线性代数-向量空间与线性方程组解的结构
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章线性代数基本概念1.1 向量空间教学目标：1. 理解向量空间的概念及其性质；2. 掌握向量空间中的线性组合和线性关系；3. 了解向量空间的基和维数。
教学内容：1. 向量空间的概念；2. 向量空间的性质；3. 线性组合和线性关系；4. 基和维数的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入向量空间的概念，引导学生理解向量空间的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性组合和线性关系的计算方法；3. 通过案例分析，让学生了解基和维数的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入向量空间的概念，讲解向量空间的基本性质；2. 讲解线性组合和线性关系的计算方法，举例说明；3. 介绍基和维数的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂问答，检查学生对向量空间概念的理解；2. 练习题，检查学生对线性组合和线性关系计算方法的掌握；3. 案例分析，检查学生对基和维数概念及计算方法的掌握。
1.2 线性变换教学目标：1. 理解线性变换的概念及其性质；2. 掌握线性变换的矩阵表示；3. 了解线性变换的图像和核。
教学内容：1. 线性变换的概念；2. 线性变换的性质；3. 线性变换的矩阵表示；4. 线性变换的图像和核的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入线性变换的概念，引导学生理解线性变换的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性变换的矩阵表示方法；3. 通过案例分析，让学生了解线性变换的图像和核的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入线性变换的概念，讲解线性变换的基本性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示方法，举例说明；3. 介绍线性变换的图像和核的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
同济大学线性代数教案第三章向量空间与线性方程组解的结构
线性代数教学教案第三章 向量组及其线性组合授课序号01,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭维向量写成),,n a个分量，其中T,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量0⎪⎪⎪⎭或()0,0,,00=.2n a ⎪⎪⎪⎭称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：122,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭β，k ∈，则有1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β； （2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,,n n n n b ba a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭；()111212212221212,,,n n n n n n n n a b a b a b a b a ba b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭. 二、向量组及其线性组合：：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． ：给定n 维向量组,,,n ααα，对于任意一组数,,,n k k k ，表达式+n n k k α,n α和一个,n k ，使得++n n k =βα，,,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.三、向量组的等价：由向量组B 线性表示：,,m αα是m ,,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,,m αα与向量组:B 2,,,s βββ. 令矩阵),m A α，),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程=B向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程=BY A四、主要例题：1211222221122n n n n m m mn n ma x a x a x a x a xb +++++=中第()121,2,,i i i mi a ai n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，维列向量2m b ⎪⎪⎪⎭， n n x β+=α12122212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪⎪-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫授课序号02,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线性无关.m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k +++=0ααα有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性如果向量组12,,,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e ，对任意一组数12120001001n n n n k k k k k k k ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e ，0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα授课序号03,r α满足条件：）向量组1,,r ααα线性无关；）对于A 中任意的向量β，向量组,,r αβ线性相关，则称向量组12,,r ααα为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组向量组A 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为等价的向量组有相同的秩二、矩阵秩的概念及求法：rB ，则RA B ,n α为列构作矩阵),,n α，对矩阵的阶梯数给出矩阵的秩，从而给出向量组1,,n ααα的秩),n β，,n α与向量组,n β有相同的线性相关性，从而可以根据向量组,n β的极大无关组给出向量组12,,,n ααα的极大无关组，并给出不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示的表示20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e 线性无关，所以该向量组的极大无关组就是它3145,1227⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭α，向量1α与2α的分量不对应成比例，。
线性代数第三章线性方程组第4节线性方程组解的结构
c1
1 0
c2
0 1
k1
1 1
k2
2 2
1
0
0
1
得 c1 k2
cc12
k1 k1
2k2 2k2
c1 k2
即 c1 k2 0
cc12
k1 k1
2k2 2k2
0 0
c1 k2 0
解得 c1 k2，c2 k2，k1 k2.
取
k2 k 0,
则方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的公共解为
(kk21
(k1 k2 )
k2 k2
)0 0
解之得到
k1 k2.
当k1 k2 0时，向量
k1(0,1,1, 0)T k2 (1, 2, 2,1)T k2[(0,1,1, 0)T (1, 2, 2,1)T
满足方程组(Ⅰ).
k2 (1,1,1,1)T
并且它也是方程组(Ⅱ)的解，故它是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的 公共解.
定理3.17 若0是非齐次线性方程组AX=b的一个解，则方程组 AX=b的任意一个解 都可以表示为 0 其中 是其导出组AX=0的某个解，0称为方程组
AX=b的一个特解.
例7 求线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 3x5 5
3x1
2x1 4x2
x2 2x4 6x5 1 5x3 6x4 3x5
0 0
x1 5x2 6x3 8x4 6x5 0
的一个基础解系.并求方程组的通解.
解 方程组中方程个数小于未知量的个数，所以方程组有 无穷多解.
对方程组的系数矩阵施以初等行变换，化为简化的阶 梯形矩阵：
3 1 6 4 2
A 2
2
3 5
3
1 5 6 8 6
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,..化为三角形行列式⑤上下三角形行列式: 行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k k A A A +=2121)(k k k kA A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵 初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式n ij nn ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的.矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置T A 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB 但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B AA 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵. 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A A A A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==** 4、1*-=A A A A 可逆 5、1*-=n A A 6、()()A AA A 1*11*==--A 可逆7、()()**T TA A = 8、()***AB AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A I I A n n 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()nm ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果rj j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由rj j j ααα,.....,21线性表出.秩:极大无关组中所含的向量个数.定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r.现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T Tn TTTnTTr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r Tn T T <⇒)....(21ααα 线性无关充要n r T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=T T T ααα；无关,则0321≠T T T ααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关.定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关. 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的. 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21αα I 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数.非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμII 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解. 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解.第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ;),(),(1111j i sj j ri i j sj j ri i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵；２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量. |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值则1-A --------λ1 则m A --------m λ则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1若2A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P6、若A~B,则它们有相同的特征值. 特征值相同的矩阵不一定相似7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100-=P PB AO AP P =-1 A=OI AP P =-1 A=II AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线.约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵. 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1.第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型. 标准型：形如 的二次型,称为标准型.规范型：形如 的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。
线性代数讲义 (24)
1 –2 1 –1 1 –1 0 1 1 0 0 –1 0 4 –4 4 –5 7 0 –1 –1 0 0 1
8/13 第5章 向量组与解空间 第5节 线性方程组的解的结构
1 0 3 –1 1 –3 0 1 1 0 0 –1 0 0 –8 4 –5 11 000 0 0 0
1 0 0 12– – 78– 98– 0 1 0 12– – 58– 38– 0 0 1 – –12 –85 – 1–81– 000 0 0 0
解为
X = + c11 + c22 + + cn–rn–r, c1, c2, , cn–r R.
