平行四边形中的动点问题【精品】

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《平行四边形中的动点问题》教学设计

课题名称：平行四边形中的动点问题授课人：教学目标1、通过本节课的学习，使学生掌握动点问题的分析方法。

2、渗透分类讨论的数学思想方法3、培养学生的数学思维习惯，增强学生学习数学的自信心教学重点平行四边形中的动点问题的分析方法教学难点抓住以静制动，“动中求静〞。

教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课引言：?平行四边形?这一章我们已经学完，对本章的根底知识，根本技能同学们已经掌握的很好，然而这些只是数学的皮毛，真正地学好数学在于能否把各知识点融汇贯穿，把不动的几何图形，动起来，形成动态几何，本节课我们就来研究?平行四边形中的动点问题?动态几何是中考的热点问题，也是最能考察学生动脑动手的能力问题，所以，本节课你们要发挥你们的小宇宙，挑战自我。

Ⅱ．导入新课热身练习：如图，在四边形ABCD 中∠B=90°，AD∥BC且AD=4cm AB=6cm DC=10cm假设动点P从A 点出发以每秒1cm的速度沿线段AD向点D 运动，点Q是BC上一定点，CQ= 3cm，设运动时间为t秒，探究：当t= 时四边形PQCD 是平行四边形？【师生活动】师：领着学生分析问题，问：一个点在动你首先要知道什么？生：找到段落中的关键字师生：总结动点问题中的考前须知①出发点，终止点，路径②动点的速度③效果【设计意图】本问题只是让学生初步了解动点的要素，让学生感受动态过程。

变式一：如图，在四边形ABCD中∠B=90°，AD∥BC且AD=4cm AB=6cm DC=10cm假设动点P从A点出发以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动，动点Q从C点ABDCA B DC出发，以每秒2cm 的速度沿CB 向点B 运动，当一个点到达终点时，动点P 、Q 同时停止运动设点P 、Q 同时出发并运动了t 秒求：当ｔ为何值时四边形PQCD 是平行四边形？【师生活动】师：进一步引导学生如何看待动点问题，把问题简单化。

当一个问题呈现在眼前时，你要把它想象成一个情景，你是导演，而不变的条件是舞台背景，变化的条件即动点那么是演员，能不能到达预期的效果，就看导演能不能通观全局恰当的安排好演员。

