平行四边形中的动点问题【精品】

解：设点P，Q运动的时间为t s． 则AP=t,PD=24-t;CQ=3t,BQ=26-3t. （1）当PQ//CD时， ∵AD∥BC， ∴四边形PQCD为平行四边形 ∴PD＝CQ ∴24－t＝3t． ∴t＝6． ∴当t为6s时，PQ//CD．
（2）当PQ=CD时 第一种情况：如图，
PQ=CD，四边形PQCD为平行四边形 由PD=CQ知 24－t＝3t， ∴t＝6． 第二种情况：如图，
变式2：设点P，Q运动的时间为t s，是否存在t，使得△DQC是等
腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
第三种情况： 当QD＝QC时 过点D作DH⊥CQ于H， ∵DH＝8，CH＝2，DC＝ ， QC＝QD＝3t， ∴QH＝|3t－2| 在Rt△DQH中，DH2+QH2=DQ2 ∴
解得t＝ 综上，当t＝ s或 s， s时， △DQC是等腰三角形．
移2个单位长度，得到线段CD，点A，B的对应点分别为点C，D.连接AC，BD. (3)如图2，点P是直线BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在直线BD上移动
时(不与B，D重合)，直接写出∠BAP，∠DOP，∠APO之间满足的数量关系． (3)①当点P在线段BD上移动时，∠APO＝∠DOP＋∠BAP. 理由如下：如图，过点P作PE∥AB. ∵CD由AB平移得到，则CD∥AB，∴PE∥CD， ∴∠BAP＝∠APE，∠DOP＝∠OPE， ∴∠BAP＋∠DOP＝∠APE＋∠OPE＝∠APO. ②当点P在DB的延长线上时，同①的方法得， ∠DOP＝∠BAP＋∠APO. ③当点P在BD的延长线上时，同①的方法得， ∠BAP＝∠DOP＋∠APO.
解：(1)∵(a－3)2＋|b－6|＝0， ∴a－3＝0，b－6＝0，解得a＝3，b＝6. ∴A(0，3)，B(6，3)． ∵将点A，B分别向下平移3个单位长度，再向左平移2 个单位长度，∴C(－2，0)，D(4，0)， ∴S四边形ABDC＝AB·OA＝6×3＝18.
3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，a)，B(b，a)，且 a，b满足(a－3)2＋|b－6|＝0.现将线段AB向下平移3个单位长度，再向左平 移2个单位长度，得到线段CD，点A，B的对应点分别为点C，D.连接AC，BD. (2)在y轴上是否存在一点M，使三角形MCD的面积与四边形ABDC的面积相 等？若存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由；
专项一：平行四边形中的动点问题 1.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC ＝6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速 度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动， 2 s后 四边形ABQP为平行四边形．
2.如图，在等边△ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E 从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发 沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发， 设运动时间为t（s），当t＝ 2或6 时，以A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形．
专项二：矩形中的动点问题
4.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个 动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F.若AB＝3，BC＝4， 则PE＋PF的值为（ D ）
A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm， BC=18cm，点P从A点出发，以1cm/s的速度向点D运动；同时点Q从点C 同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时， 另一个动点也随之停止运动．从运动开始，经过多少时间，点A、B、 Q、P为顶点的四边形是矩形？
【教材母题】课本68页第13题 例：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝ 24cm，BC＝26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q 从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到 达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ//CD和 PQ=CD，分别需经过多少时间？为什么？
3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，a)，B(b，a)，且 a，b满足(a－3)2＋|b－6|＝0.现将线段AB向下平移3个单位长度，再向左平 移2个单位长度，得到线段CD，点A，B的对应点分别为点C，D.连接AC，BD.
(1)如图1，求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积；
分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF， 垂足为E，F． ∵ AD∥BC，∴∠B＝∠A＝∠DFB＝90°， ∴四边形ABFD是矩形 ∴AD＝BF=24. ∴CF＝BC－BF＝2. 同理可得四边形PEFD是矩形 ∴PE=DF,PD=EF=24-t ∵PQ=CD，∠PEQ=∠DFC=90° ∴△PQE≌△DCF ∴QE=CF=2 ∴QC- EF=QE+FC=4 ∴3t-(24-t)=4, t=7 ∴当t为6s,或7s时，PQ＝CD．
(2)存在．设点M的坐标为(0，m)． ∵S△MCD＝S四边形ABDC， ∴ 1 ×6|m|＝18，
2
解得m＝±6， ∴点M的坐标为(0，6)或(0，－6)．
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3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，a)，B(b，a)，且
a，b满足(a－3)2＋|b－6|＝0.现将线段AB向下平移3个单位长度，再向左平
解：CD的长度为 第一种情况：
当CQ＝CD时， 即3t＝ ， ∴t＝
变式2：设点P，Q运动的时间为t s，是否存在t，使得△DQC是等
腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
第二种情况： 当DQ＝DC时， 过点D作DH⊥CQ于H, ∵ AD∥BC ∴∠B＝∠A＝∠DFB＝90°， ∴四边形ABHD是矩形 ∴AD＝BH=24． ∴CH＝BC－BH＝2 ∵DQ=DC,DH⊥CQ ∴CQ=2CH=4 ∴3t=4，t=
变式1：设点P，Q运动的时间为t s，当t取何值时,ABQP是矩形?
解：当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ 即t＝26－3t， 解得t＝6.5．
∴当t为6.5 s时，四边形ABQP是矩形．
变式2：设点P，Q运动的时间为t s，是否存在t，使得△DQC是等 腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．