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初中圆 ppt课件

作圆的切线
切线的定义
切线是与圆只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。
切线的判定
要判定一条直线是否为圆的切线，可以通过切线的定义进行判定，即看直线与圆是否只有一个公共点。
切线的作法
在已知圆上任取一点，过这一点作圆的切线，这样的切线有且只有一条。
作圆的直径和半径
01
02
03
直径的定义
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
详细描述：在几何证明题中，有时需要通过添加辅助线来构造与圆相关的图形，从而利用圆的性质来证明题目中的结论。
详细描述：解决与圆相关的几何证明题需要掌握一些解题技巧，如利用圆的性质进行等量代换、利用切线性质进行转化等，这些技巧能够简化问题并提高解题效率。
圆与其他几何图形的关系
总结词：相交和相切总结词：组合图形
详细描述
圆内接四边形定理指出，圆内接四边形的对角线互相平分。这个定理是解决与圆内接四边形相关问题的重要依据。
切线长定理
总结词
切线长定理是关于圆的切线与经过切点的半径之间关系的定理。
详细描述
切线长定理指出，从圆外一点引出的两条切线，它们的切线长相等。这个定理在证明其他与圆有关的定理时经常用到，如垂径定理。
详细描述：圆与其他几何图形如三角形、矩形等经常出现相交或相切的情况，这些关系涉及到一些重要的几何定理和性质，如切线长定理、相交弦定理等。
详细描述：在解决几何问题时，有时需要将圆与其他几何图形组合起来形成复杂的组合图形，这些组合图形具有一些特殊的性质和定理，能够为解题提供重要的思路和方法。
详细描述：圆形具有优美的对称性和流畅的线条，常用于装饰和艺术设计中，如建筑设计、绘画和雕塑等。

圆的复习课件(共30张PPT).. 共32页

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3.垂径定理与推论的延伸:
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知识点5:圆心角与圆周角
________
∠ _________________. ACB=90°
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知识点6:圆内接四边形及其性质
C.115.5°
D.112.5°
【解】D
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第二节与圆有关的位置关系
知识点1:三角形的外心和内心
1.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点的距离相等. 2.三角形的内心:三角形内切圆的圆心,是三角形三条角平分线的交点,到
___∠___D___
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知识点7:弦、弧、圆心角的关系
1.定理: 同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等 ,所对的弦相等 .
2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦和两条弧(同是优弧或劣弧)中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量也分别相等 .
新课标教学网（xkbw）--海量教学资源的有关性质 • 第二节与圆有关的位置关系 • 第三节正多边形与圆圆有关的计算
尺规作图
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第六章圆
第一节圆的有关性质
知识点1:圆的概念: 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
3.切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.
4.证明直线和圆相切的方法:
(1)当已知直线与圆有公共点时,连半径,证垂直 .

冀教版九年级数学 28.1 圆的概念及性质(学习、上课课件)

感悟新知
又∵点 E 为 AB 的中点，∴ OE= 12AB.
知1－练
同理可得
OF=
1 2
BC，
OG=
1 2
CD，
OH=
1 2
DA.
∴ OE= OF= OG= OH.
∴ 点 E， F， G， H 在以点 O 为圆心， OE 的长
为半径的圆上 .
感悟新知
知1－练
2-1.如图， BD， CE是 △ ABC 的高， M是 BC 的中点，试说明点 B， C， D， E 在以点 M 为圆心的同一个圆上 .
感悟新知
知1－练
解：连接 ME，MD.∵BD，CE 是△ ABC 的高， ∴∠BEC＝∠BDC＝90°. 又∵M 是 BC 的中点， ∴ME＝12BC，MD＝12BC. ∴ME＝MB＝MD＝MC.∴点 B，C，D，E 在以点 M 为圆心的同一个圆上．
感悟新知
知识点 2 圆的性质
知2－讲
名称
内容
圆的中心对称性
知2－讲
特别提醒 1. 不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说
“圆的对称轴是直径所在的直线”.因为直径是线段，而对称轴是直线. 2. 一个圆绕圆心旋转任意角度后都能与自身重合，所以圆具有旋转不变性 .
感悟新知
知2－练
例3 如图 28-1-2，⊙ O 的半径为 1，分别以⊙ O 的直径
AB上的两个四等分点 O1， O2 为圆心，
④以点 P 为圆心，3 cm 长为半径的圆有无数个 .
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个 D. 4 个
感悟新知
解题秘方：紧扣圆的定义的“两要素”进行判断 . 知1－练
解：确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只知一个条件或不知任何一个条件的圆都有无数个，由此可知①②③正确；圆心和半径都确定，这样的圆有且只有一个(唯一)，由此可知④错误 .