平行四边形动点问题方法总结

平行四边形动点问题方法总结大家好，今天我们来聊聊平行四边形动点问题。

这个问题可大可小，有时候我们在生活中也会碰到这样的问题。

比如说，你拿着一个碗，碗口朝下放在地上，然后用一根棍子在碗里搅动，碗里的水会形成一个漩涡。

这个现象背后就隐藏着平行四边形动点问题。

那么，我们怎么解决这个问题呢？接下来，我就要给大家普及一下解决平行四边形动点问题的三大法宝：三角形法则、相似三角形法则和向量法。

我们来说说三角形法则。

三角形法则是解决平行四边形动点问题的基本方法。

它的核心思想是利用三角形的三个顶点和三条边的关系，将平行四边形分解成若干个三角形，然后分别求解这些三角形的问题，最后将结果合并起来得到原问题的解。

这个方法简单易懂，而且非常实用。

但是，有时候三角形法则并不能直接解决问题，这时候我们就需要用到第二个法宝：相似三角形法则。

相似三角形法则是解决平行四边形动点问题的另一个重要方法。

它的核心思想是利用相似三角形的性质，将平行四边形分解成若干个相似的三角形，然后分别求解这些三角形的问题，最后将结果合并起来得到原问题的解。

这个方法比三角形法则更加灵活，可以处理更多的问题类型。

但是，相似三角形法则也有它的局限性，有些问题无法用相似三角形法则解决。

这时候，我们就需要用到第三个法宝：向量法。

向量法是解决平行四边形动点问题的最高级方法。

它的核心思想是利用向量的概念，将平行四边形分解成若干个向量，然后分别求解这些向量的问题，最后将结果合并起来得到原问题的解。

这个方法非常强大，可以处理各种复杂的问题类型。

而且，向量法还有一个优点，就是它可以避免一些几何陷阱，让你在解决问题的过程中更加得心应手。

解决平行四边形动点问题有三大法宝：三角形法则、相似三角形法则和向量法。

这三大法宝各有优缺点，我们需要根据具体的问题类型来选择合适的方法。

如果你觉得这些方法还是太难了，也不用担心，我们还有很多其他的方法可以用来解决这个问题。

比如说，你可以尝试画图、列方程、用公式等等。

平行四边形动点最值问题

平行四边形动点最值问题在平面直角坐标系中，给定平行四边形ABCD，其中AB与CD平行，AB=a，BC=h。

设点P在平行四边形内部运动，且其横坐标为x，纵坐标为y。

若定义函数f(x)=PA+PB-PC-PD，求f(x)的最大值和最小值。

解题思路：首先得出点P的坐标为(x,y)，则点A的坐标为(0,h)，点B的坐标为(a,h)，点C的坐标为(a,-h)，点D的坐标为(0,-h)。

接下来考虑如何求出PA、PB、PC、PD的值。

根据勾股定理，PA = (x-0) + (y-h) = x + y - 2hy + h，同理可得PB = (x-a) + (y-h) = x - 2ax + a + y - 2hy + h，PC = (x-a) + (y+h) = x - 2ax + a + y + 2hy + h，PD = (x-0) + (y+h) = x + y + 2hy + h。

将PA、PB、PC、PD的值代入f(x)的公式中，得到f(x) = 2x + 2y - 2ax - 2hy。

我们知道，对于给定的平行四边形ABCD，点P在平行四边形内部运动，所以点P的坐标(x,y)必须满足以下条件：1. 0 < x < a2. -h < y < h根据这个条件，我们可以得到f(x)的最大值和最小值。

当y=h时，f(x)的最小值为f(0) = -2ah + 2h。

当y=-h时，f(x)的最大值为f(0) = 2ah + 2h。

当y=0时，f(x)为一个抛物线开口朝上的二次函数，其顶点坐标为(x,y) = (a/2,h/2)，最小值为f(a/2) = h - a/2。

综上所述，f(x)的最大值为2ah+2h，最小值为-2ah+2h，最小值出现在y=h时，最大值出现在y=-h时，当y=0时，f(x)的最小值为h-a/2。

人教版八年级下册数学《平行四边形》动点问题带答案

《平行四边形》动点问题（一） 1. 如图，在△ABC 中，△ACB=90°，CD△AB 于点D ，点P 在线段DB 上，点M 是边AC 的中点，连接MP ，作△MPQ=90°，点Q 在边BC 上，若AC=6，BC=8，则（）A ．当CQ=4时，点P 与点D 重合B ．当CQ=4时，△MPA=30°C ．当PD=57时，CQ=4 D ．当PM=PQ 时，CQ=4 【答案】C2. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上，AF=6cm ，BF=12cm ，△FBM=△CBM ，点E 是BC 的中点，若点P 以1cm/秒的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2cm/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动．当点P 运动时，以点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．【答案】3或5秒3. 已知四边形ABCD ，△ABC=45°，△C=△D=90°，含30°角（△P=30°）的直角三角板PMN （如图）在图中平移，直角边MN△BC ，顶点M 、N 分别在边AD 、BC 上，延长NM 到点Q ，使QM=PB ．若BC=10，CD=3，则当点M 从点A 平移到点D 的过程中，点Q 的运动路径长为__________。

