模糊控制理论基础(第二章)
第二章模糊控制理论基础
u U u U
经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的 关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一 而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。
用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。
对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、 “温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。
经典集合对事物只用"1"、"0"简单地表示“属于” 或“不属于”的分类；而模糊集合则用“隶属度 (Degree of membership)”来描述元素的隶属程度， 隶属度是0到1之间连续变化的值。
四种方法： 1、模糊统计法
基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否属于一个可变动的清 晰集合A*作出清晰的判断。
对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同的边界。但它们都对 应于同一个模糊集A。
模糊集A 年轻人
v0
清晰集A1* 清晰集A2*
论
17-30岁 20-35岁
域 U
所有人
计隶算属步度骤函：数在确每立次的统方计法中：，v0是固定的（如某一年龄）， A*的值是可变的，作n次试验,则
示。
uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
集合表示法(经典集合)：
(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。 (2)定义法：用集合中元素的共性来描述集合的方法。
(3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的方法。 (4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性 来表示集合。因为某一集合中的元素要么属于这个集合， 要么就不属于这个集合。
定义2-8 设A,B F(U),则定义代数运算： (1)A与B的代数积记作A • B，运算规则由下式确定：
A • B(u)= A(u)B(u)
模糊控制
模糊控制在洗衣机控制研究中的摘要模糊控制是首先对控制对象按照人们的经验总结出模糊规则,然后由单片机对这些信息按照模糊规则做出决策来完成自动控制。
首先，本文将概述模糊控制的基本原理和特点，并研究模糊控制在洗衣机中的应用方面。
例如，在洗涤衣物过程中，衣物的多少，面料的软硬等都是模糊量，所以首先做大量的实验，总结出人为的洗涤方式，从而形成模糊控制规则。
其次，本文将根据模糊控制原理对洗衣机的水位控制进行具体的研究，具体主要是模糊传感器的应用，即利用模糊传感器实现对洗衣机水位的测量，并把得到的数据经单片机A/D 转换后，输出结果。
最后，通过MATLAB仿真器在实际设计中的应用，模拟研究是模糊洗衣机加水和排水的模糊控制。
通过建立模糊推理系统，完成模拟量的函数关系及函数图像，验证得出模糊传感器较以往的传感器更加智能化，便捷化，为人们的生活节约了许多不必要的麻烦。
关键词: 模糊控制，隶属度函数，模糊推理系统，模糊传感器第一章绪论1.1选题背景1964年美国的L.A.Zadeh教授创立了模糊集合理论,1974年英国的E.HMamdani研制出第一个模糊控制器。
模糊控制不需要了解对象的精确数学模型,根据专家知识进行控制,近十年来得到了广泛的应用。
模糊控制系统是一种自动控制系统,它是以模糊数学、模糊语言形式的知识表示和模糊逻辑推理为理论基础,采用计算机控制技术构成的一种具有闭环结构的数字控制系统。
它的组成核心是具有智能性的模糊控制器，无疑，模糊逻辑控制系统是一种典型的智能控制系统,在控制原理上它应用模糊集合论、模糊语言变量和模糊逻辑推理知识,模拟人的模糊思维方法,对复杂过程进行控制。
模糊控制系统基本结构如图 1.1所示。
从图上可以看出,模糊控制系统的主要部件是模糊化过程、模糊推理和决策(含知识库和规则库的形成)和反模糊化。
在结构上与传统的控制系统没有太大差别。
主要不同之处在于模糊控制系统采用了模糊控制器。
图1.1模糊控制的基本结构1.2 国内外研究情况随着科技的飞速发展，更多的新兴技术和新兴企业不断孕育而生，模糊技术就其中的显著代表，作为模拟人类思维而转化为机械自动化运作的主要依托技术，模糊技术的发展速度令人惊叹，现如今已逐步取代原始手工机械操作，并越来越多的运用到了人们的日常生活之中。
第2章模糊控制系统教学内容
OR、NOT)； 步骤3：从前提到结论的推理； 步骤4：所有规则作用结果的聚集； 步骤5：解模糊。
9
餐馆小费模糊推理系统
其中“食物”和“服务”是输入模糊变量(变量 范围(或论域)是[0，10])；
“小费”是输出模糊变量(变量范围是[0， 0.25])。
当输入为X=-3和Y=1.5时， 规则1的开放度(DOF)为 DOF1=μNS(X)∧μZE(Y)=0.8∧
0.6=0.6 输出为截去顶部的MF(PS’) 对于规则2和规则3，有
DOF2=μZE(X)∧μZE(Y)=0.4∧0.6=0.4 DOF3=μZE(X)∧μPS(Y)=0.4∧1.0=0.4
第2章模糊控制系统
第二章 模糊控制系统
模糊控制系统是一种自动控制系统。 它是以模糊数学、模糊语言形式的知识表示和模
糊逻辑推理为理论基础，采用计算机控制技术构 成的一种具有闭环结构的数字控制系统。 它的组成核心是具有智能性的模糊控制器。 在控制原理上它应用模糊集合论、模糊语言变量 和模糊逻辑推理的知识，模拟人的模糊思维方法， 对复杂过程进行控制。
15
步骤5：解模 糊。
最后，模糊 输出(面积) 转化为精确 输出(小费为 16.7%) ， 即 一个单纯的 数字.
