第九章方差分析及回归分析
第九章 复习-方差分析及回归分析
s
n j X . j nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ X ij nX 0
j 1 i 1
因此得知SA的自由度是 s -1.
由（1.3）,（1.6）及Xij的独立性得知
X ~ N ( , / n)
2
s j 1
（1.14）
E ( S A ) E[ n j X .2j nX 2 ]
j 1
s
（1.13） 可以计算 E( S E ) (n s) 2. SA的统计特性. 它是s个变量 n j ( X . j X )
2
的平方和，且仅有一个线性约束条件:
j 1 s j 1
s
nj
nj ( X. j X ) nj ( X. j X )
j 1 s nj
i 1
( X ij X . j ) 2 / 2 ~ 2 (n j 1)
i 1
nj
（1.11）中各项独立，根据 分布的可加性，得 s
2
S E / 2 ~ 2 ( ( n j 1))
j 1
即S E / 2 ~ 2 ( n s ),
n n j （1.12）
j
Xij - μj可以看成是随机误差. 记为Xij - μj =εij ，
则Xij 可以写为
Xij = μj +εij
εij ~N(0, ζ2),各ε
ij独立
(1.1)
i=1,2,…,nj , j=1,2,…,s
(1.1)称为单因素方差分析的数学模型.
方差分析的任务
X i1 ~ N (1 , 2 ), X i 2 ~ N (2 , 2 ),..., X is ~ N ( s , 2 ) I. 检验s个总体
方差分析与回归分析
方差分析与回归分析在统计学中，方差分析和回归分析都是常用的统计方法，用于研究不同变量之间的关系。
虽然两种分析方法的目的和应用领域有所不同，但它们都有助于我们深入理解数据集，并从中获得有关变量之间关系的重要信息。
一、方差分析方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较三个或三个以上样本均值是否存在显著差异的统计方法。
方差分析的主要思想是通过比较组间方差与组内方差的大小来判断样本均值之间的差异是否具有统计学意义。
方差分析通常包括以下几个基本步骤：1. 设置假设：首先我们需要明确研究的问题，并设置相应的零假设和备择假设。
零假设通常表示各组均值相等，备择假设表示各组均值不全相等。
2. 计算统计量：利用方差分析的原理和公式，我们可以计算出F值作为统计量。
F值表示组间均方与组内均方的比值，用于判断样本均值之间的差异是否显著。
3. 判断显著性：通过查找F分布表，我们可以确定相应的拒绝域和临界值。
如果计算出的F值大于临界值，则可以拒绝零假设，认为样本均值存在显著差异。
4. 后续分析：如果方差分析结果显示样本均值存在显著差异，我们可以进行进一步的事后比较分析，比如进行多重比较或构建置信区间。
方差分析广泛应用于生物医学、社会科学、工程等各个领域。
通过方差分析可以帮助我们研究和理解不同组别之间的差异，并对实验设计和数据分析提供重要的指导和支持。
二、回归分析回归分析（Regression Analysis）是一种用于探究自变量与因变量之间关系的统计方法。
回归分析的目标是建立一个可信度高的数学模型，用以解释和预测因变量的变化。
回归分析可以分为线性回归和非线性回归两种类型。
线性回归基于一条直线的关系来建立模型，非线性回归则基于其他曲线或函数形式的关系进行建模。
进行回归分析的主要步骤如下：1. 收集数据：首先需要收集自变量和因变量的数据。
确保数据的准确性和完整性。
2. 确定模型：根据数据的特点和研究的目标，选择适当的回归模型。
第九章方差分析及回归分析 第2讲精品PPT课件
x1, x2, , xn
因此干脆不把X看成随机变量，而将它当作 普通的变量。X的变化将使Y发生相应的变 化，但它们之间的变化是不确定的。由于Y 是随机变量 ，当X取得任一个可能的值x时， Y都相应地服从一定的概率分布。
10
设进行 n 次独立试验，测得试验数据如下表：
xபைடு நூலகம்
x1
x2
xn
y
y1
y2
yn
我们的问题是，如何根据这组观察值，用 “最佳”的形式来表达变量Y与x的相关关系？
比较合理的想法就是，取Xx时随机变量
Y的数学期望EY Xx 作为Xx时Y的估计值。
11
设Y的数学期望EY存在,其值随X的取值
而定，即Y的数学期望是x的函数。将这一函数
记为yx 或x，xEY Xx称为Y关于x
的回归函数。 为 此 ， 我 们 就 将 讨 论 Y 与 x的 相 关 关 系 的 问 题
转 换 为 讨 论 E Y x与 x的 函 数 关 系 了 。
由一个或一组非随机变量来估计或预测某 一个随机变量的观察值时所建立的数学模 型及所进行的统计分析称为回归分析
7
如果这个模型是线性的就称为线性回归分析 这种方法是处理变量间相关关系的有力工具，是
数理统计工作中一种常用的方法。它不仅告诉人 们怎样建立变量间的数学表达式，即经验公式， 而且还利用概率统计知识进行分析讨论，判断出 所建立的经验公式的有效性，从而可以进行预测 或估计。 本章主要介绍如何建立经验公式。
14
温度x(oc) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率（%） 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
得率与温度关系的散点图 100 90 80 70 60 50 40
第9章-方差分析与线性回归
Xij X E
s nj
ST s
n
E
j
j 1
i 1
X ij X
j1 i1
s nj
X ij2 nX
j1 i1
X ij 2
2
2
s nj
X
EE(X
)j
s11ninj1jEs1Xinj1ijjE21(Xiinj1)X
1 n
s
nj ( j )
j 1
s nj
E( Xij2 ) nE( X 2 )
X12 X 22
As : N s , 2
X1s X 2s
X n11
X n2 2
X nss
每个总体相互独立. 因此, 可写成如 下的 数学模型:
ij
~
X ij j ij N (0, 2 ), 各ij独立
i 1, 2, , nj，j 1, 2, , s
方差分析的目的就是要比较因素A 的r 个水平下试验指标理论均值的 差异, 问题可归结为比较这r个总体 的均值差异.