【答案】27△当P点有8个时，x=22-2；△当△PEF是等边三角形时，P点有4个A．△△B．△△C．△△D．△△【答案】B6.如图，在△ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，△A=60°．点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2cm/s，点F的运动速度为1cm/s，它们同时出发，同时停止运动，经过s时，EF=AB．7.如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，P是AB中点，A′B′表示竹竿AB端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中OP（）A．下滑时，OP增大B．上升时，OP减小C．无论怎样滑动，OP不变D．只要滑动，OP就变化【答案】C8.如图，E是△ABCD边AD上动点，连接CE作△ECDN，过A点作AM△EN，交EN延长线于点M，作矩形AMEF，动点E从A出发，沿着AD方向运动到终点D，在整个运动变化的过程中，记△ECDN的面积为S2，矩形AMEF的面积为S1，则S1+S2大小变化情况是（）A．一直在减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小【答案】C9. 如图，在矩形OAHC 中，OC=8，OA=12，B 为CH 中点，连接AB ．动点M 从点O 出发沿OA 边向点A 运动，动点N 从点A 出发沿AB 边向点B 运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM ，CN ，MN ，设运动时间为t （秒）（0＜t ＜10）．则t= 时，△CMN 为直角三角形．【答案】27或424141 10. 如图，已知矩形ABCD ，AB=8，AD=4，E 为CD 边上一点，CE=5，点P 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA 边向终点A 运动，连接PE ，设点P 运动的时间为t 秒，则当t 的值为时，△PAE 是以PE 为腰的等腰三角形．动点．若点P 从点F 出发，沿F→A→D→C 的路线运动，当△FPE=30°时，FP 的长为__________。

专题5 特殊平行四边形的动点问题

专题5特殊平行四边形的动点问题类型一、一般动点问题【例1】如图，在Rt ABC ∆中，90,60B AC ∠=︒=cm,60A ∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B 匀速运动.当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t s (015)t <≤.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .（1）求证：AE=DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由；（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.【解答】（1）证明：根据题意可知CD=4t ，AE=2t ，∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠C=30°，∴DF=21DC=2t.∵AE=2t ，DF=2t ，∴AE=DF.（2）能.理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF.∵AE=DF ，AE ∥DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形，∴要使平行四边形AEFD 为菱形，则需AE=AD ，即2t=60-4t ，解得t=10，∴当t=10时，四边形AEFD 为菱形.（3）根据题意可知需分∠EDF=90°或∠DEF=90°两种情况讨论.①当∠EDF=90°时，∵∠EDF=∠B=∠DFE=90°，∴四边形DEBF 是矩形，∴∠DEB=90°，∴∠AED=90°.∵∠AED=90°，∠A=60°，∴∠ADE=30°.∵∠AED=90°，∠ADE=30°，∴AD=2AE ，即60-4t=4t ，解得t=215.②当∠DEF=90°时，∵四边形AEFD 为平行四边形，∴EF ∥AD ，∴∠ADE=∠DEF=90°.∵∠ADE=90°，∠A=60°，∴AD=21AE ，即60-4t=21×2t ，解得t=12.综上所述，当t=215或12时，△DEF 为直角三角形.【例2】如图在平面直角坐标系中，A (16，0)、C (0，8)，四边形OABC 是矩形，D 、E 分别是OA 、BC 边上的点，沿DE 折叠矩形，点A 恰好落往y 轴上的点C 处，点B 落B '处。

初二数学《平行四边形中的动点问题》(附练习及答案)

四边形中的动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或直线上运动的一类开放性题目。

解决这类问题关键是动中求静,灵活运用有关数学知识。

数学思想：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想，其注重对几何图形运动变化能力的考查。

这类类问题从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力。

解决这类问题首先要在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要画出图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程；其次在变化中找到不变量的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

动点问题题型方法归纳：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就四边形中的动点问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）；（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）求当t为何值时，四边形ACFE是菱形；（3）是否存在某一时刻t，使以A、F、C、E为顶点的四边形内角出现直角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是______；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______（第9题）（第10题）10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD 的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求AP的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。