典 型 的 解 模 糊 方 法 有 重 心 法 (COA)。
16
2.1.3推理方法 1、Mamdani方法
考虑一个模糊系统中的三条规则，其一般表述形式如下： 规则1：如果X是负小(NS)且Y是零(Zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)，那么Z是正小
采用三角型MF的 模糊集合A和B之 间的或、与、非 逻辑运算如图 (左边)，并与右 边相应的布尔逻 辑运算相比较。
模糊控制理论基础知识
第二章 模糊控制理论基础知识2.1 模糊关系一、模糊关系R ~所谓关系R ，实际上是A 和B 两集合的直积A ×B 的一个子集。
现在把它扩展到模糊集合中来，定义如下：所谓A ，B 两集合的直积A ×B={(a,b)|a ∈A ，b ∈B} 中的一个模糊关系R ~，是指以A ×B 为论域的一个模糊子集，其序偶(a,b)的隶属度为),(~b a Rμ，可见R ~是二元模糊关系。
若论域为n 个集合的直积，则A 1×A 2×A 3×……A n 称为n 元模糊关系R ~，它的隶属函数是n 个变量的函数。
例如，要求列出集合X={1,5,7,9,20}“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系R ~。
因为直积空间R=X ×X 中有20个“序偶”，序偶(20,1)中的前元比后元大得多，可以认为它的隶属度为1，同理认为序偶(9,5)的隶属于“大得多”的程度为0.3，于是我们可以确定“大得多”的关系R ~为R ~=0.5/(5,1)+ 0.7/(7,1)+ 0.8/(9,1)+ 1/(20,1)+ 0.1/(7,5)+0.3/(9,5)+ 0.95/(20,5)+ 0.1/(9,7)+0.9/(20,7)+ 0.85/(20,9)综上所述，只要给出直积空间A ×B 中的模糊集R ~的隶属函数),(~b a R μ，集合A 到集合B 的模糊关系R ~也就确定了。
由于模糊关系，R ~实际上是一个模糊子集，因此它们的运算完全服从第一章所述的Fuzzy 子集的运算规则，这里不一一赘述了。
一个模糊关系R ~，若对∀x ∈X ，必有),(~x x R μ=1，即每个元素X 与自身隶属于模糊关系R ~的隶属度为1。
称这样的R ~为具有自返性的模糊关系。
一个模糊R ~，若对∀x ，y ∈X ，均有),(~y x Rμ=),(~x y Rμ 即(x,y)隶属于Fuzzy 关系R ~和(y,x)隶属于Fuzzy 关系R ~的隶属度相同，则称R ~为具有对称性的Fuzzy 关系。
第二章 模糊控制数学基础
第二章模糊控制数学基础模糊控制的应用场合：一．模糊控制的定义对于一个熟练的操作人员，他往往凭借丰富的实践经验，采取适当的对策来巧妙地控制一个复杂过程，得到满意的控制效果。
若能将这些熟练操作员的实践经验加以总结和描述，并用语言表达出来，就会得到一种定性的、不精确的控制规则。
如果用模糊数学将其定量化就转化为模糊控制算法，形成模糊控制理论。
模糊控制是建立在人工经验（定性的、不精确的）基础之上的，模仿人类的思维方式，采用模糊数学对模糊现象进行识别和判决，给出精确的控制量，对被控对象进行控制。
模糊数学是模糊控制的数学基础，二．模糊控制的特点：1．无需知道被控对象的数学模型。
模糊控制是以人对被控系统的控制经验为依据而设计的控制器，故无需知道被控系统的数学模型。
2．是一种反映人类智慧思维的智能控制。
模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、“中”、“低”、“大”、“小”等，控制量由模糊推理导出。
这些模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。
3．易被人们所接受。
模糊控制的核心是控制规则。
模糊控制中的知识表示、模糊规则和模糊推理是基于专家知识或熟练操作者的成熟经验。
这些规则是以人类语言表示的。
很明显这些规则易被一般人所接收和理解。
如“衣服较脏，则投入洗涤剂较多，洗涤时间较长”, “今天气温高，则今天天气暖和”.4．构造容易。
用单片机等来构造模糊控制器，其结构与一般的数字控制系统无异，模糊控制算法用软件实现，也可以用专用模糊控制芯片直接构造控制器。
5．鲁棒性好。
模糊控制系统无论被控对象是线性的还是非线性的，都能执行有效的控制，具有良好的鲁棒性和适应性。
模糊控制是基于熟练操作员的实践经验，比如智能洗衣机，能够实现以下功能：“衣服较脏，则投入洗涤剂较多，洗涤时间较长”。
这个控制规律中存在着模糊概念：“衣服较脏”。
三．模糊概念没有明确外延的概念，即没有明确符合某概念的对象的全体，如“天气冷热”、“雨的大小”、“风的强弱”、“人的胖瘦”、“年龄的大小”、“个子高低”。
模糊控制的理论基础.ppt
模糊控制还需要解决的问题
1、人的知识和经验的表达；
2、知识推理的方法；
3、人的知识的获得和总结； 4、模糊控制系统稳定性判据； 5、模糊控制系统的学习； 6、模糊控制系统的分析；
7、模糊控制系统的设计方法
模糊控制系统人性化——模糊控制容忍噪声的干 扰和元器件的变化——模糊控制适应性好
第二节 模糊集合论基础
(u )/u
i 1 F i
n
i
例2-2 考虑论域U={0,1,2,……10}和模糊集F”接近 于0的整数“，它的隶属度函数表示法
F 1 . 0 / 0 0 . 9 / 1 0 . 75 / 2 0 . 5 / 3 0 . 2 / 4 0 . 1 / 5
2、序偶表示法：
