x1 2 x1
+ +
2 x2 3 x2
+
x3 2x4 0 x4 0
记作 x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r ．（满足基础解系②）
(x1 ,x2 ,
b11
b21
,xnr
)
br 1
,1
0
0
b12 b22
br ,2 0 1
0
b1,nr
b2 , n r
br ,nr
0
0
1
n−r列
前r行 后n−r行
故 R(x1, x2 , … , xn-r ) = n − r ， 即 x1, x2 , … , xn-r 线性无关． （满足基础解系①） 于是 x1, x2 , … , xn-r 就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系．
br ,nr xn .
xr+1 1 0
令
xr
+2
0
,
1
,
xn
0 0
0
x1 b11 b12
,
0
，则
x2
,
b21
,
b22
,
1
xr br1 br2
b1,nr
,
b2,nr
线性方程组解的结构
性质2 若 X v 为AX o 的解，c为实数，则
X cv 也是 AX o 的解．
证 因
Av o
A(cv ) cAv c o o
结论：若 v1 , v2 ,, vs 是齐次线性方程组
AX=o的解，则 v1 , v2 ,, vs 的线性组合
c1v1 c2v2 cs vs
r2 r1 r3 r1
1 1 1 1 0 0 2 4 0 0 1 2
1 r2 2 r3 r2
1 1 1 1 1 1 0 1 r1 r2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
现对 xr 1 , , xn 取下列 n r 组数：
1 x r 1 xr 2 0 , 0 x n
0 1 , 0
0 0 , . 1
1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 r2 2 r1 r2 0 0 1 2 1 0 0 1 2 r3 r2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 可见r ( A) r ( A, b) 2, 故方程组有解, 并有
证
于是
Au1 b, Av1 o
A(u1 v1 ) Au1 Av1 b o b
所以, X u1 v1 是方程组 AX b的解.
定理2 若 v1 , v2 ,, vn r 为导出组AX=o的一个 基础解系， u1 为非齐次线性方程组AX=b X
的任意一个解，则A c1v1 c2v2 cn r v n r , (c1 , c2 , , cn r )
方程组解的结构
x5
0 0
1 0
0 1
所以原方程组的一个基础解系为
2
1
1
1
,
0
0
13
2
0
,
1
0
2
1
3
0
.
0 1
故原方程组的通解为 x k11 k22 k33 .
其中k1 ,k2 ,k3为任意常数.
定理1 n元齐次线性方程组Amn x 0的全体解所 构成的集合S是一个向量空间,当系数矩阵的秩 R( Amn) r时, 解空间S的维数为n r.
2x 73
5 7
x3
x 3
x4
3 7 4 7
x4 x4
2
7
5
7
1
0
x 3
3
7
4
7
0
1
x, 4
2 7
3 7
即得基础解系1
57 1
,
2
47 0
,
0 1
并由此得到通解
x1 2 7 3 7
x2
x x
3 4
c1
57 1 0
c2
47 0 1
A
2
1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1
~
0 0
0
1 1 2 2
1 1 2 2
4 3 6 6
3
1
2
2
~
1 0 0 0
0 1 0 0
2 1 0 0
1 3 0 0
2
1
0
0
RA r 2, n 5, n r 3,即方程组有无穷多解，
齐次线性方程组解的结构(精)
齐次线性方程组解的结构
在学习齐次线性方程组解的结构之前，我们先来学习一下概念：向量空间.
线性方程组的向量表示
设有齐次线性方程组，记：
,，
则方程组可写成向量形式： Ax=0.
若为此方程组的解，则称为该方程组的解向量.
定义：若S为此线性方程组的全体解向量的集合，可以证明有：
（1）若，则；（2）若，则.
所以集合S是一个向量空间，我们称S为该齐次线性方程组的解空间.
对于齐次线性方程组，其向量方程形式为：Ax=0，
它的解向量可用通式表示为：
=1，
，(其右端的都是解向量：若取k
1
其余的k为0，即可看出ξ
为解向量，...。
)
1
故我们可以说，Ax=0的解向量为某n-r个线性无关的解向量的线性组合。
（注：
对此我们不加证明）
定义：齐次线性方程组的任何n-r个线性无关的解向量都称为此齐次方程组的一组基础解系.
注：这任意n-r个线性无关的解向量是齐次线性方程组解空间中的一个最大线性无关组。
是解空间的一个基。
设为方程组的一个基础解系，则方程组的解可表示为：
，其中k
1，k
2
，...，k
n-r
为任意实数.这个式子称为方
程组的通解。
例：求解方程组：
解：因为，故原方程的解向量可由任意3-2=1个线性无关的解向量的线性组合表示.