平行四边形中的动点问题含答案

平行四边形中的动点问题一、新课导入（一）学习目标学会运用数形结合思想，能根据题意结合平行四边形的性质、判定列出方程，进行相关的计算或证明，解决有关平行四边形中的动点问题．（二）预习导入1．在四边形ABCD中，AB∥CD，请添加一个条件：_____________，使得四边形ABCD 是平行四边形．2．如图，边长为4的正方形ABCD中，动点Q以每秒4个单位的速度从点A出发沿正方形的边AD-DC-CB方向做折线运动，设点Q的运动时间为t秒．当点Q在DC上运动时，DQ=________，QC=________（用含t的代数式表示）．二、典型问题知识点：平行四边形中的动点问题例如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，∠COA=60°，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（10，43）．动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC 运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当运动2秒时，求△APQ的面积；（2）在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？分析：（1）作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．求出PA，QE即可解决问题；（2）如当点Q在射线BC上，且CQ=PA时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，由此构建方程即可解决问题．三、阶梯训练A组：基础练习1．在矩形ABCD中，AB=6cm，∠ACB=30°，动点P从A出发沿AC向点C以2cm/s的速度运动，运动经过_______秒时，BP的长度最小，最小值为_________．2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为_________．3．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AD边上的一个动点，AC=AD=6，则OE的最小值为__________．4．如图，在▱ABCD中，AC=8，BD=12，点E，F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止．运动时间为_______秒时，四边形AECF为矩形．5．在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC ∥x 轴，若A 点的坐标为（-1，22），C 点坐标为（3，-22）．若动点P 沿矩形ABCD 的边从A →D →C 的路径运动，运动速度为每秒2个单位，运动时间为t 秒．（1）当t=1时，S △BCP =________，当t=4时，求S △BCP =________；（2）当△BCP 的面积是矩形ABCD 面积的14时，求点P 的坐标．6．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB=3，BC=5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连接PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）BQ=__________（用含t 的代数式表示）；（2）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，求t 的值．B组：拓展练习7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，P为对角线AC上一动点，则△PBE的周长的最小值为_________．8．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E，F分别是AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若H从F点出发，沿线段FE以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，设运动时间为t s．①当t=______时，四边形BPHE是平行四边形；②是否存在t的值，使四边形PCFH是菱形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．平行四边形中的动点问题答案一、新课导入预习导入1．AB=CD（答案不唯一）．2．4t-4，8-4t．例（1）作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．∵A（6，0），B（10，43），∴OA=6，OF=10，BF=43．∴AF=10-6=4，AB= 2+ 2=8．当t=2时，OP=2，PA=4，AQ=4．∵四边形OABC是平行四边形，∴∠BAF=∠COA=60°．∴∠AQE=30°．∴AE=12AQ=2．∴EQ=23．=12PA•QE=43．∴S△PAQ（2）当点Q在射线BC上，且CQ=PA时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．∴|14-2t|=|t-6|．解得t=203或8．∴t为203或8时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．1．32，33cm．2．2或3．5．34．2或10．5．（1）82，8；（2）当点P是CD的中点时，△BCP的面积是矩形ABCD面积的14，则P点坐标为（3，0）．6．（1）5-t；（2）如图，过点O作EF⊥AD交AD，BC于点E，F．Rt△ABC中，∵AB=3，BC=5，∴AC=4．∴AO=CO=2．∵S△ABC＝12AB·AC＝12BC·EF，∴3×4=5×EF，∴EF＝125．∴OE＝65．∵OE是AP的垂直平分线，∴AE=12AP=t，∠AEO=90°，由勾股定理得AE2+OE2=AO2，∴（12t）2+（65）2＝22．∴t=165．∴当t=165时，点O在线段AP的垂直平分线上．7．3+1．8．（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．∵E，F分别为AB，AC的中点，∴DE和DF是△ABC的中位线．∴DE∥AC，DF∥AB．∴四边形AEDF是平行四边形．∵E，F分别为AB，AC的中点，AB=AC，∴AE=AF．∴四边形AEDF是菱形．（2）①1；②不存在t的值，使四边形PCFH是菱形．理由如下：∵EF∥BC，∴FH∥PC．若四边形PCFH为菱形，则FH=PC=CF．当FH=PC时，2t=10-3t．解得t=2．∴FH=PC=4．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=12BC=5．∴AC=AD2+CD2=89．∵F是AC的中点，∴CF=12AC=FH=PC≠CF．∴四边形PCFH是平行四边形，不是菱形．∴不存在t的值，使四边形PCFH是菱形．。