输出模糊集的精确化——将模糊控制量转化为清晰的、确定的输出控制量。
模糊控制技术需要解决的具体问题
1、模糊控制器的构造：单片机、集成电路、可编程控制器 (PLC)； 2、模糊信息与精确信息转换的物理结构和方法； 3、模糊控制器对外界环境的适应性及适应技术（A/D和 D/A技术）； 4、实现模糊控制系统的软技术（仿真软件）； 5、模糊控制器和被控对象的匹配技术（依赖人们的经验）。
0 x 0 F 1 x0 100 1 2 x
可以算出u(5)=0.2； u(10)=0.5; u(20)=0.8；表示5属 于大于零的程度为0.2，也就意味5算不上是远远大 于0的数。
若U为离散域，即论域U是有限集合时，模糊集合可以有以下 三种表示方法： 1、查德表示法 即： F
1965年，Zadeh提出模糊集理论——模糊控制理论（以模 糊集合为数学基础）； 1974年，E.H.Mamdani首先利用模糊数学理论进行蒸汽机 和锅炉控制方面的研究； 模糊控制依赖操作者的经验；（传统的控制依赖于微分 方程组等）； 改善模糊控制性能最有效的方法是优化模糊控制规则； 模糊规则是通过将人的操作经验转化为模糊语言形式获 取的，带有一定的主观性。
现代控制理论基础-第2章-控制系统的状态空间描述精选全文完整版
(2-18)
解之,得向量-矩阵形式的状态方程
(2-19)
输出方程为
(2-20)
(5) 列写状态空间表达式
将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令
则可得状态空间表达式的一般式,即
(2-21)
例2.2 系统如图
取状态变量:
得：
系统输出方程为：
写成矩阵形式的状态空间表达式为：
1.非线性系统
用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即
(2-7)
2. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： （2－8） 式中，各个系数矩阵分别为 （2－9）
4．线性定常系统的状态空间描述
式中的各个系数矩阵为常数矩阵
当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为
（2－11）
1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念
2.2 状态空间模型
2.2.1状态空间的基本概念
1.系统的基本概念
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。 ■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0<t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。
模糊控制的理论基础
有关隶属函数的MATLAB设计，见著作：
楼顺天，胡昌华，张伟，基于MATLAB的系统分析 与设计-模糊系统，西安：西安电子科技大学出版 社，2001
例2.5 隶属函数的设计：针对上述描述的6种隶属 函数进行设计。M为隶属函数的类型，其中M=1 为高斯型隶属函数，M=2为广义钟形隶属函数， M=3 为 S 形 隶 属 函 数 ， M=4 为 梯 形 隶 属 函 数 ， M=5为三角形隶属函数，M=6为Z形隶属函数。 如图所示。
X Years
图2-1 “年轻”的隶属函数曲线
2.2.2 模糊集合的运算 1 模糊集合的基本运算
由于模糊集是用隶书函数来表征的，因此两 个子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作 相应的运算。
（1）空集 模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，
即
A A (u) 0
（2）全集 模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，
设A和B经过平衡运算得到C，则
c (x) A (x) B ( x) 1 1 (1 A (x)) (1 B (x))
其中γ取值为[0，1]。 当γ=0时，c (x) A (x) B (x)，相当于A∩B时的算子。
当γ=1，c (x) A(x) B (x) A(x) B (x) ，相当于
B 0.3 0.1 0.4 0.6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则 A B 0.9 0.2 0.8 0.6
u1 u2 u3 u4
A B 0.3 0.1 0.4 0.5 u1 u2 u3 u4
例2.4 试证普通集合中的互补律在模糊集
合中不成立，即 A (u) A (u) 1，
则 u0属于“成绩差”的隶属度为：
A (u0 ) 1 0.8 0.2
模糊控制技术-第二章
上述定义表明：
①论域U中的元素是分明的，即U本身是普通 集合，只是U的子集是模糊集合，故称A为 U的模糊子集，简称模糊集。 ②隶属函数μA(u)是用来说明u隶属于A的程度 的，μA(u)的值越接近于1，表示u隶属于A 的程度越高；当μA(u)的值域变为{0,1}时， 隶属函数μA(u)蜕化为普通集合的特征函数， 模糊集合也就蜕化为普通集合。
' ~ ~ ~ ~ ~
~
0.1 0.1 0.6 0.5 0.7 0.9 0.9 1 C u1 u2 u3 u4
'