i
ij (0, 2 ),各ij独立
1, 2, , nj，j 1, 2, , s
n11 n22 ... nss 0
假设等价于 H0 :1 2 s 0
H1 :1,2,
,
不全为零。
s
为给出上面的检验，主要采用的方法是平方和 分解。即
假设数据总的差异用总离差平方和 ST 分解为
第九章 回归分析和方差分析
关键词： 单因素试验 一元线性回归
方差分析(Analysis of variance, 简 称:ANOVA),是由英国统计学家费歇尔 (Fisher)在20世纪20年代提出的,可用于推 断两个或两个以上总体均值是否有差异 的显著性检验.
方差分析与回归分析
方差分析与回归分析在统计学中，方差分析（ANOVA）和回归分析（Regression Analysis）都是常见的统计分析方法。
它们广泛应用于数据分析和实证研究中，有助于揭示变量之间的关系和影响。
本文将对方差分析和回归分析进行介绍和比较，让读者更好地理解它们的应用和区别。
一、方差分析方差分析是一种统计方法，用于比较两个或更多组别的均值是否存在显著差异。
它通过计算组内变异和组间变异的比值来判断不同组别间的差异是否具有统计显著性。
在方差分析中，通常有三种不同的情形：单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况。
例如，我们想要比较不同教育水平对收入的影响，可以将教育水平作为自变量分为高中、本科和研究生三个组别，然后进行方差分析来检验组别之间的收入差异是否显著。
双因素方差分析适用于有两个自变量的情况。
例如，我们想要比较不同教育水平和不同工作经验对收入的影响，可以将教育水平和工作经验作为自变量，进行方差分析来研究其对收入的影响程度和相互作用效应。
多因素方差分析适用于有多个自变量的情况。
例如，我们想要比较不同教育水平、工作经验和职位对收入的影响，可以将教育水平、工作经验和职位作为自变量，进行方差分析来探究它们对收入的联合影响。
方差分析的基本原理是计算组内变异和组间变异之间的比值，即F 值。
通过与临界F值比较，可以确定差异是否显著。
方差分析的结果通常会报告组间平均差异的显著性水平，以及可能存在的交互作用。
二、回归分析回归分析是一种统计方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它通过建立一个数学模型来描述自变量对因变量的影响程度和方向。
回归分析分为简单线性回归和多元线性回归两种类型。
简单线性回归适用于只有一个自变量和一个因变量的情况。
例如，我们想要研究体重与身高之间的关系，可以将身高作为自变量、体重作为因变量，通过拟合一条直线来描述二者之间的关系。
多元线性回归适用于有多个自变量和一个因变量的情况。
统计学中的方差分析与回归分析比较
统计学中的方差分析与回归分析比较统计学是以搜集、整理、分析数据的方法为研究对象的一门学科，随着现代科技的不断进步，统计学在许多领域中都扮演着至关重要的角色。
在统计学的研究中，方差分析和回归分析都是两种常见的方法。
然而，这两种方法之间的区别是什么？它们各自的优缺点又是什么呢？本文将就这些问题进行探讨。
一、方差分析是什么？方差分析，也称为ANOVA (analysis of variance)，是一种用于分析各个因素对于某一变量影响力大小的方法。
在统计数据分析中，可能有多个自变量（影响因素），这时我们需要检验这些因素中哪些是显著的，即在该因素下所得的计算值与总计算值之间是否存在显著性差异。
因此，方差分析的基本思想是对总体方差进行分析，检验各个因素是否会对总体造成显著影响。
二、回归分析是什么？回归分析则是研究两个变量之间关系的一种方法。
一个自变量（independent variable）是已知的、独立的变量，一个因变量（dependent variable）是需要预测或解释的变量。
回归分析的主要目的是利用自变量对因变量进行预测，或者解释自变量与因变量之间的关系。
回归分析一般有两种，即简单线性回归和多元回归。
三、方差分析与回归分析的比较1. 适用范围方差分析适用于多个自变量之间的比较；回归分析则适用于对单个因变量的预测。
2. 关心的变量在方差分析中，我们关心的是各个自变量对总体造成的显著影响程度；在回归分析中，我们关心的是自变量与因变量之间的相关性。
3. 变量类型方差分析和回归分析处理的数据类型也不相同。
在方差分析中，自变量通常为分类变量（catogorical variable），而因变量通常为连续量（continuous variable）。
而在回归分析中，自变量和因变量都为连续量。
