教师版讲义
高中化学选择性必修二教案讲义：原子结构(教师版)
原子结构1、根据构造原理写出1～36号元素原子的电子排布式2、核外电子的运动状态，电子云与原子轨道，基态、激发态和光谱3、泡利原理、洪特规则一、原子结构模型的演变1.1869年，俄国化学家门捷列夫发现了元素周期表2.19世纪初，道尔顿提出了近代原子学说3.1913年，丹麦科学家玻尔提出了氢原子模型4.1920年，丹麦科学家波尔提出了构造原理5.1925年，丹麦科学家波尔的“壳层”落实为“能层”与“能级”厘清了核外电子的可能状态6.1936年，德国科学家马德隆发表了以原子光谱事实为依据的完整的构造理论二、能层与能级1.能层（相当于必修中的电子层）（1）定义：核外电子按能量不同分成能层。
（2）电子的能层由内向外排序，其序号、符号以及所能容纳的最多电子数及能层的能量与能层离原子核距离的关系：能层一二三四五六七符号K L M N O P Q最多电子数281832507298离核远近近远能量高低低高即能层越高，电子的能量越高（3）能层数量规律:①每一层最多容纳的电子数：2n2个。
②最外层电子数不超过8个（K层为最外层时不超过2个）。
③次外层电子数不超过18个，倒数第三层不超过32个。
（4）能层能量规律:①原子核外电子总是尽可能先排布在能量较低的能层上，然后由内向外依次排布在能量逐渐升高的能层。
②能层越高，电子的能量越高。
③能量的高低顺序为E(K)＜E(L)＜E(M)＜E(N)＜E(O)＜E(P)＜E(Q)。
2.能级(1)定义：同一能层的电子，还被分成不同能级。
(2)表示方法：分别用相应能层的序数和字母s、p、d、f等表示。
(3)能级的符号和所能容纳的最多电子数如下表：能层12345能层符号K L M N O 能级1s2s2p3s3p3d4s4p4d4f5s5p……最多电子数226261026101426 281832……2n2(4)能层与能级的有关规律①能级的个数=所在能层的能层序数②能级的字母代号总是以s、p、d、f排序，字母前的数字是它们所处的能层序数，它们可容纳的最多电子数依次为自然数中的奇数序列1,3,5,7…的2倍。
圆与圆有关的位置关系 讲义(教师版)
与圆有关的位置关系1.能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系；2.能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系；3.能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系．1.点与圆的位置关系的判定；2.直线与圆的位置关系的判定.点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：点P在圆内⇔d<r点P在圆上⇔d=r点P在圆外⇔d>r【注意】点与圆的位置关系是由点P到圆心的距离ｄ和圆的半径ｒ的数量关系决定的，在运用这一性质时应注意“形”与“数”之间的转化．2.确定圆的条件：不在同一条直线上的三点确定一个圆．【注意】可以让学生通过作图进行归纳总结“不在同一条直线上的三点确定一个圆”，熟练掌握其方法，经过一点或经过两点作圆，因为圆心不能唯一确定，半径也就不能确定．所以作出的圆都有无限多个．“不在同一直线上的三点确定一个圆”，这个“确定”的含义是“有且只有”．3.外接圆与外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．【注意】要注意的是，锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是三角形斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部，反之成立．例1.矩形ABCD中，AB=8，BC=35，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P 是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A.点B、C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B、C均在圆P内【答案】解：连接PD、PC，⊙AB=8，点P 在边AB 上，且BP=3AP ，⊙AP=2，BP=6 在Rt APD ∆中，7PD ====，⊙⊙P 的半径r=7， 在Rt BPC ∆中，9PC ===⊙PB=6＜r ，PC=9＞r⊙点B 在圆P 内、点C 在圆P 外．故选C ．【解析】此题主要考查判断点与圆的位置关系．需要比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据BP=3AP 和AB=8求得AP 的长，然后利用勾股定理求得圆P 的半径PD 的长，根据点B 、C 到P 点的距离判断点P 与圆的位置关系即可．练习1.如图，在Rt⊙ABC 中⊙ACB=90°，AC=6，AB=10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A.点P 在⊙O 内B.点P 在⊙O 上C.点P 在⊙O 外D.无法确定 【答案】A【解析】解：⊙AC=6，AB=10，CD 是斜边AB 上的中线， ⊙AD=5，OP=2.5，OC=OA=3， ⊙OP ＜OA ，⊙点P 在⊙O 内，故选A ．练习2.如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1， 点A坐标为12⎛ ⎝⎭，则点A 与⊙O的位置关系是（ ）ABA.点A 在⊙O 外B.点A 在⊙O 上C.点A 在⊙O 内D.无法判断【答案】解：⊙点A 坐标为12⎛ ⎝⎭，⊙OA = ⊙点A 在⊙O 上，故选B ．【解析】本题考查点与圆的三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外．根据点与圆的位置关系比较点到圆心的距离与1的大小关系，然后再确定点在圆上、内、外． 练习3.点P 到⊙O 的圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，d 与r 的值是一元二次方程的两个根，则点P 与⊙O 的位置关系为（ ）A.点P 在⊙O 内B.点P 在⊙O 外C.点P 在⊙O 上D.点P 不在⊙O 上 【答案】解：解方程2320x x -+=得：x=1或x=2， ⊙d≠r ，⊙点P 不在⊙O 上， 故选D ．【解析】本题考查了点与圆的位置关系及用因式分解法解一元二次方程的知识，解题的关键是正确地解方程.解方程求得方程的两个根即可得到d 与r 的值，然后做出判断．点与圆心之间的距离d 和该圆的半径r 有三种不同的大小关系，则点与圆也有三种不同的位置关系，所以在判断点与圆的位置关系时，只需要判断点到圆心的距离与半径的大小即可.例2.如图所示，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（-2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）0232=+-xxA.（-1，2）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（2，1）【答案】C【解析】解：如图所示，⊙AW=1，WH=3，=⊙BQ=3，QH=1，=⊙AH=BH同理，AD=BD，所以GH为线段AB的垂直平分线，易得EF为线段AC的垂直平分线，H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，则BH=AH=HC，H为圆心．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（-1，1）．故选C．练习1.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A.点PB.点QC.点RD.点M【答案】B【解析】根据垂径定理的推论，则作弦AB和BC的垂直平分线，交点Q即为圆心．故选B．练习2.如图，小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A.第⊙块B.第⊙块C.第⊙块D.第⊙块【答案】B【解析】解：第⊙块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于圆心，进而可得到半径的长．故选B．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心.例3.下列说法中，正确的有（）①三点可以确定一个圆；⊙ 三角形的外心是三角形三边中线的交点；⊙ 锐角三角形的外心在三角形外；⊙ 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】解：⊙不在同一直线上三点才可以作一个圆，⊙⊙错误；⊙三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，⊙⊙错误；⊙锐角三角形的外心在三角形的内部，⊙⊙错误；⊙三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，⊙根据垂直平分线性质得出三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，⊙⊙正确；故选A．练习1.有如下结论：⊙一个圆只有一个内接三角形；⊙一个三角形只有一个外接圆；⊙直角三角形的外心是它斜边的中点；⊙等边三角形的外心是它角平分线的交点．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】解：一个圆有无数个内接三角形，⊙⊙错误；三角形只有一个外接圆，⊙⊙正确；直角三角形斜边的中点到直角三角形三个顶点的距离相等，是直角三角形的外心，⊙⊙正确；等边三角形具有等腰三角形的三线合一的性质，等边三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也是三条角平分线的交点，⊙⊙正确；故选C．练习2.正三角形的外接圆的半径和高的比为( )A.1⊙2B.2⊙3C.3⊙4D.1⊙3【答案】B【解析】连接OB，AO，延长AO交BC于D，⊙⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙AD⊙BC，⊙OBC=12⊙ABC =12×60°=30°，⊙⊙ADB=90°，⊙OBC=30°，⊙12 OD OB⊙AD=OA+OD，⊙AD=OB+12OB =32OB，即OB：AD =2：3．故选B．练习3.已知：如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，D为CB延长线上一点，⊙AOC=130°，则⊙ABD 的度数为（）A.40°B.50°C.65°D.100°【答案】C【解析】解：在优弧AC上任意找一点E，连接AE、CE，根据圆周角定理得⊙E=65°；⊙四边形ABCE内接于⊙O，⊙⊙ABD=⊙E=65°．故选C不在同一直线上三点才可以作一个圆，在同一直线上三点不能作一个圆，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形的内部.直线与圆的位置关系1.直线与圆的三种位置关系：【注意】判断直线与圆的位置关系时，既可以用直线与圆的公共点个数来判断，也可以用圆心到直线的距离d与r的大小关系来判定．要注意让学生根据不同的条件准确快速地判断直线与圆的位置关系．2.切线的判定方法（1）定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线．（2）数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线（d=r）．（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．例1.已知⊙O 的半径为3cm ，点P 是直线l 上一点，OP 长为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（ ） A.相交 B.相切C.相离D.相交、相切、相离都有可能【答案】D【解析】本题知道⊙O 的半径为3cm ，并知道点P 是直线l 上一点，OP 长为5cm ，并没有告诉圆心到直线l 的距离，且根据已知条件无法确定圆心到直线l 的距离的大小，所以此时要根据直线圆的位置关系的三种情况分别探究是否都有可能.通过具体的数值分析，可知直线l 与圆的位置关系三种都有可能，所以选D.练习1.如图，⊙O 的半径OC=5cm ，直线l ⊥OC ，垂足为H ，且l 交⊙O 于点A 、B 两点，AB=8cm ，则l 沿OC 所在的直线向下平移____cm 时与⊙O 相切.【答案】2【解析】本题是一道判断直线与圆相切有关的问题,涉及到垂径定理、勾股定理以及平移等有关知识的应用.要判断直线l 沿OC 的方向平移多少cm 时与⊙O 相切，只要求到CH 的长度即可.因为CH=OC -OH ，所以只要求到OH 就可解决问题. 解：连接OA ，在Rt⊙AOH 中，因为0A=5cm ，AH=4cm ， 所以OH=3452222=-=-AH OA cm.所以CH=OC -OH=2cm.即l 沿OC 所在的直线向下平移2cm 时与⊙O 相切.练习2.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，⊙AOD=30°，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6cm ．如果⊙P 以1cm/s 的速度沿由A 向B 的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P 与直线CD 相切． A ．4B ．8C ．4或6D ．4或8【解析】本题是一道设计比较新颖的题目，要判断几秒种后⊙P与直线CD相切，则需要计算出当P与直线CD相切时，圆心P移动的距离，如图，在移动的过程中，P与直线CD相切有两种情况，如图，当圆心运动到P1、P2的位置时与直线CD相切，只要求到PP1，PP2长度即可.解：当圆心移动到P1、P2的位置时，设P1与直线CD切于E点，则P1E=1，因为⊙POD=30°，所以OP1=2，所以PP1=6-2=4，同样可求PP2=8cm，所以经过4秒或8秒钟后⊙P与直线CD 相切.故选D.练习3.如图，⊙ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE 为直径的圆与BC的位置关系（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定【答案】A【解析】解：过点A作AM⊙BC于点M，交DE于点N，⊙AM·BC=AC·AB，⊙AM=4.8⊙D、E分别是AC、AB的中点，⊙DE⊙BC，DE=12BC=5⊙AN=MN=12AM，⊙MN=2.4，⊙以DE为直径的圆半径为2.5⊙r=2.5＞2.4，⊙以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．故选A练习4.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=x与⊙O的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.以上三种情况都有可能 【答案】B【解析】解：⊙令x=0，则y=令y=0，则， ⊙A(0，，,0)，⊙⊙AOB 是等腰直角三角形， ⊙AB=2，过点O 作OD⊙AB ，则OD=BD=1 ⊙直线y=x与⊙O 相切．故选B判断直线与圆的位置关系时，既可以用直线与圆的公共点个数来判断，也可以用圆心到直线的距离d 与r 的大小关系来判定．例2.如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，⊙ADE = 60°，⊙C = 30°．判断直线CD是否为⊙O 的切线，并说明理由．【答案】解：连接OD ，如图，⊙⊙ADE=60°，⊙C=30°， ⊙⊙A=⊙ADE -⊙C=60°-30°=30°， 又⊙OD=OA ，⊙⊙ODA=⊙A=30°， ⊙⊙EDO=90°，⊙OD 为⊙O 的半径，⊙CD 是⊙O 的切线【解析】本题考查圆切线的判定方法：若直线与圆有唯一交点，则此直线是圆的切线；若圆心到直线的距离等于圆的半径，则此直线是圆的切线；经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和该点，证明该连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径，由题可知直线CD 与圆有公共点，故直接连接OD 证明OD⊙CD 即可．练习1.已知：如图，O 为ABC ∆的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D ．求证： 直线DA 为⊙O 的切线．【答案】解：连接OA ，⊙BC 为⊙O 的直径，BA 平分⊙CBF ，AD⊙BF ，⊙⊙ADB=⊙BAC=90°，⊙DBA=⊙CBA；⊙⊙OAC=⊙OCA，⊙⊙DAO=⊙DAB+⊙BAO=⊙BAO+⊙OAC=90°，⊙OA为⊙O半径，⊙DA为⊙O的切线．【解析】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．练习2.已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足⊙D=⊙ACB.判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【答案】直线BD与⊙O相切．证明：如图，连接OB．⊙⊙OCB=⊙CBD+⊙D，⊙1=⊙D，⊙⊙2=⊙CBD，⊙AB⊙OC，⊙⊙2=⊙A，⊙⊙A=⊙CBD．⊙OB=OC，⊙⊙BOC+2⊙3=180°．⊙⊙BOC=2⊙A，⊙⊙A+⊙3=90°．⊙⊙CBD+⊙3=90°．⊙⊙OBD=90°．⊙OB为⊙O半径，⊙直线BD与⊙O相切．【解析】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．练习3.如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO，求证：BD是⊙O的切线．【答案】连接BO，⊙AB=AD，⊙⊙D=⊙ABD⊙AB=AO，⊙⊙ABO=⊙AOB又在⊙OBD中，⊙D+⊙DOB+⊙ABO+⊙ABD=180°，⊙⊙OBD=90°，即BD⊙BO⊙OB为⊙O半径，⊙BD是⊙O的切线．练习4.已知：如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊙DC，交DC的延长线于点E，且AC平分⊙EAB．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若⊙ADC=30°，AC=6，求BC的长．【答案】（1）连接OC，则⊙CAO=⊙ACO．⊙AC平分⊙EAB，⊙⊙EAC=⊙CAO．⊙⊙EAC=⊙ACO ．⊙AE⊙OC ． ⊙⊙DCO=⊙E=90°，即DE⊙OC ． ⊙OC 为半径，⊙DE 是⊙O 的切线． （2）⊙⊙ADC=30°，⊙⊙EAD=60°， ⊙⊙BAC=12⊙EAD=30°， ⊙AB 是⊙O 的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙BC=【解析】本题考查了切线的判定与性质；证明某一直线是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一直线来判定切线．（1）应用判定定理判定圆的切线时，必须先弄清“题设”中的两个条件：一是经过半径的外端，二是垂直于这条半径，这两者缺一不可；（2）切线的判定定理中，只有证明是切线后，这个交点才能称为切点；（3）证明切线常见题型：⊙已知交点：连半径、证垂直；⊙交点未知：作垂直、证半径．例3.等腰⊙ABC 中，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点G ，过点D 作⊙O 的切线交AB 于点E ，交AC 的延长线与点F ．求证：EF⊙AB ．【答案】解：连接OD ，⊙OC=OD ，⊙⊙ODC=⊙OCD ，又⊙AB=AC，⊙⊙OCD=⊙B，⊙⊙ODC=⊙B，⊙OD⊙AB，⊙ED是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，⊙OD⊙EF，⊙AB⊙EF ．练习1.如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B 作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．（1）求⊙AEC的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形．【答案】解：（1）在⊙AOC中，AC=2，⊙AO=OC=2，⊙⊙AOC是等边三角形，⊙⊙AOC=60°，⊙⊙AEC=30°；（2）⊙OC⊙l，BD⊙l．⊙OC⊙BD．⊙⊙ABD=⊙AOC=60°．⊙AB为⊙O的直径，⊙⊙AEB=90°，⊙⊙AEB为直角三角形，⊙EAB=30°．⊙⊙EAB=⊙AEC．⊙CE⊙OB，又⊙CO⊙EB，⊙四边形OBEC为平行四边形．又⊙OB=OC=2．⊙四边形OBEC是菱形．归纳切线的性质：(1)切线和圆有唯一公共点（切线的定义）；(2)圆心到直线的距离等于圆的半径（判定方法(2)的逆命题）；(3)切线垂直于过切点的半径（切线的性质定理）；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点（推论1）；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心（推论2）．例4.如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为（）A．5B．6C．√30D．112【答案】B【解析】解：连接OM、ON，⊙四边形ABCD是正方形，⊙AD=AB=11，⊙A=90°，⊙圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，⊙⊙OMA=⊙ONA=90°=⊙A，⊙OM=ON，⊙四边形ANOM是正方形，⊙AM=OM=5，DE与圆O相切于E点，圆O的半径为5，⊙AM=5，DM=DE，⊙DE=11﹣5=6，故选B．练习1.如图，在Rt⊙AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．【答案】2【解析】解：连接OP、OQ．⊙PQ 是⊙O 的切线，⊙OQ⊙PQ ； 根据勾股定理知PQ 2=OP 2﹣OQ 2， ⊙当PO⊙AB 时，线段PQ 最短， ⊙在Rt⊙AOB 中，OA=OB=3， ⊙AB=OA=6，⊙OP==3， ⊙PQ===2．故答案为：2．练习2.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得⊙APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点. 