0.1 0.5 0.7 0.9 u1 u2 u3 u4
~
0.9 0.4 0.3 0.1 A u1 u2 u3 u4
18
台(support)集合
39
• 例：设X＝{１，２，３，４}，Y＝{a，b， c}，Z＝{α，β}，Χ×Y以及Y×Z上的模糊关 系R与S如图所示。
2.2.2 模糊关系 (1)普通关系：客观世界存在的普遍现象，描 述了事物之间存在的某种联系。 1)集合的直积 • 由两个集合U和V的各自元素u与v组成的序 偶(u，v)的全体集合，称为U与V的直积,记 为U×V，即
U×V={(u，v)|u∈U，v∈V }
• 一般情况下，U×V≠V×U。 2)普通二元关系
A 和 A 分别称为模糊集合 A 的强 截集和弱
正则(normal)模糊集合
[0，) 1 (0， 1]
截集
如果：max A (u )
uU
1 ，则称A为正则模糊集合
凸(convex)模糊集合
A (u1 (1 )u2 ) min( A (u1 )， A (u2 )) u1，u2 U， [0， 1]
模糊控制的理论基础
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
4．吸收律
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
5．分配律
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C)
6．复原律
A A
7．对偶律
A B A B
A B A B
8．两极律
A∪E=E，A∩E=A
A∪Ф=A，A∩Ф=Ф
例3.4 设
A
B
0 .9 0 .2 0 . 8 0 .5 u1 u2 u3 u4
0 .3 0 . 1 0 .4 0 . 6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则
0.9 0.2 0.8 0.6 A B u1 u2 u3 u4
0 .3 0 .1 0 .4 0 .5 A B u1 u2 u3 u4
A {0.95,0.90 ,0.85}
其含义为张三、李四、王五属于“学习 好”的程度分别是0.95，0.90，0.85。 例3.3 以年龄为论域，取 X 0,200 。Zadeh给 出了“年轻”的模糊集Y，其隶属函数为
0 x 25 1 1 Y ( x) x 25 2 25 x 100 1 5
例3.5 试证普通集合中的互补律在模糊集 合中不成立，即 A (u ) A (u ) 1 ，
A (u ) A (u ) 0
证：设 A (u ) 0.4 ， 则
A (u ) 1 0.4 0.6
A (u) A (u) 0.4 0.6 0.6 1
模糊集合是以隶属函数来描述的， 隶属度的概念是模糊集合理论的基石。
模糊控制的理论基础
第二章：模糊控制的理论基础第一节：引言模糊控制的发展传统控制方法：数学模型。
模糊控制逻辑：使计算机具有智能和活性的一种新颖的智能控制方法。
模糊控制以模糊集合论为数学基础。
模糊控制系统的应用对于那些测量数据不准确，要处理的数据量过大以致无法判断它们的兼容性以及一些复杂可变的被控对象等场合是有益的。
模糊控制器的设计依赖于操作者的经验。
模糊控制器参数或控制输出的调整是从过程函数的逻辑模型产生的规则来进行的。
改善模糊控制器性能的有效方法是优化模糊控制规则。
模糊控制的特点：一、无需知道被控对象的数学模型二、是一种反应人类智慧思维的智能控制三、易被人们所接受四、推理过程采用“不精确推理”五、构造容易六、存在的问题：1、要揭示模糊控制器的实质和工作原理，解决稳定性和鲁棒性理论问题，从理论分析和数学推导的角度揭示和证明模糊控制系统的鲁棒性优于传统控制策略；2、信息简单的模糊处理将导致系统的控制精度降低和动态品质变差；3、模糊控制的设计尚缺乏系统性，无法定义控制目标。
“模糊控制的定义”定义：模糊控制器的输出是通过观察过程的状态和一些如何控制过程的规则的推理得到的。
基于三个概念：测量信息的模糊化，推理机制，输出模糊集的精确化；测量信息的模糊化：实测物理量转换为在该语言变量相应论域内的不同语言值的模糊子集；推理机制：使用数据库和规则库，根据当前的系统状态信息决定模糊控制的输出子集；模糊集的精确化：将推理过程得到的模糊控制量转化为一个清晰，确定的输出控制量的过程。
“模糊控制技术的相关技术”模糊控制器的核心处理单元：1.传统单片机；2.模糊单片机处理芯片；3.可编程门阵列芯片。
模糊信息与精确转换技术：AD，DA，转换技术。
模糊控制的软技术：系统的仿真软件。
综述：模糊控制是一种更人性化的方法，用模糊逻辑处理和分析现实世界的问题，其结果往往更符合人的要求。
第二节：模糊集合论基础“模糊集合的概念”经典集合论所表达概念的内涵和外延都必须是明确的。
模糊控制的理论基础2
拉氏反变换的定义
其中L－1为拉氏反变换的符号。
指数函数的拉氏变换
三角函数的拉氏变换
（尤拉公式）
单位脉冲函数拉氏变换
洛必达法则
单位阶跃函数的拉氏变换
单位速度函数的拉氏变换
斜坡函数
单位加速度函数拉氏变换
抛物线函数
幂函数的拉氏变换
2.2.3拉氏变换的定理
线性定理 微分定理 积分定理 位移定理
控制的定义
控制的本意 ：为了达到某种目的对事物进行支配、 管束、管制、管理、监督、镇压。
例1.[钢铁轧制]:轧出厚度一致的高精度铁板 温度控制,生铁成分控制,厚度控制,张力控制,等等。
自动控制 :