4. 独立性假设方差分析的独立性假设要求各组之间是相互独立、没有相关的，而回归分析的独立性假设要求各个观测或实验之间是独立的。
方差分析和回归分析
方差分析和回归分析方差分析和回归分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
它们分别用于比较多个样本之间的差异以及建立变量之间的函数关系。
本文将对方差分析和回归分析进行介绍和比较。
一、方差分析方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较多个样本均值是否存在差异的统计方法。
方差分析通过比较组间和组内的方差来判断样本均值是否存在显著差异。
方差分析需要满足一些基本假设，如正态分布假设和方差齐性假设。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析是指只有一个自变量（因素）对因变量产生影响的情况。
多因素方差分析则包含两个或两个以上自变量对因变量的影响，可以用于分析多个因素交互作用的效应。
方差分析的步骤包括建立假设、计算各组均值和方差、计算F值和判断显著性等。
通过方差分析可以得到组间显著性差异的结论，并进一步通过事后多重比较方法确定具体哪些组之间存在显著差异。
二、回归分析回归分析（Regression Analysis）是一种用于分析自变量和因变量之间关系的统计方法。
回归分析通过建立一种数学模型，描述自变量对因变量的影响程度和方向。
回归分析可用于预测、解释和探索自变量与因变量之间的关系。
回归分析可以分为线性回归和非线性回归。
线性回归是指自变量和因变量之间存在线性关系的情况，可以用一条直线进行拟合。
非线性回归则考虑了自变量和因变量之间的非线性关系，需要采用曲线或其他函数来进行拟合。
回归分析的步骤包括建立模型、估计参数、检验模型的显著性、预测等。
回归模型的好坏可以通过拟合优度、回归系数显著性以及残差分析等指标进行评估。
三、方差分析与回归分析的比较方差分析和回归分析都是常用的统计方法，但它们有一些区别。
主要区别包括：1. 目的不同：方差分析用于比较多个样本之间的差异，判断样本均值是否存在显著差异；回归分析则用于建立自变量和因变量之间的函数关系，预测和解释因变量。
2. 自变量个数不同：方差分析一般只有一个自变量（因素），用于比较不同组别之间的差异；回归分析可以包含一个或多个自变量，用于描述自变量对因变量的影响关系。
高级统计学中的方差分析和回归分析
高级统计学中的方差分析和回归分析统计学是一门非常重要的学科领域，它通过对数据的采集、分析、整理与解释来揭示数据背后的规律和本质。
在统计学中，方差分析和回归分析是两个重要的概念，它们可以用来解释和预测数据的变化趋势，为其他学科领域提供有力的支持。
一、方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个样本的平均值差异的方法。
比如，在实验室进行了一项研究，需要比较两个或多个不同处理方式下的数据表现，我们可以采用方差分析的方法。
方差分析的基本思想是将总方差分解为几个部分，其中各部分代表了一些特定的因素，比如不同处理方式、实验误差等。
我们通过对这些因素的方差分析，可以得到它们对总方差的贡献度，从而确定哪些因素是显著的，哪些是不显著的。
在实践中，方差分析可以用于各种不同的领域，比如教育、医学、社会科学等。
例如，我们可以采用方差分析的方法来研究不同教学方法对学生成绩的影响，或者研究不同药物对患者治疗效果的差异。
二、回归分析回归分析是一种用于建立变量之间关系模型的方法。
在回归分析中，我们可以通过对自变量与因变量的相关性研究，来预测因变量对自变量的响应情况。
回归分析可以归为简单线性回归和多元回归两种类型。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况，它的数学模型可以用一条直线来表示。
在实际应用中，简单线性回归可以用来研究不同变量之间的关系，比如温度和空调使用时间的关系。
多元回归是指有两个或两个以上自变量和一个因变量的情况，它的数学模型可以用一个多项式来表示。
在实际应用中，多元回归可以用来研究多个变量之间的关系，比如气温、湿度、风力等因素对空调使用时间的影响。
总体来说，方差分析和回归分析是统计学领域中非常重要的概念。
通过对这两个概念的深入研究和应用，我们能够更好地揭示数据背后的规律和本质，为其他学科领域提供更好的支持。
方差分析回归分析
案例二：不同地区教育水平的方差分析
总结词
通过比较不同地区的教育水平，了解各 地区教育发展的差异，为政府制定教育 政策提供科学依据。
VS
详细描述