已知点D （21，），E （0，-2），F （32，0） （1）当⊙O 的半径为1时，⊙在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是__________；⊙过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使⊙GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围.【答案】(1) ⊙；⊙；(2)21E D 、30≤≤m 1≥r【解析】(1) ⊙；⊙由题意可知，若点要刚好是圆的关联点；需要点到圆的两条切线和之间所夹的角度为； 由图可知，则，连接，则rBC CPBBCPC 22sin ==∠=； ⊙若点为圆C 的关联点；则需点P 到圆心的距离d 满足r d 20≤≤； 由上述证明可知，考虑临界位置的P 点，如图2；点P 到原点的距离212=⨯=OP ；过作轴的垂线，垂足为，； ⊙，⊙； ⊙，⊙； 易得点与点重合，过作轴于点； 易得，⊙；从而若点为圆的关联点，则点必在线段上，⊙；E D 、P C P C PA PB ︒601︒=∠60APB ︒=∠30CPB 图1CBAPBC PO x OH H 3232tan ===∠OG OF OGF ︒=∠60OGF 360sin =︒⋅=OG OH 23sin ==∠OP OH OPH ︒=∠60OPH 1P G 2P x M P ⊥2M ︒=∠302OM P 330cos 2=︒⋅=OP OM P O P 21P P 30≤≤m(2) 若线段上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小， 则这个圆的圆心应在线段的中点； 考虑临界情况，如图3；即恰好点为圆的关联时，则； ⊙此时；故若线段上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径的取值范围为.利用直线与圆相切的性质可以处理一些较综合的问题，其中相切的性质可以为解题提供垂直的条件.圆与圆的位置关系1.圆和圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含2.设两圆圆心距为d ，两圆半径分别为R ，r （R>r ）由圆和圆的位置关系及圆心距d 与R ，r （R>r ）之间的关系得： 两圆外离d R r ⇔>+； 两圆外切d R r ⇔=+；EF EFF E 、K2212===EF KN KF 1=r EF r 1≥r两圆相交R r d R r ⇔-<<+；两圆内切d R r ⇔=-；两圆内含0d R r ⇔≤<-3.相交两圆性质定理: 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦．4.相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．例1.两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）A.内切B.相交C.外切D.外离【答案】B【解析】解：根据题意得R+r=5+3=8，R -r=5-3=2，圆心距=7，⊙2＜7＜8，⊙两圆相交．故选B ．练习1.已知⊙O 1与⊙O 2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距12O O 可能是（ ）A.2B.3C.6D.12【答案】C【解析】解：两圆半径之差为3，半径之和为11，两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，所以，3＜12O O ＜11．符合条件的数只有C ．故选C ．练习2.已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程2430x x -+=的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ）A 、外离B 、外切C 、相交D 、内切【答案】B【解析】解：⊙2430x x -+=，⊙（x -3）（x -1）=0，解得：x=3或x=1，⊙⊙O 1与⊙O 2的半径12,r r 分别是方程2430x x -+=的两实根，⊙124r r +=，⊙⊙O 1与⊙O 2的圆心距d=4，⊙⊙O 1与⊙O 2的位置关系是外切．故选B ．练习3.若两个圆相切于A 点，它们的半径分别为10cm 、4cm ，则这两个圆的圆心距为( )A ．14cmB ．6cmC ．14cm 或6cmD ．8cm【答案】C 【解析】解：⊙两圆半径分别为10cm 、4cm ，⊙若这两个圆外切，则圆心距为：10+4=14（cm ），若这两个圆内切，则圆心距为：10-4=6（cm ），⊙这两个圆的圆心距为14cm 或6cm ．故选C ．练习4.定圆O 的半径是4cm ，动圆P 的半径是2cm ，动圆在直线l 上移动，当两圆相切时，OP 的值是（ ）A.2cm 或6cmB.2cmC.4cmD.6cm【答案】A【解析】解：设定圆O 的半径为R=4cm ，动圆P 的半径为r=2cm ，分两种情况考虑： 当两圆外切时，圆心距OP=R+r=4+2=6cm ；当两圆内切时，圆心距OP=R -r=4-2=2cm ，综上，OP 的值为2cm 或6cm ．故选A由圆和圆的位置关系及圆心距d 与R ，r （R>r ）之间的关系得：两圆外离d R r ⇔>+； 两圆外切d R r ⇔=+；两圆相交R r d R r ⇔-<<+；两圆内切d R r ⇔=-；两圆内含0d R r ⇔≤<-.例2.已知：如图，⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，若⊙O 1的半径r 1=2cm ，⊙O 2的半径r 2=3cm ．求BC 的长．【答案】解：连接O 1B ，O 2C ，O 1O 2，过点O 1作O 1D⊙O 2C 于D ，⊙直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，⊙O 1B⊙BC ，O 2C⊙BC ，⊙四边形O 1BCD 是矩形，⊙CD=O 1B=r 1=2cm ，BC=O 1D ，⊙O 2D=O 2C -CD=3-2=1（cm ），⊙⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，在Rt⊙O 2DO 1中，O 2O 1=r 1+r 2=2+3=5（cm ），⊙O 1D=cm ，⊙BC=cm ．【解析】此题考查两圆相切的性质、切线的性质、矩形的判定与性质．难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握相切两圆的性质．练习1.如图为某机械的截面图，相切的两圆⊙O 1，⊙O 2均与⊙O 的弧AB 相切，且O 1O 2⊙l 1（l 1为水平线），⊙O 1，⊙O 2的半径均为30mm ，弧AB 的最低点到l 1的距离为30mm ，公切线l 2与l 1间的距离为100mm ．则⊙O 的半径为（ ）A.70mmB.80mmC.85mmD.100mm【答案】B【解析】解：如图，设⊙O 的半径为Rmm ，依题意，得CE=100-30=70（mm ），⊙l 2⊙O 1O 2，⊙CD=O 1D=30（mm ），DE=CE -CD=70-30=40（mm ），OD=OE -DE=R -40（mm ），在Rt⊙OO 1D 中，O 1O=R -30（mm ），O 1D=30mm ，由勾股定理，得O 1D 2+OD 2=O 1O 2，即302+（R -40）2 =（R -30）2，解得R=80mm ．故选B 练习2.如图，⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3两两相切,AB 为⊙O 1，⊙O 2的公切线，AB 为半圆，且分别与三圆各切于一点．若⊙O 1，⊙O 2的半径均为1，则⊙O 3的半径为（ ）A.1B.121 1 【答案】C 【解析】解：如图，分别作三个圆心到AB 的垂线，垂足分别点E 、D 、F ，⊙O 1与⊙O 2的半径相等且相切于S ，则O 3D 过点S ，且点D 是半圆AB 的圆心，延长DS 交圆D 于点W ，则WD 是半圆AB 的半径．EFO 2O 1是矩形，SDEO 1是正方形，DQ=DW=SD+O 3S+O 3W设圆O 3的半径为R ，由勾股定理得O 3DO 1-1．故选C ．两圆相切有两种情况：内切和外切，注意在处理两圆相切问题时需要分类讨论.例3.已知：如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过A 点的割线分别交两圆于C ，D ，弦CE⊙DB ，连接EB ，试判断EB 与⊙O 2的位置关系，并证明你的结论．【答案】解：过B 作⊙O 2的直径BH ，连接AH ，AB ，⊙BH 是⊙O 2的直径，⊙⊙BAH=90°，⊙CE⊙DB ，⊙⊙ACE=⊙D⊙⊙H=⊙D ，⊙ACE=⊙ABE ，⊙⊙H=⊙ABE⊙⊙H+⊙ABH=90°，⊙⊙ABH+⊙ABE=90°⊙⊙EBH=90°， 又⊙O 2B 为半径，⊙EB 是⊙O 2的切线．【解析】此题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是根据题意作出辅助线，再根据在同圆中等弧所对的圆周角相等和三角形的内角和等于180°进行解答．练习1.已知：相交两圆的公共弦的长为6cm ，两圆的半径分别为cm 23，cm 5，求这两个圆的圆心距．【答案】解：当公共弦在圆心的同侧时如图，AB=6cm ，O 1A=5cm ，O 2A=⊙公共弦长为6cm ，⊙AC=3cm ，AC⊙O 1O 2，⊙O 1C=4cm ，O 2C=3cm ，⊙当公共弦在两个圆心之间时，圆心距=4+3=7cm ；当公共弦在圆心的同侧时，圆心距=4-3=1cm ．则这两个圆的圆心距是7cm 或1cm ．【解析】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理．注意此题应考虑两种情况是解题关键．先根据勾股定理，得圆心距的两部分分别是4cm，3cm，然后根据两圆的位置关系确定圆心距．练习2.已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D．（1）如图，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立？证明你的结论；（2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径．【答案】解：（1）EA=ED成立．证明：连接AB，在EA延长线上取点F；⊙AE是⊙O1的切线，切点为A，⊙⊙FAC=⊙ABC，⊙⊙FAC=⊙DAE（对顶角），⊙⊙ABC=⊙DAE，而⊙ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角，⊙⊙ABC=⊙D，⊙⊙DAE=⊙D，⊙EA=ED；（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以，直线CA与⊙O2相切，直径为4．两圆相交的重点是对相交弦的处理.。
初中物理讲义 力的初步认识 教师版
第一讲力的初步认识◆力的基本概念1．力的定义及特点：力：物体对物体的作用.一般用符号F表示力，力的国际单位是：牛顿（N），测量力的大小的工具是弹簧测力计．力的特点：（1）普遍性所有物体每时每刻都在与其他物体发生相互作用即力的作用，没有不发生力的作用的物体．例如地球上的所有物体受到地球的吸引力，太阳系中的所有物体受到太阳的吸引力等等．（2）物体性力一定发生在物体与物体之间，离开了物体力是不能存在的．一个物体如果受到了力的作用，一定有别的物体对它施加这种作用．这两个物体一个称为受力物体，另外一个称为施力物体．施力物体和受力物体一定同时存在．（3）相互性力的作用是相互的，一个物体对另一个物体施力的同时也受到另一个物体对它的作用力．一个物体既是施力物体又是受力物体．例如人推墙的同时墙也以相同大小的力在推人；用手提水桶时会感觉到桶在往下拉手．力是成对存在的．两个物体相互作用的一对力叫做作用力与反作用力，它们大小相等方向相反，作用在一条直线上，作用在两个不同的物体上.2．力的作用效果：（1）力可以改变物体的形状用手拉弹簧使弹簧变长，用橡皮泥可捏成各种动物等（2）力可以改变物体的运动状态物体运动状态的改变：一是指物体运动速度大小发生了改变，物体从快到慢、从慢到快、从静止到运动和从运动到静止都是速度大小在改变；二是指运动方向发生了改变；如左转弯、右转弯等．（3）一个物体只要发生了运动状态的改变或形状改变，这个物体一定受到力的作用，而一个物体受到力的作用，则物体要么改变了形状，要么改变了运动状态，要么两者都发生了改变．注意：一个物体只要发生了运动状态的改变或形状改变，这个物体一定受到力的作用一个物体受到力的作用，则物体要么改变了形状，要么改变了运动状态，要么两者都发生了改变3．力的三要素及力的表示方法：（1）影响力的作用效果有三个要素：力的大小、方向和作用点（2）力的图示：找出力的作用点，规定一个单位长度，箭头的方向是力的方向，箭头或箭尾是力的作用点，同一个图上直线越长，表示力越大．如用15N的力拉小车，力的图示如左图所示：（3）力的示意图：直接用带箭头的直线表示物体受力情况，如图所示．【例1】 关于力，下列说法中错误的是（ ）A ．一个物体也会产生力的作用B ．发生力的作用时，施力物体和受力物体是成对出现的C ．马拉车前进，马对车有作用力，车对马也有作用力D ．运动员奋力将铅球推出后，铅球不再受到运动员的推力【答案】 A【例2】 端午节赛龙舟是我国民间传统习俗．小丽和她的同学一起在公园人工湖上举行龙舟比赛，使龙舟向前行驶的力的施力物体是（ ）A ．船浆B ．湖水C ．同学D ．龙舟【答案】B【例3】 说明在下列情况中，哪两个物体间发生了相互作用，谁是施力物体？谁是受力物体？（1）手用力提起书包． （2）人踢足球时． （3）石块从空中下落．【答案】 （1）是手和书包之间发生相互作用，对书包来说，手是施力物体，书包是受力物体；对于手来说，书包是施力物体，手是受力物体.（2）人踢足球时，是人和足球之间发生了力的作用．对球来说，人是施力物体，球是受力物体；对人来说，球是施力物体，人是受力物体．（3）是石块和地球之间发生了相互作用．对石块来说，地球是施力物体，石块是受力物体，对地球来说，石块是施力物体，地球是受力物体.【例4】 （多选）下图中的情景表示了力的作用效果，其中图_______主要表示力能使物体的运动状态发生改变；图_________主要表示力能使物体发生形变．（选填：“A”、“B”、“C”或“D”）【答案】 A D ；BC【例5】 下列物体运动状态没有发生改变的是（ ）A ．汽车启动时，从静止变为运动B. 在竖直方向匀速上升的气球C ．在草地上滚动的足球D. 汽车在盘山公路上匀速行驶【答案】 B【例6】 （多选）关于力、运动和力的关系，下列说法中正确的是（ ）A ．施力物体同时一定要受到力的作用B ．两个不接触的物体之间一定没有力的作用C ．物体不受力，运动状态一定不改变D ．物体运动状态不变，一定没有受到力的作用【答案】 A C 跳板在人的压力下变弯 人用力将足球踢出 磁铁将小铁球吸引过来A B C D【例7】画出下列各力的示意图．（1）起重机用8000N的力吊起重物；（2）小车受到一个与地面成30°角，大小为30N的斜向上的拉力．【答案】如图所示．◆重力1．重力产生的原因宇宙间任何物体，大到天体，小到灰尘之间都存在互相的吸引力，这就是万有引力定律．地球上的物体也受到地球对它的吸引力，由于地球的吸引而使物体受到的力，叫做重力；用G表示．注意：物体的重力是由于地球对它的引力产生的，但是物体的重力并不等于地球对它的吸引力．2．重力的大小重力的大小与质量的大小成正比，重力与质量的比值大约是9.8N/kg，用g表示这个比值，则重力的大小可以写成G mg=，在要求不很精确的情况下，g可取10N/kg．3．重力的方向重力的方向不是垂直向下而是竖直向下．利用这一性质，建筑工人常用悬挂重物的方法来检查墙壁是否垂直．注意垂直与竖直的区别：选定某个平面为标准，与该平面成直角的是垂直方向；以水平面为标准，与它垂直的是竖直方向．由此可见，在同一地点，竖直总是具有确定的方向，而垂直所说的方向总跟所选定的平面有关．重力的方向总是竖直向下的，不能把竖直方向说成垂直方向．4．重力的作用点地球吸引物体的每一部分，但对整个物体，重力作用的表现就好像它作用在物体的一个点上，这个点叫做物体的重心．重力的作用点是重心，对于质量均匀形状规则的物体，重力的重心在物体的几何中心．例如圆形物体的重心就在圆心处．在作重力的图示时，力的作用点应画在物体的重心上．（左图为卡车的重心，右图为几种质地均匀、外形规则物体的重心）注意：（1）生活中我们说的物体的重量指的是物体的质量，物理学中说的物体重多少指物体受到的重力．【例8】 下列有关重力的说法中，正确的是（ ）A ．只有跟地面接触的物体才受到重力的作用B ．只有静止在地面上的物体才受到重力的作用C ．只有运动的物体才受到重力的作用D ．地面附近的物体都受到重力的作用【答案】 D【例9】 下列说法正确的是（ ）A ． “G =mg ”表明：物体受到的重力跟它的质量成正比B ． “m =G /g ”表明：物体的质量跟它的重力成正比C ． “g =G /m ”表明：g 值大小等于物体受的重力跟它质量的比值，且是一个恒定的值D ．上述说法都正确【答案】 A当物体位置改变时质量不变，但是重力大小在地球上和在月球上是不同的．∵物体在月球上的重力为地球上的16， ∴物体在地球上的重力98N 6588N G =⨯=物体在地球上的质量为588N 60kg 9.8N/kg G m g === 【例10】 一个物体在月球上受到月球吸引力为98N ，问：（1）它在地球上受到的重力？（2）它在地球上和月球上的质量分别是多少？（物体在月球上的重力为地球上的16，g 取9.8N/kg ）【答案】 588N 60kg【例11】 请你在图中画出足球被运动员踢出后受力的示意图（不计空气阻力）．【答案】 如右图所示．◆弹力1．弹力的定义：有些物体在受到力的时候会发生形变，不受力时又会恢复原来的形状（例如：把橡皮筋拉长，松手后，橡皮筋会恢复到原来的长度．风将树枝吹弯，风停后树枝将恢复原来的形状），物体的这种特性叫做弹性．而有的物体在变形后不能自动恢复原状（例如：橡皮泥），物体的这种特性叫做塑性．我们将在外力停止作用后，能够恢复原状的形变叫做弹性形变． 当物体发生弹性形变的时候，会产生阻碍发生形变的力（例如：在拉伸弹簧的时候，会感觉到弹簧对手有拉力的作用），这种力就叫做弹力．弹力是由于物体发生了弹性形变而产生的．通常所说的拉力、压力、支持力等，其实质就是弹力．2．影响弹力大小的因素弹力的大小与发生形变的程度有关，还与物体自身的性质有关．同一物体发生的弹性形变越大，产生的弹力也就越大．3．弹簧测力计弹簧是生活中常见的用来提供弹力的物体，它的弹力与伸长（或压缩）的长度成正比．利用这一性质，人们制成了弹簧测力计，其构造如图．弹簧的弹性有一定的限度，超过这一限度，弹簧将不能恢复到原来的长度，其弹力与伸长（或压缩）长度的正比关系也不再满足，这个限度就叫做弹簧的弹性限度．所以在使用弹簧测力计的时候一定不能超过它的弹性限度．使用弹簧测力计时要注意以下几点：（1）使用前要看清弹簧测力计的量程、零刻线和最小分度值．看清量程，也就是看清它的测量范围，使用时加在弹簧测力计上的力不能超过它的量程，否则将可能超过弹簧的弹性限度，损坏弹簧测力计．看清零刻线处，是看弹簧测力计在不受拉力时，指针是否对准零刻线处，若没对准，应当调节，使指针回到零刻线处．认清弹簧测力计刻度，确定每大格、∵质量不随位置的改变而改变 ，∴该物体在月球上的质量也为60kg ．每小格表示多大力，以便测量时迅速准确地读数．（2）测量时，弹簧测力计的轴线应与所测力的方向一致，避免由于弹簧伸缩时与外壳摩擦而造成较大的测量误差，弹簧测力计使用时应先将挂钩拉伸几下，检查摩擦情况．（3）弹簧测力计可以向任意方向拉伸，不一定局限于竖直位置．（4）读数时要在指针稳定时读出，视线应正对指针且应与弹簧测力计的刻度板垂直．【例12】（多选）下列关于弹力的说法中正确的是（）A．只要物体发生了形变就会产生弹力B．产生弹力的物体一定发生了形变C．物体重力越大，弹力就越大D．相互接触的物体间不一定产生弹力【答案】B D【例13】有人认为使用弹簧测力计必须注意以下几点，你认为其中哪一点是不正确的（）A．使用前必须检查零点是否准确B．弹簧测力计必须是竖直放置，不能倾斜C．避免弹簧、指针、挂钩与外壳摩擦D．拉力不能超过弹簧测力计刻度的最大值【答案】B【例14】如图所示，一同学实验时在弹簧测力计的两侧沿水平方向各加6牛拉力，并使其保持静止，此时弹簧测力计的示数为（）A．0牛B．3牛C．6牛D．12牛【答案】C◆合力1．合力的概念：我们知道，一个桶可以两个人提也可以一个人提，产生的效果都是一样的．物理学上如果一个力产生的效果跟几个力共同作用产生的效果相同，这个力就叫做那几个力的合力．如果一个力产生的效果跟两个力共同作用产生的效果相同，这个力叫做那两个力的合力．提示：合力与分力的作用效果一定相同.2．同一直线上的合力：同一直线上的两个力，当它们方向相同时，合力的大小等于两个力之和，方向与这两个力相同；当它们方向相反时，合力的大小等于这两个力之差，方向与较大的那个力方向相同．提示：一直线上两个力合力的计算方法：同向相加，异向相减.【例15】用250N的力竖直向上提起200N的油桶，油桶受到合力的大小和方向是（）A．50N，竖直向上B．50N，竖直向下C．450N，竖直向下D．450N，竖直向上【答案】A．【例16】作用在同一物体上的两个力，F l=20N，F2=30N，它们作用在同一直线上，则其合力可能是（）A．大小为50N，方向与F1 的方向相反B．大小为50N，方向与F2 的方向相反C．大小为10N，方向与F1 的方向相同D．大小为10N，方向与F2 的方向相同【答案】DD【例18】 力1F 和2F 是同一直线上的两个力，它们的合力大小为30N ，方向向左．已知1F 的大小为10N ，关于2F 的大小和方向，下列说法中正确的是（ ）A ．2F 的大小一定是40NB ．2F 的大小一定是20NC ．2F 的方向一定向左D ．2F 的方向可能向左，也可能向右【答案】 C【例19】 质量为200g 的球，竖直向上抛出，上升和下降过程中受到空气阻力都是0.2N ，求该球上升和下降过程中受到的合力大小及方向．（取9.8N/kg g =）【答案】 球上升时受竖直向下的重力0.2kg 9.8N/kg 1.96N G mg ==⨯=上升时受到向下的阻力为0.2N ，合力为 1.96N 0.2N 2.16N F G f =+=+=合球下降时重力不变，但空气阻力向上，合力为 1.96N 0.2N 1.76N F G f =−=−=合练习巩固【练1】 关于力的知识，下列说法中错误的是（ ）A ．小孩推墙时，他也受到了墙的推力B ．用力握橡皮球，球变瘪了，表明力可以改变物体的形状C ．足球运动员踢球时，球由静止变为运动，表明力可以改变物体运动状态D ．只有直接接触的物体之间，才能发生力的作用【答案】 D【练2】 用手拍桌面，手会感到疼，这说明物体间力的作用是 的．用力捏一下空易拉罐，易拉罐变扁了，这说明力可以使物体发生【答案】 相互 形变【练3】 如图所示，其中与其它三个力所产生的作用效果不同的是（ ）【答案】 D【例17】 F 为1F 和2F 的合力，则可以肯定的是（ ）A ．1F 、2F 和F 是同一施力物体产生的力B ．1F 、2F 和F 是同时作用在物体上的力C ．F 的大小一定等于1F 与2F 的大小之和D ．F 的作用效果一定与1F 、2F 共同作用的效果相同【练4】 下列说法中正确的是（ ）A ．因为力是物体对物体的作用，所以只有相互接触的物体之间才会产生力B ．起重机吊着货物上升，起重机对货物有拉力，但货物对起重机没有拉力C ．物体与地球之间的作用是相互的，物体在受到重力的同时，也对地球施加了力D ．打网球时，网拍击球，网拍受力的作用发生形变，而网球却没有发生变化【答案】 C【练5】 用天平和弹簧秤测力计称量同一物体，在地球和月球上称量的结果（ ）A ．天平的称量结果相同，弹簧测力计的称量结果不同B ．天平的称量结果不同，弹簧测力计的称量结果相同C ．天平和弹簧测力计的称量结果都相同D ．天平和弹簧测力计的称量结果都不同【答案】 A【练6】 力1F 和2F 是同一直线上的两个力，它们的合力大小为30N ，方向向左．已知1F 的大小为40N ，关于2F 的大小和方向，下列说法中正确的是（ ）A ．2F 的大小一定是70NB ．2F 的大小一定是10NC ．2F 的方向一定向左D ．2F 的方向可能向左，也可能向右【答案】 D【练7】 用100N 的力竖直向上提起300N 的油桶，油桶受到合力的大小是（ ）A ．100NB ．400NC ．200ND ．0N【答案】 D。
