模糊控制理论基础(第二章)

2015-1-18
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模糊未必不精确

当我们判断走过来的是谁时，只要把来人的高矮、胖 瘦、走路姿势等，与储存在大脑中的样本进行比较， 就不难得出可靠的结论。 这件事如果让电子计算机来做，那就得测量来人的身 高、体重、手臂摆动的角度、频率、鞋底与地面间的 摩擦力、正压力、速度、加速度等一系列数据，而且 非要精确到小数点后几十位才肯罢休，计算机的过分 精确会在这种场合闹出“翻脸不认人”的笑话。
第二章
模糊控制论
主讲人：石庆升
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§2.1 引言 1.模糊控制的发展 以往的各种传统控制方法均是建立在被控
对象精确数学模型基础上的，然而，随着系统
复杂程度的提高，将难以建立系统的精确数学 模型。 在工程实践中，人们发现，一个复杂的控 制系统可由一个操作人员凭着丰富的实践经验
得到满意的控制效果。这说明，如果通过模拟
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A A ( x) / x
在模糊集合的表达中，符号“ /” 、 “ +” 和“ ∫ ”不代表数学意义上的除号、 加号和积分，它们是模糊集合的一种表 示方式，表示“构成”或“属于”。
模糊集合是以隶属函数来描述的， 隶属度的概念是模糊集合理论的基石。
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例3 设论域U={张三，李四，王五}，评语 为“学习好”。设三个人学习成绩总评分 是张三得95分，李四得90分，王五得85分， 三人都学习好，但又有差异。
（3）模糊控制易于被人们接受。模糊控 制的核心是控制规则，模糊规则是用语言 来表示的，如“今天气温高，则今天天气 暖和”，易于被一般人所接受。 （4）构造容易。模糊控制规则易于软件 实现。 （5）鲁棒性和适应性好。通过专家经验 设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有 效的控制。
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3.模糊集合的运算
（ 1 ）模糊集合的基本运算
由于模糊集是用隶属函数来表征的， 因此两个子集之间的运算实际上就是逐 点对隶属度作相应的运算。
1）空集
模糊集合的空集为普通集，它的隶属 度为0，即
A A (u) 0
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2）全集 模糊集合的全集为普通集，它的隶属度 为1，即 A E A (u ) 1 3）等集
20世纪 80年代
20世纪 90年代
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2.模糊控制的特点 模糊控制是建立在人工经验基础之上 的。对于一个熟练的操作人员，他往往凭 借丰富的实践经验，采取适当的对策来巧 妙地控制一个复杂过程。若能将这些熟练 操作员的实践经验加以总结和描述，并用 语言表达出来，就会得到一种定性的、不 精确的控制规则。如果用模糊数学将其定 量化就转化为模糊控制算法，形成模糊控 制理论。
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模糊控制理论具有一些明显的特点： （1）模糊控制不需要被控对象的数学模型。 模糊控制是以人对被控对象的控制经验为 依据而设计的控制器，故无需知道被控对 象的数学模型。 （2）模糊控制是一种反映人类智慧的智能 控制方法。模糊控制采用人类思维中的模 糊量，如“高”、“中”、“低”、 “大”、“小”等，控制量由模糊推理导 出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活 2015-1-18 动的体现。
1）幂等律
A∪A=A，A∩A=A
2）交换律
A∪B=B∪A，A∩B=B∩A
3）结合律
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
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精确性与模糊性关系 – 模糊性是绝对的，广泛存在的 – 精确性是相对的，有条件的
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模糊集理论的提出 模糊量的数学表示？ 描述模糊性的自然语言如何量化？


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§2.2 模糊集合论基础
1.经典集合的定义与运算 集合表示方法：

(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。 (2)定义法：用集合中元素的共性来描述集 合的方法。 (3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的 方法。
1.0 0.9 0.75 0.5 0.2 0.1 F 0 1 2 3 4 5
(1) 扎德表示法
u u
n
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(2)序偶表示法
F ={(u1,(u1)),(u2 , (u2)),…,(un , (un))}
例F ={(0,1.0), (1 ,0.9),(2 ,0.75),(3,0.5),(4 ,0.2), (5 ,0.1) } (3)向量表示法 F ={(u1),(u2),…,(un)} （元素u按次序排 列） 例：F ={1.0 ,0.9, 0.75,0.5,0.2 ,0.1 }
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7）交集
若C为A和B的交集，则
C=A∩B
一般地，
A B A B (u) min( A (u), B (u)) A (u) B (u)
8）模糊运算的基本性质 模糊集合除具有上述基本运算性质 外，还具有下表所示的运算性质。
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运算法则
人脑的思维方法设计控制器，可实现复杂系统 的控制，由此产生了模糊控制。
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模糊控制的发展概况 时间 20世纪 60年代 20世纪 70年代 事件 备注
1965 年美国加利福尼亚大学L.A.zadeh 教授在 标志着模 他《fuzzyset》中首先提出了模糊数学的概念。 糊控制论 随之，模糊控制理论及其应用也迅速发展起来。 的诞生 1974 年，E.H.mamdani 首先用模糊控制语句组 表明模糊 成模糊控制器，对一个试验性的蒸汽机使用了 控制领域 24 条”if a then b then c”形式的语言规则实现了 的潜力 控制。1975-1976 年，荷兰、丹麦等国家在工业 过程中应用了模糊控制，取得了满意的成果。 日本的工程师用模糊控制技术首先控制一家富士 引起了模 电子水净化工厂，又开发了仙台地铁模糊系统， 糊控制领 创造了了当时世界上最先进的地铁系统。 域的一场 巨变 除了以往的的工业控制过程外，各种商业民用场 模糊控制 合也大量采用模糊控制技术，如模糊洗衣机，模 的领域的 糊微波炉，模糊空调等。 更加广泛
A ( x)
来描述：
1 A ( x) 0
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x A x A