收集不同地区的教育水平数据，包括学校 数量、教师质量、学生成绩等。利用方差 分析方法，分析各地区教育水平是否存在 显著差异，并探究影响教育水平的因素。 根据分析结果，提出针对性的教育政策建 议，促进教育公平和发展。
应用范围
方差分析主要应用于实验设计、质量控制等领域，而回归 分析则广泛应用于预测、建模和决策等领域。
04
方差分析的实际应用案例
案例一：不同品牌电视销量的方差分析
总结词
通过对比不同品牌电视的销量，分析品牌、型号、价格等因素对销量的影响，有助于企业了解市场需 求和竞争态势。
详细描述
选取市场上不同品牌、型号、价格的电视，收集其销量数据。利用方差分析方法，分析各品牌电视销 量是否存在显著差异，并进一步探究价格、功能等变量对销量的影响。根据分析结果，为企业制定营 销策略提供依据。
05
回归分析的实际应用案例
案例一：预测股票价格与成交量的回归分析
总结词
股票价格与成交量之间存在一定的相 关性，通过回归分析可以预测股票价 格的走势。
详细描述
通过收集历史股票数据，分析股票价 格与成交量之间的相关性，建立回归 模型。利用该模型，可以预测未来股 票价格的走势，为投资者提供决策依 据。
详细描述
方差分析在许多领域都有广泛的应用，如心理学、社会科学、生物统计学和经济学等。它可以用于比较不同组数 据的均值差异，探索因子对因变量的影响，以及处理分类变量和连续变量的关系。通过方差分析，研究者可以更 好地理解数据结构和关系，为进一步的数据分析和解释提供依据。
第九章----方差分析
若组间变异明显大于组内变异, 则不能认为组 间变异仅反映随机误差的大小, 处理因素也在起 作用。根据计算出的检验统计量F值, 查界值表 得到相应的P值, 按所取检验水准α作出统计推断 结论。
检验统计量F值服从F分布。
F<Fα,(ν组间, ν组内),则P > α, 不拒绝H0, 还不能认 为各样本所来自的总体均数不同;
1、各样本是相互独立的随机样本, 且来自 正态分布的总体;
2、相互比较的各样本的总体方差相等, 即 具有方差齐性。 独立性、随机性、正态性、方差齐性
五、方差分析的用途
1、用于进行两个或多个样本均数的比较; 2、分析两因素或多因素间的交互作用; 3、用于回归方程的线性假设检验。
六、方差分析的优点
1、不受比较组数的限制,可比较多组均数; 2、可同时分析多个因素的作用; 3、可分析因素间的交互作用.
一、多个样本均数间的比较能否用 t 检 验或 u 检验？为什么？
原因:
五个样本均数进行比较, 每次两个均数作一次 t 检验, 共需作10（C52=10）次 t 检验。若每次比 较的检验水准α＝0.05, 则每次比较不犯Ⅰ型错误 的概率为（1-α）＝0.95。当这些检验独立进行 时, 则10次比较均不犯Ⅰ型错误的概率为0.9510＝ 0.5987, 此时犯Ⅰ型错误的概率, 即总的检验水准 α变为1-0.5987＝0.4013比0.05大的多。犯Ⅰ型错 误的概率增大, 可能将原本无差别的两个总体推 断为有差别, 误判为有统计意义。因此多重比较 不宜用的 t 检验或 u检验作两两比较。
已知各组均数、标准差和样本含量时F值 的简便计算方法。
当原始数据未知, 只知各组均数、标准差和 样本含量时, 可进行如下计算, 分两种情况: 1、各组样本含量ni相等; 2、各组样本含量ni不等。
线性回归分析与方差分析.ppt
若假设Y=a+bx+ 符合实际，则b不应为零 因为如果b=0，则Y=a+ 意味着Y与x无关
所以Y=a+bx是否合理，归结为对假设：
H0: b=0 H1 : b 0
进行检验
下面介绍检验假设H0的二种常用方法.
1．t检验法
若H0成立，即b=0，由定理7.1知，
bˆ
~ N (0,1)
yˆ0 aˆ bˆx0
作为y0的预测值.可以证明
T
y0 yˆ0
~ t(n 2)
n ˆ
n2
1 1 n
(x0 x)2
n
(xi x)2
i1
从而可得
P | T | t (n 2) 1
2
所以，给定置信概率 1 ，Y0的置信区间为
( y0 (x0 ), y0 (x0 ))
其中
第九章 线性回归分析与方差分析
第一节 一元线性回归分析 第二节 可线性化的非线性回归 第三节 多元线性回归简介 第四节 方差分析
第一节 一元线性回归分析
在许多实际问题中，我们常常需要研究多 个变量之间的相互关系。 一般来说，变量之间的关系可分为两类： 一类是确定性关系，确定性关系是指变量之间的关 系可以用函数关系来表达，例如电流I电压V电 阻R之间有关系式V=IR。 另一类是非确定性关系，有些变量之间的关系是非 确定性的关系，这种关系无法用一个精确的函数 式来表示。
直线附近.但各点不完全在一条直线上，这是由于Y
还受到其他一些随机因素的影响.