高中数学复数讲义.教师版
知识内容一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于，即；1-21i =-（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系:i 就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i ．1-21x =-21x =-（4）i 的周期性：， ， ， ．41n i i +=421n i +=-43n i i +=-41n i =2．数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数3．复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做i()a b a b +∈R ，a b 复数集，用字母表示C 4．复数的代数形式:通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．z ()z a bi a b R =+∈，a bi +5．复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：0对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数()a bi a b R +∈，0b =()a bi a b R +∈，a 0b ≠叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数z a bi =+0a =0b ≠z bi =0a b ==z 0复数h i n6．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C ÜÜÜÜ7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，a ， ，，那么，a b d ，，c d ∈R i ia b c d +=+⇔a c =b d =二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横i()z a b a b =+∈R ，()a b ，Z 坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来a b i()z a b a b =+∈R ，()Z a b ，表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表x y 示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是()00，表示是实数．00i 0z =+=除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数复平面内的点z a bi =+←−−−→一一对应()Z a b ，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数与的和的定义：1z 2z 12z z +=()()i i a b c d +++=()()ia cb d +++2．复数与的差的定义：1z 2z 12z z -=()()i i a b c d +-+=()()ia cb d -+-3．复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4．复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++5．乘法运算规则：设，(、、、)是任意两个复数，1i z a b =+2i z c d =+a b c d ∈R 那么它们的积()()()()12i i izz a b c dac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与2i 1-虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z =（2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()1231213z z z z z z z +=+7．复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：()()()i i i c d x y a b ++=+x yi +x y ∈R a bi +c di +或者()()a bi c di +÷+a bi c di++8．除法运算规则：设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，i a b +a b ∈R i c d +c d ∈R i x y +x y ∈R 即∵()(i)i i a b c d x y +÷+=+()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++∴()()i icx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知解这个方程组，得cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adic d c d +-=+++②利用于是将的分母有理化得：()()22i i c d c d c d +-=+iia b c d ++原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+．222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d++-+-==++++∴(()(i)i a b c d +÷+=2222iac bd bc adc d c d +-+++点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，它们之积i c d +i c d --为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分1()()22c di c di c d +-=+母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
平行四边形的性质和判定讲义(教师版)
平行四边形的性质和判定【知识梳理】一、什么是平行四边形？两组对边分别平行的四边形就是平行四边形．如图四边形ABCD ，AB CD AD BC ∥，∥，四边形ABCD 就是平行四边形二、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对称性平行四边形是中心对称图形平行四边形的周长与面积周长：邻边之和的2倍面积：底乘高（常利用面积相等来求线段的长）三、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形四、三角形中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边长的一半判定：点E 是三角形ABC △的中点，且DE BC ∥，则点D 为AB 中点【诊断自测】1．下列说法错误的是（）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．3．四边形ABCD中，AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，当AD=cm时，四边形ABCD 是平行四边形．4．如图所示，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有个平行四边形．【考点突破】类型一：平行四边形的性质例1、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13B．17C．20D．26答案：B解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．故选：B．例2、如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为．答案：50°．解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠BEF=90°﹣40°=50°．故答案是：50°．例3、如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是．答案：1＜a＜7．解析：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=4，OD=BD=3，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．即1＜a＜7；故答案为：1＜a＜7．例4、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．类型二:平行四边形的判定例5、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A 出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2s D．1s答案：B解析：设运动时间为t秒，则CP=12﹣3t，BQ=t，根据题意得到12﹣3t=t，解得：t=3，故选B．例6、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①∠ABC=∠ADC，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC，其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）A．4组B．3组C．2组D．1组答案：B解析：如图，①∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∵∠ABC=∠ADC，∴∠BAD=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形；②∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；③∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形；④∵AB∥CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．∴其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有3组．故选B．例7、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．例8、如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）选取①②，∵在△BEO和△DFO中，∴△BEO≌△DFO（ASA）；（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，∴EO=FO，BO=DO，∵AE=CF，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形．类型三：平行四边形的性质和判定例9、如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．答案：见解析解析：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．例10、如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴CM∥AN，AM∥CN，∴四边形AMCN是平行四边形．（2）∵四边形AMCN是平行四边形，∴CM=AN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，在△MDE和△NBF中，，∴△MDE≌△NBF，∴ME=NF=3，在Rt△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，∴DM===5，∴BN=DM=5．例11、如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．答案：见解析解析：证明：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．类型三：中位线定理例12、如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE答案：B解析：∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∵，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故选B．例13、如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．答案：见解析解析：证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵BM=CM．EM∥CG，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．【易错精选】1．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°2．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2B．3C．4D．63．已知：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（0，﹣1）．点D在坐标平面内，且以A、B、C、D四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的D点有个．4．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当=时，四边形ADFE是平行四边形．【精华提炼】一、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形是中心对称图形二、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形【本节训练】训练【1】如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC ⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm训练【2】已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=DCB．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE训练【3】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC 为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是．训练【4】在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于．基础巩固一．填空题1．如图，△ABC的面积为12cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE 的面积为cm2．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是cm．3．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是．4．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．5．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为cm．二、选择题1．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）A．5B．7C．9D．112．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm3．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD的面积是（）A．30B．36C．54D．724．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE 的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m5．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分∠BAD，交BC于点M，点E，F分别是AB，CD的中点，DM与EF交于点N，则NF的长等于（）A．0.5B．1C．D．2三、简答题1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=2DE，连接CF．判断四边形BCFE的形状，并证明．2．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB=12，AC=20．（1）求证：BD=DE；（2）求DM的长．巅峰突破1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．3．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，AH⊥CD于H，M为AD的中点，MN ∥AB，连接NH，如果∠D=68°，则∠CHN=．4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF 分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．参考答案【诊断自测】1、D解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；故选：D．2、解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．3、5．解：当AD=5cm时，四边形ABCD是平行四边形，∵AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，AD=5cm，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：5．4、3个.解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有▱ADFE、▱BFED、▱CFDE三个．故答案为：3个【易错精选】1、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．2、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．3、3解：如图，D点共有3个，故答案为：3．4、．解：当=时，四边形ADFE是平行四边形．理由：∵=，∴∠CAB=30°，∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为：．【本节训练】1、B解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．2、D解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选：D．3、4解：∵四边形ADCE是平行四边形，∴BC∥AE，∴当DE⊥BC时，DE最短，此时∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=4，∴DE的最小值为4．故答案为4．4、2解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠DAE，∵平行四边形ABCD的周长是16，∴AB+BC=8，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴BC=5，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2；故答案为：2．基础巩固一、填空题1、解：∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE是三角形的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△ABC的面积为12cm2，∴△ADE的面积为3cm2，∴梯形DBCE的面积=12﹣3=9cm2，故答案为：9．2、解：∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案为5．3、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=3，∴CE==2，∴AB=，故答案为：．4、解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为．5、解：∵EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，∴BC=2EF，AB=2AE，AC=2AF，∴BC+AB+AC=2（EF+AE+AF）=12（cm）．故答案为：12．二、选择题1、解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．故选B．2、解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．3、解：作DE∥AM，交BC的延长线于E，则ADEM是平行四边形，∴DE=AM=9，ME=AD=10，又由题意可得，BM=BC=AD=5，则BE=15，在△BDE中，∵BD2+DE2=144+81=225=BE2，∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，过D作DF⊥BE于F，则DF==，∴S▱ABCD=BC•FD=10×=72．