《2.6指数与指数函数》 教案

教学过程
一、课堂导入
英国的马尔萨斯曾提出“人口增长模型”。

他指出，如果人口按照指数函数的规律增长，那么100年后地球上的每个人肩上都会站着一个人。

“人口按指数增长会有那么快吗？指数函数是怎样的函数
二、复习预习
1.二次函数的图像与性质
2.二次函数在闭区间上的最值
3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系
4.幂函数的概念、幂函数的图象和性质
三、知识讲解
考点1 根式
(1)根式的概念：
(2)两个重要公式：
①n
a n＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧a，n为奇数，
|a|＝
⎩
⎨
⎧a(a≥0)，
－a(a＜0)，
n为偶数；
②(
n
a)n＝a(注意a必须使
n
a有意义)．
考点2 有理数指数幂(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：a m
n＝
n
a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：a
m
n
＝
1
a
m
n
＝
1
n
a m
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的性质：
①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．
考点3 指数函数的图象与性质
四、例题精析 【例题1】
【题干】化简下列各式(其中各字母均为正数)．
12
112
13
32··a b a b -
--⎛⎫ ⎪； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a 12-b －1÷⎝⎛⎭⎫4a 23·
b －312.
【答案】(1)110(2)a 4
a(3)a
【解析】(1)原式＝
11
11
33
22
15
66
·
a b a b
a b
--
＝＝a
111
326
---
·b
115
236
+-
＝
1
a.
(2)原式＝－5
2a
1
6
-
b－3÷⎝⎛⎭⎫
4a
2
3·b－3
1
2
＝－5
4a
1
6
-
·b－3÷⎝⎛⎭⎫
a
1
3b
3
2
-
＝－5
4a
1
2
-
·b
3
2
-
.
＝－5
4·
1
ab3
＝－
5ab
4ab2.
【例题2】
【题干】函数y＝a x－a(a>0，且a≠1)的图象可能是()
【答案】 C
【解析】当x＝1时，y＝a1－a＝0，∴函数y＝a x－a的图象过定点(1,0)，结合图象可知选C.
【例题3】
【题干】设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
【解析】令t ＝a x (a >0且a ≠1)，
则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t >0)．
①当0<a <1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x
∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋12－2＝14. 所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋12＝16，即a ＝－15或a ＝13. 又因为a >0，所以a ＝13.
②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a ，a ， 此时f (t )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或a ＝3.
五、课堂运用【基础】
1．化简－x3
x的结果是()
A．－－x B.x C．－x D.－x
－x3
x＝－－x3
x2＝－－x.
解析：选A依题意知x<0，∴
2．函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 2 的值域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,1)
C ．(0,1]
D ．[1，＋∞)
解析：选C ∵x 2
≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2≤1，即值域是(0,1]．
3．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
23
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13
C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32
D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13
解析：选B 由题设知，当x ≥1时，f (x )＝3x －1单调递增，因其图象关于直线x ＝1对称，∴当x ≤1时，f (x )单调递
减．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13.
【巩固】
4．已知函数f(x)＝4＋a x－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
解析：令x－1＝0，即x＝1，则f(1)＝5. ∴图象恒过定点P(1,5)．
答案：(1,5)
5．对于函数f(x)，如果存在函数g(x)＝ax＋b(a，b为常数)，使得对于区间D上的一切实数x都有f(x)≤g(x)成立，则称函数g(x)为函数f(x)在区间D上的一个“覆盖函数”，设f(x)＝2x，g(x)＝2x，若函数g(x)为函数f(x)在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，则|m－n|的最大值为________．
解析：因为函数f(x)＝2x与g(x)＝2x的图象相交于点A(1,2)，B(2,4)，由图可知，[m，n]⊆[1,2]，故|m－n|max＝2－1＝1.
答案：1
【拔高】
6．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b
2x＋1＋a
是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)＝0，即－1＋b
2＋a
＝0，解得b＝1.
从而有f(x)＝－2x＋1 2x＋1＋a
.
又由f(1)＝－f(－1)知－2＋1
4＋a
＝－
－
1
2＋1
1＋a
，
解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝－2x＋1
2x＋1＋2
＝－
1
2＋
1
2x＋1
，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－1 3.
7．若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．
解：y ＝lg (3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0，
解得x <1或x >3.∴M ＝{x |x <1，或x >3}．
f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.
令2x ＝t ，∵x <1或x >3，∴t >8或0<t <2.
∴y ＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43
(t >8或0<t <2)． 由二次函数性质可知：
当0<t <2时，f (t )∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤－4，43， 当t >8时，f (t )∈(－∞，－160)，
∴当2x ＝t ＝23，即x ＝log 223时，f (x )max ＝43.
综上可知，当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．
课程小结
1.分数指数幂与根式的关系：
分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程．2．指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论．。