有关平行四边形的动点问题

有关平行四边形的动点问题
平行四边形是由两组相邻的平行线和它们之间的四条线段组成的四边形。

在平行四边形中，我们可以考虑一个点在它沿着一个方向移动的同时，沿着另一个方向的轨迹。

这个点被称为“动点”。

如果动点沿着平行四边形的一条边上移动，那么它所相应的高度和底边也会相应地改变。

因此，如果我们将平行四边形分成许多小长方形，并在这些小长方形的顶点处放置动点，则可以形成一条光滑的曲线。

这个曲线被称为平行四边形的“径线”。

如果动点同时沿着两个方向移动，则可以得到一个新的曲线，称为“余弦曲线”。

这个曲线看起来像是一个上下波动的曲线，与平行四边形的一条对角线平行。

有趣的是，这两个曲线都是周期性的，其周期等于平行四边形的面积除以它沿着这个方向的速度。

因此，我们可以通过这些曲线来计算平行四边形的面积和周长。

通过研究这些平行四边形的动点问题，我们能够深入了解其内在的几何性质和性质之间的相互关系。

这不仅有助于帮助我们更好地理解平行四边形，还可以为其他更复杂的几何形状和问题提供有用的洞见和启示。

平行四边形的动点问题

平行四边形的动点问题1. 平行四边形是指具有两对相对平行的边的四边形。

在这个问题中，我们关注一个动点在平行四边形内移动的情况。

2. 首先，让我们定义平行四边形的四个顶点为A、B、C和D，并假设它们按顺时针方向排列。

我们还假设动点记为P，并且它可以在平行四边形内的任意位置移动。

3. 问题的第一部分是，如果动点P从A点出发，按一定路径移动，最后回到A点，那么它经过的路径会是什么样子4. 要回答这个问题，我们需要注意到平行四边形的两对相对边分别是AB和CD，以及AD和BC。

因此，如果动点P从A点出发并回到A 点，它必定会经过平行四边形的另外两个顶点，即C和B。

5. 为了更具体地描述动点P的路径，我们可以进一步假设动点P沿着直线AC移动到顶点C，然后沿着直线CB移动到顶点B，最后沿着直线BA移动回到顶点A。

这样，动点P所经过的路径形成了一个三角形ABC。

6. 需要注意的是，这个路径并不是唯一的。

动点P可以按任意方式从A到C，再从C到B，最后从B到A。

但无论路径如何，最终的路径都是一个三角形ABC。

7. 接下来，让我们来看问题的第二部分。

如果动点P从一个顶点出发，按一定路径移动，最后回到另一个顶点，那么它经过的路径会是什么样子8. 在这种情况下，我们可以假设动点P从顶点A出发，并沿着直线AC移动到顶点C。