线性方程组的这样的通解表达式给出了解的新的 含义, 使得解的结构更加清楚.
7/13 第5章 向量组与解空间 第5节 线性方程组的解的结构
p.98 例1
例 1 求解下列线性方程组的通解: x1 – 2 x2 + x3 – x4 + x5 = –1,
x1 x2
+ b1,r+1 xr+1 + + b2,r+1 xr+1 +
+ b1n xn = 0, + b2n xn = 0,
xr + br,r+1 xr+1 + … + brn xn = 0, 0 = 0,
0 = 0,
3/13 第5章 向量组与解空间 第5节 线性方程组的解的结构
于是 AX = 0 的解为
若 1, 2, , s 是 AX = 0 的一个基础解系, 则 AX = 0 的任一解 可以唯一地表示为
= k11 + k22 + + kss, k1, k2, ks R,
高等代数1
高等代数高等代数是现代数学中的一门重要学科，它研究的是代数结构的基础和性质。
代数结构是指由一组元素及其相关运算组成的数学系统，如群、环、域等。
高等代数是对线性代数和抽象代数等基础知识的延伸和深化，对于理解现代数学中许多分支都至关重要。
一、线性代数高等代数中最基础的部分是线性代数。
线性代数是代数学中的一个分支，主要研究向量、矩阵以及线性方程组的性质和运算。
线性代数是微积分和微分方程等数学领域必不可少的基础知识，它的应用范围也很广泛，包括了图像处理、信号处理、机器学习等领域。
1. 向量空间向量空间是线性代数中最重要的概念之一，它是由一组向量以及其对应的加法和数乘运算组成的数学结构。
向量可以是实数向量或复数向量，它们具有加法、数乘、向量求和、向量求差等运算。
2. 线性变换线性变换是一种从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它具有线性性质。
线性变换的本质是将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，它可以用矩阵表示，从而得到更方便的运算方式。
3. 矩阵及其运算矩阵是线性代数中常见的数学工具，它具有加法、数乘、矩阵乘法等运算，可以用于解决线性方程组、对称矩阵的特征值和特征向量等问题。
二、抽象代数抽象代数是研究代数结构的基本性质和理论结构的一门学科，它通过对代数结构的抽象和推广，研究了许多重要的代数性质。
抽象代数包括了群论、环论、域论等领域。
1. 群论群是一种有限或无限的、具有代数结构的量，它由一组元素以及合成运算组成。
群具有封闭、结合、单位元和逆元等运算性质，在数学研究中被广泛应用。
群论的应用领域包括了几何学、物理学、密码学等领域。
2. 环论环是一种数学结构，它由一个集合以及两个二元运算（加法和乘法）组成。
环论是研究环以及环上的运算和性质的数学分支，它的应用包括了计算机科学、代数几何学等领域。
3. 域论域是一种具有加法、乘法、加法逆元和乘法逆元等运算的数学结构，它是一个基本的代数结构。
域论是研究域以及域上的运算和性质的数学分支，它在现代数学和理论物理学中都有广泛的应用。
高等代数知识点总结
高等代数知识点总结高等代数是一门研究抽象代数结构的数学学科。
它是线性代数的拓展，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式等知识点。
以下是高等代数的主要知识点的总结。
1.向量空间：向量空间是高等代数的核心概念之一、它是一组满足特定性质的向量的集合。
向量空间具有几何和代数两种性质，包括加法、数乘、零向量、负向量等。
2.线性变换：线性变换是一种保持向量空间线性组合关系的变换。
它可以通过矩阵来表示，矩阵的乘法与线性变换的复合运算等价。
线性变换的性质包括保持加法和数乘、保持零向量、保持线性组合等。
3.矩阵理论：矩阵是高等代数中常用的工具，用于表示线性变换、求解线性方程组等。
矩阵具有加法、数乘、乘法等运算规则，还可以求逆矩阵、转置矩阵等。
矩阵的秩、特征值与特征向量等性质也是矩阵理论的重要内容。
4.线性方程组：线性方程组是高等代数中的基本问题之一、它是一组包含线性方程的方程组，可以用矩阵形式表示。
线性方程组的求解可以通过消元法、高斯消元法、矩阵求逆等方法来实现。
5.特征值与特征向量：特征值与特征向量是线性变换的重要性质。
特征值是线性变换在一些向量上的纵向缩放比例，特征向量是特征值对应的非零向量。
特征值与特征向量在很多应用中起到重要作用，如矩阵对角化、求解微分方程等。
6.行列式：行列式是矩阵的一个标量量。
行列式的值代表矩阵所对应的线性变换对单位面积进行的放缩倍数。
行列式具有反对称性、线性性、乘法性等性质，可以用于求解矩阵的逆、计算特征值等。
7.正交性与正交变换：正交性是高等代数中的一个重要概念。
向量空间中的两个向量称为正交，如果它们的内积为零。
正交性和正交变换在几何、物理、信号处理等领域有广泛应用。
8.对称性与对称变换：对称性是高等代数中的一个重要概念。
对称性指的是其中一变换下，物体经过变换后保持不变。
对称性与对称变换在几何、物理、化学等领域有广泛应用。
总结起来，高等代数是一门研究抽象代数结构的学科，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式、正交性与正交变换、对称性与对称变换等知识点。
《线性代数》教学课件—第4章 向量线性相关 第四节 线性方程组的解的结构
2. 基础解系的求法
设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个
列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为
1
0
b11
b1,nr
B
0
0
1 0
br1 0
br,nr
,
0
0
0
0
0
与 B 对应, 即有方程组
x1
b11xr1 b1,nr xn
,
(3)
例 12 求齐次线性方程组
2xx11x52x2
x3 x4 3x3
2
0, x4
0,
7x1 7x2 3x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵 A 作初等行变换, 变为行最
简形矩阵, 有
1
1
1 1
行变换
1
0
2 7 5
3
7 4
例 13 设 Am×nBn×l = O，证明
xr
br1xr1 br,nr xn
,
把 xr+1 , ···, xn 作为自由未知量，并令它们依次 等于 c1 , ···, cn-r ，可得方程组 (1) 的通解
x1
b11
b12
b1,nr
xr
br1
br
2
br
,nr
xr1 c1 1 c2 0 cnr 0 .