在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置 （称 控制装置或控制器）, 使机器、设备或生产过程 （被控对象）的某个工作状态或参数（即 被控量 ）自动 地按照预定的规律运行。
(an s n an1s n1 ... a1s a0 )Y (s) (bm s m bm1s m1 ... b1s b0 )U (s)
系统的传递函数 Y (s) bm s m bm1s m1 ... b1s b0 G( s ) U (s) an s n an1s n1 ... a1s a0
微分方程的建立（电学）
电阻
电容
电感
电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。
Example 1
解：设回路电流为i，根据基尔霍夫定理 ：
Example 2
列写如下图所示RC网络的微分方程。给定输入电压 为系统的输入量，电容上的电压为系统的输出量。
R1 R2
ur(t)
C1
C2
uc(t)
模糊控制毕业论文
模糊控制考核论文姓名：郑鑫学号：1409814011 班级：149641 题目:模糊控制的理论与发展概述摘要模糊控制理论是以模糊数学为基础,用语言规则表示方法和先进的计算机技术,由模糊推理进行决策的一种高级控制策。
模糊控制作为以模糊集合论、模糊语言变量及模糊逻辑推理为基础的一种计算机数字控制，它已成为目前实现智能控制的一种重要而又有效的形式尤其是模糊控制和神经网络、遗传算法及混沌理论等新学科的融合，正在显示出其巨大的应用潜力。
实质上模糊控制是一种非线性控制，从属于智能控制的范畴。
模糊控制的一大特点是既具有系统化的理论，又有着大量实际应用背景。
本文简单介绍了模糊控制的概念及应用，详细介绍了模糊控制器的设计，其中包含模糊控制系统的原理、模糊控制器的分类及其设计元素。
关键词：模糊控制；模糊控制器；现状及展望Abstract Fuzzy control theory is based on fuzzy mathematics, using language rule representation and advanced computer technology, it is a high-level control strategy which can make decision by the fuzzy reasoning. Fuzzy control is a computer numerical contro which based fuzzy set theory, fuzzy linguistic variables and fuzzy logic, it has become the effective form of intelligent control especially in the form of fuzzy control and neural networks, genetic algorithms and chaos theory and other new integration of disciplines, which is showing its great potential. Fuzzy control is essentially a nonlinear control, and subordinates intelligent control areas. A major feature of fuzzy control is both a systematic theory and a large number of the application background.This article introduces simply the concept and application of fuzzy control and introduces detailly the design of the fuzzy controller. It contains the principles of fuzzy control system, the classification of fuzzy controller and its design elements.Key words: Fuzzy Control; Fuzzy Controller; Status and Prospects.引言传统的常规PID控制方式是根据被控制对象的数学模型建立，虽然它的控制精度可以很高，但对于多变量且具有强耦合性的时变系统表现出很大的误差。
第二章：二、模糊集合的运算
µ
模糊集的代数运算仍然满足结合律、交换律、德•摩根律、同一律和零一律。 但不满足幂等律、分配律和吸收律。当然也不满足互补律。 ⊕ 定义2－9 称 aΘ、 为有界算子，对 ∀a , b ∈ [ 0 , 1 ] ，有
A+ B
∧
( u ) = µ A ( u ) + µ B ( u ) − µ A ( u ) µ B (u )
g v 2 (v1 ) (2 − 27) max( g v 2 (v1 ) , g v1 (v 2 ) ) 这里, v1 、v 2 ∈ U 。 若以 g (vi / v j )(i , j = 1, 2) 为元素，且定义 时，则可构造出矩阵G，并称G为相及矩阵。 g (v i / v j ) = 1 , 当 i = j
重叠鲁棒性＝10 / 20 = 0.5
µ
A1
A2
重叠率＝5 / 35 = 0.143
0.25
0 20
重叠鲁棒性＝2.5 / 10 = 0.25
35
5
35