然后，它会继续按照平行四边形的形状，沿着直线CB移动到顶点B，并最终沿着直线BA返回到顶点A。

9. 与第一部分类似，这个路径也不是唯一的。

动点P可以从任意顶点出发，按照相应的顺序经过其他两个顶点，最后回到初始的顶点。

10. 总结起来，平行四边形的动点问题涉及动点在平行四边形内移动的路径问题。

无论是从一个顶点出发回到同一个顶点，还是从一个顶点出发回到另一个顶点，最终路径都可以看作是一个三角形。

11. 这个问题的解答可以帮助我们更好地理解平行四边形的形状和特性，以及动点在平行四边形内移动时的可能路径。

它也为我们提供了一种思考和探索几何问题的方式。

平行四边形动点问题方法总结

平行四边形动点问题方法总结1. 引言：为什么我们要关注平行四边形动点问题？嘿，朋友们！今天我们来聊聊一个看似枯燥却又很有趣的数学话题——平行四边形动点问题。

别急着打哈欠，咱们慢慢来，这可是个让你从头到脚都充满成就感的数学冒险哦。

平行四边形动点问题，听名字就知道，讲的是在平行四边形里，某个点在移动时，会发生什么奇妙的事情。

这不仅仅是数学题，更像是一场迷人的舞蹈。

你知道吗？这些问题其实很接地气，因为它们涉及到很多我们生活中常见的现象，比如房子四角是直角的，家具摆放的角度等等。

2. 方法一：坐标法——从数学角度看平行四边形的奇妙。

2.1 说到解决这类问题，坐标法可是个不可或缺的好帮手。

咱们首先给平行四边形的四个顶点分配坐标，比如A、B、C、D分别是(0, 0)、(a, 0)、(b, c)、(d, e)。

坐标法就是把平行四边形里的每个点都用坐标表示出来，这样一来，不管点怎么动，我们都能通过数学公式来搞定。

2.2 你可以把平行四边形当成一个平面上的大布景，点A、B、C、D就是布景上的关键位置。

然后，动点就是在这个布景上游走的小演员。

比如，如果你要找出某个点P 的轨迹，只需要把P的坐标带入公式，就能知道P跑到哪儿去了。

坐标法简直是数学里的瑞士军刀，万能又省事。

3. 方法二：向量法——用矢量的眼光看世界。

3.1 向量法是另一个很酷的方法。

想象一下，向量就像是一把利刃，把复杂的数学问题一刀切成简单易懂的形状。

比如，平行四边形的对角线是彼此平行的，那么它们之间的向量关系就能告诉我们很多有用的秘密。

如果我们把动点P的运动看作一个向量变化，我们就能用向量运算来分析它的行为。

3.2 向量法的好处在于，它能帮我们迅速搞清楚平行四边形中各个点的相对位置和移动规律。

用这个方法，你可以非常方便地计算出点P在平行四边形内的各种可能位置，也能找到一些隐含的规律，比如点P可能会在平行四边形的对角线附近来回移动。

数学就像个魔术师，向量法让我们能透过表面看到更多的奥秘。

第十八章平行四边形四边形中的动点问题(教案)人教版八年级数学下册

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行四边形中动点问题的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对动点问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现同学们对平行四边形内动点问题的探究表现得非常积极。他们对于动点的运动规律和性质有了初步的认识，也尝试着将这些知识应用到实际问题中。我觉得这是一个很好的开始，但也发现了一些需要改进的地方。
首先，理论讲授部分，我发现有些同学对动点问题的基本概念掌握不够扎实。可能是我讲解得不够细致，也可能是同学们对这些概念还不够熟悉。在以后的教学中，我需要更加注意这一点，尽量用简单易懂的语言和丰富的例子来帮助他们理解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调动点的运动规律和利用平行四边形性质解题这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与动点问题相关的实际问题。
2.实行四边形中的运动规律和性质。
-难点二：在实际问题中，学生可能不知道如何选择合适的定理和性质来解决动点问题。教师应指导学生通过分析问题结构，识别关键信息，进而选择恰当的几何定理进行求解。
-难点三：针对不同动点问题，如路径最短、面积最大等，学生可能不知如何下手。教师应教授学生分类讨论和优化的方法，帮助学生理清思路，找到解题突破口。
4.培养合作意识和团队精神，在小组讨论和探究过程中，学会倾听、交流、表达和协作，共同解决问题。

(完整版)平行四边形动点及存在性问题

环球雅思学科教师辅导讲义组长签字：学员编号：年级：八年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：赵文娜授课日期及时段教学目标重点难点教学内容平行四边形动点及存在性问题【例1】正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为。

