非线性规划的应用范例
非线性规划例题
1、用梯度法（最速下降法）求下述函数的极小点：解：取初始点T X )0,0()0(=。
TXf )0,0()()1(=∇，故)1(X 为极小点。
其极小值0)()1(=X f 。
2、用梯度法（最速下降法）求函数22215)(x x X f +=的极小点，取允许误差7.0=ε。
解：取初始点TX)1,2()0(=。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇=∇=∇1240.05504.11041124.0121124.010410002)10,4(104)10,4(10002)()10,4()(,)10,2()()1(02)0(21XX f X f x x X f T T λ。
其海赛矩阵ε>=∇⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇1526.11)(,2400.11008.3)(2)1()1(Xf Xf ελελελ<=∇⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=>=∇⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=>=∇⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6685.0)(,759.0304.0)(0759.0152.03419.08542.03221.003419.04271.03221.03419.08542.010002)3419.0,8542.0(3419.08542.0)3419.0,8542.0(8466.0)(,3419.08542.0)(03419.04271.0757.2102.11124.02757.05510.01124.0757.2102.110002)757.2,102.1(757.2102.1)757.2,102.1(815.8)(,757.2102.1)(2757.05510.02400.11008.33223.01240.05504.13223.02400.11008.310002)2400.1,1008.3(2400.11008.3)2400.1,1008.3(2)4()4()4(32)3()3()3(22)2()2()2(1X f X f X X f X f X X f X f X故以TXf )0759.0,152.0()()4(=为近似极小点，此时的函数值0519.0)()4(=X f 。
非线性规划的实例与定义
非线性规划的实例与定义如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。
一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。
而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。
下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。
例1 （投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。
已知该企业拥有总资金A 元，投资于第),,1(n i i =个项目需花资金i a 元，并预计可收益i b 元。
试选择最佳投资方案。
解 设投资决策变量为⎩⎨⎧=个项目决定不投资第，个项目决定投资第i i x i 0,1，n i ,,1 =， 则投资总额为∑=n i i i x a 1，投资总收益为∑=ni i i x b 1。
因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金额不能超过总资金A ，故有限制条件∑=≤<ni i i A x a 10另外，由于),,1(n i x i =只取值0或1，所以还有.,,1,0)1(n i x x i i ==-最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。
因此，其数学模型为：∑∑===ni i in i i ixa xb Q 11maxs.t. ∑=≤<ni i i A x a 10.,,1,0)1(n i x x i i ==-上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中目标函数或约束条件中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题，简记为（NP ）。
可概括为一般形式)(min x fq j x h j ,,1,0)(s.t. =≤ (NP)p i x g i ,,1,0)( ==其中T n x x x ][1 =称为模型（NP ）的决策变量，f 称为目标函数，i g ),,1(p i =和),,1(q j h j =称为约束函数。
非线性系统的实际应用案例
非线性系统的实际应用案例非线性系统在现代科学与技术中有着广泛的应用，涉及到各个领域，如机械、自动控制、生态学、神经科学等等。
在本文中，我们将介绍一些非线性系统的实际应用案例，并力图从中探讨非线性系统的工程问题和特性。
一、喷气发动机振动分析喷气发动机是现代航空发展的主要推动力，而它的结构十分复杂，有许多非线性振动的现象。
因此，正确地分析和诊断其振动特性就显得十分必要。