把方程 Ax = 0 的全体解所组成的集合记作 S ,
如果能求得解集 S 的一个最大无关组 S0 : 1 , 2 , ···, t，那么方程 Ax = 0 的任一解都可由最大无关
组 S0 线性表示；另一方面，由上述性质 1、2 可 知，最大无关组 S0 的任何线性组合
向量空间的同构知识点总结
向量空间的同构知识点总结一、引言向量空间是线性代数中的一个重要概念，它是一个具有加法和数乘运算的集合，同时满足一定的性质。
同构是一个重要的概念，它指的是两个向量空间之间存在一个双射线性变换，使得它们具有相同的结构。
在本文中，我们将对向量空间的同构进行详细的介绍和总结。
二、向量空间的定义和性质向量空间是一个非空集合V，集合中的元素被称为向量，同时满足以下性质：1.加法封闭性：对于任意的向量u，v∈V，u+v∈V。
2.数乘封闭性：对于任意的向量u∈V和标量α，αu∈V。
3.加法结合律：对于任意的向量u，v，w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。
4.加法交换律：对于任意的向量u，v∈V，有u+v=v+u。
5.加法单位元：存在一个向量0∈V，对于任意的向量u∈V，有u+0=u。
6.加法逆元：对于任意的向量u∈V，存在一个向量-v∈V，使得u+(-v)=0。
7.数乘结合律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(αβ)u=α(βu)。
8.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(α+β)u=αu+βu。
9.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有α(u+v)=αu+αv。
在向量空间中，我们可以定义向量的长度和夹角，从而引出内积和范数的概念。
内积和范数是向量空间的重要性质，它们在向量的运算和分析中起着重要的作用。
三、同构的概念同构是指两个向量空间之间存在一个一一对应的线性变换，使得它们具有相同的结构。
具体定义如下：设V和W是两个向量空间，如果存在一个线性变换T:V→W是一个一一对应，同时满足T(u+v)=T(u)+T(v)和T(αu)=αT(u)，则称V与W同构。
此时，我们将T称为从V到W的同构映射。
同构的概念是非常重要的，在许多情况下，我们需要将一个向量空间映射到另一个向量空间，通过同构，我们可以保持向量空间的结构不变，从而方便我们进行运算和分析。
四、同构的性质同构具有一些重要的性质，这些性质在研究向量空间的同构时起着重要的作用：1.同构是一一对应的：同构映射T是一个双射。
线性代数—线性方程组解的结构
r ( A) = r ( A ) = 2 < n = 4 ,
为自由未知量， 所以有无穷多解。 所以有无穷多解。 选 x3 , x4 为自由未知量，
16
0 1 4 − 3 5 − 2 → 0 − 7 5 − 9 0 , 选 x3 , 5 0 0 0 0 0 0
为自由未知量， x4 为自由未知量，
第五节
1
回顾： 回顾：
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
其中 A = ( A, b) 为增广矩阵。 为增广矩阵。 在有解的情况下， 在有解的情况下，
当 r ( A) = n 时有唯一解； 时有唯一解；
时有无穷多解； 当 r ( A) < n 时有无穷多解；自由未知量个数为 n − r (A) .
1 2 1 −1 1 1 4 −3 5 −2 解 A = 3 − 2 1 − 3 4 → 0 −7 5 −9 5 1 4 − 3 5 − 2 0 −14 10 −18 10
1 4 − 3 5 − 2 →0 − 7 5 − 9 5 , 0 0 0 0 0
1 1 5 −9 导出组的基础解系： 导出组的基础解系： ξ 1 = , ξ 2 = , 7 0 0 7 6 7 −5 7 所以全部解为 x = ξ 0 + k 1ξ 1 + k 2ξ 2 , ξ 特解： 特解： 0 = , 0 k1 ,k2 任意。 任意。 0
1 3 A= 0 5
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 − 3 0 − 1 − 2 − 2 − 6 → 0 1 2 2 6 1 2 2 6 0 − 1 − 2 − 2 − 6 4 3 3 − 1
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构线性方程组是线性代数的基本内容，在数学的其他分支、自然科学、工程技术以及生产实际中都经常用到，是一个非常重要的理论基础和数学工具。
本课题主要利用向量知识和矩阵的初等变换以及矩阵的秩的相关知识，对线性方程组的解法以及线性方程组解的性质、结构进行较为全面的总结，以便更系统的理解线性方程组及其应用，从而更好地利用线性方程组解决实际问题。
一、基本概念（1） 齐次线性方程组：，形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）的方程组称为数域上的n 元齐次线性方程组，它的系数矩阵是n m ij a A ⨯=)(，未知量可以表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21，则0X A = (1)称为齐次线性方程组的矩阵形式。
（2）非齐次线性方程组：形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.22112222212*********,,m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的方程组成为数域上的n 元非齐次线性方程组，它的系数矩阵为mn ij a A )(=,增广矩阵为),,,,(),(~21βαααβn A A ==，未知量可以表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21，则X=βA (2)称为齐次线性方程组的矩阵形式。
称齐次线性方程组0X A =是线性方程组的导出组。
二、 线性方程组有解的判定定理我们将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.22112222212*********,,m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （2.1）写成向量形式：1122.n n x x x αααβ++⋅⋅⋅+= （2.2）其中()j 1,2,,j n α=⋅⋅⋅是系数矩阵A 的第j 个列向量，β是常数向量。
线性代数(简明版)
线性代数（简明版）线性代数简明版线性代数是数学中的一个分支，研究的是线性方程组、矩阵及其运算以及向量空间等结构和性质。
它是数学的一门基础学科，被广泛应用于科学和工程领域。
向量和向量空间线性代数的基本对象是向量，向量可以看作是一组有序数值的集合。
向量的加法可以用几何意义来理解，即将两个向量首尾相接形成一个新的向量。
例如下图中的 a 和 b 向量相加，得到的就是 c 向量。
向量的数乘是指将向量的每个分量乘以一个标量。
这个标量可以是任意实数或复数。
例如，3a 就是把向量 a 的长度扩大了 3 倍。
向量空间是指有限个向量构成的集合，这些向量必须满足以下几个性质：1. 集合中的任意两个元素都可以进行加法。
2. 加法满足交换律、结合律和存在一个零向量的性质。
3. 集合中的任意一个向量都可以进行数乘。
4. 数乘满足分配律和结合律。
线性方程组和矩阵线性方程组是一组线性方程的集合，其中所有未知量的指数都为 1。
例如，下面的一组方程就是线性方程组。
x + 2y = 33x - 4y = 5线性方程组可以用矩阵表示，如下所示。
其中，左边的矩阵 A 就是系数矩阵，右边的矩阵 b 就是常数矩阵。
线性方程组的解就是向量 x，满足 Ax=b。
矩阵是一个有限的二维数组，它可以表示一组数值或者矢量。
例如，下面的矩阵就是一个 2 行 3 列的矩阵。
矩阵的加法和数乘也可以与向量类似地定义。
两个矩阵相加就是将对应元素相加形成一个新的矩阵；矩阵与一个标量相乘，就是将矩阵的每个元素分别乘以该标量。