故选D．4、解：∵D，E为AC和BC的中点，∴AB=2DE=2200m，故选：B．5、解：过点M作MG∥AB交AD于点G，∵AD∥BC，AB∥MG，∴四边形ABMG是平行四边形，∴∠AGM=∠ABM．∵AM平分∠BAD，∴∠GAM=∠MAB，∴∠AMB=∠AMG．在△AGM与△ABM中，，∴△AGM≌△ABM，∴AB=AG=3，∴四边形ABMG是菱形，∴MC=5﹣3=2．∵EF∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，∴NF是△DCM的中位线，∴NF=MC=1．故选B．三、简答题1、证明：连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC边中点，∴DE∥BC，DE=BC，同理：FG∥BC，FG=BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG．2、（1）证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAE∵AD⊥BD∴∠ADB=∠ADE=90°在△ADB与△ADE中∴△ADB≌△ADE∴BD=DE（2）∵△ADB≌△ADE∴AE=AB=12∴EC=AC﹣AE=8∵M是BC的中点，BD=DEDM=EC=4巅峰突破1、解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．2．解：∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．故答案为14．3．解：连接MH，∵AH⊥CD于H，M为AD的中点，∴MH=AD=DM，∴∠D=∠MHD=68°，∵MN∥AB，∴∠NMH=∠MHD=68°，又∵MN=AB=AD，∴MN=MH，∴∠MHN=（180°﹣68°）÷2=56°，∴∠CHN=180°﹣∠DHM﹣∠MHN=56°．故答案为：56°4．解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形∴DQ=CP当P从B运动到C时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=21﹣2t∴16﹣t=21﹣2t解得t=5当P从C运动到B时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=2t﹣21∴16﹣t=2t﹣21，解得t=，∴当t=5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，即解得t=9（秒）若点P返回时，CP=2（t﹣），则解得t=15（秒）．故当t=9或15秒时，以C ，D ，Q ，P 为顶点的梯形面积等60cm 2；（3）当PQ=PD 时作PH ⊥AD 于H ，则HQ=HD∵QH=HD=QD=（16﹣t ）由AH=BP 得解得秒；当PQ=QD 时QH=AH ﹣AQ=BP ﹣AQ=2t ﹣t=t ，QD=16﹣t ，∵QD 2=PQ 2=t 2+122∴（16﹣t ）2=122+t 2解得（秒）；当QD=PD 时DH=AD ﹣AH=AD ﹣BP=16﹣2t ，∵QD 2=PD 2=PH 2+HD 2=122+（16﹣2t ）2∴（16﹣t ）2=122+（16﹣2t ）2即3t 2﹣32t+144=0∵△＜0，∴方程无实根，当点P 从C 向B 运动时，观察图象可知，只有PQ=PD ，由题意：2t ﹣26=（16﹣t ），t=．综上可知，当秒或秒或秒时，△PQD是等腰三角形．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB=OD，∵DG=BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．第３１／３１页。
7.5正态分布(教师版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选择性必修三
正态分布一正态曲线及其性质1．我们称f(x)＝()2221e2xμσσ--π，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．2．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．3．若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.4．正态曲线的特点：(1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．(2)定值性：曲线与x轴之间的面积为1.(3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．(4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π.(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．(6)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.(7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．二利用正态分布的性质求概率正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3.三正态分布的应用解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．考点一 正态分布的特征【例1】(1)(2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末(理))若随机变量()23,X N σ，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于( )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3(2)(2021·黄石市有色第一中学高二期末)设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】(1)A(2)B【解析】(1)由于随机变量()23,X N σ，则()()15P X P X <=>， 因此，()()()()151********.20.6P X P X P X P X ≤≤=-<->=->=-⨯=.故选：A.(2)∵随机变量ξ服从正态分布N(4，3)，∵P(ξ＜a ﹣5)=P(ξ＞a+1)，∴x=a ﹣5与x=a+1关于x=4对称，∴a ﹣5+a+1=8，∴2a=12，∴a=6，故选:B ．【练1】(2021·江苏常州市·高三期末)设随机变量(),1N ξμ，函数()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则()01P ξ<≤=( )附：若()2,N ξμσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈.A ．0.1587B ．0.1359C ．0.2718D ．0.3413【答案】B 【解析】函数()22f x x x ξ=+-没有零点，∴二次方程220x x ξ+-=无实根，44()0ξ∴∆=--<，1ξ∴<-， 又()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，(1)0.5P ξ∴<-=，由正态曲线的对称性知：1μ=-，()1,1N ξ∴-，1,1μσ∴=-=，2,0,23,21μσμσμσμσ∴-=-+=-=-+=，(20)0.6826P ξ∴-<<=，(31)0.9544P ξ-<<=，[][]11(01)(31)(20)0.95440.68260.135922P P P ξξξ∴<≤=-<<--<<=-=， 故选：B.考点二 正态分布的实际应用【例2】(2021·安徽池州市)2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率Z 服从正态分布()2,N μσ.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记X 表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于3μσ-的数量.(1)求()1P X ≥的概率；(2)求X 的数学期望()E X ；(3)一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率Z 小于3μσ-的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？附：若随机变量()2,Z N μσ~，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=，()330.9974P Z μσμσ-<≤+=，100.99870.9871≈.【答案】(1)0.0129；(2)0.013；(3)这种监控生产过程的方法合理.【解析】(1)抽取口罩中过滤率在(]3,3μσμσ-+内的概率()330.9974P Z μσμσ-<≤+=，所以()10.997430.00132P Z μσ-≤-==， 所以()310.00130.9987P Z μσ>-=-=，故()()1011010.998710.98710.0129P X P X ≥=-==-=-=(2)由题意可知()~10,0.0013X B ，所以()100.00130.013E X =⨯=.(3)如果按照正常状态生产，由(1)中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于3μσ-的概率()10.997430.00132P Z μσ-≤-==，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于3μσ-的概率()0.11029P X ≥=，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理.【练2】(2020·全国高三专题练习)标准的医用外科口罩分三层，外层有防水作用，可防止飞来进入口罩里面，中间层有过滤作用，对于直径小于5微米的颗粒阻隔率必须大于90%，近口鼻的内层可以吸湿，根据国家质量监督检验标准，过滤率是重要的参考标准，为了监控某条口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个口罩，并检验过滤率.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的口罩的过滤率z 服从正态分布()2,N μσ.(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的10个口罩中过滤率小于3μσ-的数量，求()1P X ≥及X 的数学期望；(2)下面是检验员在一天内抽取的10个口罩的过滤率： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.9376 0.9121 0.9424 0.9572 0.9518 0.9058 0.9216 0.9171 0.9635 0.9268经计算得：10110.933510i i x x ===∑，()102110.018910i i s x x ==-≈∑(其中i x 为抽取的第i 个口罩的过滤率)用样本平均数x 作为μ的估计值，用样本标准差s 作为σ的估计值，利用该正态分布，求().09524P z ≥(精确到0.001)(附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则①() 0.6826P X μμσσ-<<+=；②()220.9544P X μσμσ-<<+=；③()330.9974P X μσμσ-<<+=；另：100.99870.9871≈)【答案】(1)()0.11029P X ≥=，()0.013E X =；(2)0.1587.【解析】(1)已知检验率服从正态分布()2,N μσ，则事件()10.997430.00132P X μσ-<-== 当生产状态正常时，重复不放回的取10个口罩属于独立重复事件，10n =，0.0013p =，故有：().1000013003.1E X np ==⨯=，而()()()100010101101110.99870.0129P X P X C p p ≥=-==--=-=. (2)由题意知：由平均数近似估计μ，则有()()10.68260.95240.15872P z P z x s -≥=≥+==. 考点三 正态分布与其他知识的综合运用【例3】(2021·内蒙古赤峰市)疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试(百分制)活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别是30、33、35、38、38；而产生的10个高分成绩分别是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100．(1)为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布()2,N μσ(μ和2σ分别为样本平均数和方差)，则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为210，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．(参考数据：21014.5≈)规定：若()220.9544P X μσμσ-<<+>，()330.9974P X μσμσ-<<+>，则称变量X “近似满足正态分布()2,N μσ的概率分布”． (2)学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得50元奖金的概率是34，获得100元的概率是14．现在从这10个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为Y ，求Y 的分布列和数学期望．【答案】(1)该校的疫情防控是有效的，理由见解析；(2)分布列见解析，87.5.【解析】(1)据该校的疫情防控是有效的，理由如下： 21014.5≈，265214.536μσ∴-=-⨯=，265214.594μσ+=+⨯=， 365314.521.5μσ-=-⨯=，365314.5108.5μσ+=+⨯=，得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，()72210.9650.9544200P X μσμσ∴-<<+=-=>， 学生的得分都在[]30,100间，()3310.9974P X μσμσ∴-<<+=>． ∴学生得分近似满足正态分布()65,210N 的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的；(2)设这名同学获得的奖金为Y ，则Y 的可能值为50、100、150、200，()6395010420P Y ==⨯=，()2614331001041048P Y ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭， ()124313*********P Y C ==⨯⨯⨯=，()241120010440P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 故Y 的分布列为： Y 50 100 150 200 P 920 38 320 140()93315010015020087.52082040E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【练3】(2021·江西南昌市)2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作[20,40)、9:40~10:00记作[40,60)，10:00~10:20记作[60,80)，10:20~10:40记作[80,100)，例如：10点04分，记作时刻64.(Ⅰ)估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(Ⅱ)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列；(Ⅲ)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T 服从正态分布()2~,N μσ，其中μ可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，2σ用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数(结果保留到整数).附：若随机变量T 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P T μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P T μσμσ-<≤+=，(33)0.9973P T μσμσ-<≤+=.【答案】(Ⅰ)10:04；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)819.【解析】(Ⅰ)这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：(300.005500.015700.020900.010)2064⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，即10∶04(Ⅱ)由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，60这一区间内的车辆数，即(0.0050.015)20104+⨯⨯=，所以X 的可能的取值为0，1，2，3，4.所以()464101014C P X C ===，()31644108121C C P X C ===，()2264410327C C P X C ===， ()136********C C P X C ===，()4441014210C P X C ===. 所以X 的分布列为： X0 1 2 3 4 P 114 821 37 435 1210 (Ⅲ)由(1)得64μ=，22222(3064)0.1(5064)0.3(7064)0.4(9064)0.2324σ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=车辆 所以18σ=，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在46，100通过的车辆数，由()2~64,18T N ，得()(22)(641864218)0.818622P T P T P T μσμσμσμσ-<≤+-<≤+-≤≤+⨯=+=，所以估计在在9:46~10:40之间通过的车辆数为10000.8186819⨯≈.课后练习1.（2020高二上·天津期末）在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布(100,σ2)(σ>0)，若ξ在(85,115)内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（）A.0.25B.0.1C.0.125D.0.5【答案】C【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】由题意得，区间(85,115)关于μ=100对称，=0.125，所以P(ξ≥115)=1−P(85<ξ<115)2即该生成绩高于115的概率为0.125．故答案为：C．【分析】根据题意由正态分布表曲线的对称性即可得出该生成绩高于115的概率。
初中物理讲义 电荷电流电路2 教师版