这样，Y可以看成是由两部分叠加而成，一部
分是x的线性函数a+bx，另一部分是随机因素引起的
误差 ，即
y
Y=a+bx+
方差分析与回归分析
方差分析与回归分析方差分析与回归分析是统计学中常用的两种分析方法，用来研究变量之间的关系和影响。
本文将分别介绍方差分析和回归分析的基本原理、应用场景以及相关注意事项。
**方差分析**方差分析（ANOVA）是一种用来比较两个或多个总体均值是否相等的统计方法。
它主要用于处理两个或多个组之间的变量差异性比较。
方差分析将总体方差分为组间方差和组内方差，通过比较组间方差与组内方差的大小来判断组间均值是否存在显著差异。
方差分析的应用场景包括但不限于医学研究、实验设计、市场调研等领域。
通过方差分析，研究者可以判断不同组之间是否存在显著差异，从而得出结论或制定决策。
在进行方差分析时，需要注意一些问题。
首先，要确保各组数据符合方差分析的假设，如正态性和方差齐性。
其次，要选择适当的方差分析方法，如单因素方差分析、多因素方差分析等。
最后，要正确解读方差分析结果，避免误解导致错误结论。
**回归分析**回归分析是一种用来研究自变量与因变量之间关系的统计方法。
通过构建回归方程，可以预测因变量在给定自变量条件下的取值。
回归分析主要包括线性回归和非线性回归两种方法，用于描述自变量与因变量之间的相关性和影响程度。
回归分析的应用领域广泛，包括经济学、社会学、医学等。
通过回归分析，研究者可以探究变量之间的复杂关系，找出影响因变量的主要因素，并进行预测和控制。
在进行回归分析时，需要考虑一些重要问题。
首先，要选择适当的回归模型，如线性回归、多元回归等。
其次，要检验回归方程的拟合度和显著性，确保模型的准确性和可靠性。
最后，要谨慎解释回归系数和预测结果，避免过度解读和误导性结论。
综上所述，方差分析与回归分析是统计学中常用的两种分析方法，分别用于比较组间差异和探究变量关系。
通过正确应用这两种方法，可以帮助研究者得出准确的结论和有效的决策，推动学术研究和实践应用的发展。
第九章方差分析及回归分析
解：2 SE /(n r) 0.000016
1 x1 0.242, 2 x2 0.256, 3 x3 0.262 x 0.253
1 x1 x 0.011, 2 x2 x 0.003
2019/11/8
1
例1 设有三台机器，用于生产规格相同的铝 合金薄板。取样，测量薄板的厚度精确至千 分之一厘米。得结果如下表所示。
铝合金板的厚度
机器1
机器2
机器3
0.236
0.257
0.258
0.238
0.253
0.264
0.248
0.255
0.259
0.245
0.254
0.267
0.243
0.261
SE ( X i1 X1)2
( X is X s )2
i 1
i 1
nj
（Xij X j )2 / 2 ~ 2 (nj 1)
i1
由 2分布的可加性知
s
SE / 2 ~ 2 ( (nj 1)) j 1
SE / 2 ~ 2(n s)
因F0.05(2,12) 3.89 32.92,
故在水平0.05下拒绝H0 , 认为各台机器生产的 薄板厚度有显著差异。
2019/11/8
23
（五）未知参数的估计
不管H0是否为真，ˆ 2
SE nr
是
2的无偏估计。
拒绝还是接受H0,需要作出两总体N (i , 2)和N (k , 2),
( Xij Xi.)( Xi. X )
i1 j1
i1
浙江大学《概率论与数理统计》(第4版)教材的配套题库(第9章 方差分析及回归分析)【圣才出品】
＿
＿
＿
＿
＿
＿
（x1－x2±1.78）＝（0.72，4.28），（x1－x3±1.95）＝（2.55，6.45），（x2－x3±1.78）＝
（0.22，3.78）
由此可见，若仅从得到的样本作出决策，则以方案Ⅲ为佳。
3．某防治站对 4 个林场的松毛虫密度进行调查，每个林场调查 5 块地得资料如表 9-5 所示： 表 9-5
表 9-2
因 F 比＝17.07＞3.89＝F0.05（2，14），故在显著性水平 0.05 下拒绝 H0，认为平均寿命的
差异是显著的。
＿
＿
＿
由已知得xA＝42.6，xB＝30，xC＝44.4，t0.025（12）＝2.1788，极限误差 E 为
t0.025 (12)
1 SE ( ni
1 nk
)
5.8（5 i, k
已知得 n1＝8，n2＝12，n3＝8，，n＝28，T.1＝100，T.2＝120，T.3＝64，T..＝284
ST
3 j 1
ni i 1
xi2j
T2 n
3052 2842 28
171.43
SA
3
T
2 j
n j1 j
T2 n
2962 2880.57 81.43
SE＝ST－SA＝90
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第 9 章 方差分析及回归分析
以下约定各个习题均符合涉及的方差分析模型或回归分析模型所要求的条件。
1．今有某种型号的电池三批，它们分别是 A、B、C 三个工厂所生产的，为评比其质量， 各随机抽取 5 只电池为样品，经试验得其寿命（h）如表 9-1 所示： 表 9-1
方差分析与回归分析