圆的基本概念和性质PPT课件

第14页/共19页
圆的相关概念
1、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
AB”. 以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B 读作“弧
2、弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
3、直径：经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
4、半圆：直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如
弧 ABC).
B
定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
２、点与圆的位置关系：
设⊙Ｏ的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有：（１）点Ｐ在⊙Ｏ上ＯＰ＝r
（２）点Ｐ在⊙Ｏ内（３）点Ｐ在⊙Ｏ外
ＯＰ＜r ＯＰ＞r
３、证明几个点在同一个圆上的方法。
要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点与一个定点的距离相等。
第17页/共19页
1:在以AB=5cm为直径的圆上到直线AB的距离为2.5cm 的点有（ C ）Ａ．无数个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．４个
２：圆的半径是５cm，圆心的坐标是（0,0），点Ｐ的坐标为（4,2），点Ｐ与⊙Ｏ的位置关系是（A ）
A．点Ｐ在⊙Ｏ内Ｃ．点Ｐ在⊙Ｏ外
Ｂ．点Ｐ在⊙Ｏ上Ｄ．点Ｐ在⊙Ｏ上或⊙Ｏ外
（分别以点Ａ、Ｂ为圆心，２厘米长为
半径的⊙Ａ的内部与⊙ Ｂ的内部的公共
AA
BB
部分，即图中阴影部分，不包括阴影的
边界）
第12页/共19页
设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：
(5)到点A的距离小于2cm，且到点Ｂ的距离大于２ cm的所有点组成的图形.
（分别以点Ａ、Ｂ为圆心分，即图中阴影部分，不包括阴影的
边界）
A
B
第13页/共19页
如图菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E、 F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，求证： E、F、G、H在同一个圆上。

圆的概念与基本性质PPT

在Rt AOE中
2 2
O
·
AO OE AE
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
如图：在直径是20cm的 O 中，两条半径的夹角是 60 ，那么弦AB= ，点O到弦AB 的距离OD= 。
O D A B
1.（2010,真14，3分）如图是一条水铺设的直径为 2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时最深为 0.4 米
二、圆的基本性质
1、圆的对称性
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，圆的对称轴是直径所在的直线，它的对称中心是圆心．
2、弧弦之间的关系性质
在同圆或等圆中，等弧对等弦，等弦对等弧。
小练习
垂径定理三种语言
• 定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 。垂径定理是如图∵ CD是直径, C 圆中一个重要的结论,三 CD⊥AB, A B M└ 种语言要相 ∴AM=BM, O 互转化,形成 ⌒ ⌒ 整体,才能运 AC =BC, 用自如.
●
D
⌒ ⌒ AD=BD.
想一想
垂径定理三角形
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴C、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
O E A D B
• 1、熟练地运用垂径定理、勾股定理，并用方程的思想来解决问题. 2、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：

⑴d + h = r 2 2 a 2 ⑵ r d ( ) 2

圆的有关概念及性质复习课件

可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
4、圆周角定理及推论
D
C
C
B
E
●O A
●O
BA
●O
B
A
C
定理:一条弧所对的圆周角等于这弧所对的
圆心角的一半.
推论: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.
90°的圆周角所对的弦是直径 .
直径所对的圆周角是直角 .
三、【基本能力练习】
B． O．
．
C
B
．
O C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
二. 圆的基本性质
圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.
．
1、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且
平分这条弦所对的两条弧. C
A
B
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（） A．50°B．80° C．100°D．130°
五、【强化训练】
5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在 CD的延长线上，
如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（）

圆的有关概念及性质PPT课件

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小，如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大，此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10，共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )

24-1 圆的有关性质课件(共60张PPT)

平分弦所对的两条弧。
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
෢
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5

《圆的认识》公开课课件

归纳法
通过大量实例和观察，归纳出一般性的结论。在圆的证明中，有时可以通过归纳法来证明一些性质。
圆的定理和推论
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分弦所对的弧。这个定理是圆的基本性质之一，在圆的证明和
作图中非常有用。
切线长定理
经过圆外一点的切线与切点之间的线段长等于过切点的直径与该点的距离。这个定理在解决与切
圆与三角形的相切
当一个三角形与圆相切时，切线与半径垂直。利用这个性质，我们可以解决一些几何问题。
圆与其他图形的结合
圆与直线的位置关系
根据圆心到直线的距离，我们可以判断圆与直线是相交、相切还是相离。这些位置关系在解决几何问题中非常有用。
圆与多边形的结合
在一个多边形中，如果所有顶点都在同一个圆上，则这个多边形称为圆内接多边形。通过圆内接多边形的性质，我们可以研究圆的性质。
圆的面积是指圆所占平面的大小，通常用字母A表示。
圆的面积的计算公式
A = πr^2，其中r表示圆的半径。
圆的面积的应用
通过圆的面积公式，我们可以计算出圆的面积，进而求出圆内接多边形的面积等。
圆的相关计算
圆的相关计算包括：求圆心角、圆弧长、圆内接多边形的面积等。这些计算都需要用到圆的半径和直径，以及相关的数学公式和定理。
圆与圆的关系
内含、相交、外离、同心
内含：一个圆完全位于另一个圆的内部。
外离：两个圆没有公共的交点。
相交：两个圆有公共的交
同心：两个圆有共同的圆
•·
点。
心。
圆在生活中的应用
轮胎、餐具、建筑、天文
轮胎：车辆的轮胎设计为圆形，可以保证平稳滚动。
建筑：圆形窗户和门框在建筑中常用于装饰和结构。