通过解方程可知为此方程组的一解向量,故原方程组的通解为：(k为任意实数。
线性代数—线性方程组解的结构
r ( A) = r ( A ) = 2 < n = 4 ,
为自由未知量， 所以有无穷多解。 所以有无穷多解。 选 x3 , x4 为自由未知量，
16
0 1 4 − 3 5 − 2 → 0 − 7 5 − 9 0 , 选 x3 , 5 0 0 0 0 0 0
为自由未知量， x4 为自由未知量，
第五节
1
回顾： 回顾：
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
其中 A = ( A, b) 为增广矩阵。 为增广矩阵。 在有解的情况下， 在有解的情况下，
当 r ( A) = n 时有唯一解； 时有唯一解；
时有无穷多解； 当 r ( A) < n 时有无穷多解；自由未知量个数为 n − r (A) .
1 2 1 −1 1 1 4 −3 5 −2 解 A = 3 − 2 1 − 3 4 → 0 −7 5 −9 5 1 4 − 3 5 − 2 0 −14 10 −18 10
1 4 − 3 5 − 2 →0 − 7 5 − 9 5 , 0 0 0 0 0
1 1 5 −9 导出组的基础解系： 导出组的基础解系： ξ 1 = , ξ 2 = , 7 0 0 7 6 7 −5 7 所以全部解为 x = ξ 0 + k 1ξ 1 + k 2ξ 2 , ξ 特解： 特解： 0 = , 0 k1 ,k2 任意。 任意。 0
1 3 A= 0 5
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 − 3 0 − 1 − 2 − 2 − 6 → 0 1 2 2 6 1 2 2 6 0 − 1 − 2 − 2 − 6 4 3 3 − 1
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构线性方程组是线性代数的基本内容，在数学的其他分支、自然科学、工程技术以及生产实际中都经常用到，是一个非常重要的理论基础和数学工具。
本课题主要利用向量知识和矩阵的初等变换以及矩阵的秩的相关知识，对线性方程组的解法以及线性方程组解的性质、结构进行较为全面的总结，以便更系统的理解线性方程组及其应用，从而更好地利用线性方程组解决实际问题。
一、基本概念（1） 齐次线性方程组：，形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）的方程组称为数域上的n 元齐次线性方程组，它的系数矩阵是n m ij a A ⨯=)(，未知量可以表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21，则0X A = (1)称为齐次线性方程组的矩阵形式。
（2）非齐次线性方程组：形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.22112222212*********,,m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的方程组成为数域上的n 元非齐次线性方程组，它的系数矩阵为mn ij a A )(=,增广矩阵为),,,,(),(~21βαααβn A A ==，未知量可以表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21，则X=βA (2)称为齐次线性方程组的矩阵形式。
称齐次线性方程组0X A =是线性方程组的导出组。
二、 线性方程组有解的判定定理我们将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.22112222212*********,,m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （2.1）写成向量形式：1122.n n x x x αααβ++⋅⋅⋅+= （2.2）其中()j 1,2,,j n α=⋅⋅⋅是系数矩阵A 的第j 个列向量，β是常数向量。
§4.4齐次线性方程组解的结构
r 11 r 2 2 n n r
由于 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的解 ,故 也是Ax 0的 解.
下面来证明 .
r 11 r 2 2 n n r
b11 b12 b1 ,n r c1 b b b c r r1 r2 r ,n r r 1 1 r 2 0 n 0 r 1 0 1 0 r2 0 0 1 n
3
b1 x11a1 x 21a 2 x 31a 3 , b2 x12a 1 x 22a 2 x 32a 3，
对矩阵( A B )施行初等行变换，若 A能变为E， 则a1 , a 2 , a 3为R 的一个基，且当 A变为E时，B变为 X A1 B.
2 1 1 4 2 ( A B ) 2 1 2 0 3 1 2 2 4 2
1 0 A~ 0 0
0
1
b11 b1, n r br 1 br , n r 0 0
1 0 Ax 0 0 0
§ 4.4 齐次线性方程组解的结构
一、向量空间的基与维数
定义10 设 V 是向量空间，如果r 个向量 1 , 2 , ，且满足 , r V
(1) 1 , 2 ,, r 线性无关; ( 2) V中任一向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示 .