40
55
速度 /( km ⋅ h −1 )
图2－6 隶属度函数重叠的范例 隶属度函数是模糊控制的应用基础，正确构造隶属度函数是能 否用好模糊控制的关键之一。 1）模糊统计法
计算相及矩阵G。因为 g (vi / v j ) = g v j (vi ) / max( g v j (vi ) , g v i (v j ) ) ，所以，相及矩 阵为
智能控制技术-第二章
定义2-3 设A、B是论域U的模糊集，
即 A, B F(U ) ，若对任一 u U 都
有B(u) A(u)，则称B包含A，或称B是A的
一个子集，记作 B A。若对任一 u U都
有 B(u) A(u) ，则称B等于A,记作 B A 。
定义2-4 并：并 (AU B)的隶属函数 AUB 对所
模糊集F的表示：
F {(u, F (u)) | u U}
1、若U为连续域,模糊集F的化简表示
F F / u U
注意不表示“积分”，只是表示集合的一种方法； /并不表示除号，只是表示变量取值为是的隶属度 函数。
例
x
x0 x0
F (5) 0.2
2、若U为离散域，模糊集合的三种表示方法 (1）查德表示法： n
集合={冷，舒适，热}
冷的补集仍然有{冷，舒适，热}
2）因为模糊集合中B、C可能范围相同，只 是隶属度大小不同。
兄弟两个B、C相似父亲的程度。B、C属于 U区域。
兄弟B 1.0
兄弟C
身 眼鼻 眉体 高 睛子 毛重 图 2-6 模 糊 集 合 兄 弟 两 相 似 父 亲 的 程 度 的 定 义
（3）交换律
AI B BI A
AUB BUA
（4）分配律 A I (B UC) (A I B) U(A I C) A U(B I C) (A U B) I (A UC)
（5）同一律
AI U A
AU A
（6）零一律
AI
AUU U
（7）吸收律 AI (AU B) A AU(AI B) A
a)经 典 集 合 对 温 度 的 定 义
b) 模 糊 集 合 对 温 度 的 定 义
模糊控制数学基础2—模糊逻辑与推理(2)
F F
隐含隶属函数表达式 pq ( x, y) 1 pq ( x, y) 1 min[ p ( x), (1 q ( y))] 或
pq ( x, y) pq ( x, y) max[ p ( x), q ( y)]
max[( p ( x)), q ( y)] 1
x y
(1 2 ) c ( z )
3) 多前提多规则
前提（事实） 1 前提 2 （规则1 ） 前提 （规则2 3 ） 结果（结论） x是A, y是B if x 是A1和 y是B1 , then Z是C1 if x 是A2和 y是B2 , then Z是C2 z是C
称为工程隐含
工程隐含
• （1） A B 解释为A与B相关，常用的两种三角范 式算子得到模糊关系 Rm A B A ( x) B ( y ) /( x, y )
X Y
或
A B ( x, y ) min{ A ( x), B ( y )}
Rp A B 或
p q,
“if then”
4) 逆操作 Inversion
5) q”。
~p 等效关系 Equivalence p q ，“p即
一个隐含是“真”，必须满足三个条件之一： 1） 前提是真，结论是真； 在教书，是教师；成立
2） 前提是假，结论是假；不教书，不是教师；成立
3） 前提是假，结论是真。
1单点模糊化max乘积复合运算乘积推理高度去模糊化2单点模糊化maxmin复合运算乘积推理高度去模糊化3非单点模糊化max乘积复合运算乘积推理高度去模糊化去下标上面几式可简化为单点模糊化
模糊逻辑与模糊推理
• 对模糊现象的机理进行分析、抽象，进 而用用模糊数学表达
第二章模糊集合(1)
3）向量表示法
F { (u1 ), (u2 ),..., (un )}
此时，元素u应该按次序排列，隶属度值为零的项不能省略。 上例可写为 F={1，0.9，0.75，0.5，0.2，0.1} 上页
具有数学运算、符号运算的逻辑推理 边缘交叉学科 上页
小结
下页
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—智能控制技术—
第二章 模糊控制的理论基础
第一节 引言
第二节 模糊集合论基础
一、普通集合 二、模糊集合的概念 三、模糊集合的运算 四、隶属函数（MF）的确定 五、模糊关系 上页
小结
下页
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1 A 0
如果 X A 如果 X A
模糊集合：论域U中的模糊集F用一个在区间[0，1]上
取值的隶属函数
F (u) 来表示，即
F {(u, F (u)) | u U}
上页
小结
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普通集合
X 6
1
X 6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 0
3）交换律 A∩B=B∩A， A∪B= B∪A
上页
小结
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4）分配律 5）同一律 6）零一律 7）吸收律 8）德.摩根律
A∩（B∪C） =（A ∩ B）∪（A ∩ C） ； A∪（B∩C）=（A∪B）∩ （A∪C）； A∩U=A， A∪Φ=A； A∩Φ=Φ， A∪U=U； A∩（A∪B）=A， A∪（A ∩ B）=A；