第二讲电流电流表1．电流强度（1）电流强度的定义同样的灯泡在不同的电路中有亮有暗，说明电流是有大小的．我们定义电流的大小用电流强度来表示，简称电流，用符号I表示．生活中我们有这样的经验，打开水龙头，若单位时间内放出的水多（即单位时间流过水管横截面积的水量多），那么就说水流很大，同样我们也可以这样来定义电流的强度，即单位时间内流过导体横截面积的电荷量为电流强度．（2）电流强度的计算式QIt=式中，Q为时间t内流过导体的电荷量．（3）电流强度的单位电流的单位是安培，简称安，符号是A．其实安培是一个很大的单位，通常我们用的电流都很小，所以经常还用到毫安（mA）、微安（μA）等单位．其换算关系如下：1A=1000mA，1mA=1000μA 注意正确理解电流强度、电荷量、时间三者的关系：①在通电时间一定的情况下：通过导体横截面积的电荷量越多，电流就越大；电流越大，通过导体横截面积的电荷量也越大．②在通过电荷量一定的情况下：通电时间越少，电流越大；电流越大，通电时间越少．③在电流一定情况下：通过的电荷量越多，所用时间越长；所用时间越长，通过的电荷量就越大．2．电流表（1）认识电流表电流是看不见摸不着的，我们无法直接观测电流，但是电流会产生各种各样的效应，比如说使电灯发光、使电动机转动等等，因此，我们可以通过电流产生的效应来直接观测电流的大小．电流表就是利用电流的效应来测量电流的大小的仪器．从外观上看电流表由以下几个部分组成（以学生用电流表为例）①标记：表盘上有大写英文字母A，表示以安培为单位的电流表．②标尺：标尺分两行，上行刻度量程是0～3A，最小刻度是0.1 A，下行刻度量程是0～0.6 A，最小刻度是0.02 A．③接线柱：三个接线柱分别有“＋”“0.6”和“3”标记，其中“＋”接线柱是公共端．或者三个接线柱是分别标有“—”“0.6”和“3”标记，其中“—”接线柱是公共端．④调零器，表盘下有个螺旋，用螺旋刀旋转它可以调整指针的位置，测量前指针应指到零，在电路中我们用表示电流表．（2）电流表的使用．在使用电流表时一定要注意以下几点：①使用前一定要调零②电流表在电路中可以将它看作一个导线，接入电路的时候必须与被测电路串联，如果并联的话就会使被测电路短路，测量出来的就不是实际的用电器的电流，而且电流表也可能因为电流过大而损坏．③必须使电流从电流表的正接线柱流入，负接线柱流出．如果接反，电流表的指针将会反向偏转，不仅无法读数还会损坏电流表．④通过电流表的电流不能超过电流表的量程，如果超过电流表的量程有可能使电流表的指针碰弯，甚至烧坏电流表．在实际使用的时候如果能够估计电流的大小，则可以直接选择合适的量程，选择量程的的时候，要在电流不超过电流表量程的前提下尽量选择较小的量程，这样可以提高测量的精确度．如果电流的大小无法估计则采用“试触法”，即将电路其他部分连接好，闭合开关，先用导线去试触电流表的大量程，若指针偏转超过最大量程，则应该换更大的电流表；若指针偏转小于大量程，大于小量程，则就选用大量程；若指针偏转小于小量程则换用更小量程．⑤电流表无论在什么情况下都不能直接连接在电源的两极．因为电流表相当于一个导线，直接连接在电源两极会发生短路，烧坏电源和电流表．（3）电流表的读数在读电流表的读数的时候一般按照以下步骤进行： ①确定电流表使用的量程．②确定电流表的最小刻度，也就是电流表表盘上每一小格代表多大电流．一般对于学生用电流表来说，如果选用0~3A 的量程，则每个小格代表0.1A ；如果选用0~0.6A 量程，那么每一个小格代表0.02A ．（从上面的最小刻度可以看出，越小的量程测量的精确度越高，这正是我们为什么要尽可能地选小量程的原因）．③通电后，观测指针偏转的格数，读出电流的大小．【例1】 在如图所示的四位科学家中，以其名字命名电流单位的是（ ）【答案】 C【例2】 通过一盏电灯的电流为500mA ，在2min 内通过电灯的电荷量是 C ；通过电灯的自由电子数是 个． 【答案】 60 203.7510⨯计算通过电灯的电荷量只要使用电流计算公式QI t=即可，但须注意公式中的I Q t 、、的单位必须为国际单位A C S 、、，即350010A Q It −==⨯⨯260s 60C ⨯=金属导体导电时，定向移动的是电子，根据自由电子所带的电荷量为191.610C −⨯，就可以求出通过电灯的自由电子的个数 203.7510⨯（个）．【例3】 使用电流表的规则是：①电流表要 联在电路中；②必须使电流从 流进电流表；从流出来；③被测电流不要超过电流表的 ；④绝对不允许不经过 而把电流表直接连到 上；⑤在不能预先估算电流情况下，要先拿电路的一个线头迅速试触 量程的接线柱，如果指在较小的范围内，再用 的量程，这样可以避免【答案】串“+”接线柱“−”接线柱量程用电器电源两极最大较小因电流过大损坏电流表【例4】小明在做实验时，误将电流表两接线柱接反了，这样做的后果是．【答案】电流表指针反向偏转，损坏电流表【例5】某同学用电流表测电流时，刚“试触”就发现电流表的指针迅速摆动到最大刻度，发生这种情况的原因可能是（）A．电流表的正、负接线柱接反了B．电路某处有断路C．线路接错，某处发生了短路D．条件不足，无法判断【答案】C【例6】下图是一个电流表的示意图，图中所示电流的大小是．【答案】0.46A【例7】用电流表测通过灯泡L2的电流，在下图中正确的是（）【答案】B【例8】 如图所示的电路图中，哪种接法是会烧坏电流表的错误接法（ ）A B C【答案】 A【例9】 如图所示的正确电路中，“○”中有一个是电流表，另三个是用电器，下面四种说法中正确的是（ ）A ．abc 为用电器，d 是电流表B ．acd 为用电器，b 是电流表C ．bcd 为用电器，a 是电流表D ．abd 为用电器，c 是电流表 【答案】 B1．串联电路的电流特点：串联电路中，电流处处相等，数学表达式：12n I I I I ====2．并联电路的电流特点：并联电路中，干路电流等于各支路电流的和，数学表达式：123n I I I I I =++++【例10】 有一段粗细不均匀的导线，A 、B 处横截面积不同，B 、C 两处横截面积相同，如图所示，设通过三处横截面的电流分别为A B C I I I 、、当电流恒定时（ ）A ．CB A I I I >> B ．C B A I I I == C ．C B A I I I =>D ．无法判断【答案】 B【例11】 在“探究串联电路中的电流”实验中，某同学用电流表分别测出图中a 、b 、c 三处的电流大小，并初步得到它们之间关系的结论．为了进一步探究它们之间的关系，下一步他的操作是（ ） A ．将电源两极对调，再次测量a 、b 、c 三处的电流 B ．改变开关S 的位置，再次测量a 、b 、c 三处的电流C ．将图中两只灯泡位置对调，再次测量a 、b 、c 三处的电流D ．换用不同规格的灯泡，再次测量a 、b 、c 三处的电流 【答案】 D【例12】 有三只电流表接在电路中的情况如图所示，如果通过电流表A 1的电流是I 1，通过电流表A 2的电流是I 2，通过电流表A 3的电流是I 3，则三个电流的大小比较是 ．【答案】 I 1＞I 2＞I 3【例13】 小红将电流表A 1、A 2如图甲所示串联接在电路中，两表指针示数分别如图乙所示，已知其中量程较大的电流表满刻度值为3A ，则另一电流表满刻度值为______A ，电路中电流为_____A ．【答案】 0.6 0.5【例14】 如图所示的电路中通过灯1L 的电流是0.2A ，通过灯2L 的电流是300mA ，则安培表A 的示数是_______A ，安培表1A 的示数是_______A ．【答案】 0.50.3【例15】 如图所示，a 接电源正极，b 接电源负极，通过电阻1R 的电流I 1=0.5A ，通过电阻2R 的电流I 2=1A ，通过电阻3R 电流I 3=2A ，试问，电流表A 1和A 2的读数各为多大？【答案】 3A 1.5A 采用“电流法”，设电流由a 流向b ，由a 端开始电流先分成两部分，一部分流过A 1一部分流过R 1，流过A 1的电流又分成两部分分别流过R 2、R 3，所以A 1的读数等于233A I I +=，流过R 1、R 2的电流随后又汇集到一起流过A 2，所以流过A 2的电流等于12 1.5A I I +=．练习题【练1】 关于电流，下列说法中正确的是（ ）A ．通过导体横截面的电荷量越多，电流一定越大B ．通电时间越长，电流一定越小C ．导体粗的地方通过的电流比导体细的地方通过的电流小D ．通过导体横截面的电荷量一定时，通电时间越长，电流越小【答案】 D【练2】 在20s 内通过某导体横截面的电荷是40C ，则通过该导体的电流是_________A ． 【答案】 2【练3】 如图所示为用电流表测量通过灯L 1的电流的电路图，其中电路连接正确的是（ ）【答案】 D【练4】 在实验室，小丽同学发现一个电压表有两个量程，大量程是0～9 V ，小量程模糊不清．为了测量小量程是多少，她先用大量程接入电路，指针位置如图（a ）所示，然后再改用小量程接入同一如电路，指针指示图（b ）所示，则电压表的小量程为（ ）A ．0～0.6 VB ．0～1 VC ．0～2 VD ．0~3V 【答案】 D【练5】 如图所示，闭合开关S ，电流表1A 的示数为1.4A ，电流表2A 的示数为0.5A ，则通过灯1L 的电流为______A 。
初中物理讲义 力和运动 教师版
第二讲力和运动◆平衡态1．物体平衡状态：若物体处于静止状态或者做匀速直线运动状态，我们把物体这种状态称为平衡状态．理解：（1）从平衡状态的定义中，我们可以得到，物体静止或处于匀速直线运动是该物体平衡的标志；（2）处于平衡状态的物体：从力的角度来说，其合力必为零；即：物体所受的所有向左的力等于物体所受的所有向右的力，F向左=F向右物体所受的所有向上的力等物物体所受的所有向下的力，F向上=F向下特别提示：静止指的是物体速度为零，且保持一段时间；若只是物体速度为零，不一定是平衡状态，比如，把一个物体向上抛起，在最高点的瞬间，物体速度为零，但不是静止状态，物体是不平衡的．2．二力平衡：物体在受到两个力作用时，如果能保持静止状态或匀速直线运动状态，则物体处于平衡状态．此时使物体处于平衡状态的两个力叫做平衡力．3．二力平衡的条件：两个力作用在同一物体上，大小相等，方向相反，作用在同一直线上．4．平衡力与相互作用力的区别：（1）作用力和反作用力是同时产生、同时消失的，而一对平衡力却不具有这样的特点．（2）作用力和反作用力一定是性质相同的两个力．如作用力是弹力，反作用力一定也是弹力；作用力是摩擦力，反作用力一定也是摩擦力等等．而平衡力的性质可能相同，也可能不同．比如天花板下用轻绳吊着一个重球，重球受向上的力是拉力即弹力，而向下的力是重力，是一种场力，这一对平衡力显然是不同性质的力．（3）作用力和反作用力是分别作用在两个不同物体上的一对力，而一对平衡力却是作用在同一物体上的两个力．【例1】如下图所示，哪个物体受到的两个力是彼此平衡的?（）【答案】B【例2】下列说法中，属于一对平衡力的是（）A．人推墙的力和墙对人的推力B．人推墙的力和墙受到的推力C．站在水平地面上的人，人受到的重力和人对地面的压力D．站在水平地面上的人，人受到的重力和地面对人的支持力【答案】D【例3】一个人用30N的力沿水平方向推一个重500N的小车在水平地面上匀速前进，在这个过程中（）A．小车受到的阻力是500N B．小车对地面的压力是30NC．地面对小车的支持力是30N D．地面对小车的支持力是500N 【答案】D【例4】如图所示，一木块放在水平面上，在水平方向施加外力F＝110N，F＝2N，木块处于静止状态．若撤去外力F1，则木2块受到的阻力大小为N．【答案】2【例5】铁块质量为7.8kg，重为＿＿＿＿N，放在水平地面上，当受到竖直向上的拉力大小为49N，铁块受到竖直方向上的合力大小＿＿＿＿N．（g取10N/kg）【答案】780【例6】物重200N放在水平桌面上，给物体的向上拉力分别为50N、100N、150N、200N、250N时物体所受合外力分别为多少？【答案】0N；0N；0N；0N；50N◆摩擦力自行车在水平道路上滑行，无论路面多么光滑，总会逐渐变慢，最后停止下来，这是自行车受到摩擦力的缘故．手在桌面上滑过，会感觉桌面在摩擦手．1．摩擦力的定义和分类：（1）两个相互接触的物体，当它们发生或将要发生相对运动时，在接触面上会产生阻碍相对运动或相对运动趋势的力，这种力叫做摩擦力．（2）摩擦力可分为滑动摩擦力和静摩擦力．滑动摩擦力：一个物体在另一个物体表面上滑动时所受到的阻碍物体相对运动的力．静摩擦力：两个相对静止的物体之间有相对运动趋势时，物体受到的摩擦力叫做静摩擦力．2．摩擦力产生的条件：（1）两个物体之间必须接触且有挤压作用（2）两个物体的接触面粗糙（3）必须有相对运动趋势或已发生相对运动这三个条件缺一不可．例如：推动放在桌面上的铅笔盒，由于铅笔盒有重力，有向地面掉落的趋势，但桌面却又支持着铅笔盒不让它掉落，它们间就互相挤压，因此推动铅笔盒时，铅笔盒与桌面间就发生了摩擦．如果把铅笔盒与桌子放到宇宙飞船中，使之处于“失重状态”，这时铅笔盒与桌面之间虽互相接触，但不再互相挤压，沿桌面推动铅笔盒也不会发生摩擦，就没有摩擦力存在．世界上的万事万物之间充满了摩擦，摩擦无处不在，无时不有，没有摩擦的世界是难以想象的：手不能拿东西；坐在椅子上的人，稍微一动，便会从椅子上滑下来；铁钉会从桌子中滑出来；街上的行人无法行走．3．影响滑动摩擦力大小的因素：（1）滑动摩擦力的大小跟压力的大小和接触面的粗糙程度有关．压力相同时，接触面越粗糙，摩擦力越大（图甲丙）；接触面粗糙程度相同时，压力越大，摩擦力越大．（图甲乙）（2）滑动摩擦力总是阻碍相互接触的物体间的相对运动，所以它的方向与相对运动的方向相反．4．增大有益摩擦和减小有害摩擦的方法：（1）增大方法：增大压力、增加接触面的粗糙程度、变滚动为滑动．（2）减小方法：减小压力、加润滑油、减小接触面的粗糙程度、变滑动为滚动（在其他条件相同的情况下，滚动摩擦约是滑动摩擦的11~2030）．【例7】下面关于摩擦的说法，正确的是（）A．轴承里加润滑油可消除摩擦B．用滚动代替滑动可大大减小摩擦C．鞋底上的花纹是为了防止摩擦D．如果路面无摩擦，车辆将行驶得更快【答案】B【例8】在用下列笔写字时，笔尖与纸之间的摩擦属于滚动摩擦的是（）A．圆珠笔B．毛笔C．铅笔D．钢笔【答案】A【例9】以下说法正确的是（）A．减小物体间的接触面积，可以减小滑动摩擦力B．减小物体的滑行速度，可以减小滑动摩擦力C．两个相互接触的物体之间一定存在摩擦力D．摩擦力的方向可能与物体的运动方向相同【答案】D【例10】（多选）对于摩擦力的方向，下列叙述中不正确的是（）A．总是与物体运动方向相反B．总是与物体运动方向相同C．总是阻碍物体运动D．总是阻碍相互接触的物体间的相对运动或相对运动趋势【答案】A BC【例11】某同学在水平路面上向东行走，则路面对该同学的摩擦力方向是，与的方向相反．【答案】向东脚运动趋势【例12】如图，一传送带静止，上面放有小木块，当传送带突然向右运动时，小木块也随之运动，画出木块受力的示意图【答案】见上面右图【例13】如图所示，用6N的力握住总重为1.5N的水杯静止不动，若将手的握力增大到8N，手与水杯之间摩擦力的大小将________（填“变大”“变小”或“不变”）．若将水杯总重增加到2N，水杯仍然静止不动，则手与水杯之间摩擦力的大小为__________N．【答案】不变 2【例14】如下图甲所示，同种材料制成的木块A和B叠放在水平桌面上，在12N的水平推力F1作用下，A、B一起作匀速直线运动，此时木块A所受的摩擦力为N；若将A、B紧靠着放在水平桌面上，如下图乙用水平力F2推A使它们一起匀速运动，则推力F2＝N．【答案】12 12◆牛顿第一定律牛顿第一定律和惯性行驶中的汽车刹车时，乘客身体会前倾．常用的锤头松了，把它在凳子上敲几下就好了，这是怎么回事呢？学习了牛顿第一定律和惯性的知识就可以解答这些疑难了……1．牛顿第一定律为什么运动的物体能停下来？如果物体不受力它会怎样呢？一切物体在没有受到力的作用时，总是保持静止或匀速直线运动状态．这就是牛顿第一定律．由于宇宙中不可能有不受力的作用的物体，所以牛顿第一定律不可能从实验中直接得出，也不可能由实验直接检验．实际上牛顿第一定律的得出是对大量实验事实进行分析、推理得出的，而对定律的检验也是通过检验其推论来进行的．从牛顿第一定律我们可以看出，保持原有运动状态是物体本身的性质，力并不是保持运动状态的原因．定律中的“保持静止状态或匀速直线运动状态”，说的是：当物体不受外力时，原来静止的物体将永远保持静止状态，原来运动的物体将永远保持匀速直线运动状态．由于物体在某个时刻只能处于一种运动状态，因而不能将定律中的“或”误写成“和”字．2．惯性（1）牛顿第一定律告诉我们，物体有保持原有运动状态的特性，我们把物体保持运动状态不变的性质叫做惯性．因此牛顿第一定律又叫做惯性定律．（2）一切物体在任何时候、任何运动状态下都有惯性，即无论是固体、液体还是气体，物体无论是运动还是静止，无论是否受力等，都有惯性．（3）惯性有害亦有利．例如，急刹车时，由于惯性，车不能马上停止，往往造成交通事故，是惯性危害最典型的例子；而跳远运动员跳远时助跑、用“拍打法”除去衣服上的灰尘、用铁锨往锅炉里投煤等则是利用惯性的例子．（4）惯性有大有小，实验表明惯性的大小只与物体的质量有关. 质量大的物体惯性大；质量小的物体惯性小．惯性的大小描述的是物体保持原有运动状态的能力，惯性越大，物体保持原有运动状态的能力越大，当其受到力的作用的时候，其运动状态的改变也就越困难；惯性越小，物体保持原有运动状态的能力越小，当其受到力的作用的时候，其运动状态的改变也就越容易．例如，一辆空车和一辆装满货物的车，在相同的牵引力下由静止开始运动．空车的质量小，在较短的时间内可以达到某一速度，运动状态容易改变，而装满货物的车质量大，要在较长的时间内才能达到相同的速度，运动状态难以改变，所以质量大的物体惯性大，质量小的惯性小．注意：（1）惯性的大小与物体速度的大小无关．（2）惯性是物体的固有属性，它不是力，不能说“克服物体的惯性”“物体受到惯性的作用”等．【例15】 （多选）牛顿第一定律说明了（ ）A ．一切物体都有惯性B ．力是维持物体运动的原因C ．物体的运动不需要力来维持D ．物体的运动状态的改变与力无关【答案】 A C【例16】 下列现象中由于惯性造成的是（ ）A ．向上抛石块，石块出手后会上升得越来越慢B ．向上抛石块，石块出手后最终会落回地面C ．在百米赛跑中，运动员不能立即停在终点处D ．船上的人向后划水，船会向前运动【答案】 C【例17】 对于惯性，下列说法正确的是（ ）A ．一切物体在不受任何外力时，总保持匀速直线运动状态或静止状态叫惯性B ．惯性必须在一定条件下产生C ．速度大的物体惯性大，速度小的物体惯性小D ．大卡车的惯性比小轿车的惯性要大些【答案】 D【例18】 放在一辆足够长的表面光滑的平板车上的两个物体，随车一起在水平方向上作匀速直线运动，当车突然停止时，这两个物体在车上将会（不考虑空气阻力）（ ）A ．一定相碰B ．一定不相碰C ．若12m m =时，一定相碰D ．若12m m ＞时，一定相碰【答案】 B【例19】 一辆匀速运动的汽车，向右急转弯时，坐在汽车座位上的乘客会感到向 倒，这是因为乘客和汽车在未转弯时处于 ，汽车向右急转弯，乘客的脚和下半身受到车和座位的作用，改变了运动方向，随车向右转弯．而乘客的上半身由于 ，还保持原来的运动状态，所以乘客会感觉向 倒．【答案】 左 匀速直线运动状态 惯性 左练习巩固【练1】 放在竖直的磁性黑板上的小铁片，虽受到竖直向下的重力的作用，但它却不会掉下来，其原因是（ ）A ．它受到磁性黑板的吸引力B ．它受到磁性黑板的静摩擦力C ．它对磁性黑板有吸引力D ．它受到磁性黑板的滑动摩擦力【答案】 B【练2】 小孩从滑梯上滑下的过程，受到的力有（ ）A ．下滑力、摩擦力B ．重力、下滑力、摩擦力C．下滑力、摩擦力、重力、支持力D．重力、支持力、摩擦力【答案】D【练3】关于汽车的下列说法正确的是（）A．汽车轮胎与地面间的摩擦总是有害的B．紧急刹车时，摩擦力的主要作用是改变轮胎的形状C．汽车沿直线匀速上坡时，受到平衡力的作用D．废旧轮胎没有回收价值，可以直接烧掉【答案】C【练4】一根质量为m、长为L的均匀长方体木料放在水平桌面上，如图所示，现用水平推力F把木料推向桌边，到木料掉下桌边之前，桌面对木料的摩擦力大小（）A．逐渐减小到零B．保持不变C．先增大后减小D．先增大后保持不变【答案】B【练5】如图所示，用弹簧测力计水平拉动桌面上的物体，使其匀速直线滑动．以下叙述中的两个力属于一对平衡力的是（）A．弹簧测力计对物体的拉力与物体所受的重力B．弹簧测力计对物体的拉力与桌面对物体的摩擦力C．物体对桌面的压力与桌面对物体的支持力D．物体对桌面的压力与物体所受的重力【答案】B【练6】关于惯性，下列说法中正确的是（）A．物体在静止时不容易被推动，所以物体静止时比运动时惯性大B．物体在高速运动时不容易停下来，所以物体速度越大，惯性越大C．当物体没有受到外力作用时，能保持匀速直线运动状态或静止状态，故不受力时才有惯性D．惯性是物体的固有属性，任何物体在任何情况下，都具有惯性【答案】D【练7】汽车在快速行驶，突然前方有行人横穿马路，司机紧急刹车，坐在副驾驶位置的人幸亏系着安全带，才没有破窗飞出．请你解释这一现象．刹车前人和车都是________的．刹车后车速突然减慢，坐在副驾驶位置的人由于________要保持原来的_________状态．因此，若不系安全带就可能会破窗而出．【答案】运动惯性运动。
平面镶嵌讲义(教师版)
平面镶嵌讲义2013.11 教学目标：1、知识技能：巩固对正多边形的有关概念、性质的理解，会用正多边形进行镶嵌；2、数学思考：通过观察、实验、分析、推理及动手操作，在合作讨论中，清晰表达自己的想法。
3、问题解决：用同一种或两种正多边形进行镶嵌的条件探索，获得分析、解决问题的一些方法。
4、情感态度：通过独立思考、合作交流、质疑反思感受知识的价值，获得学习的体验，培养严谨的科学态度。
重点：探究正多边形镶嵌的规律。
难点：学生通过实验、代数计算证明正多边形镶嵌中的规律。
教学过程设计说明一、联系实际、引出概念说一说上述图案都是由哪些基本平面图形铺成的？这些图形能铺成一个平面的一部分的共同特征是什么？形状、大小完全相同，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片。
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）问题。
人人都是设计家，今天同学们来设计一些地板图案：二、自主探索、探究结论问题1 用同一种正多边形能否进行平面镶嵌？如果能，共有几种？实验法：问题2除此之外，其它正多边形能不能镶嵌呢？试举例说明。
以正五边形为例，若在同一点摆放3个正五边形，那么一点处内角和小于一个周角，若摆放四个，则会有重叠。
通过展示收集到的一些地板的拼合图案，体会数学与生活的联系从特殊到一般通过实验或计算给出结论通过上面的实践，要想进行平面镶嵌，必须满足的条件是：围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好能组成一个周角时，就能进行镶嵌。
试一试是否还有其它方法来证明你们的结论？设用正x边形来镶嵌平面，共顶点处集中了n个正多边形的角．因为相邻的正多边形的边互相重合，所以共顶点的各个角之和必须等于360ο．故有等式(-2)180360,xnx⨯=解：（法一）化简并整理得224442,222x xnx x x-+===+---∵x≥3的整数，n是正整数，∴2x-=1，2，4．即x只能取值3，4，6；对应的值n为6，4，3．解：（法二）220nx x n--=∴(2)2(2)4x n n---=(2)(2)4x n--=∴242221,,212224x x xn n n-=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨-=-=-=⎩⎩⎩∴643,,346x x xn n n===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这就证明了只用同一种正多边形镶嵌平面，只存在三种方法。
24.1.3 弧、弦、圆心角讲义 教师版