圆的概念及性质课件.ppt

1、圆中的直径是弦；√
判断正误:
2、弦是圆中的直径； ×
3、直径是圆中最长的弦；√
4、直径的中点是圆心；√ 5、半径和弦都是线段；√
6、直径相等的两个圆是等圆；√
7、弦是圆上两点间的部分；× 8、等于半径两倍的线段是直径。× 9、若P是⊙O内一点，过P点的最长的弦有无数条×。
10、半圆是弧，但弧不一定是半圆. ×
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在圆上．
归纳：圆的定义2:圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
2.如图,弦有:_A_B_、__B_C_、__A_C____
C 在圆中有长度不等的弦，
直径是圆中最长的弦。
圆弧:连接圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A、B为端点的弧记作 AB ，读作：“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧（用三个点表示，如：叫做优弧；
），
小于半圆的弧叫做劣弧. 如:
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧, 每一条弧叫做半圆.
例1根据条件作图：（1）以o为圆心作圆（2）以4厘米为半径作圆（3）以AB=4厘米为直径作圆
1.要确定一个圆,必须确定圆的
__圆__心和__ _半_ 径
O
圆心确定圆的位置,
●
半径确定圆的大小.
这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为 “⊙2.圆O”是. 指“圆周”，是曲线，而不是“圆面”。
3.同一个圆的半径处处相等。
4.如图, ⊙O中,点A、O、D以及点B、O、C分别在一直线

九年级数学上册第二十四章《圆》PPT课件

证明：∵四边形ABCD是矩形， A
D
∴AO=OC，OB=OD.
O
又∵AC=BD，
B
C
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
二圆的有关概念
弦:
A
连接圆上任意两点的线段（如图中的 AC）叫做弦.
·O
C
B
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
注意 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
第二十四章圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
学习目标
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点） 2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.（难点） 3.初步了解点与圆的位置关系.
导入新课
观察与思考
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
圆的集合定义
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
D
r
A
C
r O· r
r r
E
要点归纳
圆的基本性质
同圆半径相等.
•o
（本页为FLASH动画，播放模式下点击）
典例精析
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
连OA,OD即可，同圆的半径相等.
N 在Rt△ABO中，AB2 BO2 AO2
即(2x)2 x2 102
变式：如图，在扇形MON中， MON =45 ，半径 MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.

《圆的认识》圆PPT优秀教学课件

04
圆的综合应用举例
求解切线方程问题
切线定义及性质
典型例题解析
回顾切线定义，阐述切线与半径垂直的性质。
选取具有代表性的切线方程问题，详细解析求解过程。
切线方程求解方法
通过圆心坐标和切线斜率，利用点斜式或斜截式求解切线方程。
求解切线长问题
切线长定义及性质
回顾切线长定义，阐述切线与半径、切线长与弦长的关系。
圆心、半径和直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示。
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表示，且d=2r。
圆的周长与面积
圆的周长
围绕圆形绘制的线的长度，计算公式为C=2πr或C=πd。
圆的面积
圆形所占平面的大小，计算公式为 S=πr²。
半径
03
一般方程中，半径$r=frac{sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$。
圆的参数方程
01 02
定义
以点$O(a,b)$为圆心，$r$为半径的圆的参数方程为 $left{ begin{array}{l} x=a+rcostheta y=b+rsintheta end{array} right.$，其中$theta$为参数。
求解割线性质问题
割线性质概述
总结割线的性质，如割线与半径的关系、割线定理等。
割线性质应用
利用割线性质解决与圆相关的角度、长度等问题。
典型例题解析
选取具有代表性的割线性质问题，详细解析求解过程。
05
与圆相关的数学问题拓展
点到直线距离公式推导及应用