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1 TU (u) 0
2015-1-18
u U u U
经典集合论中任意一个元素与任意一个集 合之间的关系，只是“属于”或“不属于” 两种，两者必居其一而且只居其一。它描 述的是有明确分界线的元素的组合。 用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。
对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大 小”、“温度的高低”等模糊概念没有明 确的界限。
2015-1-18
模糊概念在自然界和人类社会中是普遍存在的 • • • •
空间：巨大，很大，大，中，小，微小， 时间：长短，很久，最近， … 天气：阴晴，气温高低，风力大小， 人 ：性别，年龄，文化，… ( 清晰 ) 健康，性格，外表，… ( 模糊 ) • 音乐：优美，舒缓，激昂，雄壮，… • 模糊概念集中于：生物，生命，人文，社会， 艺术，文学，经济，政治，法律，军事，…
若采用普通集合的观点，选取特征函数
1 C A (u ) 0 学习好 A 学习差 A
2015-1-18
此时特征函数分别为(张三)=1，(李四)=1， ( 王五 )=1 。这样就反映不出三者的差异。假 若采用模糊子集的概念，选取 [0 ， 1] 区间上 的隶属度来表示它们属于“学习好”模糊子 集A的程度，就能够反映出三人的差异。
2015-1-18
7）交集
若C为A和B的交集，则
C=A∩B
一般地，
A B A B (u) min( A (u), B (u)) A (u) B (u)
8）模糊运算的基本性质 模糊集合除具有上述基本运算性质 外，还具有下表所示的运算性质。
2015-1-18
运算法则
(4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的 明晰性来表示集合。因为某一集合中的元素要 么属于这个集合，要么就不属于这个集合。
2015-1-18
例1 设集合U由1到5的五个自然数组成，用 上述前三种方法写出该集合的表达式。 解(1)列举法 U={1,2,3,4,5} (2)定义法 U={u|u为自然数且1u5} (3)归纳法 U={ui+1=ui+1, i=1,2,3, 4, u1=1} 特征函数表示法：集合U通过特征函数来 TU(u)表示
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
20
40
60 X Years
80
100
120
图 “年轻”的隶属函数曲线
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模糊集合的表示方法
1、论域U为离散域（即论域U是有限集合）
( i)/ i F= F i 1 例：集合F表示接近于0的整数（已知论域 U={0,1,2,3,4,5}）
2015-1-18
精确性与模糊性关系 – 模糊性是绝对的，广泛存在的 – 精确性是相对的，有条件的
2015-1-18
模糊集理论的提出 模糊量的数学表示？ 描述模糊性的自然语言如何量化？
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§2.2 模糊集合论基础
1.经典集合的定义与运算 集合表示方法：
(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。 (2)定义法：用集合中元素的共性来描述集 合的方法。 (3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的 方法。
2015-1-18
2.模糊集合
模糊集合是模糊控制的数学基础。 1．特征函数和隶属函数
例如：集合 A由4个离散值x1，x2，x3，x4组成。 A={x1,x2,x3,x4} 例如：集合A由0到1之间的连续实数值组成。
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A x, x R,1.0 x 10.0
以上两个集合是完全不模糊的。对任意 元素x，只有两种可能：属于A，不属于 A。这种特性可以用特征函数
3.模糊控制器构造技术 (1)硬件：采用传统的单片机 软件：实现模糊推理和控制 (2)模糊单片机或集成电路芯片 (3)可编程门阵列
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模糊现象
“下雨”是个自然现象，从程度上度量它的时候会出现模糊性， 从“绵绵细雨”到“倾盆大雨”. 人们为了了解、掌握和处理自然现象，在大脑中形成的概念 往往是模糊概念，即这些概念的类属边界是不清晰的. 由此形成 的划分、判断与推理也都具有模糊性. 描述雨下的程度：“小雨”、“中雨”、“大雨”. 人们会 根据雨下的程度推测今年的收成是“好”、“一般”，还是 “坏”。人脑具有很高的模糊划分、模糊判断和模糊推理的能力。 人们为了表达和传递知识而使用的自然语言巧妙地渗透着模糊性， 能用最少的词汇表达尽可能多的信息。
第二章
模糊控制论
主讲人：石庆升
2015-1-18
§2.1 引言 1.模糊控制的发展 以往的各种传统控制方法均是建立在被控
对象精确数学模型基础上的，然而，随着系统
复杂程度的提高，将难以建立系统的精确数学 模型。 在工程实践中，人们发现，一个复杂的控 制系统可由一个操作人员凭着丰富的实践经验