以一具喷气发动机为例，德国学者L. RICHTER在其论文中分析了其在运行过程中的振动特性，结果表明该发动机的非线性动力分析对于研究其振动动态行为有明显的促进作用。
通过对喷气发动机的振动分析，不仅可以对其结构及特性进行诊断，还可以为改进设计提供更加清晰的思路。
二、生态系统的动态模拟生态学是研究生物群落及其环境相互作用的一门学科。
当生态系统变化时，非线性动力学便成为研究这种复杂性的重要工具。
在一些生态系统研究中，如重构同化指数、广义线性模型等，非线性系统模型的应用相当明显。
通过对生态系统的动态模拟，科学家不仅可以深入了解其内部机制，还可以为制定可持续的经济发展方案提供依据。
三、神经控制系统设计随着工业智能化的发展，神经控制系统应用越来越广泛。
与传统PID控制系统不同的是，神经控制系统能够模拟人的智能思维，对于建模非线性系统尤为有效。
例如，通过神经网络结构，可以模拟汽车转向、加速、制动等非线性系统，对于提升车辆性能有着积极的作用。
此外，神经控制系统还可以用于医学领域，如针灸、手术机器人等，都有着明显的非线性动力学性质。
四、机器人行走控制机器人在现代制造业中发挥着越来越重要的作用，而其行走控制则是重点问题。
由于机器人的结构变化以及外部环境干扰等因素，机器人行走控制是一个非线性系统问题。
在控制模型优化和状态预判等方面，非线性系统的方法优于传统线性方法。
例如，一个名为“空中蹦床”的机器人模型，通过非线性分析建立行走控制模型，使其在精准地控制脚部力量的同时能够更加灵活地执行任务。
非线性规划
, 为任意正 f1 ( X ) f 2 ( X )仍为 D上的凸函数，
证明
§3-2 一元函数的极小化
一．极值的充分条件和必要条件：
定理3-4 设函数 f ( X )在区间内一点X 1 处具有 k 1 阶 导数（ k 2 ），且 f ( k 1) ( x0 ) 在 X 1 附近是连 续的。 如果 f
f ( X ) 函数的Hessian阵：
2 f (X ) 2 x 1 2 f (X ) x x 2 2 1 H (X ) f (X ) x x 3 1 2 f (X ) x x n 1 2 f (X ) x1x 2 2 f (X ) x 2 2 f (X ) x n x 2
直接算 f ( X )的搜索寻优法
Fibonacci数列 Fk k 0,1,2 数列由差分方程递推
F0 1, F1 1 k 0 Fk 2 Fk Fk 1
Fk 1 1 2 3 5 8 13 21 34
分数数列
设 f ( X ) 在 [a, b] 内为具有极小值的单峰函数，根据精确度 要求算出需迭代的次数 n ，于是得到数列 F0 , F1 , Fn 。
是奇数，所以 x1 3 不是
f ( X ) 的极值点，而是拐点。
函数如右图。
x
二．牛顿迭代公式
牛顿—雷夫生（Newton-Raphson）公式可将非 线性问题逐次线性化，形成牛顿迭代公式
牛顿迭代公式
xk 1
f ( xk ) xk f ( xk )
说明：这里的牛顿迭代公式是找导数为零的点。
X ,Y D
证明
不等式
恒成立
f (Y ) f ( X ) (Y X ) T f ( X （ ) 3-6）
非线性规划
全局极小 global minimum
假设f ( x )为定义在n维欧氏空间E n的某一区域R上 的n元实函数， 若存在x * R使得对所有x R都有 f ( x ) f ( x * ), 则称f ( x * )为f ( x )在R上的全局极小值， x 为f ( x )在R上的全局极小点。
f ( X 0 ) ( f ( X 0 ) f ( X 0 ) f ( X 0 ) T , , , ) x1 x 2 x n
f ( X )是 f ( X )的等值面（线）在 X 处的法线方向
梯度方向是函数值增加最快的方向，负梯度 方向是函数值减少最快的方向。
二阶可微 (second order differentiable)
（3）
图解法(Graphical Solution)
非线性规划二维问题的图解法步骤与线性规划相似，但是 作ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相对比较复杂，也很难求出坐标的值。
例4
Minf ( X ) ( x1 2) 2 ( x 2 1) 2 s.t. x1 x 2 5x 2 0 x1 x 2 5 0 x1 , x 2 0
由向量内积的性质知， 必有 ▽f (X* ) = 0。
满足（3）式的点称为平稳点或驻点，在区
域内部极值点一定是平稳点，而平稳点不 一定是极值点
分析
假设下月玩具的生产量为x个
下个月的利润为： (100 0.5x)x 100x - 0.5x 2
下月原材料消耗为：x 下月需要的人工为：2x
问题的数学模型为
max z 100x 0.5x x 200 s.t.2x 350 x 0
非线性规划
日运输计划，使总的吨·公里数最小.（2）为减少总的吨·公
里数，该公司拟放弃现有的两个料场 A1, A2，重新建设两个日 存储量仍均为20吨的新料场，试为新料场选址.
d
（单位：吨）见
i
下表：
工 地
1
2
3
4
5
6
xi 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25 yi 1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75 di 3 5 4 7 6 11
该公司现有2个存放水泥的料场：A1(5,1)和 A2 (2,7)，存储
量均为20吨.料场与工地之间均有直线道路相通.（1）试制定
min f ( X ), X Rn
s.t.