那末，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量 V 的一个
线性代数基础解系求法举例
11 0 01 11 0 0 1 11001 A～ 1 1 1 0 0 ～ 0 0 1 0 1 ～ 0 0 1 0 1
00 1 11 00 0 1 0 00010
x1 x2
x5 0
得同解方程组：
x3
x5 0 ,
x4
0
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
15
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
n 5, R( A) 3,自由变量 n r 2,为行最简形的
（4）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是 唯一的 .齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的 .
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
14
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
例题 （1 96，数学一，6分）
x1 x2
x5 0
求齐次线性方程组
x1 x2 x3
0
x3 x4 x5 0
的基础解系和通解 解：对系数矩阵作初等 行变换，化成行最简有 ：
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
17
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
（二）非齐次线性方程组的通解
1.非齐次线性方程组的解向量的性质
设有非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2
a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2
它也可写作向量方程
amn xn bm ,
Ax 0的解集的秩 Rs n r , R(a1 ,a2 , an r ,b) n r n r 1 由相关性秩的判别法， a1 , a2 , an r， b线性相关。 a1 , a2 , an r线性无关，并且 a1 , a2 , an r， b线性相关。 由相关性与线性表示的 关系定理， b能由 a1,a2 , an r 唯一线性表示。由最大 无关组定义，
齐次线性方程组解的结构
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A可化为
1
0
b11
b1, n
r
0 A~
0
1 br1
br ,n r
0
0 0
1
0
b11
b1,nr
x1 x2
0 Ax 0
0
1
br1
br
,nr
0
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
r2r3~(
3) 3
1 1 1 1 3
0
1
0
2
1
3
0
1
1
5 3
5 3
r2r3~(
3) 3
~ r1 r3
0
0 0 xn
x1 b11 xr1 b1,nr xn
xr
br1 xr1
br ,nr xn
现对xr1 ,, xn 取下列 n r 组数：
xr1 1
xr2
0
,
xn 0
0
0
1
,
,
0 .
0
1
分别
代入
x1 b11 xr1 b1,nr xn
b1
, b2
(a1
,a2
,a3
)
2 3
1 .
1
2 3
二、齐次线性方程组的解空间
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
齐次线性方程组解的结构
四、思考与练习
思考题:
设B是一个三阶非零矩阵它，的每一列是 齐次线性方程组
x1 2x2 2x3 0
2x1 2x2 x3 0
3x1 x2 x3 0
的解,求的值和B
解: B0,B的列向量是齐次的 方解 程， 组 则该 方 程 组 有 非 所 零 以 解 。 该 方程组
如果
1 1 ,2 , ,t是 A 0 x 的一 ; 组解
2 1,2, ,t是线 的 ;性无关
3 A 0 的 x 任1 ,一 2 , ,t线 解 .性 都
即
X k 11 k 22 k t t ( ＊ )
(*)式称为方程组的通解公式
定 理4. 4: m n型 齐 设次线 AX 性 0的 方 系 程 数 组
零 .A 解 0 x 有非 R A 零 n 解
例1 求下列齐次方程组的通解。
(1) 2xx11
2x2 4x2
4x3 8x3
x4 x4
0 0
3x1 6x2 2x3
0
解： 1 2 4 1
A
2 3
4 6
8 2
1 0
1 2 4
1
1
2
0
1 5
初 等行 变换
0 0
0 0
b
r
1
r1 1
r2
b
r
2
0
b r ,n r
n 0
cr
r1
0
1
0
r
2
0
0
1 n
由与 于 都是 A 方 x 0 的 程 ,而 解 Ax0又等价于
方程组
x 1 b1 1x r1 b1 ,n rxn xr br1xr1 br,nrxn
齐次线性方程组的解的结构
(2)
其中 cii 0, i 1,, r, r n . (2)可变形为
c11 x1 c1r xr c1,r 1 xr 1 c1n xn crr xr cr ,r 1
这里 xr 1 , xn是自由未知量。 分别取 ( xr 1, xn ) 为 (1,0,,0),,(0,0,,1), 由(3)得(1)的解为
1 2 0 0
1 2 0 0
1 6 0 0
故原方程组等价于
x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5 0 即 x2 2 x3 2 x4 6 x5 x2 2 x3 2 x4 6 x5 0
