重庆一中高2010级07-08学年(上)期末试题——数学

秘密★启用前
2008年重庆一中高2010级期末考试
数 学 试 题 卷 2008.1
数学试题共3页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一.选择题.(共10小题,每小题5分,共50分)
1.已知R x x A ∈=|{,且x <,a =.则式子①a A ∈; ②a A ≠
⊂; ③{}a A ≠
⊂;
④{}a A =,正确的个数为( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.不等式
3
11
x ≥+的解集为( ) A.(,2]-∞ B.(,1)(1,2]-∞-- C.[1,2]- D.(1,2]-
3.数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1
(1)
n a n n =+,则5S =( )
A.1
B.56
C.16
D.1
30
4.指数函数()(0x f x a a =>且)1≠a 的图象如图所示,那么不等式
)()(41
()(111x f f x f --->其中为()f x 的反函数)的解集为( )
A.1
(0,)4 B.(0,4)
C.1
(,)4
+∞ D.(4,)+∞ 5.等比数列123,,a a a 中的每一项均为数集{1, 2, 4}中的元素,这样不同的数列共有( ) A.8个 B.5个 C.3个 D.2个
6.若lg lg 2lg(2)x y x y +=-,则
=( )
A.0
B.4
C.0或4
D.1-或4
7. 有两个项数相同的等差数列:1,3,5,……,99及4,7,10,……,151.那么这两个数列中相等的项共有( )项. A.0 B.16 C.25 D.32
8.在右面表格中,每格填一个数后,可使每一横行成 等差数列,每一纵列成等比数列,则x y z ++=( )
A.2
B.3
C.4
D.5 9.已知两个等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为
,n n A B ,且7453n n A n B n +=
+,则使得n n
a
b 为整数的正整数n 有( ). A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.定义在R 上的函数()f x 为奇函数,且存在正常数T,使()()f x T f x +=对x R ∈恒成立,若方程()0f x =在闭区间[,]T T -上的根的个数为n ,则n 可能是( ) A.0 B.1 C.3 D.5
二.填空题.(共6小题,每小题4分,共24分)
11.
函数2lg(4)y x =-的定义域为 .
12.不等式|1|ax b +≤的解集为{|15}x x -≤≤,则a b += .
13.已知数列{}n a 对任意*,p q N ∈,都有q p q p a a a +=+.若2
1
1=a ,则10a = .
14.某商场把某种商品按原标价的8折出售,仍可获利30元,若这种商品的进货价为100元,则原标价为 .
15.
函数3y x =的值域为 .
16.数列{}n a :*9
()(1)()10
n n a n n N =⋅+∈的最大项的项数n 为 .
三.解答题.(共6小题,共76分)
17.(13分)设命题:|43|1p x -≤,命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤.若非p 是非q 的必要而不充分条件.求实数a 的取值范围.
18.(13分)已知函数2()(0,a
f x x x x
=+≠常数a R ∈).
(1)讨论函数()f x 的奇偶性,并说明理由;
(2)若16a =,证明()f x 在[2,)x ∈+∞上为增函数.
19.(13分)公比为)1(≠q q 的等比数列}{n a 的首项11=a ,且满足*)(2
12N n a a a n
n n ∈+=++. (1)求公比q 的值;
(2)求数列}{n na 的前n 项的和n S 的表达式,并化简.
20.(13分)红星林场年初有生长林200003m ,平均每年增长8℅,而每年年底都要砍伐20003m .设经过*)(N n n ∈年后,林场的木材存量为n y 3m . (1)写出函数)(n f y n =的解析式,并化简;
(2)经过若干年后,林场的木材会不会被砍光?若不会,说明理由;若会,试求出经过多少年林场的木材被砍光.(精确到1年,可能会用到的数据:6990.05lg ,4771.03lg ==)
21.(12分)如果函数()y f x =的定义域为[,]a b ()a b <,其值域也恰好为[,]a b ,则称闭区间[,]a b 为函数)(x f y =的不动区间.
(1)设()(0f x mx n m =+>且1m ≠),试问()f x 是否存在不动区间,并说明理由; (2)设2()2g x x px q =-+的不动区间为[0,1],求p 和q 的值.
22.(12分)已知点*(,)()n n n A a b n N ∈是曲线(x y e e =为自然对数的底数)上的点,1a a =.
n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足222
13n n n S S n a --=⋅且0n a ≠(其中*2,n n N ≥∈). (1)求证:163(2)n n a a n n ++=+≥;
(2)求证:数列)2}({2≥+n b b
n
n 是常数数列;
(3)确定a 的取值集合M ,使a M ∈时,数列{}n a 是递增数列.
2008年重庆一中高2010级期末考试
数 学 试 题 答 案 2008.1
二.填空题.(共6小题,每小题4分,共24分)
11. [1,2)- 12. 1 13. 5 14. 162.5元 15. 3
[,)2
+∞ 16. 第八,九项
三.解答题.(共6小题,共76分)
17.解:由非p 是非q 的必要而不充分条件知q 是p 的必要而不充分条件.