gi hj
(X (X
) )
0, i 0,
1, 2, j 1, 2,
,m ,l
3.求解 （1）非线性规划问题目前还没有适合于各种问题的一般 算法，每一个算法都有各自的适用范围。 （2）非线性规划问题的最优值不一定在可行域的边界达 到。 （3）一般求得是局部最优解，但局部最优解并不一定是 全局最优解。 （4）迭代法是主要求解方法: 通常从一个初始解出发， 在可行域中沿着使得目标函数降低的方向前进到下一个 解。 （5）一般求解方法：最速下降法，罚函数法，拉格朗日 乘子法等,或者采用智能算法，如：遗传算法，模拟退火 算法，蚁群算法，神经网络等。 （6）软件求解，借助于 Lingo 和 Matlab 可以求解非线 性规划问题。
4.例 1 抛物面 z x2 y2被平面 x y z 1截成一椭
圆，求原点到这椭圆的最短距离。 该问题可以用拉格朗日乘子法求解。下面我们把问
题归结为数学规划模型，用 Lingo 软件求解。 设原点到椭圆上点(x, y, z)的距离最短，建立如下的
非线性规划
·16·第2章 非线性规划在许多实际问题中，所建立的优化模型的目标函数或约束条件（或二者）是非线性的，所以非线性规划也是运筹学中最常用的方法之一，在生产管理和过程控制中有广泛的应用。
2.1 非线性规划问题举例【例2-1】钢铁厂自备发电厂负荷的最优分配问题。
设自备发电厂有3台蒸汽透平发电机，输入燃料，内部有高炉煤气和焦炉煤气，外购的有液化石油气。
设内部煤气不足，需用外购的液化石油气。
由于机组对输入各种燃料的输出特性不同，应如何分配燃料，使自备电厂效益最好？为了确定各种燃料的分配，设y i ，i =1，2，3为各机组的有效电力（MW ），x 1i ，i =1，2，3为各机组输入高炉煤气；x 2i ，i =1，2，3为各机组输入焦炉煤气；x 3i ，i =1，2，3为各机组输入液化石油气。
设电力单价为e c ，液化石油气单价为l c ，则可写出如下模型NP ：目标函数 max f(x )=e c (1y +2y +3y )-l c (31x +32x +33x ) 约束条件1）高炉煤气使用量上限B F11x +12x +13x ≤B F2）焦炉煤气使用量上限C F21x +22x +32x ≤C F3）各机组电力上、下限max ,i y 和min ,i ymax ,i y ≤i y ≤min ,i y i =1，2，3其中各机组电力与输入燃料关系如下：i y =a 0i +a 1i 2i p +a 2i i p +a 3i F s i i =1，2，3式中 a ——系数；si F ——抽气流量(t/h)；i p ——中间变量。
且 i p =i b 1b q i x 1+i b 2c q i x 2+i b 3l q i x 3式中b 为系数，q 为各燃料热值（103Kcal/Nm 3）。
这一数学模型的约束是线性的，而目标函数是非线性的，构成一个非线性规划问题。
第2章 非线性规划·17·2.2 基础知识非线性规划问题的一般形式是（NP ） min f (x 1，x 2，…，x n )（2-1a ） s.t. i g (1x ，2x ，…n x ) ≤0，i =1，2，…，m （2-1b ）j h (1x ，2x ，…n x )≤0，i =1，2，…，s（2-1c ） 写成向量形式，为 （NP ） min ()f x（2-2a ） s.t. i g (x )≤0，i =1，2，…，m（2-2b ）j h (x )≤0，i =1，2，…，s（2-2c ）定义2-1（全局最优解） 一个定义在X ∈x 上的函数()f x ，如果对X ∈x 的每一点 都有f (x ) ≥f (xˆ) 则称ˆx为全局极小解，ˆ()f x 为全局极小值。
chapter 6 非线性规划
– 3. 函数的凸性的判别 – 定理6.1（一阶条件） 设R是n维欧式空间上的开凸
集，f(X)在R上具有一阶连续偏导数，则f(X)为R上 的凸函数的充分必要条件是，对于任意两个不同点 X(1)∈R和X(2)∈R，恒有
– 此外，若将上述关于凸函数定义中两个不等式中 的不等号改为“≥”和“>”，则分别称f(X)为凸集R 上的凹函数和严格凹函数。
– 2. 凸函数的性质
（1）若f(X)为凸函数，则－f(X)必为凹函数，反之亦 然；
（2）若f(X)为凸集R上的凸函数，则对于任意非负实 数α，函数αf(X)亦为凸集R上的凸函数；
chapter 6 非线性规划
chapter 6 非线性规划
概述
一、问题提出
– 生产管理中很多问题的运行过程都是以非线性形式运 行的，如生产成本往往是生产量的非线性函数，产品 的需求量是其价格的非线性函数等等。这样，我们在 建立一个决策问题的数学模型时，目标函数或者约束 条件常常会出现非线性形式。
f ( X (2) ) f ( X (1) ) f ( X (1) )T ( X (2) X (1) )
定理6.2（二阶条件） 设R是n维欧式空间上的某一 开凸集，f(X)在R上具有二阶连续偏导数，则f(X)为 R上的凸函数的充分必要条件是：f(X)的海森矩阵 H(X)在R上处处半正定。
– 6. 全局最优解——对于非线性规划min f = f(X)，gi(X) ≥ 0 （i = 1,2,…,l;），设X0∈R，对于任何X∈R均有f(X0) ≤ f(X)， 则称X0为非线性规划问题在R上的一个全局最优解。若
X0≠X时，f(X0) < f(X)严格成立，称X0为严格全局最优解。
MATLAB非线性规划问题样本
一．非线性规划课题实例1 表面积为36平方米的最大长方体体积。
建立数学模型:设x、 y、 z分别为长方体的三个棱长, f为长方体体积。
max f = x y (36-2 x y)/2 (x+y)实例2 投资决策问题某公司准备用5000万元用于A、 B两个项目的投资, 设x1、 x2分别表示配给项目A、 B的投资。
预计项目A、 B的年收益分别为20%和16%。
同时, 投资后总的风险损失将随着总投资和单位投资的增加而增加, 已知总的风险损失为2x12+x22+(x1+x2)2.问应如何分配资金, 才能使期望的收益最大, 同时使风险损失为最小。