得到满意的控制效果。这说明，如果通过模拟
0 x 25 1 1 Y ( x) x 25 2 25 x 100 1 5
通过Matlab仿真对上述隶属函数作 图，隶属函数曲线如图所示。
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1 0.9 0.8
Degree of membership
1.0 0.9 0.75 0.5 0.2 0.1 F 0 1 2 3 4 5
(1) 扎德表示法
u u
n
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(2)序偶表示法
F ={(u1,(u1)),(u2 , (u2)),…,(un , (un))}
例F ={(0,1.0), (1 ,0.9),(2 ,0.75),(3,0.5),(4 ,0.2), (5 ,0.1) } (3)向量表示法 F ={(u1),(u2),…,(un)} （元素u按次序排 列） 例：F ={1.0 ,0.9, 0.75,0.5,0.2 ,0.1 }
A ( x)
来描述：
1 A ( x) 0
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x A x A
例2：人对温度的感觉(0C ~40C的感觉)：
经典集合：14.99C属于“冷”；15.01 C属于舒适。 与人的感觉一致吗？
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为了表示模糊概念，需要引入模糊集 合和隶属函数的概念： x A 1 A ( x) (0,1) x属于A的程度 0 x A 其中A称为模糊集合，由0,1及 ( x构成， A ) 表示元素 x 属于模糊集合 A 的程度， 取值范围为[0,1]，称 为x属于模糊集 A ( x) 合A的隶属度。
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模糊控制理论具有一些明显的特点： （1）模糊控制不需要被控对象的数学模型。 模糊控制是以人对被控对象的控制经验为 依据而设计的控制器，故无需知道被控对 象的数学模型。 （2）模糊控制是一种反映人类智慧的智能 控制方法。模糊控制采用人类思维中的模 糊量，如“高”、“中”、“低”、 “大”、“小”等，控制量由模糊推理导 出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活 2015-1-18 动的体现。
20世纪 80年代
20世纪 90年代
2015-1-18
2015-1-18
2.模糊控制的特点 模糊控制是建立在人工经验基础之上 的。对于一个熟练的操作人员，他往往凭 借丰富的实践经验，采取适当的对策来巧 妙地控制一个复杂过程。若能将这些熟练 操作员的实践经验加以总结和描述，并用 语言表达出来，就会得到一种定性的、不 精确的控制规则。如果用模糊数学将其定 量化就转化为模糊控制算法，形成模糊控 制理论。
两个模糊集 A 和 B ，若对所有元素 u ， 即
A B A (u ) B (u )
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4）补集 若 A 为A的补集，则
A A (u) 1 A (u)
例如，设 A 为“成绩好”的模糊集， 某学生 u 0 属于“成绩好”的隶属度为：
人脑的思维方法设计控制器，可实现复杂系统 的控制，由此产生了模糊控制。
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模糊控制的发展概况 时间 20世纪 60年代 20世纪 70年代 事件 备注
1965 年美国加利福尼亚大学L.A.zadeh 教授在 标志着模 他《fuzzyset》中首先提出了模糊数学的概念。 糊控制论 随之，模糊控制理论及其应用也迅速发展起来。 的诞生 1974 年，E.H.mamdani 首先用模糊控制语句组 表明模糊 成模糊控制器，对一个试验性的蒸汽机使用了 控制领域 24 条”if a then b then c”形式的语言规则实现了 的潜力 控制。1975-1976 年，荷兰、丹麦等国家在工业 过程中应用了模糊控制，取得了满意的成果。 日本的工程师用模糊控制技术首先控制一家富士 引起了模 电子水净化工厂，又开发了仙台地铁模糊系统， 糊控制领 创造了了当时世界上最先进的地铁系统。 域的一场 巨变 除了以往的的工业控制过程外，各种商业民用场 模糊控制 合也大量采用模糊控制技术，如模糊洗衣机，模 的领域的 糊微波炉，模糊空调等。 更加广泛
A (u 0 ) 0.8
则 u 0 属于“成绩差”的隶属度
A (u 0 ) 1 0.8 0.2
为：
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5）子集
若B为A的子集，则
B A B (u) A (u)
6）并集 若C为A和B的并集，则 C=A∪B 一般地，
A B AB (u) max( A (u), B (u)) A (u) B (u)
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A A ( x) / x
在模糊集合的表达中，符号“ /” 、 “ +” 和“ ∫ ”不代表数学意义上的除号、 加号和积分，它们是模糊集合的一种表 示方式，表示“构成”或“属于”。