矩阵乘法矩阵乘法是线性代数中的一个重要概念，通常表示为 A × B。
其中，A 必须是一个 m 行 n 列的矩阵，B 必须是一个 n 行 p列的矩阵。
线性方程组解的判定与解的结构
***学院数学分析课程论文线性方程组解的判定与解的结构院系数学与统计学院专业数学与应用数学（师范）姓名*******年级 2009级学号200906034***指导教师 ** 2011年6月线性方程组解的判定与解的结构姓名******（重庆三峡学院数学与计算机科学学院09级数本？班）摘 要：线性方程组是否有解，用系数矩阵和增广矩阵的秩来刻画．在方程组有解且有 多个解的情况下，解的结构就是了解解与解之间的关系． 关键词：矩阵； 秩； 线性方程组； 解引言通过系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同来给出判定线性方程组的解的判别条件．在了解了线性方程组的判别条件之后，我们进一步讨论解的结构．对于齐次线性方程组，解的线性组合还是方程组的解．在线性方程组有无穷个解时可用有限多个解表示出来．另外以下还涉及到线性方程组通解的表达方式．1 基本性质下面我们分析一个线性方程组的问题，导出线性方程组有解的判别条件． 对于线性方程组11112211211222221122n n n n s s sn n sa x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩ (1)引入向量112111s αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦，122222s αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦，…12n n nsn αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦，12s b b b β⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦ 方程（1）可以表示为1122n n x x x αααβ++⋅⋅⋅+=性质 线性方程组⑴有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组α1,α2,…，αn 的线性组合.定理1 线性方程组⑴有解的充分必要条件为它的系数矩阵111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭与增广矩阵A =⎛⎝111212122212n ns s sna a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12s b b b ⎫⎪⎪⎪⎪⎭有相同的秩.证明 先证必要性，设线性方程组（1）有解，就说说，β可以经过向量组1α，2α，⋅⋅⋅nα线性表出．由此立即推出，向量组1α，2α，⋅⋅⋅n α与向量组1α，2α，⋅⋅⋅n α，β等价，因而有相同的秩，这两个向量组分别是矩阵A 与A 的列向量组．因此矩阵A 与A 有相同的秩． 再证充分性，设矩阵A 与A 有相同的秩，就是说，它们的列向量1α，2α，⋅⋅⋅n α与1α，2α，⋅⋅⋅n α，β有相同的秩，令它们的秩为r. 1α，2α，⋅⋅⋅n α中的极大线性无关组是由r个向量组成，无妨设1α，2α，⋅⋅⋅r α是它的一个极大线性无关组．显然1α，2α，⋅⋅⋅r α也是向量组1α，2α，⋅⋅⋅n α，β的一个极大线性无关组，因此向量β可以经1α，2α，⋅⋅⋅r α线性表出，既然β可以经1α，2α，⋅⋅⋅r α线性表出，当然它可以经1α，2α，⋅⋅⋅n α线性表出．因此，方程组（1）有解．证毕定理2 对于线性方程组⑴，若()()R A R A r ==，则当r= n 时，有唯一解；当r< n 时,有无穷多解.证明 设D 是矩阵A 的一个不为零的r 级子式（当然它也是A 的一个不为零的子式），为了方便起见，不妨设D 位于A 的左上角.显然， A 的前r 行就是一个极大线性无关组，第r +1，…，s 行都可以经它们线性表出.因此，方程组⑴与11112211211222221122n n n n r r rn n ra x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩ (2)同解.当r =n 时，由克兰姆法则，方程组(2)有唯一解，即方程组⑴有唯一解.当r ﹤n 时，将方程组(2)改写为111122111,111211222222,1121122,11r r r r n n r r r r n nr r rr r r r r r rn n a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x ++++++++⋅⋅⋅+=--⋅⋅⋅-⎧⎪++⋅⋅⋅+=--⋅⋅⋅-⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=--⋅⋅⋅-⎩（3）(3)作为12,r x x x ⋅⋅⋅的一个方程组，它的系数行列式D≠0.由克兰姆法则，对于12,r x x x ⋅⋅⋅的任意一组值，方程组(3),也就是方程组⑴,都有唯一的解.由于自由未知量12,r x x x ⋅⋅⋅可任意取值，所以方程组（1）有无穷多个解． 证毕在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步探讨线性方程组解的结构．所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题．上面我们提到，n 元线性方程组的解是n 维向量，在解不是唯一的情况下，作为方程组的解的这些问题之间有什么关系呢?我们先看齐次方程组的情形．设111122121122221122000n n n ns s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩ （4）是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质:性质1 两个解的和还是方程组的解．设()12,,,n k k k ⋅⋅⋅与()12,,,n l l l ⋅⋅⋅是方程组（4）的两个解．这就是说，把它们代入方程组，每个方程成恒等式，即10nij jj a k==∑ （i=1,2,...,s ）， 10nij jj a l==∑ （i=1,2,...,s ）， 把两个就解的和()1122,,,n n k l k l k l ++⋅⋅⋅+（5）代入方程组，得11()00n nijjijjj j a ck c a kc ====⋅=∑∑ （i=1,2,...,s ）这说明（5）也是方程组的解． 证毕性质2 一个解的倍数还是方程组的解．设()12,,,n k k k ⋅⋅⋅是（4）的一个解，不难看出()12,,,n ck ck ck ⋅⋅⋅还是方程组的解，因为11()00n nijjijjj j a ck c a kc ====⋅=∑∑ （i=1,2,...,s ）由性质1和性质2得：性质3 方程组（4）的解的任一线性组合还是（4）的解．2 基础解系定义 齐次线性方程组（4）的一组解，若满足 1) 12,,,r ηηη⋅⋅⋅线性无关；2)（4）的任一解可由12,,,r ηηη⋅⋅⋅线性表出． 则称12,,,r ηηη⋅⋅⋅为（4）的一个基础解系．3 基础解系的存在性定理1 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于n r -，其中)(A R r =()r R A =．