建立数学模型:max f=20x1+16x2-λ[2x12+x22+(x1+x2)2]s.t x1+x2≤5000x 1≥0,x2≥0目标函数中的λ≥0是权重系数。
由以上实例去掉实际背景, 其目标函数与约束条件至少有一处是非线性的, 称其为非线性问题。
非线性规划问题可分为无约束问题和有约束问题。
实例1为无约束问题, 实例2为有约束问题。
二．无约束非线性规划问题:求解无约束最优化问题的方法主要有两类: 直接搜索法(Search method)和梯度法(Gradient method), 单变量用fminbnd,fminsearch,fminunc;多变量用fminsearch,fminnuc1．fminunc函数调用格式: x=fminunc(fun,x0)x=fminunc(fun,x0,options)x=fminunc(fun,x0,options,P1,P2)[x,fval]=fminunc(…)[x,fval, exitflag]=fminunc(…) [x,fval, exitflag,output]=fminunc(…)[x,fval, exitflag,output,grad]=fminunc(…)[x,fval, exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(…)说明: fun 为需最小化的目标函数, x0为给定的搜索的初始点。
三、非线性规划模型实例
（2）建立模型。
2 2 2 2 min f c ( 5 a ) +( 1 b ) + (2 a ) (7 b ) 目标函数 i1 i i i i i 1 i 1
6
6
约束条件： （1）每个工地水泥需求量一定：ci1 ci 2
di
（2）料厂日储水泥量一定，所以每个料厂的供给有限制：
三、非线性规划模型实例
例1 工地选址问题。 某公司的6个工地要开工，每个工地的位置与水泥用量见下表， 目前2个临时料厂位置为P(5,1)和Q(2,7)，日储量各为20t，请回答以下问题： (1)假设从料厂到工地均有直线道路相连，试制定每天应从P,Q两料厂分别向各工地 运送多少水泥，使总的吨公里数最少。 (2)为减少吨公里数，打算舍弃2个临时料厂，重建2个新料厂，日储量仍各为20t，问 新料厂应建于何处？
综合得非线性模型：
min f cij ( x j ai ) 2 ( y j bi ) 2
j 1 i 1
2
6
ci1 ci 2 di , i 1, 2, 6 6 s.t. cij e j , j 1, 2; cij 0 i 1
（3）模型求解。
00
劳动时间/h
280
250
400
60000
利润/万元
2
3
4
小型
钢材/t 劳动时间/h 利润/万元 1.5 280 2
中型
3 250 3
大型
5 400 4
现有量
600 60000
设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为 x1 , x2 , x3 , 工厂的月利润为z, 建立如下模型：
工地号 位置 用量/t 料厂 1
第六章非线性规划(管理运筹学,李军)
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10
1.3 非线性规划问题的图示
x2 6
3 2
0
23
f(X)=4 f(X)=2
x1 6
由左图可见,等值线 f (X)=2和约束条件直 线6-6相切，切点D即
为此问题的最优解， X*=(3, 3)，其目标函 数值 f (X*)=2。
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1.3 非线性规划问题的图示
在此例中，约束h(X ) x1 x2 6 0 对最优解发生 了影响，若以 h(X ) x1 x2 6 0 代替原约束， 则非线性规划的最优解是X (2,2) ，即图中的 C点，此时 f (X ) 0。由于最优点位于可行域 的内部，故事实上约束 h(X ) x1 x2 6 0 并未 发挥作用，问题相当一个无约束极值问题。
xn2
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充分条件
（充分条件）等价于： 如果函数f (X)在X*点的梯度为零且海赛矩 阵正定，则X*为函数f (X)的严格局部极小 点。
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2.3 凸函数和凹函数
设 f (X)为定义在En中某一凸集R上的函 数，若对于任何实数（0<<1）以及R中 的任意两点X(1)和X(2) ，恒有：
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3.2 下降迭代算法
确定搜索方向P (k)是关键的一步，各种算法的区 别主要在于确定搜索方向P (k)的方法不同。
步长 k 的选定一般都是以使目标函数在搜索方 向上下降最多为依据的，称为最佳步长，即沿 射线 X X (k) P(k) 求目标函数的极小值
k : min f ( X (k) P(k) )
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充分条件
非线性规划基本概念.ppt
)
,
x 0
n
)
2、非线性规划问题的解的相关概念 一般来说，非线性规划的求解，比线性规划的求
解困难得多。线性规划有统一的单纯形求解方法，而 非线性规划目前还没有统一的一般算法。
1.1 可行集（可行域）
给定非线性规划问题《1》
min f (x1, x2, , xn )
s.t.
ghii
(x1, (x1,
数学模型3
max(min) I(x,h1, h2 ) k[ 2h1 3
3h 2
3 ];
(x2 h12 ) 2
((20
x)2
h
2 2
)
2
0 x 20, s.t. 3 h1 9,
3 h2 9.