24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教学目标：1、理解圆心角的概念．2、掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系．教学重难点：圆的性质的综合应用．知识点一：圆的旋转不变性圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．例题：如图所示的图形绕圆心旋转多少度后能与自身重合？【考点】B4：旋转．【专题】463：图形与变换．【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．【解答】解：把图形中的每个阴影部分与相邻的一个部分当作一个部分，因而整个圆周被分成9个完全相同的部分，每个部分对应的圆心角是=45度，因而最少旋转的度数是45度．答：如图所示的图形绕圆心旋转45度后能与自身重合．【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．变式．如图，△ABC是△O的内接三角形，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，若，则△B的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】先根据得出==，，最后根据△A=△B=△C即可得出△B的度数．【解答】解：△，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，△==，△，△△A=△B=△C=60°．故选D．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系和旋转的性质，解题的关键是根据等弧所对的圆周角相等进行解答．知识点二：圆心角定义：角的顶点在圆心的角例题．如图，MN为△O的弦，△M=50°，则△MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°【分析】先运用了等腰三角形的性质求出△N，再根据三角形的内角和是180°即可得．【解答】解：△OM=ON，△△N=△M=50°．再根据三角形的内角和是180°，得：△MON=180°﹣50°×2=80°．故选D．【点评】运用了等腰三角形的性质：等边对等角；考查了三角形的内角和定理．变式1．如图，已知：AB是△O的直径，C、D是上的三等分点，△AOE=60°，则△COE是（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】先求出△BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．【解答】解：△△AOE=60°，△△BOE=180°﹣△AOE=120°，△的度数是120°，△C、D是上的三等分点，△弧CD与弧ED的度数都是40度，△△COE=80°．故选C．【点评】本题利用了邻补角的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．变式2．已知弦AB把圆周分成2：3的两部分，则弧所对圆心角的度数是（）A．72°B．72°或144°C．144°D．144°或216°【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为周角的．【解答】解：△弦AB把圆周分成2：3的两部分，△弦AB所对的圆心角的度数=×360°=144°．故选D【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，△圆心角相等，△所对的弧相等，△所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．例题1．如图，在△O中=，△AOB=40°，则△COD的度数（）A．20°B．40°C．50°D．60°【分析】首先得到=，进而得到△AOB=△COD，即可选择正确选项．【解答】解：△=，△=，△△AOB=△COD，△△AOB=40°，△△COD=40°，故选B．【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．例题2．如图，在△O中，已知=，则AC与BD的关系是（）A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定【分析】由=，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．【解答】解：△=，△，△，△AC=BD．故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，正确的理解圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．例题3．如图，AB是半圆的直径，△BAC=20°，D是的中点，则△DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得△C=90°，继而求得△ABC 的度数，然后由D是的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．【解答】解：连接BC，△AB是半圆的直径，△△C=90°，△△BAC=20°，△△B=90°﹣△BAC=70°，△D是的中点，△△DAC=△ABC=35°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．变式1．如图所示，在△O中，，△A=30°，则△B=（）A．150°B．75°C．60°D．15°【分析】先根据等弧所对的弦相等求得AB=AC，从而判定△ABC是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角相等得出△B=△C；最后由三角形的内角和定理求角B的度数即可．【解答】解：△在△O中，，△△ABC是等腰三角形，△△B=△C；又△A=30°，△△B==75°（三角形内角和定理）．故选B．【点评】本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．解题的关键是根据等弧对等弦推知△ABC是等腰三角形．变式2．如图，==，已知AB是△O的直径，△BOC=40°，那么△AOE=（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】由==，△BOC=40°，根据等弧所对的圆周角相等，可求得△EOD与△COD的度数，继而求得答案．【解答】解：△==，△BOC=40°，△△EOD=△COD=△BOC=40°，△AB是△O的直径，△△AOE=180°﹣△EOD﹣△COD﹣△BOC=60°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式3．如图，已知△O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是△O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（）A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．16 cm【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB是等边三角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB与已知线段OA间的数量关系．【解答】解：如图，连接OD、OC．△（已知），△△AOD=△DOC=△COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；△AB是直径，△△AOD+△DOC+△COB=180°，△△AOD=△DOC=△COB=60°；△OA=OD（△O的半径），△△AOD是等边三角形，△AD=OD=OA；同理，得OC=OD=CD，OC=OB=BC，△AD=CD=BC=OA，△四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB=5OA=5×2cm=10cm；故选B．【点评】本题考查了心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等．拓展点一：利用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算或证明例题1．如图所示，△ABC的三个顶点在△O上，D是上的点，E是上的点，若△BAC=50°．则△D+△E=（）A．220°B．230°C．240°D．250°°【分析】连接OA、OB、OC，由圆心角、弧、弦的关系定理得出△BOC=100°，得出△AOB+△AOC=260°，由圆周角定理得出△D=（△BOC+△AOC），△E=（△BOC+△AOB），即可得出结果．【解答】解：连接OA、OB、OC，如图所示：△△BAC=50°，△△BOC=2△BAC=100°，△△AOB+△AOC=360°﹣100°=260°，△△D=（△BOC+△AOC），△E=（△BOC+△AOB），△△D+△E=（△BOC+△AOC+△BOC+△AOB）=（260°+100°+100°）=230°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，由圆周角定理得出角之间的关系是解决问题的关键．例题2．如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E、F在半圆上，AC=CD=DE=EF=FB，则△COF=（）A．90°B．100°C．108°D．120°【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理得出=，得出△COF=×180°=108°即可．【解答】解：△AC=CD=DE=EF=FB，△=，△△COF=×180°=108°；故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，由弦相等得出弧相等是解决问题的关键．例题3．如图，AB是△O的直径，若△COA=△DOB=60°，等于线段AO长的线段有（）A．3条B．4条C．5条D．6条【分析】易知：△AOC=△COD=△BOD=60°，则△AOC、△COD、△BOD均为等边三角形，可据此判断出与OA相等的线段有几条．【解答】解：△△COA=△DOB=60°，△△AOC=△COD=△BOD=60°；又△OA=OC=OD=OB，△△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形；△OA=AC=OC=CD=OD=BD=OB；因此与OA相等的线段由6条，故选D．【点评】能够发现△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形是解答此题的关键．变式1．如图，AB是△O的直径，==，△COD=34°，则△AEO的度数是51°．【分析】由==，可求得△BOC=△EOD=△COD=34°，继而可求得△AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求△AEO的度数．【解答】解：如图，△==，△COD=34°，△△BOC=△EOD=△COD=34°，△△AOE=180°﹣△EOD﹣△COD﹣△BOC=78°．又△OA=OE，△△AEO=△OAE，△△AEO=×（180°﹣78°）=51°．故答案为：51°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．变式2．如图，AB是△O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若△O的半径为2，则PC+PD的最小值是2．【分析】作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则DP+CP最小，根据解直角三角形求出CE，根据轴对称求出DP′+CP′=CE即可．【解答】解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则根据垂径定理得：E在△O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP最小，△C是半圆上的一个三等分点，△△AOC=×180°=60°，△D是的中点，△△AOE=△AOC=30°，△△COE=90°，△CE=OC=2，即DP+CP=2，故答案为2．【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．变式3．如图，AB是△O的直径，点C在△O上，△AOC=40°，D是BC弧的中点，则△ACD=125°．【分析】连接OD，由△AOC=40°，可得出△BOC，再由D是BC弧的中点，可得出△COD，从而得出△ACD 即可．【解答】解：连接OD，△AB是△O的直径，△AOC=40°，△△BOC=140°，△ACO=70°，△D是BC弧的中点，△△COD=70°，△△OCD=55°，△△ACD=△ACO+△OCD=70°+55°=125°，故答案为125°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．变式4．如图，已知AB是△O的直径，PA=PB，△P=60°，则弧CD所对的圆心角等于60度．【分析】先利用PA=PB，△P=60°得出△PAB是等边三角形再求出△COA，△DOB也是等边三角形得出△COA=△DOB=60°可求△COD．【解答】解：连接OC，OD，△PA=PB，△P=60°，△△PAB是等边三角形，有△A=△B=60°，△OA=OC=OD=OB，△△COA，△DOB也是等边三角形，△△COA=△DOB=60°，△△COD=180°﹣△COA﹣△DOB=60度．【点评】本题利用了：有一角等于60度的等腰三角形是等边三角形的判定方法和等边三角形的性质求解．例题4．如图，在△O中，=，CD△OA于D，CE△OB于E，求证：AD=BE．【分析】连接OC，先根据=得出△AOC=△BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD△△COE，由此可得出结论．【解答】证明：连接OC，△=，△△AOC=△BOC．△CD△OA于D，CE△OB于E，△△CDO=△CEO=90°在△COD与△COE中，△，△△COD△△COE（AAS），△OD=OE，△AO=BO，△AD=BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．例题5．已知如图所示，OA、OB、OC是△O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB 的中点．求证：MC=NC．【分析】根据弧与圆心角的关系，可得△AOC=△BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM=ON，利用SAS判定△MOC△△NOC，继而证得结论．【解答】证明：△弧AC和弧BC相等，△△AOC=△BOC，又△OA=OB M、N分别是OA、OB的中点△OM=ON，在△MOC和△NOC中，，△△MOC△△NOC（SAS），△MC=NC．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．变式1．如图，AB，CD是△O的两条直径，过点A作AE△CD交△O于点E，连接BD，DE，求证：BD=DE．【分析】连接OE，可得△A=△OEA，再由AE△CD得△BOD=△A，△DOE=△OEA，从而得出△BOD=△DOE，则BD=DE．【解答】证明：连接OE，如图，△OA=OE，△△A=△OEA，△AE△CD，△△BOD=△A，△DOE=△OEA，△△BOD=△DOE，△BD=DE．【点评】此题主要考查了平行线的性质，在同圆中，等弦所对的圆心角相等．变式2．如图，AB是△O的直径，C，E是△O上的两点，CD△AB于D，交BE于F，=．求证：BF=CF．【分析】延长CD交△O于点G，连接BC，根据垂径定理证明即可．【解答】证明：延长CD交△O于点G，连接BC，△AB是△O的直径，CD△AB于D△=，△=△=△△BCF=△CBF，△BF=CF．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理等知识点的应用，解此题的关键是作辅助线后根据定理求出△CBE=△BCE，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好．拓展点二：垂径定理与圆心角、弧、弦之间关系的综合应用例题1．如图，在△O中，若点C是的中点，△A=50°，则△BOC=（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出△AOB，根据垂径定理求出AD=BD，根据等腰三角形性质得出△BOC=△AOB，代入求出即可．【解答】解：△△A=50°，OA=OB，△△OBA=△OAB=50°，△△AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，△点C是的中点，△△BOC=△AOB=40°，故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．例题2．如图，AB、AC是△O的弦，直径AD平分△BAC，给出下列结论：△AB=AC；△=；△AD△BC；△AB△AC．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由AB、AC是△O的弦，直径AD平分△BAC，可得=，即可得AD△BC，继而求得：△AB=AC；△=．【解答】解：△AB、AC是△O的弦，直径AD平分△BAC，△=，△AD△BC，故△正确；△=，故△正确；△AB=AC，故△正确．无法判定AB△AC，故错误．故选C．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及弧与弦的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式1．如图，在△O中，直径CD△弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AD=AB B．△D+△BOC=90°C．△BOC=2△D D．△D=△B【分析】根据垂径定理得出弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，根据以上结论判断即可．【解答】解：A、根据垂径定理不能推出AD=AB，故A选项错误；B、△直径CD△弦AB，△，△对的圆周角是△ADC，对的圆心角是△BOC，△△BOC=2△D，不能推出△D+△BOC=90°，故B选项错误；C、△，△△BOC=2△D，△C选项正确；D、根据已知不能推出△DAB=△BOC，不能推出△D=△B，故D选项错误；故选：B．【点评】本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．变式2．如图，AB是△O的直径，点C、D是△O上的点，若△CAB=25°，则△ADC的度数为（）A．65°B．55°C．60°D．75°【分析】由AB为△O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得△ACB=90°，又由△CAB=25°，得出△B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得△ADC的度数．【解答】解：△AB为△O的直径，△△ACB=90°，△△CAB=25°，△△ABC=90°﹣△CAB=65°，△△ADC=△ABC=65°．故选A．【点评】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．变式3．如图是小明完成的．作法是：取△O的直径AB，在△O上任取一点C引弦CD△AB．当C点在半圆上移动时（C点不与A、B重合），△OCD的平分线与△O的交点必（）A．平分弧AB B．三等分弧ABC．到点D和直径AB的距离相等D．到点B和点C的距离相等【分析】先求出△DCE=△ECO，再利用内错角相等，两直线平行的OE△CD，再利用角的平分线的性质可解．【解答】解：设△OCD的平分线与△O的交点为E，连接OE，△OE=OC，△△E=△ECO，△△DCE=△ECO，△OE△CD，△CD△AB，△OE△AB，△有弧AE=弧BE，所以点E是弧AB的中点．故选A．【点评】本题利用了：1、等边对等角，2、内错角相等，两直线平行，3、角的平分线的性质求解．易错点：误认为同圆中弧及弧所对的弦有相同的倍数关系例题．如图，△O中，如果△AOB=2△COD，那么（）A．AB=DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC【分析】过点O作OE△AB交△O于点E，连接AE、BE，可得△AOE=△BOE=△AOB，根据△COD=△AOB，知△AOE=△BOE=△COD，即CD=AE=BE，在△ABE中，由AE+BE＞AB可得2CD＞AB．【解答】解：如图，过点O作OE△AB交△O于点E，连接AE、BE，△△AOE=△BOE=△AOB，又△△COD=△AOB，△△AOE=△BOE=△COD，△CD=AE=BE，△在△ABE中，AE+BE＞AB，△2CD＞AB，故选：C．【点评】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据△AOB=2△COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键．变式1．在同圆中，若AB=2CD，则与的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．不能确定【分析】先根据题意画出图形，找出两相同的弦CD、DE，根据三角形的三边关系得到CE与CD+DE的关系，再比较出AB与CE的长，利用圆心角、弧、弦的关系进行解答即可．【解答】解：如图所示，CD=DE，AB=2CD，在△CDE中，△CD=DE，△CE＜CD+DE，即CE＜2CD=AB，△CE＜AB，△＜．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形的三边关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．变式2．如图，已知点A，B，C均在△O上，并且四边形OABC是菱形，那么△AOC与2△OAB之间的关系是（）A．△AOC＞2△OAB B．△AOC=2△OAB C．△AOC＜2△OAB D．不能确定【分析】连接OB易证△OAB和△OBC是等边三角形，据此即可判断．【解答】解：连接OB．△四边形OABC是菱形，△OA=AB，又△OA=OB，△△OAB是等边三角形．同理△OBC是等边三角形．△△A=△AOB=△BOC=60°，△△AOC=2△OAB．【点评】本题考查了菱形性质以及等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键．。
第11讲 解决问题的策略(一)-讲义教师版
第七单元解决问题的策略导学介绍：1、从问题出发解决问题我们要在读题后要弄清题目里已知条件和问题分别是什么，可以从问题开始想，根据问题分析数量关系，确定先算什么。
要根据题中的条件和问题，选择分析问题的思路。
2、画线段图、列举法解决问题首先确定一倍的量，从题目所给数量关系中寻找，最少的物体的数量就可以确定为一倍的量；然后根据题目所给条件用线段分别表示出其他几种物体的量，再按要求解答。
1.经历用列举的策略解决简单实际问题的过程，能有条理的列举，分析有关实际问题的数量关系，并解决问题。
2.感受列举的策略的特点和价值，获得解决问题的成功体验，发展思维的条理性和严密性3.积累解决问题的经验，培养解决问题的策略意识，增强学好数学的信心1、什么样的问题适合用一一列举的策略解决？当问题的答案有多种可能或要从多种可能中找出最合理的答案时，一般运用一一列举的策略来解决。
2、运用一一列举的策略时要注意些什么？列举时要注意按照一定的顺序有条理的进行，做到不重复，不遗漏。
3、在列举的时候一般还要用到什么策略？在用一一列举的策略解决问题的时候，一般要结合表格、画图的策略进行解题，也就是通过表格和画图的形式进行一一列举。
内容较多，由老师在课上结合“情景导入”文档中的内容为学生介绍即可,文档中给出的导入方式不唯一，选择一种即可.列举法解决问题的策略画图法综合应用知识点一：列举法解决实际问题例1.王大叔用22根1米长的木条围成一个长方形羊圈，有多少种不同的围法？怎样围面积最大?【解答】长／米10 9 8 7 6宽／米 1 2 3 4 5 面积／平方米10 18 24 28 30由表可知长为米，宽为米时，面积最大。
例2. 用3张数字卡片能摆出个不同的三位数，它们分别是，其中最大的是，最小的是．【解答】解：用3，0，8组成的三位数有：380、308、830、803；共有4个．最大的是830，最小的是308，故答案为：4；380、308、830、803，830；308．练习1.用36个1平方厘米的正方形拼成长方形（或正方形），有多少种不同的拼法？它们的周长各是多少？【解答】长/厘米36 18 12 9 6宽/厘米 1 2 3 4 6周长/厘米74 40 30 26 24练习2.10个1平方厘米的小正方形拼成的大长方形，一共有（）种不同的拼法，其中周长最大的是厘米，最短是厘米．解：根据分析知拼成后图形的面积不变，拼成后长方形的长和宽可分下列情况：（1）长10厘米，宽1厘米，周长是：（10+1）×2=22（厘米）；（2）长5厘米，宽2厘米，周长是：（5+2）×2=14（厘米）；所以一共有2种不同的拼法，其中周长最大的是22厘米，最短是14厘米．故答案为：2；22；14．练习3.用3、5、7可以摆出个不同的三位数，它们分别是．【解答】解：①“3”开头：357，375，计2个；②“5”开头：537，573，计2个；③“7”开头：753，735，计2个；因此可以摆出6个不同的三位数，分别是：357，375，537，573，753，735．知识点二：：列举法解决生活中的实际问题例3.公交公司是1路和2路公交车的起始站。