MB CADNDO Cx yBA DO CxyB A【练习1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点.（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.【例3】如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，0），（0，4）,点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当三角形△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，P 的坐标为；DBCA O xy P【练习2】如图，在平面直角坐标系中，AB ∥OC ，A （0，12），B （a ，c ），C （b ，0），并且a ，b 满足212116b a a =-+-+．一动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 分别从点A 、O 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动．设运动时间为t （秒）（1）求B 、C 两点的坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？并求出此时P 、Q 两点的坐标；（3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P 、Q 两点的坐标．【例4】（1）如图，矩形ONEF 的对角线相交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为（4，3），则点M 的坐标为；（2）在直角坐标系中，有A （-1，2），B （3，1），C （1，4）三点，另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标．MOE (4,3)x y FNCBAxy【练习3】如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D 点坐标是（0，0），B 点坐标是（3，4），矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点A 落在BC 边上的G 处，E 、F 分别在AD 、AB 上，且F 点的坐标是（2，4）．（1）求G 点坐标；（2）求直线EF 解析式；（3）点N 在x 轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．O xy AB CGBO (D )yxACF E【例5】在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =60cm ，∠A =60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm /s 的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是ts （0<t ≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE =DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．FBCA DE【练习4】如图，等腰三角形OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为（6，8），OA =OB ，动点P 从原点O 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动，动点Q 从原点O 出发，沿y 轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q 作x 轴的平行线分别交OA ，AB 于E ，F ，设动点P ，Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点Q 也停止运动，他们运动时间为t 秒（0t ≥）（1）点E 的坐标为，F 的坐标为；（2）当t 为何值时，四边形POFE 是平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．Q FE BA (6,8)OxyP【巩固练习】1、菱形ABCD 中，AB =2， ∠BAD =60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PB 的最小值为。

平行四边形中的动点问题专题复习【精品】

平行四边形中的动点问题【教材母题】课本68页第13题例：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8cm ，AD ＝24cm ，BC ＝26cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ//CD 和PQ=CD ，分别需经过多少时间？为什么？解：设点P ，Q 运动的时间为ts （3260≤≤t ）．则AP=t,PD=24-t;CQ=3t,BQ=26-3t.（1）当PQ//CD 时，∵AD ∥BC ，∴四边形PQCD 为平行四边形 ∴PD ＝CQ∴24－t ＝3t ．∴t ＝6．∴当t 为6s 时，PQ//CD ．（2）当PQ=CD 时第一种情况：如图，PQ=CD，四边形PQCD为平行四边形由PD=CQ知24－t＝3t，∴t＝6．第二种情况：如图，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足为E，F．∵ AD∥BC，∴∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，∴四边形ABFD是矩形∴AD＝BF=24.∴CF＝BC－BF＝2.同理可得四边形PEFD是矩形∴PE=DF,PD=EF=24-t∵PQ=CD，∠PEQ=∠DFC=90°∴△PQE≌△DCF∴QE=CF=2∴QC- EF=QE+FC=4∴3t-(24-t)=4, t=7∴当t为6s,或7s时，PQ＝CD．变式1：设点P ，Q 运动的时间为t s ，当t 取何值时,ABQP 是矩形?解：当四边形ABQP 为矩形时，AP=BQ即t ＝26－3t ，解得t ＝6.5．∴当t 为6.5 s 时，四边形ABQP 是矩形．变式2：设点P ，Q 运动的时间为t s ，是否存在t ，使得△DQC 是等腰三角形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．解：CD 的长度为172第一种情况：当CQ ＝CD 时，即3t ＝172，∴t ＝3172．第二种情况：当DQ ＝DC 时，过点D 作DH ⊥CQ 于H,∵ AD ∥BC∴∠B ＝∠A ＝∠DFB ＝90°，∴四边形ABHD 是矩形∴AD ＝BH=24．∴CH ＝BC －BH ＝2∵DQ=DC,DH ⊥CQ∴CQ=2CH=4∴3t=4，t=34第三种情况：当QD ＝QC 时过点D 作DH ⊥CQ 于H ，∵DH ＝8，CH ＝2，DC ＝172，QC ＝QD ＝3t ，∴QH ＝|3t －2|在Rt △DQH 中，DH 2+QH 2=DQ 2∴()()2223238t t =-+解得t ＝317 综上，当t ＝3172s ，34s 或317s 时，△DQC 是等腰三角形．专项一：平行四边形中的动点问题1.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q 以2cm/s的速度由C向B运动，则2 s后四边形ABQP为平行四边形．2.如图，在等边△ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为t（s），当t＝2或 6时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形．3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，a)，B(b，a)，且a，b满足(a－3)2＋|b－6|＝0.现将线段AB向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到线段CD，点A，B的对应点分别为点C，D.连接AC，BD.(1)如图1，求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积；(2)在y轴上是否存在一点M，使三角形MCD的面积与四边形ABDC的面积相等？若存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由；(3)如图2，点P是直线BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在直线BD上移动时(不与B，D重合)，直接写出∠BAP，∠DOP，∠APO 之间满足的数量关系．解：(1)∵(a－3)2＋|b－6|＝0，∴a－3＝0，b－6＝0，解得a＝3，b＝6.∴A(0，3)，B(6，3)．。