即求三元函数I(x,h1,h2)在所给条件下的上的最大 值与最小值。
D
x
gi (x1,..., xn ) hi (x1,..., xn )
0, i 0, i
1, 2,..., L; L 1,..., m
1.2 局部极小点（局部最优解）
对于非线性规划《1》，若存在 x*D ，且对一切
满足 || x x*|| （即x为x*附近的点），都有 f (x*) f (x)
4、建立规划模型的注意点
4.1 线性规划问题的最优解一定在可行域的边界的顶 点处达到，任何一个最优解，就是全局最优解。
4.2 非线性规划的最优解可以在可行域内任何一点处达 到，非线性规划求解出来的只是局部最优解。所以在 针对非线性规划求解时，具体问题，有具体的搜索最 优解的方法，一般注意：
（1）尽可能给出靠近全局最优解附近的初始可行解； （2）尽可能给出每个决策分量的比较准确的上下界； （3）能够线性化的表达式，尽量线性化； （4）尽量每个表达式连续可导（起码二阶）； （5）非线性规划每次求解结果不一定相同。
大学数学实验 非线性规划问题的实际应用
大非线性规划问题的实际应用学号： 姓名： 系别专业：一：实验目的1、熟悉Matlab 软件中有关的命令，用Matlab 做非线性规划计算。
2、掌握非线性规划的方法二：实验内容在数学规划问题中，若目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题，简记为NP 。
非线性规划问题的数学模型可以具有不同的形式，但不同形式之间往往可以转换，因此非线性规划问题的一般形式可以表示为：m in (),nf x x E ∈()0,(1,2,...,).()0,(1,2,...,)i j h x i m s t g x j l ==⎧⎪⎨≤=⎪⎩ 其中，[]12,,...,Tn x x x x =称为模型（NP ）的决策变量，f 称为目标函数；(1,2,....)i h i m =和(1,2,...,)j g j l =称为约束函数；()0(1,2,...,)i h x i m ==称为等式约束；()0(1,2,...,)j g x j l ≤=称为不等式约束。
将一个实际问题归结为非线性规划问题时，一般要注意以下4点： （1）确定供选择方案。
（2）提出追求的目标。
（3）给出价值标准。
（4）寻求限制条件。
三：实验方法与步骤某公司欲以每件2元的价格购进一批商品。
一般来说随着商品售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，结果如表一、二栏。
为了尽快收回资金并获得较多的赢利，公司打算做广告，投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。
据统计，广告费与销售增长因子关系如表三、四栏所示。
问公司采取怎样的营销决策能使预期的利润最大？表 售价与预期销售量、广告费与销售增长因子售价/元2.00 2.503.00 3.504.00 4.505.00 5.506.00预期销售量/万元 4.1 3.83.4 3.2 2.9 2.8 2.5 2.2 2.0 广告费/万元 0 1234567销售增长因子1.00 1.40 1.70 1.85 1.952.00 1.95 1.80 解：设x 表示售价（单位：元），y 表示预期销售量（单位：万元），z 表示广告费（单位：万元）k 表示销售增长因子。
非线性规划-无约束问题
一般地，解非线性规划问题要比解线性规划问题困难的多，因为它不像解线性规划问题有单纯形法这一通用的方法，非线性规划目前还没有适合于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的应用范围。
1.1 非线性规划问题及其数学模型
例：某金属制品厂要加工一批容积为1米3的长方形容器，按规格要求，上下底的材料为25元/m2，侧面的材料为40元/m2，试确定长、宽、高的尺寸，使这个容器的成本最低。
线性规划：
可能在其可行域中的任意一点达到。
非线性规划：
02
01
非线性规划的解的特点
目标函数是线性函数，可行域为凸集，求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解。
线性规划：
01
有时求出的解是一部分可行域上的极值点，但并不一定是整个可行域上的全局最优解。
非线性划：
02
1.2 极值问题
局部极值定义
定理1：极值存在的必要条件
称该点列{X(k)}收敛于X*. 由于算法产生的点列使目标函数值逐步减小，称这一算法为下降算法。
或
超线性收敛：当 1<<2, q>0，或＝1, q＝0时，称为超线性收敛速度
二阶收敛：当 =2 ，k充分大时有
收敛速度
一般地认为，具有超线性收敛或二阶收敛速度的算法是比较快速的算法。
对于不同的问题，要根据具体情况来选择算法，因为我们事先并不知道最优解，迭代到什么时候停止呢？常用的准则是：
01
02
01
迭代中我们从一点出发沿下降可行方向找一个新的、性质有所改善的点。
02
下降方向：
可行方向：设 ∈S，d∈Rn,d≠0,若存在 ，使 ，称d 为 点 的可行方向。
2
如果继续缩小区间[a,b1](或[a1,b])，就需要在区间[a,b1](或[a1,b])内取一点b2，并计算出f(b2)的值，并与f(a1)比较。
非线性规划建模、图解法
z f ( x1 , x2 ) L zc f ( x1 , x2 ) c L z0
z
0
x1
x2
L 目标函数的等高线
线性规划3-1 规划与决策
二.图解法 (只用于求解两个变量的非线性规划问题) 2.画出目标函数的等高线： 例：在 x1 , x2 坐标平面上画出目标函数： 2 f ( x1 , x2 ) x12 x2 的等高线 x2 2 2 解： 等高线为 x1 x2 c( 0) 是一族以原点为圆心的 同心圆(半径为 c )
max f ( X ) x1 x2
s .t .
