高考数学经典常考题型第99专题 归纳推理与类比推理

第99专题训练 归纳推理与类比推理

一、基础知识: (一)归纳推理:

1、归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理

2、处理归纳推理的常见思路:

(1)利用已知条件,多列出(或计算出)几个例子,以便于寻找规律

(2)在寻找规律的过程中,要注意观察哪些地方是不变的(形成通式的结构),哪些地方是变化的(找到变量),如何变化(变量变化的规律)

(3)由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形,看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型: (1)函数的迭代:设

f

是

D D

→的函数,对任意

x D ∈,记

()()()()()()()()()()()

()0121,,,

n n f x x f x f x f x f f x f x f f x +⎡⎤====⎡⎤⎣⎦⎣⎦,则称函数

()()n f x 为()f x 的n 次迭代；

对于一些特殊的函数解析式,其()

()n f x 通常具备某些特征(特征与n )有关。在处理此类问题时,要注意观察解析式中项的次数,式子结构以及系数的特点,以便于从具体例子中寻找到规律,得到()

()n f

x 的通式

(2)周期性:若寻找的规律呈现周期性,则可利用函数周期性(或数列周期性)的特点求出某项或分组(按周期分组)进行求和。

(3)数列的通项公式(求和公式):从数列所给的条件中,很难利用所学知识进行变形推导,从而可以考虑利用条件先求出几项,然后找到规律,猜出数列的通项公式(求和公式)

(4)数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等),来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”,纵向为“列”,在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示,其中i 代表行,j 代表列。例如:34a 表示第3行第4列。在题目中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的方法通常为先抓住选取数的特点,确定所求数的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项),求出前n 行共含有的项的个数,从而确定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即列。 (二)类比推理:

1、类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理(简称类比)

2、常见的类比类型及处理方法: (1)运算的类比:通常是运算级数相对应: ① 加法↔乘法,

② 数乘(系数与项的乘法)↔指数幂 ③ 减法↔除法

(2)运算律的类比:在数学中的其它领域,如果满足加法,乘法的交换律,以及乘法的分配律,则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。例如 ①在向量数量积的运算中,满足交换律与分配律,则:

代数中的平方差公式:()()22a b a b a b -=+-,和差完全平方公式:()2

22

2a b a ab b ±=±+

均可推广到向量数量积中:()(

)22

a b a b a b -=+-,()

2

22

2a b

a a

b b ±=±⋅+

②在复数的运算中,满足交换律与分配律,则实数中的运算公式可推广到复数中(甚至是二项式定理)

(3)等差数列与等比数列的类比:等差数列的性质通常伴随着一,二级运算(加减,数乘),等比数列的性质通常伴随着二,三级运算(乘除,乘方)。所以在某些性质中体现出运算上的类比。例如:设

{}n a 为等差数列,公差为d ；{}n b 为等比数列,公比为q ,则

① 递推公式:1

1n n n n

b a a d q b ++-=↔

= ② 通项公式:()1

111n n n a a n d b b q

-=+-↔=⋅

③ 双项性质:m n p q m n p q m n p q a a a a m n p q b b b b +=+⇔+=+↔+=+⇔= ④ 等间隔取项,在数列{}n a ,{}n b 中等间隔的取项: 则12,,

,m k k k a a a 成等差数列12,,,

m k k k b b b ↔ 成等比数列

(4)维度的类比:平面几何(二维)的结论与立体几何(三维)的结论进行类比,当维度升高时,涉及的要素也将维度升高,例如:

①位置关系:平面中的线的关系↔空间中的面的关系,线所成的角↔线面角或二面角, ②度量:线段长度↔图形的面积,图形面积↔几何体体积,点到线的距离↔点到平面距离

③衍生图形:内切圆↔内切球,外接圆↔外接球,面对角线↔体对角线

(5)平面坐标与空间坐标的类比:平面直角坐标系坐标(),x y ↔空间直角坐标系坐标(),,x y z ,在有些坐标运算的问题中,只需加上竖坐标的运算即可完成推广,例如: ① 线段中点坐标公式:

平面:设()()1122,,,A x y B x y ,则AB 中点1212,2

2x x y y M ++⎛⎫

⎪⎝⎭

空间:设()()111222,,,,,A x y z B x y z ,则AB 中点121212,,2

22x x y y z z M +++⎛⎫ ⎪⎝⎭

② 两点间距离公式:

平面:设()()1122,,,A x y B x y ,则AB =

空间:设()()111222,,,,,A x y z B x y z ,则AB =3、同一个命题,不同的角度类比得到的结论可能不同,通常类比只是提供一个思路与方向,猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为类比的结论 二、典型例题:

例1:已知()x x f x e

=

,定义()()()()()()'''

1211,,,n n f x f x f x f x f x f x +===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ,经计算()()()123123,,,,x x x x x x

f x f x f x e e e

---=== 照此规律,则()20151f =( )

A. 2015-

B. 2015

C. 2014e

D.2014

e

-

思路:由定义可知:()n f x 即为()1n f x -的导函数,通过所给例子的结果可以推断出

()()

1n

n x x n f x e -=-,从而()20152015x x f x e -=,所以()2015

2014

1f e

= 答案:C

例2:蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图,其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此

规律,第六幅图的蜂巢总数为( ) A.61 B.90 C.91 D.127

思路:从所给图中可发现第n 个图可以视为在前一个图的基

础上,外面围上一个正六边形,且这个正六边形的每条边有n 个小正方形,设第n 个图的蜂巢总