平行四边形应用之动点问题典型题PPT课件

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在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ。ＡＤ= １２ｃｍ，DC=15ｃｍ，BC=21ｃｍ，AB=12ｃｍ.若点 P从点A出发以1ｃｍ／s的速度沿A-D-C-B方向运动。同时点Q从点C以1.5ｃｍ／s的速度沿C-B-A-D方向运动。在PQ运动过程中，是否存在以点P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在求出时间t值。若不存在请说明理由。
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在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ。ＡＤ=１２ｃｍ，DC=15ｃｍ，BC=21ｃｍ， AB=12ｃｍ.若点P从点A出发以1ｃｍ／s的速度沿A-D-C-B方向运动。同时点Q从点C以1.5ｃｍ／ s的速度沿C-B-A-D方向运动。在PQ运动过程中，是否存在以点P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在求出时间t值。若不存在请说明理由。第6页/共7页Fra bibliotek 感谢您的观看。
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在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ。ＡＤ= １２ｃｍ，DC=15ｃｍ，BC=21ｃｍ，AB=12ｃｍ.若点 P从点A出发以1ｃｍ／s的速度沿A-D-C-B方向运动。同时点Q从点C以1.5ｃｍ／s的速度沿C-B-A-D方向运动。在PQ运动过程中，是否存在以点P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在求出时间t值。若不存在请说明理由。
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在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ。ＡＤ= １２ｃｍ，DC=15ｃｍ，BC=21ｃｍ，AB=12ｃｍ.若点 P从点A出发以1ｃｍ／s的速度沿A-D-C-B方向运动。同时点Q从点C以1.5ｃｍ／s的速度沿C-B-A-D方向运动。在PQ运动过程中，是否存在以点P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在求出时间t值。若不存在请说明理由。

初二平行四边形动点专题

初二平行四边形动点专题（原创实用版）目录1.初二平行四边形动点专题简介2.平行四边形的性质3.平行四边形动点的概念及应用4.动点问题解题技巧5.总结与展望正文一、初二平行四边形动点专题简介初二平行四边形动点专题是初中数学中一个重要的知识点，主要涉及到平行四边形的性质、动点的概念及应用，以及动点问题解题技巧。

通过学习这个专题，可以帮助学生更好地理解平行四边形的相关知识，提高解决实际问题的能力。

二、平行四边形的性质平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。

它具有以下性质：1.对边平行且相等。

2.对角线互相平分且相等。

3.同底异位角相等。

4.角平分线分得的角相等。

5.对边角相等。

三、平行四边形动点的概念及应用平行四边形动点是指在平行四边形中，某一点相对于其他点的位置发生变化。

动点问题通常包括：求动点的轨迹、求动点到定点的距离、求动点的速度等问题。

在解决这类问题时，需要灵活运用平行四边形的性质和几何知识。

四、动点问题解题技巧1.建立平面直角坐标系：在解决动点问题时，可以建立平面直角坐标系，将点的位置用坐标表示，方便计算。

2.利用平行四边形的性质：在解题过程中，要充分利用平行四边形的性质，如对边平行、对角线平分等，将问题转化为简单的几何问题。

3.运用几何知识和公式：在解决动点问题时，要熟练掌握相关的几何知识和公式，如勾股定理、相似三角形等，以便快速求解。

4.化简问题：在解题过程中，要尽量化简问题，将复杂的问题转化为简单的问题，便于求解。

五、总结与展望初二平行四边形动点专题是初中数学中的一个重要知识点，掌握这个专题对于提高学生的数学素养和解决实际问题具有重要意义。

在学习过程中，要注重理解平行四边形的性质和动点问题的解题技巧，加强练习，不断提高自己的解题能力。