大学物理(科学出版社,熊天信、蒋德琼、冯一兵、李敏惠)第四章习题解

第四章 刚体的定轴转动

4–1 半径为20cm 的主动轮，通过皮带拖动半径为50cm 的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动，主动轮从静止开始作匀角加速度转动，在4s 内被动轮的角速度达到π/s 8，则主动轮在这段时间内转过了 圈。

解：被动轮边缘上一点的线速度为

πm/s 45.0π8222=⨯==r ωv

在4s 内主动轮的角速度为

πrad/s 202

.0π41

21

11====r r v v ω

主动轮的角速度为

2011πrad/s 54

0π2==∆-=t

ωωα

在4s 内主动轮转过圈数为

20π

520ππ2(π212π212121=⨯==αωN （圈）

4–2绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t ＝0时角速度为0ω＝5rad/s ，t ＝20s 时角速度为

08.0ωω=，则飞轮的角加速度α

＝ ，t ＝0到t ＝100s 时间内飞轮所转过的角

度θ＝ 。

解：由于飞轮作匀变速转动，故飞轮的角加速度为

20

s /rad 05.0205

58.0-=-⨯=

-=

t

ωωα t ＝0到t ＝100s 时间内飞轮所转过的角度为

rad 250100)05.0(2

1

100521

220=⨯-⨯+⨯=+=t t αωθ

4–3 转动惯量是物体 量度，决定刚体的转动惯量的因素有 。 解：转动惯性大小，刚体的形状、质量分布及转轴的位置。

4–4 如图4-1，在轻杆的b 处与3b 处各系质量为2m 和m 的质点，可绕O 轴转动，则质点系的转动惯量为 。

解：由分离质点的转动惯量的定义得

22

1

i i i r m J ∆=

∑=22)3(2b m mb +=211mb =

4–5 一飞轮以600r/min 的转速旋转，转动惯量为2.5kg·m 2，现加一恒定的制动力矩使飞轮在1s 内停止转动，则该恒定制动力矩的大小M ＝_________。

解：飞轮的角加速度为

20s /rad 201

60

/π26000-=⨯-=

-=

t

ωωα

制动力矩的大小为

m N π50π)20(5.2⋅-=-⨯==αJ M

负号表示力矩为阻力矩。

图4-1

m

2m

b

3b O

4–6 半径为0.2m ，质量为1kg 的匀质圆盘，可绕过圆心且垂直于盘的轴转动。现有一变力F =5t （SI ）沿切线方向作用在圆盘边缘上，如果圆盘最初处于静止状态，那么它在3秒末的角加速度为 ，角速度为 。

解：圆盘的转动惯量为

222m kg 02.0)2.0(121

21⋅=⨯⨯==

mR J 。 3秒末的角加速度为

s rad 303101002

.052.0/t t

J M =⨯==⨯==

α 由

t

t d d 10ω

α=

= 即

t t d 10d =ω

对上式积分，并利用初始条件：0=t 时，00=ω，得

⎰⎰=

3

00

d 10d t t ω

ω

s /rad 45=ω

4–7 角动量守恒定律成立的条件是 。 解：刚体（质点）不受外力矩的作用或所受的合外力矩为零。 4–8 以下运动形态不是平动的是[ ]。

A ．火车在平直的斜坡上运动

B ．火车在拐弯时的运动

C ．活塞在气缸内的运动

D ．空中缆车的运动

解：火车在拐弯时，车厢实际是平动和转动的合成，故不是平动，应选（B ）。 4–9 以下说法错误的是[ ]。

A ．角速度大的物体，受的合外力矩不一定大

B ．有角加速度的物体，所受合外力矩不可能为零

C ．有角加速度的物体，所受合外力一定不为零

D ．作定轴（轴过质心）转动的物体，不论角加速度多大，所受合外力一定为零 解：角速度大的物体，角加速度不一定大，由于αJ M =，所以它所受的合力矩不一定大；如果一个物体有角加速度，则它一定受到了合外力矩的作用；合外力矩不等于零，不等于所受的合力一定不为零，如物体受到了一个大小相等，方向相反而不在一条直线上的力的作用；当物体作定轴（轴过质心）转动时，质心此时的加速度为零，根据质心运动定律，它所受的合外力一定零。综上，只有（C ）是错误的，故应选（C ）。

4–10 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：[ ] （1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； （2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； （3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； （4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 在上述说法中

A ．只有（1）是正确的

B ．（1）、（2）正确，（3）、（4）错误

C ．（1）、（2）、（3）都正确，（4）错误

D ．（1）、（2）、（3）、（4）都正确

解：这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的矩都为零，自然合力矩为零，故（1）正确；当两个力都垂直于轴作用时，如果两个力大小相等、方向相反，作用在物体的同一点，则它们的合力矩为零，或两个力都通过转轴，两力的力矩都等于零，合力矩也等于零，但如两力大小不等，方向相反，也可通过改变力臂，使两力的合力矩为零，如此时力臂相同，则合力矩不等于零，因此（2）也时正确的；当这两个力的合力为零时，还要考虑力臂的大小，所以合力矩不一定为零，故（3）是错误的；两个力对轴的合力矩为零时，因F r M ⨯=，所以它们的合力不一定为零，故（4）也是错误的。故答案应选（B ）。

4–11 一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动。如图4-2所示，射来两个质量相同、速度的大小相同而方向相反，并在同一条直线上的子弹。子弹射入并且停留在圆盘内，则子弹射入的瞬间，圆盘的角速度ω与射入前角速度0ω相比[ ]。

A ．增大

B ．不变

C ．减小

D ．不能确定 解：设射来的两子弹的速度为v ，对于圆盘和子弹组成的系统来说，无外力矩作用，故系统对轴O 的角动量守恒，即

ωωJ J d m d m =+-00v v

式中d m v 这子弹对点O 的角动量，0J 为子弹射入前盘对轴O 的转动惯量，J 为子弹射入后系统对轴O 的转动惯量。由于J J <0，则0ωω<。故选（C ）。

4–12 如图4-3所示，有一个小块物体，置于一个光滑水平桌面上。有一绳其一端连接此物体，另一端穿过中心的小孔。该物体原以角速度ω在距孔为r 的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体[ ]。

A ．角速度减小，角动量增大，动量改变

B ．角速度不变，动能不变，动量不变

C ．角速度增大，角动量增大，动量不变

D ．角速度增大，动能增加，角动量不变

解：在拉力绳子的过程中，力对小球的力矩为零，故小球的角动量在转动过程中不变，有2211ωωJ J =。当小球的半径减小时，小球对O 点的转动惯量减小，即21J J >，故

22ωω>，角速度增大，小球转得更快。又由2211ωωJ J =可

得2211r m r m v v =，因21r r >，所以12v v >，故小球的动能增加，小球的动量也要发生变化。故选（D ）

4–13 有一半径为R 的水平圆转台，可绕过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J 。开始时，转台以角速度0ω转动，此时有一质量为M 的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去。当人到达转台边缘时，

转台的角速度为[ ]。

A ．

2

0MR

J J +ω B ．

2

0)(R

M J J +ω C ．

2

0MR

J ω D ．0ω

解：人站在转台中心时，他相对于转台中心的角动量为零。当人沿半径向外跑去，到达

O

图4-2

图4-3

F

r

O