简单电路-讲义(教师版)
第五讲简单电路一、电荷、电流知识扫盲1电荷（1）摩擦起电：用摩擦的方法使物体带电，叫做摩擦起电．使物体带电的方法有：摩擦起电、接触起电、感应起电．（2）两种电荷：①正电荷：人们把丝绸摩擦过的玻璃棒上带的电荷叫做正电荷，用“”表示。
②负电荷：人们把毛皮摩擦过的橡胶棒上带的电荷叫做负电荷，用“”表示。
③电荷间的相互作用：同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。
④带电体的性质：带电体具有吸引轻小物体的性质。
（3）验电器：实验室里用来检验物体是否带电的仪器叫验电器．如图所示（检验物体是否带电而不是所带电荷的性质）．（4）电荷守恒：电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移的过程中，电荷的总量保存不变．电流（1）电流的定义：每秒中通过导体横截面的电量叫电流，用字母表示．单位：安培，符号．（2）电流的形成：电荷的定向移动形成电流．（3）电流的方向：物理学中规定正电荷的移动方向为电流的方向．小试牛刀1.下列事例中，属于静电（摩擦起电）现象的是（）①在干燥的天气里，衣服表面容易吸附灰尘；A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④②与头发摩擦过的塑料尺、塑料笔杆，能吸起纸屑；③将摩擦过的气球靠近头发，会看到头发被吸引；④将塑料绳一端扎紧，把绳的另一端尽可能撕成更多的细丝，用手从上向下捋几下，会观察到细丝蓬散开来．【答案】D【解析】①在干燥的天气里，衣服由于摩擦带电，带电体具有吸引轻小物体的性质，属于静电现象；②与头发摩擦过的塑料尺、塑料笔杆，由于带电，带电体具有吸引轻小物体的性质，所以能吸引纸屑，属于静电现象；③摩擦过的气球由于带电所以能吸引头发，属于静电现象；④将塑料绳一端扎紧，把绳的另一端尽可能撕成更多的细丝，用手从上向下捋几下，塑料绳和手摩擦起电，塑料绳带了同种电荷相互排斥，所以会观察到细丝蓬散开来，属于静电现象．故选D ．【标注】【知识点】电路百步穿杨A.中正电荷通过棒流向，带正电荷B.中负电荷通过棒流向，带正电荷C.棒中有瞬间电流从流向，使张角变小D.棒中有持续电流从流向，使张角变大2.两个相同的验电器和，使带正电，不带电，用金属棒把、连接起来后如图所示则（ ）【答案】B【解析】带正电，不带电，用带绝缘柄的金属棒将，，两验电器的金属连接起来的瞬间，的自由电子流向，因失电子而带正电，负电荷定从到，电流方向与负电荷定向移动方向相反，所以电流从到，所B 正确，得到的电流是短暂的，不能得到持续电流，所以D 错误．故选B ．【标注】【知识点】验电器原理；电流的方向独步天下A.B.C.D.3.已知甲、乙、丙三个电荷，依次排列在同一直线上，且都处于静止状态，由此可以判断（ ）甲、乙、丙带同种电荷甲、丙带同种电荷，甲、乙带异种电荷甲、丙带同种电荷，甲、乙可能带同种电荷，也可能带异种电荷无论甲、乙、丙带何种电荷，均可能使它们同时静止【答案】B 【解析】分析乙平衡，说明甲对乙的力和丙对乙的力方向相反，因此要么都是吸引，要么都是排斥，所以甲、丙带同种电荷；再分析甲平衡，说明乙对甲的力和丙对甲的力方向相反，因此一定是一个吸引、一个排斥，所以乙、丙带异种电荷．故选B ．【标注】【知识点】电路二、电路知识扫盲2（1）容易导电的物体叫导体．常见的导体有：金属、石墨、人体、大地以及酸、碱、盐的水溶液．不容易导电的物体叫绝缘体．常见的绝缘体有：橡胶、玻璃、陶瓷、塑料、油等．（2）导体和绝缘体是相对的．在一定条件下，可以相互转化．导体、绝缘体（1）电路的定义：用导线把电源、用电器、开关连接起来的电流途径叫电路．（2）电路的基本组成：①电源：能够提供持续电流的装置叫做电源．电源的作用是把其他形式的能量转化成电能．②用电器：用电来工作，消耗电能的装置，如电灯、电铃、电扇等．③开关：用来接通或者断开电路的装置，起控制用电器的作用．电路④导线：导线是将电源、用电器、开关连接起来，形成电荷移动的通路．（3）电路的三种状态：①通路：处处连通的电路，也叫闭合电路，它是电路正常工作的状态．②开路：某处断开或电流无法通过的电路，又叫断路．③短路：分两种情况：一种是电流不经过用电器直接连到电源两极的电路．这种短路叫电源 短路，最易引发火灾，对电源危害也极大．第二种是用电器两端被一条导线连接起来，这种情况叫局部短路，被短路电器不能正常工作．（4）电路元件的连接要注意以下几个方面：①连接电路的过程中，开关必须先断开；②电源两极不允许用导线直接连接，以免损坏电源．（5）电路图：用规定的符号表示电路连接情况的图叫电路图．下面是几种常见电路元件符号：在画电路图时候，一定要规范，一般用电路元件符号表示电路中的实物，切忌将实物画到电路图中．（6）产生持续电流的条件：①必须有电源；②电路是闭合的．小试牛刀A.碳棒、人体、大地B.水银、铜丝、铁块C.大地、人体、陶瓷D.陶瓷、干木、塑料4.下列四组物体中，都属于绝缘体的一组是（ ）【答案】D【解析】A ．碳棒、人体和大地都是导体，故A 错误；B ．水银、铜丝、铁块都是金属，是导体，故B 错误；C ．大地和人体是导体，故C 错误；D ．陶瓷、干木和塑料都是绝缘体，故D 正确．故选D ．【标注】【素养】运动与相互作用观念【知识点】常见导体和绝缘体A.B.C.D.5.小红发现教室里的一个开关可以同时控制两盏灯．下图中符合要求的电路图是（ ）【答案】A【解析】由题意可知，电灯是教室里的，使用的是照明电压，两盏灯必须是并联的；因为并联电路干路中的开关也可以控制整个电路，所以由一个开关同时控制两盏灯，则开关必须连在干路上，分析电路图可知A 选项符合题意．故选A ．【标注】【知识点】电路的设计百步穿杨（1）（2）6.请按要求完成电学作图．将图中的各器材按要求连成电路．要求：①两开关都闭合时两灯都亮，②只闭合时只有灯亮，③只闭合时两灯都不亮．如图甲示的实物中，若、断开，闭合，请在下面虚线框中画出其对应的电路图．【答案】（1）（2）【解析】（1）（2）只闭合时只有灯亮，则与灯串联；只闭合时两灯都不亮，接在支路中；两开关都闭合时两灯都亮，两灯互不影响能独立工作，两灯是并联的，开关接在干路中．故如答案图．根据题意确定各电路元件的连接方式，然后连接实物电路图．故如答案图．【标注】【知识点】实物图转化电路图独步天下7.小华在学习了电路之后，自己设计了如图所示的电路，对于该电路：（1）（2）（3）要电路组成串联电路，只需闭合开关 ．要电路组成并联电路，只需闭合开关 ．若同时闭合三个开关，会使得电路元件中的 被短接．（选填“电源、、”）【答案】（1）（2）（3）、电源【解析】（1）（2）（3）由图可知，要使灯、组成串联电路，应将两灯首尾相连接到电源两端（电流只有一条路径），则需闭合开关．故答案为：．两个灯泡并列地连在一起，然后再接入电路中，这两个灯泡的连接方式叫并联．要使电路组成并联电路，即灯、并联，由图知将灯的右接线柱与灯的右接线连接在一起，再将灯、的左接线柱与灯的左接线柱连接在一起即可，故需要将开关、闭合，断开，此时它们是并联的．故答案为：、．若同时闭合三个开关，电流不经过用电器直接从电源正极流回电源负极，因此会形成电源短路（即电源被短接），该现象是绝对不允许的．故答案为：电源．【标注】【知识点】电路的设计；电路三种状态的判断（1）8.某同学连接了四个电路如图所示：已造成短路的是 图，闭合开关后会出现短路的是 图．（2）组成串联电路的是图，组成并联电路的是图．(2分)【答案】（1）（2）D ; AB ; C【解析】（1）（2）A图：闭合开关后，电流从正极直接回到负极，造成短路；B图：从正极开始连接，依次经过灯泡、开关、另一个灯泡回到负极，该电路为串联电路；C图：从正极开始连接，经过开关后分支，分别经两个灯泡后回到负极；两只灯泡并联；D图：电流直接从正极回到了负极，开关不起任何作用．所以已造成短路的有D；闭合开关后会出现短路的有A；组成串联电路的有B；组成并联电路的有C．故答案为：D；A．解析见（1）【标注】【知识点】电路三种状态的判断；串、并联电路的识别三、电流、电压、电阻知识扫盲31、电流的强弱：电流强度（简称电流）是表示电流强弱的物理量，通常用字母代表，它的单位是安培，简称安，符号是．其单位换算：2、电路中电流的大小可以用电流表来测量．正确使用电流表，应做到“四会”．（1）会接：①电流表必须串联在待测电路中．②必须使电流从“”接线柱流入，从“”接线柱流出．③电流表电阻非常小，分析电路时，常把它看作导线．注意：绝对不允许不经过用电器将电流表的两个接线柱直接接在电源两极上，否则会烧坏电流表．（2）会选：电流及电流表的使用① 在接入电路前，先估算电流大小，若待测电流小于，应选量程，若待测电流在之间，应选量程．② 如果不能估算，应先接大量程接线柱，试触后再根据读数接到相应的接线柱上．～～～（3）会试：电路接好后，在正式接通电源前，必须试触，同时观察电流表指针的偏转情况：① 指针不偏转，可能是待测电路开路，电流表中无电流，也可能是电流表本身有故障，应加以排除．② 指针反向偏转，可能是正、负接线柱接反，应改接．③ 指针正向偏转过大，超过最大刻度，是量程选择偏小，应改接较大量程．④ 指针偏转很小刻度，是量程选择偏大，应改接较小量程．（4）会读：会读的关键是能够根据所选的量程，正确判断出最小刻度值是多少安，再根据指针的位置，正确读出所表示的电流值．另外，电流表使用前还应检查指针是否指在零刻度处．若有偏差，可旋转电流表正面中间的调零螺旋使指针指在零刻度线．1．电压（1）电压是形成电流的原因．（2）电压用字母表示．电压的国际单位是伏特（），常用的还有千伏（）、毫伏（）、 微伏（），，，．电压是电源提供的，不同的电源所提供的电压不同，一节干电池电压为，一节铅蓄电池电压为，照明电路正常电压为 ．（3）对人体安全的电压不高于．2、电压表（1）测量电路中两点之间电压大小的仪表叫做电压表．（2）电压表的电阻非常大，相当于断路．在接入电路中时我们一般不考虑有电流流过．（3）电压表的外部特征① 表盘上的标度分为上下两行，上面的标度从，小面的标度从．读数下面有个醒目的，以区分电压表和电流表．② 调零旋钮：在没有电压的情况下调节指针的位置．③ 接线柱：我们实验室常用的电流表有三个接线柱，分别标有“”、“”和“”，测量电压时，将“”和“”其中的一个和“”接入电路．电压及电压表～～（4）电压表使用时注意事项① 在测量电压前，如果电压表的指针没有指在“”的位置，需要调节表盘下面的调零旋钮，把指针调节到指“”的位置．② 电压表应该并联在被测量电路的两端．③ 电流要从电压表有“”或“”的接线柱流入，再从标有“-”号的接线柱流出来．④ 在不能预先估计被测电压大小时，可以先使用的量程，将开关瞬间闭合再断开，看指针的偏转情况．若指针偏转超出量程，要换更大量程的电压表；如指针的偏转不大于，但是大于，应该使用的量程，如果偏转小于，应该改用的量程测量．⑤ 读数时，视线要与表盘垂直．小试牛刀A.两端的电压B.和两端的电压C.和电源两端电压D.电源两端电压9.在如图所示电路中，开关闭合后电压表测量的是（ ）【答案】B【解析】由图可知与和并联，可测量和两端电压．故选B ．【标注】【知识点】电压表的使用（调零，连接，量程选择）A. B.C. D.10.下列四个电路中，电流表能测量通过灯电流的是（ ）【答案】C【解析】A．导线直接接在灯两端，闭合开关后，两灯被短路；此时电流表直接接在电源两极上，相当于导线不经用电器直拉接在电源两极上，所以也会造成电源短路，故A错误；B．两灯并联，电流表在干路上，测量的是干路的总电流，故B错误；C．两灯并联，电流表与串联，测量的是的电流，故C正确；D．两灯并联，电流表“负极”未接入电路，故D错误．故选C．【标注】【知识点】电流表的使用（调零，连接，量程选择）百步穿杨11.如图所示的电路，开关闭合时电流表（甲）测量的是通过的电流（选填“”、“”或“和”），电流表（乙）测量的是通过的电流（选填“”、“”或“和”）．和两只灯泡是关系（选填“串联”或“并联”）．【答案】 ; 和 ; 并联【解析】两个电灯并联，电流表甲测量灯泡的电流，电流表乙在干路上，测量的是灯泡和灯泡的电流，故电流表甲与串联，开关在干路上．故答案为：；和；并联．【标注】【知识点】电路的状态独步天下12.如图所示，电源电压不变，闭合开关，电压表的示数为，电压表的示数为．那么下列说法中不正确的是（）A.电源电压为 B.两端电压为C.将电压表换成电流表，则亮，不亮D.将电压表换成电流表，则与并联【答案】BD 【解析】．闭合开关时，、串联，测电源的电压，测两端的电压；所以电源的电压，；由串联电路的电压特点可得，两端电压，故A 正确，B 错误；C ．将电压表换成电流表时，电路为的简单电路，电流表测通过的电流，被短路；所以亮，不亮，故C 正确；D ．电流表相当于导线，若将电压表换成电流表，则电源短路，故D 错误．故选BD ．【标注】【知识点】串联电路电压特点及计算（1）电阻定义及符号：①物理意义：电阻表示导体对电流阻碍作用的大小，用字母表示．②定义：导体的电阻等于导体两端的电压和通过导体的电流的比值．③公式：电阻＝电压/电流，数学表达式：(计算式)④表达式的理解：导体的电阻是导体本身的一种性质，是表示电阻大小的量度，而不是决定 电阻大小的决定式．电阻及变阻器⑤电阻的测量：可以根据，用电压表和电流表测量电阻的方法，称为伏安法．（2）单位：①国际单位：欧姆（）．规定：如果导体两端的电压是，通过导体的电流是，这段导体的电阻是．②常用单位：千欧（）、兆欧（）．③换算：，（3）导体的电阻是导体本身的一种性质，它跟导体两端是否有电压以及导体中是否有电流无关，导体电阻的大小跟导体的材料，长度，横截面积和温度有关．（4）滑动变阻器①滑动变阻器在电路中，用表示．②原理：滑动变阻器利用的是电阻大小与导体的长度有关的规律，即电阻长度越长，电阻大．③特点：滑动变阻器可以连续地改变接入电路电阻的大小，但是不能知道接入电路的电阻的准确阻值．（5）电阻箱①作用：电阻箱是一个可以读出电阻大小的，电阻可以改变的仪器．它在电路中起到了控制电流和电压的作用．②读数方法：各旋盘对应的小三角指示点的示数乘以面板上标记倍数，然后加在一起，就是电阻箱接入电路中的阻值．小试牛刀A.B.C.D.13.如图是滑动变阻器的结构和连入电路的示意图，当滑片向右滑动时，连入电路的电阻变小的是（ ）【答案】D【解析】A ．滑动变阻器接入了左半段，滑片右移，连入电路的电阻丝变长，电阻变大，与题意不符；B ．滑动变阻器被短路，滑动变阻器没有电阻接入电路，移动滑片不能改变电路的电阻，与题意不符；C ．滑动变阻器为定值电阻接入了电路，滑片移动，连入电路的电阻丝不变，电阻不变，与题意不符；D ．滑动变阻器接入了右半段，滑片右移，连入电路的电阻丝变短，电阻变小，与题意相符．故选D ．【标注】【知识点】电压的认识14.如图所示，电阻箱的示数为（ ）．A. B. C.D.【答案】C【解析】电阻箱的示数：．故选C ．【标注】【知识点】电阻箱的读数百步穿杨A.B.C.D.15.实验室中常用的小灯泡、电流表、电压表的电阻分别为、、表示, 则三者电阻大小关系为（）【答案】B【解析】电压表相当于断路，其实本质就是电阻很大，几千欧姆；电流表相当于导线，本质就是电阻很小，不到欧姆；灯泡是用电器，电阻十几、几十欧姆，因此，电阻从大到小排列是电压表电阻大于灯泡电阻大于电流表电阻．故选B ．【标注】【知识点】电压的认识独步天下16.如图所示，电源电压不变，闭合开关后，滑动变阻器滑片自向移动的过程中（ ）A.B.C.D.电压表示数变大，示数变大，电流表示数变大电压表示数不变，示数变大，电流表示数变小电压表示数不变，示数变小，电流表示数变大电压表示数变小，示数变大，电流表示数变小【答案】D【解析】由电路图可知，两电阻串联，电流表测电路中的电流，电压表测两端的电压，测两端的电压；闭合开关后，滑动变阻器滑片自向移动时，接入电路的电阻变大，电路中的总电阻变大，∵，∴电路中的电流变小，即电流表的示数变小；∵，∴定值电阻两端的电压变小，即电压表的示数变小；∵串联电路总电压等于各分电压之和，∴滑动变阻器两端的电压变大，即的示数变大．故选D ．【标注】【知识点】电表示数变化问题（定性分析）17.在探究影响导体电阻大小的因素时，小明作出了如下猜想：导体的电阻可能与导体的长度有关；导体的横截面积有关；导体的材料有关．实验室提供发根电阻丝，其规格、材料如下表所示．编号材料长度/横截面积/镍铬合金（1）（2）（3）（4）镍铬合金镍铬合金锰铜合金按照图所示“探究影响导体电阻大小因素”的实验电路，在之间分别接上不同的导体，则通过观察 来比较导体电阻的大小．为了验证猜想，应该选用编号 两根电阻丝分别接入电路进行实验．分别将和两电阻丝接入图电路中两点间．电流表示数不相同．由此初步得到的结论是：当长度和横截面积相同时，导体电阻跟 有关．要进一步研究导体材料的导电性能，就需要测量导体的电阻．小明的实验方案的操作过程均正确，两表的连接的示数如图所示．但通过观察发现电流表指针偏转角度过 ．这样会导致实验误差较大，解决这一问题的措施是 ．【答案】（1）（2）（3）（4）电流表示数导体的材料小 ; 换用量程【解析】（1）（2）（3）（4）在、之间分别接上不同的导体，则通过观察电流表示数来比导体电阻的大小．故答案为：电流表示数．要验证猜想①：导体的电阻可能导体的长度有关，应控制导体材料与横截面积相同而长度不同，由表中数据可知，应选编号为、的两根电阻丝进行实验；故答案为：、．由表中数据可知，、两电阻丝的长度、横截面积相同而材料不同，将和两电阻丝接入图1电路中、两点间，电流表示数不相同，由此可知：当长度和横截面积相同时，导体电阻跟材料有关；故答案为：导体的材料．由图2所示电流指针偏转过小，电流表读数误差较大，会增大实验误差，使食盐误差偏大；电流表换用小量程，可以减小读数误差，从而减小实验误差．故答案为：小；电流表改用小量程．【标注】【知识点】 探究影响导体电阻大小因素、、四、串并联电路特征知识扫盲4串并联电路特征（1）串并联电路电流特点：在串联电路中，各处的电流相等．在并联电路中，干路中的电流等于各支路中的电流之和．（2）串并联电路电压特点：串联电路电压的特点：串联电路中总电压等于各部分电路电压之和：并联电路电压的特点：并联电路中各支路两端的电压都相等：（3）串并联电路电阻特点：1）电阻串联：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和，即①串联的实质是：增加导体的长度．②当个阻值为的电阻串联时，电阻关系可简化为．③当只有两个电阻串联时：2）电阻的并联：并联电路的总电阻的倒数，等于各并联电阻的倒数和，即．①并联的实质是：增加导体的横截面积．②当个电阻均为，则上式化简为．③当两个电阻并联时，上式可写为．小试牛刀18.在图中，当开关闭合，测得通过点和点的电流都是，则甲图中通过点处的电流是，通过处电流是，乙图中通过点的电流是，通过点的电流是，串联电路中电流规律是：．【答案】 ; ; ; ; 串联电路中各处的电流都相等【解析】由图甲可知，两种灯泡串联，根据串联电路中各处的电流都相等可知：；又知：；故、点处的电流都是；由图乙可知：两只灯泡是并联，根据并联电路中总电流等于各支路电流的和可得：；又知：；故．故答案为：；；；；串联电路中各处的电流都相等．【标注】【知识点】串联电路的电流特点及计算；并联电路的电流特点及计算（1）（2）（3）（4）19.认真观察分析电路图并解答下面的问题：如果要使灯、串联，则应闭合开关 、断开开关 ．如果串联时电流表的示数为，则通过的电流和通过的电流是多少？闭合开关 、断开开关 ，灯、构成并联．如果并联时电流表的示数为，通过的电流为，计算得出通过的电流．【答案】（1）（2）（3）（4）; ；;、、【解析】（1）（2）（3）（4）当闭合开关，断开开关、时，电流从电源正极出发后依次经过两盏灯泡，则它们是串联在一起的．故答案为：；．已知两盏灯泡是串联在一起的，故通过两盏灯泡的电流是相等的，即都等于电流表的示数，．故答案为：；．当闭合开关、，断开开关时，两盏灯泡的两端分别连在一起，电流分别经过两盏灯泡后回到电源的负极，它们这种连接方式是并联．故答案为：；．并联电路中，各支路电流之和等于干路电流，故通过的电流．故答案为：．【标注】【知识点】电路的设计；串联电路的电流特点及计算；并联电路的电流特点及计算、、百步穿杨A.B.C.D.20.如图所示电路，各元件完好，下列说法正确的是（ ）若甲乙都是电压表，、都闭合，则和并联若甲乙都是电流表，闭合、断开，则和是串联若甲是电流表，乙是电压表，闭合断开，则甲表测电流若甲是电压表，乙是电流表，闭合、断开，则甲表测电源电压【答案】D【解析】A ．若甲乙都是电压表，、都闭合，电流只有一条路径，则和串联，故A 错误；B ．若甲乙都是电流表，闭合、断开，电流有两条路径，分别经过两个电阻，则和是并联，故B 错误；C ．若甲电流表，乙是电压表，闭合、断开，电路中的简单电路，则甲表测电流，故C 错误；D ．若甲是电压表，乙是电流表，闭合、断开，则甲表串联在了干路中，测的是电源电压，故D 正确．故选D．【标注】【题型】串、并联电路的识别独步天下（1）12（2）21.如图甲所示，小明在探究“串联电路的电压特点”时，将两盏标有“，”（即灯泡两端允许加的最大电压不能超过，流过的最大电流不超过，否则灯泡会烧坏）的小灯泡串联起来，接到可调直流电源两端．小明在闭合开关后，发现电压表的指针偏转如图丙所示，这是因为 ；上述问题纠正后，小明正确操作测出了的电压．在测两端的电压时，为了节省实验时间，小明采用了以下方法：电压表所接的接点不动，只断开接点，并改接到接点上，小明用上面的方法能否测出两端的电压？为什么？答： ．调节直流电源两端的电压，使两灯泡都正常发光（即灯泡两端的电压均为）.突然，原来正常发光的两盏灯同时熄灭．发生这种故障的原因是什么呢？指导老师经过分析检查，给出下列两种原因供小明选择，你认为可能的是 ．A ．一盏灯断路，另一盏灯完好B ．一盏灯短路，另一盏灯完好为了检测故障，指导老师又提供了下列四种器材：A ．规格仍为“，”的灯泡； B ．符合要求的电压表；。
浓度问题讲义教师版
浓度问题【专题简析】：在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。
我们知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。
如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的比值决定的。
这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。
类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。
因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即，浓度＝溶质质量溶液质量×100％＝溶质质量溶质质量+溶剂质量×100％一、浓度问题中的基本量溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等溶液：溶质和溶剂的混合液体。
浓度：溶质质量与溶液质量的比值。
二、几个基本量之间的运算关系1、溶液=溶质+溶剂2、浓度＝溶质质量溶液质量×100％＝溶质质量溶质质量+溶剂质量×100％三、解浓度问题的一般方法1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程2、十字交叉法：【例题1】有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？【思路导航】根据题意，在7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。