2 x1 5 x2 40 x1 , x2 0
可行域：
x2
10 40 60 7
2 x1 5 x2 40 D {( x1 , x2 ) } x1 , x2 0
T
x 等高线： 1 x2 c X (10, 4 )T , f 40
0
f ( x1 , x2 ) c L z0
线性规划3-1 规划与决策
x1
二.图解法 (只用于求解两个变量的非线性规划问题) 3.用图解法求解 例1： 解：
min f ( X ) ( x1 2)2 ( x2 2)2
s .t . g( X ) x1 x2 6 0
一.非线性规划举例及数学模型 例1： 某公司经营两种设备,第一种设备每件售价30元,第 二种设备每件售价450元。根据统计,售出一件第一 种设备所需要的营业时间平均是0.5小时,第二种设 备是2+0.25 x2小时,其中 x2 是第二种设备的售出数 量。已知该公司在这段时间内的总营业时间为800 小时,试决定使其营业额最大的营业计划。
hi ( X ) 0 s.t. gj(X) 0
非线性规划和目标规划（精选5篇）
非线性规划和目标规划（精选5篇）第一篇：非线性规划和目标规划非线性规划和目标规划Ⅱ-1 非线性规划某工厂向用户提供发动机，按合同规定，其交货数量和日期是：第一季度末交40台，第二季末交60台，第三季末交80台。
工厂的最大生产能力为每季100台，每季的生产费用是f(x)=50x+0.2x2（元），其中x为该季生产发动机的台数，若工厂生产多余的发动机可移到下季向用户交货，这样，工厂就需支付存贮费，每台发动机每季的存贮费为4元。
问该厂每季应生产多少台发动机，才能既满足交货合同，又使工厂所花费的费用最少（假定第一季度开始时发动机无存货）？Ⅱ-2 目标规划某计算机公司生产三种型号的笔记本电脑A，B，C。
这三种笔记本电脑需要在复杂的装配线上生产，生产1台A，B，C型号的笔记本电脑分别需要5，8，12（h）公司装配线正常的生产时间是每月1700h。
公司营业部门估计A,B,C三种笔记本电脑的利润分别是每台1000，1440，2520（元），而公司预测这个月生产的笔记本电脑能够全部售出，公司经理考虑以下目标：第一目标：充分利用正常的生产能力，避免开工不足；第二目标：优先满足老客户的需求，A，B，C三种型号的电脑50，50，80（台）同时根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子；第三目标：限制装配线的加班时间，不允许超过200h第四目标：满足各种型号电脑的销售目标，A，B，C型号分别为100，120，100（台），再根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子；第五目标：装配线的加班时间尽可能少。
请列出相应的目标规划模型。
并求解。
第二篇：规划目标你想在五年之后，十年之后，或者一年之后的今天在哪？这些都是你的目标，你可不想一直呆在你现在的位置，但明确你的真正的目标是一件困难的事情。
很多人认为设定人生目标就是找一些遥遥无期的梦想，但永远不会实现。
这被看成是只是预言如何实现自己抱负，因为，第一，这些目标没有被足够详细的定义；第二，它始终只是一个目标，而没有相应的行动。
非线性规划
多项式 p(x) ax2 bx c 的插值结点。 这里a b c为待定系数.可用下述线形方程组确定.