即p 是q 的充分而不必要条件 3分
由|43|1x -≤解得1
12
x ≤≤ ① 6分
由2(21)(1)0x a x a a -+++≤即()[(1)]0x a x a --+≤得
1a x a ≤≤+ ② 9分
于是1
{|1}{|1}2
x x x a x a ≠≤≤⊂≤≤+
∴1211a a ⎧
≤
⎪⎨⎪+≥⎩
即102a ≤≤ 13分
18.解:(1)当0a =时,2()(0)f x x x =≠
对(,0)(0,)x ∈-∞+∞都有()()f x f x -= ∴()f x 为偶函数 3分
当0a ≠时,2()(0)a
f x x x x
=+≠
取1x =± 由于(1)(1)20f f -+=≠ 4分 (1)(1)20f f a --=-≠ 5分 ∴(1)(1)f f -≠-且(1)(1)f f -≠
∴()f x 既不是奇函数,也不是偶函数 7分 (2)设122x x ≤<
∵22121212
1616
()()f x f x x x x x -=+--
]16)([21212
12
1-+-=x x x x x x x x 10分
∵122x x ≤< ∴12120,0x x x x -<>, 1212()22(22)16x x x x +>⨯⨯+=
∴12()()0f x f x -<即12()()f x f x <
∴()f x 在[2,)+∞上单调递增. 13分
19.解:(1)由已知,n n n n qa a a q a ==++122,n n a q
a q 2
12+=∴. 2分 又由}{n a 为等比数列可知0≠n a ,2
12q
q +=
∴. 4分 解得211-==q q 或,由于1≠q ,所以21
-=q 6分
(2)由(1)可得*)()2
1
(1N n a n n ∈-=-
此时,数列}{n na 的前n 项和
12)2
1
()21(3)21(21--++-+-+=n n n S ① 8分
①式两边同乘2
1
-,得
n n n n n S )2
1
()21)(1()21(2212112-+--++-+-=-- ② 10分 ①式减去②式得9
)21
()32(41
--⋅++=n n n S 13分
20.解: (1)由题意知19600200008.1200001=-⨯=y ,
)2(200008.11≥-=-n y y n n . 2分
可设)(08.11x y x y n n +=+-,解得25000-=x ,
即)25000(08.1250001-=--n n y y .所以数列}25000{-n y 是以
5400)25000(1-=-y 为首项,1.08为公比的等比数列. 6分 于是n n n y 08.1500008.15400250001⨯-=⨯-=--,
所以n n y 08.1500025000⨯-= 7分 (2)设经过n 年木材被砍光,则0≤n y ,有508.1≥n 9分
两边同取常用对数得215
lg 23lg 35
lg 08.1lg 5lg ≈-=≥
n 故经过21年,林场的木材将被砍光 13分
21.解:(1)假设[,]()a b a b <为()f x mx n =+的不动区间.
由0m >知,()f x 在[,]a b 上为增函数,有 ()()f a a f b b =⎧⎨=⎩ 即am n a
bm n b
+=⎧⎨
+=⎩ 2分 两式相减得b a m b a -=-)(,而0≠-b a ,1=∴m ,这与已知矛盾.
故)(x f 不存在不动区间 4分
(2)函数()g x 的对称轴为直线x p =.
若0p ≤,由题意有(0)0
0(1)1g p q g =⎧⇒==⎨=⎩
6分
若1p ≥,由题意有(0)1
1(1)0
g p q g =⎧⇒==⎨=⎩ 8分
若01p <<,有2()0(0)1
f p q p f q ⎧=-=⎨==⎩ 或⎩⎨⎧
=+-==121)1(0)(q p f p f ,分别解得1±=p 与
20或=p ,均导致矛盾. 11分
故00p q =⎧⎨=⎩ 或11
p q =⎧⎨=⎩ 12分
22.解:(1)当2n ≥时,由已知有n n n n n a n S S S S 2113))((=+---
∵10n n n a S S -=-≠ ∴213n n S S n -+= ① 2分 ∴213(1)n n S S n ++=+ ②
②-①得163(2)n n a a n n ++=+≥ 4分
(2)∵)2(361≥+=++n n a a n n ③ ∴2169n n a a n +++=+ ④
④-③得26n n a a +-= ⑤ 6分
∴622e e
e b b n n a a n n ==++为常数,即2{}(2)n n b n b +≥是常数列 8分
(3)由①有2112S S += 从而2122a a =-
由③有324315,21a a a a +=+= 所以332a a =+. 4182a a =-
而⑤表明:数列2{}k a 和21{}k a +分别是以23,a a 为首项,6为公差的等差数列 ∴222136(1),
6(1)k k a a k a a k +=+-=+-
*2246(1)()k a a k k N +=+-∈ 10分
∴{}n a 单调递增12
22122
k k k a a a a a ++<⎧⇔⎨<<⎩ 对*k N ∈恒成立
12
2
346(1)6(1)6(1)a a a k a k a k <⎧⇔⎨
+-<+-<+-⎩ 1234a a a a ⇔<<<
12232182a a a a ⇔<-<+<- 91544
a ⇔<<
11 ∴915{|}44
M a a =<< 12分
另解:由③可得:13(1)(3)(2)n n a n a n n +-+=--≥
则有223(1)(6)n n a n a --=--
∴23(1)(62)(2)n n a n a n -=+--≥
{}n a 单增121n
n a a a a +<⎧⇔⎨<⎩ 对于2n ≥恒成立 24(1)(124)3n a a -<⎧⇔⎨-⋅-
<⎩ 对于2n ≥恒成立 讨论n 的奇偶性可得91544
a <<.。