人教版九年级上册数学精品教学课件第二十四章圆圆的有关性质垂直于弦的直径

r－1.∵OE⊥AB，∴AF＝12 AB＝12 ×3＝1.5.在
Rt△OAF 中，OF2＋AF2＝OA2，即(r－1)2＋1.52
＝r2，解得 r＝13 ，即⊙O 的半径为 13 m
8
8
课堂小结
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的垂两条弧. 径垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，定并且平分弦所对的两条弧. 理方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作
∴直径CD所在的直线是AB的垂ห้องสมุดไป่ตู้平分线.
O
∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直
E A
B 线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.
D
圆是轴对称图形，任何一条直径所
在直线都是圆的对称轴.
知识点2 垂径定理及其推论
显然，由上面的证明可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E，那么点A、B是关于CD所在直线的对称点，则AE=BE.把⊙O 沿CD对折时，A⌒D与B⌒D重合，即
圆有无数条对称轴，
每一条对称轴都是
直径所在的直线.
O
如何来证明圆是轴对称图形呢？
满足什么条件才能证明已知：在⊙O中，CD是直圆径是，轴对A称B是图弦形，呢？CD⊥AB，垂足为E．
C
O
E A
B
D
思考
左图是轴对称图形吗？大胆猜想
是轴对称图形．
证明：连结OA、OB.
C
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．
线段
角
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
等腰三角形

第9讲圆的基本性质复习课件(共46张PPT)

全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
垂径定理的应用例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
全效优等生
图3－9－4
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件：确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
全效优等生
大师导航归类探究自主招生交流平台思维训练
垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
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解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m，设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2，即 r2＝322＋(r－1)2，解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.

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圆
集合性定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O
的
的距离等定长r的点的.
基
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
本
直径：直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦. 圆弧（弧）：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
概念
与圆有关
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆.
四个点在以点O为圆心的圆上。
证明： ∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC12= AC,OB=OD12 = BD.AC=BD ∴OA=OC=OB=OD ∴ABCD四个点在以点O为圆心，OA 为半径的圆上.
随堂演练
基础巩固
• 1.下列说法正确的是D( )
• A.直径是弦，弦是直径 • B.半圆是弧，弧是半圆 • C.弦是圆上两点之间的部分 • D.半径不是弦，直径是最长的弦
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
B
O
A
C
劣弧与优弧
小于半圆的弧(如图中的 AC )叫做劣弧．大于半圆的弧(用三个字母表示，如图中的ABC )叫做优弧．
B
O
A
C
在同圆或等圆中，
能重合的弧叫等弧．
典例解析
• 例1 矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O。求证：A、B、C、D
24.1.1 圆
推进新课
知识点1 圆的定义
圆的概念
如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一
个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫
做圆．
A
固定的端点 O 叫做圆心；
r
线段 OA 叫做半径；
以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，
·
O
读作“圆O”．
O
同心圆圆心相同，半径不同确定一个圆的两个要素: 一是圆心，二是半径．
• 2.下列说法中，不正确的是D( )
• A．过圆心的弦是圆的直径 • B．等弧的长度一定相等 • C．周长相等的两个圆是等圆 • D．长度相等的两条弧是等弧
• 3.一个圆的最大弦长是10cm，则此圆的半径5是
cm.
• 4.在同一平面内与已知点A的距离等于5cm的所有点所组成的圆图形
是.
60°
• 5.如右图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线
战国时的《墨经》就有“圆,一中同长也”的记载.它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径.
知识点2 与圆有关的概念
弦பைடு நூலகம்
半径是弦吗？
连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC．经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB．
B
O
A
C
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 A、B 为
端点的弧记作 AB ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”．
• CD是不同于AB的任意一条弦. • 连接OC、OD，
• 则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD.
• 在△OCD中，OC+OD＞CD，∴AB＞CD. • 即直径是圆中最长的弦.
课堂小结
形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋
圆的定义
转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.
等圆半径相同，圆心不同
A O· r
问题1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
形成性定义(动态)：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
集合性定义(静态)：圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．
的概念等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，
优弧、劣弧：能够互相重合的弧叫做等弧. 大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.
综合应用
• 7.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，求证：A、B、C三点在同一个圆上.
• 证明：作AB的中点O，连接OC.
• ∵△ABC是直角三12角形.
• ∴OA=OB=OC= AB.
• ∴A、B、C三点在同一个圆上.
拓展延伸
• 8.求证：直径是圆中最长的弦.
• 证明：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，半径是r.
相交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是 .
• 6.已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且 AC=BD．
• 求证：OC=OD． • 证明：∵OA、OB为⊙O的半径， • ∴OA=OB. • ∴∠A=∠B. • 又∵AC=BD， • ∴△ACO≌△BDO. • ∴OC=OD.