例2：人对温度的感觉(0C ~40C的感觉)：
经典集合：14.99C属于“冷”；15.01 C属于舒适。 与人的感觉一致Βιβλιοθήκη Baidu？
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为了表示模糊概念，需要引入模糊集 合和隶属函数的概念： x A 1 A ( x) (0,1) x属于A的程度 0 x A 其中A称为模糊集合，由0,1及 ( x构成， A ) 表示元素 x 属于模糊集合 A 的程度， 取值范围为[0,1]，称 为x属于模糊集 A ( x) 合A的隶属度。

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模糊概念在自然界和人类社会中是普遍存在的 • • • •
空间：巨大，很大，大，中，小，微小， 时间：长短，很久，最近， … 天气：阴晴，气温高低，风力大小， 人 ：性别，年龄，文化，… ( 清晰 ) 健康，性格，外表，… ( 模糊 ) • 音乐：优美，舒缓，激昂，雄壮，… • 模糊概念集中于：生物，生命，人文，社会， 艺术，文学，经济，政治，法律，军事，…
A (u 0 ) 0.8
则 u 0 属于“成绩差”的隶属度
A (u 0 ) 1 0.8 0.2
为：
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5）子集
若B为A的子集，则
B A B (u) A (u)
6）并集 若C为A和B的并集，则 C=A∪B 一般地，
A B AB (u) max( A (u), B (u)) A (u) B (u)
若采用普通集合的观点，选取特征函数
1 C A (u ) 0 学习好 A 学习差 A
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此时特征函数分别为(张三)=1，(李四)=1， ( 王五 )=1 。这样就反映不出三者的差异。假 若采用模糊子集的概念，选取 [0 ， 1] 区间上 的隶属度来表示它们属于“学习好”模糊子 集A的程度，就能够反映出三人的差异。
(4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的 明晰性来表示集合。因为某一集合中的元素要 么属于这个集合，要么就不属于这个集合。
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例1 设集合U由1到5的五个自然数组成，用 上述前三种方法写出该集合的表达式。 解(1)列举法 U={1,2,3,4,5} (2)定义法 U={u|u为自然数且1u5} (3)归纳法 U={ui+1=ui+1, i=1,2,3, 4, u1=1} 特征函数表示法：集合U通过特征函数来 TU(u)表示
两个模糊集 A 和 B ，若对所有元素 u ， 它们的隶属函数相等，则 A 和 B 也相等。 即
A B A (u ) B (u )
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4）补集 若 A 为A的补集，则
A A (u) 1 A (u)
例如，设 A 为“成绩好”的模糊集， 某学生 u 0 属于“成绩好”的隶属度为：

3.模糊控制器构造技术 (1)硬件：采用传统的单片机 软件：实现模糊推理和控制 (2)模糊单片机或集成电路芯片 (3)可编程门阵列
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模糊现象



“下雨”是个自然现象，从程度上度量它的时候会出现模糊性， 从“绵绵细雨”到“倾盆大雨”. 人们为了了解、掌握和处理自然现象，在大脑中形成的概念 往往是模糊概念，即这些概念的类属边界是不清晰的. 由此形成 的划分、判断与推理也都具有模糊性. 描述雨下的程度：“小雨”、“中雨”、“大雨”. 人们会 根据雨下的程度推测今年的收成是“好”、“一般”，还是 “坏”。人脑具有很高的模糊划分、模糊判断和模糊推理的能力。 人们为了表达和传递知识而使用的自然语言巧妙地渗透着模糊性， 能用最少的词汇表达尽可能多的信息。
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2.模糊集合
模糊集合是模糊控制的数学基础。 1．特征函数和隶属函数
例如：集合 A由4个离散值x1，x2，x3，x4组成。 A={x1,x2,x3,x4} 例如：集合A由0到1之间的连续实数值组成。
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A x, x R,1.0 x 10.0
以上两个集合是完全不模糊的。对任意 元素x，只有两种可能：属于A，不属于 A。这种特性可以用特征函数

1 TU (u) 0
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u U u U
经典集合论中任意一个元素与任意一个集 合之间的关系，只是“属于”或“不属于” 两种，两者必居其一而且只居其一。它描 述的是有明确分界线的元素的组合。 用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。

对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大 小”、“温度的高低”等模糊概念没有明 确的界限。
0 x 25 1 1 Y ( x) x 25 2 25 x 100 1 5
通过Matlab仿真对上述隶属函数作 图，隶属函数曲线如图所示。
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1 0.9 0.8
Degree of membership
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
20
40
60 X Years
80
100
120
图 “年轻”的隶属函数曲线
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模糊集合的表示方法
1、论域U为离散域（即论域U是有限集合）
( i)/ i F= F i 1 例：集合F表示接近于0的整数（已知论域 U={0,1,2,3,4,5}）
采用隶属函数 A ( x) x / 100 ，由三人的 成绩可知三人“学习好”的隶属度为(张 三 )=0.95 ， ( 李 四 )=0.90 ， ( 王 五 )=0.85 。 用 “学习好”这一模糊子集A可表示为：
A {0.95,0.90 ,0.85}
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其含义为张三、李四、王五属于“学习 好”的程度分别是0.95，0.90，0.85。 例4 以年龄为论域，取 X 0,200 。Zadeh给 出了“年轻”的模糊集Y，其隶属函数为