x1 x2 x3 x4 x5 0 例 求齐次线性方程组 3 x1 2 x2 x3 x4 3 x5 0 的解集。 x2 2 x3 2 x4 6 x5 0 5 x1 4 x2 3 x3 3 x4 x5 0
解：
1 3 0 5 1 2 1 4 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 6 0 1 1 3 0 0 2 6 0 1 2 2 6 0 1 2 2 6 3 1 0 0
齐次线性方程组解的结构
关于齐次线性方程组
a11 x1 a1n xn 0 a x a x 0 1n n s1 1
(1)
有以下结论
1)它一定有解，因为零向量 0 (0, , 0) 为解； 2)两个解 1 (b1 ,, bn ),2 (c1 ,, cn ) 的和
从而基础解系为
1 (1, 2,1,0,0),2 (1, 2,0,1,0),3 (5, 6,0,0,1)
线性代数齐次线性方程组解的结构
线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数中，齐次线性方程组是由一系列未知数的线性方程组成，其中所有方程的右边都为零。
齐次线性方程组的解的结构是线性无关的向量的线性组合，它们构成了解空间。
首先，考虑一个例子：```2x+3y-z=04x-y+2z=03x+2y=0```我们可以将这个齐次线性方程组写成矩阵的形式：```23-14-12320xyz```将这个矩阵进行行变换，得到阶梯形矩阵如下：```0-7400-2xyz```由阶梯形矩阵可知，z是自由变量，而x和y是基础变量。
基础变量是由自由变量表示的。
因此，解的结构可以用自由变量和基础变量的关系表示。
设z=k，则有：```-7y+4z=0-2z=0```由此可得到z=0.5k，y=-0.5k。
最后，带入原方程组得到x=0.25k。
因此，解的结构可以表示为：```x=0.25ky=-0.5k```可以看出，解是一个形如k倍数的向量，其中k为任意实数。
这说明齐次线性方程组的解空间是一个无限维空间，其中解向量是在基础解向量上的线性组合。
总结起来，齐次线性方程组解的结构可以通过以下步骤得到：1.将方程组写成矩阵形式；2.将矩阵进行行变换，得到阶梯形矩阵；3.根据阶梯形矩阵的形式，确定基础变量和自由变量；4.根据自由变量和基础变量的关系，得到解的表达式。
需要注意的是，齐次线性方程组的解空间要么是一个零向量，要么是一个由基础解向量生成的无限维空间。
这就是齐次线性方程组解的结构。
齐次线性方程组解的结构
故1,2 ,L ,nr与 1,2,L ,nr等价. 推论1得证.
5 齐次线性方程组解的结构
若 1,2,L ,t 为齐次线性方程组（1）的一个
基础解系，则（1）的一般解（或通解）为
k11 …… ktt , k1,k2,L ,kt P
令 W k11 L ktt | ki P, i 1,L ,t,
1 (c11,c12 ,L ,c1r ,1,0,L ,0) 2 (c21,c22,L,c2r,0,1,L ,0) n-r (cn-r,1,cn-r,2 ,L ,cn-r,r ,0,0,L ,1)
且 1,2 ,L ,n-r 满足： ① 1,2,L ,n-r 线性无关.
事实上，若 k11 k22 L kn-rn-r 0, 即 k11 k22 …… knrnr
c2n L
crn 0 L 0
第二步：写出方程组(1)的一般解：
x1 c1,r1 xr1 L c1n xn
x2 xr
c2,r1 xr1 L c2n xn LLLLLL
cr ,r1 xr1 L crn xn
推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的 基础解系．
证： 设 1,2 ,L ,nr , 为(1)的一个基础解系， 1,2 ,L ,nr 为(1)的 n－r 个线性无关的解向量， 考察向量组 1,2 ,L ,n1,1,2 ,L ,nr () 知 () 的秩为n－r . 1,2 ,L ,nr 与 1,2,L ,nr
一、 齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a2n xn LLLLLLLLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn
线性代数—线性方程组解的结构
0 0 0
0 0 0
1 2 2
1 4 5
1
2 2
1 2 1 1 1 1 2 1 1 1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
1 6 7
1
0 0
0
0 0
0 0 0
1 0 0
1 1 0
1
0 0
,
自由未知量取为 x2 , x5 ,
10
1 2 1 1 1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
解
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
3 0 5
2 1 4
1 2 3
1 2 3
3 61
0 0 0
1 1 1
2 ห้องสมุดไป่ตู้ 2
2 2 2
6 66
6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
3 0 5
2 1 4
1 2 3
1 2 3
3 61
0 0 0
1 1 1
2 2 2
2
一、齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2n xn 0 , am1 x1 am2 x2 amn xn 0
Ax ()
a11
A
a21 am1
a12 a22 am2
a1n
a2n amn
1 1 0
1
0 0
,
自由未知量取为 x2 , x5 ,
基础解系:
2
1
1
0
,
0
0
2
0
2
1
.