方差分析与回归分析方差分析（Analysis of Variance，缩写为ANOVA）与回归分析（Regression Analysis）是统计学中常用的两种数据分析方法。
它们在不同领域的研究中有着重要的应用，用于探究变量之间的关系以及预测、解释和验证数据。
一、方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值是否差异显著的统计方法。
它通过计算各组之间的离散程度来揭示变量之间的关系。
方差分析常用于实验设计和实验结果的分析，可以帮助研究人员确定各因素的影响程度。
在方差分析中，我们首先将数据进行分组，然后计算每个组的方差。
通过比较各组之间的方差，我们可以判断其是否有显著差异。
方差分析根据研究设计的不同，可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析适用于只有一个自变量（因素）的情况，而多因素方差分析则适用于多个自变量（因素）的情况。
方差分析的结果一般通过计算F值来判断各组之间的差异是否显著。
如果F值大于临界值，则可以拒绝原假设，认为各组之间存在显著差异。
反之，如果F值小于临界值，则无法拒绝原假设，即各组均值没有显著差异。
二、回归分析回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
它根据自变量（独立变量）与因变量（依赖变量）之间的相关性，建立一个预测模型来预测或解释因变量的变化。
在回归分析中，我们首先收集自变量和因变量的数据，然后通过建立数学模型来描述它们之间的关系。
常用的回归模型包括线性回归、多项式回归、逻辑回归等。
通过回归分析，我们可以估计自变量对于因变量的影响程度，并根据模型进行预测和解释。
在回归分析中，我们通常使用R方（R-squared）来衡量模型的拟合程度。
R方的取值范围在0到1之间，越接近1表示模型的拟合效果越好。
此外，回归分析还可以通过计算标准误差、系数显著性、残差分析等指标来评估模型的质量。
结论方差分析与回归分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
方差分析适用于比较多个样本均值的差异性，而回归分析用于研究变量之间的关系和预测。
回归分析方差分析
回归分析方差分析回归分析和方差分析是统计学中两种重要的数据分析方法。
回归分析用于研究两个或多个变量之间的关系，并预测一个变量对另一个或多个变量的影响。
方差分析则用于比较三个或更多个组或处理之间的均值差异。
本文将分别介绍回归分析和方差分析的基本原理和应用。
回归分析是一种通过建立数学模型来研究两个或多个变量之间关系的方法。
回归模型用来预测一个因变量（响应变量）对一个或多个自变量的依赖关系。
回归分析可以分为简单线性回归和多元回归。
简单线性回归是一种建立在一个自变量和一个因变量之间的关系上的模型。
多元回归则是一种包含多个自变量和一个因变量之间关系的模型。
回归分析的基本原理是通过最小二乘法来估计模型的参数。
最小二乘法的目标是找到最佳拟合线，使得观测数据点与拟合线之间的误差最小。
回归分析可以用来评估变量之间的关系强度和方向。
相关系数用来衡量变量之间的线性关系强度，其取值范围在-1到1之间。
回归方程用来预测因变量的值，可以根据自变量的值来计算。
回归分析的应用广泛，包括但不限于以下几个领域。
在经济学中，回归分析可以用来研究经济变量之间的关系，如GDP和失业率之间的关系。
在医学研究中，回归分析可以用来探索疾病与风险因素之间的关系，如吸烟与肺癌之间的关系。
在市场营销中，回归分析可以用来预测销售额与广告支出之间的关系。
在社会科学中，回归分析可以用来研究人口统计学变量与社会行为之间的关系。
方差分析是一种用来比较三个或更多个组或处理之间的均值差异的方法。
方差分析的基本原理是通过分解总方差为组间方差和组内方差来进行检验。
组间方差衡量了不同组之间的均值差异，而组内方差则衡量了同一组内的个体之间的差异。
方差分析通常用来比较不同处理或实验条件下的均值之间是否存在显著差异。
方差分析的假设是每个组内个体之间的差异是相同的，只有组间的差异是不同的。
方差分析可以用来比较多个组之间的均值差异，如不同药物治疗组的疗效比较，或不同教学方法对学生成绩的影响。
第9章方差分析与一元回归分析
第九章 方差分析与一元线性回归分析
[系统(条件)误差]:
概率统计
在方差分析中,凡是由于试验因素的变异而引起的 试验结果的差异,称为“系统误差”或“条件误差”.
[随机(试验)误差]:
在试验中,当我们把所有能控制的试验条件都控 制在固定的状态下,进行多次重复试验,所得的的试 验结果也不会完全一致,仍存在一定程度的差异.
r ni
ST
( Xij X )2
i1 j1
r ni
SE
( Xij Xi )2
i1 j1
r ni
r
SA
( Xi X )2 ni (Xi X )2
i1 j1
i1
ST反映了样本的总变动幅度. SE反映了为从r个总体中选取一个容量为ni的样本所进行的 重复试验而产生的误差. S A反映了从各不同水平总体中取出的各个样本之间的差异.