证：若()R A r n =<，不防设1112121222120r r r r rra a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅2，则方程组（4）与方程组11112211,11121122222,1121122,11r r r r n n r r r r n nr r rr r r r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++++++++⋅⋅⋅+=--⋅⋅⋅-⎧⎪++⋅⋅⋅+=--⋅⋅⋅-⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=--⋅⋅⋅-⎩（6） 同解,用n r -组数 (1,0,…,0), (0,1,…,0), …, (0,0,…,1)代入自由未知量11(,,,)r r n x x x ++⋯⋯，就得到（6）的解，也就是（4）的n r -个解()()()111121221222,1,2,,,,,1,0,,0,,,,0,1,,0,,,,0,0,,1r r n rn r n r n r r c c c c c c c cc ηηη----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎪=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩则12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅为方程组(4)的一个基础解系. ⅰ) 12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅线性无关事实上，若11220n r n r k k k ηηη--+⋅⋅⋅+=，即1122n r n r k k k ηηη--+⋅⋅⋅+=()()12*,,*,,,,0,,0,0,0,,0n r k k k -⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅比较最后n r -个分量，得 120n r k k k -==⋅⋅⋅==. 因此, 12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅线性无关.ⅱ) 任取方程组（4）的一个解()12,,,n c c c η=⋅⋅⋅，η可由12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅线性表出． 事实上，由12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅是方程组（4）的解知：1122r r n n r c c c ηηη++-+⋅⋅⋅+也为（4）的解，又1122r r n n r c c c ηηη++-+⋅⋅⋅+=（n r c c ,,,*,*,1 +）它与η的最后n r -个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为 同一个解，即11r n n r c c ηηη+-=++……．由ⅰ) ⅱ)知，12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅为（4）的一个基础解系． 证毕推论 任一与方程组（4）的某一基础解系等价的线性无关的向量组都是方程组（4）的基础解系．证明：12,,,t ηηη⋅⋅⋅为（4）的一个基础解系，12,,,s ααα⋅⋅⋅线性无关，且与12,,,t ηηη⋅⋅⋅等价，则s t =，且i α可由12,,,t ηηη⋅⋅⋅线性表出，即i α也为（4）的解向量．任取方程组（4）的一个解向量η，则η可由12,,,t ηηη⋅⋅⋅线性表出，从而η可由12,,,t ααα⋅⋅⋅线性表出．又12,,,t ααα⋅⋅⋅线性无关，所以12,,,t ααα⋅⋅⋅也是基础解系． 证毕4 基础解系的求法我们只要找到齐次线性方程组的n r -个自由未知量，就可以获得它的基础解系.具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩.把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余n r -个未知量移到等式右端，再令右端n r -个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到n r -个解向量12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅，这n r -个解向量12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅构成了方程组的基础解系. 方程组（4）的任一解即通解可表为 1112,,,,t k k k k k P ηηη=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅∈例1 求齐次线性方程组1245123412345123453020426340242470x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎪⎨-++-=⎪⎪+-+-=⎩ 的一个基础解系．解 用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：1103111031112100222142634000312424700000----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦， 于是r 3)(=A ，基础解系中有-n r=5-3=2个向量． ＂于是()3r A =，基础解系中有532n r -=-=个向量．＂ 阶梯形矩阵所对应的方程组为124523454530222030x x x x x x x x x x +--=⎧⎪---=⎨⎪-=⎩ 移项，得1245245534532223x x x x x x x x x x x+-=⎧⎪-=+⎨⎪=⎩ 取351,0x x ==，得一个解向量 1(1,1,1,0,0)η=-； 取350,1x x ==，得另一解向量2751(,,0,,1)663η=.取351,0x x ==得一个解向量1(1,1,1,0,0)η=-； 取350,1x x ==得一个解向量1751(,,0,,1)663η=．12,ηη即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为)(212221P k k k k ∈+ηη对于非齐次线性方程组解11112211211222221122n n n n r r rn n ra x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩ （7）令0,1,,i i s ==⋅⋅⋅,得111122121122221122000n n n ns s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩ （8） 称（8）为（7）的导出组．5 解的性质性质1 设12,ξξ为方程组（7）的两个解，则12ξξ-为其导出组（8） 的解．证明 ()112,,,n k k k ξ=⋅⋅⋅，()212,,,n l l l ξ=⋅⋅⋅是方程组（7）的两个 解，即11,, 1,2,...,nnij ji ij j i j j a kb a l b i s =====∑∑它们的差是12ξξ- ＝()1122,,,n n k l k l k l --⋅⋅⋅-， 显然有111()0, 1,2,...,nn nij jj ij j ij j i i j j j a kl a k a l b b i s ===-=-=-==∑∑∑即12ξξ-=()1122,,,n n k l k l k l --⋅⋅⋅-是导出组(8)的一个解. 证毕性质2 设ξ为方程组（7）的一个解，η为其导出组（8）的解，则ξη+仍为方程组（7）的解．证明 设ξ=()12,,,n k k k ⋅⋅⋅是方程组(7)的一个解，即1(1,2,)nij ji j a kb i s ===⋅⋅⋅∑又设η=()12,,,n l l l ⋅⋅⋅是导出组(8)的一个解, 即10(1,2,)nij jj a li s ===⋅⋅⋅∑显然111()0(1,2,)nnnij jj ij j ij j i i j j j a kl a k a l b b i s ===+=+=+==⋅⋅⋅∑∑∑．证毕6 解的结构定理 若0γ为（7）的一个特解，则方程组（7）的任一解γ皆可表成0γγη=+，其中η为其导出组（8）的一个解.