0
1
11
齐次线性方程组解的结构
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(m n)
am1x1 am2 x2 amnxn 0。
它的矩阵形式为
AX 0 ,
其中,
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1
a2n
,
amn
X
xxn2
。
也可用向量来表示齐次线性方程组。
a11
a12
a1n
记
1 aam211 , 2 aam222 , , n aam2nn ,
四 解线性方程组的一个应用
本节讨论矩阵的特征值与特征向量
定义 4.1
设 A Rnn , 如果存在数 及 n 维非零向量，使得：
A .
(4.1)
则称 为矩阵 A 的一个特征值, 而 称为矩阵 A 相应 于特征值 的一个特征向量。
由于
A ( A E) 0.
为矩阵 A的一个特征值的充要条件是齐次方程组
2 (1, 1, 0, 1, 0 )T 。
齐次线性方程组的通解
若齐次线性方程组(2*) 的基础解系为
1, 2 , , nr
r(A) r
则(2*) 的通解为
C11 C22 Cnrnr ,
其中, Ci 为任意常数 ( i 1, 2, , n r )。
例 求齐次线性方程组的通解: x1 x2 2x3 2x4 7x5 0 , 2x1 3x2 4x3 5x4 0 , 3x1 5x2 6x3 8x4 0。
就是说 , 方程组(2*) 的任何一个解均可由方程组 (3)中所定义
的 1, 2, , nr 线性表出。于是称方程组(3)中的这一组向
量为齐次线性方程组(2*) 的基础解系。
齐次线性方程组的基础解系
若齐次线性方程组(2*) 的一组解( 解向量 )
满足下列条件:
1, 2 , , k
1. 1, 2, , k 线性无关,
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 ,
a21x1 a22 x2 a2n xn 0 ,
( m n ) (2*)
am1x1 am2 x2 amnxn 0。
齐次线性方程组的全部解是否能通过 它的有限个解的线性组合表示出来?
三. 齐次线性方程组的通解
由定理 1 的证明过程可知 :
的两个解, 则有 x11 x22 xnn 0 (1 1)1 (2 2 )2 (n n )n (11 22 nn ) (11 22 nn )
000, 即两个解之和仍是该齐次方程组的解。
齐次线性方程组解的基本性质
性质 2 齐次线性方程组的解与任意实数的乘积 仍是该齐次方程组的解。
2 . r(A) r(A)。
我们关心的是非零解 !
非零解 !
定理 1
设齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 ,
a21x1 a22x2 a2n xn 0 ,
( m n ) (2*)
am1x1 am2 x2 amnxn 0。
的系数矩阵 A的秩为r(A) ,
性质 3 是性质 1和 性质 2 的综合。
二. 齐次线性方程组有非零解的条件
齐次线性方程组的特征 是右端全部为零 :
显然 ,
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 ,
a21x1 a22x2 a2n xn 0 ,
(m n)
am1x1 am2 x2 amnxn 0。
1. x1 x2 xn 0 是它的一个解, 称之为平凡解。
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 , n r 个 a21x1 a22x2 a2n xn 0 , ( m n ) (2*) am1x1 am2 x2 amnxn 0。
的任意一个解, 则 r 1 1 r22 nnr也是(2*) 的解。
比较 与 : (1, 2 , , r , r1, r2, , n ) ,
2x1 3x2 4x3 5x4 0 , 3x1 5x2 6x3 8x4 0。
解
1 A 2
1 3
2 4
2 5
7 0
r2 2r1 r3 3r1
1 1 2 2 7 0 1 0 1 14
3 5 6 8 0
0 2 0 2 21
r3 2r2
1 1 2 2 7 0 1 0 1 14
r2 2r3
的值为 (1, 0, ,0) , (0,1, ,0) , , (0, 0, ,1) , 求解 (3)。 4. 将求得的n r 组解与相应的 (1, 0, ,0) , , (0, 0, ,1) 构
成 (2*) 的基础解系。 也可选其它值
例 求齐次线性方程组的基础解系: x1 x2 2x3 2x4 7x5 0 ,
1 1 2 2 7 0 1 0 1 0
0 0 0 0 7 r3 7 0 0 0 0 1
r1 r2 7r3
1 0
0 1
2 0
1 1
0 0 ,
n 5 , r( A) 3 ,