因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。
原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克）现在糖水的质量：558÷（1－10％）＝620（克）加入糖的质量：620－600＝20（克）答：需要再加入20克糖。
练习11、现在有浓度为20％的糖水300克，要把它变成浓度为40％的糖水，需要加糖多少克？【答案】300×（1－20％）÷（1－40％）－300＝100克2、有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？【答案】20×（1－15％）÷（1－20％）－20＝1.25千克3、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。
高中数学复数讲义.教师版
复数知识内容一、复数的概念1．虚数单位 i:〔1〕它的平方等于1，即i2 1；2〕实数可以与它进行四那么运算，进行四那么运算时，原有加、乘运算律仍然成立．3〕i与－1的关系:i就是1的一个平方根，即方程21的一个根，方程21的另一个根是-i．x x〔4〕i的周期性：i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1．实数a(b0)2．数系的扩充：复数a bibi(b0)纯虚数bi(a0)虚数a非纯虚数a b i(a 0 )3．复数的定义：形如a bi(a，bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示4．复数的代数形式:通常用字母z表示，即z a bi(a，b R)，把复数表示成abi的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a，b R)，当且仅当b0时，复数abi(a，b R)是实数a；当b0时，复数zabi叫做虚数；当a0且b 0时，z bi叫做纯虚数；当且仅当ab0时，z就是实数06．复数集与其它数集之间的关系：N苘ZQ苘R C7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚局部别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a，a，b，d，c，dR，那么a bi cdia c，bd二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数zabi(a，bR)与有序实数对a，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z abi(a，b R)可用点Za，b表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0，0，它所确定的复数是z00i0表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数za bi 一一对应复平面内的点Z(a，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四那么运算1．复数z1与z2的和的定义：z1z2 a bi c di a c b di2．复数z1与z2的差的定义：z1z2abi cdi ac bdi3．复数的加法运算满足交换律:z1z2z2z14．复数的加法运算满足结合律:(z1z2)z3z1(z2z3)5．乘法运算规那么：设z1abi，z2c di(a、b、c、d R)是任意两个复数，那么它们的积z1z2abi c di ac bd bcadi其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚局部别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：〔1〕z1z2z3z1z2z3〔2〕(z1z2)z3z1(z2z3)〔3〕z1z2z3z1z2z1z37．复数除法定义：满足c di x yi a bi的复数x yi(x、y R)叫复数a bi除以复数c di的商，记为：(abi)c di或者abi c di8．除法运算规那么：设复数a bi(a、b R)，除以c di(c，d R)，其商为x yi〔x、y R)，即(a bi)c di x yi∵x yi c di cx dy dx cy i∴cx dy dx cyi a bixac bdcx dy a c2d2，由复数相等定义可知，解这个方程组，得dx cy by bc ad c2d2于是有:(a bi)c di ac bdbc adi2222 c d c d②利用c di c di c22abi的分母有理化得：d于是将c di原式a bi(a bi)(c di)[ac bi(di)](bc ad)i c di(c di)(cdi)c2d2(ac bd)(bc ad)i ac bd bc adc2d2c2d2c2d2i．∴((a bi)c di ac bd bc ad c2d2c2d2i点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c di与复数cdi，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而c di c di c2d2是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
2-1 圆(教师版)2021-2022学年九年级数学上册讲义(苏科版)
第2章对称图形----圆2.1 圆课程标准课标解读1、理解圆的定义（圆的描述概念和圆的集合概念）；2、掌握点和圆的三种位置关系；3、会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系；4、初步会运用圆的定义证明四个点在同一个圆上1、理解圆的描述概念和圆的集合概念；2、理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；3、经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；4、了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.知识点01 圆的定义1.圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”【微点拨】①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.目标导航知识精讲圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.【微点拨】①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.【即学即练1】1．圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利用了圆特征中的（）A．圆是曲线图形B．同一圆中所有直径都相等C．圆有无数多条对称轴D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小【答案】B【分析】根据同圆的直径都相等即可解答．【详解】解：圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利用了同一圆中所有直径都相等．故选：B．知识点02 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内⇔d ＜ r ；点P在圆上⇔d = r ；点P在圆外⇔d ＞r.“⇔”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.【微点拨】点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；PO=，则点P与O的位置关系是（）【即学即练2】2．已知O的直径为8，点P在同一平面内，6A．点P在O内B．点P在O上C．点P在O外D．无法判断【答案】C【分析】先求出⊙O的半径，再根据点与圆的位置关系即可求解．【详解】解：⊙⊙O的直径为8，⊙⊙O的半径为4，⊙PO=6＞4，⊙点P在⊙O外．故选：C．知识点03 与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.【微点拨】直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.【微点拨】①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.【微点拨】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.【微点拨】同圆或等圆的半径相等.5.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.【微点拨】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.【即学即练3】3．对于圆周率 的研究，我国古代数学家们也做出了巨大贡献，如东汉初年的一本著作中就有“径一周三”的古率记载，这本著作是（）A ．《九章算术》B ．《海岛算径》C ．《周髀算经》D ．《孙子算径》【答案】C 【分析】根据数学史实解答即可． 【详解】解：历史上，对于圆周率π的研究是古代数学一个经久不衰的话题．在我国，东汉初年的《周髀算经》就有“径一周三”的古率记载． 故选C ．知识点04 确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A 、B 能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上； （3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O 是△ABC 的外接圆， △ABC 是⊙O 的内接三角形，点O 是△ABC 的外心.外心的性质：外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 【微点拨】（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【即学即练4】4．已知AB 是O 的弦，O 的半径为r ，下列关系式一定成立的是（ ） A ．AB r > B ．AB r <C ．2AB r <D ．2AB r ≤【答案】D根据“直径是最长的弦”进行解答即可． 【详解】解：若AB 是O 的直径时，2AB r =，若AB 不是O 的直径时2AB r <，无法判定AB 与r 的大小关系． 观察选项，只有选项D 符合题意． 故选D ．考法01 判断点和圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么： 点P 在圆内 ⇔d ＜ r ； 点P 在圆上 ⇔d = r ； 点P 在圆外 ⇔d ＞r.“⇔”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.【典例1】如图，线段OA 绕点O 旋转，线段OB 的位置保持不变，在AB 的上方作等边PAB △，若1OA =，3OB =，则在线段OA 旋转过程中，线段OP 的最大值是（ ）A．10 B ．4C ．25D ．5【答案】B 【分析】首先构造以OB 为边的等边⊙'OO B ，再证明'OBA O BP ，证明AO=O’P ，因为OA 的长度不变，所以动点A 在以O 为圆心，半径为1的圆上运动，因为O’P 的长度不变，O’不动，所以动点P 在以O’为圆心，半径为1的圆上运动，当三点O,O’,P 共线时，OP 最大，即可求得．能力拓展如图，以OB 为边作等边'OO B △，连接O’P ，⊙OB=O’B,⊙⊙PAB 为等边三角形， ⊙AB=BP,⊙1+⊙2=23∠+∠=60°, ⊙⊙1=⊙3，在⊙OBA 和'O BP 中'12OB OB AB BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙'()OBA O BP SAS⊙OA=O’P ，点A 在以O 为圆心，半径的1的圆上运动，P 在以O’为圆心，半径为1的圆上运动， 当O,O’,P 三点共线时，OP 最大， 此时OP''314OO O P ,故选：B ．考法02 已知圆内一点求过该点的最长弦直径是圆中最长的弦，我们可以将圆中的弦分为两类：一类是经过圆心的弦（即直径）；另一类是不经过圆心的弦，如图1，AB 是⊙O 中的任意一条不经过圆心的弦，连结OA ，OB ，根据三角形的三边关系都有OA+OB>AB ，即，直径的长大于非直径的弦长，所以直径是圆中最长的弦。
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【讲义纲要】一、先秦（一）诗经（二）孔子（三）孟子（四）左传（五）战国策（六）荀子一、先秦部分一、诗经【教学目标】1、了解《诗经》的成书过程2、了解“诗经六义”3、了解古代劳动人民的生活文学常识介绍：《诗经》是我国最早的诗歌总集。
它收集了从西周初期至春秋中叶大约500年间的诗歌305篇。
先秦称为《诗》，或取其整数称《诗三百》。
西汉时被尊为儒家经典，始称《诗经》，并沿用至今。
在成书过程方面，现在通常认为《诗经》为各诸侯国协助周朝朝廷采集，之后由史官和乐师编纂整理而成。
孔子也参与了这个整理的过程。
《诗经》所录，均为曾经入乐的歌词。
《诗经》的体例是按照音乐性质的不同来划分的，分为风、雅、颂三类。
①风，是不同地区的地方音乐。
《风》诗是从周南、召南、魏、唐、秦、陈、桧、曹、等15个地区采集上来的土风歌谣。
共160篇。
大部分是民歌。
②雅，是周王朝直辖地区的音乐，即所谓正声雅乐。
《雅》诗是宫廷宴享或朝会时的乐歌，按音乐的不同又分为《大雅》31篇，《小雅》74篇。
③颂，是宗庙祭祀的舞曲歌辞，内容多是歌颂祖先功业的。
所谓《诗经》“六义”，其中风、雅、颂，是指体例分类来说的；赋、比、兴，是就表现手法而言。
“赋”，是直铺陈叙述。
是最基本的表现手法。
如“死生契阔，与子成说。
执子之手，与子偕老”，即是直接表达自己的感情。
“比”，也就是比喻之意，明喻和暗喻均属此类。
《诗经》中用比喻的地方很多，手法也富于变化。
如《氓》用桑树从繁茂到凋落的变化来比喻爱情的盛衰；《鹤鸣》用“他山之石，可以攻玉”来比喻治国要用贤人；《硕人》连续用“葇荑”喻美人之手，“凝脂”喻美人之肤，“瓠犀”喻美人之齿，等等，都是《诗经》中用“比”的佳例。
“赋”、“比”是一切诗歌中最基本的表现手法，“兴”则是《诗经》乃至中国诗歌中比较独特的手法。
“兴”，也就是借助其他事物为所咏之内容作铺垫。
它往往用于一首诗或一章诗的开头。
进一步，“兴”又兼有了比喻、象征、烘托等较有实在意义的用法。
如《桃夭》一诗，开头的“桃之夭夭，灼灼其华”，写出了春天桃花开放时的美丽氛围，可以说是写实之笔，但也可以理解为对新娘美貌的暗喻，又可说这是在烘托结婚时的热烈气氛。
但正因为“兴”原本是思绪无端地飘移和联想而产生的，所以即使有了比较实在的意义，也不是那么固定僵板，而是虚灵微妙的。
“兴”正是这样一种微妙的、可以自由运用的手法，构成了中国古典诗歌的一种特殊味道。
总之，《诗经》是中国现实主义文学的光辉起点。
由于其内容丰富、思想和艺术上的高度成就，在中国以至世界文化史上都占有重要地位。
它开创了中国诗歌的优秀传统，对后世文学产生了不可磨灭的影响。
《诗经》名句1、有匪君子，如切如磋，如琢如磨。
《诗经·国风·卫风·淇奥》译：美君子文采风流，似象牙经过切磋，如美玉经过琢磨。
2、言者无罪，闻者足戒。
《诗经·周南·关雎·序》译：提意见的人只要是善意的，即使提得不正确，是无罪的。
听取意见的人即使没有对方所提的缺点错误，也值得引以为戒。
3、桃之夭夭，灼灼其华。
《诗经·国风·周南·桃夭》译：桃树蓓蕾缀满枝杈，鲜艳明丽一树桃花。
4、巧笑倩兮，美目盼兮。
《诗经·国风·卫风·硕人》译：浅笑盈盈酒窝俏，晶莹如水眼波妙。
5、知我者谓我心忧，不知我者谓我何求。
悠悠苍天,此何人哉? 《诗经·国风·王风·黍离》译：了解我的人，能说出我心中忧愁；不了解我的人，以为我有什么要求。
高远的苍天啊，我怎么会是这样？二、孔子【教学目标】1、了解孔子生平及其思想2、理解孔子倡导的学习方法3、了解孔门主要弟子孔门弟子孔门弟子按照跟从孔子学习时间的先后有“先进”与“后进”之分。
“先进”者指孔子周游列国去鲁之前招收的弟子，主要有子路、冉有、宰我、子贡、颜渊、闵子骞、冉伯牛、仲弓、原宪、子高、公西华等。
“后进”者指孔子68岁返鲁之后招收的弟子，主要有子游、子夏、子张、曾参、有若、樊迟、漆雕开等。
总体来说，对于“先进”的弟子，孔子着重培养他们从政的能力；对于“后进”的弟子，孔子着重培养他们文学及“传道”的能力。
《论语•先进》中就根据他们的专长，列举过最为突出的代表者：“德行——颜渊、闵子骞、冉伯牛、仲弓；言语——宰我、子贡；政事——冉有、季路；文学——子游、子夏。
”毫无疑问，孔门弟子们对继承、传播、发展儒学做出了很多的贡献。
仲由，字子路。
“野人学礼修正果，舍生取义志伉直。
”颜回，字子渊。
“迁怒贰过皆不为，安贫乐道却早殁。
”端木赐，字子贡。
“学有余力聚千金，纵横捭阖展雄才。
”卜商，字子夏。
“命理始祖桃李遍，辈晚才高佳作传。
”冉求，字子有。
“率军御侮捷报传，过而能改子可教。
”冉雍，字仲弓。
“圣王之后竟犁牛，德化教民志不渝。
”冉耕，字伯牛。
“坦直身正威望高，英年早逝扼腕惜。
”闵损，字子骞。
“子单不愠佳名传，老成淡泊拒费宰。
”宰予，字子我。
“昼寝之人非庸才，敢于质疑三年丧。
”言偃，字子游。
“礼乐教民独一帜，儒学之泽润江南。
”师徒故事1、鲁国的法令规定，鲁国的人作了他国的妾仆，能够将他们赎回的人，可以到国家的府库去取赎金。
有一次，子贡在外国赎回了鲁国人，却没有去府库取赎金。
孔子说，端木赐错了，圣人做事，可以凭借它移风易俗。
他的教导可以在老百姓当中实行，而不是只适合于自己的行为。
如今鲁国富裕的人少而贫困的人多，有几个人能拿自己的钱去赎回鲁国人呢？领取了府库里的赎金，无损于他自己的行为，而不去取赎金，就不会再有人去赎回鲁国人了。
有一次子路救了一个落水的人，那个人就送了一头牛来感谢他，子路接受了这头牛。
孔子十分高兴地说，仲由呀，你做的对呀！鲁国一定会有更多愿意拯救落水者的人了！2、（孔子周游列国厄于陈、蔡之时）孔子知道弟子们有怨恨之心，就召见子路而询问道：“《诗》中说：‘不是犀牛也不是老虎，却疲于奔命在空旷的原野。
’我们的学说难道有不对的地方吗？我们为什么沦落到这个地步？”子路说：“猜想我们还没有达到仁吧！所以别人不信任我们。
猜想我们还没有达到知吧！所以别人不实行我们的学说。
”孔子说：“有这些缘由吗！仲由，我打比方给你听，假如仁者就必定受到信任，那怎么还会有伯夷、叔齐？假如知者就必定能行得通，那怎么还会有王子、比干？”子路出去后，子贡进入见面。
孔子说：“赐啊，《诗》中说：‘不是犀牛也不是老虎，却疲于奔命在空旷的原野。
’我们的学说难道有不对的地方吗？我们为什么沦落到这个地步？”子贡说：“老师的学说极其弘大，所以天下没有国家能容得下您。
老师是否可以稍微降低一点标准呢？”孔子说：“赐，优秀的农夫善于播种耕耘却不能保证获得好收成，优秀的工匠擅长工艺技巧却不能迎合所有人的要求。
君子能够修明自己的学说，用法度来规范国家，用道统来治理臣民，但不能保证被世道所容，如今你不修明你奉行的学说却去追求被世人收容。
赐，你的志向太不远大了！”子贡出去后，颜回入门进见。
孔子说：“回啊，《诗》中说：‘不是犀牛也不是老虎，却疲于奔命在空旷的原野。
’我们的学说难道有不对的地方吗？我们为什么沦落到这个地步？”颜回说：“老师的学说极其弘大，所以天下没有国家能够容纳。
即使如此，老师推广而实行它，不被容纳怕什么？正是不被容纳，然后才显出君子本色！老师的学说不修明，这是我们的耻辱。
老师的学说已经努力修明而不被采用，这是当权者的耻辱。
不被容纳怕什么？不被容纳然后才显出君子本色！”孔子高兴地笑道：“有道理啊，颜家的孩子！假使你拥有许多财产，我给你当管家。
”3、子路小时候家里非常穷，他侍奉父母却是极尽孝心，即使家徒四壁，也要竭尽所能让父母吃好穿好，而自己往往只随便吃些粗粮。
有一次，家里没有粮食吃了，卞州的粮价却一路飞涨，家里仅剩的那些钱已无法维持下去。
子路听说百里之外的某地粮价较低，便不分昼夜地亲自赶往那里买了米，扛着回家。
看着父母又能吃上米饭，他心里非常高兴。
两位老人过世后，子路游学到南方，得到楚王的重用。
每次外出随从的车子都有上百辆，座位上的垫子铺得特别厚，每次宴饮都是丰盛的佳肴，在当时声势极为煊赫。
子路却一点也不高兴，面对着自己拥有的一切往往黯然神伤，叹息着对人说：“我现在虽然高贵了，可我的父母在哪里?我还想吃粗粮，还想像当年一样肩扛米袋步行百里回家，可是这一切都没有机会了。
”三、孟子【教学目标】1、岑参、高适边塞诗的异同岑参、高适均为唐朝杰出的边塞诗人，二人的诗歌内容方面岑参的边塞诗成就最高的是在边塞风光、边塞生活的描写。
“北风卷地白草折，胡天八月即飞雪。
忽入一夜春风来，千树万树梨花开”十分生动形象的描绘出一幅边地雪景。
充满着异域情调和浪漫色彩。
高适的边塞诗则以思想深刻见称，现实意义和社会意义比岑参的诗更强烈。
《燕歌行》，诗中通过对比手法，写出了我军将士浴血奋战，保卫孤城的献身精神。
更更可贵的是同情下层士兵，还通过对比，揭露将士之间苦乐悬殊的不平待遇，指出这是造成边战失利的重要原因，“战士军前半死生，美人帐下犹歌舞”，这就难怪使士兵们“至今犹忆李将军”。
这种前后呼应的描写，饱含了作者对视士兵如草芥的将军的强烈遣责。
使诗的思想性更为深刻。
风格方面岑参注重观察，精于细节描绘。
“日末鸟飞急，山高运过迟。
”；语言平凡却新奇独特“沙上见日出，沙上见日落。
”“匹马西从天外来归，扬鞭只共鸟争飞。
”“将军金甲夜不脱，半夜行军戈相拔。
”从细节处写大背景、大场面。
岑诗多比喻和夸张，“忽如一夜春风来，千树万树梨花开。
”便是代表。
岑参描写边塞风光的奇异，往往起到烘托的作用。
“君不见走马川，雪海边，平沙莽莽黄入天。
”以恶劣的自然环境烘托战士的不畏艰险。
岑参擅长的题材是七言歌行和七言绝句，如《逢入京使》：“故园东望路漫漫，双袖龙钟泪不干。
马上相逢无纸笔，凭君传语报平安。
”表达赴边塞时对家乡和亲友的思念，情真意切，反映了诗人情感生活及诗风深沉细腻的一面。
高适诗多寄壮气于苍凉中的慷慨悲歌，“曾是不得意，适来兼别离。
如何一尊酒，翻作满堂悲。
”“暮天摇落伤怀抱，倚剑悲歌对秋草。
”“斗酒相留醉复醒，悲歌数年泪如雨。
”悲歌声里，跳动着一颗不甘寂寞的雄心。
高适写景状物常从大处落笔，粗犷雄浑。
“风飙生惨烈,雨雪暗天地”（《效古赠崔二》），“关山唯一道,雨雪尽三边”“黯黯长城外, 日没更烟尘”《别冯判官》《蓟门》，“黄河曲里沙为岸,白马津边柳向城”(《夜别韦司士》)多么雄浑悲壮。
高适诗作中，对比和反衬手法运用娴熟，“战士军前半生死，美人帐下犹歌舞。
”战士与将军，效命疆场与纵情声色的对比；“大漠孤烟塞草腓，孤城落日斗兵稀”寥寥数语便勾勒出战争失利的场面。
抒情方面岑参诗歌除有部分直抒胸臆外，还侧重于对自然景物的描绘。
诗人善于运用夸张的手法和奇特的想象描写塞外雄奇壮丽的自然景物，以个人感受来写客观实在的景物，虽“迥拔孤秀，出于常情”，却又“奇而入理”，令人信服。