r i1
1 ni
(
ni j 1
X ij
)2
1 n
(
r i1
ni
Xij )2
j 1
概率统计
第九章 方差分析与一元线性回归分析
概率统计
(3) 若令Y aX b (a 0),有Y aX b SY2 a2SX2
Y
1 n
n i 1
Yi
1 n
n i 1
(aX i
b)
1 n
n
aX i
i 1
第九章 方差分析与一元线性回归分析
教学要求
1.掌握单因素试验的方差分析 2.掌握一元线性回归分析 学时 4- 6
概率统计
第九章 方差分析与一元线性回归分析
第一节、方差分析
一、方差分析的基本原理 二、单因素方差分析的方法 三、单因素方差分析的步骤 四、双因素方差分析的方法
方差分析及回归分析ppt60页课件
设因素有S个水平，在水平Aj (j=1,2,…,s)下，进行nj (nj≥2)次独立试验，结果如下：
水平 观察结果
A1
A2
…
As
X11 X21 …
X11 X21 …
… … …
X11 X21 …
样本总和 样本均值 总体均值
T.1 X.1 μ 1
T.2 X.2 μ 2
… … …
160
180
60
80
100
40
设Y关于x的回归函数为μ(x)。利用样本来估计μ(x)的问题称为求Y关于x的回归问题。 若μ(x)是线性函数μ(x)=a+bx，此时的估计问题称为求一元线性回归问题。 一元线性回归模型： 设Y~N(a+bx, σ2 )其中a,b, σ2是未知参数，记 ε = Y-（a+bx），则 Y= a+bx + ε, ε ~N(0, σ2 ) （1） 称上式为一元线性回归模型。 称a+bx为x的线性函数，而ε ~N(0, σ2 )是随机误差。
SE称为误差平方和， SA表示Aj水平下的样本均值与数据总平均的差异，叫做效应平方和，他是由水平Aj的效应的差异以及随机误差引起的。
（1，8）
则得 ST=SE+SA ，
（1，9）
（1，10）
（三） SE，SA的统计特性 1、SE的统计特性
由于 是总体 的nj-1倍， 所以 由于独立，（1，11）中各式独立，根据 分布的可加性，得
（1，14）
（1，15）
可以证明SE，SA的是相互独立的，且H0当为真时 （四）假设检验问题的拒绝域 由（1，15）式，当H0为真时 所以SA /(s-1)是σ2的无偏估计,而当当H1为真时， 这时 而由于
统计学中的方差分析与回归分析
统计学中的方差分析与回归分析统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，方差分析和回归分析是两个重要的方法。
它们可以帮助我们理解数据之间的关系，并进行预测和推断。
一、方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值差异的统计方法。
它可以帮助我们确定不同因素对于观测值的影响程度。
方差分析的基本原理是通过比较组间变异与组内变异的大小来判断不同因素之间的差异是否显著。
在方差分析中，我们需要将数据分成不同的组别，然后计算每个组别的均值和方差。
通过计算组间变异和组内变异的比值，我们可以得到一个统计量，称为F 值。
如果F值大于某个临界值，我们就可以认为不同组别之间的差异是显著的。
方差分析可以应用于各种领域，例如医学研究、社会科学和工程领域。
它可以帮助我们确定不同因素对于某种现象的影响程度，从而指导我们做出决策或制定政策。
二、回归分析回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并进行预测和推断。
回归分析的基本原理是通过建立一个数学模型来描述自变量与因变量之间的关系。
在回归分析中，我们首先需要确定自变量和因变量之间的函数形式，例如线性关系、非线性关系或多项式关系。
然后，我们使用最小二乘法来估计模型的参数，从而得到一个最优的拟合曲线或平面。
通过回归分析，我们可以得到自变量对于因变量的影响程度，以及其他统计指标，如回归系数、标准误差和显著性水平。
这些指标可以帮助我们解释数据的变异，并进行预测和推断。
回归分析可以应用于各种领域，例如经济学、金融学和市场营销。
它可以帮助我们理解市场需求、预测销售额，并制定相应的营销策略。
三、方差分析与回归分析的区别方差分析和回归分析在统计学中有着不同的应用和目的。
方差分析主要用于比较不同组别之间的均值差异，以确定不同因素的影响程度。
而回归分析主要用于研究变量之间的关系，以理解自变量对因变量的影响。
此外，方差分析和回归分析在数据处理和模型建立上也有所不同。
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电路的响应时间
类型1 19 15 22 20 18
类型2 20 40 21 33 27
类型3 16 17 15 18 26
类型4 18 22 19
这里，试验的指标是电路的响应时间。电路类 型为因素，这一因素有四个水平。这是一个单 因素的试验。试验的目的是为了考察各种类型 电路的响应时间有无显著性差异。
第九章 方差分析及回归分析
§1 单因素试验的方差分析
（一）单因素试验
在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素很多。 方差分析是根据试验的结果进行分析，鉴别
各个有关因素对试验结果影响的有效方法。
在试验中，我们将要考察的指标称为 试验指标。影响试验 指标的条件称为因素。因素可分为两类，一类是人们可以 控制的（可控因素）；一类是人们不可控制的。以下我们 所说的因素都是指可控因素。因素所处的状态，称为该因 素的水平。如果在一项试验中只有一个因素在改变时称为 单因素试验。如果多于一个因素在改变称为 多因素试验。
X ij ? ? ? ?i ? ?ij ,
?ij ~ N (0,? 2 ),各?ij独立，
i ? 1,2, , r, j ? 1,2, , ni
r
? ni?i ? 0.
i?1
而假设（1.2)等价于假设
H0：?1 ? ? 2 ? ? ? r ? 0, H1 : ?1,?2, ,?r不全为零。
(1.1)? (1.2)?