0 0 0 0 1 基础解系含n r 5 3 2 个向量。
得到方程组
x1 2x3 x4 0 , x2 x4 0 ,
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（3）
——线性代数 第十一讲 齐次线性方程组解的结构
脚本编写：彭亚新
教案制作：彭亚新
第四章 线性方程组
第二节 齐次线性方程组解的结构 本节教学要求：
▲ 熟悉齐次线性方程组有非零解的条件。 ▲ 理解齐次线性方程组解的基本性质和解的结构。 ▲ 能熟练地求齐次线性方程组的基础解系。 ▲ 理解矩阵的特征值和特征向量的概念。 ▲ 能熟练地计算矩阵的特征值和特征向量。
方程组(3)的系数矩阵是满秩的, 且右端的n r 个变量
自由变量
xr1, xr2 , , xn 可以任意取值, 每取定一组不全为零的值 ,
由克莱满法则可解得唯一的一组相应值x1, x2, , xr。而由
此构成的数组
n r个自由变量
x1, x2 , , xr , xr1, xr2 , , xn
1. 若 m n , r( A) n , 则方程组(2*) 只有唯一的零解。
2. 若 0 r( A) n , 则方程组(2*) 有无穷多个非零解。
证 1. m n , r(A) n 时,
方程组(2*) 的系数矩阵 A 是一个满秩的方阵: det A 0。
因为方程组(2*) 的右端全为零, 故由克莱姆法则立即可知 :
nr 个自由变量
(2*) 的解 x1, x2 , , xr , xr1, xr2 , , xn
构成 n r 个 ( c11, c12, , c1r , 1, 0, , 0 )
线性无关的 (c21, c22, , c2r , 0, 1, , 0 )
解向量
( , )
依次取
(cnr1, cnr 2, , cnr r ,0, 0, , 1)
方程组(2*) 只有唯一的一个零解。
2. 0 r(A) n 时, 设 r(A) r , 且不妨设系数矩阵A的左上角的r 阶子式 不为零, 则(由消元法) 可将 (2*) 与下面的方程组同解: a11x1 a12 x2 a1r xr a1r1xr1 a1r2 xr2 a1n xn , a21x1 a22x2 a2r xr a2r1xr1 a2r2 xr2 a2n xn , (3) ar1x1 ar 2 x2 ar r xr ar x r1 r1 ar r2 xr2 ar n xn 。
当 0 r( A) r n (m n) 时 , (2*) 的同解方程组为
a11x1 a12 x2 a1r xr a1r1xr1 a1r2 xr2 a1n xn ,
a21x1 a22 x2 a2r xr a2r1xr1 a2r2 xr2 a2n xn , (3)
ar1x1 ar 2 x2 ar r xr ar x r1 r1 ar r2 xr2 ar n xn 。
1 0 2 1 0
A
0 1 0 1 0
0 0 0 0 1
即有
x5 0 ,
x1＝－2x3－x4 , x2＝－x4 , x5 0 ,
x3 x4 自由变量 10 01
依次将(x3, x4 ) (1, 0) , (0, 1) 代入方程组后, 解得原方程组
的基础解系为
x1 x2 x3 x4 x5 1 (2, 0, 1, 0, 0 )T ,
第二节 齐次线性方程组解的结构
一. 齐次线性方程组解的基本性质 二. 齐次线性方程组有非零解的条件 三. 齐次线性方程组的通解
一. 齐次线性方程组解的基本性质
齐次线性方程组
右端全为零的线性方程 组称为齐次线性方程组 :
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 ,
a21x1 a22x2 a2n xn 0 ,
则齐次线性方程组可表示为
x11 x22 xnn 0。
常用的齐次线性方程组的表示法还有
n
ai j x j 0 ( i 1, 2, , m ) 。
j 1
齐次线性方程组解的基本性质
性质 1 齐次线性方程组的两个解之和仍是该齐次方程组的解。
证 设 (1, 2, , n ) 和 (1, 2, , n ) 是齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1r xr a1r1xr1 a1r2 xr2 a1n xn ,
a21x1 a22 x2 a2r xr a2r1xr1 a2r2 xr2 a2n xn , (3)
ar1x1 ar 2 x2 ar r xr ar x r1 r1 ar r2 xr2 ar n xn 。
即为原齐次线性方程组(2*) 的一个解, 且为非零解。
由 xr1, xr2 , , xn 的任意性 , (2*) 有无穷多个非零解。
齐次线性方程组有非零解的条件 由定理 1 可知 : 当 m n 时 , 齐次线性方程组(2*) 有无穷多个非零解。 当 m n 时 , 齐次线性方程组(2*) 有非零解 det A 0。