p(x1 ) ax12 bx1 c f1
p(x2 )
axBiblioteka 2 2 bx2c
f2
p(x3 ) ax32 bx3 c f3
x1 a
计算函数值
x3 x3 b
x2
1 2
( x1
x3 )
f1 f (x1) f2 f (x2 ) f3 f (x3 )
ⅲ插值计算
x
* p
(a)若分母为零即 (x2 x3 ) f1 (x3 x1) f2 (x1 x2 ) f3 0 即
f2 f1 f3 f1 则说明三个插值点(x1, f1) (x2, f2 ) (x3, f3)在同一
向量化表示
令
g( x) ( g1 ( x),..., g p ( x))T
h( x) (h1 ( x),..., hp ( x))T ，
其中， g : R n R p , h : R n Rq ，那么(MP)可简记为
min f ( x)
s.t .
g(x) 0 或者min f ( x) x X
x b 2a
x*p
1 2
(x22 x32 ) f1 (x32 x12 ) f2 (x12 x22 ) f3 (x2 x3 ) f1 (x3 x1 ) f2 (x1 x2 ) f3
c1
f3 x3
f1 x1
非线性规划作业
非线性规划作业一、引言非线性规划是数学规划中的一个重要分支，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将通过一个实际案例来介绍非线性规划的基本概念、求解方法和应用。
二、问题描述假设某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为8元。
公司有两个生产车间，分别用于生产产品A和产品B。
生产车间A每天的生产能力为100个单位，生产车间B每天的生产能力为80个单位。
此外，公司还有以下限制条件：1. 生产产品A所需的材料每天最多只能供应150个单位。
2. 生产产品B所需的材料每天最多只能供应120个单位。
3. 生产产品A所需的劳动力每天最多只能使用80小时。
4. 生产产品B所需的劳动力每天最多只能使用60小时。
现在的问题是，如何安排生产计划，使得公司的利润最大化？三、数学建模为了解决上述问题，我们可以建立以下数学模型：设x为生产产品A的单位数量，y为生产产品B的单位数量，则目标函数可以表示为：Z = 10x + 8y同时，我们需要考虑以下约束条件：1. x ≤ 100 （生产车间A的生产能力限制）2. y ≤ 80 （生产车间B的生产能力限制）3. x ≤ 150 （材料供应限制）4. y ≤ 120 （材料供应限制）5. x ≤ 80 （劳动力使用限制）6. y ≤ 60 （劳动力使用限制）四、求解方法为了求解上述非线性规划问题，我们可以使用数学规划中的常见方法之一——线性规划求解器。
通过将非线性规划问题转化为线性规划问题，我们可以得到最优解。
具体步骤如下：1. 将目标函数和约束条件转化为线性形式。
对于目标函数Z = 10x + 8y，我们可以引入两个新的变量u和v，使得Z = 10x + 8y = u - v。
同时，将约束条件中的不等式转化为等式，得到以下线性形式的约束条件：x ≤ 100y ≤ 80x + u = 150y + v = 120x ≤ 80y ≤ 60x, y, u, v ≥ 02. 使用线性规划求解器求解上述线性规划问题。
非线性规划例子
Fmincon函数这个函数的基本形式为x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon，options)其中fun为你要求最小值的函数，可以单写一个文件设置函数，如以上给的例子中。
1.如果fun中有N个变量，如x y z, 或者是X1, X2,X3, 什么的，自己排个顺序，在fun中统一都是用x(1),x(2）....x(n) 表示的。
2. x0, 表示初始的猜测值，大小要与变量数目相同3. A b 为线性不等约束，A*x <= b，A应为n*n阶矩阵，学过线性代数应不难写出A和b4 Aeq beq为线性相等约束，Aeq*x = beq。
Aeq beq同上可求5 lb ub为变量的上下边界，正负无穷用-Inf和Inf表示，lb ub应为N阶数组6 nonlcon 为非线性约束，可分为两部分，非线性不等约束c，非线性相等约束，ceq可按下面的例子设置function [c,ce] = nonlcon1(x)c = -x(1)+x(2)^2-4;ce = []; % no nonlinear equality constraints7，最后是options，可以用OPTIMSET函数设置，见上例具体可见OPTIMSET函数的帮助文件。
1. fmincon 函数提供了大型优化算法和中型优化算法。
默认时，若在fun 函数中提供了梯度（options 参数的GeadObj 设置为'on'），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon 函数将选择大型算法。
当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。
2. fmincon 函数的中型算法一般是使用序列二次规划。
在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS 法更新Lagrangian 乘子和Hessian 矩阵。
3. fmincon 函数的大型算法采用了subspace trust region 优化算法。
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非線性規劃 Nonlinear Programming
作業研究 二版 2009
© 廖慶榮
章節大綱
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 前言 非線性規劃的應用 極大值與極小值 凸函數與凹函數 非線性規劃的類別 單變數無限制式最佳化 多變數無限制式最佳化 限制式最佳化的KKT條件
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2 2
2
f (x) x 2 x1
f (x) x n x1
2
f (x) xnx2
2
f (x) x1 x n 2 f (x) x2xn 2 f (x) 2 xn
2
此為對稱的（symmetric）矩陣
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作業研究 二版 Ch.12 非線性規劃
多變數
判斷關鍵點是極小值、極大值或鞍點
利用該點的赫斯矩陣（Hessian matrix）：
H (x) f (x) x1
2 2 2
f (x) x1 x 2 f (x) x2
定理 12.2：讓 x 是函數
d
2
f (x)
的關鍵點。若
f (x )
2
dx
0
則 x 是極小點。若
d
2
f (x )
2
dx
0
則 x 是極大點 若 d 2 f ( x ) / dx 2 點或鞍點。
0
，則無法判斷 x 是極小點、極大
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作業研究 二版 Ch.12 非線性規劃
範例12.6
3 3
i 1 j 1
σ ij x i x
j
xV x (x 1 x
2
4 0 .2 x 3 ) 3 .8 8 .6
2
3 .8 1 .2 6 .8
8 .6 6 .8 ( x 1 x 1 6 .5
2
x 3)
NLP模式： M in
s .t .