从而有：方程组（7）的一般解为011n r n r k k γγηη--=++⋅⋅⋅+其中0γ为（7）的一个特解，12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅为导出组（8）的一个基础解系．证明 显然00()γγγγ=+-,有性质１知，0γγ-是导出组(4)的一个解，令0γγη-=,则 0γγη=+.证毕推论 方程组（7）在有解的条件下，有唯一解⇔（7）的导出组（8）只有零解．7 求非齐次线性方程组（7）的一般解的步骤1）求出其导出组的基础解系12,,,t ηηη⋅⋅⋅ 2）求出其一个特解0γ3）方程组（7）的一般解为011t t k k γγηη=++⋅⋅⋅+． 例２ 求解方程组1234123412340311232x x x x x x x x x x x x ⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩ 解：221323112.0.5111101111011011/2111310024100021/211231/200121/200000r r r r r r r r r A -+-+------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭可见()()R A R A =，方程组有解，并有1243412212x x x x x =++⎧⎨=+⎩取240x x ==，则131/2x x == ，即得原方程组的一个特解0(1/2,0,1/2,0)γ=0(12,0,12,0)γ=．下面求导出组的基础解系： 导出组与 124342x x x x x =+⎧⎨=⎩同解．取241,0x x ==，得1(1,1,0,0)η=； 取240,1x x ==，得2(1,0,2,1)η=． 于是原方程组的通解为0112212,(,)k k k k R γγηη=++∈．参考文献1 北京大学数学系几何与代数小组教研室.高等代数（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，19642 同济大学数学教研室编.线性代数[M].第三版,北京：高等教育出版社,19993 谢帮杰.线性代数[M].北京:人民教育出版社，1978.4 北京大学力学系．高等代数[M]．北京：人民教育出版社，19795 邓建中,刘之行．计算方法[M].西安：西安交通大学出版社,20016 赵德修, 孙清华．线性代数题解精选[M]．武汉：华中科技大学出版社，2001The Determinant and Structure of Solution ofLinear equationsXingming ****(Class one of Grand 2009, Mathematics and Application Mathematics, College of Maths and Computering Science, Chongqing Three Goreges University )Abstract：Making use of the rank of coefficient matrix and augmented matrix to judge the solution of linear equations. The equations have to solve and a number of cases, the solution of the structure is to understand the relationship between work and solutions.Keywords：matrix; rank ; linear equations; solvement10。
线性代数齐次线性方程组解的结构
线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数中，齐次线性方程组是由一系列未知数的线性方程组成，其中所有方程的右边都为零。
齐次线性方程组的解的结构是线性无关的向量的线性组合，它们构成了解空间。
首先，考虑一个例子：```2x+3y-z=04x-y+2z=03x+2y=0```我们可以将这个齐次线性方程组写成矩阵的形式：```23-14-12320xyz```将这个矩阵进行行变换，得到阶梯形矩阵如下：```0-7400-2xyz```由阶梯形矩阵可知，z是自由变量，而x和y是基础变量。
基础变量是由自由变量表示的。
因此，解的结构可以用自由变量和基础变量的关系表示。
设z=k，则有：```-7y+4z=0-2z=0```由此可得到z=0.5k，y=-0.5k。
最后，带入原方程组得到x=0.25k。
因此，解的结构可以表示为：```x=0.25ky=-0.5k```可以看出，解是一个形如k倍数的向量，其中k为任意实数。
这说明齐次线性方程组的解空间是一个无限维空间，其中解向量是在基础解向量上的线性组合。
总结起来，齐次线性方程组解的结构可以通过以下步骤得到：1.将方程组写成矩阵形式；2.将矩阵进行行变换，得到阶梯形矩阵；3.根据阶梯形矩阵的形式，确定基础变量和自由变量；4.根据自由变量和基础变量的关系，得到解的表达式。
需要注意的是，齐次线性方程组的解空间要么是一个零向量，要么是一个由基础解向量生成的无限维空间。
这就是齐次线性方程组解的结构。
线性代数线性方程组解的结构
例3.10 设
1 1 1 1 1
α1
0 2
,
α2
1 3
,
α3
1 a2
,
α4
2 4
, β
1
b 3
3
5
1
a
8
5
试问
(1) 当a,b取何值时, b不能由1,2,3,4线性
表示?
(2) 当a,b取何值时, b可由1,2,3,4唯一线
19
证明 如果方程组AX=0的系数矩阵的秩 为r, 可以通过交换系数矩阵中某些行的 位置，使得位于系数矩阵的左上角的r阶 子式不为零, 这样原方程组就等于下面的 方程组:
多解. 而解法二是用Cramer法则来考虑(1), 系数 行列式列和相等，而(2)和(3)的解法一样.
11
例3.12 试判断线性方程组
x1 x2 x3 1,
121xx11
2 x2 22 x2
3 x3 32 x3
4, 42 ,
13x1 23x2 33x3 43
是否有解, 其中1,2,3,4为互不相同的
性表示?
5
解 b能不能由1,2,3,4(唯一)线性表示,
就看是否存在(唯一的)一组数x1,x2,x3,x4使
得
x1
β
x1α1
x2α2
x3α3
x4α4
(α1
,
Байду номын сангаас
α2
,
α3
,
α4
)
x2 x3
x4
于是问题(1)就是a,b取何值时, 线性方程组
AX=b无解? 而问题(2)转化为a,b取何值时, AX=b有唯一解?其中A=(1,2,3,4)
线性代数—线性方程组解的结构
0 0 0
0 0 0
1 2 2
1 4 5
1
2 2
1 2 1 1 1 1 2 1 1 1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
1 6 7
1
0 0
0
0 0
0 0 0
1 0 0
1 1 0
1
0 0
,
自由未知量取为 x2 , x5 ,
10
1 2 1 1 1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
解
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
3 0 5
2 1 4
1 2 3
1 2 3
3 61
0 0 0
1 1 1
2 ห้องสมุดไป่ตู้ 2
2 2 2
6 66
6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
3 0 5
2 1 4
1 2 3
1 2 3
3 61
0 0 0
1 1 1
2 2 2
2
一、齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2n xn 0 , am1 x1 am2 x2 amn xn 0
Ax ()
a11
A
a21 am1
a12 a22 am2
a1n
a2n amn
1 1 0
1
0 0
,
自由未知量取为 x2 , x5 ,
基础解系:
2
1
1
0
,
0
0
2
0
2
1
.