B3 16,18,21 19,22,22 18,18,18 17,17,17
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4
这里试验指标是零件的日产量，工人和机器 是因素，它们分别有 3个、4个水平。这是一个双 因素试验。试验目的在于考察不同工人在不同机 器上生产零件的日产量有无显著差异。
本节先讨论单因素试验的方差分析。
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5
（二）方差检验的基本前提：
1 、对变量因素的某一个水平，第 i 个水平进
行试验，得到的观察结果 X i1, X i2 ,
X
看作是从
ini
正态总体 N (? i ,? 2 )i ? 1,2, r 中取出的一个容
量为 ni 的样本，且 ? i ,? 2均未知 i ? 1,2, r 。
2、对于表示r个水平的r个正态 总体的方差，认为都是相等的。
此时，有n1?1 ? n2?2 ? ? nr?r ? 0,?i表示水平Ai下的总体 平均值与总平均的差异，习惯上将 ?i称为水平Ai的效应。
?? 作下面的记号： X
?
1 n
r i?1
ni
X ij ,
j?1
?1 ni
X i? ? ni
X ij .
j?1
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10
利用上面的记号，模型（ 1.1）可以写成
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3
例3 三名工人分别在四种不同的机器上生产同一种零件， 每人在每台机器上工作3天，其日产量如下表所示：
工人 (B )
A1
机
器
A2
(A)
A3
B1 15,15,17 17,17,17 15,17,16
A4 18,20,22
B2 19,19,16 18,15,15 18,17,16 15,16,17
, r)都取自同一正态总体 N(? ,? 2 ).即
H0 : ?1 ? ? 2 ? ? ?r ? ? ; H1 : ?1, ? 2, ? r中不全相等。
（1.2）
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9
r
r
记?
?
?1
n
? ni? i ,其中n ?
ni，
? 称为总平均。
i?1
i?1
再引入?i ? ? i ? ? ,i ? 1,2, , r.
3、从不同总体中取出的各个样本， 即各个X ij 相互独立。
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6
设因素A有r个水平A1，A2，…，Ar，在每个水平Ai(i=1，2，…， r)下，进行ni (ni≥2)次独立试验，整理试验结果如下表所示。
试验结果
试验批号
样本 样本均 和值
1 2…
j…
ni
1
X 11 X 12 ? X 1 j ? X 1n1
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由于Xij ~ N (?i ,? 2 ),即有Xij ? ? i ~ N (0,? 2 ),
故X ij ? ? i可看成是随机误差。记 X ij ? ? i ? ?ij ,则X ij可写成
X ij ? ? i ? ?ij , ?ij ~ N (0,? 2 )，各?ij独立， （1.1）
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（四）检验方法
若H 0成立，则r个总体之间无差异。这样，各个 X ij
间的差异只是由随机因素引起的，若 H0不成立，则
所有X
的总变差中，除了随机波动引起的变差之外，
ij
还包含了由于因素的不同水平作用所引起的变差。
r ni
r ni
?? ?? (Xij ? X )2 ?
0.262
这里，试验的指标是薄板的厚度。机器为因素，不同的
三台机器就是这个因素的三个不同的水平。我们假定除
机器这一因素外，材料的规格、操作人员的水平等其他
条件都相同。这就是单因素试验。试验的目的是为了考
察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异。
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2
例2 下面列出了随机选取的、用于计算器的 四种类型的电路的响应时间（以毫秒计）。
i ? 1,2, , r, j ? 1,2, , ni.
其中，? i与? 2均为未知参数。则上式称为
单因素试验方差分析的数学模型。
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（三）统计假设
如果要检验的因素对试验结果没有显著影响， 则试验的全部结果 X ij应来自同一正态总体。因此， 提出一项统计假设：所有的 X（ij j ? 1, , ni ;i ? 1,2,
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1
例1 设有三台机器，用于生产规格相同的铝 合金薄板。取样，测量薄板的厚度精确至千 分之一厘米。得结果如下表所示。
铝合金板的厚度
机器1
机器2
机器3
0.236
0.257
0.258
0.238
0.253
0.264
0.248
பைடு நூலகம்
0.255
0.259
0.245
0.254
0.267
0.243
0.261
T1?
X 1?
因
2
X 21 X 22 ? X 2 j ? X 2 n2
T2?
X 2?
素
? ? ???? ?
水
i
X i1 X i 2 ? X ij ? X ini
Ti?
X i?
平
? ? ???? ?
r
X r1 X r 2 ? X rj ? X rnr
Tr?
X r?
其中Xij表示在水平Ai下进行第j次试验的结果(j=1， 2，…，ni，i=1，2，…，r)。