f ( x ) 4 0 .2 x 1 2 3 .8 x 1 x
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作業研究 二版 Ch.12 非線性規劃
12.2 非線性規劃的應用
範例12.1
a) 銷售量與單位售價、單位成本的關係 b) 銷售量與利潤的關係
p( x)
c(x)
利 潤 ( p ( x ) c ( x )) x
x (a )
(b )
x
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作業研究 二版 Ch.12 非線性規劃
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作業研究 二版 Ch.12 非線性規劃
NLP模式：
M a x Z 45 x 55 xy s .t. 7 0 x 5 0 y 8 0 0 x, y 0
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作業研究 二版 Ch.12 非線性規劃
範例12.4
問題
/倉儲中心位置問題
分店
i
倉儲中心應設在何處 （x-y座標），才能使 由倉儲中心至各分店 的總來回距離最短？
範例12.3
問題
/變動人力問題
每輛貨車由1位司機和1~3位搬運工組成搬運小組 每小組每年賺 100+55(y-1) 萬元（y=搬運工人數） 公司每年支付每位司機70萬元、每位搬運工50萬元， 公司每年有800萬的人力費用預算 該搬家公司應聘僱幾位司機以及幾位搬運工，才能 獲得最大的利潤？
f (x)
x1
x2
x3
x4
x5
x
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多變數
定理 12.3： x 是函數 率向量 f
(x) f (x)
的關鍵點，若且唯若其斜
為零，即
f (x) x1 f (x) x2 f (x) 0 f (x) xn
考慮以下函數：
f (x) 2 x 3x 1
2
其關鍵點 x 可計算如下：
df (x) dx 4x 3 x 3 4
因
d
2
f (x )
2
dx
4 0
所以 x
3/4
是極小點（或稱極小值）
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作業研究 二版 Ch.12 非線性規劃
局部極值與全域極值
局部極小值（極大值）與全域極小值（極大值）
2 2 2
= = =
2
2
3
4
(x - 7) + (y - 2)
2
x , y 吵 0, d i
作業研究 二版 Ch.12 非線性規劃
0 , i = 1, 2 , 3 , 4
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範例12.5
/投資組合問題
問題：(1)股票9.8%、(2)債券4.6%、(3)基金5.3%
公司希望在達到每年6.0%的預期收益情況下，盡可 能降低投資組合的風險，其風險衡量如下：
1 2 3 4
2
每月平均 -y 座標 運貨次數 (0, 5) 35 ( 1, 3) 24 (1, 6) 18 (7, 2) 29
x
3
NLP模式:
M in s .t .
Z = 3 5d 1 + 2 4d d1 = d d d
2 2
+ 1 8d
+ 2 9d
2
4
( x - 0) + (y - 5) ( x + 1) + ( y - 3 ) ( x - 1) + ( y - 6 )
作業研究 二版 Ch.12 非線性規劃
12.3 極大值與極小值 /單變數
定理 12.1： x 是函數
dx
f (x)
的關鍵點，若且唯若
df (x )
0
關鍵點：極小點、極大點或鞍點（ saddle point）
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作業研究 二版 Ch.12 非線性規劃
12.3 極大值與極小值 /單變數
作業研究 二版 Ch.12 非線性規劃
12.1 前言
非線性規劃（nonlinear programming；NLP）數學 模式： 極小化 f ( x ) 受限於 g i ( x ) 0 i 1, 2 , , m 其中
f (x)
與所有 g i ( x ) 至少有一個函數是非線性的
（nonlinear） 。 電腦軟體：LINGO，可由網站（） 免費下載
1 .2 x ( 9 .8 x 1 4 .6 x
2 2 2
2
2 8 .6 x 1 x
3
3 2 3
2 6 .8 x 2 x
1 6 .5 x
5 .3 x 3 ) / 5 0 0 0 6 .0
2
x1 x
x
3 3
5000 0
p.7/44
x 1, x 2, x