0
1
11
线性代数线性方程组的解结构及解法
(3) 得
令 xr 1 c1,xr 2 c2 , ,xn cnr ,
b11c1 b12 c2 x1 br1c1 br 2 c2 xr 得通解为： c1 xr 1 c2 x n cn r
b11 b12 br1 br 2 于是基础解系为： 1 1 , 2 0 , 0 1 0 0
b11 b12 br1 br 2 c1 1 c2 0 0 1 0 0
18 返回
法二： 先求通解，再从中找出基础解系.
x1 b11 xr 1 x2 b21 xr 1 由 xr br1 xr 1
b1,n r xn b2, n r xn br ,n r xn
b1, n r cn r br , n r cn r 19 返回
22 返回
二、非齐次线性方程组的解的结构
非齐次线性方程组 Ax b (5)
1、非齐次线性方程组解的性质
性质3:
设 x 1 与 x 2 都是方程(5)的解，
则 x 1 2是对应的齐次方程组Ax 0的解.
性质4: 设 x 是(5)的解，x 是 Ax 0 的解,
16 返回
xr 1 1 x 0 r 2 取 依次为 , 0 xn
x1 x2 则 依次为 xr b11 b21 , br1
线性代数课件PPT 第3章.线性方程组
2) (α β) γ α ( β γ（) 加法结合律）
3) 存在任意一个向量α，有α 0n α 4）存在任意一个向量α，存在负向量-α，使α (α) 0n
5) 1α α
6) k(lα) (kl)α（数乘结合律）
7) k(α β) kα kβ（数乘分配律）
m
kiai k1α1 k2α2 L kmαm
i 1
称为向量组α1, α2,L , αm在数域F上的一个线性组合。如果记
m
β kiαi，就说β可由α1, α2,L , αm线性表示。 i 1
10
3.1 n维向量及其线性相关性
线性相关性 定义：如果对m个向量α1, α2, α3, ... , αm∈Fn，有m个不全 为0的数k1,k2,...,km∈F，使
α=(a1 a2 an) 其中ai 称为α的第i个分量。
向量写成行的形式称为行向量，向量写作列的形式称为 列向量（也可记作行向量的转置）。
a1
αT
a2
M
an
3
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的定义 数域F上全体n元向量组成的集合，记作Fn。
4
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的运算
定义：设α=(a1, a2, ... , an)，β=(b1, b2, ... , bn)∈Fn，k∈F，
定义：
1）α=β,当且仅当ai=bi (i=1,...,n)； 2）向量加法（或α与β之和）为
α β (a1 b1, a2 b2 , ... , an bn )
k1α1 k2α2 L kmαm 0n
成立，则称α1, α2, α3, ... ,αm线性相关；否则，称α1, α2, α3, ... ,αm线性无关。
4 线性方程组解的性质和结构
(2) 设方程组(2)的任一个解为ξ
⎛ d1 ⎞ ⎜ # ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ dr ⎟ ξ =⎜ ⎟ ⎜ d r +1 ⎟ ⎜ # ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ dn ⎠
其它未知量由自由未知量唯一确定
令
= d ξ + d ξ +"+ d ξ ξ r +1 1 r+2 2 n n− r
+ 7 x5 = 0 ⎧ x1 − x2 ⎪ x + 4 x5 = 0 与原方程组等价的方程组为 ⎨ 3 ⎪ x4 − 3 x5 = 0 ⎩ x1 1 -7 x2 0 1 选x2, x5 为 x3 0 = ξ1 -4 = ξ2 自由未知量 x
⎛ 1⎞ ⎛ − 7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ 基础解系为 ξ1 = 0 , ξ 2 = ⎜ − 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
定理 设 A 是m × n矩阵, r ( A) = r < n 则齐次线性方程组 AX = 0存在由n – r 个解向量 ξ1 , ξ 2 ," ,ξ n− r 组成的基础解系，它们的线性组合
k1ξ1 + k2ξ 2 + " + kn− rξ n− r
2° (1)的任意一个解都可以由ξ1 , ξ 2 ," , ξ s
=ξ
− c1,r + 2 # − cr ,r + 20 1 # 0来自− c1n # − crn
1 0 # 0
""
0 0 # 1
故任意解都可由 ξ1 , ξ 2 ," , ξ n− r 线性表出
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一、向量组的线性相关与线第性3章无向关量空间与线性方程组解的结构 37
一、向量组的线性相关与线第性3章无向关量空间与线性方程组解的结构 38
01
OPTION
02
OPTION
一、向量组的线性相关与线第性3章无向关量空间与线性方程组解的结构 39 例 2 证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关. 证明
目录/Contents
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 101
3.4 线性方程组解的结构 一、线性方程组有解的判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、矩阵秩的求法
一、线性方程组有解的判定第定3章理向量空间与线性方程组解的结构 102
ᵃᵆ = ᵯ
ᵃᵆ = 0
一、线性方程组有解的判定第定3章理向量空间与线性方程组解的结构 103
四、向量组的秩与矩阵的秩第的3章关向系量空间与线性方程组解的结构 97 例9
解
四、向量组的秩与矩阵的秩第的3章关向系量空间与线性方程组解的结构 98
四、向量组的秩与矩阵的秩第的3章关向系量空间与线性方程组解的结构 99
目录/Contents
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 100
3.1 向量组及其线性组合 3.2 向量组的线性相关性 3.3 向量组的秩与矩阵的秩 3.4 线性方程组解的结构 3.5 向量空间
一、向量的概念及运算 2. 向量的运算
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 7
这两种运算 称为向量的 线性运算
一、向量的概念及运算
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 8
一、向量的概念及运算 例1 设有线性方程组
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 9
一、向量的概念及运算
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 10
四、向量组的秩与矩阵的秩第的3章关向系量空间与线性方程组解的结构 92
四、向量组的秩与矩阵的秩第的3章关向系量空间与线性方程组解的结构 93
四、向量组的秩与矩阵的秩第的3章关向系量空间与线性方程组解的结构 94
四、向量组的秩与矩阵的秩第的3章关向系量空间与线性方程组解的结构 95
四、向量组的秩与矩阵的秩第的3章关向系量空间与线性方程组解的结构 96
二、向量组线性相关性的一第些3章重向要量空结间与论线性方程组解的结构 52 证明
二、向量组线性相关性的一第些3章重向要量空结间与论线性方程组解的结构 53 推论3
证明
二、向量组线性相关性的一第些3章重向要量空结间与论线性方程组解的结构 54 推论4
证明
二、向量组线性相关性的一第些3章重向要量空结间与论线性方程组解的结构 55 例6
二、齐次线性方程组解的结第构3章 向量空间与线性方程组解的结构 112
二、齐次线性方程组解的结第构3章 向量空间与线性方程组解的结构 113 证明
三、矩阵秩的求法
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 84
三、矩阵秩的求法
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 85
三、矩阵秩的求法
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 86
三、矩阵秩的求法
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 87
经过一次初等行变换不改变矩阵的秩，则经过有限 次初等行变换也不改变矩阵的秩.
一、向量组秩的概念 定义1
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 66
一、向量组秩的概念
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 67
一、向量组秩的概念 例1
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 68
一、向量组秩的概念 例2
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 69
一、向量组秩的概念
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 70
一、向量组秩的概念 定义2
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 71
一、向量组秩的概念
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 72
定理1 等价的向量组有相同的秩.
证明 因为每个向量组都与它的极大无关组等价， 根据向量组等价的传递性，任意两个等价的 向量组的极大无关组也等价，因而有相同的 秩.
一、向量组秩的概念 例3
一、向量组的线性相关与线第性3章无向关量空间与线性方程组解的结构 40 例3
解
一、向量组的线性相关与线第性3章无向关量空间与线性方程组解的结构 41 于是，问题转化为齐次线性方程组
一、向量组的线性相关与线第性3章无向关量空间与线性方程组解的结构 42 例4
证明
一、向量组的线性相关与线第性3章无向关量空间与线性方程组解的结构 43
证明
二、向量组线性相关性的一第些3章重向要量空结间与论线性方程组解的结构 48
二、向量组线性相关性的一第些3章重向要量空结间与论线性方程组解的结构 49 从而有：
二、向量组线性相关性的一第些3章重向要量空结间与论线性方程组解的结构 50 例5
二、向量组线性相关性的一第些3章重向要量空结间与论线性方程组解的结构 51
一、向量组的线性相关与线第性3章无向关量空间与线性方程组解的结构 44 定理1
一、向量组的线性相关与线第性3章无向关量空间与线性方程组解的结构 45
一、向量组的线性相关与线第性3章无向关量空间与线性方程组解的结构 46
二、向量组线性相关性的一第些3章重向要量空结间与论线性方程组解的结构 47 定理1
二、向量组及其线性组合 第3章 向量空间与线性方程组解的结构 11 定义 2 由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组.
二、向量组及其线性组合 第3章 向量空间与线性方程组解的结构 12 例2
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 13
二、向量组及其线性组合 第3章 向量空间与线性方程组解的结构 14 定义 3
一、线性方程组有解的判定第定3章理向量空间与线性方程组解的结构 108 证明
一、线性方程组有解的判定第定3章理向量空间与线性方程组解的结构 109 证明
一、线性方程组有解的判定第定3章理向量空间与线性方程组解的结构 110 证明
一、线性方程组有解的判定第定3章理向量空间与线性方程组解的结构 111
二、向量组及其线性组合 第3章 向量空间与线性方程组解的结构 22 解
三、向量组的等价 定义 5
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 23
三、向量组的等价
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 24
三、向量组的等价
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 25
三、向量组的等价 定理 2
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 26
三、矩阵秩的求法
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 88
三、矩阵秩的求法 例8
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 89
解
四、向量组的秩与矩阵的秩第的3章关向系量空间与线性方程组解的结构 90 定理4 矩阵的行向量组的秩与它的列向量组的秩 相等，都等于矩阵的秩. 证明
四、向量组的秩与矩阵的秩第的3章关向系量空间与线性方程组解的结构 91
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 3
3.1 向量组及其线性组合 一、向量的概念及运算 二、向量组及其线性组合 三、向量组的等价
一、向量的概念及运算
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 4
定义1
一、向量的概念及运算
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 5
一、向量的概念及运算
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 6
三、向量组的等价 证明
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 31
三、向量组的等价 另一方面，由于
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 32
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第3章 向量空间与线性方程组解的结构 33
3.1 向量组及其线性组合 3.2 向量组的线性相关性 3.3 向量组的秩与矩阵的秩 3.4 线性方程组解的结构 3.5 向量空间
证明 ᵅ 1ᵯ 1 + ᵅ 2ᵯ 2 + ⋯ + ᵅ ᵅ ᵯ ᵅ = ᵯ .
二、向量组及其线性组合 第3章 向量空间与线性方程组解的结构 18
二、向量组及其线性组合 第3章 向量空间与线性方程组解的结构 19 例4
解
二、向量组及其线性组合 第3章 向量空间与线性方程组解的结构 20
二、向量组及其线性组合 第3章 向量空间与线性方程组解的结构 21 例5
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 74
证明
二、矩阵秩的概念 定义 3
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 75
二、矩阵秩的概念 定义4
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 76
并规定：零矩阵的秩等于0.
二、矩阵秩的概念
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 77
二、矩阵秩的概念
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 78
定义 4
二、向量组及其线性组合 第3章 向量空间与线性方程组解的结构 15
由此可见，一个向量组可以线性表 示这个向量组中的每一个向量，零 向量是任意一个向量组的线性组合.
二、向量组及其线性组合 第3章 向量空间与线性方程组解的结构 16 例3
二、向量组及其线性组合 第3章 向量空间与线性方程组解的结构 17 定理 1
三、向量组的等价 证明
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 27
1 2
3
4
三、向量组的等价 例6
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 28
证明
三、向量组的等价
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 29
对增广矩阵实施初等行变换，有
三、向量组的等价 例7
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 30
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 73
证明：一个向量组线性无关的充分必要条件是它性无关，则这个向 量组的极大无关组就是它自身，于是它的秩等于它 所含向量的个数；